2017高考数学高三一轮复习优化重组卷理科参考答案

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湖北省稳派教育2017届高三一轮复习质量检测数学(理)试题 Word版含答案

2017届湖北省高三一轮复习质量检测数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数521z i =-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数对应的点位于复平面的（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2. 已知集合{}1,0,1,1cos ,2M N y y x x M π⎧⎫=-==-∈⎨⎬⎩⎭，则集合M N 的真子集的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．43. 已知 331,,ln 3a b x c x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，当 2x > 时，,,a b c 的大小关系为（）A ． a b c <<B ．a c b <<C ． c b a <<D ． c a b <<4. 若向量 ,a b 满足2,a b ==且()b a b ⊥+则a 与b 的夹角为（）A ．6π B ．3π C. 23π D ．56π5. 已知命题p ：0,,sin 02x x x π⎛⎫∀∈-< ⎪⎝⎭，命题q ：()0010,,22xx ∃∈+∞=，则下列命题为真命题的是（）A ．p q ∧B ．()()p q -∧- C. ()p q ∧- D ．()p q -∧ 6. 6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的内切球的表面积为（）A ．23π B ．43πC. 3π D ．4π7. 斐波拉契数列0,1,1,2,3,5,8…是数学史上一个著名的数列，定义如下：()()()()()()00,11,122,F F F n F n F n n n N ===-+-≥∈，某同学设计了—个求解斐波拉契数列前15项和的程序框图，那么在空白矩形框和判断框内应分别填入的语句是（）A ．,14c a i =≤B ．,14b c i =≤ C. ,15c a i =≤ D ．,15b c i =≤8. 已知双曲线22132x y -=的左，右焦点分别为1F ，2F ,O 为坐标原点，圆O 是以12F F 为直径的圆，直线0l t +=与圆O 有公共点.则实数t 的取值范围是（） A．⎡-⎣ B ．[]4,4- C.[]5,5- D．⎡-⎣9. 已知函数()f x 是奇函数，且满足()()()2f x f x x R -=∈，当01x ≤＜时,()ln 2f x x =+,则函数()y f x = 在4]2-（，上的零点个数是（） A ．7 B ．8 C.9 D ．10 10. 设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20174034S = ,则9200919a a +的最小值为（）A ．32 B ．94C.2 D ．4 11. 将函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭向右平移12π个单位后得到()y g x =的图象，若函数()y g x =在区间[](),a b b a >上的值域是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a －的最小值m 和最大值M 分别为（）A ．,63m M ππ==B ．2,33m M ππ==C. 4,23m M ππ== D ．24,33m M ππ== 12. 已知函数()()121r f x x e mx +=++，若有且仅有两个整数使得()0f x ≤.则实数m 的取值范围是（）A ．33,22e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．235,23e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C. 235,23e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．32,2e e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布2 110()10N ，,已知100110 () 0.36P ξ≤≤=，估计该班学生数学成绩在120分以上的有______人.14. 若二项式()620a x a ⎛> ⎝展开式中的含2x 的项的系数为60 .则()221a x x dx --⎰=___________.15. 设变量,x y 满足20220390x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩.若()20z a x y a =+>的最大值为 4 .则a =______________.16. 已知数列{}n a 满足()1111,2,2n n na a a n n N -=-=≥∈,且{}21n a -是递减数列，{}2n a 是递增数列，则1056a － =____.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数())2cos sin 0,3f x x x x x R πωωωω⎛⎫=->∈ ⎪⎝⎭，且函数()y f x =图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π. （Ⅰ）求ω 的值及()f x 的对称柚方程；（Ⅱ）在ABC ，中，角,,A B C 的对边分別为,,a b c .若()1,3f A C a ===求b 的值.18.为创建全国文明城市，某区向各事业行政单位征集“文明过马路”义务督导员.从符合条件的600名志愿者中随机抽取100名，按年龄作分组如下：[20,25) , [25,30) , [30,35)， [35,40) , [40,45] ，并得到如下频率分布直方图.(Ⅰ)求图中x 的值，并根据频率分布直方图统计这600名志愿者中年龄在[30.40)的人数； (Ⅱ)在抽取的100名志愿者中按年龄分层抽取10名参加区电视台“文明伴你行”节目录制，再从这10名志愿者中随机选取3名到现场分享劝导制止行人闯红灯的经历，记这3名志愿者中年龄不低于35岁的人数为X ,求X 的分布列及数学期望.19.如图1，已知矩形ABCD 中，2,AB BC ==点E 是边BC 上的点，且13CE CB =，DE 与AC 相交于点H .现将ACD 沿AC 折起，如图2,点D 的位置记为D ' ，此时'D E =.(Ⅰ)求证：DH '⊥平面ABC ； (Ⅱ)求二面角H DE A '－－的余弦值.20.已知抛物线2:y Γ=的焦点1F 与椭圆()2222C:10x y a b a b+=>>的一个焦点重合，Γ的准线与x 轴的交点为1F ,若Γ与C 的交点为,A B ，且点A 到点12,F F 的距离之和为4. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若不过原点且斜率存在的直线l 交椭圆C 于点G ，H ，且OGH 的面积为1，线段GH 的中点为P .在x 轴上是否存在关于原点对称的两个定点M ，N ,使得直线,PM PN 的斜率之积为定值？若存在，求出两定点,M N 的坐标和定值的大小；若不存在，请说明理由.21.已知函数()()ln 1f x m x nx =+-在点()()1,1f 处的切线与y 轴垂直，且()1'23f =-, 其中,m n R ∈.（Ⅰ）求,m n 的值,并求出()f x 的单调区间;（Ⅱ）设()22g x x x =-+,确定非负实数a 的取值范围，使不等式()()f x x ag x +≥在[)0,+∞上恒成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 0sin 2x t t y t απαα=+⎧⎛⎫<<⎨⎪=⎝⎭⎩为参数，，若以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2cos 4cos 0,02ρθθρρθπ+=≥≤≤.（Ⅰ）当3πα=时，求直线l 的普通方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交,A B 两点.求证：,OA OB是定值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()f x x a =-,若不等式()3f x ≤的解集为{}15x x -≤≤. （Ⅰ）求实数a 的值：（Ⅱ）若不等式()()33f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.试卷答案一、选择题1．【答案】B 因为复数()()()521512212121i z i i i i --===------.所以12z i =-+.其对应的点为 1.2（-），它位于复平面的第二象限故选B 2．【答案】C因为{}0.1N =，所以{}0,1M N = ,其真子集的个数是3.故选C. 3．【答案】B取x c =，则3111,1,ln 133cc a b c c c ⎛⎫==<=>== ⎪⎝⎭.所以a c b << .故选B4．【答案】D因为()b ab ⊥+，所以()0b a b +=，即22c o s ,0a b b a b a bb +=+= ，所以22c o s ,ba b b a b+=-= ，又[],0,a b π∈，所以a 与b 的夹角为56π，故选D.5．【答案】C对于命题p .记()sin f x x x =-.由()'cos 10f x x =-≤.可知()f x 是定义域上的减函数.则0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()00f x f ≤=，即s i n 0x x -<，所以命题p 是真命题.对于命题q ,当00x >时,021x >，所以命题q 是假命题.于是()p q ∧-为真命题，故选C.6．【答案】B由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，则几何体的表面积为11222422S =⨯⨯⨯⨯⨯=，该几何体的体积为112432V =⨯⨯⨯.设其内切球半径为r，则143V Sr ===，求得r =，所以224443S r πππ==⨯=⎝⎭球.故选B 7．【答案】B依题意知，程序框图中变量S 为累加变量，变量,,a b c （其中c a b =+）为数列连续三项，在每一个循环中，计算出S 的值后，变量b 的值变为下一个连续三项的第一项a ，即a b = ，变量c 的值为下一个连续三项的第二项b ，即b c = ，所以矩形框应填入b c = ，又程序进行循环体前第一次计算S 的值时已计算出数列的前两项，因此只需再循环12次就完成，所以判断框中应填入14i ≤ .故选B. 8．【答案】C双曲线22132x y -=的左，右焦点分别为())12,F F ，从而圆O 的方程为225x y +=.0t +=与圆O≤55t ≤≤－ ,即实数t的取值范围是[－5,5].故选C. 9．【答案】C由函数()f x 是奇函数且满足()()2f x f x -=知，()f x 是周期为4的周期函数，且关于直线()12x k k R =+∈成轴对称，关于点()()2,0k k Z ∈成中心对称.当01x <≤ 时，令()ln 20f x x =+=，得21x e =，由此得()y f x =在(]2,4-上的零点分别为2222221111112,,0,,2,2,2,4,4e e e e e e -+--+-+共9个零点.故选C. 10．【答案】D由等差数列的前n 项和公式，得()120172017201740342a a S +==，则120174a a +=.由等差数列的性质得920094a a +=，所以()()920099200992009191191106444a a a a a a ⎛⎫+=++=+= ⎪⎝⎭.故选D. 11．【答案】B将函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭向右平移12π后得到()sin 2sin 21263y g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由函数()sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象可知，当函数的值域是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，最小值512123m πππ=-=，最大值223M m π==.故选B. 12．【答案】B依题意由()0f x ≤，得()1210x x e m x +++≤，即()121x mx x e +≤-+.设()g x mx =，()()121x h x x e +=-+，则()()()111'22123x x x h x e x e x e +++⎡⎤=-++=-+⎣⎦.由()'0h x >得()230x -+>，即32x <-；由()'0h x <得()230x -+<，即32x >-.所以当32x =-时，函数()h x 取得极大值.在同一直角坐标系中作出()(),y h x y g x ==的大致图象如图所示，当0m ≥时，满足()()g x h x ≤的整数解超过两个，不满足条件.当0m <时，要使()()g x h x ≤的整数解只有两个，则需要满足()()()()2233h g h g ⎧-≥-⎪⎨-<-⎪⎩，即123253e m e m --⎧≥-⎨<-⎩，解得23253m em e ⎧≥-⎪⎪⎨⎪<-⎪⎩，所以23523m e e -≤<-.故选B.二、填空题13．【答案】7由题意可知()()1200.51001100.50.360.14P P ξξ=>=-≤≤=-=，所以估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为50×0.14=4（人）.故填7. 14．【答案】0设62ax ⎛ ⎝展开式的通项为()()1512626221661kk kk k k k k T C axx C a x ----+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令51222k -=，求得4k =.于是展开式中2x 项的系数为22615k C a a = ，则21560a =,注意到0a > ，求得2a = .所以()()()()21|23222323211111222211333ax x dx x x dx x x ---⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=-=-=⨯--⨯--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰44033=-+=.故填0. 15．画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由2z a y y =+得2y a x z =-+，目标函数z的最大值，即是直线2y a x z =-+在y 轴上的最大截距.由图形可知，当直线2y a x z =-+过点A 时，在y 轴上的截距取得最大值.由20390x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得715,44A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2715444a +=，注意到0a >，求得a =..16．【答案】1512由于{}21n a -是递减数列，因此21210n n a a +--<，于是()()2122210n n n n a a a a +--+-<①. 因为2121122n n +<，所以212221n n n n a a a a +--<-②.由①②知2210n n a a --<.因为{}2n a 是递增数列，所以2220n n a a +->，22212120n n n n a a a a +++-+->，2221212n n n n a a a a +++-<-，所以2120n n a a +->.于是()()()921012231111221111111516222212a a a a a a a a ⎡⎤⎛⎫---⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+-+-++-=-+--=+=- ⎪⎝⎭+ ，所以10911565122a -==.故填1512. 三、解答题17.【解】（Ⅰ）()21cos sin 2f x x x x x ωωωω⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭21sin cos 2x x x ωωω=)1sin 21cos24x x ωω=+1sin 224x x ωω= 1sin 223x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由函数()y f x =图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π，得112,4424T ππω==，求得1ω=.当1ω= 时，()1sin 223f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()232x k k Z πππ+=+∈,求得()122k x k Z ππ=+∈.即()f x 的对称轴方程为()122k x k Z ππ=+∈. （Ⅱ）由（Ⅰ）知()1sin 223f A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即s i n 23A π⎛⎫+=⎪⎝⎭.所以222223333A k x A k x ππππ+=++=+或，解得()6A k A k k Z πππ==+∈或.又因为()0,A π∈，所以6A π=由()11sin ,0,,sin 32C C A π=∈=知6C π<，求得cos C =所以()s i n B s i n s i n c o s c AC A C A =+=+，又a =，由正弦定理得sinB 61sin 2a b A===. 18. 【解】（Ⅰ）因为小矩形的面积等于频率. 所以()0.010.020.040.0751x ++++⨯=，求得0.06x =.所以这600名志愿者中，年龄在[30,40]人数为()6000.070.065390⨯+⨯=（人）.（Ⅱ）用分层抽取的方法从中抽取10名志愿者，则年龄低于35岁的人数有()1000.010.040.0756⨯++⨯=（人），年龄不低于35岁的人数有()1000.060.0254⨯+⨯=（人）. 依题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3，则()()223464*********,162C C C P X P X C C ====== ,()()231464331010312,31030C C C P X P X C C ======.所以X的分布列为数学期望为()1131601236210305E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.19.【解】（Ⅰ）在矩形ABCD中，因为12,3,,3AB BC CE CB====,所以tan tanCE ABEDC ACBCD BC∠==∠==,则EDC ACB∠=∠.又因为2DCA ACBπ∠+∠=，所以2EDC DCAπ∠+∠=.则2DHCπ∠=,所以AC DE⊥，即D H AC'⊥.又△CHE∽△AHD,且13CEAD=,所以34343'434343D H D E==+=⨯=,1144HE DE===.则22210''3D H HE D E+==,所以DH HE'⊥.而直线AC与HE是平面ABC内的两条相交直线，所以DH'⊥平面ABC.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,,HA HE HD'相互垂直，所以以H为坐标原点，,,HA HE HD'分别为,,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系H xyz-,则13343,444HA AC==⨯=114144HC AC==⨯=，所以()()(0,0,,3,,0,E H A D⎛⎫⎪⎪⎝⎭,3,,0,EA ED⎛⎫⎛==⎪⎪⎝⎭⎝.设平面AED'的法向量为(),,m x yz=，则EA mED m⎧=⎪⎨=⎪⎩，即30x yy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.取y=，则1,3x z==，所以13m⎛=⎝⎭.又平面HD E'的一个法向量为()1,0,0n=，设二面角'H D E A--的平面角为θ，则1cosm nm nθ==='H D E A--.20.【解】（Ⅰ）因为抛物线2:yΓ=的焦点)1F与椭圆C：()222210x ya ba b+=>>的一个焦点重合，所以c 又因为抛物线Γ的准线与x轴的交点为)1F ，且点A 到点12,F F 的距离之和为4，根据椭圆上的定义知24a = ，解得2a = .所以222431b a c ===－－. 于是所求椭圆C 的方程为2214x y +=.（Ⅱ）设直线()()()1122:0,G ,,H ,l yk x m m x y x y =+≠，联立2214y k xm x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222148440k x k m x m +++-=.由判别式和根与系数间的关系知()()()()2222284144416410km k m k m ∆=-+-=+->，2121222844,1414km m x x x x k k -+=-=++根据弦长公式知12GH x =-=又根据点到直线的距离公式知原点O 到直线y kx m =+的距离为d =于是OGH的面积为112S GH === .整理得()2221420k m +-=，所以221420k m +-=①又线段GH 的中点224,1414km m P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，即21,2k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 假设存在满足条件的定点M,N ，不妨设()(),),0,0(0M s N s s >-,直线,PM PN 的斜率之积为t ，则有()222111222244PM PNm m t k k k k k s m s s m m==⨯=----+ .整理得222144k s m t -=②.将①代入②，得()2212104s m t ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭.由直线l 的任意性可得2201104s t ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得14s t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩.于是存在两定点())0,0M N，使得直线PM ，PN 的斜率之积为定值，定值为14-.21. 【解】（Ⅰ）对()f x 求导，得()'.1mf x n x =-+若()f x 在点()()1,1f 处的切线与y 轴垂直，则02mn -=，又()1'23f =-，则133m n -=-.由02133mn m n ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，求得21m n =⎧⎨=⎩所以()()2ln 1f x x x =+-，定义域为()1,-+∞，对()f x 求导，得()21'111xf x x x -=-=++.由()'0f x >，求得-1<x<1，即()f x 的单调递增区间为（－1，1）；由()'0f x <，求得1x > ，即()f x 的单调递减区间为（1，+∞）.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，不等式()()f x x ag x +≥即是()()22ln 12x a x x +≥-+，于是问题可转化为不等式()()22ln 120x a x x +--+≥在[0，+∞）上恒成立时，确定非负实数a 的取值范围.记()()()22ln 12h x x a x x =+--+，则()()2212'2211ax a h x ax a x x +-=+-=++. ①当0a = 时，对()20,'01x h x x ∀≥=>+，则()h x 在[0，+∞）上为增函数. ②当0a > 时，令()'0h x =，则210ax a +-=，当10a ≥－，即01a <≤ 时，对0x ∀≥，()'0h x >，则()h x 在[0，+∞）上为增函数.所以()()00h x h ==，此时命题成立当10a <－,即1a >时，由210ax a +-=求得)1,20x x ==>含. ()(),'h x h x 的变化情况如下表：因为()()()2min 00h x h x h =<=，所以当0x ≥时，命题不成立.22. 【解】（Ⅰ）当3a π=时，直线l 的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.消去参数t ，得)1y x =-.即直线l 0y -.（Ⅱ）消去参数t ，得直线l 的普通方程为()1tan y x α=-.又2cos 4cos ρθθρ+=可化为24cos sin θρθ=，即22sin 4cos ρθρθ=.将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式，得24y x =，得()2222t a n 2t a n2t a n 0x x ααα-++= ，则221212121,1616x x y y x x ===.注意到12,y y 的符号相反，可知124y y =-.从而有12123OA OB x x y y =+=-(定值).23. 【解】（Ⅰ）由()3f x ≤得3x a -≤.解得33a x a -≤≤+.又不等式()3f x ≤的解集为{}15x x -≤≤.所以3135a a -=-⎧⎨+=⎩，解得2a =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知()2f x x =-，则()41,1232123,13241,3x x g x x x x x x x ⎧⎪-+≤-⎪⎪=-++=-+-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩. 所以函数()g x 的最小值为2533g ⎛⎫= ⎪⎝⎭.由不等式()()33f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，得53m ≤. 于是实数m 的取值范围为5,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.。

2017高考数学高三一轮复习优化重组卷理科试题

目录第一章集合与常用逻辑用语 ...................................................................................................... - 3 -1.集合 ....................................................................................................................................... - 3 -2.常用逻辑用语 ......................................................................................................................... - 11 -第二章函数导数及其应用 ........................................................................................................ - 20 -3.函数的概念及其表示 ............................................................................................................. - 20 -4.函数的基本性质 ..................................................................................................................... - 26 -5.函数的图象及其应用 ............................................................................................................. - 33 -6.基本初等函数(幂函数、指数函数、对数函数) ................................................................... - 40 -7.函数与方程 ............................................................................................................................. - 46 -8.函数模型及其应用 ................................................................................................................. - 53 -9.导数的概念与其几何意义 ..................................................................................................... - 58 -10.导数的应用一(单调性与极值) ............................................................................................. - 64 -11.导数的应用二(最值与函数的零点) ..................................................................................... - 69 -12.定积分与微积分基本定理以及导数在实际中的应用 ....................................................... - 74 -13.导数的综合应用 ................................................................................................................... - 79 -第三章三角函数、解三角形 .................................................................................................... - 83 -14.三角函数的基本概念 ........................................................................................................... - 83 -15.三角恒等变换 ....................................................................................................................... - 87 -16.三角函数的图象与性质 ....................................................................................................... - 92 -17.三角函数图象的变换以及性质的综合应用 ....................................................................... - 98 -18.解三角形 ............................................................................................................................. - 104 -19.三角函数的综合应用 ......................................................................................................... - 110 -第四章平面向量 ...................................................................................................................... - 115 -20.平面向量的概念与运算 ..................................................................................................... - 115 -21.平面向量的应用 ................................................................................................................. - 120 -第五章数列 .............................................................................................................................. - 127 -22.等差数列 ............................................................................................................................. - 127 -23.等比数列 ............................................................................................................................. - 131 -24.数列求和 ............................................................................................................................. - 137 -25.数列的综合应用 ................................................................................................................. - 140 -第六章不等式 .......................................................................................................................... - 145 -26.不等式的性质及不等式的解法 ......................................................................................... - 145 -27.二元一次不等式(组)与简单的线性规划........................................................................... - 150 -28.基本不等式 ......................................................................................................................... - 157 -第七章立体几何 ...................................................................................................................... - 162 -29.空间几何体的结构、三视图、几何体的表面积与体积 ................................................. - 162 -30.点、线、平面之间的位置关系 ......................................................................................... - 171 -31.空间中的平行关系 ............................................................................................................. - 179 -32.空间中的垂直关系 ............................................................................................................. - 182 -33.空间平行与垂直的综合应用 ............................................................................................. - 186 -34.空间向量及其运算(一) ....................................................................................................... - 189 -35.空间向量及其运算(二) ....................................................................................................... - 193 -第八章解析几何 ...................................................................................................................... - 197 -36.直线与圆 ............................................................................................................................. - 197 -37.椭圆 ................................................................................................................................. - 203 -38.双曲线 ................................................................................................................................. - 209 -39.抛物线 ................................................................................................................................. - 217 -40.曲线与方程 ......................................................................................................................... - 223 -41.圆锥曲线的综合应用(一) ................................................................................................... - 226 -42.圆锥曲线的综合应用(二) ................................................................................................... - 229 -第九章统计、统计案例 .......................................................................................................... - 233 -43.统计 ................................................................................................................................. - 233 -44.统计案例 ............................................................................................................................. - 241 -第十章概率、计数原理、随机变量的分布列 ...................................................................... - 248 -45.古典概型、几何概型 ......................................................................................................... - 248 -46.计数原理 ............................................................................................................................. - 254 -47.随机变量及其分布(一) ....................................................................................................... - 261 -48.随机变量及其分布(二) ....................................................................................................... - 266 -第十一章推理证明、算法、复数 .......................................................................................... - 270 -49.推理与证明、数学归纳法 ................................................................................................. - 270 -50.算法初步 ............................................................................................................................. - 276 -51.数系的扩充与复数的引入 ................................................................................................. - 286 -第十二章选修4系列 .............................................................................................................. - 294 -52.选修4－1几何证明选讲 ................................................................................................ - 294 -53.选修4－4坐标系与参数方程 ........................................................................................ - 299 -54.选修4－5不等式选讲 .................................................................................................... - 304 -第一章集合与常用逻辑用语1.集合1.(2016·全国Ⅲ)设集合A ＝{0，2，4，6，8，10}，B ＝{4，8}，则∁A B ＝( )A.{4，8}B.{0，2, 6}C.{0，2，6，10}D.{0，2，4，6，8，10}2.(2016·全国Ⅱ)已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |x 2<9}，则A ∩B ＝( )A.{－2，－1，0，1，2，3}B.{－2，－1，0，1，2}C.{1，2，3}D.{1，2}3.(2016·全国Ⅰ)设集合A ＝{1，3，5，7}，B ＝{x |2≤x ≤5}，则A ∩B ＝( )A.{1，3}B.{3，5}C.{5，7}D.{1，7}4.(2016·山东)设集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，3，5}，B ＝{3，4，5}，则∁U (A ∪B )＝() A.{2，6} B.{3，6}C.{1，3，4，5}D.{1，2，4，6}5.(2016·全国Ⅲ)设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x ＞0}，则S ∩T ＝( )A.[2，3]B.(－∞，2]∪[3，＋∞)C.[3，＋∞)D.(0，2]∪[3，＋∞)6.(2016·北京)已知集合A ＝{x ||x |＜2}，B ＝{－1，0，1，2，3}，则A ∩B ＝( )A.{0，1}B.{0，1，2}C.{－1，0，1}D.{－1，0，1，2}7.(2016·山东)设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1<0}，则A ∪B ＝( )A.(－1，1)B.(0，1)C.(－1，＋∞)D.(0，＋∞)8.(2016·全国Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，39.(2016·北京)已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|x＜3或x＞5}，则A∩B＝()A.{x|2＜x＜5}B.{x|x＜4或x＞5}C.{x|2＜x＜3}D.{x|x＜2或x＞5}10.(2016·全国Ⅱ)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝()A.{1}B.{1，2}C.{0，1，2，3}D.{－1，0，1，2，3}11.(2016·四川)设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是()A.3B.4C.5D.612.(2016·浙江)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝()A.[2，3]B.(－2，3]C.[1，2)D.(－∞，－2]∪[1，＋∞)13.(2016·江苏)已知集合A＝{－1，2，3，6}，B＝{x|－2＜x＜3}，则A∩B＝________.考点1集合的含义与表示1.(2015·新课标全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B 中元素的个数为()A.5B.4C.3D.2考点2集合间的基本关系2.(2015·重庆)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则()A.A＝BB.A∩B＝∅C.A BD.B A3.(2014·湖北)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则∁U A＝()A.{1，3，5，6}B.{2，3，7}C.{2，4，7}D.{2，5，7}4.(2014·湖北)设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的()A.充分而不必要的条件B.必要而不充分的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件5.(2014·浙江)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁U A＝()A.∅B.{2}C.{5}D.{2，5}考点3集合的基本运算6.(2015·山东)已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2<x<4}，则A∩B＝()A.(1，3)B.(1，4)C.(2，3)D.(2，4)7.(2015·陕西)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝()A.[0，1]B.(0，1]C.[0，1)D.(－∞，1]8.(2015·天津)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B＝()A.{2，5}B.{3，6}C.{2，5，6}D.{2，3，5，6，8}9.(2015·新课标全国Ⅱ)已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}，则A∩B＝()A.{－1，0}B.{0，1}C.{－1，0，1}D.{0，1，2}10.(2015·四川)设集合A＝{x|(x＋1)(x－2)＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝()A.{x|－1＜x＜3}B.{x|－1＜x＜1}C.{x|1＜x＜2}D.{x|2＜x＜3}11.(2015·浙江)已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，则(∁R P)∩Q＝()A.[0，1)B.(0，2]C.(1，2)D.[1，2]12.(2015·广东)若集合M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}，则M∩N＝()A.∅B.{－1，－4}C.{0}D.{1，4}13.(2014·广东)已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∪N＝()A.{0，1}B.{－1，0，2}C.{－1，0，1，2}D.{－1，0，1}14.(2014·湖南)已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝()A.{x|x＞2}B.{x|x＞1}C.{x|2＜x＜3}D.{x|1＜x＜3}15.(2014·江西)设全集为R，集合A＝{x|x2－9＜0}，B＝{x|－1＜x≤5}，则A∩(∁R B)＝()A.(－3，0)B.(－3，－1)C.(－3，－1]D.(－3，3)16.(2014·新课标全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B＝()A.[－2，－1]B.[－1，2)C.[－1，1]D.[1，2)17.(2014·新课标全国Ⅱ)设集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝()A.{1}B.{2}C.{0，1}D.{1，2}18.(2014·辽宁)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}19.(2014·山东)设集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}，则A∩B＝()A.[0，2]B.(1，3)C.[1，3)D.(1，4)20.(2014·陕西)设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}，则M∩N＝()A.[0，1]B.[0，1)C.(0，1]D.(0，1)21.(2014·四川)已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝()A.{－1，0，1，2}B.{－2，－1，0，1}C.{0，1}D.{－1，0}22.(2014·重庆)设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则(∁U A)∩B ＝________.考点4抽象集合与新定义集合23.(2015·浙江)设A，B是有限集，定义：d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A中元素的个数，命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d(A，B)＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)，()A.命题①和命题②都成立B.命题①和命题②都不成立C.命题①成立，命题②不成立D.命题①不成立，命题②成立24.(2015·湖北)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为()A.77B.49C.45D.3025.(2014·福建)若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________.26.(2014·福建)已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________.1.(2015·广州惠州模拟)若集合A＝{x|||x≤1，x∈R}，B＝{x|y＝x}，则A∩B＝()A.{x |0≤x ≤1}B.{x |x ≥0}C.{x |－1≤x ≤1}D.∅2.(2015·山东日照一模)设集合U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3，4}，则∁U (A ∩B )等于( )A.{2，3}B.{1，4，5}C.{4，5}D.{1，5}3.(2015·福建泉州五校模拟)已知集合A ＝{cos 0°，sin 270°}，B ＝{x |x 2＋x ＝0}，则A ∩B 为( )A.{0，－1}B.{－1，1}C.{－1}D.{0}4.(2015·浙江嘉兴模拟)设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，R 为实数，Z 为整数集，则(∁R A )∩Z ＝( )A.{x |－3<x <1}B.{x |－3≤x ≤1}C.{－2，－1，0}D.{－3，－2，－1，0，1}5.(2015·重庆模拟)设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x 2>4}，N ＝{x |2x －1≥1}，则(∁R M )∩N ＝________. 6.(2016·河北名校模拟)已知集合A ＝{x |2x 2－3x －9≤0}，B ＝{x |x ≥m }.若(∁R A )∩B ＝B ，则实数m 的值可以是( )A.1B.2C.3D.47.(2016·福建漳州八校模拟)已知全集U ＝R ，A ＝{y |y ＝2x ＋1}，B ＝{x |ln x <0}，则A ∩B ＝( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<x ≤1B.{x |0<x <1}C.{x |x <1}D.∅ 8.(2015·辽宁五校模拟)设集合M ＝{x |x 2＋3x ＋2<0}，集合N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤4，则M ∪N ＝( )A.{x |x ≥－2}B.{x |x >－1}C.{x |x <－1}D.{x |x ≤－2} 9.(2015·黑龙江大庆模拟)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，集合B ＝{x |log x 4＝2}，则A ∪B ＝( )A.{－2，1，2}B.{1，2}C.{－2，2}D.{2}10.(2015·湖南三市模拟)已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |x ＝2a ，a ∈A }，则A ∩B 中元素的个数为( )A.0B.1C.2D.311.(2015·河北邯郸模拟)已知集合A ＝{x |x 2－16<0}，B ＝{－5，0，1}，则( )A.A ∩B ＝∅B.B ⊆AC.A ∩B ＝{0，1}D.A ⊆B 12.(2015·湖北荆门模拟)集合A ＝{x ∈N |x ≤6}，B ＝{x ∈R |x 2－3x >0}，则A ∩B ＝( )A.{3，4，5}B.{4，5，6}C.{x |3<x ≤6}D.{x |3≤x <6}13.(2015·山东日照模拟) 设集合A ＝{x ∈R ||x －1|<2}，B ＝{y ∈R |y ＝2x ，x ∈R }，则A ∩B ＝( )A.∅B.(0，3)C.[0，3)D.(－1，3)14.(2015·福建厦门模拟)设集合A ＝{x |x ＋2>0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |y ＝13－x ，则A ∩B ＝( ) A.{x |x >－2} B.{x |x <3}C.{x |x <－2或x >3}D.{x |－2<x <3} 15.(2015·杭州七校模拟)已知集合A ＝{x |x ＝x 2－2，x ∈R }，B ＝{1，m }，若A ⊆B ，则m 的值为( )A.2B.－1C.－1或2D.2或 216.(2015·贵州七校模拟)已知集合A ＝{0，1，2，3，4}，B ＝{x |x ＝n ，n ∈A }，则A ∩B 的真子集个数为( )A.5B.6C.7D.817.(2015·河南洛阳模拟)集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{1，2，3}，C ＝{z |z ＝xy ，x ∈A 且y ∈B }，则集合C 中的元素个数为( )A.3B.8C.11D.1218.(2016·湖北七校联考)已知集合A ＝{x ∈R |x 2－2x －3<0}，B ＝{x ∈R |－1<x <m }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为( )A.(3，＋∞)B.(－1，3)C.[3，＋∞)D.(－1，3]19.(2015·四川眉山模拟)已知集合A ⊆{1，2，3}，且集合A 的元素中至少含有一个奇数，则满足条件的集合A 有( )A.8个B.7个C.6个D.5个20.(2015·四川资阳模拟)集合M ＝{x |(x －1)(x －2)<0}，N ＝{x |x <a }，若M ⊆N ，则实数a 的取值范围是( )A.[2，＋∞)B.(2，＋∞)C.[1，＋∞)D.(1，＋∞)21.(2016·江西赣中南五校联考)已知集合M ＝{y |y ＝2x ，x >0}，N ＝{x |y ＝lg x }，则M ∩N 为( )A.(0，＋∞)B.(1，＋∞)C.[2，＋∞)D.[1，＋∞)22.(2015·山东潍坊模拟)已知集合A ＝{x |||x ＋1<1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2≥0，则A ∩(∁R B )＝( ) A.(－2，－1)B.(－2，－1]C.(－1，0)D.[－1，0)23.(2016·河南八市模拟)已知全集U 为R ，集合A ＝{x |x 2<16}，B ＝{x |y ＝log 3(x －4)}，则下列关系正确的是( )A.A ∪B ＝RB.A ∪(∁U B )＝RC.(∁U A )∪B ＝RD.A ∩(∁U B )＝A24.(2016·豫南九校联盟一模)已知集合A ＝{x |x 2≥16}，B ＝{m }，若A ∪B ＝A ，则实数m 的取值范围是( )A.(－∞，－4)B.[4，＋∞)C.[－4，4]D.(－∞，－4]∪[4，＋∞)25.(2016·广东广州五校联考)已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{1，m }.若A ∩B ＝B ，则实数m 的值是( )A.0B.2C.0或2D.0或1或226.(2015·豫南、豫北十校模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |x 2－x >0}，则图中的阴影部分表示的集合为( )A.(－∞，1]∪(2，＋∞)B.(－∞，0)∪(1，2)C.[1，2)D.(1，2]27.(2016·辽宁沈阳模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lg x }，B ＝{－1，1}，则下列结论正确的是( )A.A ∩B ＝{－1}B.(∁R A )∪B ＝(－∞，0)C.A ∪B ＝(0，＋∞)D.(∁R A )∩B ＝{－1}28.(2016·重庆模拟)设U ＝R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x －1x －2>0，B ＝{x ∈R |0<x <2}，则(∁U A )∩B ＝( )A.(1，2]B.[1，2)C.(1，2)D.[1，2] 29.(2016·广东揭阳、潮州联考)设集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，N ＝{x |y ＝3－x 2，x ∈R }，则M ∩N 等于( )A.[－3，3]B.[－1，3]C.∅D.(－1，3]30.(2015·济南模拟)已知集合U ＝{2，3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a －1|，2}，∁U A ＝{5}，则实数a 的值为________.31.(2016·河南天一大联考)已知集合A ＝{x |log 2x >1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪3x ＋1<1，则x ∈A 是x ∈B 的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件32.(2016·山西临汾模拟)设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，集合A ＝{1，2，4}，B ＝{1，3，5}，则下列Venn 图中的阴影部分表示集合{3，5}的是( )33.(2016·湖南雅礼中学模拟)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.34.(2015·湖北荆门模拟)已知：对于给定的q ∈N *及映射f ：A →B ，B ⊆N *，若集合C ⊆A ，且C 中所有元素在B 中对应的元素之和大于或等于q ，则称C 为集合A 的好子集.①对于q ＝2，A ＝{a ，b ，c }，映射f ：x →1，x ∈A ，那么集合A 的所有好子集的个数为________； ②对于给定的q ，A ＝{1，2，3，4，5，6，π}，映射f ：A →B 的对应关系如下表：若当且仅当C 中含有πC 为集合A 的好子集，则所有满足条件的数组(q ，y ，z )为________.35.(2015·福建漳州模拟)设非空集合S ＝{x |m ≤x ≤n }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下三个命题中：①若m ＝1，则S ＝{1}；②若m ＝－12，则14≤n ≤1；③若n ＝12，则－22≤m ≤0.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.336.(2015·广东肇庆)集合M 满足：对任意x 1，x 2∈[－1，1]时，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤4|x 1－x 2|的函数f (x )组成.对于两个函数f (x )＝x 2－2x ＋2，g (x )＝e x ，以下关系成立的是( )A.f (x )∈M ，g (x )∈MB.f (x )∈M ，g (x )∉MC.f (x )∉M ，g (x )∈MD.f (x )∉M ，g (x )∉M2.常用逻辑用语1.(2016·浙江)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A.∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2 B.∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2 C.∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2 D.∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 22.(2016·四川)设p ：实数x ，y 满足x >1且y >1，q ：实数x ，y 满足x ＋y >2，则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(2016·山东)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.(2016·四川)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件考点1 逻辑联结词与四种命题1.(2015·山东)设m ∈R, 命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( ) A.若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0 B.若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0 C.若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0 D.若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤02.(2014·湖南)已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(非q )；④(非p )∨q 中，真命题是( )A.①③B.①④C.②③D.②④3.(2014·辽宁)设a，b，c是非零向量.已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a ∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是()A.p∨qB.p∧qC.(非p)∧(非q)D.p∨(非q)4.(2014·重庆)已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根.则下列命题为真命题的是()A.p∧非qB.非p∧qC.非p∧非qD.p∧q5.(2014·重庆)已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是()A.p∧qB.非p∧非qC.非p∧qD.p∧非q6.(2014·陕西)原命题为“若a n＋a n＋12＜a n，n∈N＋，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A.真，真，真B.假，假，真C.真，真，假D.假，假，假7.(2014·陕西)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A.真，假，真B.假，假，真C.真，真，假D.假，假，假考点2充分条件与必要条件8.(2015·重庆)“x＞1”是“log12(x＋2)＜0”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件9.(2015·北京)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.(2015·安徽)设p：1<x<2，q：2x>1，则p是q成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件11.(2015·湖北)设a1，a2，…，a n∈R，n≥3.若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：(a21＋a22＋…＋a2n－1)(a22＋a23＋…＋a2n)＝(a1a2＋a2a3＋…＋a n－1a n)2，则()A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件12.(2014·安徽)“x<0”是“ln(x＋1)<0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件13.(2014·北京)设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14.(2014·新课标全国Ⅱ)函数f(x)在x＝x0处导数存在.若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则()A.p是q的充分必要条件B.p是q的充分条件，但不是q的必要条件C.p是q的必要条件，但不是q的充分条件D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件15.(2014·浙江)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件16.(2014·浙江)已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋b i)2＝2i”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件17.(2015·湖南)设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件18.(2015·陕西)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件19.(2014·广东)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的()A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件20.(2014·江西)下列叙述中正确的是()A.若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”B.若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”C.命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”D.l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β21.(2014·福建)直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为12”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件22.(2014·天津)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件考点3全称量词与存在量词23.(2015·新课标全国Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则非p为()A.∀n∈N，n2>2nB.∃n∈N，n2≤2nC.∀n∈N，n2≤2nD.∃n∈N，n2＝2n24.(2014·安徽)命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()A.∀x∈R，|x|＋x2＜0B.∀x∈R，|x|＋x2≤0C.∃x0∈R，|x0|＋x20＜0D.∃x0∈R，|x0|＋x20≥025.(2014·天津)已知命题p：∀x＞0，总有(x＋1)e x＞1，则非p为()A.∃x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1B.∃x0＞0，使得(x0＋1)e x0≤1C.∀x＞0，总有(x＋1)e x≤1D.∀x≤0，总有(x＋1)e x≤126.(2014·福建)命题“∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是( ) A.∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x ＜0 B.∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x ≥0C.∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0＜0D.∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0≥027.(2014·湖北)命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是( ) A.∀x ∉R ，x 2≠x B.∀x ∈R ，x 2＝x C.∃x ∉R ，x 2≠x D.∃x ∈R ，x 2＝x1.(2015·福建厦门模拟)已知命题p ：∃x 0∈R ，sin x 0≥12，则非p 是( ) A.∃x 0∈R ，sin x 0≤12B.∃x 0∈R ，sin x 0<12C.∀x ∈R ，sin x ≤12D.∀x ∈R ，sin x <122.(2015·四川成都模拟)已知命题p ：“若x ≥a 2＋b 2，则x ≥2ab ”，则下列说法正确的是( ) A.命题p 的逆命题是“若x <a 2＋b 2，则x <2ab ” B.命题p 的逆命题是“若x <2ab ，则x <a 2＋b 2” C.命题p 的否命题是“若x <a 2＋b 2，则x <2ab ” D.命题p 的否命题是“若x ≥a 2＋b 2”，则x <2ab3.(2015·广东惠州模拟)“a >b >0”是“a 2>b 2”成立的条件( ) A.必要不充分 B.充分不必要 C.充要D.既不充分也不必要 4.(2015·广东揭阳模拟)已知命题p ：四边形确定一个平面；命题q ：两两相交的三条直线确定一个平面.则下列命题为真命题的是( ) A.p ∧q B.p ∨q C.(非p )∨qD.p ∧(非q )5.(2015·河北邯郸模拟)设a ，b 是两个非零向量，则“a ·b <0”是“a ，b 夹角为钝角”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.(2016·河南郑州4月模拟)命题“∃x 0≤0，使得x 20≥0”的否定是( ) A.∀x >0，使得x 2<0B.∀x ≤0，使得x 2≥0C.∃x0>0，使得x20>0D.∃x0<0，使得x20≤07.(2015·四川乐山模拟)设x∈R，则“x>23”是“3x2＋x－2>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.(2015·安徽淮北模拟)已知X＝log m n，则mn>1是X>1的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.(2015·北京西城模拟)设函数f(x)＝3x＋b cos x，x∈R，则“b＝0”是“函数f(x)为奇函数”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.(2015·陕西安康模拟)函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是()A.b≥0B.b>0C.b<0D.b≤011.(2015·山东德州模拟)已知命题p：∀x>0，x＋4x≥4：命题q：∃x0∈(0，＋∞)，2x0＝12.则下列判断正确的是()A.p是假命题B.q是真命题C.p∧(非q)是真命题D.(非p)∧q是真命题12.(2015·山东潍坊模拟)下列有关命题的说法正确的是()A.命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”B.“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件C.命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题D.若命题p：∃x0∈R，x20－x0＋1<0，则非p：∀x∈R，x2－x＋1>013.(2015·福建福州模拟)已知A B，则“x∈A”是“x∈B”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.(2015·湖北八校模拟)“a≠5且b≠－5”是“a＋b≠0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分条件也不必要条件15.(2015·陕西西安模拟)已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥e x”，命题q：“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是()A.[e，4]B.[1，4]C.(4，＋∞)D.(－∞，1]16.(2015·黑龙江大庆模拟)下列说法不正确的是()A.命题“若x>0且y>0，则x＋y>0”的否命题是假命题B.命题“∃x0∈R，x20－x0－1<0”的否定是“∀x∈R，x2－x－1≥0”C.“φ＝π2”是“y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充要条件D.α<0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减17.(2015·湖北荆门模拟)下列命题中，真命题是()A.∃x0∈R，使得e x0≤0B.sin2x＋2sin x≥3(x≠kπ，k∈Z)C.∀x∈R，2x>x2D.a>1，b>1是ab>1的充分不必要条件18.(2015·山西四市模拟)已知条件p：|x＋1|≤2，条件q：x≤a，且p是q的充分不必要条件，则a 的取值范围是()A.a≥1B.a≤1C.a≥－1D.a≤－319.(2015·贵州七校模拟)以下四个命题中，真命题的个数是()①“若a＋b≥2则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题；②存在正实数a，b，使得lg(a＋b)＝lg a＋lg b；③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”；④在△ABC中，a<b是sin A<sin B的充分不必要条件.A.0B.1C.2D.320.(2015·广东深圳模拟)已知直线a，b，平面α，β，且a⊥α，b⊂β，则“a⊥b”是“α∥β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件21.(2015·河南豫东豫北模拟)已知数列{a n}的通项为a n＝n2－2λn，则“λ<0”是“∀n∈N*，a n＋1>a n”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件22.(2015·陕西四校模拟)以下判断正确的是()A.函数y＝f(x)为R上的可导函数，则f′(x0)＝0是x0为函数f(x)极值点的充要条件B.命题“存在x∈R，x2＋x－1<0”的否定是“任意x∈R，x2＋x－1>0”C.命题“在△ABC中，若A>B，则sin A>sin B”的逆命题为假命题D.“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件23.(2016·湖南衡阳二模)给出下列三个命题：(1)“若x2＋2x－3≠0，则x≠1”为假命题；(2)命题p：∀x∈R，2x>0.则非p：∃x0∈R，2x0≤0；(3)“φ＝π2＋kπ(k∈Z)”是“函数y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充要条件；其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.324.(2016·福建漳州8校联考)有以下命题：①命题“∃x∈R，x2－x－2≥0”的否定是：“∀x∈R，x2－x－2<0”；②已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.79，则P(ξ≤－2)＝0.21；③函数f(x)＝x 13－⎝⎛⎭⎪⎫12x的零点在区间⎝⎛⎭⎪⎫13，12内，其中正确的命题的个数为()A.3个B.2个C.1个D.0个25.(2016·广西柳州模拟)设A，B为两个不相等的非空集合，条件p：x∉(A∩B)，条件q：x∉(A∪B)，则p是q的()A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件26.(2016·黑龙江哈尔滨模拟)下列命题中正确命题的个数是()①cos α≠0是α≠2kπ＋π2(k∈Z)的充分必要条件②f(x)＝|sin x|＋|cos x|，则f(x)最小正周期是π③若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变④设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，若P(ξ>1)＝p，则P(－1<ξ<0)＝12－p.A.4B.3C.2D.127.(2016·安徽芜湖马鞍山模拟)下列结论错误的是()A.命题“若p，则非q”与命题“若q，则非p”互为逆否命题B.命题p：∀x∈[0，1]，e x≥1，命题q：∃x∈R，x2＋x＋1<0，则p∧q为真C.“若am2<bm2，则a<b”为真命题D.若p∨q为假命题，则p、q均为假命题28.(2016·广东揭阳模拟)下列叙述中正确的是()A.若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0”B.若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2>cb 2”的充要条件是“a >c ”C.命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0”D.l 是一条直线，α，β是两个平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β29.(2016·河南天一联考)命题p ：若a >b ，则ac 2>bc 2；命题q ：∃x 0>0，使得x 0－1－ln x 0＝0.则下列命题为真命题的是( ) A.p ∧q B.p ∨(非q ) C.(非p )∧qD.(非p )∧(非q )30.(2016·河北唐山模拟)已知条件p ：关于x 的不等式|x －1|＋|x －3|<m 有解；条件q ：f (x )＝(7－3m )x 为减函数，则p 成立是q 成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件31.(2015·四川成都模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝log 3(x ＋1).若关于x 的不等式f [x 2＋a (a ＋2)]≤f (2ax ＋2x )的解集为A ，函数f (x )在[－8，8]上的值域为B ，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________. 32.(2015·山东菏泽模拟)下列4个命题： ①“如果x ＋y ＝0，则x 、y 互为相反数”的逆命题 ②“如果x 2＋x －6≥0，则x >2”的否命题③在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的充分不必要条件 ④“函数f (x )＝tan (x ＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝k π(k ∈Z )” 其中真命题的序号是________.33.(2016·河北三市二模)命题p ：∃a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14，使得函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋a x ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上单调递增；命题q ：函数g (x )＝x ＋log 2x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上无零点.则下列命题中是真命题的是( )A.非pB.p ∧qC.(非p )∨qD.p ∧(非q )第二章函数导数及其应用3.函数的概念及其表示1.(2016·全国Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A.y ＝xB.y ＝lg xC.y ＝2xD.y ＝1x2.(2016·江苏)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________.3.(2016·浙江)已知a ≥3，函数F (x )＝min{2|x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中min{p ，q }＝⎩⎨⎧p ，p ≤q ，q ，p ＞q .(1)求使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围； (2)(ⅰ)求F (x )的最小值m (a )；(ⅱ)求F (x )在区间[0，6]上的最大值M (a ).考点1 函数的定义域与值域1.(2015·湖北)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A.(2，3)B.(2，4]C.(2，3)∪(3，4]D.(－1，3)∪(3，6]2.(2014·江西)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A.(0，1)B.[0，1]C.(－∞，0)∪(1，＋∞)D.(－∞，0]∪[1，＋∞)3.(2014·山东)函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.(2，＋∞)。

2017版高考数学(江苏专用、理科)一轮复习习题：专题探究课四含答案

1。

（2015·福建卷）在等差数列{a n｝中，a2＝4,a4＋a7＝15。

(1)求数列｛a n｝的通项公式；（2）设b n＝2a n－2＋n,求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值.解(1）设等差数列｛a n}的公差为d,由已知得错误!解得错误!所以a n＝a1＋（n－1)d＝n＋2.（2)由(1）可得b n＝2n＋n，所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝（2＋1）＋（22＋2）＋(23＋3)＋…＋(210＋10）＝(2＋22＋23＋...＋210）＋(1＋2＋3＋ (10)＝错误!＋错误!＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101。

2。

（2015·徐州月考）已知等比数列｛a n｝满足a n＋1＋a n＝9·2n－1,n∈N＊。

(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2）设数列｛a n｝的前n项和为S n,若不等式S n〉ka n－2对一切n∈N*恒成立，求实数k的取值范围。

解(1）设等比数列｛a n}的公比为q,因为a n＋1＋a n＝9·2n－1，n∈N＊，所以a2＋a1＝9，a3＋a2＝18，所以q＝错误!＝错误!＝2，所以2a1＋a1＝9，所以a1＝3.所以a n＝3·2n－1,n∈N*。

(2)由（1）知S n＝错误!＝错误!＝3（2n－1)，所以3（2n－1)〉k·3·2n－1－2，所以k<2－错误!.令f(n)＝2－错误!,则f(n）随n的增大而增大，所以f（n)min＝f（1)＝2－13＝错误!,所以k〈53,所以实数k的取值范围为错误!。

3。

(2015·苏、锡、常、镇一模)设各项均为正数的数列｛a n｝的前n项和为S n,已知a1＝1，且（S n＋1＋λ)a n＝（S n＋1）a n＋1对一切n∈N＊都成立. （1)若λ＝1,求数列｛a n｝的通项公式；（2)求λ的值，使数列{a n｝是等差数列.解（1）若λ＝1，则（S n＋1＋1)a n＝(S n＋1)a n＋1，a1＝S1＝1。

高三一轮复习188套优化重组卷理科试题及其答案

目录第一章集合与常用逻辑用语 ................................................. - 3 -1.集合 ................................................................. - 3 -2.常用逻辑用语 .......................................................... - 11 -第二章函数导数及其应用 .................................................. - 21 -3.函数的概念及其表示 .................................................... - 21 -4.函数的基本性质 ........................................................ - 28 -5.函数的图象及其应用 .................................................... - 35 -6.基本初等函数(幂函数、指数函数、对数函数) .............................. - 42 -7.函数与方程 ............................................................ - 49 -8.函数模型及其应用 ...................................................... - 56 -9.导数的概念与其几何意义 ................................................ - 62 -10.导数的应用一(单调性与极值) ........................................... - 68 -11.导数的应用二(最值与函数的零点) ....................................... - 73 -12.定积分与微积分基本定理以及导数在实际中的应用 ......................... - 79 -13.导数的综合应用 ....................................................... - 84 -第三章三角函数、解三角形 ................................................ - 88 -14.三角函数的基本概念 ................................................... - 88 -15.三角恒等变换 ......................................................... - 92 -16.三角函数的图象与性质 ................................................. - 97 -17.三角函数图象的变换以及性质的综合应用 ................................ - 104 -18.解三角形 ............................................................ - 111 -19.三角函数的综合应用 .................................................. - 118 -第四章平面向量 ......................................................... - 124 -20.平面向量的概念与运算 ................................................ - 124 -21.平面向量的应用 ...................................................... - 130 -第五章数列 ............................................................. - 137 -22.等差数列 ............................................................ - 137 -23.等比数列 ............................................................ - 142 -24.数列求和 ............................................................ - 147 -25.数列的综合应用 ...................................................... - 151 -第六章不等式 ........................................................... - 156 -26.不等式的性质及不等式的解法 .......................................... - 156 -27.二元一次不等式(组)与简单的线性规划 .................................. - 161 -28.基本不等式 .......................................................... - 168 -第七章立体几何 ......................................................... - 174 -29.空间几何体的结构、三视图、几何体的表面积与体积 ...................... - 174 -30.点、线、平面之间的位置关系 .......................................... - 183 -31.空间中的平行关系 .................................................... - 191 -32.空间中的垂直关系 .................................................... - 195 -33.空间平行与垂直的综合应用 ............................................ - 199 -34.空间向量及其运算(一) ................................................ - 202 -35.空间向量及其运算(二) ................................................ - 206 -第八章解析几何 ......................................................... - 210 -36.直线与圆 ............................................................ - 210 -37.椭圆 .............................................................. - 217 -38.双曲线 .............................................................. - 223 -39.抛物线 .............................................................. - 231 -40.曲线与方程 .......................................................... - 237 -41.圆锥曲线的综合应用(一) .............................................. - 241 -42.圆锥曲线的综合应用(二) .............................................. - 244 -第九章统计、统计案例 ................................................... - 248 -43.统计 .............................................................. - 248 -44.统计案例 ............................................................ - 256 -第十章概率、计数原理、随机变量的分布列 ................................. - 264 -45.古典概型、几何概型 .................................................. - 264 -46.计数原理 ............................................................ - 270 -47.随机变量及其分布(一) ................................................ - 277 -48.随机变量及其分布(二) ................................................ - 283 -第十一章推理证明、算法、复数 ........................................... - 287 -49.推理与证明、数学归纳法 .............................................. - 287 -50.算法初步 ............................................................ - 294 -51.数系的扩充与复数的引入 .............................................. - 304 -第十二章选修4系列 ..................................................... - 312 -52.选修4－1 几何证明选讲.............................................. - 312 -53.选修4－4 坐标系与参数方程.......................................... - 318 -54.选修4－5 不等式选讲................................................ - 323 -第一章集合与常用逻辑用语1.集合1.(2016·全国Ⅲ)设集合A ＝{0，2，4，6，8，10}，B ＝{4，8}，则∁A B ＝( )A.{4，8}B.{0，2, 6}C.{0，2，6，10}D.{0，2，4，6，8，10} 2.(2016·全国Ⅱ)已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |x 2<9}，则A ∩B ＝( )A.{－2，－1，0，1，2，3}B.{－2，－1，0，1，2}C.{1，2，3}D.{1，2}3.(2016·全国Ⅰ)设集合A ＝{1，3，5，7}，B ＝{x |2≤x ≤5}，则A ∩B ＝( )A.{1，3}B.{3，5}C.{5，7}D.{1，7}4.(2016·山东)设集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，3，5}，B ＝{3，4，5}，则∁U (A ∪B )＝( )A.{2，6}B.{3，6}C.{1，3，4，5}D.{1，2，4，6} 5.(2016·全国Ⅲ)设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x ＞0}，则S ∩T ＝( )A.[2，3]B.(－∞，2]∪[3，＋∞)C.[3，＋∞)D.(0，2]∪[3，＋∞)6.(2016·北京)已知集合A ＝{x ||x |＜2}，B ＝{－1，0，1，2，3}，则A ∩B ＝( )A.{0，1}B.{0，1，2}C.{－1，0，1}D.{－1，0，1，2} 7.(2016·山东)设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1<0}，则A ∪B ＝( )A.(－1，1)B.(0，1)C.(－1，＋∞)D.(0，＋∞) 8.(2016·全国Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－3，－32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 9.(2016·北京)已知集合A ＝{x |2＜x ＜4}，B ＝{x |x ＜3或x ＞5}，则A ∩B ＝( )A.{x |2＜x ＜5}B.{x |x ＜4或x ＞5}C.{x |2＜x ＜3}D.{x |x ＜2或x ＞5}10.(2016·全国Ⅱ)已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }，则A ∪B ＝( )A.{1}B.{1，2}C.{0，1，2，3}D.{－1，0，1，2，3} 11.(2016·四川)设集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是( )A.3B.4C.5D.612.(2016·浙江)已知集合P ＝{x ∈R |1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R |x 2≥4}，则P ∪(∁R Q )＝( )A.[2，3]B.(－2，3]C.[1，2)D.(－∞，－2]∪[1，＋∞)13.(2016·江苏)已知集合A ＝{－1，2，3，6}，B ＝{x |－2＜x ＜3}，则A ∩B ＝________.考点1 集合的含义与表示1.(2015·新课标全国Ⅰ)已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6，8，10，12，14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A.5B.4C.3D.2考点2 集合间的基本关系2.(2015·重庆)已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3}，则( )A.A ＝BB.A ∩B ＝∅C.A BD.B A3.(2014·湖北)已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A ＝{1，3，5，6}，则∁U A ＝( )A.{1，3，5，6}B.{2，3，7}C.{2，4，7}D.{2，5，7}4.(2014·湖北)设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的( )A.充分而不必要的条件B.必要而不充分的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件5.(2014·浙江)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁U A＝( )A.∅B.{2}C.{5}D.{2，5}考点3 集合的基本运算6.(2015·山东)已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2<x<4}，则A∩B＝( )A.(1，3)B.(1，4)C.(2，3)D.(2，4)7.(2015·陕西)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝ ( )A.[0，1]B.(0，1]C.[0，1)D.(－∞，1]8.(2015·天津)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B＝( )A.{2，5}B.{3，6}C.{2，5，6}D.{2，3，5，6，8}9.(2015·新课标全国Ⅱ)已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}，则A∩B＝( )A.{－1，0}B.{0，1}C.{－1，0，1}D.{0，1，2}10.(2015·四川)设集合A＝{x|(x＋1)(x－2)＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝( )A.{x|－1＜x＜3}B.{x|－1＜x＜1}C.{x|1＜x＜2}D.{x|2＜x＜3}11.(2015·浙江)已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，则(∁R P)∩Q＝( )A.[0，1)B.(0，2]C.(1，2)D.[1，2]12.(2015·广东)若集合M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}，则M∩N＝( )A.∅B.{－1，－4}C.{0}D.{1，4}13.(2014·广东)已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∪N＝( )A.{0，1}B.{－1，0，2}C.{－1，0，1，2}D.{－1，0，1}14.(2014·湖南)已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝( )A.{x|x＞2}B.{x|x＞1}C.{x|2＜x＜3}D.{x|1＜x＜3}15.(2014·江西)设全集为R，集合A＝{x|x2－9＜0}，B＝{x|－1＜x≤5}，则A∩(∁R B)＝( )A.(－3，0)B.(－3，－1)C.(－3，－1]D.(－3，3)16.(2014·新课标全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B＝( )A.[－2，－1]B.[－1，2)C.[－1，1]D.[1，2)17.(2014·新课标全国Ⅱ)设集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝( )A.{1}B.{2}C.{0，1}D.{1，2}18.(2014·辽宁)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝( )A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}19.(2014·山东)设集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}，则A∩B＝( )A.[0，2]B.(1，3)C.[1，3)D.(1，4)20.(2014·陕西)设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}，则M∩N＝( )A.[0，1]B.[0，1)C.(0，1]D.(0，1)21.(2014·四川)已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝( )A.{－1，0，1，2}B.{－2，－1，0，1}C.{0，1}D.{－1，0}22.(2014·重庆)设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则(∁U A)∩B＝________.考点4 抽象集合与新定义集合23.(2015·浙江)设A，B是有限集，定义：d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A中元素的个数，命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d(A，B)＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)，( )A.命题①和命题②都成立B.命题①和命题②都不成立C.命题①成立，命题②不成立D.命题①不成立，命题②成立24.(2015·湖北)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个1数为( )A.77B.49C.45D.3025.(2014·福建)若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________.26.(2014·福建)已知集合{a ，b ，c }＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a ≠2；②b ＝2；③c ≠0有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c 等于________.1.(2015·广州惠州模拟)若集合A ＝{x |||x ≤1，x ∈R }，B ＝{x |y ＝x }，则A ∩B ＝( )A.{x |0≤x ≤1}B.{x |x ≥0}C.{x |－1≤x ≤1}D.∅2.(2015·山东日照一模)设集合U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3，4}，则∁U (A ∩B )等于( )A.{2，3}B.{1，4，5}C.{4，5}D.{1，5} 3.(2015·福建泉州五校模拟)已知集合A ＝{cos 0°，sin 270°}，B ＝{x |x 2＋x ＝0}，则A ∩B 为( )A.{0，－1}B.{－1，1}C.{－1}D.{0}4.(2015·浙江嘉兴模拟)设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，R 为实数，Z 为整数集，则(∁R A )∩Z ＝( )A.{x |－3<x <1}B.{x |－3≤x ≤1}C.{－2，－1，0}D.{－3，－2，－1，0，1}5.(2015·重庆模拟)设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x 2>4}，N ＝{x |2x －1≥1}，则(∁R M )∩N ＝________.6.(2016·河北名校模拟)已知集合A ＝{x |2x 2－3x －9≤0}，B ＝{x |x ≥m }.若(∁R A )∩B ＝B ，则实数m 的值可以是( )A.1B.2C.3D.47.(2016·福建漳州八校模拟)已知全集U ＝R ，A ＝{y |y ＝2x ＋1}，B ＝{x |ln x <0}，则A ∩B ＝( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x ≤1B.{x |0<x <1}C.{x |x <1}D.∅8.(2015·辽宁五校模拟)设集合M ＝{x |x 2＋3x ＋2<0}，集合N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤4，则M ∪N ＝( )A.{x |x ≥－2}B.{x |x >－1}C.{x |x <－1}D.{x |x ≤－2}9.(2015·黑龙江大庆模拟)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，集合B ＝{x |log x 4＝2}，则A ∪B ＝( )A.{－2，1，2}B.{1，2}C.{－2，2}D.{2}10.(2015·湖南三市模拟)已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |x ＝2a ，a ∈A }，则A ∩B 中元素的个数为( )A.0B.1C.2D.311.(2015·河北邯郸模拟)已知集合A ＝{x |x 2－16<0}，B ＝{－5，0，1}，则( )A.A ∩B ＝∅B.B ⊆AC.A ∩B ＝{0，1}D.A ⊆B 12.(2015·湖北荆门模拟)集合A ＝{x ∈N |x ≤6}，B ＝{x ∈R |x 2－3x >0}，则A ∩B ＝( )A.{3，4，5}B.{4，5，6}C.{x |3<x ≤6}D.{x |3≤x <6}13.(2015·山东日照模拟) 设集合A ＝{x ∈R ||x －1|<2}，B ＝{y ∈R |y ＝2x ，x ∈R }，则A ∩B ＝( )A.∅B.(0，3)C.[0，3)D.(－1，3)14.(2015·福建厦门模拟)设集合A ＝{x |x ＋2>0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |y ＝13－x ，则A ∩B ＝( ) A.{x |x >－2} B.{x |x <3}C.{x |x <－2或x >3}D.{x |－2<x <3} 15.(2015·杭州七校模拟)已知集合A ＝{x |x ＝x 2－2，x ∈R }，B ＝{1，m }，若A ⊆B ，则m 的值为( )A.2B.－1C.－1或2D.2或 216.(2015·贵州七校模拟)已知集合A ＝{0，1，2，3，4}，B ＝{x |x ＝n ，n ∈A }，则A ∩B 的真子集个数为( )A.5B.6C.7D.817.(2015·河南洛阳模拟)集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{1，2，3}，C ＝{z |z ＝xy ，x ∈A 且y ∈B }，则集合C 中的元素个数为( )A.3B.8C.11D.12 18.(2016·湖北七校联考)已知集合A ＝{x ∈R |x 2－2x －3<0}，B ＝{x ∈R |－1<x <m }，若x ∈A 是x∈B 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为( )A.(3，＋∞)B.(－1，3)C.[3，＋∞)D.(－1，3]19.(2015·四川眉山模拟)已知集合A ⊆{1，2，3}，且集合A 的元素中至少含有一个奇数，则满足条件的集合A 有( )A.8个B.7个C.6个D.5个20.(2015·四川资阳模拟)集合M ＝{x |(x －1)(x －2)<0}，N ＝{x |x <a }，若M ⊆N ，则实数a 的取值范围是( )A.[2，＋∞)B.(2，＋∞)C.[1，＋∞)D.(1，＋∞)21.(2016·江西赣中南五校联考)已知集合M ＝{y |y ＝2x ，x >0}，N ＝{x |y ＝lg x }，则M ∩N 为( )A.(0，＋∞)B.(1，＋∞)C.[2，＋∞)D.[1，＋∞)22.(2015·山东潍坊模拟)已知集合A ＝{x |||x ＋1<1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－2≥0，则A ∩(∁R B )＝( )A.(－2，－1)B.(－2，－1]C.(－1，0)D.[－1，0) 23.(2016·河南八市模拟)已知全集U 为R ，集合A ＝{x |x 2<16}，B ＝{x |y ＝log 3(x －4)}，则下列关系正确的是( )A.A ∪B ＝RB.A ∪(∁U B )＝RC.(∁U A )∪B ＝RD.A ∩(∁U B )＝A24.(2016·豫南九校联盟一模)已知集合A ＝{x |x 2≥16}，B ＝{m }，若A ∪B ＝A ，则实数m 的取值范围是( )A.(－∞，－4)B.[4，＋∞)C.[－4，4]D.(－∞，－4]∪[4，＋∞)25.(2016·广东广州五校联考)已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{1，m }.若A ∩B ＝B ，则实数m 的值是( )A.0B.2C.0或2D.0或1或226.(2015·豫南、豫北十校模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |x 2－x >0}，则图中的阴影部分表示的集合为( )A.(－∞，1]∪(2，＋∞)B.(－∞，0)∪(1，2)C.[1，2)D.(1，2] 27.(2016·辽宁沈阳模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lg x }，B ＝{－1，1}，则下列结论正确的是( )A.A ∩B ＝{－1}B.(∁R A )∪B ＝(－∞，0)C.A ∪B ＝(0，＋∞)D.(∁R A )∩B ＝{－1} 28.(2016·重庆模拟)设U ＝R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x －1x －2>0，B ＝{x ∈R |0<x <2}，则(∁U A )∩B ＝( )A.(1，2]B.[1，2)C.(1，2)D.[1，2] 29.(2016·广东揭阳、潮州联考)设集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，N ＝{x |y ＝3－x 2，x ∈R }，则M ∩N 等于( )A.[－3，3]B.[－1，3]C.∅D.(－1，3]30.(2015·济南模拟)已知集合U ＝{2，3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a －1|，2}，∁U A ＝{5}，则实数a 的值为________.31.(2016·河南天一大联考)已知集合A ＝{x |log 2x >1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪3x ＋1<1，则x ∈A 是x ∈B 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 32.(2016·山西临汾模拟)设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，集合A ＝{1，2，4}，B ＝{1，3，5}，则下列Venn 图中的阴影部分表示集合{3，5}的是( )33.(2016·湖南雅礼中学模拟)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.34.(2015·湖北荆门模拟)已知：对于给定的q ∈N *及映射f ：A →B ，B ⊆N *，若集合C ⊆A ，且C 中。

2017《优化方案》高考理科数学(新课标)一轮复习练习第5章数列第4讲知能训练轻松闯关Word版含答案

1．在数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n ，n ∈N *，则S 60的值为( ) A ．990 B ．1 000 C ．1 100 D ．99解析：选A.n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0，a n ＝2；n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2，a n ＝n .故S 60＝2×30＋(2＋4＋…＋60)＝990.2．已知各项不为0的等差数列{a n }满足2a 2－a 26＋2a 10＝0，首项为18的等比数列{b n }的前n 项和为S n ，若b 6＝a 6，则S 6＝( )A ．16B ．318C.638 D ．6316解析：选C.由2a 2－a 26＋2a 10＝0，所以4a 6＝a 26，因为a 6≠0，所以a 6＝4.所以b 6＝4.又因为{b n }的首项b 1＝18，所以q 5＝b 6b 1＝32.所以q ＝2.所以S 6＝18－4×21－2＝638.3．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5 B ．3116或5 C.3116 D ．158解析：选C.设数列{a n }的公比为q .由题意可知q ≠1，且9（1－q 3）1－q ＝1－q 61－q，解得q ＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，由求和公式可得S 5＝3116.4．(2016·青岛模拟)数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为( )A ．120B ．99C ．11D ．121解析：选A.a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n（n ＋1＋n ）（n ＋1－n ）＝n ＋1－n ，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1＝10.即n ＋1＝11，所以n ＋1＝121，n ＝120.5．(2016·曲靖模拟)122－1＋132－1＋142－1＋…＋1（n ＋1）2－1的值为( )A.n ＋12（n ＋2）B ．34－n ＋12（n ＋2）C.34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2 D ．32－1n ＋1＋1n ＋2 解析：选C.因为1（n ＋1）2－1＝1n 2＋2n ＝1n （n ＋2）＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2，所以122－1＋132－1＋142－1＋…＋1（n ＋1）2－1＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎫32－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2. 6．(2016·西安质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 016＝( ) A ．22 016－1 B ．3·21 008－3 C ．3·21 008－1 D ．3·21 007－2解析：选B.a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，又a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n＝2n ＋12n ＝2.所以a n ＋2a n＝2.所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列；a 2，a 4，a 6，…成等比数列，所以S 2 016＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 2 015＋a 2 016＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 015)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 016)＝1－21 0081－2＋2（1－21 008）1－2＝3·21 008－3.故选B.7．在等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是________．解析：由a 1>0，a 10·a 11<0可知d <0，a 10>0，a 11<0，所以T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18 ＝S 10－(S 18－S 10)＝60. 答案：608．已知公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 10＝S 4，则S 8a 9等于________．解析：由a 10＝S 4得a 1＋9d ＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，即a 1＝d ≠0.所以S 8＝8a 1＋8×72d＝8a 1＋28d ＝36d .所以S 8a 9＝36d a 1＋8d ＝36d9d＝4.答案：4 9．(2016·江西省八所重点中学联考)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＋(－1)n a n ＝cos(n ＋1)π，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 015＝________．解析：因为a n ＋1＋(－1)n a n ＝cos(n ＋1)π＝(－1)n ＋1，所以当n ＝2k ，k ∈N *时，a 2k ＋1＋a 2k＝－1，所以S 2 015＝a 1＋(a 2＋a 3)＋…＋(a 2 014＋a 2 015)＝1＋(－1)×1 007＝－1 006.答案：－1 00610．(2016·湖南省长郡中学、衡阳八中等十二校联考)定义：称nx 1＋x 2＋…＋x n为n 个正数x 1，x 2，…，x n 的“平均倒数”，若正项数列{c n }的前n 项的“平均倒数”为12n ＋1，则数列{c n }的通项公式为c n ＝________．解析：由已知可得，数列{c n }的前n 项和S n ＝n (2n ＋1)，所以数列{c n }为等差数列，首项c 1＝S 1＝3，c 2＝S 2－S 1＝10－3＝7，故公差d ＝c 2－c 1＝7－3＝4，得数列的通项公式为c n ＝c 1＋(n －1)×4＝4n －1.答案：4n －111．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2，数列{b n }为等比数列，且首项b 1＝1，b 4＝8.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足c n ＝ab n ，求数列{c n }的前n 项和T n . 解：(1)因为数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1亦满足上式，故a n ＝2n －1(n ∈N *)．又数列{b n }为等比数列，设公比为q ，因为b 1＝1，b 4＝b 1q 3＝8，所以q ＝2.所以b n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)c n ＝ab n ＝2b n －1＝2n －1. T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n －1)＝(21＋22＋ (2))－n ＝2（1－2n ）1－2－n .所以T n ＝2n ＋1－2－n . 12．(2016·广西玉林、贵港联考)已知数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝5，且{a n －1}是等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)因为{a n －1}是等比数列且a 1－1＝2，a 2－1＝4，所以a 2－1a 1－1＝2，所以a n －1＝2·2n －1＝2n ，所以a n ＝2n ＋1. (2)b n ＝na n ＝n ·2n ＋n ，故T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝(1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n )＋(1＋2＋3＋…＋n )，令A ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ，则2A ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1，两式相减得－A ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2（1－2n）1－2－n ·2n ＋1，所以A ＝2(1－2n )＋n ·2n ＋1＝2＋(n －1)·2n ＋1.又因为1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2，所以T n ＝(n －1)·2n ＋1＋n 2＋n ＋42.1．(2016·唐山第一次模拟)各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且3S n ＝a n a n ＋1，则 k ＝1na 2k ＝( )A.n （n ＋5）2B ．3n （n ＋1）2C.n （5n ＋1）2 D ．（n ＋3）（n ＋5）2解析：选B.当n ＝1时，3S 1＝a 1a 2，即3a 1＝a 1a 2，所以a 2＝3，当n ≥2时，由3S n ＝a n a n＋1，可得3S n －1＝a n －1a n ，两式相减得：3a n ＝a n (a n ＋1－a n －1)，又因为a n ≠0，所以a n ＋1－a n －1＝3，所以{a 2n }为一个以3为首项，3为公差的等差数列，所以∑k ＝1na 2k ＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝3n ＋n （n －1）2×3＝3n （n ＋1）2.2．(2016·忻州第一次联考)在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝21，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，若S 2n ＋1－S n ≤m15对n ∈N *恒成立，则正整数m 的最小值为________．解析：由已知可得a n ＝4n －3，对数列{S 2n ＋1－S n }有(S 2n ＋3－S n ＋1)－(S 2n ＋1－S n )＝18n ＋5＋18n ＋9－14n ＋1<0，因此数列{S 2n ＋1－S n }单调递减，所以m 15≥(S 2n ＋1－S n )max ＝S 3－S 1＝1445，即m ≥143，故正整数m 的最小值为5.答案：5 3．(2016·河南省高考适应性测试)已知数列{a n }的各项均为正数，且a 1＝2，a n ＝a 2n ＋1＋4a n ＋1＋2.(1)令b n ＝log 2(a n ＋2)，证明：数列{b n }是等比数列； (2)设c n ＝nb n ，求数列{c n }的前n 项和S n . 解：(1)证明：由a n ＝a 2n ＋1＋4a n ＋1＋2得a n ＋2＝a 2n ＋1＋4a n ＋1＋4＝(a n ＋1＋2)2. 因为a n >0，所以a n ＋2＝a n ＋1＋2.因为b n ＋1b n ＝log 2（a n ＋1＋2）log 2（a n ＋2）＝log 2a n ＋2log 2（a n ＋2）＝12，又b 1＝log 2(a 1＋2)＝2，所以数列{b n }是首项为2，公比为12的等比数列．(2)由(1)知，b n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1，则c n ＝2n ⎝⎛⎭⎫12n －1.S n ＝2×⎝⎛⎭⎫120＋4×⎝⎛⎭⎫121＋…＋2(n －1)⎝⎛⎭⎫12n －2＋2n ⎝⎛⎭⎫12n －1， ① 12S n＝2×⎝⎛⎭⎫121＋4×⎝⎛⎭⎫122＋…＋2(n －1)⎝⎛⎭⎫12n －1＋2n ⎝⎛⎭⎫12n . ②①－②得12S n＝2×⎝⎛⎭⎫120＋2×⎝⎛⎭⎫121＋2×⎝⎛⎭⎫122＋…＋2×⎝⎛⎭⎫12n －1－2n ×⎝⎛⎭⎫12n＝2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12－2n ×⎝⎛⎭⎫12n ＝4－(4＋2n )⎝⎛⎭⎫12n .所以S n ＝8－(n ＋2)⎝⎛⎭⎫12n －2.4．(2016·严州阶段测试)已知数列{a n }是首项为2的等差数列，其前n 项和S n 满足4S n＝a n ·a n ＋1 ，数列{b n }是以12为首项的等比数列，且b 1b 2b 3＝164.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，若对任意n ∈N *不等式1S 1＋1S 2＋…＋1S n ≥14λ－12T n 恒成立，求λ的取值范围．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得4a 1＝a 1(a 1＋d )，解得d ＝2，所以a n ＝2n ，由b 1b 2b 3＝b 32＝164⇒b 2＝14，从而公比q ＝b 2b 1＝12，所以b n ＝⎝⎛⎭⎫12n .(2)由(1)知1S n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1. 又T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝1－12n ，所以对任意n ∈N *，1S 1＋1S 2＋…＋1S n ≥14λ－12T n 等价于32－1n ＋1－12n ＋1≥14λ. 因为f (n )＝32－1n ＋1－12n ＋1在n ∈N *上递增，所以f (n )min ＝32－12－14＝34，所以34≥14λ⇒λ≤3，即λ的取值范围为(－∞，3]．。

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2017年高考数学第一轮复习测试题含答案现在高三学生已经着手开始2017年高考数学复习了，只有认真的进行数学复习才能在考试中轻松取得好成绩，为了帮助大家做好高考数学复习，下面为大家带来2017年高考数学第一轮复习测试题含答案这篇内容，希望高考生能够认真阅读。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

)1.(2011合肥质检)集合A={1,2,3}，B={xR|x2-ax+1=0，aA}，则AB=B 时a的值是()A.2B.2或3C.1或3D.1或2[答案] D[解析]由AB=B知BA，a=1时，B={x|x2-x+1=0}=A;a=2时，B={x|x2-2x+1=0}={1}A;a=3时，B={x|x2-3x+1=0}={3+52，3-52}?A，故选D.2.(文)(2011合肥质检)在复平面内，复数i3-i(i是虚数单位)对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[答案] B[解析]z=i3-i=i?3+i?3-?-1?=-14+34i的对应点-14，34在第二象限.(理)(2011蚌埠二中质检)如果复数2-bi1+2i(其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b等于()A.2B.23C.-23D.2[答案] C[解析]∵2-bi1+2i=?2-bi??1-2i?5=2-2b5+-b-45i的实部与虚部互为相反数，2-2b5+-b-45=0，b=-23，故选C.3.(文)(2011日照调研)若e1，e2是夹角为3的单位向量，且a=2e1+e2，b=-3e1+2e2，则ab等于()A.1B.-4C.-72D.72[答案] C[解析]e1e2=11cos3=12，ab=(2e1+e2)(-3e1+2e2)=-6e21+2e22+e1e2=-6+2+12=-72，故选C. (理)(2011河南豫州九校联考)若A、B是平面内的两个定点，点P为该平面内动点，且满足向量AB与AP夹角为锐角，|PB||AB|+PAAB=0，则点P的轨迹是()A.直线(除去与直线AB的交点)B.圆(除去与直线AB的交点)C.椭圆(除去与直线AB的交点)D.抛物线(除去与直线AB的交点) [答案] D[解析]以AB所在直线为x轴，线段AB中点为原点，建立平面直角坐标系，设A(-1,0)，则B(1,0)，设P(x，y)，则PB=(1-x，-y)，PA=(-1-x，-y)，AB=(2,0)，∵|PB||AB|+PAAB=0，2?1-x?2+?-y?2+2(-1-x)=0，化简得y2=4x，故选D.4.(2011黑龙江哈六中期末)为了了解甲，乙，丙三所学校高三数学模拟考试的情况，现采取分层抽样的方法从甲校的1260份，乙校的720份，丙校的900份模拟试卷中抽取试卷进行调研，如果从丙校抽取了50份，那么这次调研一共抽查的试卷份数为()A.150B.160C.200D.230[答案] B[解析]依据分层抽样的定义，抽样比为50900=118，故这次调研一共抽查试卷(1260+720+900)118=160份.5.(文)(2011福州市期末)设函数y=f(x)的定义域为实数集R，对于给定的正数k，定义函数fk(x)=f?x??f?x?k?k ?f?x?k?，给出函数f(x)=-x2+2，若对于任意的x(-，+)，恒有fk(x)=f(x)，则()A.k的最大值为2B.k的最小值为2C.k的最大值为1D.k的最小值为1[答案] B[解析]∵x(-，+)时，f(x)=-x2+22，且fk(x)=f(x)恒成立，且当f(x)k 时，fk(x)=k，故k的最小值为2.(理)(2011丰台区期末)用max{a，b}表示a，b两个数中的最大数，设f(x)=max{x2，x}(x14)，那么由函数y=f(x)的图象、x轴、直线x=14和直线x=2所围成的封闭图形的面积是()A.3512B.5924C.578D.9112[答案] A[解析]如图，平面区域的面积为6.(2011北京丰台区期末)下面程序框图运行后，如果输出的函数值在区间[-2，12]内，则输入的实数x的取值范围是()A.(-，-1]B.[14，2]C.(-，0)[14，2]D.(-，-1][14，2][答案] D[解析]∵x0时，f(x)=2x(0,1)，由02x12得，x-1;由-2log2x12x0得，14x2，故选D.7.(文)(2011潍坊一中期末)下列有关命题的说法错误的是()A.命题若x2-3x+2=0，则x=1的逆否命题为：若x1，则x2-3x+20B.x=1是x2-3x+2=0的充分不必要条件C.若pq为假命题，则p、q均为假命题D.对于命题p：xR使得x2+x+10，则綈p：xR，均有x2+x+10 [答案] C[解析]若pq为假命题，则p、q至少有一个为假命题，故C错误. (理)(2011巢湖质检)给出下列命题①设a，b为非零实数，则a②命题p：垂直于同一条直线的两直线平行，命题q：垂直于同一条直线的两平面平行，则命题pq为真命题;③命题xR，sinx1的否定为x0R，sinx01;④命题若x2且y3，则x+y5的逆否命题为若x+y5，则x2且y3，其中真命题的个数是()A.4个B.3个C.2个D.1个[答案] D[解析]①取a=-1，b=2满足a8.(文)(2011陕西宝鸡质检)若将函数y=cosx-3sinx的图象向左平移m(m0)个单位后，所得图象关于y轴对称，则实数m的最小值为() A.6 B.3C.23D.56[答案] C[解析]y=cosx-3sinx=2cosx+3左移m个单位得y=2cosx+m+3为偶函数，m+3=k，kZ.∵m0，m的最小值为23.(理)(2011咸阳模拟)将函数y=sin2x+4的图像向左平移4个单位，再向上平移2个单位，则所得图像的函数解析式是()A.y=2+sin2x+34B.y=2+sin2x-4C.y=2+sin2xD.y=2+cos2x[答案] A[解析]y=sin2x+4――――――――图象再向上平移4个单位用x+4代替xy=sin2x+4+4―――――――图象再向上平移2个单位用y-2代替y y-2=sin2x+4+4，即得y=sin2x+34+2，故选A.9.(2011陕西咸阳模拟)如图所示的程序框图，其输出结果是()A.341B.1364C.1365D.1366[答案] C[解析]程序运行过程依次为：a=1，a=41+1=5，a500满足a=45+1=21，a500仍满足a=421+1=85，a500满足a=485+1=341，a500满足a=4341+1=1365，a500不满足输出a的值1365后结束，故选C.[点评]要注意循环结束的条件和输出结果是什么.10.(文)(2011山东淄博一中期末)如图为一个几何体的三视图，左视图和主视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的全面积为()A.2723B.123C.24D.24+23[答案] D[解析]由三视图知，该几何体是底面边长为332=2，高为4的正三棱柱，故其全面积为3(24)+23422=24+23.(理)(2011山东日照调研)下图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于()A.34+65B.6+65+43C.6+63+413D.17+65[答案] A[解析]由三视图知，该四棱锥底面是一个矩形，两边长分别为6和2，有一个侧面PAD与底面垂直，高为4，故其表面积S=62+1264+212242+32+12642+22=34+65.11.(2011陕西宝鸡质检)双曲线x2m-y2n=1(mn0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则mn的值为()A.83B.38C.316D.163[答案] C[解析]抛物线焦点F(1,0)为双曲线一个焦点，m+n=1，又双曲线离心率为2，1+nm=4，解得m=14n=34，mn=316.12.(文)(2011广东高州市长坡中学期末)方程|x-2|=log2x的解的个数为()A.0B.1C.2D.3[答案] C[解析]在同一坐标系中作出函数y=|x-2|与y=log2x的图象可知两图象有两个交点，故选C.(理)(2011山东实验中学期末)具有性质：f1x=-f(x)的函数，我们称为满足倒负变换的函数，下列函数：①y=x-1x，②y=x+1x，③y=x，?0 A.①② B.②③C.①③D.只有①[答案] C[解析]①对于函数f(x)=x-1x，∵f1x=1x-x=-x-1x=-f(x)，①是倒负变换的函数，排除B;②对于函数f(x)=x+1x有f1x=1x+x=f(x)不满足倒负变换，排除A;对于③，当0第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13.(2011黑龙江哈六中期末)一个盒子里装有标号为1,2,3,4,5的5张标签，不放回地抽取2张标签，则2张标签上的数字为相邻整数的概率为________(用分数表示).[答案]25[解析](文)任取两张标签，所有可能取法有1,2;1,3;1,4;1,5;2,3;2,4;2,5;3,4;3,5;4,5;共10种，其中两数字相邻的有4种，所求概率p=410=25.(理)从5张标签中，任取2张，有C25=10种取法，两张标签上的数字为相邻整数的取法有4种，概率p=410=25.14.(2011浙江宁波八校联考)点(a，b)为第一象限内的点，且在圆(x+1)2+(y+1)2=8上，ab的最大值为________.[答案] 1[解析]由条件知a0，b0，(a+1)2+(b+1)2=8，a2+b2+2a+2b=6，2ab+4ab6，∵ab0，0[点评]作出图形可见，点(a，b)为⊙C在第一象限的一段弧，由对称性可知，当点(a，b)为直线y=x与⊙C的交点(1,1)时，ab取最大值1.15.(2011重庆南开中学期末)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2n-1，则当n2时，1a1+1a2++1an=________.[答案]2-12n-1[解析]a1=S1=1，n2时，an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1，an=2n-1(nN*)，1an=12n-1，1a1+1a2++1an=1-12n1-12=2-12n-1.16.(文)(2011北京学普教育中心)设函数f(x)的定义域为D，若存在非零实数l，使得对于任意xM(MD)，有x+lD，且f(x+l)f(x)，则称f(x)为M上的l高调函数.如果定义域为[-1，+)的函数f(x)=x2为[-1，+)上的m高调函数，那么实数m的取值范围是________.[答案][2，+)[解析]f(x)=x2(x-1)的图象如图所示，要使得f(-1+m)f(-1)=1，应有m2;故x-1时，恒有f(x+m)f(x)，只须m2即可.(理)(2011四川资阳模拟)下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间(0,1)中的实数m对应数轴上的点M，如图①;将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图②;再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为(0,1)，在图形变化过程中，图①中线段AM的长度对应于图③中的弧ADM的长度，如图③.图③中直线AM与x轴交于点N(n,0)，则m的象就是n，记作f(m)=n.给出下列命题：①f14=1;②f(x)是奇函数;③f(x)在定义域上单调递增，则所有真命题的序号是________.(填出所有真命题的序号)[答案]③[解析]由m的象是n的定义知，f140，故①假，随着m的增大，点N沿x轴向右平移，故n增大，③为真命题;由于m是线段AM的长度，故f(x)为非奇非偶函数，②假.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)(文)(2011淄博一中期末)已知a=(cosx-sinx,2sinx)，b=(cosx+sinx，3cosx)，若ab=1013，且x-4，6，求sin2x的值.[解析]∵ab=cos2x-sin2x+23sinxcosx=cos2x+3sin2x=2sin2x+6=1013，sin2x+6=513，∵x-4，6，2x+6-3，2，cos2x+6=1213，sin2x=sin2x+6-6=sin2x+6cos6-cos2x+6sin6=51332-121312=53-1226. (理)(2011四川广元诊断)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C 的对边，向量m=(2a-c，b)，n=(cosC，cosB)，且m∥n.(1)求角B的大小;(2)若b=3，求a+c的最大值.[MVC:PAGE][解析](1)由题意知(2a-c)cosB=bcosC，(2a-c)a2+c2-b22ac=ba2+b2-c22ab，a2+c2-b2=ac，cosB=a2+c2-b22ac=12，B=3.(2)由(1)知a2+c2-b2=ac，b=3，a2+c2-ac=3，(a+c)2-3ac=3，(a+c)2-3a+c223，14(a+c)23，a+c23，即a+c的最大值为23.18.(本小题满分12分)(文)(2011重庆南开中学期末)设函数f(x)=-x2+2ax+m，g(x)=ax.(1)若函数f(x)，g(x)在[1,2]上都是减函数，求实数a的取值范围;(2)当a=1时，设函数h(x)=f(x)g(x)，若h(x)在(0，+)内的最大值为-4，求实数m的值.[解析](1)∵f(x)，g(x)在[1,2]上都是减函数，a1a0，0实数a的取值范围是(0,1].(2)当a=1时，h(x)=f(x)g(x)=-x2+2x+mx=-x+mx+2;当m0时，显然h(x)在(0，+)上单调递减，h(x)无最大值;当m0时，h(x)=-x+mx+2=-x+?-m?x+2-2-m+2.当且仅当x=-m时，等号成立.h(x)max=-2-m+2，-2-m+2=-4m=-9.(理)(2011黑龙江哈六中期末)已知函数f(x)=lnx+2x，g(x)=a(x2+x).(1)若a=12，求F(x)=f(x)-g(x)的单调区间;(2)当a1时，求证：f(x)g(x).[解析](1)a=12，F(x)=lnx+2x-12(x2+x)(x0)F(x)=1x-x+32=2-2x2+3x2x=-?2x+1??x-2?2x，∵x0，当0F(x)的增区间为(0,2)，减区间为(2，+).(2)令h(x)=f(x)-g(x)(x0)则由h(x)=f(x)-g(x)=1x+2-2ax-a=-?2x+1??ax-1?x=0，解得x=1a，∵h(x)在0，1a上增，在1a，+上减，当x=1a时，h(x)有最大值h1a=ln1a+2a-a1a2+1a=ln1a+1a-1，∵a1，ln1a0，1a-10，h(x)h1a0，所以f(x)g(x).19.(本小题满分12分)(文)(2011厦门期末)已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a2，a4成等比数列.(1)求通项an;(2)令bn=an+2an，求数列{bn}的前n项和Sn.[解析](1)设数列{an}的公关差为d，则d0，∵a1，a2，a4成等比数列，a22=a1a4，(a1+d)2=a1(a1+3d)，整理得：a1=d，又a1=1，d=1，an=a1+(n-1)d=1+(n-1)1=n.即数列{an}的通项公式为an=n.(2)由(1)可得bn=an+2an=n+2n，Sn=b1+b2+b3++bn=(1+21)+(2+22)+(3+23)++(n+2n)=(1+2+3++n)+(21+22+23++2n)=n?n+1?2+2?1-2n?1-2=n?n+1?2+2(2n-1)=2n+1+12n2+12n-2.故数列{bn}的前n项和为Sn=2n+1+12n2+12n-2.(理)(2011河北冀州期末)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知2a2=a1+a3，数列{Sn}是公差为d的等差数列.(1)求数列{an}的通项公式(用n，d表示);(2)设c为实数，对满足m+n=3k且mn的任意正整数m，n，k，不等式Sm+SncSk都成立，求c的最大值.[解析](1)由题意知：d0，Sn=S1+(n-1)d=a1+(n-1)d2a2=a1+a33a2=S33(S2-S1)=S3,3[(a1+d)2-a1]2=(a1+2d)2，化简得：a1-2a1d+d2=0，a1=d，a1=d2Sn=d+(n-1)d=nd，Sn=n2d2，当n2时，an=Sn-Sn-1=n2d2-(n-1)2d2=(2n-1)d2，适合n=1的情形. 故an=(2n-1)d2.(2)Sm+SncSkm2d2+n2d2ck2d2m2+n2ck2，c又m+n=3k且mn,2(m2+n2)(m+n)2=9k2m2+n2k292，故c92，即c的最大值为92.20.(本小题满分12分)(2011山西太原调研)已知椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0)，它的一个顶点为M(0,1)，离心率e=63.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为32，求△AOB的面积的最大值.[解析](1)依题意得b=1e=ca=a2-b2a=63解得a=3，b=1，椭圆的方程为x23+y2=1.(2)①当ABx轴时，|AB|=3，②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由已知|m|1+k2=32得，m2=34(k2+1)，把y=kx+m代入椭圆方程整理得，(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0，x1+x2=-6km3k2+1，x1x2=3?m2-1?3k2+1.当k0时，|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2=(1+k2)36k2m2?3k2+1?2-12?m2-1?3k2+1=12?1+k2??3k2+1-m2??3k2+1?2=3?k2+1??9k2+1??3k2+1?2=3+12k29k4+6k2+1=3+129k2+1k2+63+1223+6=4.当且仅当9k2=1k2，即k=33时等号成立，此时|AB|=2.当k=0时，|AB|=3.综上所述：|AB|max=2，此时△AOB面积取最大值S=12|AB|max32=32.21.(本小题满分12分)(文)一个多面体的三视图及直观图如图所示，M、N分别是A1B、B1C1的中点.(1)求证：MN∥平面ACC1A1;(2)求证：MN平面A1BC.[证明]由题意，这个几何体是直三棱柱，且ACBC，AC=BC=CC1.(1)由直三棱柱的性质知，四边形ABB1A1为矩形，对角线交点M又∵N为B1C1的中点，△AB1C1中，MN∥AC1.又∵AC1平面ACC1A1，MN平面ACC1A1.MN∥平面ACC1A1.(2)∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ACC1A1平面ABC，交线为AC，又ACBC，BC平面ACC1A1，又∵AC1平面ACC1A1，BCAC1.在正方形ACC1A1中，AC1A1C.又BCA1C=C，AC1平面A1BC，∵MN∥AC1，MN平面A1BC.[点评]将几何体的三视图与线面平行垂直的位置关系判断融合在一起是立体几何新的命题方向.解答这类问题首先要通过其三视图确定几何体的形状和主要几何量，然后利用几何体的性质进行推理或计算.请再练习下题：已知四棱锥P-ABCD的三视图如图，E是侧棱PC上的动点.(1)求四棱锥P-ABCD的体积;(2)若点F在线段BD上，且DF=3BF，则当PEEC等于多少时，有EF∥平面PAB?并证明你的结论;(3)试证明P、A、B、C、D五个点在同一球面上.[解析](1)由四棱锥的三视图可知，四棱锥P-ABCD的底面是边长侧棱PC底面ABCD，且PC=2.VP-ABCD=13S正方形ABCDPC=23.(2)当PEEC=13时，有EF∥平面PAB.连结CF延长交AB于G，连结PG，在正方形ABCD中，DF=3BF. 由△BFG∽△DFC得，GFFC=BFDF=13.在△PCG中，PEEC=13=GFFC，EF∥PG.又PG平面PAB，EF平面PAB，EF∥平面PAB.(3)证明：取PA的中点O.在四棱锥P-ABCD中，侧棱PC平面ABCD，底面ABCD为正方形，可知△PCA、△PBA、△PDA均是直角三角形，又O为PA中点，OA=OP=OB=OC=OD.点P、A、B、C、D在以点O为球心的球面上.(理)(2011湖南长沙一中期末)如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，过点A1作A1O平面BCD，垂足O恰好落在CD上.(1)求证：BCA1D;(2)求直线A1B与平面BCD所成角的正弦值.[解析](1)因为A1O平面BCD，BC平面BCD，BCA1O，因为BCCD，A1OCD=O，BC平面A1CD.因为A1D平面A1CD，BCA1D.(2)连结BO，则A1BO是直线A1B与平面BCD所成的角.因为A1DBC，A1DA1B，A1BBC=B，A1D平面A1BC，∵A1C平面A1BC，A1DA1C.在Rt△DA1C中，A1D=3，CD=5，A1C=4.根据S△A1CD=12A1DA1C=12A1OCD，得到A1O=125，在Rt△A1OB中，sinA1BO=A1OA1B=1255=1225.所以直线A1B与平面BCD所成角的正弦值为1225.选做题(22至24题选做一题)22.(本小题满分12分)几何证明选讲(2011北京学普教育中心联考)如图，A、B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC=4，BE=10，且BC=AD，求DE的长.[解析]设CB=AD=x，则由割线定理得：CACD=CBCE，即4(4+x)=x(x+10)化简得x2+6x-16=0，解得x=2或x=-8(舍去)即CD=6，CE=12.因为CA为直径，所以CBA=90，即ABE=90，则由圆的内接四边形对角互补，得D=90，则CD2+DE2=CE2，62+DE2=122，DE=63.23.(本小题满分12分)极坐标与参数方程(2011辽宁省实验中学期末)已知直线l经过点P12，1，倾斜角=6，圆C的极坐标方程为=2cos-4.(1)写出直线l的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程;(2)设l与圆C相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积. [解析](1)直线l的参数方程为x=12+tcos6y=1+tsin6即x=12+32ty=1+12t(t为参数)由=2cos-4得=cos+sin，所以2=cos+sin，∵2=x2+y2，cos=x，sin=y，x-122+y-122=12.(2)把x=12+32ty=1+12t代入x-122+y-122=12得t2+12t-14=0，|PA||PB|=|t1t2|=14.故点P到点A、B两点的距离之积为14.24.(本小题满分12分)不等式选讲(2011大连市联考)已知函数f(x)=|x-2|，g(x)=-|x+3|+m.(1)解关于x的不等式f(x)+a-10(aR);(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，求m的取值范围. [解析](1)不等式f(x)+a-10，即|x-2|+a-10，当a=1时，解集为x2，即(-，2)(2，+);当a1时，解集为全体实数R;当a1时，∵|x-2|1-a，x-21-a或x-2故解集为(-，a+1)(3-a，+).(2)f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，即为|x-2|-|x+3|+m对任意实数x恒成立，即|x-2|+|x+3|m恒成立.又对任意实数x恒有|x-2|+|x+3||(x-2)-(x+3)|=5，于是得m5，即m的取值范围是(-，5).为大家带来了2017年高考数学第一轮复习测试题含答案，高考数学复习对大家来说很重要，希望大家能够下功夫复习好数学这一科目，从而在高考中取得好的数学成绩。

山西省大同市2017届高三一轮复习阶段性测评理数试题Word版含答案

山西省大同市2017届高三一轮复习阶段性测评理数试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}{1,0,1,2,|A B x y =-==，则下图中阴影部分所表示的集合为（）A ． {}1B ． {}0C ． {}1,0-D ．{}1,0,1-2. 已知,a b R ∈，命题“若2ab =，则224a b +≥”的否命题是（） A ．若2ab ≠，则224a b +≤ B ．若2ab =，则224a b +≤ C ．若2ab ≠，则224a b +< D ．若2ab =，则224a b +< 3. 下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递减的是（） A ．()1x f x e =- B ． ()1f x x x =+C ．()41f x x= D ． ()lg f x x = 4. 函数x y a =（0a >且1a ≠）与函数()2121y a x x =---在同一坐标系内的图象可能是（）A ．B ． C. D ．5. 已知0.30.23log 3,log 2,2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（） A ． a b c >> B ．c b a >> C. b c a >> D ．c a b >>6. 函数()221f x ax x =-+在区间()1,1-和区间()1,2上分别存在一个零点，则实数a 的取值范围是（）A ． 31a -<<B ．314a << C. 334a -<< D ．3a <-或34a > 7. 幂函数ay x =在其图象上点()2,16处的切线方程为（）A ．3248y x =-B ．3248y x =+ C. 3248y x =-- D ．3248y x =-+8. 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()f x 为减函数，且()11f -=，若()21f x -≥-，则x 的取值范围是（）A ． (],3-∞+B ．(],1-∞ C. [)3,+∞ D ．[)1,+∞9. > ） A ．11a b> B ．lg lg a b > C. 22a b > D ．a b e e > 10. 函数()f x 定义域为R ，且对任意x R ∈，都有()()2f x f x +=，若在区间[]1,1-上()()2,102,01xax x f x a x e x +-≤≤⎧=⎨-<≤⎩，则()()20172018f f +=（） A ． 0 B ． 1 C. 2 D ．201811. 定义在R 上的函数()f x 与其导函数()f x '满足()()1xf x f x e -'+>，则下列不等式一定成立的是（）A ． ()()011f ef +<B ．()()011f ef +> C. ()()01f e f +< D ．()()01f e f +>12. 某班学生进行了三次数学测试，第一次有8名学生得满分，第二次有10名学生得满分，第三次有12名学生得满分，已知前两次均为满分的学生有5名，三次测试中至少有一次得满分的学生有15名，若后两次均为满分的学生至少有n 名，则n 的值为（） A ． 7 B ． 8 C. 9 D ．10二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.若命题*:,1xp x N e x ∀∈>+，则命题:p ⌝ ．14.若函数()()lg 101xf x ax =++是偶函数，则a = ．15.设[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1,52,1,51-=-=，则方程[][]220x x --=的解集为．16.已知函数()f x 满足()()()()1ln 1ln e f x f x f x -+=，当(]0,1x ∈时，()x f x e =，设()()g x f x kx =-，若方程()g x e =在(]0,e 上有且仅有3个实数解，则实数k 的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设集合(){}21|24,|02x A x B x x b a x ab ⎧⎫=≤≤=+--≤⎨⎬⎩⎭．（1）若A B =且0a b +<，求实数,a b 的值；（2）若B 是A 的真子集，且2a b +=，求实数b 的取值范围．18.已知命题[]2:2,8,log 10p x m x ∃∈+≥，命题2:,40q x R mx x m ∀∈++≤．（1）分别求p 为真命题，q 为真命题时，实数m 的取值范围；（2）当p q ∨为真命题且p q ∧为假命题时，求实数m 的取值范围．19.某公司研发出一款新产品，批量生产前先同时在甲、乙两城市销售30天进行市场调查．调查结果发现：甲城市的日销售量()f t 与天数t 的对应关系服从图①所示的函数关系；乙城市的日销售量()g t 与天数t 的对应关系服从图②所示的函数关系；每件产品的销售利润()h t 与天数t 的对应关系服从图③所示的函数关系，图①是抛物线的一部分．图①，图②，图③（1）设该产品的销售时间为()030t t ≤≤，日销售利润为()Q t ，求()Q t 的解析式；（2）若在30天的销售中，日销售利润至少有一天超过2万元，则可以投入批量生产，该产品是否可以投入批量生产，请说明理由．20.已知函数()322234f x x mx nx m =--+在1x =处有极值10．（1）求实数,m n 的值；（2）设a R ∈，讨论函数()f x 在区间[],1a a +上的单调性．21. 已知函数()f x 的定义域为R ，值域为()0,+∞，且对任意,m n R ∈，都有()()()f m n f m f n +=，()()()11f x x f x ϕ-=+．（1）求()0f 的值，并证明()x ϕ为奇函数；（2）若0x >时，()1f x >，且()34f =，证明()f x 为R 上的增函数，并解不等式()1517x ϕ>． 22.已知定义域为()1,+∞的函数()ln f x a x x =+存在两个零点．（1）求实数a 的取值范围；（2）若()()()0f m f n f x m n-'=-，求证：02m nx +>．山西省大同市2017届高三一轮复习阶段性测评理数试题答案一、选择题1-5:BCCCB 6-10:BAABC 11、12：AA 二、填空题13. *,1xx N e x ∃∈≤+ 14. 12- 15. [)[)1,02,3-U 16. 211,4e e -⎛⎤- ⎥⎝⎦三、解答题17.解：（1）{}124|122xA x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，∵0a b +<，∴a b <-，∴()(){}{}|0|B x x a x b x a x b =-+≤=≤≤-， ∵A B =， ∴1,2a b =-=-．（2）∵2a b +=， ∴{}|2B x b x b =-≤≤-， ∵B 是A 的真子集， ∴1b -≥-且22b -≤，解得01b ≤≤．18.解：（1）[][]2212,8,log 102,8,log x m x x m x∃+≥⇔∃∈≥-，又[]2,8x ∈时，2111,log 3x ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，∴p 为真命题时，1m ≥-，∵2,40x R mx x m ∀∈++≤， ∴0m <且21160m ∆=-≤，∴q 为真命题时，14m ≤-．（2）∵p q ∨为真命题且p q ∧为假命题时，∴p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假，有114m m ≥-⎧⎪⎨>-⎪⎩，解得14m >-；当p 假q 真，有114m m <-⎧⎪⎨≤-⎪⎩，解得1m <-；∴p q ∨为真命题且p q ∧为假命题时，1m <-或14m >-． 19.解：（1）()214,03010f t t t t =-+≤≤； ()4,015290,1530t t g t t t ≤≤⎧=⎨-+≤≤⎩；()20,010200,1030t t h t t ≤≤⎧=⎨≤≤⎩，由题可知，()()()()Q t f t g t h t =+⎡⎤⎣⎦， ∴当010t ≤≤时，()22214420216010Q t t t t t t t ⎡⎤⎛⎫=-++=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；当1015t ≤≤时，()2214420020160010Q t t t t t t ⎡⎤⎛⎫=-++=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；当1530t ≤≤时，()2214290200204001800010Q t t t t t t ⎡⎤⎛⎫=-+-+=-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()()22222160,010201600,10152040018000,1530t t t Q t t t t t N t t t ⎧-+≤≤⎪=-+≤≤∈⎨⎪-++≤≤⎩（2）该产品不可以投入批量生产，理由如下：当010t ≤≤时，()()max 1014000Q t Q ==，当1015t ≤≤时，()()max 1519500Q t Q ==，当1530t ≤≤时，()()max 1519500Q t Q ==，∴()Q t 的最大值为()21520151600151950020000Q =-⨯+⨯=<， ∵1950020000<，∴在一个月的销售中，没有一天的日销售利润超过2万元，不可以投入投入批量生产． 20.解：（1）()f x 定义域为()2,343R f x x mx n '=--， ∵()f x 在1x =处有极值10， ∴()10f '=且()110f =，即23430123410m n m n m --=⎧⎨--+=⎩，解得：321m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩或2113m n =-⎧⎪⎨=⎪⎩，当3,12m n ==-时，()()22363310f x x x x '=-+=-≥，当112,3m n =-=时，()()()238111311f x x x x x '=+-=-+，∴()f x 在1x =处有极值10时，112,3m n =-=．（2）由（1）可知()2241116f x x x x =+-+，其单调性和极值分布情况如下表：∴①当13a +≤-，即3a ≤-时，()f x 在区间[],1a a +上的单调递增； ②当1113a a ≤-<+，即141133a -<≤-时，()f x 在区间11,3a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增，在区间11,13a ⎛⎤-+ ⎥⎝⎦上单调递减； ③当113a >-且11a +≤，即1103a -<≤时，()f x 在区间[],1a a +上单调递减； ④当11a a ≤<+，即01a <≤时，()f x 在区间[),1a 上的单调递减，在区间(]1,1a +上单调递增；⑤1a >时，()f x 在区间[],1a a +上单调递增．综上所述，当a R ∈时，函数()f x 在区间[],1a a +上的单调性为：143a ≤-或1a >时，单调递增； 141133a -<≤-时，在11,3a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上的单调递增，在11,13a ⎛⎤-+ ⎥⎝⎦上单调递减； 1103a -<≤时，单调递减； 01a <≤时，在[),1a 上单调递减，在(]1,1a +上单调递增．21.（1）解：令0m n ==，得()()()000f f f =， ∵()f x 值域为()0,+∞， ∴()01f =，∵()f x 的定义域为R ， ∴()x ϕ的定义域为R ，又∵()()()0f f x f x =-，∴()()()()()()()()11111111f x f x f x x x f x f x f x ϕϕ-----====--+++，()x ϕ为奇函数．（2）证明：任取1212,,x x R x x ∈<，则()()()()()()()()()12121112111211f x f x f x f x x x f x f x x f x f x f x x -=--+=--=--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∵12x x <， ∴210x x ->，∵0x >时，()1f x >，∴()211f x x ->， ∴()2110f x x --<，又()f x 值域为()0,+∞，∴()10f x >， ∴()()12110f x f x x --<⎡⎤⎣⎦， ∴()()12f x f x <， ∴()f x 为R 上的增函数，()()()()115151617117f x x f x f x ϕ->⇔>⇔>+， ∵()34f =， ∴()()()16336f f f ==，又()f x 为R 上的增函数， ∴()166f x x >⇔>，故()1517x ϕ>的解集为{}|6x x >． 22.解：（1）()0ln 0ln xf x a x x a x=⇔+=⇔-=．令()ln x x x ϕ=，则()()2ln 1ln x x x ϕ-'=， ()x ϕ'的符号以及()x ϕ单调性和极值分布情况如下表：∴()()x e e ϕϕ≥=，当1x →时，()x ϕ→+∞；x →+∞时，()x ϕ→+∞，故()ln f x a x x =+在区间()1,+∞上存在两个零点时，a e <-．（2）∵()1a f x x '=+， ∴212m n a f m n +⎛⎫'=+ ⎪+⎝⎭，又()()()()0ln ln 1f m f n a m n f x m n m n--'==+--，∴()()021ln ln 2ln 21m a m n m n a a m n f f x m m n m n m n n n⎛⎫- ⎪-+⎛⎫⎝⎭''-=-=- ⎪+--⎝⎭+，令()()21,ln 1t m t g t t n t -==-+，则()()()()22214111t g t t t t t -'=-=-++，由题知(),1,m n ∈+∞且m n ≠，不妨设1m n <<，则()0,1mt n=∈， ∴(]0,1t ∈时，()0g t '≤， ∴()g t 在(]0,1单调递减， ∴(]0,1t ∈时，()()10g t g ≥=，∴21ln 01m m n m n n⎛⎫- ⎪⎝⎭->+，又0,0a e m n <-<-<，∴21ln 01m a m n m m n n n⎛⎫- ⎪⎝⎭->-+，即()002m n f f x +⎛⎫''-> ⎪⎝⎭， ∴()02m n f f x +⎛⎫''>⎪⎝⎭，∵()1af x x'=+在区间()1,+∞上单调递增， ∴02m nx +>，得证．。

2017《优化方案》高考理科数学(北师大版)一轮复习练习第5章数列第3讲知能训练轻松闯关Word版含答案

1．已知数列{a n }，则“a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)成等比数列”是“a 2n ＋1＝a n a n ＋2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A.显然，n ∈N *，a n ，a n ＋1，a n ＋2成等比数列，则a 2n ＋1＝a n a n ＋2，反之，则不一定成立，举反例，如数列为1，0，0，0，….2．如果数列a 1，a 2a 1，a 3a 2，…，a na n －1，…是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 5等于( )A ．32B ．64C ．－32D ．－64解析：选A.易知数列a 1，a 2a 1，a 3a 2，a 4a 3，a 5a 4，…，a n a n －1，…的通项为a n a n －1＝(－2)n －1，故a 5＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4＝1×(－2)×2×(－22)×4＝32.3．已知数列{a n }满足1＋log 3a n ＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( ) A.15 B ．－15 C ．5 D ．－5 解析：选D.由1＋log 3a n ＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得a n ＋1＝3a n ，即数列{a n }是公比为3的等比数列．设等比数列{a n }的公比为q ，又a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13[q 3(a 2＋a 4＋a 6)]＝log 13(33×9)＝－5.4．(2016·莱芜模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N *，若数列{c n }满足c n ＝ba n ，则c 2 016＝( ) A ．92 015 B ．272 015 C ．92 016 D ．272 016解析：选D.由已知条件知{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为3，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n ，b n ＝3n .又c n ＝ba n ＝33n ，所以c 2 016＝33×2 016＝272 016. 5．(2016·开封一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋a n ＝2n (n ∈N *)，则下列数列中一定为等比数列的是( ) A ．{a n } B ．{a n －1} C ．{a n －2} D ．{S n }解析：选C.由S n ＋a n ＝2n (n ∈N *)，①可得S n －1＋a n －1＝2(n －1)(n ≥2，n ∈N *)，②，①－②得a n ＝12a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，所以a n －2＝12(a n －1－2)(n ≥2，n ∈N *)，且a 1＝1，a 1－2＝－1≠0，所以{a n －2}一定是等比数列，故选C. 6．(2016·福州质检)已知等比数列{a n }的前n 项积记为Ⅱn ，若a 3a 4a 8＝8，则Ⅱ9＝( ) A ．512 B ．256 C ．81 D ．16解析：选 A.由题意可知，a 3a 4a 7q ＝a 3a 7a 4q ＝a 3a 7a 5＝a 35＝8，Ⅱ9＝a 1a 2a 3…a 9＝(a 1a 9)·(a 2a 8)(a 3a 7)(a 4a 6)a 5＝a 95，所以Ⅱ9＝83＝512.故选A. 7．(2015·高考广东卷)若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中a ＝5＋26，c ＝5－26，则b ＝________．解析：因为 a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝a ·c ＝(5＋26)(5－26)＝1.又b >0，所以b ＝1. 答案：18．(2016·北京海淀区高三检测)已知数列{a n }满足a 1＝2且对任意的m ，n ∈N *，都有a n ＋ma m＝a n ，则a 3＝________；{a n }的前n 项和S n ＝________．解析：因为a n ＋ma m＝a n ，所以a n ＋m ＝a n ·a m ，所以a 3＝a 1＋2＝a 1·a 2＝a 1·a 1·a 1＝23＝8；令m ＝1，则有a n ＋1＝a n ·a 1＝2a n ，所以数列{a n }是首项为a 1＝2，公比q ＝2的等比数列，所以S n ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2.答案：8 2n ＋1－29．(2016·沈阳质量监测)数列{a n }是等比数列，若a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由等比数列的性质知a 5＝a 2q 3，求得q ＝12，所以a 1＝4.a 2a 3＝⎝⎛⎭⎫12a 1⎝⎛⎭⎫12a 2＝14a 1a 2，a n a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12a n －1⎝⎛⎭⎫12a n ＝14a n －1a n (n ≥2)．设b n ＝a n a n ＋1，可以得出数列{b n }是以8为首项，以14为公比的等比数列，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1为数列{b n }的前n 项和，由等比数列前n 项和公式得a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n 1－14＝323(1－4－n )．答案：323(1－4－n )10．设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40＝________．解析：依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30；又S 20>0，因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40，故S 40－S 30＝80，S 40＝150. 答案：15011．已知等差数列{a n }满足a 2＝2，a 5＝8. (1)求{a n }的通项公式；(2)各项均为正数的等比数列{b n }中，b 1＝1，b 2＋b 3＝a 4，求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，a 1＋4d ＝8，所以a 1＝0，d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －2.(2)设等比数列{b n }的公比为q ，则由已知得 q ＋q 2＝a 4.因为a 4＝6，所以q ＝2或q ＝－3. 因为等比数列{b n }的各项均为正数，所以q ＝2.所以{b n }的前n 项和T n ＝b 1（1－q n ）1－q ＝1×（1－2n ）1－2＝2n－1.12．(2016·太原模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1，2S 2，3S 3成等差数列，且S 4＝4027. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证S n <32.解：(1)设等比数列{a n }的公比为q . 因为S 1，2S 2，3S 3成等差数列，所以4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)，所以a 2＝3a 3，所以q ＝a 3a 2＝13.又S 4＝4027，即a 1（1－q 4）1－q＝4027，解得a 1＝1，所以a n ＝⎝⎛⎭⎫13n －1.(2)证明：由(1)得S n ＝a 1（1－q n ）1－q＝1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n <32.1．设{a n }是各项均为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形的面积(i ＝1，2，…)，则{A n }为等比数列的充要条件是( ) A ．{a n }是等比数列B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同解析：选D.因为A i ＝a i a i ＋1，若{A n }为等比数列，则A n ＋1A n ＝a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n 为常数，即A 2A 1＝a 3a 1，A 3A 2＝a 4a 2，….所以a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均成等比数列，且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q ，则A n ＋1A n ＝a n ＋2a n＝q ，从而{A n }为等比数列． 2．(2016·太原模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－1，S n ＝2a n ＋n (n ∈N *)，则a n ＝________．解析：因为S n ＝2a n ＋n ①，所以S n ＋1＝2a n ＋1＋n ＋1②，②－①，可得a n ＋1＝2a n －1，即a n ＋1－1＝2(a n －1)，又因为a 1＝－1，所以数列{a n －1}是以－2为首项，2为公比的等比数列，所以a n －1＝(－2)·2n －1＝－2n ，所以a n ＝1－2n . 答案：1－2n3．(2016·南昌模拟)已知公比不为1的等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列． (1)求等比数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，在a n 与a n ＋1之间插入3n 个数，使这3n ＋2个数成等差数列，记插入的这3n 个数的和为b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)因为a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列，所以a 5＋S 5－a 4－S 4＝a 6＋S 6－a 5－S 5，即2a 6－3a 5＋a 4＝0，所以2q 2－3q ＋1＝0，因为q ≠1，所以q ＝12，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝12n .(2)b n ＝a n ＋a n ＋12·3n ＝34⎝⎛⎭⎫32n，T n ＝34×32－⎝⎛⎭⎫32n ＋11－32＝94⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32n －1. 4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，公比是q ，且满足：a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝12，S 2＝b 2q . (1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝3b n －λ·2a n 3，若数列{c n }是递增数列，求λ的取值范围．解：(1)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋3＋a 2＝12，3＋a 2＝q 2，所以q 2＋q －12＝0，解得q ＝3或q ＝－4(舍去)，从而a 2＝6，所以a n ＝3n ，b n ＝3n －1.(2)由(1)知，c n ＝3b n －λ·2a n 3＝3n －λ·2n .由题意，c n ＋1>c n 对任意的n ∈N *恒成立，即3n ＋1－λ·2n ＋1>3n －λ·2n 恒成立，亦即λ·2n <2·3n 恒成立，即λ<2·⎝⎛⎭⎫32n 恒成立．由于函数y ＝⎝⎛⎭⎫32n 是增函数，所以⎣⎡⎦⎤2·⎝⎛⎭⎫32n min＝2×32＝3，故λ<3，即λ的取值范围为(－∞，3)．。

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第一章集合与常用逻辑用语1.集合【三年高考真题演练】[2016年高考真题]1.C [A ＝{0，2，4，6，8，10}，B ＝{4，8}，∴∁A B ＝{0，2，6，10}.]2.D [由x 2<9解得－3<x <3，∴B ＝{x |－3<x <3}，又因为A ＝{1，2，3}，所以A ∩B ＝{1，2}，故选D.]3.B [A ＝{1，3，5，7}，B ＝{x |2≤x ≤5}，得A ∩B ＝{3，5}，故选B.]4.A [∵A ∪B ＝{1，3，4，5}，∴∁U (A ∪B )＝{2，6}，故选A.]5.D [S ＝{x |x ≥3或x ≤2}，T ＝{x |x ＞0}，则S ∩T ＝(0，2]∪[3，＋∞).]6.C [A ＝{x ||x |＜2}＝{x |－2＜x ＜2}，所以A ∩B ＝{x |－2＜x ＜2}∩{－1，0，1，2，3}＝{－1，0，1}.]7.C [∵A ＝{y |y >0}，B ＝{x |－1<x <1}，∴A ∪B ＝(－1，＋∞)，故选C.]8.D [由A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2x －3>0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >32，得A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪32<x <3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，故选D.] 9.C [A ∩B ＝{x |2＜x ＜4}∩{x |x ＜3或x ＞5}＝{x |2＜x ＜3}.]10.C [由(x ＋1)(x －2)<0解得集合B ＝{x |－1<x <2}，又因为x ∈Z ，所以B ＝{0，1}，因为A ＝{1，2，3}，所以A ∪B ＝{0，1，2，3}，故选C.]11.C [由题可知，A ∩Z ＝{－2，－1，0，1，2}，则A ∩Z 中的元素的个数为5.选C.]12.B [由已知得Q ＝{x |x ≥2或x ≤－2}.∴∁R Q ＝(－2，2).又P ＝[1，3]，∴P ∪∁R Q ＝[1，3]∪(－2，2)＝(－2，3].]13.{－1，2} [由于B ＝{x |－2＜x ＜3}.对集合A 中的4个元素逐一验证，－1∈B ，2∈B ，3∉B ，6∉B .故A ∩B ＝{－1，2}.][两年经典高考真题]1.D [A ＝{…，5，8，11，14，17…}，B ＝{6，8，10，12，14}，A ∩B ＝{8，14}，集合A ∩B 中有两个元素.]2.D [由于2∈A ，2∈B ，3∈A ，3∈B ，1∈A ，1∉B ，故A ，B ，C 均错，D 是正确的，选D.]3.C [由题意知∁U A ＝{2，4，7}，选C.]4.C [“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”⇔“A ∩B ＝∅”，选C.]5.B6.C[∵A＝{x|x2－4x＋3＜0}＝{x|(x－1)(x－3)}＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，∴A∩B＝{x|2＜x＜3}＝(2，3).]7.A[由题意得M＝{0，1}，N＝(0，1]，故M∪N＝[0，1]，故选A.]8.A[由题意知，∁U B＝{2，5，8}，则A∩∁U B＝{2，5}，选A.]9.A[由A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}＝{x|－2＜x＜1}，得A∩B＝{－1，0}，故选A.]10.A[∵A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜3}，∴A∪B＝{x|－1＜x＜3}.]11.C[∵P＝{x|x≥2或x≤0}，∁R P＝{x|0＜x＜2}，∴(∁R P)∩Q＝{x|1＜x＜2}，故选C.12.A[因为M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}＝{－4，－1}，N＝{x|(x－4)·(x－1)＝0}＝{1，4}，所以M∩N ＝∅，故选A.]13.C[M∪N表示属于M或属于N的元素构成的集合，故M∪N＝{－1，0，1，2}，选C.]14.C[由已知直接得，A∩B＝{x|x＞2}∩{x|1<x<3}＝{x|2<x<3}，选C.]15.C[因为A＝{x|－3<x<3}，∁R B＝{x|x≤－1或x>5}，所以A∩(∁R B)＝{x|－3<x<3}∩{x|x≤－1或x＞5}＝{x|－3<x≤－1}.]16.A[A＝{x|x≤－1，或x≥3}，故A∩B＝[－2，－1]，选A.]17.D[N＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，又M＝{0，1，2}，所以M∩N＝{1，2}.]18.D[A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}.]19.C[由题意，得A＝{x||x－1|<2}＝{x|－1<x<3}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}＝{y|1≤y≤4}，所以A∩B＝[1，3).]20.B[∵x2<1，∴－1<x<1，∴M∩N＝{x|0≤x<1}，故选B.]21.A[因为A＝{x|－1≤x≤2}，B＝Z，故A∩B＝{－1，0，1，2}.]22.{7，9}[依题意得U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，∁U A＝{4，6，7，9，10}，(∁U A)∩B ＝{7，9}.]23.A[命题①成立，若A≠B，则card(A∪B)>card(A∩B)，所以d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)>0.反之可以把上述过程逆推，故“A≠B”是“d(A，B)>0”的充分必要条件；命题②成立，由Venn图，知card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)，d(A，C)＝card(A)＋card(C)－2card(A∩C)，d(B，C)＝card(B)＋card(C)－2card(B∩C)，∴d(A，B)＋d(B，C)－d(A，C)＝card(A)＋card(B)－2card(A∩B)＋card(B)＋card(C)－2card(B∩C)－[card(A)＋card(C)－2card(A∩C)]＝2card(B)－2card(A∩B)－2card(B∩C)＋2card(A∩C)＝2card(B)＋2card(A∩C)－2[card(A∩B)＋card(B∩C)]≥2card(B)＋2card(A∩C)－2[card(A∪C)∩B]＋card(A∩B∩C)＝[2card(B)－2card(A∪C)∩B]＋[2card(A∩C)－2card(A∩B∩C)]≥0，∴d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)得证.]24.C[如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合A⊕B显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3，3)，(3，－3)，(3，3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合A⊕B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”，共45个.故A⊕B中元素的个数为45.故选C.]25.6[根据题意可分四种情况：(1)若①正确，则a＝1，b＝1，c≠2，d＝4，其中a＝1与b＝1矛盾，条件的有序数组有0个；(2)若②正确，则a≠1，b≠1，c≠2，d＝4，符合条件的有序数组为(2，3，1，4)和(3，2，1，4)；(3)若③正确，则a≠1，b＝1，c＝2，d＝4，则a＝3符合条件的有序数组为(3，1，2，4)；(4)若④正确，则a≠1，b＝1，c≠2，d≠4，符合条件的有序数组为(2，1，4，3)，(4，1，3，2)，(3，1，4，2).所以共有6个.故答案为6.]26.201[可分下列三种情形：(1)若只有①正确，则a≠2，b≠2，c＝0，所以a＝b＝1或b＝c＝0或a＝c＝0与集合元素的互异性相矛盾，所以只有①正确是不可能的；(2)若只有②正确，则b＝2，a＝2，c＝0，这与集合元素的互异性相矛盾，所以只有②正确是不可能的；(3)若只有③正确，则c≠0，a＝2，b≠2，所以b＝0，c＝1，所以100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.]【两年模拟试题精练】1.A[由|x|≤1得－1≤x≤1，∴A＝{x|－1≤x≤1}；由y＝x得x≥0，∴B＝{x|x≥0}.∴A∩B＝{x|0≤x≤1}.故选A.]2.B [A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3，4}，∴A ∩B ＝{2，3}，又∵U ＝{1，2，3，4，5}，∴∁U (A ∩B )＝{1，4，5}.]3.C [∵A ＝{1，－1}，B ＝{0，－1}，∴A ∩B ＝{－1}，选C.]4.D [集合A ＝{x |x <－3或x >1}，所以∁R A ＝{x |－3≤x ≤1}，所以(∁R A )∩Z ＝{－3，－2，－1，0，1}，故选D.]5.{x |1<x ≤2} [由M 中不等式解得：x <－2或x >2，即M ＝{x |x <－2或x >2}，∴∁R M ＝{x |－2≤x ≤2}，由N 中不等式变形得：x －3x －1≤0，解得：1<x ≤3，即N ＝{x |1<x ≤3}，则(∁R M )∩N ＝{x |1<x ≤2}.故答案为：{x |1<x ≤2}.]6.D [集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－32≤x ≤3，若(∁R A )∩B ＝B ，则m >3，故选D.] 7.B [A ＝R ，B ＝(0，1).∴A ∩B ＝(0，1)，故选B.]8.A [M ＝{x |x2＋3x ＋2<0}＝{x |－2<x <－1}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤4 ＝{x |x ≥－2}，则M ∪N ＝{x |x ≥－2}，故选A.]9.B [A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1，2}，B ＝{x |log x 4＝2}＝{2}，则A ∪B ＝{1，2}，故选B.]10.C [B ＝{x |x ＝2a ，a ∈A }＝{0，2，4，6} ，则A ∩B ＝{0，2}，故选C.]11.C [A ＝{x |x 2－16<0}＝{x |－4<x <4}，所以A ∩B ＝{0，1}故选C.]12.B [A ＝{x ∈N |x ≤6}＝{0，1，2，3，4，5，6}，B ＝{x ∈R |x 2－3x >0}＝{x |x >3或x <0}，则A ∩B ＝{4，5，6}，故选B.]13.C [A ＝{x ∈R ||x －1|<2}＝{x |－1<x <3}，B ＝{y |y ≥0}，则A ∩B ＝[0，3)，故选C.]14.D [A ＝{x |x >－2}，B ＝{x |x <3}，则A ∩B ＝{x |－2<x <3}，故选D.]15.A [因为A ＝{x |x ＝x 2－2，x ∈R }＝{2}且A ⊆B ，故m ＝2，故选A.]16.C [B ＝{x |x ＝n ，n ∈A }＝{0，1，2，3，2}，则A ∩B ＝{0，1，2}故其真子集的个数为7个，故选C.]17.C [由题意得，A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{1，2，3}，C ＝{z |z ＝xy ，x ∈A 且y ∈B }，当x ＝1时，z ＝1或2或3；当x ＝2时，z ＝2或4或6；当x ＝3时，z ＝3或6或9；当x ＝4时，z ＝4或8或12；当x ＝5时，z ＝5或10或15；所以C ＝{1，2，3，4，6，9，8，12，5，10，15}中的元素个数为11，故选C.]18.A [A ＝{x ∈R |－1<x <3}，∵x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，∴A B ，∴m >3，故选A.]19.C [由题意知{1，2，3}的子集中去掉∅，{2}，则集合A 的个数为6个，故选C.]20.A [因为M ＝{x |1<x <2}，又N ＝{x |x <a }，M ⊆N ，所以a ≥2，故选A.]21.B [因为M ＝{y |y ＝2x ，x >0}＝{y |y >1}＝(1，＋∞)，N ＝{x |y ＝lg x }＝{x |x >0}＝(0，＋∞)，所以M ∩N ＝(1，＋∞)，故选B.]22.C23.D [因为A ＝{x |－4<x <4}，B ＝{x |x >4}，所以∁U B ＝{x |x ≤4}，所以A ∩(∁U B )＝A ，故选D.]24.D [A ＝{x |x ≤－4或x ≥4}，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴m ≤－4或m ≥4，故选D.]25.C [∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，∴m ＝0或m ＝2.]26.A [B ＝{x |x 2－x >0}＝{x |x >1或x <0}，而A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |1<x <2}阴影部分表示的集合为∁R (A ∩B )＝(－∞，1]∪(2，＋∞)，故选A.]27.D [集合A ＝{x |x >0}，从而A 、C 错，∁R A ＝{x |x ≤0}，则(∁R A )∩B ＝{－1}，故选D.]28.B [依题意得∁U A ＝{x |1≤x ≤2}，(∁U A )∩B ＝{x |1≤x <2}＝[1，2)，选B.]29.B [由题意，得M ＝{y |y ≥－1}＝[－1，＋∞)，N ＝{x |3－x 2≥0，x ∈R }＝{x |－3≤x ≤3}＝[－3，3]，则M ∩N ＝[－1，＋∞)∩[－3，3]＝[－1，3]，故选B.]30.a ＝2 [根据已知得⎩⎨⎧a 2＋2a －3＝5，|2a －1|＝3，解得a ＝2.] 31.A [由log 2x >1⇒log 2x >log 22⇒x >2，得A ＝{x |x >2}；由3x ＋1<1⇒2－x x ＋1<0⇒(x ＋1)(x －2)>0⇒x <－1或x >2，得B ＝{x |x <－1或x >2} ，∴A B ，∴x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，故选A.]32.B [由已知，得∁U A ∩B ＝{3，5}，故选B.]33.－1 1 [∵|x ＋2|<3⇒－3<x ＋2<3⇒－5<x <1，∴A ＝(－5，1).结合A ∩B ＝(－1，n )，得B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}＝{x ∈R |m <x <2}，∴m ＝－1，n ＝1.]34.①4 ②(5，1，3)35.D [由定义设非空集合S ＝{x |m ≤x ≤n }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S ，当x ＝n 时，n 2≤S 即n 2≤n ，解得0≤n ≤1，当x ＝m 时，m 2∈S 即m 2≥m ，解得m ≤0，或m ≥1.若m ＝1，由1＝m ≤n ≤1，可得m ＝n ＝1，即S ＝{1}，故①正确；对于②m ＝－12，m 2＝14∈S ，即14≤n ，故14≤n ≤1，故②正确；对于③若n ＝12，由m 2∈S ，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≤0，或m ≥1，m 2≤12，m ≤12，解得－22≤m ≤0，故③正确；故选D.]36.A [∵f (x )＝x 2－2x ＋2，∴|f (x 1)－f (x 2)|＝|x 21－2x 1＋2－(x 22－2x 2＋2)|＝|(x 1－x 2)(x 1＋x 2－2)|≤4|x 1－x 2|，∴|x 1＋x 2－2|≤4.又x 1，x 2∈[－1，1]，所以f (x )∈M ，而g ′(x )＝e x，当x 1，x 2∈[－1，1]时，|g ′(x )|＝|g （x 1）－g （x 2）x 1－x 2|≤e ≤4恒成立，故选A.]2.常用逻辑用语【三年高考真题演练】[2016年高考真题]1.D [原命题是全称命题，条件为∀x ∈R ，结论为∂n ∈N *，使得n ≥x 2，其否定形式为特称命题，条件中改量词，并否定结论，只有D 选项符合.]2.A []3.A [若直线a 和直线b 相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a 和直线b 可能平行或异面或相交，故选A.]4.A [如图，(x －1)2＋(y －1)2≤2①表示圆心为(1，1)，半径为2的圆内区域所有点(包括边界)；⎩⎨⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1②表示△ABC 内部区域所有点(包括边界).实数x ，y 满足②则必然满足①，反之不成立.则p 是q 的必要不充分条件.故选A.][两年经典高考真题]1.D2.C [由题易知命题p 为真，命题q 为假，则非p 为假，非q 为真.故p ∧q 为假，p ∨q 为真，p ∧(非q )为真，(非p )∨q 为假.故选C.]3.A4.A [命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以命题非q 为真命题，所以p ∧非q 为真命题，选A.]5.D [依题意，命题p 是真命题.由x >2⇒x >1，而x >1D ⇒x >2，因此“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，故命题q 是假命题，则非q 是真命题，p ∧非q 是真命题，选D.]6.A [从原命题的真假入手，由于a n ＋a n ＋12<a n ⇔a n ＋1<a n ⇔{a n }为递减数列，即原命题和逆命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A.]7.B [因为原命题为真，所以它的逆否命题为真；若|z 1|＝|z 2|，当z 1＝1，z 2＝－1时，这两个复数不是共轭复数，所以原命题的逆命题是假的，故否命题也是假的.故选B.]8.B [由x ＞1⇒x ＋2＞3⇒log 12(x ＋2)＜0，log 12(x ＋2)＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，故“x ＞1”是“log 12(x＋2)＜0”成立的充分不必要条件.因此选B. ]9.B [m ⊂α，m ∥β⇒/α∥β，但m ⊂α，α∥β⇒m ∥β，∴m ∥β是α∥β的必要而不充分条件.]10.A [当1<x <2时，2<2x <4，∴p ⇒q ；但由2x >1，得x >0，∴q ⇒/p ，故选A.]11.A [柯西不等式“(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )≥(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2”等号成立的条件是“a 1a 2＝a 2a 3＝…＝a n －1a n(即a 1，a 2，…，a n ，成等比数列)”或“a 2＝a 3＝…＝a n ＝0”，故p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件.故选A.]12.B [ln(x ＋1)<0⇔0<x ＋1<1⇔－1<x <0，而(－1，0)是(－∞，0)的真子集，所以“x <0”是“ln(x ＋1)<0”的必要不充分条件.]13.D [可采用特殊值法进行判断，令a ＝1，b ＝－1，满足a ＞b ，但不满足a 2＞b 2，即条件“a ＞b ”不能推出结论“a 2＞b 2”；再令a ＝－1，b ＝0，满足a 2＞b 2，但不满足a ＞b ，即结论“a 2＞b 2”不能推出条件“a ＞b ”.故选D.]14.C [设f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但是f (x )是单调增函数，在x ＝0处不存在极值，故若p 则q 是一个假命题，由极值的定义可得若q 则p 是一个真命题.故选C.]15.A [若“四边形ABCD 为菱形”，则对角线“AC ⊥BD ”成立；而若对角线“AC ⊥BD ”成立，则“四边形ABCD 有可能为空间正四面体”，所以“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的充分不必要条件.]16.A [当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ，反之，若(a ＋b i)2＝2i ，则有a ＝b ＝－1或a ＝b ＝1，因此选A.]17.C [由A ∩B ＝A 可知，A ⊆B ；反过来A ⊆B ，则A ∩B ＝A ，故选C.]18.A [∵sin α＝cos α⇒cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝0；cos 2α＝0⇔cos α＝±sin α⇒/ sin α＝cos α，故选A.]19.A [由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，故a ≤b ⇔sin A ≤sin B ，选A.]20.D [由b 2－4ac ≤0推不出ax 2＋bx ＋c ≥0，这是因为a 的符号不确定，所以A 不正确；当b 2＝0时，由a ＞c 推不出ab 2＞cb 2，所以B 不正确；“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2<0”，所以C 不正确.选D.]21.A22.C [令f (x )＝x |x |，则f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，画出f (x )的图象(如图)，易知f (x )在R 上为单调递增函数，因此a >b ⇔f (a )>f (b )，故“a >b ”是“a |a |>b |b |”的充要条件，故选C.]23.C[将命题p的量词“∂”改为“∀”，“n2>2n”改为“n2≤2n”.]24.C[全称命题的否定是特称命题，否定结论，所以选C.]25.B[由全称命题∀x∈M，p(x)的否定为∂x0∈M，非p(x0)，可得非p：∂x0>0，使得(x0＋1)e x0≤1.故选B.]26.C[把全称量词“∀”改为存在量词“∂”，并把结论加以否定，故选C.]27.D[全称命题“∀x∈M，p(x)”的否定为特称命题“∂x∈M，非p(x)”，故选D.]【两年模拟试题精练】1.D[特称命题的否定是全称命题故选D.]2.C[原命题为若非p则非q的形式，则否命题为若非p则非q的形式，故选C.]3.B[由不等式的性质知，当a>b>0时，a2>b2成立；反之，例如取a＝－3，b＝1，显然a2>b2，而a>b>0不成立.故选B.]4.C[命题p，q均为假命题，则非p为真命题，所以(非p)∨q为真命题，故选C.]5.B[a·b<0得到a，b夹角为钝角或π，反之成立，故选B.]6.A[特称命题的否定为全称命题，并否定结论，选A.]7.A[由3x2＋x－2>0得x>23或x<－1，故由“x>23”能推出“3x2＋x－2>0”，反之则不能，故选A.]8.D[mn>1时X>1不一定成立，反之也不一定成立，故选D.]9.C[当b＝0时，函数f(x)为奇函数，反之也成立，故选C.]10.A[函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数需满足－b2≤0，则b≥0，故选A.]11.C[命题p为真命题，命题q为假命题，则p∧(非q)是真命题，故选C.]12.C[根据原命题与其逆否命题等价，具有共同的真假性，故选C.]13.A[因为A B，则集合A中的元素是集合B中的元素，而集合B中的元素不一定是集合A 中的元素，则“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件.]14.D[a≠5，b≠－5推不出a＋b≠0，例如a＝2，b＝－2时，a＋b＝0，a＋b≠0也推不出a≠5且b≠－5，所以“a≠5且b≠－5”是“a＋b≠0”既不充分条件也不必要条件，所以选D.]15.A[若命题p：“∀x∈[0，1]，a≥e x”为真命题，则a≥e；若命题q：“∂x∈R，x2＋4x＋a＝0”为真命题，则Δ＝16－4a >0，即a ≤4，所以若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是[e ，4].]16.C [在C 中y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数的充要条件是φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，故选C.]17.D [A 中的e x 0恒大于0；B 当中sin x >0时，sin 2x ＋2sin x ≥3(x ≠k π，k ∈Z )成立，在C 中x ＝2时，2x ＝x 2故不成立，故选D.]18.A [条件p ：－3≤x ≤1，又p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是a ≥1，故选A.]19.C [②中a ＝2，b ＝2时，lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b 成立，正确；③正确，④是充要条件；故选C.]20.B [当a ⊥b 时，平面α，β可以相交但不垂直，反之，当α∥β时，a ⊥β ，则a ⊥b ，故选B.]21.A [当λ<0时，a n ＝n 2－2λn 的对称轴为n ＝λ<0，则a n ＋1>a n ；反之不一定成立，故选A.]22.D [A 中，函数y ＝f (x )为R 上的可导函数，则f ′(x 0)＝0是x 0为函数f (x )极值点的充要条件，错误，导数为零的点不一定为极值点.B 中命题“存在x ∈R ，x 2＋x －1<0”的否定是“任意x ∈R ，x 2＋x －1≥0”；C 中命题“在△ABC 中，若A >B ，则sin A >sin B ”的逆命题为真命题；D 中“b ＝0”是“函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数”的充要条件，正确；故选D.]23.C [(1)∵命题“若x ＝1，则x 2＋2x －3＝0”是真命题，所以其逆否命题亦为真命题，因此(1)不正确；(2)根据含量词的命题否定方式，可知命题(2)正确.(3)当φ＝π2＋k π(k ∈Z )时，则函数y ＝sin(2x＋φ)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋k π＝±cos 2x 为偶函数；反之也成立，故“φ＝π2＋k π(k ∈Z )”是“函数y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充要条件；综上可知：真命题的个数2.]24.B [①特称命题否定为全称命题，正确.②错误.③f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1313－⎝ ⎛⎭⎪⎫1213<0.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213－⎝ ⎛⎭⎪⎫1212>0，故③正确，选B.]25.C [当x ∈A ，且x ∉(A ∩B )，满足x ∈(A ∪B )，即充分性不成立，若x ∉(A ∪B )，则x ∉(A ∩B )成立，即必要性成立，故p 是q 的必要不充分条件，故选C.]26.C [①cos α≠0，则α≠k π＋π2，故是α≠2k π＋π2(k ∈Z )的充分不必要条件，故错误；②f (x )＝|sin x |＋|cos x |，则f (x )最小正周期是π2，故错误，③若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则每个数与平均数的差的平方不变，故样本的方差不变，故正确；④设随机变量ξ服从正态分布N (0，1)，若P (ξ>1)＝p ，由图象的对称性可得，若P (ξ>1)＝p ，则P (ξ<－1)＝p ，∴P (－1<ξ<1)＝1－2p ，则P (－1<ξ<0)＝12－p ，故正确，故选C.]27.B [因为对∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋14>0，所以选项B 中的“命题q ：∂x ∈R ，x 2＋x＋1<0”为假，则p ∧q 为假，故选B.]28.D [对A ，当a ≤0时错误；对B ，当b ＝0时，充分性不成立；对C ，命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定应是“存在x ∈R ，有x 2<0”，故选D.]29.C [∵当c ＝0时有ac 2＝bc 2，∴命题p 假，则非p 真；∵当x 0＝1时有x 0－1－ln x 0＝0，∴命题q 真，则非q 假.∴(非p )∧q 为真，故选C.]30.B [∵|x －1|＋|x －3|≥|(x －1)－(x －3)|＝2，∴条件p ：m >2；若f (x )＝(7－3m )x 为减函数，则0<7－3m <1，解得2<m <73，∴条件q ：2<m <73，∴p ⇒/ q ，但q ⇒p ，即p 成立是q 成立的必要不充分条件，故选B.]31.[－2，0] [∵f (x )是奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝log 3(x ＋1)为增函数，∴f (x )在[－8，8]上也为增函数，且f (8)＝log 3(8＋1)＝log 3 9＝2，即函数f (x )在[－8，8]上的值域为B ＝[－2，2]，由f [x 2＋a (a ＋2)]≤f (2ax ＋2x )得x 2＋a (a ＋2)≤2ax ＋2x ，即x 2－2(a ＋1)x ＋a (a ＋2)≤0，则(x －a )[x －(a ＋2)]≤0，即a ≤x ≤a ＋2，即A ＝[a ，a ＋2]，∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，∴A B ，即⎩⎨⎧a ≥－2，a ＋2≤2，解得－2≤a ≤0，故答案为：[－2，0].] 32.①② [③“A >30°”是“sin A >12”的既不充分也不必要条件，不正确；④φ＝k π(k ∈Z )是函数f (x )＝tan(x ＋φ)为奇函数的充分不必要条件，不正确.]33.D [设h (x )＝x ＋a x ＋1.当a ＝－12时，函数h (x )为增函数，且h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝16>0，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上必单调递增，即p 是真命题；∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12<0，g (1)＝1>0，∴g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上有零点，即q 是假命题，故选D.]第二章函数导数及其应用3.函数的概念及其表示【三年高考真题演练】[2016年高考真题]1.D [函数y ＝10lg x 的定义域为{x |x >0}，值域为{y |y >0}，所以与其定义域和值域分别相同的函数为y ＝1x，故选D.] 2.[－3，1] [要使原函数有意义，需且仅需3－2x －x 2≥0.解得－3≤x ≤1.故函数定义域为[－3，1].]3.解 (1)由于a ≥3，故当x ≤1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝x 2＋2(a －1)(2－x )＞0，当x ＞1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝(x －2)(x －2a ).所以，使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围是[2，2a ]. (2)(ⅰ)设函数f (x )＝2|x －1|，g (x )＝x 2－2ax ＋4a －2，则f (x )min ＝f (1)＝0，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋4a －2，所以，由F (x )的定义知m (a )＝min {}f （1），g （a ），即m (a )＝⎩⎨⎧0，3≤a ≤2＋2，－a 2＋4a －2，a ＞2＋ 2.(ⅱ)当0≤x ≤2时，F (x )≤f (x )≤max {}f （0），f （2）＝2＝F (2). 当2≤x ≤6时，F (x )≤g (x )≤max {}g （2），g （6）＝max {}2，34－8a ＝max {}F （2），F （6）. 所以M (a )＝⎩⎨⎧34－8a ，3≤a ＜4，2，a ≥4.[两年经典高考真题]1.C [依题意，有4－|x |≥0，解得－4≤x ≤4①；且x 2－5x ＋6x －3>0，解得x >2且x ≠3②；由①②求交集得函数的定义域为(2，3)∪(3，4].故选C.]2.C [由题意可得x 2－x >0，解得x >1或x <0，所以所求函数的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞).]3.C [(log 2x )2－1>0，即log 2x >1或log 2x <－1，解得x >2或0＜x <12，故所求的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞).]4.(1，2] [由题意f (x )的图象如下图，则⎩⎨⎧a ＞1，3＋log a2≥4，∴1＜a ≤2.]5.－32 [当a ＞1时，f (x )＝a x ＋b 在定义域上为增函数，∴⎩⎨⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，方程组无解；当0＜a ＜1时，f (x )＝a x＋b 在定义域上为减函数，∴⎩⎨⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2.∴a ＋b ＝－32.]6.－14 [依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当log 2x＝－12，即x ＝12时等号成立，因此函数f (x )的最小值为－14.]7.C [因为－2＜1，log 212＞log 28＝3＞1，所以f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 212×2－1＝12×12＝6，故f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9，故选C.] 8.B [不妨令f (x )＝x ＋1，a ＝2，则g (x )＝f (x )－f (2x )＝－x . 则sgn[g (x )]＝sgn(－x )，排除答案A ；sgn[f (x )]＝sgn(x ＋1)是以x ＋1与0比较来作为分类标准，排除答案C ，D.故选B.]9.A [因为－1＜0，所以f (－1)＝2－(－1)＝2，又2＞0，所以f [f (－1)]＝f (2)＝a ·22＝1，解得a ＝14.] 10.A11.D [由y ＝|f (x )|的图象知：①当x >0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B 、C. ②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x . 故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax . 当x ＝0时，不等式为0≥0成立. 当x <0时，不等式等价于x －2≤a .∵x －2<－2，∴a ≥－2.综上可知：a ∈[－2，0].] 12.D [令x ＋1＝0得x 1＝－1；令2x ＋a ＝0得x 2＝－a 2.①当－1>－a2，即a >2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －a －1，x <－a2，x ＋a －1，－a 2≤x ≤－1，3x ＋a ＋1，x >－1，其图象如图所示，则f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝|－a 2＋1|＋|－a ＋a |＝a 2－1＝3，解得a ＝8.②当－1<－a2，即a <2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －a －1，x <－1，－x ＋1－a ，－1≤x ≤－a 2，3x ＋a ＋1，x >－a2，其图象如图所示，则f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝|－a 2＋1|＋|－a ＋a |＝1－a 2＝3，解得a ＝－4.③当－1＝－a2，即a ＝2时，f (x )＝3|x ＋1|≥0，不符合题意.综上所述，a ＝－4或8.]13.0 22－3 [f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x －3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号；当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，∴f (x )的最小值为22－3.]14.(－∞，2] [由题意得⎩⎨⎧f （a ）<0f 2（a ）＋f （a ）≤2或⎩⎨⎧f （a ）≥0，－f 2（a ）≤2，解得f (a )≥－2.由⎩⎨⎧a <0，a 2＋a ≥－4，或⎩⎨⎧a ≥0，－a 2≥－2，解得a ≤ 2.]15.1 [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1.] 16.516 [由于函数f (x )是周期为4的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4－76＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－76＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76＝－316＋sin π6＝516.] 17.(－∞，8]18.A [由图象可知函数在x ＝±5处切线平行于x 轴，即f ′(5)＝0，f ′(－5)＝0，只有A 选项f ′(x )＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫x 225－1符合.]19.A [法一由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0，0)，(2，0)，在(0，0)处的切线方程为y ＝－x ，在(2，0)处的切线方程为y ＝3x －6，以此对选项进行检验.A 选项，y ＝12x 3－12x 2－x ，显然过两个定点，又y ′＝32x 2－x －1，则y ′|x ＝0＝－1，y ′|x ＝2＝3，故条件都满足，由选择题的特点知应选A.法二设该三次函数为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题设有⎩⎨⎧f （0）＝0⇒d ＝0f （2）＝0⇒8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0f ′（0）＝－1⇒c ＝－1f ′（2）＝3⇒12a ＋4b ＋c ＝3，解得a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，d ＝0.故该函数的解析式为y ＝12x 3－12x 2－x ，选A.] 【两年模拟试题精练】1.A [P ＝{x |1<2x<2}＝{x |0<x <1}，Q ＝{x |log 12x >1}＝{x |0<x <12}，∴P ∩Q ＝{x |0<x <12}，即P ∩Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，故选A.]2.C [f (f (e))＝f (1)＝2，故选C.]3.C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝9，故选C.] 4.A [因为a ＝413>1，0<b ＝log 1413＝log 43<1，c ＝log 314<0，所以a >b >c ，故选A.]5.A [f (1)＝－f (－1)＝－(2＋1)＝－3，故选A.]6.D [A 为奇函数，B ，C ，D 为偶函数，B 在(0，＋∞)上增， C 在(0，＋∞)上不具有单调性，故选D.]7.C [由f (x ＋1)＝f (1－x )，得f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝f (－x )＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是以周期为4的函数，∴f (31)＝f (3)＝f (－1)＝－f (1)，又x ∈[0，1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，∴f (31)＝－log 2(1＋1)＝－1，故选C.]8.D[由题意知：⎩⎨⎧a >0，log 13a >12，或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，2a >12.所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，33，故选D.]9.C [函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ∈[0，＋∞），x 3＋a 2－3a ＋2，x ∈（－∞，0），在区间(－∞，＋∞)上是增函数，需满足a 2－3a ＋2≤0，即a 的取值范围是[1，2]，故选C.]10.C [因为f (x )为奇函数，所以f (f (－16))＝－f (f (16))＝－f (4)＝－cos 2π3＝12，故选C.]11.D [因为f (0)＝a 2，则x >0时，f (x )＝x ＋1x ≥2，x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，利用图象可以得到a 的取值范围是[0，2]，故选D.]12.D [∵2<log 25<3，∴3<1＋log 25<4，则4<2＋log 25<5，则f (1＋log 25)＝f (1＋1＋log 25)＝f (2＋log 25)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋log 25＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 25＝14×15＝120，故选D.] 13.(－3，1) [如图，画出f (x )的图象，由图象易得f (x )在R 上单调递减，∵f (3－a 2)<f (2a )，∴3－a 2>2a ，解得－3<a <1.]14.C [对A ，点(1，0)在函数的图象上，但02≥12不成立，排除A ；对B ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1e －1在函数的图象上，但⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －12≥(－1)2不成立，排除B ；对D ，点(π，0)在函数的图象上，但02≥π2不成立，排除D ，故选C.]15.2 [a ＋⎠⎛0x(1－cos t )d t ＝a ＋x －sin x ，所以f (x )＝⎩⎨⎧ln x ，x >0，a ＋x －sin x ，x ≤0，因为f (f (1))＝2，代入计算得a ＝2.]16.0<a ≤4且a ≠1 [因为函数f (x )＝log a (x ＋a x －4)(a >0且a ≠1)的值域为R ，所以g (x )＝x ＋ax －4，能取遍所有的正实数，所以g (x )的最小值小于等于0，即g (x )≥2a －4，所以2a －4≤0，所以0<a ≤4且a ≠1.]17.C [当a ＝0时，f (x )＝|x |在区间(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，f (x )＝(－ax ＋1)x ＝－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a x ，结合二次函数的图象可知f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，函数f (x )＝|(ax －1)x |的图象大致如图：函数f (x )在区间(0，＋∞)上有增有减，从而a ≤0是函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)上单调递增的充要条件，故选C.]18.D [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝52－b .①当52－b <1即b >32时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝4，解得b ＝78<32，②当52－b ≥1即b ≤32时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝252－b ＝4，解得b ＝12<32，∴b ＝12，故选D.] 19.C [令F (x )＝f (x )－x ，由题知，F (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)是减函数，且是奇函数，且F (2)＝0，F (－2)＝0，由函数图象可得，F (x )>0的解集为(－∞，－2)∪(0，2)，选C.]20.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－316，0 [由所给的新定义的含义可得f (x )＝⎩⎨⎧2x 2－x ，x ≤0，－x 2＋x ，x >0，在同一直角坐标系中作出函数y ＝f (x )和y ＝m 的图象(如图)，要使方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，需满足m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.当x >0时，x 2，x 3是方程f (x )＝m 即x 2－x ＋m ＝0的两个根，所以x 2x 3＝m ；当x <0时，x 1是方程f (x )＝m 即2x 2－x －m ＝0的根，所以x 1＝1－1＋8m4，所以x 1x 2x 3＝1－1＋8m 4×m ，m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14. 设1＋8m ＝t ∈(1，3)⇒m ＝t 2－18(t ∈(1，3))，代入上式，并令h (t )＝1－t 4×t 2－18＝132(－t 3＋t 2＋t －1)，t ∈(1，3)，则h ′(t )＝132(－3t 2＋2t ＋1)，令h ′(t )>0，解得－13<t <1，因为t ∈(1，3)，所以h (t )在t ∈(1，3)上单调递减，所以h (3)<h (t )<h (1)，h (3)＝1－34×3－18＝1－316，h (1)＝0，所以1－316<h (t )<0，所以x 1x 2x 3的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－316，0.]21.B [依题意，在同一坐标系上画出函数y ＝f (x )与y ＝g (x )在区间[－4，4]上的图象(注：当x ∈[－1，1]时，f (x )＝1－x 2的图象是以原点为圆心、1为半径的半圆C 1；将半圆C 1向右平移2个单位，再将每个点的纵坐标伸长为原来的2倍得到曲线C 2，曲线C 2即为函数y ＝f (x )在区间[1，3]上的图象；将曲线C 2向右平移2个单位，再将每个点的纵坐标伸长为原来的2倍得到曲线C 3，曲线C 3即为函数y ＝f (x )在区间[3，5]上的图象；将半圆C 1向左平移2个单位，再将每个点的纵坐标缩短为原来的12得到曲线C －1，曲线C －1即为函数y ＝f (x )在区间[－3，－1]上的图象；将曲线C －1向左平移2个单位，再将每个点的纵坐标缩短为原来的12得到曲线C －2，曲线C －2即为函数y ＝f (x )在区间[－5，－3]上的图象).注意到e －4<14，ln 4<4，结合图象可知，它们在[－4，4]上的公共点的个数为8，即函数y ＝f (x )－g (x )在区间[－4，4]上的零点个数是8，选B.]22.A [由题意知f (x )min ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1≥g (x )min (x ∈[2，3])，因为f (x )min ＝5，g (x )min ＝4＋a ，所以5≥4＋a ，即a ≤1，故选A.]23.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－1＋52，1 [如图，当直线y ＝ax ＋1过点B (2，2)时，a ＝12，满足方程有两个解；当直线y ＝ax ＋1与f (x )＝2x －1(x ≥2)的图象相切时，a ＝－1＋52，满足方程有两个解；当直线y ＝ax ＋1过点A (1，2)时，a ＝1，满足方程恰有一个解.故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－1＋52，1.]24.②④ [对于①，方程1x ＋1＝1x ＋1，显然无实数解；对于②，由方程2x ＋1＝2x ＋2，解得x ＝1；对于③，方程lg[(x ＋1)2＋2]＝lg(x 2＋2)＋lg 3，也无实数解；对于④，方程cos[π(x ＋1)]＝cos πx ＋cos π，即cos πx ＝12，显然存在x 使等式成立，故填②④.]25.D [对①，∵对任意的实数x 1，x 2都有f (x 1)f (x 2)＋g (x 1)g (x 2)＝g (x 1－x 2)且f (－1)＝－1，f (0)＝0，f (1)＝1，令x 1＝x 2＝1，得[f (1)]2＋[g (1)]2＝g (0)， ∴1＋[g (1)]2＝g (0)，∴g (0)－1＝[g (1)]2；令x 1＝1，x 2＝0，得f (1)f (0)＋g (1)g (0)＝g (1)，∴g (1)g (0)＝g (1)，g (1)[g (0)－1]＝0，解方程组⎩⎨⎧g （1）[g （0）－1]＝0，g （0）－1＝[g （1）]2得⎩⎨⎧g （0）＝1，g （1）＝0即①正确. 对②，令x 1＝0，x 2＝－1，得f (0)f (－1)＋g (0)g (－1)＝g (1)， ∴g (－1)＝0；令x 1＝1，x 2＝－1，得f (1)f (－1)＋g (1)g (－1)＝g (2)，∴g (2)＝－1≠1，即②不正确. 对③，令x 1＝x 2＝x ，得[f (x )]2＋[g (x )]2＝g (0)＝1，即③正确.对④，由③可知，f 2(x )≤1，g 2(x )≤1，∴|f (x )|≤1，|g (x )|≤1，∴当n >2，n ∈N *时，[f (x )]n ＋[g (x )]n ≤[f (x )]2＋[g (x )]2＝1，即④正确.综上，①③④是正确的，故选D.] 26.解 (1)当x ＝0时，t ＝0 ，当0<x ≤24时：t ＝x x 2＋1＝1x ＋1x ≤12x ·1x＝12，当且仅当x ＝1x ，即x ＝±1，又0<x ≤24，即x ＝1时取等号. 而显然t >0，综上所述，t 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12；(2)记g (t )＝a |t －a |＋a ＋169，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，则g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－at ＋a 2＋a ＋169，0≤t <a ，at －a 2＋a ＋169，a ≤t ≤12，显然g (t )在[0，a )上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，12上单调递增，∴g (t )的最大值可能在t ＝0或t ＝12时取到，而g (0)－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝a 2＋a ＋169－⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＋32a ＋169＝2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14， ∵a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14，∴2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14≤0，∴g (0)≤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，∴M (a )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－a 2＋32a ＋169，由－a 2＋32a ＋169≤2及0<a ≤14得0<a ≤16，故当a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，16时，污染指数不超标；当a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤16，14时，染污指数超标.4.函数的基本性质【三年高考真题演练】[2016年高考真题] 1.D [y ＝11－x与y ＝ln(x ＋1)在区间(－1，1)上为增函数； y ＝cos x 在区间(－1，1)上不是单调函数；y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－1，1)上单调递减.]2.D [当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即f (x )＝f (x ＋1)，∴T ＝1，∴f (6)＝f (1).当x <0时，f (x )＝x 3－1且－1≤x ≤1， f (－x )＝－f (x )，∴f (2)＝f (1)＝－f (－1)＝2，故选D.]3.B [由题f (x )＝f (2－x )关于x ＝1对称，函数y ＝|x 2－2x －3|的图象也关于x ＝1对称，因此根据图象的特征可得∑i ＝1mx i ＝m ，故选B.]4.2 [f (x )＝x x －1＝1＋1x －1，所以f (x )在[2，＋∞)上单调递减，则f (x )最大值为f (2)＝22－1＝2.]5.－2 [首先，f (x )是周期为2的函数，所以f (x )＝f (x ＋2)；而f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )，所以：f (1)＝f (－1)，f (1)＝－f (－1)，即f (1)＝0，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝412＝2，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－2，从而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2.]6.－25 [由已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92－4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110. 又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则－12＋a ＝110，a ＝35， ∴f (5a )＝f (3)＝f (3－4)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.] [两年经典高考真题]1.A [易知函数定义域为(－1，1)，f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，又f (x )＝ln1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2x －1，由复合函数单调性判断方法知，f (x )在(0，1)上是增函数，故选A.] 2.A [显然y ＝x ＋1是(0，＋∞)上的增函数；y ＝(x －1)2在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在x ∈R 上是减函数；y ＝log 0.5(x ＋1)在(－1，＋∞)上是减函数.故选A.]3.D [根据各选项知，选项C 、D 中的指数函数满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y ).又f (x )＝3x 是增函数，所以D 正确.]4.D [因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x .因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＞1时，f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立，即k ≥1x 在区间(1，＋∞)上恒成立.因为x ＞1，所以0＜1x ＜1，所以k ≥1.故选D.]5.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 [由题可得f (x )<0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，即⎩⎨⎧f （m ）＝2m 2－1<0，f （m ＋1）＝2m 2＋3m <0，解得－22<m <0.]6.(－1，3) [由题可知，当－2<x <2时，f (x )>0.f (x －1)的图象是由f (x )的图象向右平移1个单位长度得到的，若f (x －1)>0，则－1<x <3.]7.A [由于y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 是非奇非偶函数；y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点；只有y ＝cos x 是偶函数又有零点.]8.A [令f (x )＝x ＋e x ，则f (1)＝1＋e ，f (－1)＝－1＋e －1，即f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，所以y ＝x ＋e x 既不是奇函数也不是偶函数，而B 、C 、D 依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A.] 9.D [由奇函数定义易知y ＝e x －e －x 为奇函数，故选D.] 10.C [∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即2－x ＋12－x －a ＝－2x ＋12x －a，整理得(1－a )(2x ＋1)＝0， ∴a ＝1，∴f (x )＞3即为2x ＋12x －1＞3，化简得(2x －2)(2x －1)＜0，∴1＜2x ＜2，∴0＜x ＜1.]11.D [函数f (x )＝x －1和f (x )＝x 2＋x 既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A 和选项B ；选项C 中f (x )＝2x －2－x ，则f (－x )＝2－x －2x ＝－(2x －2－x )＝－f (x )，所以f (x )＝2x －2－x 为奇函数，排除选项C ；选项D 中f (x )＝2x ＋2－x ，则f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )，所以f (x )＝2x ＋2－x 为偶函数，故选D.]12.C 13.A 14.D15.C [用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1，故选C.]16.B [由题意得，若a ＝0，f (x )＝x ，显然成立；若a ≠0，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎨⎧x －3a 2，x >2a 2，－a 2，a 2<x ≤2a 2，－x ，0≤x ≤a 2，作出x ≥0的图象，利用f (x )是奇函数作出整个定义域上的图象如图：而f (x －1)的图象是由f (x )的图象向右平移1个单位得到的，要满足对任意实数x ，都有f (x －1)≤f (x )，至少应向右平移6a 2个单位，所以6a 2≤1，解得－66≤a ≤66，且a ≠0.综上，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－66，66.] 17.－32 [由题意得f (－x )＝ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln 1＋e 3xe 3x －ax ＝ln(1＋e 3x )－ln e 3x －ax ＝ln(e 3x ＋1)－(3＋a )x ，而f (x )为偶函数，因此f (－x )＝f (x )，即ax ＝－(3＋a )x ，所以a ＝－32.]18.D [排除法，A 中，当x 1＝π2，x 2＝－π2时，f (sin 2x 1)＝f (sin 2x 2)＝f (0)，而sin x 1≠sin x 2，∴A 不对；B 同上；C 中，当x 1＝－1，x 2＝1时，f (x 21＋1)＝f (x 22＋1)＝f (2)，而|x 1＋1|≠|x 2＋1|， ∴C 不对，故选D.]19.A [由f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，知f (x )为R 上的偶函数，于是f (x )＞f (2x －1)即为f (|x |)＞f (|2x －1|).当x ＞0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，得f ′(x )＝11＋x ＋2x （1＋x 2）2＞0，所以f (x )为[0，＋∞)上的增函数，则由f (|x |)＞f (|2x －1|)得|x |＞|2x －1|，平方得3x 2－4x ＋1＜0，解得13＜x ＜1，故选A.]20.A [由偶函数的定义知，A ，B 为偶函数.A 选项，f ′(x )＝－2x 3在(－∞，0)恒大于0；B 选项，f ′(x )＝2x 在(－∞，0)恒小于0.故选A.]21.A [f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故①正确；因为f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )＝ln 1＋x 1－x，又当x∈(－1，1)时，2x1＋x2∈(－1，1)，所以f⎝⎛⎭⎪⎫2x1＋x2＝ln1＋2x1＋x21－2x1＋x2＝ln⎝⎛⎭⎪⎫1＋x1－x2＝2ln1＋x1－x＝2f(x)，故②正确；当x∈[0，1)时，|f(x)|≥2|x|⇔f(x)－2x≥0，令g(x)＝f(x)－2x＝ln(1＋x)－ln(1－x)－2x(x∈[0，1))，因为g′(x)＝11＋x＋11－x－2＝2x21－x2>0，所以g(x)在区间[0，1)上单调递增，g(x)＝f(x)－2x≥g(0)＝0，即f(x)≥2x，又f(x)与y＝2x都为奇函数，所以|f(x)|≥2|x|成立，故③正确，故选A.]22.B[由题意可得，当x>0时，y＝f(－x)与y＝g(x)的图象有交点，即g(x)＝f(－x)有正解，即x2＋ln(x＋a)＝(－x)2＋e－x－12有正解，即e－x－ln(x＋a)－12＝0有正解，令F(x)＝e－x－ln(x＋a)－12，则F′(x)＝－e－x－1x＋a<0，故函数F(x)＝e－x－ln(x＋a)－12在(0，＋∞)上是单调递减的，要使方程g(x)＝f(－x)有正解，则存在正数x使得F(x)≥0，即e－x－ln(x＋a)－12≥0，所以a≤ee－x－12－x，又y＝ee－x－12－x在(0，＋∞)上单调递减，所以a<ee0－12－0＝e12，选B.]23.3[因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3.]【两年模拟试题精练】1.C[首先y＝cos x是偶函数，且在(0，π)上单减，而(0，1)⊆(0，π)，故y＝cos x满足条件.故选C.]2.D[y＝sin x与y＝ln(x2＋1－x)都是奇函数，y＝e x为非奇非偶函数，y＝ln x2＋1为偶函数，故选D.]3.B[由f(x)是定义在R上的奇函数得f(0)＝1＋m＝0⇒m＝－1，f(－log3 5)＝－f(log3 5)＝－(3log3 5－1)＝－4，选B.]4.132[f(3)＝f(5)＝⎝⎛⎭⎪⎫125＝132.]5.C[A虽为增函数却是非奇非偶函数，B、D是偶函数，对于选项C，由奇偶函数的定义可知是奇函数，由复合函数单调性可知在共定义域内是增函数(或y′＝2x ln 2＋2－x ln 2>0)，故选C.]6.1[∵f(f(1))＝f(0)＝a3＝1，∴a＝1.]7.－1[因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0.在f(x＋6)＝f(x)＋f(3)中，令x＝－3得f(－3＋6)＝f(－3)＋f(3)⇒f(3)＝－f(3)＋f(3)＝0，知对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)成立，所以奇函数f(x)是以6为周期的周期函数，所以f(2 015)＋f(2 016)＝f(6×336－1)＋f(6×336)＝f(－1)＋f(0)＝－f(1)＝－1.]8.B [f (x )为周期为6的周期函数，且f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝1，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)＝f (1)＋f (2)＋335＝338，故选B.]9.D [依题意，对于选项A ，注意到当x ＝－1时，y ＝2；当x ＝1时，y ＝4，因此函数y ＝x 3＋3x 2不是奇函数.对于选项B ，注意到当x ＝0时，y ＝1≠0，因此函数y ＝e x ＋e －x 2不是奇函数.对于选项C ，注意到当x ＝－π2时，y ＝π2；当x ＝π2时，y ＝π2，因此函数y ＝x sin x 不是奇函数.对于选项D ，由3－x 3＋x>0得－3<x <3，即函数y ＝log 23－x 3＋x 的定义域是(－3，3)，该数集是关于原点对称的集合，且log 23－（－x ）3＋（－x ）＋log 23－x 3＋x ＝log 21＝0，即有log 23－（－x ）3＋（－x ）＝－log 23－x 3＋x ，因此函数y ＝log 23－x 3＋x 是奇函数.综上所述，选D.]10.B [因为函数y ＝⎩⎨⎧e x ，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，x <0为偶函数，且在(－∞，0)上为减函数，故选B.] 11.D [∵f (x ＋8)为偶函数，∴f (x ＋8)＝f (－x ＋8)，即y ＝f (x )关于直线x ＝8对称.又∵f (x )在(8，＋∞)上为减函数，∴f (x )在(－∞，8)上为增函数.由f (2＋8)＝f (－2＋8)，即f (10)＝f (6)，又由6<7<8，则有f (6)<f (7)，即f (7)>f (10)，故选D.]12.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 [∵f (x )为偶函数，∴f (log 12a )＝f (－log 2a )＝f (log 2a )，代入f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)得f (log 2a )≤f (1)，又∵f (x )为增函数，∴|log 2a |≤1，解得12≤a ≤2.]13.D 14.[5，＋∞) [依题意得，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x －1x ＋1单调递增，f (x )的最小值是f (0)＝－1，则要求存在x ∈[1，3]，关于x 的不等式x 2－2ax ＋4≤－1，即a ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5x 有解，所以a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5x min.注意到当x ∈[1，3]时，12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5x ≥x ·5x ＝5，当且仅当x ＝5x ，即x ＝5∈[1，3]时取等号，此时⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5x min ＝5，所以a ≥5，则实数a 的取值范围是[5，＋∞).]。