第六章 刚体的基本运动和点的复合运动(更新)
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理论力学6—刚体的基本运动
34.8
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的速度和加速度
1、角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
dj
ww
dt
大小
角速度矢沿轴线，弯向表示刚体转动的方向。
指向用右手螺旋法则。
w wk
角加速度矢量
dw dw
k k
dt
dt
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的速度和加速度
2
例6-6
某定轴转动刚体通过点M0（2，1，3），其角速度矢w 的方向
余弦为0.6，0.48，0.64，角速度 的大小ω=25rad/s 。求：刚体上点
M（10，7，11）的速度矢。
解：角速度矢量
w wn
其中 n （0.6，0.48，0.64）
M点相对于转轴上一点M0的矢径
r rM rM0 10,7,11 2,1,3 8,6,8
Z2=60，Z3=12，Z4=70。(a)求减速箱的总减速比i13 ；(b)如
果n1=3000r/min，求n3.
1
n1
2
n2
3
n3
4
解：求传动比：
n1 n1 n2 Z 2 Z 4
i13
34.8
n3 n2 n3 Z1 Z 3
则有：
n1 3000
n3
86r / min
i13
4 rad
dw dw d
dw
w
dt
d dt
d
dw
w
0.2
d
解：
w
w wdw
0
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的速度和加速度
1、角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
dj
ww
dt
大小
角速度矢沿轴线，弯向表示刚体转动的方向。
指向用右手螺旋法则。
w wk
角加速度矢量
dw dw
k k
dt
dt
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的速度和加速度
2
例6-6
某定轴转动刚体通过点M0（2，1，3），其角速度矢w 的方向
余弦为0.6，0.48，0.64，角速度 的大小ω=25rad/s 。求：刚体上点
M（10，7，11）的速度矢。
解：角速度矢量
w wn
其中 n （0.6，0.48，0.64）
M点相对于转轴上一点M0的矢径
r rM rM0 10,7,11 2,1,3 8,6,8
Z2=60，Z3=12，Z4=70。(a)求减速箱的总减速比i13 ；(b)如
果n1=3000r/min，求n3.
1
n1
2
n2
3
n3
4
解：求传动比：
n1 n1 n2 Z 2 Z 4
i13
34.8
n3 n2 n3 Z1 Z 3
则有：
n1 3000
n3
86r / min
i13
4 rad
dw dw d
dw
w
dt
d dt
d
dw
w
0.2
d
解：
w
w wdw
0
点的复合运动
例1、沿直线轨道作纯滚动的车轮轮缘上点的运动
点的合成运动
y’
o’
x’
例2、直升飞机在匀速前进的军舰上降落
y
y’
o’
x’
x
o
点的合成运动
y’ x’
o’
物体的运动的描述结果与所选定的参考系有关。同一物体的运动，在不同的 参考系中看来，可以具有极为不同的运动学特征（具有不同的轨迹、速度、 加速度等）。
相对运动：未知
3、
va ve vr
大小 v1 v2
?
方向 √ √
?
vr va2 ve2 2vave cos60 3.6 m s
arcsin(ve sin 60o ) 46o12
点的合成运动
vr
求解合成运动的速度问题的一般步骤为(P180):
① 选取动点，动系和静系。
B
曲柄－滑块机构
点的合成运动
思考题 动 点：杆上A点。 动系：固连于滑块B。 定系：固连于墙面。 绝对运动？ 相对运动？ 牵连运动？
点的合成运动
A Bv
点的合成运动
动 点？ 动参考系？ 绝对运动？ 相对运动？ 牵连运动？
练习题1
点的合成运动
点的合成运动
点的合成运动
动 点？ 动参考系？ 绝对运动？ 相对运动？ 牵连运动？
定系的速度。
点的合成运动
基本概 念
牵连点的概念
（1）、定 义 动参考系给动点直接影响的是该动系上与动点相重合的一点，
这点称为瞬时重合点或动点的牵连点。 （2）、进一步说明
牵连运动一方面是动系的绝对运动，另一方面对动点来说起 着“牵连”作用。但是带动动点运动的只是动系上在所考察的瞬 时与动点相重合的那一点，该点称为瞬时重合点或牵连点。 （3）、注 意
点的合成运动
y’
o’
x’
例2、直升飞机在匀速前进的军舰上降落
y
y’
o’
x’
x
o
点的合成运动
y’ x’
o’
物体的运动的描述结果与所选定的参考系有关。同一物体的运动，在不同的 参考系中看来，可以具有极为不同的运动学特征（具有不同的轨迹、速度、 加速度等）。
相对运动：未知
3、
va ve vr
大小 v1 v2
?
方向 √ √
?
vr va2 ve2 2vave cos60 3.6 m s
arcsin(ve sin 60o ) 46o12
点的合成运动
vr
求解合成运动的速度问题的一般步骤为(P180):
① 选取动点，动系和静系。
B
曲柄－滑块机构
点的合成运动
思考题 动 点：杆上A点。 动系：固连于滑块B。 定系：固连于墙面。 绝对运动？ 相对运动？ 牵连运动？
点的合成运动
A Bv
点的合成运动
动 点？ 动参考系？ 绝对运动？ 相对运动？ 牵连运动？
练习题1
点的合成运动
点的合成运动
点的合成运动
动 点？ 动参考系？ 绝对运动？ 相对运动？ 牵连运动？
定系的速度。
点的合成运动
基本概 念
牵连点的概念
（1）、定 义 动参考系给动点直接影响的是该动系上与动点相重合的一点，
这点称为瞬时重合点或动点的牵连点。 （2）、进一步说明
牵连运动一方面是动系的绝对运动，另一方面对动点来说起 着“牵连”作用。但是带动动点运动的只是动系上在所考察的瞬 时与动点相重合的那一点，该点称为瞬时重合点或牵连点。 （3）、注 意
6第六章刚体基本运动与点的复合运动资料
由于转速n与w 有如下关系：
w 2n
60
w1 n1 成正比 w 2 n2
齿轮传动比
i1,2
2018年11月2日 理论力学CAI
w1 n1 r2 z2 w2 n2 r z1 1
25
2018年11月2日 理论力学CAI
26
减速箱由四个齿轮构成， 如图所示。齿轮Ⅱ和Ⅲ安装
2018年11月2日 理论力学CAI 1
6.1 刚体的平移和定轴转动
观察平移刚体
2018年11月2日 理论力学CAI
2
观察平移刚体
2018年11月2日 理论力学CAI
3
观察平移刚体
2018年11月2日 理论力学CAI
4
观察平移刚体
2018年11月2日 理论力学CAI
5
1. 平移 —— 刚体运动过程中，其上任意直线始终平 行于这一直线的初始位置。
代入t = 0和t = 2，就可求得这两瞬时A点的速度和加速度，亦即点C在
这两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：
t (s)
(rad)
0
v (m/s)
π （水平向右） 0 4
at (m/s2)
an (m/s2)
π2 2 （铅直向上） 0l 16
0
2
理论力学CAI
0
π 0l 16
0
0
30
航母以 20 节的速度前进，直升飞机以每小时 10km 的速 度垂直降落。求直升飞机相对于航母的速度。
2018年11月2日 理论力学CAI
31
2018年11月2日 理论力学CAI
32
振动仪中纪录振动的笔尖 M 沿铅直固定轴 Oy 作
刚体平面运动和点的复合运动综合b分解PPT文档共40页
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
刚体平面运动和点的复合运动 综合b分解
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
15、机会是不守损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
刚体平面运动和点的复合运动 综合b分解
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
刚体运动的基本原理
刚体运动的基本原理刚体运动是物体在空间中做整体性的运动，不发生形变的运动。
刚体运动的基本原理可以通过以下几个方面来解释：一、质点的运动质点可以看作是质量无限大的一个点，它不发生形变，仅产生平移运动。
质点的平移运动可以用牛顿第一定律来描述，即物体在不受外力作用时将保持静止或者匀速直线运动。
这是因为质点不受力的影响，所以它的速度和位置都不会改变。
二、刚体的自由度刚体在空间中的运动由其自由度决定。
自由度是指刚体能够独立运动的最小数量。
对于一个刚体而言，它的自由度取决于它的维度。
在三维空间中，一个刚体有6个自由度，分别为三个平移自由度和三个转动自由度。
三、刚体的平移运动刚体的平移运动是指它在空间中沿着直线运动，整体上保持不变。
刚体的平移运动可以由质点的运动来描述。
当一个刚体受到一个外力时，该外力会作用在刚体的重心上，使得刚体产生平移运动。
刚体的平移加速度与作用在刚体上的合力成正比，与刚体的质量成反比。
四、刚体的转动运动刚体的转动运动是指它在空间中绕轴线旋转，整体上保持不变。
刚体的转动运动可以由刚体的转动惯量来描述。
转动惯量是刚体旋转惯性的量度，与刚体的质量分布以及轴线的位置有关。
当一个刚体受到一个力矩时，该力矩会使刚体产生转动运动。
刚体的转动加速度与作用在刚体上的合力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。
五、刚体的复合运动刚体可以进行平移和转动的复合运动。
当一个刚体受到既有平移又有转动的外力时，刚体既会发生平移运动，也会发生转动运动。
刚体的平移和转动是相互独立的，但它们会同时发生。
六、刚体碰撞的基本原理当两个刚体碰撞时，根据动量守恒定律和动能守恒定律，可以得到碰撞前后刚体的动量和动能之间的关系。
在完全弹性碰撞中，刚体在碰撞过程中既满足动量守恒定律，也满足动能守恒定律。
在非完全弹性碰撞中，刚体在碰撞过程中会发生能量损失，动能不守恒。
总结：刚体运动的基本原理包括质点的运动、刚体的自由度、刚体的平移和转动运动，以及刚体碰撞的原理。
06刚体的基本运动
τ
vC = v0 = 1.5m/s
α
ω0
ϕ N = = 2 .86 ( 转） 2π
17
内的行程； ②重物B在3s内的行程；
ϕ = ω 0t +
1 α t 2 = 18 rad 2
s = r ϕ = 0 .3 × 18 = 5 .4 m
时的速度； ③重物B在ｔ＝3s时的速度；
aC 1 α= = = 2 rad/s 2 R 0.5 vC 1 .5 ω0 = = = 3 rad/s R 0 .5
5
加速度： 加速度：
刚体平动的特点： 刚体平动的特点： 平动刚体在任一瞬时各点的运动轨迹、速度、 平动刚体在任一瞬时各点的运动轨迹、速度、加速度都 一样。 一样。 结论：平动刚体的运动可以简化为一个点的运动，研究刚体 结论：平动刚体的运动可以简化为一个点的运动， 的平动可归结为研究点的运动。 的平动可归结为研究点的运动。
ϕ = f(t)
8
四、定轴转动的角速度和角加速度 1. 角速度： 角速度：
∆ ϕ dϕ & = =ϕ 定义 : ω = lim ∆t → 0 ∆ t dt ( 代数量 )
角位移
单位： 单位： rad/s 工程中常用转速： 工程中常用转速： n ： 转/分(r/ min)（rpm) n与ω 的关系为： 与 的关系为：
ds ∆s v= = lim dt ∆t → 0 ∆t
∆ϕ ⋅ R v = lim = ωR ∆t → 0 ∆t
R
v = ωR
O
12
二、角加速度α 与 an 、aτ 的关系
dv d dω aτ = = (ωR ) = R = Rα dt dt dt
ϕ
α
(ωR)2 an = = = Rω 2 R ρ v2
《理论力学》考试知识点.
《理论力学》考试知识点静力学第一章静力学基础1、掌握平衡、刚体、力的概念以及等效力系和平衡力系，静力学公理。
2、掌握柔性体约束、光滑接触面约束、光滑铰链约束、固定端约束和球铰链的性质。
3、熟练掌握如何计算力的投影和平面力对点的矩，掌握空间力对点的矩和力对轴之矩的计算方法，以及力对轴的矩与对该轴上任一点的矩之间的关系。
4、对简单的物体系统，熟练掌握取分离体并画出受力图。
第二章力系的简化1、掌握力偶和力偶矩矢的概念以及力偶的性质。
2、掌握汇交力系、平行力系、力偶系的简化方法和简化结果。
3、熟练掌握如何计算主矢和主矩；掌握力的平移定理和空间一般力系和平面力系的简化方法和简化结果。
4、掌握合力投影定理和合力矩定理。
5、掌握计算平行力系中心的方法以及利用分割法和负面积法计算物体重心。
第三章力系的平衡条件1、了解运用空间力系（包括空间汇交力系、空间平行力系和空间力偶系）的平衡条件求解单个物体和简单物体系的平衡问题。
2、熟练掌握平面力系（包括平面汇交力系、平面平行力系和平面力偶系）的平衡条件及其平面力系平衡方程的各种形式；熟练掌握利用平面力系平衡条件求解单个物体和物体系的平衡问题。
3、了解静定和静不定问题的概念。
4、掌握平面静定桁架计算内力的节点法和截面法，掌握判断零力杆的方法。
第四章摩擦1、掌握运用平衡条件求解平面物体系的考虑滑动摩擦的平衡问题。
2、了解极限摩擦定律、滑动摩擦系数、摩擦角、自锁现象、摩阻的概念。
运动学第五章点的运动1、掌握描述点的运动的矢量法、直角坐标法和弧坐标法，能求点的运动方程。
2、熟练掌握如何计算点的速度、加速度及其有关问题。
第六章刚体的基本运动1、掌握刚体平动和定轴转动的特征；掌握刚体定轴转动的转动方程、角速度和角加速度；掌握定轴转动刚体角速度矢量和角加速度矢量的概念以及刚体内各点的速度和加速度的矢积表达式。
2、熟练掌握如何计算定轴转动刚体的角速度和角加速度、刚体内各点的速度和加速度。
理论力学练习册及答案(南华版)
解：动点取曲柄OA上A点，
动系固连摇杆CB上，定系固连机架。
由速度合成定理 作速度平行四边形。
B点速度为：
由加速度合成定理 作加速度图。
取 方向投影，得：
B点加速度为：
7-4.半径为R的半圆形凸轮以匀速V0沿水平线向右平动，带动顶杆AB沿铅直方向运动，当OA与铅直线夹角为300时，求此时杆AB的速度和加速度。
解：动点取杆OA上A点，动系固连杆O1C上，定系固连机架。
由速度合成定理 作速度平行四边形。
由加速度合成定理 作加速度图。
取 方向投影，得：
再取动点杆O1C上C点，动系固连套筒B上，定系固连机架。
由速度合成定理 作速度平行四边形。
由加速度合成定理:
作加速度图。
取 方向投影，得：
取 方向投影，得：
第八章 刚体平面运动
分别取节点A、B为研究对象，受力如图
对于节点A： ，
(压)
对于节点B： , (压)
2-11.计算桁架中1、2、3杆的受力。
解：取I-I剖面右边部分为研究对象，受力如图。
,
(拉)
,
(压)
研究节点B: ，
(压)
第三章 空间力系
3-1.图示正立方体，各边长为a，四个力F1、F2、F3、F4大小皆等于F，如图所示，作用的相应的边上。求此力系简化的最终结果，并在图中画出。
8-7.四杆机构中，曲柄OA以匀角速度ω0=25 rad/s绕O轴转动，OA=50 cm，AB=100 cm，O1B= cm。求∠OAB=900时，B点的加速度，摇臂O1B的角速度和角加速度。
8-8.图示机构中，设当OA与水平线成450角的瞬时，曲柄OA有反时针方向的匀角速度ω＝25 rad/s，连杆AB水平，扇形板BD铅垂。求扇形板绕定轴D转动的角加速度ε。
动系固连摇杆CB上，定系固连机架。
由速度合成定理 作速度平行四边形。
B点速度为：
由加速度合成定理 作加速度图。
取 方向投影，得：
B点加速度为：
7-4.半径为R的半圆形凸轮以匀速V0沿水平线向右平动，带动顶杆AB沿铅直方向运动，当OA与铅直线夹角为300时，求此时杆AB的速度和加速度。
解：动点取杆OA上A点，动系固连杆O1C上，定系固连机架。
由速度合成定理 作速度平行四边形。
由加速度合成定理 作加速度图。
取 方向投影，得：
再取动点杆O1C上C点，动系固连套筒B上，定系固连机架。
由速度合成定理 作速度平行四边形。
由加速度合成定理:
作加速度图。
取 方向投影，得：
取 方向投影，得：
第八章 刚体平面运动
分别取节点A、B为研究对象，受力如图
对于节点A： ，
(压)
对于节点B： , (压)
2-11.计算桁架中1、2、3杆的受力。
解：取I-I剖面右边部分为研究对象，受力如图。
,
(拉)
,
(压)
研究节点B: ，
(压)
第三章 空间力系
3-1.图示正立方体，各边长为a，四个力F1、F2、F3、F4大小皆等于F，如图所示，作用的相应的边上。求此力系简化的最终结果，并在图中画出。
8-7.四杆机构中，曲柄OA以匀角速度ω0=25 rad/s绕O轴转动，OA=50 cm，AB=100 cm，O1B= cm。求∠OAB=900时，B点的加速度，摇臂O1B的角速度和角加速度。
8-8.图示机构中，设当OA与水平线成450角的瞬时，曲柄OA有反时针方向的匀角速度ω＝25 rad/s，连杆AB水平，扇形板BD铅垂。求扇形板绕定轴D转动的角加速度ε。
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at r sin R,
O
2014年3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学
切向加速度： 法向加速度：
an 2 R
24
• 与刚体固结的矢量对时间的导数 z
b
P2
【例】
试画出图中刚体上Ｍ¸Ｎ两点在图示位置时的速度和加 速度（O1A=O2B, O1O2=AB）。
b r2 r1 r2 r1
y
P1
r1
r2
O
r2 r1 b
v
v v
x
2014年3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学 25 2014年3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学
30
6
【例】
试画出图中刚体上Ｍ¸Ｎ两点在图示位置时的速度和加 速度（O1A=O2B, O1O2=AB）。
2014年3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学 39
8
相对运动
• • • • 相对运动：动点相对于动参考系的运动 相对轨迹：动点在相对运动中的轨迹 相对速度：动点在相对运动中的速度 相对加速度：动点在相对运动中的加速度
牵连运动
• • • • 牵连运动：动参考系相对于定参考系的运动（为刚体的某种运动） 牵 连 点：动参考系上与动点相重合的一点 牵连速度： 牵连点相对定参考系的速度 牵连加速度：牵连点相对定参考系的加速度
P
ωωk
2014年3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学
d d k k dt dt
23
r
v
●
r v r ( r ) an ( r ) at r ,
r (t )
o0
o
动系 O x y z
y
r ro
相对位矢
r0
x
y0
ρ xi y j z k
49
2014年3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学 44
2014年 0 3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学
x
定义绝对速度、绝对加速度
2014年3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学 4
1
运动学/刚体的基本运动和点的复合运动/刚体的平移和定轴转动
6.1.1 刚体的平移
• 平移刚体
2014年3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学 5
2014年3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学 6
运动学/刚体的基本运动和点的复合运动/刚体的平移和定轴转动
m。当板摆动时轻杆的转动规 π 律为 0 sin t ，试求当 4 t= 0和t =2s时，矩形板中点C 的速度和加速度。
【解】
矩形板作平移，板上所有点的速度加速度相同。 C的速度加速度与A相同。 用弧坐标，最低点O为起点，规定向右为正，A点的运动方程为：
C
s l 0 l sin
2014年3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学 18
运动学/刚体的基本运动和点的复合运动/刚体的平移和定轴转动
6.1.4 定轴转动刚体内点的速度和加速度 • 速度
、 , 对整个刚体而言都一样；
v、a 对刚体中某个点而言(各点都在垂直于转轴的平面上 做圆周运动)。
• 加速度
at dv d d ( R ) R R dt dt dt
2014年3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学 36
求重物相对地面的运动轨迹
绝对运动
• • • • 绝对运动：动点相对于定参考系的运动 绝对轨迹：动点在绝对运动中的轨迹 绝对速度：动点在绝对运动中的速度 绝对加速度：动点在绝对运动中的加速度
2014年3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学 37
刚体的基本运动和点的复合运动
• 6.1 刚体的平移和定轴转动 • 6.2 点在平移参考系中运动的合成 • 6.3 点在转动参考系中运动的合成
6.1.1 刚体的平移
• 平移的定义 刚体运动过程中，其上任意直线始终平 行于这一直线的初 始位置。 （刚体上只要有一条直线满足该条件即为平移）
2014年3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学 3
• 平移刚体
• 平移刚体上各点的速度、加速度关系
rA rA (t ) , rB rB (t ), rB rA rAB
dr d dr v B B ( rA rAB ) A v A dt dt dt
d 2 rB d2 d 2 rA aB ( rA rA B ) aA 2 d t2 dt d t2
2014年3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学 10
运动学/刚体的基本运动和点的复合运动/刚体的平移和定轴转动
运动学/刚体的基本运动和点的复合运动/刚体的平移和定轴转动
O1 O2
【例】
矩形板用两根等长的轻杆平
O1 O2
l
A O
（+）
l B C
行连接。轻杆长为 l ，单位为
l B
l A
O
（+）
20
理论力学CAI 刚体平面运动学
理论力学CAI 刚体平面运动学
5
• 角速度和角加速度的矢量表示
按右手定则规定方向。
• 刚体内点的速度和加速度的矢积表示
z
R
v r,
| v | r sin R
dv d( r ) d dr a r dt dt dt dt
角速度表征刚体转动的快慢 单位：弧度/秒 （rad/s） 工程中常用单位： n = 转/分(r / min) n与的关系为:
2014年3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学
单位:弧度/秒2（rad/s2）
2 n n n (rad/s ) 60 30 10
17
与 方向一致为加速转动, 与 方向相反为减速转动 。
2014年3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学 11 2014年3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学
π t 4
12
3
运动学/刚体的基本运动和点的复合运动/刚体的平移和定轴转动
A点的运动方程为：
s l 0 l sin
π t 4
O1
O2
O1
l B
t=2s
l
O A C
（+）
an
v2
( R ) 2 R R
2
v lim
t 0
S t
| a || an at | an 2 at 2 R 2 4
R
R
lim
2014年3月27日
t 0
R t
tan
2014年3月27日 19
at R an 2 R 2
50
o x y0
v r a, v , r
0 e
o0 x0
d d v r, dt dt
绝对速度
=
牵连速度
va ve vr
+
相对速度
2014年3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学
运动学/刚体的基本运动和点的复合运动/刚体的平移和定轴转动
6.1.2 刚体的定轴转动
• 定轴转动
刚体或其延拓部分上有一条直线始终不动，称为转轴 转轴不一定在物体上。
• 定轴转动的运动方程
= (t)---为刚体的运动方程 是代数量，正负号由右手螺旋
定则规定。
2014年3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学 15
(rad)
0
v (m/s)
π 0（水平向右） 4
at (m/s2) 0
π 0l 16
an (m/s2)
π2 2 0 l（铅直向上） 16
an
2014年3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学
v2 π2 2 π l 0 cos 2 t l 16 4
13
2
0
0
0
2014年3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学 14
绝对速度 牵连速度 相对速度
动系 O x y z
y
动系 O x y z
y
o x y0
o0 x0
d xi y j zk vr dt d x i y j z k ar dt
2014年3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学 2
刚体的基本运动 和点的复合运动
• 第五章 点的运动 • 第六章 刚体的基本运动和点的复合运动 • 第七章 刚体的平面运动
理论力学CAI 版权所有, 2000 (c) 上海交通大学工程力学系
运动学/刚体的基本运动和点的复合运动
运动学/刚体的基本运动和点的复合运动/刚体的平移和定轴转动
2014年3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学 16
4
运动学/刚体的基本运动和点的复合运动/刚体的平移和定轴转动
6.1.3 刚体的角速度和角加速度
• 角速度
• 角加速度
(t )
d dt d dt
= (t)
lim
Δt 0
Δ d Δt dt
定系 O0 x0 y0 z0 z0 P点的位置 P z
O
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切向加速度： 法向加速度：
an 2 R
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• 与刚体固结的矢量对时间的导数 z
b
P2
【例】
试画出图中刚体上Ｍ¸Ｎ两点在图示位置时的速度和加 速度（O1A=O2B, O1O2=AB）。
b r2 r1 r2 r1
y
P1
r1
r2
O
r2 r1 b
v
v v
x
2014年3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学 25 2014年3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学
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6
【例】
试画出图中刚体上Ｍ¸Ｎ两点在图示位置时的速度和加 速度（O1A=O2B, O1O2=AB）。
2014年3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学 39
8
相对运动
• • • • 相对运动：动点相对于动参考系的运动 相对轨迹：动点在相对运动中的轨迹 相对速度：动点在相对运动中的速度 相对加速度：动点在相对运动中的加速度
牵连运动
• • • • 牵连运动：动参考系相对于定参考系的运动（为刚体的某种运动） 牵 连 点：动参考系上与动点相重合的一点 牵连速度： 牵连点相对定参考系的速度 牵连加速度：牵连点相对定参考系的加速度
P
ωωk
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d d k k dt dt
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r
v
●
r v r ( r ) an ( r ) at r ,
r (t )
o0
o
动系 O x y z
y
r ro
相对位矢
r0
x
y0
ρ xi y j z k
49
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2014年 0 3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学
x
定义绝对速度、绝对加速度
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1
运动学/刚体的基本运动和点的复合运动/刚体的平移和定轴转动
6.1.1 刚体的平移
• 平移刚体
2014年3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学 5
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运动学/刚体的基本运动和点的复合运动/刚体的平移和定轴转动
m。当板摆动时轻杆的转动规 π 律为 0 sin t ，试求当 4 t= 0和t =2s时，矩形板中点C 的速度和加速度。
【解】
矩形板作平移，板上所有点的速度加速度相同。 C的速度加速度与A相同。 用弧坐标，最低点O为起点，规定向右为正，A点的运动方程为：
C
s l 0 l sin
2014年3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学 18
运动学/刚体的基本运动和点的复合运动/刚体的平移和定轴转动
6.1.4 定轴转动刚体内点的速度和加速度 • 速度
、 , 对整个刚体而言都一样；
v、a 对刚体中某个点而言(各点都在垂直于转轴的平面上 做圆周运动)。
• 加速度
at dv d d ( R ) R R dt dt dt
2014年3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学 36
求重物相对地面的运动轨迹
绝对运动
• • • • 绝对运动：动点相对于定参考系的运动 绝对轨迹：动点在绝对运动中的轨迹 绝对速度：动点在绝对运动中的速度 绝对加速度：动点在绝对运动中的加速度
2014年3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学 37
刚体的基本运动和点的复合运动
• 6.1 刚体的平移和定轴转动 • 6.2 点在平移参考系中运动的合成 • 6.3 点在转动参考系中运动的合成
6.1.1 刚体的平移
• 平移的定义 刚体运动过程中，其上任意直线始终平 行于这一直线的初 始位置。 （刚体上只要有一条直线满足该条件即为平移）
2014年3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学 3
• 平移刚体
• 平移刚体上各点的速度、加速度关系
rA rA (t ) , rB rB (t ), rB rA rAB
dr d dr v B B ( rA rAB ) A v A dt dt dt
d 2 rB d2 d 2 rA aB ( rA rA B ) aA 2 d t2 dt d t2
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运动学/刚体的基本运动和点的复合运动/刚体的平移和定轴转动
运动学/刚体的基本运动和点的复合运动/刚体的平移和定轴转动
O1 O2
【例】
矩形板用两根等长的轻杆平
O1 O2
l
A O
（+）
l B C
行连接。轻杆长为 l ，单位为
l B
l A
O
（+）
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• 角速度和角加速度的矢量表示
按右手定则规定方向。
• 刚体内点的速度和加速度的矢积表示
z
R
v r,
| v | r sin R
dv d( r ) d dr a r dt dt dt dt
角速度表征刚体转动的快慢 单位：弧度/秒 （rad/s） 工程中常用单位： n = 转/分(r / min) n与的关系为:
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单位:弧度/秒2（rad/s2）
2 n n n (rad/s ) 60 30 10
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与 方向一致为加速转动, 与 方向相反为减速转动 。
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π t 4
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运动学/刚体的基本运动和点的复合运动/刚体的平移和定轴转动
A点的运动方程为：
s l 0 l sin
π t 4
O1
O2
O1
l B
t=2s
l
O A C
（+）
an
v2
( R ) 2 R R
2
v lim
t 0
S t
| a || an at | an 2 at 2 R 2 4
R
R
lim
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t 0
R t
tan
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at R an 2 R 2
50
o x y0
v r a, v , r
0 e
o0 x0
d d v r, dt dt
绝对速度
=
牵连速度
va ve vr
+
相对速度
2014年3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学
运动学/刚体的基本运动和点的复合运动/刚体的平移和定轴转动
6.1.2 刚体的定轴转动
• 定轴转动
刚体或其延拓部分上有一条直线始终不动，称为转轴 转轴不一定在物体上。
• 定轴转动的运动方程
= (t)---为刚体的运动方程 是代数量，正负号由右手螺旋
定则规定。
2014年3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学 15
(rad)
0
v (m/s)
π 0（水平向右） 4
at (m/s2) 0
π 0l 16
an (m/s2)
π2 2 0 l（铅直向上） 16
an
2014年3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学
v2 π2 2 π l 0 cos 2 t l 16 4
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2
0
0
0
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绝对速度 牵连速度 相对速度
动系 O x y z
y
动系 O x y z
y
o x y0
o0 x0
d xi y j zk vr dt d x i y j z k ar dt
2014年3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学 2
刚体的基本运动 和点的复合运动
• 第五章 点的运动 • 第六章 刚体的基本运动和点的复合运动 • 第七章 刚体的平面运动
理论力学CAI 版权所有, 2000 (c) 上海交通大学工程力学系
运动学/刚体的基本运动和点的复合运动
运动学/刚体的基本运动和点的复合运动/刚体的平移和定轴转动
2014年3月27日 理论力学CAI 刚体平面运动学 16
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运动学/刚体的基本运动和点的复合运动/刚体的平移和定轴转动
6.1.3 刚体的角速度和角加速度
• 角速度
• 角加速度
(t )
d dt d dt
= (t)
lim
Δt 0
Δ d Δt dt
定系 O0 x0 y0 z0 z0 P点的位置 P z