第五章刚体力学基础
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刚体力学基础
mB
mA
第5章 刚体力学基础
2.7
刚体力学基础
解：研究对象：A、B、圆柱 用隔离法分别对各物体作受力 分析，如图所示。
mB
N
mA
f
mB m Bg
TB
TA
mA
aB T 'B
aA
mAg
T 'A
第5章 刚体力学基础
2.7
刚体力学基础
N
f
mB m Bg
TB
TA
T 'B
T 'A
mA mAg
aA
aB
A: mA g TA mAaA TB f mB aB B: N mB g 0
2.7
定点转动：
刚体力学基础
运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该
固定点的某一瞬时轴线转动. 如：陀螺的运动
i3
（转轴方向（2），绕轴转角（1））
第5章 刚体力学基础
2.7
刚体力学基础
二 刚体定轴转动的运动学描述 定轴转动：刚体上任意点都绕同一 轴在各自的转动平面内作圆周运动
特征：刚体各个部分在相同时间内绕 转轴转过的角度（角位移）都相同 引入角量描述将非常方便。
oo mi vi 垂直于z轴。
i
th
刚体 mi
oo mi vi ri mi vi
z
我们只对z方向的分量感兴趣：
Liz ri mi vi mi ri 2
Lz Liz mi ri
2
ω,α vi
△ mi
ri O’ × 刚体 × O
刚体定轴转动的动能=绕质心转动的动能+
刚体携总质量(质心)绕定轴作圆周运动的动能
mA
第5章 刚体力学基础
2.7
刚体力学基础
解：研究对象：A、B、圆柱 用隔离法分别对各物体作受力 分析，如图所示。
mB
N
mA
f
mB m Bg
TB
TA
mA
aB T 'B
aA
mAg
T 'A
第5章 刚体力学基础
2.7
刚体力学基础
N
f
mB m Bg
TB
TA
T 'B
T 'A
mA mAg
aA
aB
A: mA g TA mAaA TB f mB aB B: N mB g 0
2.7
定点转动：
刚体力学基础
运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该
固定点的某一瞬时轴线转动. 如：陀螺的运动
i3
（转轴方向（2），绕轴转角（1））
第5章 刚体力学基础
2.7
刚体力学基础
二 刚体定轴转动的运动学描述 定轴转动：刚体上任意点都绕同一 轴在各自的转动平面内作圆周运动
特征：刚体各个部分在相同时间内绕 转轴转过的角度（角位移）都相同 引入角量描述将非常方便。
oo mi vi 垂直于z轴。
i
th
刚体 mi
oo mi vi ri mi vi
z
我们只对z方向的分量感兴趣：
Liz ri mi vi mi ri 2
Lz Liz mi ri
2
ω,α vi
△ mi
ri O’ × 刚体 × O
刚体定轴转动的动能=绕质心转动的动能+
刚体携总质量(质心)绕定轴作圆周运动的动能
第05章刚体力学基础学习知识补充
第五章 刚体力学基础一、选择题1 甲乙两人造卫星质量相同，分别沿着各自的圆形轨道绕地球运行，甲的轨道半径较小，则与乙相比，甲的：(A)动能较大，势能较小，总能量较大； (B)动能较小，势能较大，总能量较大； (C)动能较大，势能较小，总能量较小；(D)动能较小，势能较小，总能量较小；［ C ］难度：易2 一滑冰者，以某一角速度开始转动，当他向内收缩双臂时，则： (A)角速度增大，动能减小； (B)角速度增大，动能增大； (C)角速度增大，但动能不变；(D)角速度减小，动能减小。
［ B ］难度：易3 两人各持一均匀直棒的一端，棒重W ，一人突然放手，在此瞬间，另一个人感到手上承受的力变为：(A)3w ； (B) 2w (C) 43w； (D) 4w 。
［ D ］难度：难4 长为L 、质量为M 的匀质细杆OA 如图悬挂．O 为水平光滑固定转轴，平衡时杆竖直下垂，一质量为m 的子弹以水平速度0v 击中杆的A 端并嵌入其内。
那么碰撞后A 端的速度大小：(A)M m mv +12120； (B) Mm mv +330；(C) Mm mv +0； (D) M m mv +330。
［ B ］难度：中L5 一根质量为m 、长为l 的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动．抬起另一端使棒竖直地立起，如让它掉下来，则棒将以角速度ω撞击地板。
如图将同样的棒截成长为2l的一段，初始条件不变，则它撞击地板时的角速度最接近于：(A)ω2； (B)ω2； (C) ω； (D) 2ω。
［ A ］难度：难6 如图：A 与B 是两个质量相同的小球，A 球用一根不能伸长的绳子拴着，B 球用橡皮拴着，把它们拉到水平位置，放手后两小球到达竖直位置时绳长相等，则此时两球的线速度：(A)B A v v = (B) B A v v < (C) B A v v > (D)无法判断。
［ C ］难度：中7 水平圆转台上距转轴R 处有一质量为m 的物体随转台作匀速圆周运动。
大学物理 第五章.
时，
刚体定轴转动的 角动量守恒定律
35
§5.4 刚体的角动量定理及守恒定律
例5.6：如图，质量为M，半径为R的转台，可绕通过中心竖直轴
转动，阻力忽略不计，质量为m的人站在台的边缘，人和台原来都 静止，如果人沿转台的边缘绕行了一周，问相对地面转台转过了多 少角度？
解：把人和转台看做一个系统
系统的角动量守恒 规定：逆时针转动为正方向，以 地面为参考系。 设人的角速度为ω，转台的角速度为Ω。
或
A = ∫ Mdθ = Mθ
42
例5.9：一质量为m，长为 l的匀质杆，两端用绳悬挂杆处于水平 状态，现突然将杆右端的悬线剪断，求(1)此瞬间另一根绳受到 的张力 ;(2)剪断绳子之后任一时刻杆的角速度 ω与转过角度 θ之 间的关系。 解： （1）首先考虑杆绕O点的的转动 根据转动定律： T O
匀变速运动
6
§5.1 刚体及其定轴转动描述
例5.1：一汽车发动机的转速在5s内由200r（转）/min均匀地增加 到3000r（转）/min。（1）求在这段时间内的初角速度、末角速 度和角加速度；（2）求这段时间内转过的角度；（3）发动机轴 上装有一半径为R=0.15m的飞轮，求轮边缘上一点在这第5s末的 切向加速度、法向加速度和总加速度。
24
§5.3 刚体转动的功和能
回顾： 质点 质量 牛顿运动定律
M = Jβ
刚体 转动惯量 转动定律
力做功
力矩做功
25
§5.3 刚体转动的功和能
一、力矩的功
轴
dθ dr α r
α
F 在转动平面内
ω
元功： dA = F • dr = F dr cos α = F ( rdθ ) cos α F ( r cos α )dθ = Mdθ
刚体力学基础
非专业训练，请勿模仿
例 解 由转动定律得
1 mgl sin J 2 1 2 式中 J ml 3 3g sin 得 2l
角加速度与质量无关，与长 度成反比，竹竿越长越安全。
-------------------------------------------------------------------------------
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
-------------------------------------------------------------------------------
二、刚体绕定轴转动定律
F外力 F内力 mi ai
ai ：质元绕轴作圆运动
-------------------------------------------------------------------------------
二、定轴转动的角动量守恒定律
质点角动量（相对O点）
定轴转动刚体
L r p r mv
-------------------------------------------------------------------------------
解：
M 1l gdl cos M mgL cos 2 m g1 l cos dl cos mgl M 2 3g cos L 1 22 J 2l M ml L g 3 cos L 2 3g cos d d d d 1 2 l dt cos d d mgL dt 2
2 法向： F cos F cos m r 法向力的作用线过转轴 i i i i. 内力 ,其力矩为零 外力 切向：F外力 sin i F内力 sin i mi ri
第5章 刚体力学
F Fz F
z k Fz来自 F M z k r F M z rF sin
O
r
F
2）合力矩等于各分力矩的矢量和
大学物理讲义
M M1 M 2 M 3
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
大学物理讲义
四
角量与线量的关系
d dt
d d 2 dt dt
2
a
an r
et v a
t
at r an r
2
大学物理讲义
5.2 转动定律 转动惯量 平行轴定理
一 力矩
刚体绕 O z 轴旋转 , 力 F
M
F
作用在刚体上点 P , 且在转动 平面内, 为由点O 到力的 作用点 P 的径矢 . Z 的力矩 F 对转轴
>0
z
z
<0
d dt
定轴转动(fixed-axis rotation)的特点 1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
2） 任一质点运动 , , 均相同，但 v, a 不同；
3） 运动描述仅需一个坐标变量 .
大学物理讲义
三
匀变速转动公式
大学物理讲义
质点运动
转动(rotation)：刚体中所有的点都绕同一直线 做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
大学物理讲义
二 刚体转动的角速度和角加速度
角坐标 (t ) 约定 沿逆时针方向转动 r 角位移
刚体力学基础
v p 0
1。微分形式
M dt d L
dL M r F dt
L2 L1
2。积分关系
dL
t2
t1
M dt
刚体→质点系(连续体)
L
t2
M外 d t d L
dL M外 dt
t1
M dt
t2 L M 外 d t
3.刚体的转动（rotation): 刚体上的各点绕同一直线做圆周运动。这条直线称作转轴。
定轴转动──转轴相对参考系固定不动的转动。 特征：各点的角位移、角速度、角加速度相同。但线 位移、线速度、线加速度不同。
4.复杂运动可视为平动和转动的叠加。 二、刚体定轴转动的角量描述 1。转动平面：刚体定轴转动时，任一 质点作圆周运动的垂直于转轴的平面 某一时刻， 不同点的：
二、转动惯量J 1.定义：
Moment of inertia
J mi ri2
第i质元到转轴的垂直距离
J 的单位：kg· m2
m
第i质元的质量
如质量连续分布，则有：
2 r dm J lim mi ri 0
2 m i 0
质量分布
2。物理意义：物体转动惯性大小的量度
t1
[例题6]一棒长l,质量m,其质量分布与到 O点的距离成正比，将细 棒放在粗糙的水平面上，棒可绕O点转动，如图，棒的初始角速 度为ω0 棒与桌面的摩擦系数为μ。 求:(1)细棒对O点的转动惯量。(2)细棒绕O点的摩擦力矩。 （3）细棒从以ω0 开始转动到停止所经历的时间。 解：
(1) d m d r
2 2
J c md 0
5《学习指南 试题精解》 第五章 刚体力学
第5章 刚体力学5.1 本章要求：1、通过质点在平面内的运动情况理解角动量、动量矩和角动量守恒定律,了解转动惯量的概念；2、理解刚体的定轴转动的转动定律和刚体在定轴转动情况下的角动量定理和角动量守恒定律；3、能应用角动量定理和角动量守恒定律解简单的刚体运动的力学问题。
5.2 内容提要1、质点的角动量v r m P r L ⨯=⨯=；2、质点的角动量定理作用于质点的冲量矩等于质点的角动量的增量。
积分形式00L L d dt LL tt -==⎰⎰ ，微分形式dtd M =外 3、角动量守恒定律如果某一固定点，质点所受合外力矩为零，则此质点对该固定点的角动量矢量保持不变。
则0=dtLd ， ∑=ii L L = 常矢量 4、刚体物体内任意两点间的距离在外力作用下始终保持不变，从而其大小和形状都保持不变的物体，称为刚体。
刚体也是物体的一种理想模型。
5、平动 刚体运动时，连接刚体中任意两点的直线始终保持它的方位不变。
这种运动称为刚体的平动或平移。
6、转动刚体运动时，如果刚体内各点都绕同一直线作圆周运动，这种运动称为刚体的转动；这一直线称为转轴。
如果转轴相对于所取的参考系是固定不动的，就称为定轴转动。
如果转轴上一点静止于参考系，而转动的方位在变动，这种转动称为定点转动。
刚体的一般运动，可以看作平动和转动所合成。
7、质心质心是与质点系的质量分布有关的一个代表点,它的位置在平均意义上代表着质点分布的中心。
对于有许多质点组成的系统，如果用i m 和i r 表示第i 个质点的质量和位矢，用c r 表示质心的位矢，则有Mrm r iii c ∑=，式中∑=ii m M 为质点系的总质量。
质心位置的坐标为：Mzm z M ym y M xm x iii c iii c iii c ∑∑∑===,,。
对于质量连续性分布的物体，质心的位矢为⎰=Mrdmr c其坐标为⎰⎰⎰===zdm Mz ydm M y xdm M x c c c 1,1,1。
大学物理：第 05 章 刚体力学基础
j
i
设作用在质元Dmi上的外力
位于转动平面内。
z
合外力对刚体做的元功： P
力矩的功：
功率：
三、刚体定轴转动的动能定理
合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。
四、刚体的重力势能
以地面为势能零点，刚体和地球 系统的重力势能：
z
i O
五、 刚体定轴转动的功能原理
将重力矩作的功用重力势能差表示：
如：直立旋转陀螺不倒。
o
此时，即使撤去轴承的支撑作用， 刚体仍将作 定轴转动——定向回转仪—— 可以作定向装置。
二、非刚体( J 可变)的角动量守恒
当 J 增大， 就减小，当 J 减小， 就增大。
如：芭蕾舞，花样滑冰中的转动， 恒星塌缩 (R0，0) (R，) 中子星 的形成等。
[例5-11] 水平转台(m1 、 R ) 可绕竖直的中心轴转动，初角 速度0，一人(m2 )立在台中心，相对转台以恒定速度u沿 半径向边缘走去，计算经时间 t，台转过了多少角度。 解：人与转台组成的系统对竖直 轴的角动量守恒：
(2)
(3) (4)
[例5-16] 细杆A ： (m ， L)可绕轴转动，水平处静止释放， 在竖直位置与静止物块B ： (m) 发生弹性碰撞，求碰后： (1)物块B的速度 vB ，(2)细杆A 的角速度2 ， (3)细杆A 转过的最大角度 θmax 。 解： B
A
碰后反方向转动。
A
B
[例5-17] 圆锥体R，h，J，表面有浅槽，令以ω0转动， 小滑块m 由静止从顶端下滑，不计摩擦，求滑到底部滑 块相对圆锥体的速度、圆锥体角速度。
是关于刚体定轴转动的动力学方程。 (与 F = ma 比较) 推广到 J 可变情形： ——刚体定轴转动的角动量定理
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因此
n
30
( rad / s )
2 1200 1 rad / s 40 rad / s 60 2 2880 2 rad / s 96 rad / s 60
2017/3/3
8
5.1 刚体的基本运动
轮子做匀加速定轴转动，故有
(96 40) rad / s 2 t 8 7 rad s2 22.0 rad s2
2017/3/3
(t )
(t t ) (t )
（包含p并与转轴垂直） 转动平面 转轴
t2 t1 t d lim t 0 t dt
2 1
5
5.1 刚体的基本运动
角速度方向
SI: rad/s 弧度/秒
② 与质量、形状、大小及质量对转轴的分布情况有关 ③ 质量连续分布的刚体用积分 线分布 细杆 面分布 薄板 体分布 实球
2017/3/3
Jz
v
r 2 dm
线密度 面密度 体密度
dm l dl dm s ds
v
dm dv
J l r 2 dl
J s r 2 ds
5.1 刚体的基本运动
速度的方向：垂直于
和 ri
⑥. 匀加速转动
组成的平面，符合右手螺旋法则 z
0 t
1 0 0t t 2 2
2 2 ( ) 2 0 0
R i O、
v ri
p y
O x
ri
2017/3/3
2 2
)g
m1 m2
2017/3/3
FT 2
(2m1m2
m2 m0 m0
2 2
)g
m1 m2
19
5.3 刚体定轴转动的动能定理
1.刚体定轴转动的动能
设物体绕一固定轴转动，其转动动能就是刚体中 每个质元做圆周运动的动能之和。
1 Ek Eki mi vi 2 i i 2 1 2 1 2 mi Ri J 2 2 2 i
可 当 质 点 处 运动。
理。 人步行 电机转子转动
2017/3/3
平动。
车轮的滚动
玩具陀螺转动
4
5.1 刚体的基本运动
3.定轴转动的描述
①. 角坐标 转动运动方程 刚体
刚体中任 一点 (t+△t) (t) 参考 方向
SI: rad 弧度
②. 角位移 t 时间 内角坐标的变化 ③. 角速度矢量 平均角速度 瞬时角速度
J J c md 2
2017/3/3
1 1 l ml 2 m ml 2 12 3 2
17
2
5.2 力矩
转动定律
F ma
4.转动定律的应用
力矩的瞬时作用规律： M J 平行转动定律解题思路：
① ② ③ ④
确定研究对象. 求出力对转轴的力矩，对不产生力矩的力不做分析. 分析转动特点，有无角加速度. 规定转动正方向，列方程求解，结果讨论.
④. 角加速度 d d 2 k
v an r 2 r dv d at r r dt dt
SI: rad/s2 弧度/秒2
2017/3/3
dt
2
dt 2
⑤. 线量与角量的关系
速度的大小：v ri sin
6
v ri
[例5.4]
已知如右图 试求：定滑轮转动的角
加速度和绳中的张力
2017/3/3
轮轴无摩擦 轻绳不伸长 轮绳不打滑
m0 r
m2
m1
18
5.2 力矩
转动定律
FT 2 FT 2
[解] 对于平动物体m1，m2应用牛顿第二
m1 g FT 1 m1a FT 2 m2 g m2 a
2017/3/3
10
5.2 力矩
转动定律
①. 外力不垂直于转轴的平面内 外力分解为两个分力，一个与转轴 平行（力矩为零），另一个与转轴
垂直的平面内
M （F） M ( F ) r F
②. 力对点的力矩
力矩的大小：
M0 r F
M 0 Fr sin
① 理想化模型，绝对刚体不存在 ② 特殊的质点系，各质元间无相对运动
2.刚体的基本运动形式
平动： 在运动中，连接刚体内任意两点的直线在任意 时刻的位置都与初始位置的连线保持平行。 转动 ：在运动中，刚体上任一质元都绕同一直线做圆 周运动，包括定轴转动和定点转动。 一般运动：平动+转动
2017/3/3
5.2 力矩
[例5.3]
转动定律
(1)求质量为m, 半径为R的均质细圆环，对过圆心与圆平面垂直的转
轴的转动惯量；(2)如果将圆环换做质量仍为且半径仍为的匀质圆盘，转轴位置 不变，其转动惯量为多少。
[解] (1)将细圆环视为有许多段微小圆弧组成每段质量为dm
dJ 0 R 2 dm
J dJ 0
16
5.2 力矩
转动定律
3.转动惯量及其计算
由以上两例题可以得： 转动惯量不仅与刚体的总质量和转轴的位置 有关，还与刚体质量的空间分布有关 平行轴定理：刚体对任一轴的转动惯量J，等于过中心的 平行轴的转动惯量 Jc 与二轴间的垂直距离 d 的平方和刚 体质量的乘积之和。
J Jc md 2
如例题5.2
dAi Fi dri Fi cosdri Fi cos Rd i
Fi
Ri d
Mi FR i i sin FR i i cos
所以 dAi M i d 设刚体从0转到 ，则力 F 做的功为 i
A Ai ( M i d ) ( M i )d
大学物理（上）
第5章 刚体力学基础
授课人： 院 系：
2017/3/3
1
第5章 刚体力学基础
目录
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5
刚体的基本运动
力矩 转动定律
CONTENTS
刚体定轴转动的动能定理 角动量 角动量守恒定律 旋进 回转效应
2017/3/3
2
5.1 刚体的基本运动
1.刚体
刚体：任何情况下形状和大小（体积）都不发生变化。
图5.9
力矩的方向：垂直于矢径和力组成 的平面，指向由右手螺旋法则确定
2017/3/3
图5.10
11
5.2 力矩
转动定律
2.转动定律 z 某质元 mi 受外力 F外i 和内力 F内i ，刚
ri m i
图5.11
体绕 z 轴转动，以 ri 为半径做圆周运动， 由牛顿第二定律 dvi F外i F内i =mi dt 将此矢量式投影到质元 i 的圆轨迹切线方向上
3
5.1 刚体的基本运动
平 动 定轴转动 平面运动 定点运动 一般运动
刚 体 任 意 两 刚 体 各 质 元 刚 体 质 心 限 刚体绕过一固 转 动 与 平 动
点 的 连 线 保 绕一固定不动 制 在 一 平 面 定点的某一瞬 的叠加。 持方向不变。 的轴线作圆周 内 ， 转 轴 可 时轴线的转动。
m
0
R 2 dm mR 2
m
0
d rr
R
(2)将圆盘视为有许多半径为r，宽为dr的细圆环，
m 圆盘的质量面密度 s R2
Rቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dm
取半径为r，宽为dr的细圆环 dm s 2 rdr dJ 0 r 2 dm 2 s r 3 dr R 1 3 J dJ 0 2 s r dr mR 2 0 2 2017/3/3
x
dx l
2
l 2
O
x
3 m m x 1 2 2 J 1 l x dx ml 2 l 3 l 12 2 l 2 l m 1 2 2 (2) J 2 0 l x dx 3 ml O x 转动惯量与转轴位置有关 l
2017/3/3
dm
x
dx l
15
0
2017/3/3
23
5.3 刚体定轴转动的动能定理
(2) 应用转轴的动能定理
h
y C
A Ek Ek 0
1 2 E J Ek 0 0 k 2 1 2 J ml 3 l 1 2 2 mg ml 0 2 6
i i
Ai M i d
0
0
0
i
Md
2017/3/3
0
力矩的功
21
5.3 刚体定轴转动的动能定理
3.刚体定轴转动的动能定理
质点系的动能定理也适用于刚体
A外 +A 内 =Ek Ek 0
对刚体而言，内力相对位置不变，做功为零
A外 =Ek Ek 0
又有
A Md
Ft外i Ft内i =mi ati mi ri 将此两边乘以 ri ，并对整个刚体求和
2017/3/3
12
5.2 力矩
转动定律
2 i i
F
i
t外i i
r Ft内i ri ( mi ri )
内力矩成对抵消 称为刚体对z轴 的转动惯量
合外力矩 M Z
J
转动定律
Mz
J v r 2 dv
14
5.2 力矩
[例5.2]
转动定律
一质量为 m , 长为 l 的均匀细棒，求细棒相对于