2理论力学---第七章刚体的简单运动

一.齿轮传动 1.外啮合
vC vD
C rC D rD
C D
rD rC
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设C主动轮，D从动轮，
定义齿轮传动比
iCD
C D
rD rC
zD zC
iCD
C D
其中：
齿数Z 2r
t
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2.内啮合 因为是做纯滚动(即没有相对滑动)
vF vE vF vE
F rF E rE
齿轮传动比
iEF
传动比:
i12
1 2
R2 R1
z2 z1
外:“－”， 内: “+”。
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2、多级
V
n1
itota＝l i1 i2 in
1 k 从动轮齿数(半径)乘积
主动轮齿数(半径)乘积
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§7-5 角速度和角加速度的矢量表示
点的速度和加速度的矢量表示
一. 角速度和角加速度的矢量表示
按右手定则规定
α
a r
an v
v r
a r an v
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三、v,a的矢积表示小结
引入 ω ωk，α k

而 v Rω r sin θ rωsin ω，r
v ωr
R
而 α r rsin θ R aτ
r
ωv ωRωsin90 Rω2 an
2
A
B
定义: 刚体上任一直线始终与初始位置平行。
1.水平曲线轨迹上行驶的火车箱是否平移? 否。
2.平移时，刚体上各点轨迹是平行直线，对吗? 不一定。可是平行曲线。
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二.刚体平动时内部各点的轨迹、速度和加速度
rB
rA
rAB
vB
drB dt
d dt (rA
rAB)
drA dt
drAB dt
第七章 刚体的简单运动
§7–1 刚体的平行移动 §7–2 刚体的定轴转动 §7–3 转动刚体内各点的速度与加速度 §7–4 轮系的传动比 §7–5 以矢量表示角速度和角加速度
以矢积表示点的速度和加速度
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§7-1刚体的平行移动(平动) 一.刚体平动的定义:
如果在物体内任取一条直线，在运动过程中这条直线 始终与它的最初位置平行，这种运动称为平行移动，简称 平动。
持不动-----称为刚体绕定轴的转动，简称刚体的转动。
不动的直线称为转轴。
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定义: 定轴转动-----刚体运动时其上或其延展部分有一根不动直线。
1.指出下列物体是否作定轴转动?
轮 否。
是
R
车厢是
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二.转角和转动方程
---转角,单位弧度(rad)
=f(t)---为转动方程 方向规定: 从z 轴正向看去,
r dt
r
又 d A av, A π r2 dt
d A d r av dr dt
即 2 πr d r av, d r av
dt
d t 2 πr
故
av2 2π r3
av
r
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〔例7-3〕已知 O1A O2B 2 r, AB O1O2 ,ω0 常数 ，求两
轮边缘上点的加速度。
s R v Rω
aτ Rα
an
v2 R
Rω2
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〔例7-1〕试画出图中刚体上Ｍ¸Ｎ两点在图示位置时的速度和
加速度。 (O1 AO2B,O1O2 AB)
α
15
α
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〔例7-2〕 卷带盘。已知v＝常数，带厚a，求α。
av
r
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rω v
对该式求导
d r ω rα 0 dt
α 1ωdr , ω v
vA
(drAB 0) dt
同理:aB
d 2rB dt 2
d2 dt 2
(rA
rAB )
d 2rA dt 2
aA
∴ vA vB
aA aB
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定理: 刚体平移时，其上各点轨迹形状相同且相互平行，
任一瞬时各点速度相同、各点加速度也相同。
因此，研究刚体的平动，可以归结为研究刚体内 任一点的运动。
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1.已知 l, ，求vM ,aM ?
3.匀速转动和匀变速转动 当 =常数,为匀速转动；当α =常数,为匀变速转动。
常用公式
0 t
0
t
1t 2
2
与点的运动相类似。
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§7-3 转动刚体内各点的速度和加速度
一、速度
S R
v dS R d
z
dt dt
v R
ω M0
sφ 各点速度分v布图M
v R
ω
二、加速度
a
dv dt
vA
A
0 aA
O1
a
vM 1
rM 1
2
B
O2
轮1平移
a1 aA
a1 2 rω02
又 vM vA vM 2 rω0
ω2 2ω0 2 ω2 0
a2 0,a2 a2n ,a2 r 2 ω0 2 4 rω02
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§7-4 轮系的传动比
我们常见到在工程中,用一系列互相啮合的齿轮来实现变速, 它们变速的基本原理是什么呢?
， 的方向。
大小:| ||ddt |
方向如图 k
d
dt
d
dt
k
k
α α
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二 刚体内任一点的线速度和线加速度的矢积表示
α v r
| r |rsin R
α
v R
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a
dv dt
d
( r
dt
)
d
dt
r
ddrt
α a r v
a | r | r sin R
| an || v |vsin90o 2R
E F
rF rE
ZF ZE
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二.皮带轮系传动
vA vB (而不是vA vB 方向不同 )
ArA BrB 皮带传动
i
AB
A B
rB rA
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三.轮系的传动分级 1. 单级 (无滑动)
v
1
R1
R2 2
1 R1 2 R2 大小: 1 R2
2 R1 方向: 相反
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v
1
2
R2
R1
方向: 相同
d dt
(R)
d
dt
R
R,
an
v2
(R)2
R
R
2
α
a R ∴ an R 2
αa
| a全 || an a | an2 a 2 R 2 4
ω
tg a R an 2R 2
各点加速度的分1布3 图
三. 公式小结: 转动方程 、角速度、角加速度
t
t t
点的运动
点在 转轴的平面内圆周运动
逆时针为正 顺时针为负
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三、定轴转动的角速度和角加速度
1.角速度： 2.角加速度:
d
dt
d d 2
dt dt2
ω的单位: rad/s α 的单位:rad/s2
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工程中常用单位：n = 转/分(r / min)
则n与的关系为:
2n n n (rad/s)
60 30 10
α与方向一致为加速转动, α与 方向相反为减速转动
l
A
M
vM vA l ,aM aA l 2。
2.图示瞬时AB杆中点M切向加速度为0，求 aM方向?
AB瞬时平移，vM vA , 铅直向上。
故 aM 向上，且为0， 故 aM 水平。
aM vM
B
vA
M
A
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§7-2 刚体的定轴转动
一.刚体绕定轴转动的特征及其简化 当刚体运动时，刚体内某一直线上的所有各点始终保