大学物理 第5章 刚体力学基础习题课
刚体力学基础
mA
第5章 刚体力学基础
2.7
刚体力学基础
解：研究对象：A、B、圆柱 用隔离法分别对各物体作受力 分析，如图所示。
mB
N
mA
f
mB m Bg
TB
TA
mA
aB T 'B
aA
mAg
T 'A
第5章 刚体力学基础
2.7
刚体力学基础
N
f
mB m Bg
TB
TA
T 'B
T 'A
mA mAg
aA
aB
A: mA g TA mAaA TB f mB aB B: N mB g 0
2.7
定点转动：
刚体力学基础
运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该
固定点的某一瞬时轴线转动. 如：陀螺的运动
i3
（转轴方向（2），绕轴转角（1））
第5章 刚体力学基础
2.7
刚体力学基础
二 刚体定轴转动的运动学描述 定轴转动：刚体上任意点都绕同一 轴在各自的转动平面内作圆周运动
特征：刚体各个部分在相同时间内绕 转轴转过的角度（角位移）都相同 引入角量描述将非常方便。
oo mi vi 垂直于z轴。
i
th
刚体 mi
oo mi vi ri mi vi
z
我们只对z方向的分量感兴趣：
Liz ri mi vi mi ri 2
Lz Liz mi ri
2
ω,α vi
△ mi
ri O’ × 刚体 × O
刚体定轴转动的动能=绕质心转动的动能+
刚体携总质量(质心)绕定轴作圆周运动的动能
大学物理第五章刚体力学1
例：课本P182习题5.5
质量连续分布: J r2dm
dm为质量元，简称质元。其计算方法如下：
质量为线分布 dm dl 其中、、分
质量为面分布
dm ds
别为质量的线密 度、面密度和体
质量为体分布 dm dV 密度。
线分布
面分布
体分布
例1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动 惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。
a物对地＝
g－a 3
0
a人对地＝
2a
0 3
g
习题册 P12 典型例题4
典例4．一个质量为M半径为R的匀质球壳可 绕一光滑竖直中心轴转动。轻绳绕在球壳 的水平最大圆周上，又跨过一质量为m半径 为r的匀质圆盘，此圆盘具有光滑水平轴， 然后在下端系一质量也为m的物体，如图。 求当物体由静止下落h时的速度v。
B
已知滑轮对 o 轴的转动惯量
J=MR2/4 ,设人从静止开始以
相对绳匀速向上爬时,绳与滑
轮间无相对滑动,求 B 端重物
上升的加速度？
解：受力分析如图 由题意 a人=aB=a
由牛顿第二定律 由转动定律 :
人 : Mg T 2 Ma
B
:
T
1
1 4
Mg
1 Ma 4
① ②
对滑轮 :
(T2 -T1)R J
再利用 v 2ah 得
1
v
12mgh
2
4M 9m
练习1.一轻绳跨过两个质量为 m、半径为 r 的均匀圆盘状定滑轮, 绳的两端分别挂着质量为 2m 和 m 的重物,如图所示,绳与滑轮间 无相对滑动,滑轮轴光滑,两个定滑轮的转动惯量均为 mr2/2, 将由 两个定滑轮以及质量为 2m 和 m 的重物组成的系统从静止释放,求 重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。
第05章刚体力学基础学习知识补充
第五章 刚体力学基础一、选择题1 甲乙两人造卫星质量相同，分别沿着各自的圆形轨道绕地球运行，甲的轨道半径较小，则与乙相比，甲的：(A)动能较大，势能较小，总能量较大； (B)动能较小，势能较大，总能量较大； (C)动能较大，势能较小，总能量较小；(D)动能较小，势能较小，总能量较小；［ C ］难度：易2 一滑冰者，以某一角速度开始转动，当他向内收缩双臂时，则： (A)角速度增大，动能减小； (B)角速度增大，动能增大； (C)角速度增大，但动能不变；(D)角速度减小，动能减小。
［ B ］难度：易3 两人各持一均匀直棒的一端，棒重W ，一人突然放手，在此瞬间，另一个人感到手上承受的力变为：(A)3w ； (B) 2w (C) 43w； (D) 4w 。
［ D ］难度：难4 长为L 、质量为M 的匀质细杆OA 如图悬挂．O 为水平光滑固定转轴，平衡时杆竖直下垂，一质量为m 的子弹以水平速度0v 击中杆的A 端并嵌入其内。
那么碰撞后A 端的速度大小：(A)M m mv +12120； (B) Mm mv +330；(C) Mm mv +0； (D) M m mv +330。
［ B ］难度：中L5 一根质量为m 、长为l 的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动．抬起另一端使棒竖直地立起，如让它掉下来，则棒将以角速度ω撞击地板。
如图将同样的棒截成长为2l的一段，初始条件不变，则它撞击地板时的角速度最接近于：(A)ω2； (B)ω2； (C) ω； (D) 2ω。
［ A ］难度：难6 如图：A 与B 是两个质量相同的小球，A 球用一根不能伸长的绳子拴着，B 球用橡皮拴着，把它们拉到水平位置，放手后两小球到达竖直位置时绳长相等，则此时两球的线速度：(A)B A v v = (B) B A v v < (C) B A v v > (D)无法判断。
［ C ］难度：中7 水平圆转台上距转轴R 处有一质量为m 的物体随转台作匀速圆周运动。
大学物理习题及解答(刚体力学)
1 如图所示，质量为m 的小球系在绳子的一端，绳穿过一铅直套管，使小球限制在一光滑水平面上运动。
先使小球以速度0v 。
绕管心作半径为r D 的圆周运动，然后向下慢慢拉绳，使小球运动轨迹最后成为半径为r 1的圆，求(1)小球距管心r 1时速度大小。
(2)由r D 缩到r 1过程中，力F 所作的功。
解 (1)绳子作用在小球上的力始终通过中心O ，是有心力，以小球为研究对象，此力对O 的力矩在小球运动过程中始终为零，因此，在绳子缩短的过程中，小球对O 点的角动量守恒，即10L L =小球在r D 和r 1位置时的角动量大小 1100r mv r mv = 100r r v v =(2)可见，小球的速率增大了，动能也增大了，由功能定理得力所作的功 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=-=1)(21 21)(21 21212102020210202021r r mv mv r r mv mv mv W2 如图所示，定滑轮半径为r ，可绕垂直通过轮心的无摩擦水平轴转动，转动惯量为J ，轮上绕有一轻绳，一端与劲度系数为k 的轻弹簧相连，另一端与质量为m 的物体相连。
物体置于倾角为θ的光滑斜面上。
开始时，弹簧处于自然长度，物体速度为零，然后释放物体沿斜面下滑，求物体下滑距离l 时，物体速度的大小。
解 把物体、滑轮、弹簧、轻绳和地球为研究系统。
在物体由静止下滑的过程中，只有重力、弹性力作功，其它外力和非保守内力作功的和为零，故系统的机械能守恒。
设物体下滑l 时，速度为v ，此时滑轮的角速度为ω则 θωsin 2121210222mgl mv J kl -++= （1）又有 ωr v = （2） 由式（1）和式（2）可得 m r J kl mgl v +-=22sin 2θ本题也可以由刚体定轴转动定律和牛顿第二定律求得，读者不妨一试。
3 如右图所示，一长为l 、质量为m '的杆可绕支点O 自由转动，一质量为m 、速率为v 的子弹射入杆内距支点为a 处，使杆的偏转为︒30。
吴百诗,大学物理习题解析答案1,2,3,4目录
吴百诗，《大学物理(下册)(第3次修订本B)》荣获国家教委优秀教材一等奖
大学物理习题解析答案2_西安交通大学出版社_吴百诗
文件（一）页码顺序P.1，10；P.100～109；P.11，P.110~119；P.12；P.120~129；P.13；P.130~139；P.14；P.140~149; P.15；P150~159；P.16；P.160~169；P.17。
第2章牛顿运动定律习题
第3章功和能习题（文件四）
第4章冲量和动量习题（文件四）
第5章刚体力学基础动量矩习题（文件四）
第6章机械振动基础习题第11章（文件二）
第7章机械波习题第12章（文件二）
第8章热力学习题第9章（文件二）
第9章气体动理论习题第10章（文件二）
《大学物理(下册)(第3次修订本B)》。
第10章静电场习题第6章（文件一、四）
第11章恒定电流的磁场习题第7章（文件一）
第12章电磁感应与电磁场习题第8章（文件一）
第13章波动光学基础习题（文件三）
第14章狭义相对论力学基础习题（文件三）
第15章量子物理基础习题（文件三）
第16章原子核物理和粒子物理简介习题（文件三）
第17章固体物理简介激光习题（文件三）。
大学物理2-1第5章
若质量离散分布：
（质点，质点系）
J i mi ri2
J r2 dm
若质量连续分布：
dm dl
其中： d m d s
d m dV
例题补充 求质量为m，半径为R 的均匀圆环的对中心 轴的转动惯量。 解： 设线密度为λ； d m d l
J R dm
2
2R
0
R dl
2
o
R
dm
R2 2R mR2
例题5-3 求质量为m、半径为R 的均匀薄圆盘对中心轴 的转动惯量。 解： 设面密度为σ。
取半径为 r 宽为d r 的薄圆环,
R
d m d s 2 r d r
J r d m r 2 2r 2 d r
2
3 3g 2L
2)由v r得： v A L
L 3 3 gL 3 3 gL vB 2 8 2
5.2 定轴转动刚体的功和能
一、刚体的动能 当刚体绕Oz轴作定轴转动时，刚体上各质元某一瞬时 均以相同的角速度绕该轴作圆周运动。
2 2 质元mi的动能 E ki mi v i mi ( i ri )2 mi ri 2
2）取C 点为坐标原点。 在距C 点为x 处取dm 。 说明
A
A
x dm
B
L
C
x
x
xd m B
L2
L2
2 mL x 2 d x 12
JC x 2 d m
L 2 L 2
1) 刚体的转动惯量是由刚体的总质量、质量分布、 转轴的位置三个因素共同决定; 2) 同一刚体对不同转轴的转动惯量不同， 凡提到转动惯量 必须指明它是对哪个轴的。
大学物理 刚体力学基础习题思考题及答案
解：（1）设杆的线密度为：，在杆上取一小质元，有微元摩擦力： ， 微元摩擦力矩：， 考虑对称性，有摩擦力矩： ； （2）根据转动定律，有：，
解：根据角动量守恒，有：
有： ∴
5-9．一质量均匀分布的圆盘，质量为，半径为，放在一粗糙水平面上 (圆盘与水平面之间的摩擦系数为)，圆盘可绕通过其中心的竖直固定光 滑轴转动。开始时，圆盘静止，一质量为的子弹以水平速度垂直于圆盘 半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求：（1）子弹击中圆盘后，盘所获 得的角速度；（2）经过多少时间后，圆盘停止转动。(圆盘绕通过的竖 直轴的转动惯量为，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。) 解：（1）利用角动量守恒： 得：； （2）选微分，其中：面密度， ∴由有：， 知：
得： 。
5-13．如图所示，物体放在粗糙的水平面上，与水平桌面之间的摩擦系 数为，细绳的一端系住物体，另一端缠绕在半径为的圆柱形转轮上，物 体与转轮的质量相同。开始时，物体与转轮皆静止，细绳松弛，若转轮 以绕其转轴转动。试问：细绳刚绷紧的瞬时，物体的速度多大？物体运 动后，细绳的张力多大？ 解：（1）细绳刚绷紧的瞬时前后，把物体和转轮、绳看成一个系统， 系统对转轴圆柱形中心角动量守恒，
（1） （2） （3）
（4） 联立方程可得 、， 。
5-2．一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴以角速度按图示方向转动，若 如图所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力 沿盘面方向同时作用到盘上，则盘的角速度怎样变化？ 答：增大 5-3．个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑 铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中，人、哑铃与转动平台 组成的系统的： （A）机械能守恒，角动量守恒；（B）机械能守恒，角动量不守恒； （C）机械能不守恒，角动量守恒；（D）机械能不守恒，角动量不守 恒。 答：（C）
刚体力学基础
v p 0
1。微分形式
M dt d L
dL M r F dt
L2 L1
2。积分关系
dL
t2
t1
M dt
刚体→质点系(连续体)
L
t2
M外 d t d L
dL M外 dt
t1
M dt
t2 L M 外 d t
3.刚体的转动（rotation): 刚体上的各点绕同一直线做圆周运动。这条直线称作转轴。
定轴转动──转轴相对参考系固定不动的转动。 特征：各点的角位移、角速度、角加速度相同。但线 位移、线速度、线加速度不同。
4.复杂运动可视为平动和转动的叠加。 二、刚体定轴转动的角量描述 1。转动平面：刚体定轴转动时，任一 质点作圆周运动的垂直于转轴的平面 某一时刻， 不同点的：
二、转动惯量J 1.定义：
Moment of inertia
J mi ri2
第i质元到转轴的垂直距离
J 的单位：kg· m2
m
第i质元的质量
如质量连续分布，则有：
2 r dm J lim mi ri 0
2 m i 0
质量分布
2。物理意义：物体转动惯性大小的量度
t1
[例题6]一棒长l,质量m,其质量分布与到 O点的距离成正比，将细 棒放在粗糙的水平面上，棒可绕O点转动，如图，棒的初始角速 度为ω0 棒与桌面的摩擦系数为μ。 求:(1)细棒对O点的转动惯量。(2)细棒绕O点的摩擦力矩。 （3）细棒从以ω0 开始转动到停止所经历的时间。 解：
(1) d m d r
2 2
J c md 0
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习题课
2020/4/11
1
刚体力学基础
一、基本概念 1.刚体及其平动、转动、定轴转动
理想化的力学模型 特性：特殊的质点系(牛顿力学)
2.转动惯量
刚体对定轴的转动惯量等于刚体中每个质点的质量
与这一质点到转轴的垂直距离的平方的乘积的总和。
J miri2 J r 2dm
i
m
3.转动动能 (刚体中各质元的总动能)
解：t = 4s 时，1 0 1t1 1t1 则
两轮边缘上点的线速度大小相等： 1r1
1
2r2
1
t1
主动轮在4s内的角位移
1
n1
0t1
1 2
1 2
1t12
1 2
1t12
1
4
r2 r1
2t1
1
4
1 r2
2 r1
5 2
8
2 t1
4 20(rev)
2020/4/11
12
4. (P29 46) 一可绕定轴转动的飞轮，在20N·m的总力矩 作用下，在10s内转速由零均匀地增加到8 rad/s，飞轮
t2 t1
v Mdt
v L2
v L1
v L
4. 角动量守恒定律
如果刚体所受的对于某一固定轴的合外力矩为零，
则它对于这一固定轴的角动量保持不变。
M外z 0，则 J zω const .
5. 机械能守恒
对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律
仍成立。 2020/4/11
6
三、习题基本类型
1.定轴转动的运动学问题
(1) 冲量矩（力矩对时间的积累效应）
元冲量矩：Mvdt 力矩乘以力矩所作用的时间。
(2)
力矩在t1→t2内总冲量矩：
角动量（动量矩）
t2 t1
v Mdt
刚体对固定转动轴的角动量,等于它对该轴的转动惯
量和角速度的乘积。
v L
Jv
2020/4/11
4
二、基本规律
1. 刚体定轴转动的转动定律
刚体所受的对于某一固定转动轴的合外力矩等于刚
体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获
得的角加速度r的乘积。r
M外 J
J
dr
dt
2.刚体定轴转动的动能定理
合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等
于刚体的转动动能的增量。
A
1 2
J22
1 2
J12
Ek 2
Ek1
2020/4/11
5
3. 刚体的角动量定理
v
微分形式：
v M外
dL dt
积分形式：
(B) vv 25.1iˆ 18.8 ˆj
(C ) vv 25.1iˆ 18.8 ˆj
( D) vv 31.4kˆ
∴选（B ）
分析：ωω=v60r2eπv/mkˆin=1rev/s=2πrad/s
rv 3iˆ 4 ˆj 5kˆ
该∴时P刻点P在点转的动速平度面为内: 对vv圆 心ωv
o′R的v 矢2径πkˆ为:(3iˆ
R mR2 (V )
∴选（A ） 2020/4/11 [ ] 同课本p120.5-14
JR
11
3.（p29. 45 ） 半径为20cm 的主动轮，通过皮带拖动半径 为50cm的被动轮转动。主动轮从静止开始作匀角加速转
动，在4s内，被动轮的角速度达到8πrad.s-1，则主动轮在
这段时间内转过了_____圈。
时，弹簧处于自然长度，墙和地面都是光滑的。当梯子
12
E 2 m v 2020/4/11 ki
ii
Ek
1 J2
2
2
4.力矩及其功和功率
（1）对Mv转轴rv的力Fv矩Mv z
rvi
v Fi
i
（2）力矩的功(力矩的空间积累效应)
元功: dA Md
总功：A 2 M d 1
（3）功率：
N dA M d M
dt
dt
2020/4/11
3
5.冲量矩和动量矩
v R
4
3iˆ
ˆj )
4
ˆj
6πˆj 8πiˆ 25.1iˆ ຫໍສະໝຸດ 8.8 ˆj2020/4/11
10
2.(P24 18) .质量为m的小孩站在半径为R 的水平平台边缘 上，平台可以绕通过其中心的竖直光滑固定轴自由转动，
转动惯量为 J 。平台和小孩开始时均静止。当小孩突然
以相对于地面为V 的速率在台边沿逆时针转向走动时，
受力分析和受力矩须取隔离体），并用线角量关系将
F=ma与M=J 联系起来；
（4）计算对轴的转动惯量；
（2502）0/4/1解1 方程，求未知，并对结果进行必要的讨论。8
4.定轴转动中的功能问题 解法：利用动能定理和机械能守恒定律
5.角动量原理及角动量守恒定律 6.混合题型
解法：
应用运动学公式、转动定律和角动量守恒定律。
的转动惯量J＝
。
解：初角速度为: ω0=0
末角速度为: ω=8(rad/s)
角加速度为：β ω ω0 8 0 0.8(rad / s2 )
t
10
利用定轴转动中的转动定律 M Jβ
J M 20 25(kg m2 ) β 0.8
2020/4/11
13
5. (P29 47) 一长为l、重W的均匀梯子，靠墙放置，如图， 梯子下端连一倔强系数为k 的弹簧。当梯子靠墙竖直放置
则此平台相对地面旋转的角速度和旋转方向分别为
mR 2 V
（A） ω ，( 顺) 时针；
JR
（B）
ω
mR 2 V
，( 逆) 时针；
JR
分析：
选逆时针为正
（C） mR 2 ，(顺V 时) 针；
J mR 2 R
J RmV 0
J
mR2
V (
)
0
（D） mR 2 ，(逆V 时) 针。
J mR 2 R
四、典型习题分析与讲解
2020/4/11
9
1(为.(rP沿24Z13轴7iˆ)正. 4一方ˆj刚向体5)k。ˆ以,设其每某单分时位钟刻为6刚0“转体10绕上-2m一z ”轴点，做P若的匀以位速“置转10矢动-2量m•s-1”
为速度单位，则该时刻P点的速度为：
( A) vv 94.2iˆ 125.6 ˆj 157.0kˆ
若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体
对其转动惯量为J，则有 J＝JC＋m d 2。
3.定轴转动的动力学问题
rr
解法：利用定轴转动中的转动定律 M J
步骤：
（1）审题，确定研究对象；
（2）建立坐标系；
（3）对研究对象进行受力分析和受力矩分析，并按
坐标系的正方向写出外力矩的表达式及规律方程（注：
解法：利用定轴转动的运动学描述关系
d
dt
0
0
0t
t
d
dt
1 2
t2
d2
dt 2
vr
v r
at r
an r ωr rr z
2
ω
2
2 0
2(
0)
v
2.转动惯量的计算
•P
解法（：1）定义法：J Δmiri2
Or
i
J r2dm r2 ρdV
定轴
2020/4/11
7
（2）平行轴定理