大学物理第四章-刚体力学
大学物理第四章刚体转动
进动和章动在自然界中实例
陀螺仪
地球极移
陀螺仪的工作原理即为进动现象。当 陀螺仪受到外力矩作用时，其自转轴 将绕某固定点作进动，通过测量进动 的角速度可以得知外力矩的大小和方 向。
地球极移是指地球自转轴在地球表面 上的移动现象，其产生原因与章动现 象类似。地球极移的周期约为18.6年 ，且极移的幅度会受到地球内部和外 部因素的影响。
天体运动
许多天体的运动都涉及到进动和章动 现象。例如，月球绕地球运动时，其 自转轴会发生进动，导致月球表面的 某些特征（如月海）在地球上观察时 会发生周期性的变化。同时，行星绕 太阳运动时也会发生章动现象，导致 行星的自转轴在空间中的指向发生变 化。
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THANKS
02
刚体定轴转动动力学
转动惯量定义及计算
转动惯量定义
刚体绕定轴转动时，其惯性大小的量度称为转动惯量，用字母$J$表示。它是一个与刚体质量分布和转轴位置有 关的物理量。
转动惯量计算
对于形状规则的均质刚体，可以直接套用公式计算其转动惯量；对于形状不规则的刚体，则需要采用间接方法， 如分割法、填补法等，将其转化为规则形状进行计算。
刚体性质
刚体是一个理想模型，它在力的作用 下，只会发生平动和转动，不会发生 形变。
转动运动描述方式
01
02
03
定轴转动
平面平行运动
ห้องสมุดไป่ตู้
定点转动
物体绕一固定直线（轴）作转动。
物体上各点都绕同一固定直线作 不同半径的圆周运动，同时物体 又沿该固定直线作平动。
物体绕一固定点作转动。此时物 体上各点的运动轨迹都是绕该固 定点的圆周。
非惯性系下刚体转动描述方法
欧拉角描述法
回转运动
第四章 刚体力学
5
大学 物理
进动现象
4-5 回转运动
现象：陀螺仪在外力矩的作用下，在绕 其对称轴高速转动的同时，横杆也会在 水平面内绕竖直轴缓慢地转动。 进动：高速转动物体的自转轴绕另一 轴线的旋转运动形式。
L
故陀螺的自转轴改变方向， 绕一竖直轴进动 可以证明 J
第四章 刚体力学9310 mg Mdq
由角动量定理，有
Mdt dL
(L dL)
dL
角动量增量的大小为
dL Mdt
y
Ω
(1)
x
L
设dt时间内与该自转轴相应的角位移为dq 则
dL Ldq
(2)
dq dt M L
比较式(1)和式(2)，得 Ldq Mdt
而进动角速度
dq M L
dt 第四章
刚体力学
7
大学 物理
进动特性的技术应用
翻转 外力 外力
4-5 回转运动
进动
C
C
炮弹飞行姿态的控制：炮弹在飞行时，空气阻力对炮弹质心的力矩会使
炮弹在空中翻转；若在炮筒内壁上刻出了螺旋线（称之为来复线），当 炮弹由于发射药的爆炸所产生的强大推力推出炮筒时，炮弹还同时绕自 己的对称轴高速旋转。由于这种自转作用，它在飞行过程中受到的空气 阻力将不能使它翻转，而只能使它绕着质心前进的方向进动。
大学 物理
4-5 回转运动
陀螺仪与导航
《大学物理》刚体力学练习题及答案解析
《大学物理》刚体力学练习题及答案解析一、选择题1.刚体对轴的转动惯量，与哪个因素无关 [ C ]（A）刚体的质量（B）刚体质量的空间分布（C）刚体的转动速度（D）刚体转轴的位置2.有两个力作用在一个有固定轴的刚体上. [ B ](1)这两个力都平行于轴作用时,它们对轴的合力矩一定是零;(2)这两个力都垂直于轴作用时,它们对轴的合力矩可能是零;(3)这两个力的合力为零时,它们对轴的合力矩也一定是零;(4)当这两个力对轴的合力矩为零时,它们的合力也一定是零.在上述说法中,(A)只有(1)是正确的；(B) (1)、(2) 正确, (3)、(4)错误；(C) (1)、(2)、(3)都正确, (4)错误；(D) (1)、(2)、(3)、(4)都正确.3.均匀细棒OA可绕通过其一端O而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖立位置的过程中，下述说法哪一种是正确的[ A ](A) 角速度从小到大，角加速度从大到小；(B) 角速度从小到大，角加速度从小到大；(C) 角速度从大到小，角加速度从大到小；(D) 角速度从大到小，角加速度从小到大.4．如图所示，圆锥摆的小球在水平面内作匀速率圆周运动，小球和地球所组成的系统，下列哪些物理量守恒（ C ）（A）动量守恒，角动量守恒（B）动量和机械能守恒（C）角动量和机械能守恒（D）动量，角动量，机械能守恒5.一圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的水平轴转动，轴间摩擦不计，如图射来两个质量相同，速度大小相同、方向相反并在一条直线上的子弹，它们同时射入圆盘并且留在盘内，在子弹射入后的瞬间，对于圆盘和子弹系统的角动量L以及圆盘的角速度ω则有（ B ）（A）L不变，ω增大（B）L不变，ω减小（C）L变大，ω不变（D）两者均不变6.一花样滑冰者，开始自转时，其动能为20021ωJ E =。
然后他将手臂收回，转动惯量减少为原来的1/3，此时他的角速度变为ω，动能变为E ，则下列关系正确的是（ D ） （A ）00,3E E ==ωω （B ）003,31E E ==ωω （C ）00,3E E ==ωω （D ）003,3E E ==ωω1C 2.B ，3.A ，4.C ，5.B ，6.D二、填空1.当刚体受到的合外力的力矩为零时，刚体具有将保持静止的状态或_____________状态，把刚体的这一性质叫刚体___________。
大学物理复习第四章知识点总结
大学物理复习第四章知识点总结大学物理复习第四章知识点总结一．静电场：1.真空中的静电场库仑定律→电场强度→电场线→电通量→真空中的高斯定理qq⑴库仑定律公式：Fk122err适用范围：真空中静止的两个点电荷F⑵电场强度定义式：Eqo⑶电场线：是引入描述电场强度分布的曲线。
曲线上任一点的切线方向表示该点的场强方向，曲线疏密表示场强的大小。
静电场电场线性质:电场线起于正电荷或无穷远，止于负电荷或无穷远，不闭合，在没有电荷的地方不中断，任意两条电场线不相交。
⑷电通量：通过任一闭合曲面S的电通量为eSdS方向为外法线方向1EdS⑸真空中的高斯定理：eSoEdSqi1int只能适用于高度对称性的问题：球对称、轴对称、面对称应用举例：球对称：0均匀带电的球面EQ4r20(rR)(rR)均匀带电的球体Qr40R3EQ240r(rR)(rR)轴对称：无限长均匀带电线E2or0(rR)无限长均匀带电圆柱面E(rR)20r面对称：无限大均匀带电平面EE⑹安培环路定理：dl0l2o★重点：电场强度、电势的计算电场强度的计算方法：①点电荷场强公式+场强叠加原理②高斯定理电势的计算方法：①电势的定义式②点电荷电势公式+电势叠加原理电势的定义式：UAAPEdl(UP0)B电势差的定义式：UABUAUBA电势能：WpqoPP0EdlEdl(WP00)2.有导体存在时的静电场导体静电平衡条件→导体静电平衡时电荷分布→空腔导体静电平衡时电荷分布⑴导体静电平衡条件:Ⅰ.导体内部处处场强为零,即为等势体。
Ⅱ.导体表面紧邻处的电场强度垂直于导体表面，即导体表面是等势面⑵导体静电平衡时电荷分布:在导体的表面⑶空腔导体静电平衡时电荷分布:Ⅰ.空腔无电荷时的分布：只分布在导体外表面上。
Ⅱ.空腔有电荷时的分布(空腔本身不带电，内部放一个带电量为q的点电荷)：静电平衡时，空腔内表面带-q电荷，空腔外表面带+q。
3.有电介质存在时的静电场⑴电场中放入相对介电常量为r电介质，电介质中的场强为：E⑵有电介质存在时的高斯定理：SDdSq0,intE0r各项同性的均匀介质D0rE⑶电容器内充满相对介电常量为r的电介质后，电容为CrC0★重点：静电场的能量计算①电容：②孤立导体的电容C4R电容器的电容公式C0QQUUU举例：平行板电容器C圆柱形电容器C4oR1R2os球形电容器CR2R1d2oLR2ln()R1Q211QUC(U)2③电容器储能公式We2C22④静电场的能量公式WewedVE2dVVV12二.静磁场：1.真空中的静磁场磁感应强度→磁感应线→磁通量→磁场的高斯定理⑴磁感应强度：大小BF方向：小磁针的N极指向的方向qvsin⑵磁感应线：是引入描述磁感应强度分布的曲线。
大学物理习题及解答(刚体力学)
1 如图所示，质量为m 的小球系在绳子的一端，绳穿过一铅直套管，使小球限制在一光滑水平面上运动。
先使小球以速度0v 。
绕管心作半径为r D 的圆周运动，然后向下慢慢拉绳，使小球运动轨迹最后成为半径为r 1的圆，求(1)小球距管心r 1时速度大小。
(2)由r D 缩到r 1过程中，力F 所作的功。
解 (1)绳子作用在小球上的力始终通过中心O ，是有心力，以小球为研究对象，此力对O 的力矩在小球运动过程中始终为零，因此，在绳子缩短的过程中，小球对O 点的角动量守恒，即10L L =小球在r D 和r 1位置时的角动量大小 1100r mv r mv = 100r r v v =(2)可见，小球的速率增大了，动能也增大了，由功能定理得力所作的功 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=-=1)(21 21)(21 21212102020210202021r r mv mv r r mv mv mv W2 如图所示，定滑轮半径为r ，可绕垂直通过轮心的无摩擦水平轴转动，转动惯量为J ，轮上绕有一轻绳，一端与劲度系数为k 的轻弹簧相连，另一端与质量为m 的物体相连。
物体置于倾角为θ的光滑斜面上。
开始时，弹簧处于自然长度，物体速度为零，然后释放物体沿斜面下滑，求物体下滑距离l 时，物体速度的大小。
解 把物体、滑轮、弹簧、轻绳和地球为研究系统。
在物体由静止下滑的过程中，只有重力、弹性力作功，其它外力和非保守内力作功的和为零，故系统的机械能守恒。
设物体下滑l 时，速度为v ，此时滑轮的角速度为ω则 θωsin 2121210222mgl mv J kl -++= （1）又有 ωr v = （2） 由式（1）和式（2）可得 m r J kl mgl v +-=22sin 2θ本题也可以由刚体定轴转动定律和牛顿第二定律求得，读者不妨一试。
3 如右图所示，一长为l 、质量为m '的杆可绕支点O 自由转动，一质量为m 、速率为v 的子弹射入杆内距支点为a 处，使杆的偏转为︒30。
大学物理刚体力学
4-2-1力矩 1.外力F在转动平面内：
Mi ri Fi
ri : 转动平面与转轴交点 o指向力的作用点的矢量 。
z
Fi
Fi
i
Fin
大小：Miz ri Fi sini ri Fi
(Fi Fi sini : 力的切向分量）
方向：右手螺旋，图中向上
2.外力 F不在转动平面内，将其分解为F和F||
解 (1)碰撞过程经历的时间极短，因此，系统所受外力(重力与轴的支持力)对于
轴O的力矩都为零，因而系统对轴O的角动量守恒。
碰前角动量
L1
mv l 2
碰后角动量
L2 J
J 为子弹与杆组成的系统相对于O的转动惯量，且：
M
J J 杆 J子弹
由角动量守恒
M l2 12
m( l )2 2
•O l mv
Md
dA Md M与d同向，dA为正；否则为负。
当刚体由
1
位置，外力矩作功：
2
A dA 2 Md 1
若M为恒力矩
A
2 Md M
1
2 1
d
M (1
2)
功— —力矩的角积累（空间积累）效应。
4-3-2刚体定轴转动的动能
mi：
Eki
1 2
mi
vi2
1 2
mi
ri2
2
总转动动能： Ek
此平行
转动：刚体上所有质元都绕同一直线(转轴)作圆周运动
如转轴相对所选参照系固定不动，称定轴转动
刚体运动＝平动＋转动
•A
•A
•C •A
•C •B •C
•B
•B
o
o
图4-1 刚体的平动
刚体力学
例、在光滑的水平桌面上有一小孔0，一细绳穿过小孔， 其一端系一小球放在桌面上，另一端用手拉绳， 开始时小球绕孔运动，速率为 v1 ，半径为 r1 ，当半径变 为 r2 时 r2 f拉 求小球的速率 v2 解：小球受力：
f拉
L2 = L1
因f 拉为有心力
r r L2 = L1
r1 mv 1 = r2 mv 2 r1 v 2 = v1 显然 v 2 v1 r2
' 2
m
.
R
m1 Mf
' T1
m2
m
如图
T2'
T2
对m2： m 2 g - T2 = m 2 a
- m1 g = m1a
' 1
T1
m1 g
T 对m： R - T R - M f = J
m2 g
1 2 ' ' a = R , J = mR , T1 = T1 , T2 = T2 2
联立求得： = a
r M
M = rF sin = Fd
o
r r
r M
r F
r F应理解为在垂直于转轴的平面内。 r o 若不在,则将 F 分解为平行 于转轴的分量和垂直于转轴 的分量.只有垂直于转轴的力 的分量才对转轴有力矩.
r 20 F 的方向与转轴平行.
r F
r r
合外力矩 M = r1 F1 sin 1 - r2 F2 sin 2 r3 F3 sin 3
r Fi = m
r dv c
dt
注意各量的 物理意义
质心运动定理说明：不管物体的质量如何分布、外力作用 在什么地方，质心的运动就象物体的全部质量都集中于此， 而且所有的外力都作用于其上的一个质点的运动一样。 （例:炮弹在飞行轨道上爆炸 ……见教材p98--例3)
大学物理04角动量守恒习题解答
刚体力学-角动量习题
第1页
一、选择题
1. 已知地球的质量为m，太阳的质量为M，地心与日心的距离为R
，引力常数为G，则地球绕太阳作圆周运动的角动量为 [ A ]
m( l )2 2
0
ml 2 3
mx2
O
1l m m
2
第9页
三、计算题
1. 如图所示，一质量为M的均匀细棒，长为l，上端可绕水平轴O自 由转动，现有一质量为m的子弹，水平射入其下端A而不穿出，此 后棒摆到水平位置后又下落。棒的转动惯量J= Ml2/3 ，如不计空气 阻力并设 mM。求 （1）子弹射入棒前的速度v0； （2） 当棒转到与水平位置的夹角为30时，A点的速度及加速度。
(A) 只有(1)是正确的。 (B) (1)、(2)正确，(3)、(4)错误 (C) (1)、(2)、(3)都正确，(4)错误。 (D) (1)、(2)、(3)、(4)都正确。
解 对上述每一句话进行分析： （1）正确 √ （2）正确 √
（3）错误 × （4）错误 ×
第5页
一、选择题
5. 关于力矩有以下几种说法： (1) 对某个定轴而言，内力矩不会改变刚体的角动量。
所受的合外力矩的大小M =
大小β= 2g 3l 。
3 2
mgl
，此时该系统角加速度的
解 M 2mg l mg l 3 mgl
2 22
M J
2m
o
mg
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M r F r ( F1 F2 ) r F1 r F2 r F1 只能引起轴的
F1
转动 平面
F
F2
r
变形, 对转动无贡献。 注：在定轴动问题中，如不加说 明，所指的力矩是指力在转动平面 内的分力对转轴的力矩。
t=25s 时飞轮边缘上一点P 的速度
构成的平面。
切向加速度 向心加速度
v v r 78.5m / s 的方向垂直于 和 v r
O a
an
v r
at r 3.14m / s
2
2 2
at
an r 6.16 10 m / s a an a，其中 a 的方向与v 边缘上该点的加速度 an的方向指向轴心， a 的大小为 的方向相反，
转动平面
z
vi
mi ri
参考轴
x
切向加速度
法向加速度
dvi a ri dt
v 2 an ri ri
2 i
a
an ri
v a
角速度
例4-1 一飞轮转速n=1500r/min，受到制动后均匀地减 速，经t=50s后静止。（1）求角加速度α和飞轮从制动 开始到静止所转过的转数N；（2）求制动开始后t=25s 时飞轮的角速度 ；（3）设飞轮的半径r =1m，求在t 0 =25s 时边缘上一点的速度和加速度。 解：（1）设初角度为0方向如图所示，
j f ji
Mij M ji fd
4）在转轴方向确定后，力对转轴的力矩方向可用+、号表示。
2. 刚体定轴转动的角动量 刚体上质元 mi 相对于转轴
的角动量为
Li
O
z
ri
vi
mi
Li mi ri vi mi ri ri 是质元 mi到转轴的距离。
0=21500/60=50 rad/s
已知t=50S 时刻 =0 ， 代入方程 =0+αt 得
O
0
t
50 rad / s 2 3.14 rad / s 2 50
角速度
从开始制动到静止，飞轮的角位移
1 2 0 0t at 1250 rad 2 转数N 为 N 625转 2
2
x
2πh r dr 0 1 1 4 2 πhR mR 2 2
R 3
4. 刚体定轴转动的应用
讨论：
d M J J dt
α 转动惯量是转动惯性大小的量度； （1） M 一定，J （2）M 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速的力矩为 正； （3）J 和质量分布有关；J 和转轴有关，同一个物体 对不同转轴的转动惯量不同。 （4）分析问题，选定转轴正方向；对于质点-刚体组成的 系统，质点运动正方向选择要与刚体转动正方向自洽。 （5）对质点运用牛顿定律，对刚体运用转动定律。 （6）列出关联方程，一般在质点加速度与刚体角加速度 之间寻找。
一个质点的运动，都可代表整个刚体的运动。
平动和转动
刚体的平动过程
c
a b
平动和转动
刚体的平动过程
c
a b
平动和转动
刚体的平动过程
c
a b b
平动和转动
刚体的平动过程
c
a b
平动和转动
刚体的平动过程
c
a b
平动和转动
刚体的平动过程
c
a
b
平动和转动
刚体的平动过程
c
a b
平动和转动
刚体的平动过程
由此可见飞轮作的是变加速转动。
§4-2 刚体定轴转动定律 1.力矩 力不在转动平面内
F 对O 点的力矩：M r F
Z
M
转 动 平 面
M rF sin F
M
MZ
r
A
M 沿Z 轴分量为 F 对Z 轴力矩 M Z
F
O r
力矩
力不在转动平面内
3
12
O l/2 x dx l/2
l m 1 2 J ml 12
转动惯量的计算
（ 2 ）当转轴通过棒的一端 A 并和 棒垂直时
A
x l
J A x dx
2 0
l
dx
ml 3 3
l / 2 h
l
3
2
h
A
B
（ 3 ）当转轴通过棒上距中心为 h 的B点并和棒垂直时
2
O x l
（2）求制动开始后t=25s 时飞轮的角速度 ；
0
O
0 t 50 25rad / s 25rad / s 78.5rad / s
的方向与0相同 ；
角速度
v r
0
（3）设飞轮的半径r=1m，求在t=25s 时边缘上一点 的速度和加速度。
a
定轴转动定律
1 m2 m1 m 2 而 1 m1 2m 2 m g M f / r 2 T1 m1 g a 1 m 2 m1 m 2 1 m 2 2m1 m g＋M f / r 2 T2 m1 g－a 1 m 2 m1 m 2
§4-2刚体的定轴转动定律
力矩
刚体绕 O z 轴旋转 , 力 F
作用在刚体上点 P , 且在转动 平面内, r 为由点O 到力的 作用点 P 的径矢 . Z 的力矩 F 对转轴
M
M
O
z
M Fr sin Fd
M r F
r
F
*
d
P
d
: 力臂
1）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂 直于转轴方向的两个分量 z F F F z F 其中 Fz 对转轴的力 F k z
刚体质量体分布
§4- 1 刚体的运动学 2. 平动和转动
刚体最基本的运动形式是平动和转动。 如果刚体在运动中，连接刚体上任意两点的直线 在各时刻始终保持彼此平行，这种运动叫平动。 刚体在平动时，在任意一段时间内，刚体中所
质点的位移都是相同的。而且在任何时刻，各个质
点的速度和加速度也都是相同的。所以刚体内任何
c
a b
平动和转动刚体的平动过程cFra biblioteka b
平动和转动
如果刚体上所有质元都绕同一直线作圆周运动， 则称为刚体的转动，这一直线就叫做转轴。
刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的 定轴转动： 圆周运动，且在相同时间内转过相同的角度。
刚体的一般运动
平动
+
绕某心的转动
定轴转动
3. 刚体的定轴转动
z
A
特点： 质点在垂直转轴的平面内做圆周运动； 角位移，角速度和角加速度均相同。
3
角速度
a 的大小为
a a a (6.16 10 ) 3.14 m / s
2 t 2 n 3 2 2
2
6.16 10 m / s
3
2
a
的方向几乎和
相同。 an
角速度
例4-2 一飞轮在时间t内转过角度＝at+bt3-ct4 , 式中a、b、c 都是常量。求它的角加速度。
A
l/2 O x dx l/2 h A x l dx B O x l dx
A
转动惯量的计算
解 （1）在棒上离轴 x 处，取一长度元 dx，如棒的质 量线密度为，这长度元的质量为dm=dx。 当转轴通过中心并和棒垂直时
J o r dm
2
l / 2
l / 2
x dx
2
A
l
物体的加速度。滑轮边缘上的切向 从以上各式即可解得 加速度和物体的加速度相等，即
T1 T1 m1
T2 T2
a
m2 m gr M f / r m 2 m1 g M f / r a1
J m 2 m1 2 r 1 m 2 m1 m 2
G1
a m2 G2
第四章. 刚体力学
§4- 1 刚体的运动学
1. 刚体
刚体是一种特殊的质点系统，无论它在多大外力 作用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。 * 刚体研究方法： 质量连续分布的质点系统，采用微 积分方法，刚体分割为无数质量为 dm 的质点系。 * 刚体微元质量
dm V dV dV 刚体质量面分布 dm s dS dS 刚体质量线分布 dm l dl dl
dx
ml 2 J B l / 2 h x dx mh 12
2
这个例题表明，同一刚体对不同位置的转轴， 转动惯量并不相同。
[例]求均质圆盘(m,R)过圆心且与板面垂直的转轴的转 z 动惯量 . dr [解] 盘由许多环组成 y r 2
dI r dm
2
I r dm r 2 πr h dr
刚体对转轴的角动量
dt
dt
dt
刚体绕某一定轴转动，它受的合外力矩等于刚体 的转动惯量与角加速度的乘积。 注意 3. 转动惯量J 转动惯量的 2 2 J mi ri r dm 大小取决于刚体的 质量、形状及转轴 r 是质元 dm 到转轴的距离。 的位置 .
例4-3 求质量为m、长为 l 的均匀细棒对下面三种转 轴的转动惯量：（1）转轴通过棒的中心并和棒垂直； （2）转轴通过棒的一端并和棒垂直;（3）转轴通过 棒上距中心为h的一点并和棒垂直。
A r1 o1
B
B r2 o2