工程力学第七章 刚体的基本运动

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第七章 刚体的基本运动
§7–1 刚体的平行移动 §7–2 刚体的定轴转动 §7–3 定轴转动刚体内各点的速度与加速度 §7–4 绕定轴转动刚体的传动问题
§7–5 角速度与角速度的矢量表示
点的速度与加速度的矢积表示
习题课
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第七章
[例]
刚体的基本运动
是指刚体的平行 移动和转动
基本运动
§7-1刚体的平行移动(平动)
a
dv d dw (wR) R R, dt dt dt
v 2 (wR ) 2 an Rw 2 R
|a全 ||an a | an 2 a 2 R 2 w 4
a R t g 2 2 an w R w
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结论: ① v方向与w 相同时为正 , R ,与 R 成正比。
d 2 rB d 2 d 2 rA 同理 :a B 2 2 ( rA rAB ) 2 a A dt dt dt
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得出结论:即 二.刚体平动的特点: 平动刚体在任一瞬时各点的运动轨迹形状,速度,加速度都一 样。 即:平动刚体的运动可以简化为一个点的运动。
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§7-2
刚体的定轴转动
v v0 1600 625 a 1 0.27m/s2 2s 92200 301000 25 481000 40 v0 m/s, v1 m/s 3600 3 3600 3
2 v ( 25 / 3 ) 0 列车走上曲线时， a 0.27m/s2 ,an 0 0.23m/s2 R 300 a 2 2 a0 a an 0 0.356m/s 2 , 0 tg 1 49 29 ' 全加速度 an 0 2 v (40/3) 2 1 2 0.593m/s2 列车将要离开曲线时， a 0.27m/s , an1 R 300 a 2 2 2 1 全加速度 a1 a an1 0.652m/s , 1 tg 24 34 ' an1 2
t
1 2 at 2
dv v v 0 t adt a 0 dt

a
a
2 a2 an a 2 a2 an
s 0 vdt
an an
v2 v2
v2

v C
v v0 a t
v v 0 0 a dt
t
s vt
s v0 t
t
1 a t 2 2
②重物B在3s内的行程； ③重物B在ｔ＝3s时的速度； ④滑轮边上C点在初瞬时的加速度； ⑤滑轮边上C点在ｔ＝3s时的加速度。
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解：① 因为绳子不可以伸长，所以有 aC a A 1m/s2 , aC 1 ）常数 2 rad/s2 （ R 0.5 vC 1.5 vC v A 1.5m/s, w0 3rad/s （ ） R 0.5 1 2 1 2 w0t t 33 23 18rad,n 2.86(转） 2 2 2 ② ③
一.刚体定轴转动的特征及其简化
特点:有一条不变的线称为转轴,其余各点都在垂直于转轴的平 面上做圆周运动。 二.转角和转动方程
---转角,单位弧度(rad) =f(t)---为转动方程
方向规定: 从z 轴正向看去,
逆时针为正 顺时针为负
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三.定轴转动的角速度和角加速度 1.角速度：
定义:
Δ d w lim Δ t 0 Δ t dt
wC rD ZD iCD w D rC ZC
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由于转速n与w 有如下关系：
w 2n
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w1 n1 成正比 w 2 n2
即:i1, 2
w1 n r z 主动轮 1 2 2 w2 n2 r1 z1 从动轮
显然当: | i1, 2 | 1 时, w2 w1 ,为升速转动； | i1,2 | 1 时, w2 w1 ,为降速转动。


n
⑤ t=3s 时，
aC a A 1m/s2 ,aC n Rw 2 0.59 2 40.5m/s2
31
2 gxA 29.85 v0 111 sin2 sin62
2
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将 31 代入③，得
v0 10.5m/s
〔例3〕已知：重物A的 a A 1m/s2 （常数）初瞬时速度 v0 1.5m/s 方向如图示。 R 0.5m, r 0.3m

求：
①滑轮3s内的转数；
i A,B iB ,C iC ,D iD ,E iE ,F iF ,G iG ,H
其中m代表外啮合的个数；负号表示最后一个轮转向与 第一个轮转向相反。
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§7-5 角速度和角加速度的矢量表示
点的速度和加速度的矢量表示
一. 角速度和角加速度的矢量表示 按右手定则规定
的方向。 w ，
大小 :|w || d | dt
方向如图w wk
dw dw k k
dt dt
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二 刚体内任一点的线速度和线加速度的矢积表示
v Rw rsin w |w r |w rsin Rw
w r v
dv d (w r ) dw dr a r w dt dt dt dt
v0 sin t g
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将上式代入①和②，得：
v0 2 sin2 v0 2 sin 2 xA ,yA 2g 2g

y A 1. 5 xA 5
t g
v0 2 sin2 2g v0 2 sin2 2g
sin 2 1 t g sin2 2
21.5 0.6, 5
2 2
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〔例2〕已知如图，求 ?,v0 ? 时正好射到A点且用力最小。
分析：只有在A点，vy＝0且为最大高度时，用力才最小。
解：由
x v0 cos t

1 y v0 sin t gt2 2
vy
dy v0 sin gt dt
由于在A点时，vy=0，所以上升到最大高度 A点时所用 时间为：
由于研究对象是刚体,所以运动中要考虑其本身形状和尺 寸大小,又由于刚体是几何形状不变体,所以研究它在空间的 3
位置就不必一个点一个点地确定,只要根据刚体的各种运动形 式,确定刚体内某一个有代表性的直线或平面的位置即可。
OB作定轴转动
CD作平动 AB、凸轮均作平动
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[例 ]
AB在运动中方向和大小始
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二.皮带轮系传动
v A v B (而不是 v A vB 方向不同 ) w r w ArA w B rB 皮带传动 i AB A B w B rA
三.链轮系:
设有： A,B,C,D,E,F,G,H 轮系,则总传动比为：
wA w A w B wC w D w E w F wG m i A,H ( 1) ( 1) m wH w B wC w D w E w F wG w H
vF vE v F v E
w F rF w E rE
定义齿轮传动比 iEF
w E rF Z F w F rE Z E
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2r 齿数Z t 2.外啮合
rF 2 rF /t Z F rE 2 rE /t Z E
vC vDvC vDwC rC w D rD
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二.解题步骤及注意问题
1.解题步骤:
①弄清题意,明确已知条件和所求的问题。 ②选好坐标系：直角坐标法，自然法。 ③根据已知条件进行微分，或积分运算。 对常见的特殊运动， ④用初始条件定积分常数。 可直接应用公式计算。 ２．注意问题： ①几何关系和运动方向。 ②求轨迹方程时要消去参数“t”。 ③坐标系（参考系）的选择。
与w方向一致为加速转动, 与w 方向相反为减速转动
3.匀速转动和匀变速转动 当w =常数,为匀速转动；当 =常数,为匀变速转动。
w w 0 t 1 2 与点的运动相类似。 常用公式 w 0 t t 2 2 w 2 2 w 0
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§7-3
转动刚体内各点的速度和加速度
②各点的全加速度方向与各点转动半径夹角 都一致,且 小于90o , 在同一瞬间的速度和加速度的分布图为:
各点速度分布图
各点加速度分布图
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§7-4
绕定轴转动刚体的传动问题
我们常见到在工程中,用一系列互相啮合的齿轮来实现变速, 它们变速的基本原理是什么呢? 一.齿轮传动 1.内啮合 因为是做纯滚动(即没有相对滑动)
dv v2 dt an
s 0 vdt
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刚体定轴转动 转动方程:
f (t )
w
d dt
角速度:
角加速度: 匀速转动:
dw d 2 2 dt dt
0 wt w w 0 t 匀变速运动: 2 w 2 2 1 2 w 0 0 w 0 t t 2

s r 0.3185.4m
w w0 t 3239 rad/s
vB rw 0.392.7m/s

（
），
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பைடு நூலகம்
④
t = 0 时，
aC a A 1m/s2 , aC n Rw 0 2 0.532 4.5m/s2
aC (aC ) 2 (aC ) 2 12 4.52 4.61 m/s2 a 1 tg C n 0.222, 12.5 aC 4.5
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三.例题 [例1]列车在R=300m的曲线上匀变速行驶。轨道上曲线部分长 l=200m，当列车开始走上曲线时的速度v0=30km/h，而将要离开
曲线轨道时的速度是v1＝48km/h。
求列车走上曲线与将要离开曲线时的加速度？
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