(完整版)第五章刚体的运动
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大学物理 第5章刚体定轴转动
赵 承 均
转动平面 某质点所在的圆周平面，称为转动平面。
参考线
转心 矢径
转动平面内任一过转轴的直线，如选 x 轴。
某质点所在的轨迹圆的圆心，称为转心。 某质点对其转心的位矢，称为该质点的矢径。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
显然：转动刚体内所有点有相同的角量，故用角量描述刚体 的转动更方便，只需确定转动平面内任一点的角量即可。 1.角坐标— 描写刚体转动位臵的物理量。 角坐标 转动平面内刚体上任一点 P 到转轴 O 点的连线与 参考线间的夹角 。
赵 承 均
第二类问题：已知J和力矩M：求出运动情况和 b及 F 。
第三类问题：已知运动情况和力矩M，求刚体转动惯量 J 。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
第一类问题：已知运动情况和 J ，确定运动学和动力学的联 系 例 ：长为 l,质量为 m 的细杆，初始时的角速 度为 ωo ，由于细杆与 桌面的摩擦，经过时间 t 后杆静止，求摩擦力 矩 Mf 。
Fi cos i Fi cos i mi ain mi ri 2 法向：
e i
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
由于法向力的作用线穿过转轴，其力矩为零。可在切向 方程两边乘以 ri ，得到：
Fi e ri sin i Fi i r i sin i mi ri 2
4.角加速度— 描写角速度变化快慢和方向的物理量。 ⑴ 平均角加速度 t
即：刚体的角速度变化与发生变化所用的时间之比。
赵 承 均
⑵ 角加速度 ①用平均角加速度代替变化的角加速度； ②令 t 0 取极限；
d d lim 2 t 0 t dt dt
5-刚体的定轴转动
L1 L2
刚体定轴转动的角动量 L=?
z
v
ri mi
O
刚体 定轴
L Li mirivi
m iri(ri) ( miri2)
J M=0的原因，可能
1）F＝0（不受外力） 2）外力作用于转轴上 3）外力作用线通过转轴
4）外力作用线与转轴平行
刚体定轴转动的角动量守恒
L1 L2
J11J22
位置，求它由此下摆角时的角速度。
解：如图建立坐标
x
杆受到的重力矩为：
O
M ＝ gxd g m xdm
X
dm
据质心x定 d＝ m 义 mCx MmgxC
xc
1l 2
cos
M1mgclos
2
dmg
MJJdJ d d J d M dJd
dt d dt d
0 1 2mc go lds 0 Jd
mglsin
端点 o 且与桌面垂直的固定光滑轴转动,另有 一水平运动的质量 m2为的小滑块,从侧面垂直 与杆的另一端 A 相碰撞,设碰撞时间极短,已知 小滑块在碰撞前后的速度分别为 v1 和 v2 ,方 向如图所示,求碰撞后从细杆开始转动到停止 转动过程所需时间,（已知杆绕点 o 的转动惯 量 J= ml2/ 3 )
dLR J2J0m0d2 其中 Jo 12moR2
J J1J2 1 3m LL 21 2m oR 2m o(LR )2
2.对薄平板刚体的正交轴定理
z
Jz miri2
yi
xi
ri
y
m i(x2y2) m ix 2 m iy 2
x
Δmi
Jz JxJy
z
应用
例：已知圆盘
大学物理第5章刚体的定轴转动
d ctdt
对上式两边积分得
d c td t
0 0
t
1 2 ct 2
2 2 600π π 3 rad s 由给定条件， c 2 t 300 2 75
d π 2 由角速度的定义，则任意 t 时刻的角速度可写为： d t 150
得到： 转子转数：
A M d E K
a b
动能定理
动量定理
A F ds E K
动能定理 角动量定理 角动量 守恒
t 0Fdt P
t
动量守恒
F 0, P 0
t 0 M z dt Lz
t
M 0, L 0
§5.1 刚体、刚体运动
一、一般运动 二、刚体的定轴转动 三、解决刚体动力学问题的一般方法
基本方法： 加
质点系运动定理 刚体特性 平动：动量定理
刚体定轴转动的 动能定理 角动量定理
F mac
可以解决刚体的一般运动（平动加转动）
一、一般运动
1. 刚体 特殊的质点系， 形状和体积不变化 —— 理想化模型 在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变 2. 自由度 确定物体的位置所需要的独立坐标数 —— 物体的自由度数 z
刚体平面运动可看做刚体的平动与定轴转动的合成。 例如：车轮的滚动可以看成车轮随轮 轴的平动与绕轮轴的转动的组合。 描述刚体平面运动的自由度：3个
定点转动 刚体运动时，刚体上的一点固定不动，刚体绕过定点的一 瞬时转轴的转动，称作定点转动。
描述定点转动的自由度：3个
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
z
描述刚体绕定轴转动的角量： 角坐标
大学物理学——刚体的转动PPT课件
mg
2 3
L cos
Mg
1 2
L cos
arccos(1 3v02 ) 64gL
[思考]
上式对v0值有何限制?
例5-12
圆盘质量M,半径R,J=MR2/2,转轴光滑,人的质量m,开始时，两者静止． 求：人在盘上沿边缘走过一周时，盘对地面转过的角度．
解：
在走动过程中,人－盘系统 L=Const.
解：
d d(at bt 3 ct 4 )
dt
dt
a 3bt 2 4ct 3
d d (a 3bt 2 4ct 3 )
dt dt
6bt 12ct 2
Note:
角速度的矢量表示法：
大小：
方向：//转轴, 符合右手螺旋
r v Ｏr
线速度：
v
r
验证：
大小：
r 方向：
4
F1
an at
F1
4
法向：
F2
mg
sin man 5mg sin
3mg sin
2
F2
2
F
F12 F22
mg 4
99 sin 2 1 (方向?)
§5.5 转动中的功和能 (Rotational Work and Energy)
1.力矩的功
F
Ft
d
dr r
(垂直于转轴的截面)
O
mv
①这里v是质点速度在垂直于转轴的平面内的分量值.
②L有正负,取决于转动正方向的选取.
2.刚体对固定轴的角动量
ri
mi vi
3.定轴转动的角动量定理
L miviri miri2
J
⑴微分形式：
大学物理 第五章.
时，
刚体定轴转动的 角动量守恒定律
35
§5.4 刚体的角动量定理及守恒定律
例5.6：如图，质量为M，半径为R的转台，可绕通过中心竖直轴
转动，阻力忽略不计，质量为m的人站在台的边缘，人和台原来都 静止，如果人沿转台的边缘绕行了一周，问相对地面转台转过了多 少角度？
解：把人和转台看做一个系统
系统的角动量守恒 规定：逆时针转动为正方向，以 地面为参考系。 设人的角速度为ω，转台的角速度为Ω。
或
A = ∫ Mdθ = Mθ
42
例5.9：一质量为m，长为 l的匀质杆，两端用绳悬挂杆处于水平 状态，现突然将杆右端的悬线剪断，求(1)此瞬间另一根绳受到 的张力 ;(2)剪断绳子之后任一时刻杆的角速度 ω与转过角度 θ之 间的关系。 解： （1）首先考虑杆绕O点的的转动 根据转动定律： T O
匀变速运动
6
§5.1 刚体及其定轴转动描述
例5.1：一汽车发动机的转速在5s内由200r（转）/min均匀地增加 到3000r（转）/min。（1）求在这段时间内的初角速度、末角速 度和角加速度；（2）求这段时间内转过的角度；（3）发动机轴 上装有一半径为R=0.15m的飞轮，求轮边缘上一点在这第5s末的 切向加速度、法向加速度和总加速度。
24
§5.3 刚体转动的功和能
回顾： 质点 质量 牛顿运动定律
M = Jβ
刚体 转动惯量 转动定律
力做功
力矩做功
25
§5.3 刚体转动的功和能
一、力矩的功
轴
dθ dr α r
α
F 在转动平面内
ω
元功： dA = F • dr = F dr cos α = F ( rdθ ) cos α F ( r cos α )dθ = Mdθ
第5章 刚体定轴转动.
J过一端垂直于杆 13m L2
圆环： J对称轴mR2
圆盘：
J对称轴
1 2
mR2
薄球壳：
J直径
2 3
mR2
球体：
J 直径
2 5
mR2
例: 如图所示，刚体对经过
棒端且与棒垂直的轴的转动
mL
惯量如何计算？(棒长为L ,
球半径为R）
mO
刚体的转动定律
力矩质点系的角动量改变 任意质点系的角动量定理：
M
轴向总力矩： M z M iz riF isin i
i
i
§5-4 转动定Biblioteka 的应用规范的解题思路：认物体
分析题意，确定哪些物体是刚体， 哪些是质点，及其与问题关系。
看运动
分析刚体的转动和质点运动情况，
找出相关的线量( v,a ) 和角量(,)，
确定它们之间的关系。
查受力
画隔离体受力分析图，确定对刚体 有力矩贡献的力和质点的受力及其关系。
列方程
选择坐标系和角量的参考方向，对 刚体列出转动定律方程，对质点列出牛 顿定律方程，并列出角量与线量的关系， 再求解。
[例]一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴O以
角速度ω按图示方向转动.若如图所示的情况那样， F
将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力F沿
F
O
盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度 [
时刻=0 ，代入方程= 0+at 得
0
O
an r
v
a
at
a0 50rad/2s
t
50
3.14rad/2s
从开始制动到静止，飞轮的角位移及转数N分别为
00t1 2a2t505 01 2520 125ra0d
《刚体的运动》课件
约束的类型与特点
● 约束类型：固定约束、滑动约束、柔性约束 ● 约束特点：限制刚体运动方向、限制刚体运动范围、影响刚体运动状态 约束的类型与特点
• 约束的类型与特点 ● 固定约束：限制刚体在某一方向的移动，使刚体在空间保持相对位置不变。 ● 滑动约束：允许刚体在某一方向上移动，但限制其转动。 ● 柔性约束：通过弹性元件限制刚体的运动，具有非线性特性。 约束的类型与特点
自由度与约束的关系
自由度的定义：刚体在空间中的自由程度，由其质心位置和转动轴决定。
约束的类型：固定约束、滑动约束、柔性约束等，对刚体的自由度产生限制。
自由度与约束的关系：刚体受到约束后，其自由度会相应减少，但仍保持其整体运动状态。
实际应用：在机械设计、航空航天等领域，需要合理考虑刚体的自由度与约束关系，以确保 系统的稳定性和性能。
刚体的平面运动 可以分解为平移 和绕某点的转动
平面运动中，刚 体的形状和大小 保持不变
平面运动中，刚 体的重心轨迹是 平面曲线
平面运动的特点
刚体平面运动定义
刚体平面运动分类
刚体平面运动性质
刚体平面运动实例
平面运动的合成与分解
平面运动的定义与分类 平面运动的合成：矢量法与解析法 平面运动的分解：定轴转动与平移 平面运动的应用实例
定轴转动的特点
刚体绕某一轴线 转动
转动轴固定不动
刚体上任意一点 到转动轴的距离 相等
刚体上任意两点 间的连线在转动 过程中保持不变
定轴转动的角速度和角加速度
角速度定义：刚 体绕定轴转动的 角速度是单位时 间内转过的弧度 （或角度）
角加速度定义： 刚体绕定轴转动 的角加速度是单 位时间内转过的 弧度/秒^2（或 角度/秒^2）
[理学]第5章 刚体的定轴转动_OK
J 2
x 2dm l x2dx 1 ml 2
0
3
o
dx
dm
17 x
图(2)
记住几个典型的转动惯量：
*圆环（通过中心轴）………………… J = mR2
*圆盘、圆柱（通过中心轴）………… J 1 mR2 2
*细棒（端点垂直轴）…………………J A
1 3
m L2
*细棒（质心垂直轴）…………………J c
滑轮的角速度．
解：两重物加速度大小a相同，滑轮角加速度为
隔离物体分析力方向如图
由牛顿第二定律： m1g－T1＝m1a T2－m2g＝m2a
转动定律： (T1－T2)r＝Jb 且有： a＝rb
T1 T1 a m1 m1g
r T2
m2 T2 a
m2g
解方程组得：
m1 m2 gr m1 m2 r 2 J
转动平面: 取垂直于转轴 的平面为参考系, 称转动平面。,
转轴
Z 转动方向
vi
Δmi
转动平面
P
o θ
x
op r
2.定轴转动的角量描述
1.角位置θ
6
2.角位移
3.角速度: d 角速度是矢量 。dt
单位：rad/s
Zω 转动方向
v
方向与转动方向成 右手螺旋法则。
P点线速度 v r
Ｐ
o θ 转动平面 op r
第五章 刚体的定轴转动
转轴
1
一、力矩
复习
M rF
1. 大小：M = rFsinθ
2.方向：由右手螺旋定则确定。
Z F// F
O r F⊥ p
注意：上式中F指的是与转轴垂直平面(转动平面)上的力，
第五章 刚体的定轴转动
单位: 单位:rad / s 角速度
刚体定轴转动
ω
v 的方向按右手螺旋法则确定. 的方向按右手螺旋法则确定.
在定轴转动中, 在定轴转动中,角速度的方向 沿转轴方向. 沿转轴方向.
角加速度α 角加速度
v ω
2
ω dω d θ = = 2 α = lim t →0 t dt dt
单位: 单位:rad /s 2 角加速度也是矢量, 角加速度也是矢量,方向与角速度增量 的极限方向相同,在定轴转动中, 与 同向 的极限方向相同,在定轴转动中,α与ω同向 或反向. 或反向. 刚体的转动其转轴是可以改变的, 刚体的转动其转轴是可以改变的,为反映瞬时轴的方 向及其变化情况,引入角速度矢量和角加速度矢量. 向及其变化情况,引入角速度矢量和角加速度矢量. 注意 退化为代数量. :定轴转动时, ω,α退化为代数量. 定轴转动时, 退化为代数量
刚体的一般运动都可认为是平动和转动的结合. 刚体的一般运动都可认为是平动和转动的结合.
1. 用角量描述转动 (1) 角位移 θ : ) 时间内刚体转动角度. 在 t 时间内刚体转动角度. 单位: 单位:rad (2)角速度 ω : )
z θ
B A
θ dθ ω = lim = t →0 t dt
●
r2
转动惯量的定义: 转动惯量的定义:
J = ∑mi ri
2
对质量连续分布的刚体, 对质量连续分布的刚体,上式可写成积分形式
J = ∫ r dm
2
dm—质元的质量 质元的质量 r—质元到转轴的距离 质元到转轴的距离
线分布 dm = λdx 面分布 dm = σds 体分布 dm = ρdV
λ 是质量的线密度
F iz
ri = roi sinθ
刚体定轴转动
ω
v 的方向按右手螺旋法则确定. 的方向按右手螺旋法则确定.
在定轴转动中, 在定轴转动中,角速度的方向 沿转轴方向. 沿转轴方向.
角加速度α 角加速度
v ω
2
ω dω d θ = = 2 α = lim t →0 t dt dt
单位: 单位:rad /s 2 角加速度也是矢量, 角加速度也是矢量,方向与角速度增量 的极限方向相同,在定轴转动中, 与 同向 的极限方向相同,在定轴转动中,α与ω同向 或反向. 或反向. 刚体的转动其转轴是可以改变的, 刚体的转动其转轴是可以改变的,为反映瞬时轴的方 向及其变化情况,引入角速度矢量和角加速度矢量. 向及其变化情况,引入角速度矢量和角加速度矢量. 注意 退化为代数量. :定轴转动时, ω,α退化为代数量. 定轴转动时, 退化为代数量
刚体的一般运动都可认为是平动和转动的结合. 刚体的一般运动都可认为是平动和转动的结合.
1. 用角量描述转动 (1) 角位移 θ : ) 时间内刚体转动角度. 在 t 时间内刚体转动角度. 单位: 单位:rad (2)角速度 ω : )
z θ
B A
θ dθ ω = lim = t →0 t dt
●
r2
转动惯量的定义: 转动惯量的定义:
J = ∑mi ri
2
对质量连续分布的刚体, 对质量连续分布的刚体,上式可写成积分形式
J = ∫ r dm
2
dm—质元的质量 质元的质量 r—质元到转轴的距离 质元到转轴的距离
线分布 dm = λdx 面分布 dm = σds 体分布 dm = ρdV
λ 是质量的线密度
F iz
ri = roi sinθ
第5章 刚体的定轴转动
m J 1 mR 2 2 2 pR l
可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的 转动惯量也是mR2/2。
例3、求质量为m,长为L的均匀细棒对下面三 种转轴的转动惯量： 转轴通过棒的中心O并与棒垂直
转轴通过棒的一端B并与棒垂直 转轴通过棒上距质心为h的一点A并与棒垂直 A h
如图建立坐标，以物体初始位置为势能零 点。根据机械能守恒：
y
1 J w 2 1 mv2 mg h 0 2 2
滑轮转动动能 物体动能
物体势能
mg
O
1 MR2 , w v 代入可解得: 将J 2 R
物体的速度：
滑轮角速度：
4mgh v 2m M
v 4mgh R w 2m M R
力矩的功反映力矩对空间的积累作用，力矩越大，在 空间转过的角度越大，作的功就越大。这种力矩对空 间的积累作用的规律是什么呢？
2、定轴转动的动能定理
质点系动能定理 A外 A EKB EKA 也适用于刚体。 内 由于刚体内质点的间距不变，一切内力作的功都为零。 而对于定轴转动而言，外力作的功总表现为外力矩作 的功，故有： 1 2 1 2
dA Md
力对转动刚体作的元功 等于相应的力矩和角位 移的乘积。
在一微小过程中 力矩作的功
dA Md (1)
在考虑一个有限过程，设 在力矩作用下，刚体的角 位置由 1 2 则力矩的 功：
2 1
X X
1
w2 w1
O
2
M
M
A dA Md (2)
B
O质
B
A
h L
O质
dm
X
x
dx
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3.一般运动可分解为两种刚体的基本运动：
随基点O（可任选）的平动； 绕通过基点O 的瞬时轴的定点转动。
三、定轴转动的刚体特点 1.刚体上所有质元都在作半径不等的圆周运动；
2.各圆周轨道均垂直与转轴，称：转动平面；圆 心即为转心。 3.各质元作圆周运动的线量各不相同，角量相同。
转向
ωv
r •P r
2 mR2 3
求：质量为m半径为R的匀质球体绕过球心 轴的转动惯量
解:把球体看作无数个同心薄球壳的组合
dm
m
4 R3
4r2dr
3m R3
r 2 dr
3
M
R
J
dJ
2r 2 dm 3
2m R r4dr 2 mR2
R3 0
5
*刚体定轴转动的转动定律的应用：
M外
J
J
d
dt
基本方法和步骤： 1.分析物体受力，确定外力矩； 2.利用转动定律写出运动微分方程； 3. 根据初始条件解方程，求未知量。
滑轮质量为mc ，半径为R，不计桌面和轮轴摩
擦力。求：⑴两物体的加速度和绳的张力；
⑵物体B从静止落下距离y时，其速率为多少？
mA
mC
mB
N
解：分别对物体和滑轮进
mA
T T1 1
FC 行受力分析，如图
mA g
mc g T2
物体A
T1 mAa
T2
物体 B
mB
mB g T2 mBa
mB g 对定滑轮C
OR
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解：I R2dm R2 dm mR2
dm
例题求:长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴
的转动惯量。
A L
解：取如图坐标 dm dx
B
X
JA
L x2dx 1 mL2
0
3
A
C
L/2
B L/2 X
JC
L
2 L
2
x2dx
1 12
mL2
例题：质量为m，半径为R，厚度为h，均匀圆
盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。
一、刚体
5-1 刚体的基本运动
t
F
ABC
t +t 才 感受到力
在任何情况下物体的形状和大小都不会变化，因 而可以瞬时传递力。
即：质元间保持不变的质点系，称“不变质点 系” 。刚体是个理想化的模型。
二、刚体的运动形式
1.平动
A
*刚体上所有质元都 沿平行路径运动,各个 A B C
时刻的相对位置都彼
此固定。
F
· F • r • O
或：M r F
2.力偶矩
z
二、转动定律
对质元i
o r
vi
F外i
F内i
mi
dvi dt
mi
F外i F内i mia miri
对刚体（质点系）： F外iri F内iri ( miri2)
令：Jz miri2
i
Mz
Jz
Jz
d
dt
--刚体定轴转动的微分方程
三、转动惯量
刚体基点O×
瞬时轴
四、角速度矢量
1.角速度矢量 的规定： 大小 d
dt
方向：沿瞬时轴，与转向成 右螺旋关系。
2.线速度与角速度的关系：
v r r
5-2 力矩 转动定律
一、力矩
1.力对定点O 的力矩
M
· O r0 r •mF
M
M rF
M rF sin r0F
其中：r0 r sin 称力臂
例1.如图,细杆长l, 质量m , 静止在竖直位置，
求转到角时的角加速度和角速度.
解:细杆受力如图, N 对转轴O的力矩为零.
由转动定律
=Iβ=(ml2/3)β
MG =(mglsinθ)/2
β=3gsinθ/(2l)
β=dω/dt =(dω/dθ)(dθ/dt) =ωdω/dθ
ωdω=βdθ =[3gsinθ/(2l)]dθ
RT2
RT1
1 2
MR2
又 aR
联立方程，可得
a
mB
g
mA
mB
1 2
mC
T1
mA
mAmB
mB
1 2
mC
g
T2
(mA
1 2
1.刚体对Z轴的转动惯量
若质量离散分布:
J z miri2
i
若质量连续分布:
Jz r2dm
z
xi x
yi
ri
y
mi
*转动惯量仅取决于刚体本身的性质，即:与刚体 的形状、大小、质量分布以及转轴的位置有关。 反映刚体转动惯性的量度。
②平行轴定理：
J Jc md 2
z
C ri
y
x
mi
d
例1：质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯 量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。
m1
T2 a T2
m2
m2g
M T1
T m11 a
m1g
解：分别对物体和滑轮进行 受力分析，如图
对m1
m1g T1 m1a
对m2
T2 m2 g m2a
对定滑轮
rT1
rT2
1 2
Mr 2
且有
a r
联立方程，可得
(m1 m2 )g
(m1
m2
M 2
)r
a (m1 m2 )g
m1
ω
θ
0ωdω= [03gsinθ/(2l)]dθ
θ p
ω=[3g(1–cosθ)/l]1/2
ON
例题一根轻绳跨过一个半径为r，质量为M的定 滑轮，绳的两端分别系有质量为m1和m2的物体 ， 如图所示。假设绳不能伸长，并忽略轴的摩擦， 绳与滑轮也无相对滑动。求：定滑轮转动的角 加速度和绳的张力。
M
m2
解：取高度为h，半径为r，宽
dr
为dr的薄圆环；圆盘的质量体密
r
R
度为
m R2h
dm 2 rhdr
dJ r2dm ρ 2πhr3dr
J dJ R ρ 2πhr3dr 1 ρπhR4 1 mR2
0
2
2
求:内半径为R1，外半径为R2，厚度为h，质量
为m的匀质中空圆柱绕其对称轴的转动惯量
B
C
A
B
C
*可用质心或任一点的运动来代表刚体的运动。 *平动是刚体的基本运动形式之一。
2.转动 *转动也是刚体的基本运动形 式之一，可分为定轴转动和 定点转动。
①定轴转动：运动中各质元均 做圆周运动，且各圆心都在同 一条固定的直线（转轴）上。
②定点转动：运动中刚体上只 有一点固定不动，整个刚体绕 过该定点的某一瞬时轴线转动。
m2
M 2
T1
(2m1m2 m1
m1 m2
M
2 M
2
)g
T2
(2m1m2 m1
m2 m2
M
2 M
2
)g
刚体定轴转动的转动定律
M外 J
滑轮刚体相关问题的求解步骤： 1.分析物体受力，确定外力矩； 2.列出转动定律和牛顿定律方程； 3.列出线量和角量之间的关系式； 4.求解联立方程。
例题 图示物体质量分别为mA 和mB ，圆柱形
o
R2
R1
r
dm m 2 rdr (R22 R12 )
o J
m
R2
r2 2 rdr
(R22 R12 ) R1
1 2
m(R22
R12
)
求：质量为m半径为R的匀质薄球壳绕过中心 轴的转动惯量
解:在球面取一圆环带，半径 r R sin
dm
m
4 R2
2
rRd
R sin
d
J r2dm
2 2 mR2 sin3 d 0