第6章 刚体的简单运动
理论力学6—刚体的基本运动
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的速度和加速度
1、角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
dj
ww
dt
大小
角速度矢沿轴线，弯向表示刚体转动的方向。
指向用右手螺旋法则。
w wk
角加速度矢量
dw dw
k k
dt
dt
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的速度和加速度
2
例6-6
某定轴转动刚体通过点M0（2，1，3），其角速度矢w 的方向
余弦为0.6，0.48，0.64，角速度 的大小ω=25rad/s 。求：刚体上点
M（10，7，11）的速度矢。
解：角速度矢量
w wn
其中 n （0.6，0.48，0.64）
M点相对于转轴上一点M0的矢径
r rM rM0 10,7,11 2,1,3 8,6,8
Z2=60，Z3=12，Z4=70。(a)求减速箱的总减速比i13 ；(b)如
果n1=3000r/min，求n3.
1
n1
2
n2
3
n3
4
解：求传动比：
n1 n1 n2 Z 2 Z 4
i13
34.8
n3 n2 n3 Z1 Z 3
则有：
n1 3000
n3
86r / min
i13
4 rad
dw dw d
dw
w
dt
d dt
d
dw
w
0.2
d
解：
w
w wdw
0
理论力学刚体运动
Ek ( t ) Ek ( t0 ) A外
§6.2 作用在刚体上的力系 一、力系
1、定义：同时作用在一个刚体的一组力称为力系。
2、分类： ①共面力系：所有的力位于同一平面内。 a) 共点力系（汇交力系）：所有力的作用线交 于一点的力系。 b) 平行力系：所有力互相平行或反平行。 ②异面力系：力的作用线不在一个平面内。
二、力系等效
1、等效力系的定义 如果在两个力系作用下，刚体的运动相同，则这 两个力系互为等效力系。
2、力系的等效条件：
F1i F2 j
r1i F1i r1 j F1 j
i j
i
j
3、零力系：力系力的矢量和为零，对固定参考点 的力矩和为零的力系。 说明：①所有的零力系都等效 ②任何力系加上零力系后与原力系等效 ③最简单的零力系是一对平衡力组成的力系
2
角动量定理： dL dt
M外
2、平衡条件： Fi 0,
i
且 Mi 0
i
(对任一定点成立)
例 质量为 m ，长为 a 的匀质杆 AB 由系于两端长是 a 的线悬于 O 点，在 B 端挂质量为 m 的重物。求平衡 时杆与水平方向的夹角θ及每根线中的张力 TA 和 TB 。
2、异面力系： 等效于一个单力与一个力偶
z -F3 A F1
F F3
O
x
B F2
y
§6.3 刚体的平衡
刚体运动 平动： 直线平动、曲线平动
转动： 定轴转动、一般转动 平动：运动过程中刚体任一直线的方向保持不变。
转动：刚体上一直线相对参考系的角度发生变化。
O
刚体的一般运动(n=6)
O
刚体简单运动(23题)
刚体简单运动（23题）一、是非题（正确用√，错误用×，填入括号内。
）1. 定轴转动刚体上与转动轴平行的任一直线上的各点加速度的大小相等，而且方向也相同。
（ √ ）2. 刚体作平动时，其上各点的轨迹可以是直线，可以是平面曲线，也可以是空间曲线。
（ √ ）3. 刚体作定轴转动时，垂直于转动轴的同一直线上的各点，不但速度的方向相同而且其加速度的方向也相同。
（ √ ）4. 两个作定轴转动的刚体，若其角加速度始终相等，则其转动方程相同。
（ × ）5. 刚体平动时，若刚体上任一点的运动已知，则其它各点的运动随之确定。
（ √ ）6. 如果刚体上各点的轨迹都是圆，则该刚体一定作定轴转动。
（ × ）7. 刚体的平动和定轴转动都是刚体平面运动的特殊情形。
（ × ）8. 刚体绕定轴转动时，下列说法是否正确：（1）当转角ϕ >0时，角速度ω为正。
(×)（2）当角速度0>ω时，角加速度为正。
(×)（3）当ϕ >0，0>ω时，必有ϕ >0。
(×)（4）当ϕ>0时为加速转动， ϕ >0时为减速转动。
(×)（5）当ϕ与ω同号时为加速转动， 当α与ω异号时为减速转动。
(√)9. 刚体绕定轴OZ 转动，其上任一点M 的矢径、速度和加速度分别为a a a v OM 、、、、τn ，问下述说法是否正确：（1） n a 必沿OM 指向O 点。
(×)（2） τa 必垂直于矢径OM 。
(√)（3） a 方向同OM ，指向可与OM 同向或反向。
(×)（4） v 必垂直于OM 、a 与n a 。
(√)二、单选题10. 在图示机构中，杆B O A O 21//，杆D O C O 32//，且201=A O cm ，402=C O cm,CM=MD =30cm, 若杆1AO 以角速度ω=3rad/s 匀速转动，则D 点的速度的大小为____B_____cm ，M 点的加速度的大小为____D_____。
理论力学习题答案
理论力学习题答案(总26页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2第一章 静力学公理和物体的受力分析一、是非判断题在任何情况下，体内任意两点距离保持不变的物体称为刚体。
( ∨ ) 物体在两个力作用下平衡的必要与充分条件是这两个力大小相等、方向相反，沿同一直线。
( × ) 加减平衡力系公理不但适用于刚体，而且也适用于变形体。
( × ) 力的可传性只适用于刚体，不适用于变形体。
( ∨ ) 两点受力的构件都是二力杆。
( × ) 只要作用于刚体上的三个力汇交于一点，该刚体一定平衡。
( × ) 力的平行四边形法则只适用于刚体。
( × ) 凡矢量都可以应用平行四边形法则合成。
( ∨ ) 只要物体平衡，都能应用加减平衡力系公理。
( × ) 凡是平衡力系，它的作用效果都等于零。
( × ) 合力总是比分力大。
( × ) 只要两个力大小相等，方向相同，则它们对物体的作用效果相同。
( × )若物体相对于地面保持静止或匀速直线运动状态，则物体处于平衡。
( ∨ )当软绳受两个等值反向的压力时，可以平衡。
( × )静力学公理中，二力平衡公理和加减平衡力系公理适用于刚体。
( ∨ )静力学公理中，作用力与反作用力公理和力的平行四边形公理适用于任何物体。
( ∨ )凡是两端用铰链连接的直杆都是二力杆。
( × )如图所示三铰拱，受力F ，F 1作用，其中F 作用于铰C 的销子上，则AC 、BC 构件都不是二力构件。
( × )图3二、填空题力对物体的作用效应一般分为 外 效应和 内 效应。
对非自由体的运动所预加的限制条件称为 约束 ；约束力的方向总是与约束所能阻止的物体的运动趋势的方向 相反 ；约束力由 主动 力引起，且随 主动 力的改变而改变。
第六章 第一节 刚体的平动
刚体的平动
点的运动
①刚体质心(动力学) ②与其它构件的连接点 (运动学)
例(P133例6-1)荡木用两根等长的绳索平行吊起。已知O1O2=AB， 绳索长O1A=O2B=l，摆动规律为 j ＝ j0sin(pt/4)。试求当t=0和 t=2s时，荡木中点M的速度和加速度。 O1
O2
vs
π lj 0 π cos t 4 4
j
s
(╋ ) A
π 2 lj 0 π a v sin t 16 4
M
B
O'
2 v 2 π 2 lj 0 2 π an cos t l 16 4
v2
解(1)运动分析：荡木作平动 vM= vA aM= aA 只需分析点A的运动 (2)点A的运动方程为 s = lj＝lj0sin(pt/4) 点A的速度、加速度为
第六章 刚体的基本运动
刚体的运动：平动、定轴转动、平面运动、定点运动和一般 运动。 本章研究：刚体的平动和定轴转动。 工程中最常见、最简单的运动，也是研究刚体复杂运动的 基础。 ① 整个刚体的运动。 ② 整个刚体平动
一、定义：刚体运动时，若其上任一直线始终保持与它的初 始位置平行（方向永不改变），则称刚体作平行移动，简称 为平动或移动。 刚体平动时，其上各点的轨迹如为直线，则称为直线平动； 如为曲线，则称为曲线平动。
工程实例： 沿直线轨道行驶的火车车厢的运动
A
B 内燃机汽缸中的活塞 振动筛筛体的运动 —————————曲线平动
. 直线平动
二、特点：刚体平动时，其上各点的轨迹形状相同；同一瞬 时，各点的速度相等，加速度也相等。 ［证明］ A1 rA= rB+ BA A2 刚体平动，BA=常矢量。 A 因此,A、B两点的轨迹曲线 的形状完全相同。 求导: BA rA vA = vB B1 B2 aA= aB B rB [证毕] O 三、研究方法：
(完整版)第六章-刚体的简单运动
§6-2 刚体绕定轴的转动
刚体在运动时，其上有两点保持不动，则这种运 动称为刚体绕定轴的转动，简称刚体的转动。
通过这两个固定点的一条不动的直线，称为刚体 的转轴或轴线，简称轴。
f (t)
转动方程
flash
转角对时间的变化率：
d
dt
d
dt
d 2
dt 2
瞬时角速度 瞬时角加速度
刚体绕定轴转动时， 刚体内任一点均作圆心在 轴线上的圆周运动。
若点到转轴的距离为R，则： s R 是点的运动方程。
切向加速度： 法向加速度： 全加速度
R
R2 2 R24 R 2 4
R R 2
2
由：
a R 2 4
tan
a an
R R 2
2
可知
（1）每一瞬时，转动刚体内各点的速度与加速度的 大小均与这些点到轴线的距离成正比。
和 同号为加速，异号时为减速。
flash
两种特殊情况：
1)匀速转动，为常量
0 t
0 是t=0 时的转角。
和转速n（r.p.m）之间的关系为：
2)匀变速转动，即 是常量
0 t
0
0t
1 2
t 2
0 和 0 是t=0时的角速度和转角
例：杆AC以匀速V0沿水平导槽向右运动， 通过滑块A使杆OB绕O轴转动。已知O 轴与导槽相距h。求杆OB的角速度和角 加速度。
解：已知角加速度求运动规律，积分问题：
d d d dt d dt
d d
k
d kd
0
0
积分得：
02
k 2
d
dt
d
t
dt
运动学(刚体简单运动)
刚体的简单运动
§1 刚体的平行移动 §2 刚体的定轴转动 结论与讨论
习题
刚体的平行移动
刚体的简单运动
一、刚体平动的定义
在刚体上任取一条直线，若在运动过程中这 条直线始终与其初始的空间位置平行，则该 运动称为刚体的平行移动，简称平动。
刚体的平行移动
刚体的简单运动
二、刚体平动的运动分析
rA rB rBA rA rB rBA v A vB a A aB
刚体平移可归结为刚体内任一点（通常是质心）的运动。
2 O1 950 99.48rad/s 60
O
2
Z1 20 O1 99.48 39.79rad/s Z2 50
vC O2 AO2 0.25 39.79 9.95m/s
刚体的定轴转动
刚体的简单运动
例三 曲柄滑杆机构中,滑杆上有一圆弧滑道,其半径R=100mm, 圆心O1在导杆BC上.曲柄OA=100mm，以等角速度 4 rad 绕 s O轴转动.求导杆BC的运动规律以及当曲柄与水平线间的交角为 30时,导杆BC的速度和加速度。
刚体的简单运动
例六 图示一减速箱，由四个齿轮组成，其齿数分别为Z1＝10， Z2＝60 ， Z3＝12 ， Z4＝70 。（1）求减速箱的总传动比i13（2） 如果n1=3000rpm，求n3 。
n1 n1 n2 Z 2 Z 3 i13 i12 i23 34.8 n3 n2 n3 Z1 Z 2
刚体的简单运动习题及答案
刚体的简单运动习题及答案刚体的简单运动习题及答案刚体是物理学中的一个基本概念，它指的是在运动过程中形状和大小不发生改变的物体。
在学习刚体的运动时，我们可以通过一些简单的习题来加深对刚体运动的理解。
下面，我将为大家提供一些常见的刚体运动习题及答案。
习题一：平抛运动小明站在一个高处，手中拿着一个小球，以一定的初速度将球水平抛出。
假设空气阻力可以忽略不计，请问球的运动轨迹是什么形状？答案：球的运动轨迹是一个抛物线。
在平抛运动中，刚体在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上受到重力的作用，所以球的轨迹是一个抛物线。
习题二：滚动运动一个圆柱体沿着水平面滚动，它的质心速度和边缘速度哪个更大？答案：质心速度和边缘速度相等。
在滚动运动中，刚体的质心沿着运动方向做匀速直线运动，而刚体的边缘点则具有线速度和角速度的叠加效果。
由于圆柱体的每个点都有相同的角速度，所以质心速度和边缘速度相等。
习题三：转动惯量一个均匀的圆盘和一个均匀的长方体，它们的质量和半径（或边长）相同，哪个的转动惯量更大？答案：圆盘的转动惯量更大。
转动惯量是刚体旋转时惯性的量度，它与刚体的质量分布有关。
由于圆盘的质量分布更加均匀，所以它的转动惯量更大。
习题四：平衡条件一个悬挂在绳子上的物体处于平衡状态，绳子与竖直方向的夹角是多少？答案：绳子与竖直方向的夹角等于物体所受的重力与绳子张力的夹角。
在平衡状态下，物体所受的重力与绳子张力必须保持平衡，即两者的合力为零。
因此，绳子与竖直方向的夹角取决于物体所受的重力与绳子张力的大小关系。
习题五：平移运动和转动运动一个刚体在平面上做平移运动时，它的转动惯量是多少？答案：在平移运动时，刚体的转动惯量为零。
平移运动是指刚体的质心沿直线运动，此时刚体没有绕任何轴心旋转，所以转动惯量为零。
通过以上习题的解答，我们可以更好地理解刚体的运动特性。
刚体的运动涉及到平抛运动、滚动运动、转动惯量和平衡条件等方面的知识，通过解答这些习题，我们可以加深对刚体运动的理解，提高解题能力。
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显然当: | i1,2 | 1 速转动；| i1,2 | 1
时,
2 时1 , 2 1
,为降速转动。
,为升
２.带轮传动
r11 vA vA vB vB r22
i12
1 2
r2 r1
【例6-8】设主动轮A和从动轮B的节圆半径分别为r1和r2， 齿数分别为z1和z2。主动轮A的角速度为ω1 ，角加速度为 α1，试求从动轮B的角速度和角加速度。
60 30 10
3.角速度和角加速度
2）角加速度:
设当t 时刻为 , t +△t 时刻为+△
角加速度
lim t0 t
d
dt
d 2
dt 2
f (t)
单位:rad/s2
α与方向一致为加速转动, α与 方向相反为减速转动
3）匀速转动和匀变速转动
当 =常数,为匀速转动；当α =常数,为匀变速转动。
3.加速度
at
dv dt
s
R
an
v2
1 R2
R
R 2
4.速度与加速度分布图
a
a2 t
an 2
R
2 4
v R
tan at an 2
结论: ① v方向与 相同 , R ,与 R 成正比。
② 各点的全加速度方向与各点转动半径夹角都一致,
dt
vM
M
an
a
O
a
aA
A
vM vA R 0.4 m / s
vA
aA a R 0.4 m / s2 方向如图所示。点M的法向加速度
的大小为
an R 2 0.8 m / s2
点M的全加速度的大小和方向分别为
vM
M
an
a
O
a
a a2 an2 0.894m / s2
解：建立图示坐标系
y
O
x
h
A
v0 x
tan x v0t
hh
arctan( v0t )
h
d
dt
hv0 h2 v02t 2
d
dt
2hv03t (h2 v02t 2 )2
【例6-7】已知： ; v ; r
求：卷盘的角加速度
v
解：由定轴转动公式
v r
drB dt
drA dt
vA
aB
dvB dt
dvA dt
aA
结论：当刚体作平动时，其上各点的轨迹形状相同，
在同一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。
刚体平移→点的运动
【例6-1】荡木用两条长为 l 的钢索平行吊起，如图所示。
当荡木摆动时，钢索的摆动规律为
0cos
4
t
，
为最
3.角速度和角加速度
1）角速度： lim Δ d
Δt0 Δt dt
若已知转动方程 f(t) f (t) 单位 rad/s 方向：逆时针方向为正
工程中常用单位：
n = 转/分(r / min) 则n与的关系为:
2 n n n (rad/s )
r2
α2
B
2
r1
α1
M2 M1 1
A
v2 v1
2
r2
α2 B
r1 1 M1 M2
α1 A
v2 v1
r2
α2
B
2
r1
α1
M2 M1 1
A
v2 v1
2
r2
α2 B
r1 1 M1 M2
α1 A
v2 v1
解：在齿轮传动中，啮合点的速度和切向加速度的大小 和方向相同，即
因而有
v1 v2
r11 r22
A
v ds l0 sin t
dt 4 4
O (+)
O2
l
M
B
A点的切向加速度和法向加速度可分别写为
a
dv dt
2l0
16
cos
4
t
an
v2 l
2l02
16
sin2
t 4
当t=2s时，速度和加速度可分别写为
v l0
4
(方向水平向左)
a
2l0
M点切向加速度
an
v
( r)
M点法向加速度
【例6-9】 如图所示圆盘以恒定的角速度ω=50rad/s 绕垂直 于盘面的中心轴转动，该轴在yz面内，倾角θ=arctan3/4，动 点M 的矢径在图示瞬时为 r 0.15i 0.16 j 0.1k。试用矢量 法求动点M的速度和加速度。
r
O
对此式求导：
0 d r dr
dt
dt
d dr
dt
r dt
半径的表达式：
r
ro
2
dr
dt
2
2
v 2 2 r3
§6-４ 轮系的传动比
1. 齿轮传动
① 啮合条件
R11 vA vB R22
外啮合
内啮合
0
大摆角。试求当t=2s时，荡木中点M的速度和加速度。
O1
O2
l
l
A
M
B
O (+)
解：荡木在运动的过程中, 荡木作平动。为求中点M 的速
度和加速度,只需求出荡木上另一点A(或点B)的速度和加速
度即可。 点A 的运动方程为
O1
s l l0 cos 4 t
l
将上式对时间求一阶导数，
可得A点的速度
通常在机械工程中，把主动轮和从动轮的角速度之比称为
传动比，用i12表示
i12
1 2
1 2
r2 r1
z2 z1
有时为了区分轮系中各轮转向，对各轮规定统一的
转动正向，这时各轮的角速度可取代数值，从而传动比
也可取代数值
i12
1 2
= 1 2
r2 r1
z2 z1
以矢积表示点的速度和加速度
6
§6-１刚体的平行移动
1.定义
刚体内任一直线在运动过程中始终平行于初始位置， 这种运动称为平行移动，简称平移。
2.运动方程
平动刚体在任一瞬时各点的运动轨迹形状,速度,加速 度都一样。 即:平动刚体的运动可以简化为一个点的运动。
设刚体做平动，如图所示。
在刚体内任选两点A和B，令点 A的矢径为rA，点B的矢径为rB。
0 t
常用公式
0t
1t2
2
与点的运加速度
角加速度 匀速转动 匀变速转动
d d2
dt dt2
d 0
dt
0 t
d cont
dt
0 t
AB、凸轮均作平动
[例]
AB在运动中方向和大小始终不变
它的轨迹
可以是直线 可以是曲线
平面力系：力系中各力的作用线处于同一平面内。
本章内容：研究刚体的两种简单运动——平移和 定轴转动。
这是工程中最常见的运动，也是研究复杂运动的基础。
5
目录
§6-1 刚体的平行移动 §6-2 刚体绕定轴的转动 §6-3 转动刚体内各点的速度和加速度 §6-4 轮系的传动比 §6-5 以矢量表示角速度和角加速度 •
0
0t
1t2
2
【例6-3】电动机由静止开始匀加速转动，在t=20s时，其 转速n=360r /min ，求在此20s内转过的圈数。
解：电动机初始静止，即ω0=0。在t=20s时其转动的
角速度为
n 12 rad / s
30
由ω =ω0+αt ，可得电动机转动的角加速度为
§6-４ 轮系的传动比
② 传动比
齿数
Z 2 r
t
R2 2 R2 / t Z2 R1 2 R1 / t Z1
由于
2 n
60
1 n1 成正比 2 n2
即 : i1,2
1 2
n1 n2
R2 R1
z2 z1
主动轮 从动轮
内啮合时传动比为正；外啮合时传动比为负。
a1 a2
r11 r22
从而可以求得从动轮的角速度和角加速度分别为
2
r1 r2
1
2
r1 r2
1
一对相互啮合的齿轮，它们的齿数和节圆的半径成正比，
所以上面式子可写为
2
r1 r2
1
z1 z2
1
2
r1 r2
1
z1 z2
1
联合上面两式，可得
1 1 r2 z2 2 2 r1 z1
1.定义 刚体上(或其扩展部分)两点保持不动，则这种运动称为
刚体绕定轴转动，简称刚体的转动。
转轴 ：通过两个固定 转角： 单位:弧度(rad)
点的一条不动的直线