2021浙江省新高考名校交流理科数学模拟试卷及答案详解

2021浙江省新高考名校交流理科数学模拟试卷数学试题命题学校：杭州二中本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间为120分钟参考公式：柱体的体积公式：V Sh =（其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高）锥体的体积公式：13V Sh =（其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高）台体的体积公式：()1213V h S S =（其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高）球的表面积公式：24S R π=，球的体积公式：343R V π=（其中R 表示球的半径）如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中时间A 恰好发生k 次的概率()()1n kk k n n P K C p p -=-（0,1,2,,k n =）第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.集合6,5A x x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N Z ，{}2340B y y y =--≤，则A B ⋂=（ ） A .{}2,3B .{}2,3,4C .{}1,2,3-D .{}1,2,3,4-2.双曲线22220x y --=的渐近方程为（ ）A .2y x =±B .y =C .12y x =±D .2y x =±3.已知()()sin sin x x ϕϕ+=-+，则ϕ可能是（ ） A .0B .2πC .πD .2π4.若实数x ，y 满足约束条件322x y x y +≤⎧⎨-≤⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A .2B .3C .133D .1435.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A .3B .4C .5D .66.已知a ∈R ，则“sin 2cos αα=”是“sin 2410πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭”的（ ） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件7.甲.乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率为13，乙、丙打中的概率均为4t （04t <<），若甲、乙、丙都打中的概率是948，设ξ表示甲、乙两人中中靶的人数，则ξ的数学期望是（ ） A .14B .25C .1D .13128.正项等比数列{}n a 中，21a =，3516a a ⋅=，则2413a a a a ++的值是（ ） A .2B .4C .8D .169.如图已知矩形ABCD ，22AB AD ==，将DBC △沿着DB 翻折成一个空间四边形（A ，B ，C ，D 不共面），E ，F ，M ，N ，P 分别为AB ，CD ，AC ，BD ，CB 的中点，设二面角C BD A --的平面角为θ.下面判断错误的是（ ）A .MN ⊥平面EFPB .存在θ，使得MN 与DC 垂直C .当平面ADB ⊥平面DCB 时，2cos 5CDA ∠=D .当平面ADB ⊥平面ACB时，tan θ=10.若关于x 的不等式2664ax x ax ++--≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A .(],1-∞ B .[]1,1-C .[)1,-+∞D .(][),11,-∞-+∞第Ⅰ卷（非选择题，共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 11.已知复数1iz i=-，其中i 是虚数单位，则z z ⋅=______. 12.已知sin 2cos 0αα+=，则tan α=______；22sin 2cos αα-=______.13.已知2313nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式共有6项，则n 的值是______；其中常数项为______. 14.已知两个单位向量1e ，2e ，若1212e e ⋅=，12e e -=______；1212ee e e λ++-的最小值是______.15.存在第一象限的点()00,M x y 在椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上，使得过点M 且与椭圆在此点的切线00221x x y y a b +=垂直的直线经过点,02c N ⎛⎫⎪⎝⎭（c 为椭圆半焦距），则椭圆离心率的取值范围是______. 16.设正数a ，b 满足22144a b ab++=，则a =______；b =______. 17.已知函数()122x f x x t t =-+-，[]0,1x ∈，t 为常数，它的最大值为32，则t 的取值范围为______.三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18.（本题满分14分）设ABC △的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且2a =，1b =，2C A =.（1）求c 的值；（2）求sin cos 63C C ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.19.（本题满分15分）在数列{}n a ，{}n b 中，已知11a =，112n n a a +=，且()()12121416n b b nb n n n +++=+-，（*n ∈N ）.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T .20.（本题满分15分）设三棱柱111ABC A B C -，AB BC CA ==，1A A ⊥平面ABC ，M 、D 分别为AB 、1BB 的中点，12AA =，1AC =.（1）求证：CM ⊥平面1A B ；（2）求1C D 与平面1A B 的角的正弦值；（3）求平面1ADC 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值.21.（本题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）过点12⎫⎪⎭，离心率为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）设M 是椭圆C 上一点，且M 点不在坐标轴上，点(),0A a ，()0,B b ，已知直线MA 与y 轴交于点P ，直线MB 与x 轴交于点Q .求证：AQ BP ⋅为定值，并求出该定值.22.（本题满分15分）已知()ln f x x =，()g x = （1）若()()()af xg x g x +≥在(]0,1x ∈上恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若m ，0n >，1m n +=，求证：()()()()2214f m f ng m g n -<.浙江省新高考名校交流模拟卷·数学（二）参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1.D 【解析】{}6,1,2,3,45A xx x ⎧⎫=∈∈=-⎨⎬-⎩⎭N Z ，{}{}234014B y y y y y =--≤=-≤≤，所以{}1,2,3,4A B =-.2.A 【解析】2212x y -=，a =1b =，所以渐近线方程为2y x =±.3.B 【解析】可带入检验，左式sin cos 2x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，右式sin cos 2x x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭.4.D 【解析】由约束条件确定的可行域如图所示.由2z x y =+得2y x z =-+，显然当2y x z =-+经过点54,33A ⎛⎫⎪⎝⎭时，在y 轴上的截距z 取最大值，此时54142333z =⨯+=，所以z 的最大值为143.5.C 【解析】还原成立体图形，一个长方体，截去两个三棱锥.6.A 【解析】①α为第一象限，sinα=，cos α=，sin 2410πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，②α为第三象限，sinα=，cos α=，sin 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，反之，sin 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，22222sin cos cos sin 1cos sin 5αααααα+-=+，即222tan 1tan 1tan 21tan 5αααα+-=⇒=+或1tan 3α=-，∴“tan 2α=”是sin 2410πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭的充分不必要条件. 7.D 【解析】9148344t t=⨯⨯，3t =列出分布列，利用期望公式计算. 8.A 【解析】21a =，235416a a a ⋅==，44a =，24132a a q a a +==+. 9.B 【解析】逐项分析【选项A 解析】如图①易知ENFM 是菱形，所以MN EF ⊥，如图②，连接NC ，NA ，知NC NA ==，所以ANC △是等腰三角形，得MN AC ⊥，易知中位线PE AC ∥，故MN PE ⊥，由（1）（2）可得，MN ⊥平面EFP .【选项B 解析】由A 解析可知，MN ⊥平面EFP ，可得MN FP ⊥，易知中位线FP BD ∥，故有MN BD ⊥.若选项B 成立，存在θ，使得MN 与DC 垂直MN ⇒⊥面BCD MN NC ⇒⊥，与右图ACN △等腰矛盾.【选项C 解析】当平面ADB ⊥平面DCB 时，如右图做CG BD ⊥，连接AG ，易知CG =，BG =，由2222cos AG AB BG AB BG ABG =+-⋅∠，其中cos ABG ∠=AG =，因为ACG △是直角三角形，所以AC =，故2222cos 25AD CD AC CDA AD CD +-∠==⋅.【选项D 解析】当平面ADB ⊥平面ACB 时，因为AD AB ⊥，所以AD ⊥面ABC 故AD AC ⊥，易得AC =，ABC △为Rt △.由CDT HBT △≌△，得25HT BT HTHTCT DT=⇒=⇒=，12BH=，易证CH AB⊥，则CH⊥面ABD所以CH HT⊥，易知2CH=，故tan tan CHCTHHTθ=∠==10.B【解析】（1）当x≥或x≤时，260x ax--≥，不等式2664ax x ax++--≥为24x≥，若不等式2664ax x ax++--≥恒成立，必需21122aaa≥≥-⎧⇒⎨⎨≤⎩-⎪≤-⎪⎩所以11a-≤≤.（2）x<<时，260x ax--<，不等式为()2664ax x ax+---≥即2280x ax--≤（i）当0x=时，不等式2280x ax--≤对任意a恒成立，（ii）当0x<<时，不等式2280x ax--≤恒成立即42xax≥-恒成立，所以4aa≥，解得1a≥-，（iii）当“0x<<时，不等式2280x ax--≤恒成立，即42xax≤-恒成立，所以4aa≤解得1a≤，综上，实数a的取值范围是[]1,1-.二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11.12【解析】()211112i i i i z i i +-===--，211112242i i i z z ----⋅=⋅==. 12.2-；25【解析】由sin 2cos 0αα+=，得sin 2cos αα=-，即tan 2α=-；2222222222sin 2cos sin 2cos tan 22sin 2cos 1sin cos tan 15αααααααααα----====++. 13.5；109【解析】2313nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式有6项，易知n 为5，即 ()()()()()51234554321202122232425555555333333111111333333x C x C x C x C x C x C x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中常数项为第三项，即()223225315411031239C x x ⨯⎛⎫⎛⎫-=⨯-= ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭. 14.1；2121cos 2e e θ⋅=，60θ=︒，如下图所示，得到一个正三角形，12e e -就是BA ，故121e e -=，平移1e ，可得12CB e e =+，且60BOA A ∠=∠=︒， 30BCA ∠=︒，所以90CBA ∠=︒，故123e e +=，由上图可知，设2OD e λ=，则12DA e e λ=-，易知当AD OD ⊥时，有12e e λ-的最小值为2，故1212e e e e λ++-的最小值是22=.15.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】本题考查椭圆的离心率，由题可得002MN y k c x =-，切线的斜率2020b x k a y -=；因为两直线垂直，所以20020012y b x c a y x ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭-，即有()2202222a c a x c ab ==-，因为()00,M x y 在第一象限，所以22a a c <，解得2a c <，所以离心率12c e a =>，因为01e <<，所以112e <<.16.1；12【解析】()222114244a b a b ab ab ab ++=-++≥=，当且仅当20a b -=且21ab =，即1a =，12b =时，“=”成立.所以1a =，12b =.17.14t ≥-【解析】当[]0,1x ∈，1321,22x m x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，①当1t ≥时，()13222x f x x =-≤，符合题意，②当32t ≤-时，()13221222xf x x t t ⎛⎫=---≤-= ⎪⎝⎭，14t =-（舍去），③当312t -<<时，若312t t t t -+-≥+-，即14t ≤-，()max 31122f x t t t =-+-=-=，14t =-，若312t t t t -+-≤+-，即14t ≥-，()max 3322f x t t =+-=，14t ≥-，所以14t ≥-时，最大值为32.三、解答题（本大题共5小题，共74分）18.（14分）解：（1）由2C A =，知sin sin 22sin cos C A A A ==，由正弦定理、余弦定理得222sin 2cos 2sin 2a C b c a c a A a A bc+-===⋅，2a =，1b =，c ∴=（2）由余弦定理得2224161cos 244a b c C ab +-+-===-，由于0C π<<，所以sin 4C ===，故sin cos 63C C C ππ⎛⎫⎛⎫-+-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 19.（15分）解：（1）由已知得数列{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，112n n a -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，当2n ≥时，()()()1211211456n b b n b n n n -+++-=--，()()()()1114114566n nb n n n n n n ∴=+----，()21n nb n n ∴=-，21n b n ∴=-，（2n ≥），当1n =时，11b =，21n b n ∴=-. （2）因为112233n n n T a b a b a b a b =+++，即()21111113521222n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⋅，则()23111111352122222n nT n =⨯+⨯+⨯++-⋅，()2311111111221222222n n n T n -⎛⎫∴=++++--⋅ ⎪⎝⎭，()()2311111111111123222421242161222222212nn n n n n n T n n -----+⎛⎫∴=++++--⋅=+⋅--⋅=- ⎪⎝⎭-. 20.（15分）解：（1）证明：111AA ABC AA CM CM ABC CM AB CM AA AB A ⎫⊥⎫⇒⊥⎪⎬⊂⎭⎪⎪⊥⇒⊥⎬⎪=⎪⎪⎭平面平面平面1A B .（2）取11A B 中点E ，连ED ，1C E .因为1C E CM ∥，所以由（1）得，1C E ⊥平面1A B ，于是1C DE ∠为所求角，在1Rt C DE △中，111sin C EC DE CD ∠==. （3）延长1C D，CB 交于点G ，连接AG ，因为2CG =，1AC =，60ACG ∠=︒，所以CA AG ⊥.又1AA AG ⊥，所以AG ⊥平面1AC ，所以1AG AC ⊥，所以1C AC ∠为所求角.在1Rt C AC △中，11cos CA CAC C A ∠==.21.（15分）解：（1）由2c a =可得2a b =，可设椭圆C 的方程为222214x y b b +=，又点12⎫⎪⎭在椭圆C 上，得1b =，因此，椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设椭圆上点()00,M x y ，则220014x y +=，由于M 点不在坐标轴上，直线MA 和直线MB 都存在斜率，则直线MA ：()0022y y x x =--，令0x =，得0022P y y x -=-，00212y BP x ∴=+-，直线MB ：0011y y x x -=+，令0y =，得001Q x x y -=-，0021x AQ y ∴=+-，所以2200000000000000000000222224444821121222x y x y x y x y x y x y AQ BP y x y x x y y x +-+-+++--⋅=+⋅+=⋅=------+，220014x y +=，220044x y ∴+=代入上式得 ()0000000000000000422448842222x y x y x y x y AQ BP x y x y x y x y --+--+⋅===--+--+，故AQ BP ⋅为定值4. 22.（15分）解：（1）法一：变量分离，转求最值(]0,1x ∀∈，ln a x x ≥-令()ln h x x x =-，(]0,1x ∈，()h x '=，(]0,1x ∈，令()ln 2u x x =-，(]0,1x ∈，()u x '=，(]0,1x ∈，()0u x '∴≤恒成立，即()u x 单调递减，所以()()()100u x u h x '≥=⇒≥恒成立()h x ⇒单调递增()()11h x h ⇒≤=，所以1a ≥.法二：先猜后证，令11x a =⇒≥，再证充分性.（2）即证1ln ln4m n mn ⋅-<，由ln x >， ()0,1ln 0ln xt m m⇒>=⇒<-<，同理0ln n <-<，从而ln ln m n mn mn ⋅-<，10,2mn ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，2111244mn ⎫=-+≤⎪⎭，得证.。