2012全国各地中考数学压轴题精选(21-30)解析版
2012年中考数学压轴题精选附答案
25、如图：∠MON = 90°，在∠MON的内部有一个正方形AOCD，点A、C分别在射线OM、ON 上，点B1是ON上的任意一点，在∠MON的内部作正方形AB1C1D1。
（1）连续D1D，求证：∠ADD1= 90°；（2）连结CC1，猜一猜，∠C1CN的度数是多少？并证明你的结论；（3）在ON上再任取一点B2，以AB2为边，在∠MON的内部作正方形AB2C2D2，观察图形，并结合（1）、（2）的结论，请你再做出一个合理的判断。
26、如图：正方形ABCO的边长为3，过A点作直线AD交x轴于D点，且D点的坐标为（4，0），线段AD上有一动点，以每秒一个单位长度的速度移动。
（1）求直线AD的解析式；（2）若动点从A点开始沿AD方向运动2.5秒时到达的位置为点P，求经过B、O、P三点的抛物线的解析式；（3）若动点从A点开始沿AD方向运动2.5秒时到达的位置为点P1，过P1作P1E⊥x轴，垂足为E，设四边形BCEP1的面积为S，请问S是否有最大值？若有，请求出来；若没有，请说明理由。
24.如图，以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A，BM平分∠ABC交AC于点M，AD⊥3，AD=12．BC于点D，AD交BM于点N，ME⊥BC于点E，AB2=AF·AC，cos∠ABD=5⑴求证：△ANM≌△ENM；⑵求证：FB是⊙O的切线；⑶证明四边形AMEN是菱形，并求该菱形的面积S．7)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截25.如图，二次函数的图象经过点D(0，39得的线段AB的长为6.⑴求二次函数的解析式；⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．七、（本大题8分）20．如图8，半圆的直径10AB =，点C 在半圆上，6BC =． （1）求弦AC 的长；（2）若P 为AB 的中点，PE AB ⊥交AC 于点E ，求PE 的长．21．如图9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点(33)A ，． （1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）把直线O A 向下平移后与反比例函数的图象交于点(6)B m ，，求m 的值和这个一次函数的解析式；（3）第（2）问中的一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C 、D ，求过A 、B 、D 三点的二次函数的解析式；（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E ，使四边形O ECD 的面积1S 与四边形O ABD 的面积S 满足：123S S =？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由．P BC EA （图8）23.（本小题9分）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 与⊙O 相切于点E ，AD ⊥CD （1）求证：AE 平分∠DAC ； （2）若AB=3，∠ABE=60°，①求AD 的长；②求出图中阴影部分的面积。
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2012年全国各地中考数学压轴题精选（解析版二）11．（2012•重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．解题思路：（1）首先设正方形BEFG的边长为x，易得△AGF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长；（2）首先利用△MEC∽△ABC与勾股定理，求得B′M，DM与B′D的平方，然后分别从若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2去分析，即可得到方程，解方程即可求得答案；（3）分别从当0≤t≤时，当＜t≤2时，当2＜t≤时，当＜t≤4时去分析求解即可求得答案．解答：解：（1）如图①，设正方形BEFG的边长为x，则BE=FG=BG=x，∵AB=3，BC=6，∴AG=AB﹣BG=3﹣x，∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC，∴，即，解得：x=2，即BE=2；（2）存在满足条件的t，理由：如图②，过点D作DH⊥BC于H，则BH=AD=2，DH=AB=3，由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t，∵EF∥AB，∴△MEC∽△ABC，∴，即，∴ME=2﹣t，在Rt△B′ME中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2﹣t）2=t2﹣2t+8，在Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t﹣2）2=t2﹣4t+13，过点M作MN⊥DH于N，则MN=HE=t，NH=ME=2﹣t，∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣t）=t+1，在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=t2+t+1，（Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，即t2+t+1=（t2﹣2t+8）+（t2﹣4t+13），解得：t=，（Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D2=B′M2+DM2，即t2﹣4t+13=（t2﹣2t+8）+（t2+t+1），解得：t1=﹣3+，t2=﹣3﹣（舍去），∴t=﹣3+；（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2，即：t2﹣2t+8=（t2﹣4t+13）+（t2+t+1），此方程无解，综上所述，当t=或﹣3+时，△B′DM是直角三角形；（3）①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，即2：3=CE：4，∴CE=，∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣=，∵ME=2﹣t，∴FM=t，当0≤t≤时，S=S△FMN=×t×t=t2，②当G在AC上时，t=2，∵EK=EC•tan∠DCB=EC•=（4﹣t）=3﹣t，∴FK=2﹣EK=t﹣1，∵NL=AD=，∴FL=t﹣，∴当＜t≤2时，S=S△FMN﹣S△FKL=t2﹣（t﹣）（t﹣1）=﹣t2+t﹣；③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，即B′C：4=2：3，解得：B′C=，∴EC=4﹣t=B′C﹣2=，∴t=，∵B′N=B′C=（6﹣t）=3﹣t，∵GN=GB′﹣B′N=t﹣1，∴当2＜t≤时，S=S梯形GNMF﹣S△FKL=×2×（t﹣1+t）﹣（t﹣）（t﹣1）=﹣t2+2t﹣，④如图⑥，当＜t≤4时，∵B′L=B′C=（6﹣t），EK=EC=（4﹣t），B′N=B′C=（6﹣t）EM=EC=（4﹣t），S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL﹣S梯形B′EMN=﹣t+．综上所述：当0≤t≤时，S=t2，当＜t≤2时，S=﹣t2+t﹣；当2＜t≤时，S=﹣t2+2t﹣，当＜t≤4时，S=﹣t+．12．（2012•泰安）如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）．若抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由；（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB的面积为S，求S的最大（小）值．解题思路：（1）利用待定系数法求抛物线的解析式．因为已知A（3，0），所以需要求得B点坐标．如答图1，连接OB，利用勾股定理求解；（2）由∠PBO=∠POB，可知符合条件的点在线段OB的垂直平分线上．如答图2，OB的垂直平分线与抛物线有两个交点，因此所求的P点有两个，注意不要漏解；（3）如答图3，作MH⊥x轴于点H，构造梯形MBOH与三角形MHA，求得△MAB面积的表达式，这个表达式是关于M点横坐标的二次函数，利用二次函数的极值求得△MAB面积的最大值．解答：解：（1）如答图1，连接OB．∵BC=2，OC=1∴OB==∴B（0，）将A（3，0），B（0，）代入二次函数的表达式得，解得，∴y=﹣x2+x+．（2）存在．如答图2，作线段OB的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点P．∵B（0，），O（0，0），∴直线l的表达式为y=．代入抛物线的表达式，得﹣x2+x+=；解得x=1±，∴P（1±，）．（3）如答图3，作MH⊥x轴于点H．设M（x m，y m），则S△MAB=S梯形MBOH+S△MHA﹣S△OAB=（MH+OB）•OH+HA•MH﹣OA•OB =（y m+）x m+（3﹣x m）y m﹣×3×=x m+y m﹣∵y m=﹣x m2+x m+，∴S△MAB=x m+（﹣x m2+x m+）﹣=x m2+x m=（x m﹣）2+∴当x m=时，S△MAB取得最大值，最大值为．13．（2012•铜仁地区）如图已知：直线y=﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C （1，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D的坐标为（﹣1，0），在直线y=﹣x+3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．解题思路：（1）首先确定A、B、C三点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）△ABO为等腰直角三角形，若△ADP与之相似，则有两种情形，如答图1所示．利用相似三角形的性质分别求解，避免遗漏；（3）如答图2所示，分别计算△ADE的面积与四边形APCE的面积，得到面积的表达式．利用面积的相等关系得到一元二次方程，将点E是否存在的问题转化为一元二次方程是否有实数根的问题，从而解决问题．需要注意根据（2）中P点的不同位置分别进行计算，在这两种情况下，一元二次方程的判别式均小于0，即所求的E点均不存在．解答：解：（1）由题意得，A（3，0），B（0，3）∵抛物线经过A、B、C三点，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入y=ax2+bx+c，得方程组…3分解得：∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3 …5分（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形，如答图1所示，若△ABO∽△AP1D，则∴DP1=AD=4，∴P1（﹣1，4）…7分若△ABO∽△ADP2 ，过点P2作P2 M⊥x轴于M，AD=4，∵△ABO为等腰三角形，∴△ADP2是等腰三角形，由三线合一可得：DM=AM=2=P2M，即点M与点C重合，∴P2（1，2）…10分（3）如答图2，设点E（x，y），则S△ADE=①当P1（﹣1，4）时，S四边形AP1CE=S△ACP1+S△ACE==4+|y|…11分∴2|y|=4+|y|，∴|y|=4∵点E在x轴下方，∴y=﹣4，代入得：x2﹣4x+3=﹣4，即x2﹣4x+7=0，∵△=（﹣4）2﹣4×7=﹣12＜0∴此方程无解…12分②当P2（1，2）时，S四边形AP2CE=S△ACP2+S△ACE==2+|y|，∴2|y|=2+|y|，∴|y|=2∵点E在x轴下方，∴y=﹣2，代入得：x2﹣4x+3=﹣2，即x2﹣4x+5=0，∵△=（﹣4）2﹣4×5=﹣4＜0∴此方程无解综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E．…14分14．（2012•温州）如图，经过原点的抛物线y=﹣x2+2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A．过点P（1，m）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B．记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）．连接CB，CP．（1）当m=3时，求点A的坐标及BC的长；（2）当m＞1时，连接CA，问m为何值时CA⊥CP？（3）过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在m，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并定出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由．解题思路：（1）把m=3，代入抛物线的解析式，令y=0解方程，得到的非0解即为和x轴交点的横坐标，再求出抛物线的对称轴方程，进而求出BC的长；（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）由已知得∠ACP=∠BCH=90°，利用已知条件证明△AGH∽△PCB，根据相似的性质得到：，再用含有m的代数式表示出BC，CH，BP，代入比例式即可求出m的值；（3）存在，本题要分当m＞1时，BC=2（m﹣1），PM=m，BP=m﹣1和当0＜m＜1时，BC=2（1﹣m），PM=m，BP=1﹣m，两种情况分别讨论，再求出满足题意的m值和相对应的点E坐标．解答：解：（1）当m=3时，y=﹣x2+6x令y=0得﹣x2+6x=0∴x1=0，x2=6，∴A（6，0）当x=1时，y=5∴B（1，5）∵抛物线y=﹣x2+6x的对称轴为直线x=3又∵B，C关于对称轴对称∴BC=4．（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）由已知得∠ACP=∠BCH=90°∴∠ACH=∠PCB又∵∠AHC=∠PBC=90°∴△AGH∽△PCB，∴，∵抛物线y=﹣x2+2mx的对称轴为直线x=m，其中m＞1，又∵B，C关于对称轴对称，∴BC=2（m﹣1），∵B（1，2m﹣1），P（1，m），∴BP=m﹣1，又∵A（2m，0），C（2m﹣1，2m﹣1），∴H（2m﹣1，0），∴AH=1，CH=2m﹣1，∴，∴m=．（3）∵B，C不重合，∴m≠1，（I）当m＞1时，BC=2（m﹣1），PM=m，BP=m﹣1，（i）若点E在x轴上（如图1），∵∠CPE=90°，∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，PC=EP，∴△BPC≌△MEP，∴BC=PM，∴2（m﹣1）=m，∴m=2，此时点E的坐标是（2，0）；（ii）若点E在y轴上（如图2），过点P作PN⊥y轴于点N，易证△BPC≌△NPE，∴BP=NP=OM=1，∴m﹣1=1，∴m=2，此时点E的坐标是（0，4）；（II）当0＜m＜1时，BC=2（1﹣m），PM=m，BP=1﹣m，（i）若点E在x轴上（如图3），易证△BPC≌△MEP，∴BC=PM，∴2（1﹣m）=m，∴m=，此时点E的坐标是（，0）；（ii）若点E在y轴上（如图4），过点P作PN⊥y轴于点N，易证△BPC≌△NPE，∴BP=NP=OM=1，∴1﹣m=1，∴m=0（舍去），综上所述，当m=2时，点E的坐标是（0，2）或（0，4），当m=时，点E的坐标是（，0）．15．（2012•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数（m为常数）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．（1）求m的值及抛物线的函数表达式；（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；（3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试探究是否为定值，并写出探究过程．题思路：（1）首先求得m的值和直线的解析式，根据抛物线对称性得到B点坐标，根据A、B点坐标利用交点式求得抛物线的解析式；（2）存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．如答图1所示，过点E作EG⊥x轴于点G，构造全等三角形，利用全等三角形和平行四边形的性质求得E点坐标和平行四边形的面积．注意：符合要求的E点有两个，如答图1所示，不要漏解；（3）本问较为复杂，如答图2所示，分几个步骤解决：第1步：确定何时△ACP的周长最小．利用轴对称的性质和两点之间线段最短的原理解决；第2步：确定P点坐标P（1，3），从而直线M1M2的解析式可以表示为y=kx+3﹣k；第3步：利用根与系数关系求得M1、M2两点坐标间的关系，得到x1+x2=2﹣4k，x1x2=﹣4k﹣3．这一步是为了后续的复杂计算做准备；第4步：利用两点间的距离公式，分别求得线段M1M2、M1P和M2P的长度，相互比较即可得到结论：=1为定值．这一步涉及大量的运算，注意不要出错，否则难以得出最后的结论．答：解：（1）∵经过点（﹣3，0），∴0=+m，解得m=，∴直线解析式为，C（0，）．∵抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1，且与x轴交于A（﹣3，0），∴另一交点为B（5，0），设抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣5），∵抛物线经过C（0，），∴=a•3（﹣5），解得a=，∴抛物线解析式为y=x2+x+；（2）假设存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则AC∥EF且AC=EF．如答图1，（i）当点E在点E位置时，过点E作EG⊥x轴于点G，∵AC∥EF，∴∠CAO=∠EFG，又∵，∴△CAO≌△EFG，∴EG=CO=，即y E=，∴=x E2+x E+，解得x E=2（x E=0与C点重合，舍去），∴E（2，），S▱ACEF=；（ii）当点E在点E′位置时，过点E′作E′G′⊥x轴于点G′，同理可求得E′（+1，），S▱ACE′F′=．（3）要使△ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可．如答图2，连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）．∵B（5，0），C（0，），∴直线BC解析式为y=x+，∵x P=1，∴y P=3，即P（1，3）．令经过点P（1，3）的直线为y=kx+3﹣k，∵y=kx+3﹣k，y=x2+x+，联立化简得：x2+（4k﹣2）x﹣4k﹣3=0，∴x1+x2=2﹣4k，x1x2=﹣4k﹣3．∵y1=kx1+3﹣k，y2=kx2+3﹣k，∴y1﹣y2=k（x1﹣x2）．根据两点间距离公式得到：M1M2==== ∴M1M2===4（1+k2）．又M1P===；同理M2P=∴M1P•M2P=（1+k2）•=（1+k2）•=（1+k2）•=4（1+k2）．∴M1P•M2P=M1M2，∴=1为定值．16．（2012•梅州）如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2）、D（0，3），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．（1）①点B的坐标是（6，2）；②∠CAO=30度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为（3，3）；（直接写出答案）（2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由．（3）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．解题思路：（1）①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标；②由正切函数，即可求得∠CAO的度数，③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；（2）分别从MN=AN，AM=AN与AM=MN去分析求解即可求得答案；（3）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x＞9时去分析求解即可求得答案．解答：解：（1）①∵四边形OABC是矩形，∴AB=OC，OA=BC，∵A（6，0）、C（0，2），∴点B的坐标为：（6，2）；②∵tan∠CAO===，∴∠CAO=30°；③如下图：当点Q与点A重合时，过点P作PE⊥OA于E，∵∠PQO=60°，D（0，3），∴PE=3，∴AE==3，∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3，∴点P的坐标为（3，3）；故答案为：①（6，2），②30，③（3，3）；（2）情况①：MN=AN=3，则∠AMN=∠MAN=30°，∴∠MNO=60°，∵∠PQO=60°，即∠MQO=60°，∴点N与Q重合，∴点P与D重合，∴此时m=0，情况②，如图AM=AN，作MJ⊥x轴、PI⊥x轴；MJ=MQ•sin60°=AQ•sin60°=（OA﹣IQ﹣OI）•sin60°=（3﹣m）=AM=AN=，可得（3﹣m）=，解得：m=3﹣，情况③AM=NM，此时M的横坐标是4.5，过点P作PI⊥OA于I，过点M作MG⊥OA于G，∴MG=，∴QK===3，GQ==，∴KG=3﹣0.5=2.5，AG=AN=1.5，∴OK=2，∴m=2，（3）当0≤x≤3时，如图，OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；由题意可知直线l∥BC∥OA，可得，EF=（3+x），此时重叠部分是梯形，其面积为：S梯形=（EF+OQ）•OC=（3+x），当3＜x≤5时，S=S梯形﹣S△HAQ=S梯形﹣AH•AQ=（3+x）﹣（x﹣3）2，当5＜x≤9时，S=（BE+OA）•OC=（12﹣x），当9＜x时，S=OA•AH=．17．（2012•株洲）如图，一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．解题思路：（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）本问要点是求得线段MN的表达式，这个表达式是关于t的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN的最大值；（3）本问要点是明确D点的可能位置有三种情形，如答图2所示，不要遗漏．其中D1、D2在y轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D3点在第一象限，是直线D1N和D2M的交点，利用直线解析式求得交点坐标．解答：解：（1）∵分别交y轴、x轴于A、B两点，∴A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0）…（1分）将x=0，y=2代入y=﹣x2+bx+c得c=2…（2分）将x=4，y=0代入y=﹣x2+bx+c得0=﹣16+4b+2，解得b=，∴抛物线解析式为：y=﹣x2+x+2…（3分）（2）如答图1，设MN交x轴于点E，则E（t，0），BE=4﹣t．∵tan∠ABO===，∴ME=BE•tan∠ABO=（4﹣t）×=2﹣t．又N点在抛物线上，且x N=t，∴y N=﹣t2+t+2，∴MN=y N﹣ME=﹣t2+t+2﹣（2﹣t）=﹣t2+4t…（5分）∴当t=2时，MN有最大值4…（6分）（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形，如答图2所示．…（7分）（i）当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a）由AD=MN，得|a﹣2|=4，解得a1=6，a2=﹣2，从而D为（0，6）或D（0，﹣2）…（8分）（ii）当D不在y轴上时，由图可知D为D1N与D2M的交点，易得D1N的方程为y=x+6，D2M的方程为y=x﹣2，由两方程联立解得D为（4，4）…（9分）故所求的D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）…（10分）18．（2012•南充）如图，⊙C的内接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=，抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）与点（﹣2，6）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）直线m与⊙C相切于点A，交y轴于点D．动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒一个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD 时，求运动时间t的值；（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△ROB面积最大时，求点R的坐标．解题思路：（1）根据抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）与点（﹣2，6），利用待定系数法求抛物线解析式；（2）如答图1，由已知条件，可以计算出OD、AE等线段的长度．当PQ⊥AD时，过点O作OF⊥AD于点F，此时四边形OFQP、OFAE均为矩形．则在Rt△ODF中，利用勾股定理求出DF的长度，从而得到时间t的数值；（3）因为OB为定值，欲使△ROB面积最大，只需OB边上的高最大即可．按照这个思路解决本题．如答图2，当直线l平行于OB，且与抛物线相切时，OB边上的高最大，从而△ROB的面积最大．联立直线l和抛物线的解析式，利用一元二次方程判别式等于0的结论可以求出R点的坐标．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）与点（﹣2，6），∴，解得∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x．（2）如答图1，连接AC交OB于点E，由垂径定理得AC⊥OB．∵AD为切线，∴AC⊥AD，∴AD∥OB．∵tan∠AOB=，∴sin∠AOB=，∴AE=OA•sin∠AOB=4×=2.4，OD=OA•tan∠OAD=OA•tan∠AOB=4×=3．当PQ⊥AD时，OP=t，DQ=2t．过O点作OF⊥AD于F，则在Rt△ODF中，OD=3，OF=AE=2.4，DF=DQ﹣FQ=DQ﹣OP=2t﹣t=t，由勾股定理得：DF===1.8，∴t=1.8秒；（3）如答图3，设直线l平行于OB，且与抛物线有唯一交点R（相切），此时△ROB中OB边上的高最大，所以此时△ROB面积最大．∵tan∠AOB=，∴直线OB的解析式为y=x，由直线l平行于OB，可设直线l解析式为y=x+b．∵点R既在直线l上，又在抛物线上，∴x2﹣2x=x+b，化简得：2x2﹣11x﹣4b=0．∵直线l与抛物线有唯一交点R（相切），∴判别式△=0，即112+32b=0，解得b=，此时原方程的解为x=，即x R=，而y R=x R2﹣2x R=∴点R的坐标为R（，）．19．（2012•凉山州）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c 经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）若点P在第二象限内，过点P作PD⊥轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？（3）如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于点Q，与直线AB交于点N，点M为OA的中点，那么是否存在这样的直线l，使得△MON是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．题思路：（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴另一交点C的坐标；（2）关键是求出线段PE长度的表达式，设D点横坐标为t，则可以将PE表示为关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出PE长度的最大值；（3）根据等腰三角形的性质和勾股定理，将直线l的存在性问题转化为一元二次方程问题，通过一元二次方程的判别式可知直线l是否存在，并求出相应Q点的坐标．注意“△MON是等腰三角形”，其中包含三种情况，需要逐一讨论，不能漏解．答：解：（1）∵直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（﹣4，0），B（0，4）抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣3x+4．令y=0，得﹣x2﹣3x+4=0，解得x1=﹣4，x2=1，∴C（1，0）．（2）如答图1所示，设D（t，0）．∵OA=OB，∴∠BAO=45°，∴E（t，t），P（t，﹣t2﹣3t+4）．PE=y P﹣y E=﹣t2﹣3t+4﹣t=﹣t2﹣4t=﹣（t+2）2+4，∴当t=﹣2时，线段PE的长度有最大值4，此时P（﹣2，6）．（3）存在．如答图2所示，过N点作NH⊥x轴于点H．设OH=m（m＞0），∵OA=OB，∴∠BAO=45°，∴NH=AH=4﹣m，∴y Q=4﹣m．又M为OA中点，∴MH=2﹣m．△MON为等腰三角形：①若MN=ON，则H为底边OM的中点，∴m=1，∴y Q=4﹣m=3．由﹣x Q2﹣3x Q+4=3，解得x Q=，∴点Q坐标为（，3）或（，3）；②若MN=OM=2，则在Rt△MNH中，根据勾股定理得：MN2=NH2+MH2，即22=（4﹣m）2+（2﹣m）2，化简得m2﹣6m+8=0，解得：m1=2，m2=4（不合题意，舍去）∴y Q=2，由﹣x Q2﹣3x Q+4=2，解得x Q=，∴点Q坐标为（，2）或（，2）；③若ON=OM=2，则在Rt△NOH中，根据勾股定理得：ON2=NH2+OH2，即22=（4﹣m）2+m2，化简得m2﹣4m+6=0，∵△=﹣8＜0，∴此时不存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形．综上所述，存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形．所求Q点的坐标为（，3）或（，3）或（，2）或（，2）．20．（2012•衢州）如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x 轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．解题思路：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）根据等腰梯形的性质，确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系，得到一元二次方程，求出t的值，从而可解．结论：存在点P（，），使得四边形ABPM为等腰梯形；（3）本问关键是求得重叠部分面积S的表达式，然后利用二次函数的极值求得S的最大值．解答中提供了三种求解面积S表达式的方法，殊途同归，可仔细体味．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，可得c=0，∴，解得a=，b=，∴抛物线解析式为y=x2+x．（2）设点P的横坐标为t，∵PN∥CD，∴△OPN∽△OCD，可得PN=∴P（t，），∵点M在抛物线上，∴M（t，t2+t）．如解答图1，过M点作MG⊥AB于G，过P点作PH⊥AB于H，AG=y A﹣y M=2﹣（t2+t）=t2﹣t+2，BH=PN=．当AG=BH时，四边形ABPM为等腰梯形，∴t2﹣t+2=，化简得3t2﹣8t+4=0，解得t1=2（不合题意，舍去），t2=，∴点P的坐标为（，）∴存在点P（，），使得四边形ABPM为等腰梯形．（3）如解答图2，△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′，A′B′交x轴于T，交OC于Q，A′O′交x轴于K，交OC于R．求得过A、C的直线为y AC=﹣x+3，可设点A′的横坐标为a，则点A′（a，﹣a+3），易知△OQT∽△OCD，可得QT=，∴点Q的坐标为（a，）．解法一：设AB与OC相交于点J，∵△ARQ∽△AOJ，相似三角形对应高的比等于相似比，∴=∴HT===2﹣a，KT=A′T=（3﹣a），A′Q=yA′﹣yQ=（﹣a+3）﹣=3﹣a．S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=KT•A′T﹣A′Q•HT=••（3﹣a）﹣•（3﹣a）•（﹣a+2）=a2+a﹣=（a﹣）2+由于＜0，∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．解法二：过点R作RH⊥x轴于H，则由△ORH∽△OCD，得①由△RKH∽△A′O′B′，得②由①，②得KH=OH，OK=OH，KT=OT﹣OK=a﹣OH ③由△A′KT∽△A′O′B′，得，则KT=④由③，④得=a﹣OH，即OH=2a﹣2，RH=a﹣1，所以点R的坐标为R（2a﹣2，a﹣1）S四边形RKTQ=S△QOT﹣S△ROK=•OT•QT﹣•OK•RH=a•a﹣（1+a﹣）•（a﹣1）=a2+a﹣=（a﹣）2+由于＜0，∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．解法三：∵AB=2，OB=1，∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB=，∴KT=A′T•tan∠O′A′B′=（﹣a+3）•=a+，∴OK=OT﹣KT=a﹣（a+）=a﹣，过点R作RH⊥x轴于H，∵tan∠OAB=tan∠RKH==2，∴RH=2KH又∵tan∠OAB=tan∠ROH===，∴2RH=OK+KH=a﹣+RH，∴RH=a﹣1，OH=2（a﹣1），∴点R坐标R（2a﹣2，a﹣1）S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=•KT•A′T﹣A′Q•（xQ﹣xR）=••（3﹣a）﹣•（3﹣a）•（﹣a+2）=a2+a﹣=（a﹣）2+由于＜0，∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．。
2012全国各地中考数学压轴题精选(21-30)解析版
2012年各地中考数学压轴题精选21~30_解析版【21.2012上海】24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=，EF⊥OD，垂足为F．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；（3）当∠ECA=∠OAC时，求t的值．考点：相似三角形的判定与性质；待定系数法求二次函数解析式；全等三角形的判定与性质；勾股定理。
解答：解：（1）二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），∴，解得，∴这个二次函数的解析式为：y=﹣2x2+6x+8；（2）∵∠EFD=∠EDA=90°∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°，∴∠DEF=∠ODA∴△EDF∽△DAO∴．∵，∴=，∴，∴EF=t．同理，∴DF=2，∴OF=t﹣2．（3）∵抛物线的解析式为：y=﹣2x2+6x+8，∴C（0，8），OC=8．如图，连接EC、AC，过A作EC的垂线交CE于G点．∵∠ECA=∠OAC，∴∠OAC=∠GCA（等角的余角相等）；在△CAG与△OCA中，，∴△CAG≌△OCA，∴CG=4，AG=OC=8．如图，过E点作EM⊥x轴于点M，则在Rt△AEM中，∴EM=OF=t﹣2，AM=OA+AM=OA+EF=4+t，由勾股定理得：∵AE2=AM2+EM2=；在Rt△AEG中，由勾股定理得：∴EG===∵在Rt△ECF中，EF=t，CF=OC﹣OF=10﹣t，CE=CG+EG=+4由勾股定理得：EF2+CF2=CE2，即，解得t1=10（不合题意，舍去），t2=6，∴t=6．【22. 2012广东】22．如图，抛物线y=x2﹣x﹣9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．考点：二次函数综合题。
2012年中考数学压轴题100题精选(21-30题)答案
2012年中考数学压轴题100题精选（21-30题）答案【021】解：（1）；… ………………………………3分21（2）①EF∥AB．……………………………………4分，．证明：如图，由题意可得A（–4，0），B（0，3），34kk∴PA=3，PE=，PB=4，PF=．34PA312PB412∴，k∴．………………………… 6分PEPF又∵∠APB=∠EPF．∴△APB ∽△EPF，∴∠PAB=∠PEF．∴EF∥AB．…………………………… 7分②S没有最小值，理由如下：2过E作EM⊥y轴于点M，过F作FN⊥x轴于点N，两线交于点Q．由上知M（0，），N（，0），Q（，）．……………… 8分4334－而S= S，∴S＝SS＝S－S＝S＋S＋SEFQPEF2PEFOEFEFQOEFEOMFONOMQN △△△△△△△△矩形＝＝2222．………………………… 10分6当时，S的值随k的增大而增大，而0＜k＜12．…………… 11分 2222∴0＜S＜24，s没有最小值．…………………………… 12分 22、说明：1．证明AB∥EF时，还可利用以下三种方法．方法一：分别求出经过AB两点和经过、EF两点的直线解析式，利用这两个解析式中x的系数相等来证明AB∥EF；方法二：tantan、，PAB利用＝来证明AB∥EF；方法三：连接AFBE利用S＝SAEFBFE△△、、得到点A点B到直线EF的距离相等，再由AB两点在直线EF同侧可得到AB∥EF．2．求S的值时，还可进行如下变形：2S＝S－S＝S－（S－S）＝2 S－S，再利用第（1）2PEFOEFPEFPEOFPEFPEFPEOF△△△四边形△△四边形题中的结论．2【022】解：(1)设抛物线的解析式为：y＝a(x－m＋2)(x－m－2)＝a(x－m)－4a．……2分∵AC⊥BC，由抛物线的对称性可知：△ACB是等腰直角三角形，又AB＝4，112∴C(m，－2)代入得a＝．∴解析式为：y＝(x－m)－2．………………………5分22(亦可求C点，设顶点式)(2)∵m为小于零的常数，∴只需将抛物线向右平移－m个单位，再向上平移2个单位，可以使抛12物线y＝(x－m)－2顶点在坐标原点． (7)分212m－2)，设存在实数m，使得△BOD为等腰三角形．(3)由(1)得D(0，2∵△BOD为直角三角形，∴只能OD＝OB．……………………………………………9分12∴m－2＝|m ＋2|，当m＋2＞0时，解得m＝4或m＝－2(舍)．2当m ＋2＜0时，解得m＝0(舍)或m＝－2(舍)；当m＋2＝0时，即m＝－2时，B、O、D三点重合(不合题意，舍) 综上所述：存在实数m＝4，使得△BOD为等腰三角形．……………………………12分△MBC【023】（1）证明：∵是等边三角形，∠∠D ∴∥BC∵是中点∴∵∠∠∠∠，∴△AMB≌△∴∴∴梯形是等腰梯形．△MBC（2）解：在等边中，60°Q，∠∠， B C P∠∠∠∠∠∴∠∠QPC△BMP∽△CQP∴∴∴··································5分，，∵∴················································6分∴∴ (7)分，BPMDBP∥∥（3）解：①当时，则有则四边形和四边形均为平行四边形∴，PCMDPC∥∥当时，则有，则四边形和四边形均为平行四边形∴441313，，、、、、∴当或时，以PM和ABC D中的两个点为顶点的四44边形是平行四边形．此时平行四边形有4个．△PQCy∴当取最小值时，为直角三角形∵4PB，∠，∠，∠∴是的中点，而∴∴BC【024】（1）由可知，，又△ABC为等腰直角三角形，∴，，所以点A的坐标是（）.D（2）∵∴，则点的坐标是（）.又抛物线顶点为，且过点、，所以可设抛物线的解析式为：，得：解得∴抛物线的解析式为………7分M（3）过点作于点，过点作于点，设点的坐标是，则，.PQM∵∴∽∴即，得∵BQN∴∽∴即，得又∵∴即为定值8. 【025】解：（1）设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为－x+4（0<x<4，x>0，－x+4>0）；则：MC＝∣－x+4∣＝－x+4，MD＝∣x∣＝x；∴C＝2（MC+MD）＝2（－x+4+x）＝8 OCMD四边形∴当点M在AB上运动时，四边形OCMD的周长不发生变化，总是等于8；22（2）根据题意得：S＝MC·MD＝（－x+4）·x＝－x+4x＝－(x-2)+4 OCMD四边形∴四边形OCMD的面积是关于点M的横坐标x（0<x<4）的二次函数，并且当x＝2，即当点M运动到线段AB的中点时，四边形OCMD的面积最大且最大面积为4；（3）如图10（2），当时，；如图10（3），当时，；22a∴S与的函数的图象如下图所示： S 14·2（2·12（·a0 2 4 22【026】解：（1）∵AH∶AC=2∶3，AC=6∴AH=AC=×6=433又∵HF∥DE，∴HG∥CB，∴△AHG∽△ACB…………………………1分AHHG4HG16∴=，即=，∴HG=…………………………………2分63ACBC8111632...........................................∴S=AHHG=×4×=3分△AHG2233（2）①能为正方形...........................................................................4分′′∵HH′∥CD，HC∥HD，∴四边形CDHH为平行四边形′又∠C=90°，∴四边形CDHH为矩形.......................................5分又CH=AC-AH=6-4=2′∴当CD=CH=2时，四边形CDHH为正方形′此时可得t=2秒时，四边形CDHH为正方形 (6)分②（Ⅰ）∵∠DEF=∠ABC，∴EF∥∴当t=4秒时，直角梯形的腰EF与BA重合.′当0≤t≤4时，重叠部分的面积为直角梯形DEFH的面积.…………7分FMAC63过F作FM⊥DE于M，=tan∠DEF=tan∠ABC=== BC84ME44884FM=×2=，HF=DM=DE-ME=4-=∴ME= 33333141616∴直角梯形DEFH′的面积为（4+）×2=∴y= 23331′（Ⅱ）∵当4＜t≤5时，重叠部分的面积为四边形CBGH的面积-矩形CDHH的面积.而S边形31324040×8×6-==2t∴y=-=S-S=矩形′△△CDHHCBGHABCAHG233331PD′（Ⅲ）当5＜t≤8时，如图，设HD交AB于P.=8-又=tan∠ABC=43DB33∴PD=DB=（8-t）∴重叠部分的面积y=S , 443331122·PDDB=·（8-t）（8-t）=（8-t）=t-△PDB=48822∴重叠部分面积y与t的函数关系式：3（0≤t≤4）16401 -2t（4＜t≤5）33312t-6t+24（5＜t≤8）【027】解：(1)设抛物线的解析式为：, 把A（3,0）代入解析式求得所以，设直线AB的解析式为：由求得B点的坐标为把，代入中解得：所以 6分2(2)因为C点坐标为(１,4) ，所以当x＝１时，y＝4，y＝2所以CD＝4-2＝2 8分平方单位) 假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，则，由S=CABPAB△△12819322得：，化简得：解得，将代入中，解得P点坐标为1224y【028】解：（1）(5′) ∵抛物线与轴交于点（0，3），∴设抛物线解析式为(1′) 根据题意，得，解得∴抛物线的解析式为(5′) (2)(5′)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）（2′) 设对称轴与x轴的交点为∴四边形ABDE的面积梯形（5′）222（3）(2′)相似如图，BD=∴BE= ；∴即： ,所以是直角三角形∴,且, ∴∽′【029】解（1）因为△= 所以不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。
2012中考数学压轴题精选精析(81-90例)
2012中考数学压轴题精选精析（81-90例）一、解答题1、(2011年湖北随州十校联考数学试题)如图所示，在平面直角坐标系中．二次函数y=a(x-2)2-1图象的顶点为P，与x轴交点为 A、B，与y轴交点为C．连结BP并延长交y轴于点D. 连结AP，△APB为等腰直角三角形。
(1)求a的值和点P、C、D的坐标；(2)连结BC、AC、AD。
将△BCD绕点线段CD上一点E逆时针方向旋转90°，得到一个新三角形．设该三角形与△ACD重叠部分的面积为S。
①当点E在（0，1）时，在图25—1中画出旋转后的三角形，并出求S.②当点E在线段CD(端点C、D除外)上运动时，设E(0，b)，用含b的代数式表示S，并判断当b为何值时,重叠部分的面积最大?写出最大值．解：（1）a=1 P（2，-1） C（0，3） D（0，-3），（各1分，共4分）（2）画出图形（1分）可用相似三角形的面积求S=23（2分）（3）当b≥0如图，可用相似三角形的面积求21(3)6s b=-（2分）当b=0时，S=32（1分）当b＜0时 BD旋转后经过A时，b=-1①-1＜b≤0时，（2分）②b＜-1时（2分）2、(2011年重庆一中摸底试卷)如图等腰直角三角形纸片ABC中，AC=BC=4,90oACB∠=直角边AC在x轴上，B点在第二象限，A(1，0)，AB交y轴于E，将纸片过E点折叠使BE与EA所在直线重合，得到折痕EF（F在x轴上），再展开还原沿EF剪开得到四边形BCFE，然后把四边形BCFE从E点开始沿射线EA平移，至B点到达A点停止．设平移时间为t(s)，移动速度为每秒1个单位长度，平移中四边形BCFE与AEF∆重叠的面积为S．(1)求折痕EF的长；(2)是否存在某一时刻t使平移中直角顶点C经过抛物线342++=xxy的顶点？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；(3)直接写出．．．．S与t的函数关系式及自变量t的取值范围.解：（1）折痕2EF=（2）2t=（s）（3）212,(02).2s t t t=-+≤≤1,(222).s t=≤≤2121,(2232).4s t t t=-+-≤≤21228,(3242).4s t t t=-+≤≤3、（2011泰兴市济川实验初中初三数学阶段试题）如图，矩形A’B’C’D’是矩形OABC(边OA 在x 轴正半轴上，边OC 在y 轴正半轴上)绕B 点逆时针旋转得到的，O ’点在x 轴的正半轴上，B 点的坐标为(1，3)．O’C’与AB 交于D 点.(1)如果二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象经过O ，O ’两点且图象顶点M 的纵坐标为1-，求这个二次函数的解析式；(2)求D 点的坐标．(3)若将直线OC 绕点O 旋转α度(0<α<90)后与抛物线的另一个 交点为点P ，则以O 、O’、B 、P 为顶点的四边形能否是平行 四边形？若能，求出αtan 的值；若不能，请说明理由．解：(1)x x y 22-= ……3 分(2)D(1,34) ……7分 (3)tan α=1或31……12分(求出一个得3分,求两个得5分)4、（2011年山东三维斋一模试题）如图所示，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标．（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积． （3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆PCA 相似． 若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由． 解：（1）令0y =，得210x -= 解得1x =±令0x =，得1y =-∴ A (1,0)- B (1,0) C (0,1)- ··· （2分）（2）∵O A =O B =O C =1 ∴∠BAC =∠AC O=∠BC O=45∵A P ∥CB ， ∴∠P AB =45过点P 作P E ⊥x 轴于E ，则∆A P E 为等腰直角三角形令O E =a ，则P E =1a + ∴P (,1)a a +∵点P 在抛物线21y x =-上 ∴211a a +=- 解得12a =，21a =-（不合题意，舍去）∴P E =3 ··························································································· 4分）∴四边形ACB P 的面积S =12AB •O C +12AB •P E =112123422⨯⨯+⨯⨯= ······································ 6分） (3)假设存在∵∠P AB =∠BAC =45 ∴P A ⊥AC∵MG ⊥x 轴于点G ， ∴∠MG A =∠P AC =90 在Rt △A O C 中，O A =O C =1 ∴AC =2在Rt △P AE 中，AE =P E =3 ∴A P= 32 ··············································· 7分） 设M 点的横坐标为m ，则M 2(,1)m m -①点M 在y 轴左侧时，则1m <-(ⅰ) 当∆A MG ∽∆P CA 时，有AG PA =MG CA∵A G=1m --，MG=21m -即211322m m ---= 解得11m =-（舍去） 223m =（舍去）(ⅱ) 当∆M A G ∽∆P CA 时有AG CA =MGPA即 211232m m ---= A BC 'MA 'O xyO ' CD第28题图CPByAoxEyPAoGMC ByPAox解得：1m =-（舍去） 22m =-∴M (2,3)- ··········································································· （10分）② 点M 在y 轴右侧时，则1m > (ⅰ) 当∆A MG ∽∆P CA 时有AG PA =MGCA∵A G=1m +，MG=21m -∴ 211322m m +-= 解得11m =-（舍去） 243m =∴M 47(,)39(ⅱ) 当∆M A G ∽∆P CA 时有AG CA =MGPA即 211232m m +-= 解得：11m =-（舍去） 24m = ∴M (4,15)∴存在点M ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆P CA 相似M 点的坐标为(2,3)-，47(,)39，(4,15) ·································· （12分）5、(2011年深圳市数学模拟试卷)如图13，已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的象经过A (－1，0)、B (3，0)、N (2，3)三点，且与y 轴交于点C ． (1)（3分）求顶点M 及点C 的坐标；(2)（3分）若直线y =kx ＋d 经过C 、M 两点，且与x 轴交于点D ，试证明四边形CDAN 是平行四边形；(3)（4分）点P 是这个二次函数的对称轴上一动点，请探索：是否存在这样的点P ，使以点P 为圆心的圆经过A 、B 两点，并且与直线CD 相切，如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由． 解：解：(1)因为二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象经过点A (－1，0)、B (3，0)、N (2，3)所以，可建立方程组：⎪⎩⎪⎨⎧++=++=+-=c b a c b a c b a 2433900，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==-=321c b a所以，所求二次函数的解析式为y=－x 2＋2x ＋3，所以，顶点M (1，4)，点C (0，3) -------2分(2)直线y=kx+d 经过C 、M 两点，所以⎩⎨⎧=+=43d k d ，即k ＝1，d ＝3，直线解析式为y ＝x ＋3令y ＝0，得x ＝－3，故D (－3，0）∴ CD ＝23，AN ＝23，AD =2，CN =2∴CD ＝AN ，AD =CN∴ 四边形CDAN 是平行四边形(3)假设存在这样的点P ，使以点P 为圆心的圆经过A 、B 两点，并且与直线CD 相切，因为这个二次函数的对称轴是直线x =1，故可设P (1，0y )，则PA 是圆的半径且PA 2=y 02＋22，过P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，则PQ ＝PA 时以P 为圆心的圆与直线CD 相切。
2012中考数学压轴题真题(含答案)
1．如图，直线AB交x轴于点B（4，0），交y轴于点A（0，4），直线DM⊥x轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=6，连接DA，∠DAC=90°．（1）直接写出直线AB的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若点P是线段MB上的动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点F，交过O、D、B三点的抛物线于点E，连接CE．是否存在点P，使△BPF与△FCE相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．得，解得﹣，所以，抛物线解析式为﹣﹣﹣﹣或（﹣﹣x=（（）或（2、.已知抛物线 与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标是（-1,0），O 是坐标原点，且OA OC 3=． （1）求抛物线的函数表达式； （2）直接写出直线BC 的函数表达式；（3）如图1，D 为y 轴的负半轴上的一点，且OD =2，以OD 为边作正方形ODEF .将正方形ODEF 以每秒1个单位的速度沿x 轴的正方向移动，在运动过程中，设正方形ODEF 与△OBC 重叠部分的面积为s ，运动的时间为t 秒（0＜t ≤2）. 求：①s 与t 之间的函数关系式；②在运动过程中，s 是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由．（4）如图2，点P （1，k ）在直线BC 上，点M 在x 轴上，点N 在抛物线上，是否存在以A 、M 、N 、P 为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出M 点坐标；若不存在，请说明理由.c ax ax y +-=222.解答:（1）∵ A （-1,0）, OA OC 3= ∴C （0,-3） ………1′∵抛物线经过A （-1,0）, C （0,-3） ∴)()⎩⎨⎧=+-⨯-⨯--=012132c a a c∴⎨⎧-==31c a ∴y=x 2－2x －3 (3)（2）直线BC 的函数表达式为y=x －3（3）当正方形ODEF 的顶点D 运动到直线BC 上时，设D 点的坐标为（m ，-2）， 根据题意得： -2=m-3，∴m=1 …………………6′①当0＜t ≤1时S 1=2t …………………7′ 当1＜t ≤2时S 2=OO DDS 11矩形－HGDS 1∆ =2t －()2121-⨯t=－213212-+t t …………………9′②当t =2秒时，S 有最大值，最大值为 ……………10′（4）M 1（－12-，0） M 2（12-，0） M 3（63-，0） M 4（63+，0 ）………………14′3如图，抛物线32-+=bx ax y 交y 轴于点C ，直线 l 为抛物线的对称轴，点P 在第图1 图227三象限且为抛物线的顶点.P 到x 轴的距离为310，到y 轴的距离为1.点C 关于直线l 的对称点为A ，连接AC 交直线 l 于B. （1）求抛物线的表达式；（2）直线m x y +=43与抛物线在第一象限内交于点D ，与y 轴交于点F,连接BD 交y 轴于点E ，且DE:BE=4:1.求直线m x y +=43的表达式；（3）若N 为平面直角坐标系内的点，在直线m x y +=43上是否存在点M ，使得以点O 、F 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.3.解答：（1）∵抛物线32-+=bx axy 交y 轴于点C∴ C （0，-3）则 OC=3 ……………1分 ∵P 到x 轴的距离为310，P 到y 轴的距离是1且在第三象限 ∴P （-1，-310） ……………2分∵C 关于直线l 的对称点为A∴A （-2，-3） ……………3分 将点A （-2，-3），P （-1，-310）代入32-+=bx axy有⎪⎩⎪⎨⎧-=---=--31033324b a b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3231b a ………………………5分 第26题图∴抛物线的表达式为 332312-+=x x y ………………………6分（2）过点D 做DG ⊥y 轴于G ，则∠DGE=∠BCE=90°∵∠DEG=∠BEC ∴△DEG ∽△BEC∵DE:BE=4:1 ∴14==BEDE BCDG 则DG=4 ………………………7分将x=4代入332312-+=x x y ，得y=5则 D （4,5） ………………………8分 ∵m x y +=43过点D （4,5）∴m +⨯=4435 则 m =2 ………………………9分∴所求直线的表达式为 243+=x y (10)分（3）存在 M 1516,58( M 254,58(-M 3)1,34(- M 42514,2548(-………………………14分4．在平面直角坐标系中，已知抛物线c bx ax y ++=2经过点A 3(-，0)、B(0，3)、C （1，0）三点．(1) 求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；(2) 如图1，将抛物线的对称轴绕抛物线的顶点D 顺时针旋转 60,与直线x y -=交于点N ．在直线DN 上是否存在点M ，使得∠MON= 75．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 点P 、Q 分别是抛物线c bx ax y ++=2和直线x y -=上的点，当四边形OBPQ 是直角梯形时，求出点Q 的坐标．4解答．(1)解：由题意把A(-3，0)、B(0，3)、C(1，0)代入c bx ax y ++=2列方程组得⎪⎩⎪⎨⎧=++==+-03039c b a c c b a ，解得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=321c b a ．……1分 ∴抛物线的解析式是322+--=x x y ． ……2分 ∵4)1(3222++-=+--=x x x y ，∴抛物线的顶点D 的坐标为（－1，4）．…… 3分（2）存在．理由：方法（一）：由旋转得∠EDF=60°， 在Rt △DEF ∴EF=DE×tan60°=43．∴OF=OE+EF=1+4 ∴F 点的坐标为（341--，0）．……1 设过点D 、F 的直线解析式是b x y +=κ 把D （－1，4），F （341--，0）代入求得 33433++=x y ．……2分分两种情况:①当点M 在射线ND 上时， ∵∠MON=75°，∠BON=45°，∴∠MOB=∠MON ﹣∠BON=30°．∴∠MOC=60°．∴直线OM 的解析式为y =3x ．……3分 ∴点M 的坐标为方程组．⎪⎩⎪⎨⎧=++=x y x y 333433的解，解方程组得，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2362132y x ． ∴点M 的坐标为（2132+，236+）．……4分②当点M 在射线NF 上时，不存在点M 使得∠MON=75°理由：∵∠MON=75°，∠FON=45°， ∴∠FOM=∠MON －∠FON=30°. ∵∠DFE=30°,∴∠FOM=∠DFE ．∴OM ∥FN ．∴不存在……5分 综上所述，存在点M ，且点M 的坐标为（2132+，236+）．方法（二）①M 在射线ND 上，过点M 作MP ⊥x 轴于点P ， 由旋转得∠EDF=60°， 在Rt △DEF 中，∵∠EDF=60°，DE=4 ∴EF=DE×tan60°=43．∴OF=OE ﹢EF=1+43．……2分 ∵∠MON=75°，∠BON=45°，∴∠∴∠MOC=60°．在Rt △MOP 中，∴ 在Rt △MPF 中，∵tan ∠MFP=PFMP ，∴=++3413OP OP 33．……3分∴OP=23﹢21．∴MP=6﹢23．∴M 点坐标为（23﹢21、6﹢23）．……4分②M 在射线NF 上，，不存在点M 使得∠MON=75°理由:∵∠MON=75°，∠FON=45°，∴∠FOM=∠MON ﹣∠FON=30°． ∵∠DFE=30°．∴∠FOM=∠DFE ．∴OM ∥DN ． ∴不存在．……5分 综上所述，存在点M ，且点M 的坐标为（2132+，36（3）有两种情况①直角梯形OBPQ 中，PQ ∥OB ，∠如图3，∵∠OBP=∠AOB=90°，∴PB ∥OA ． 所以点P 、B 的纵坐标相同都是3．……1分 因为点P 在抛物线322+--=x x y 上，把=y 3代入抛物线的解析式中得x １＝0（舍去） ， x 2＝﹣2．由PQ ∥OB 得到点P 、Q 的横坐标相同， 都等于-2．把x ＝﹣2代入=y ﹣x 得y ＝2．所以Q 点的坐标为（-2，2）．……3分②在直角梯形OBPQ 中，PB ∥OQ ，∠BPQ=90°． 如图4，∵D(-1，4)，B(0，3) ，∴DB ∥OQ ．∵PB ∥OQ ， 点P 在抛物线上，∴点P 、D 重合．……1分 ∴∠EDF=∠EFD=45°．∴EF=ED=4． ∴OF=OE+EF=5．……2分作QH ⊥x 轴于H ，∵∠QOF=∠QFO=45°， ∴OQ=FQ ．∴OH=21OF=25．∴Q 点的横坐标﹣25．∵Q 点在=y ﹣x 上，∴把x ＝﹣25代入=y ﹣x 得=y 25．∴Q 点的坐标为（﹣25，25）．…… 3分综上，符合条件的点Q 有两个,坐标分别为：（-2，2），（-25，25）．※ 试题其他方法参照给分5.如图，已知抛物线经过原点O 和 轴上一点A （4，0），抛物线顶点为E ，它的对称轴与 轴交于点D.直线 经过抛物线上一点B （-2，m ）且与轴交于点C ， 与抛物线的对称轴交于点F.（1）求m 的值及该抛物线对应的解析式；（2）P 是抛物线上的一点，若S △ADP =S △ADC ,求出所有符合条件的点P 的坐标； （3）点Q 是平面内任意一点，点M 从点F 出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M 的运动时间为t 秒，是否能使以Q 、A 、E 、M 四点为顶点的四边形是菱形.若能，请直接写出点M 的运动时间t 的值；若不能，请说明理由.第26题图 备用图5.解答：（1）∵点B(-2,m)在直线12--=x y 上∴m=3 即B （-2，3）┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 1分 又∵抛物线经过原点O∴设抛物线的解析式为bx ax y +=2∵点B （-2，3），A （4，0）在抛物线上∴⎩⎨⎧=+=-0416324b a b a 解得：⎪⎩⎪⎨⎧-==141b a∴设抛物线的解析式为x x y -=241 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分x 12--=x y y ),(yx（2）∵),(y x P 是抛物线上的一点 ∴)41,(2x x x P -若ADC ADP S S ∆∆= ∵OC AD S ADC ⋅=∆21 y AD S ADP ⋅=∆21 ┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分又∵点C 是直线12--=x y 与y 轴交点 ∴C(0,1) ∴OC=1 ∴1412=-x x ， 即1412=-x x 或1412-=-x x解得：2,222,2224321==-=+=x x x x∴点P 的坐标为 )1,2(),1,222(),1,222(321--+P P P ┅┅┅ 10分 （3）存在： ,541-=t ,62=t,543+=t ,2134=t ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅。
2012年全国各地中考数学压轴题精选讲座(共8份)
2012年全国各地中考数学压轴题精选讲座七阅读理解型【知识纵横】阅读理解问题是近年中考的热点题型之一。
重在考查阅读理解能力、分析能力、辨别判断能力以及生活经验是否丰富等，所给定的阅读材料，可能是新定义的概念、公式等，要求理解应用;或者是图象表格，从中提取有用的解题信息;或者是范例式呈现，去模仿解答新问题;或者是根据一些特殊信息探求规律等.常见的类型有猜想型、概括型、探索型、应用型等。
阅读理解的整体模式是：阅读—理解—应用。
重点是阅读，难点是理解，关键是应用，通过阅读，对所提供的文字、符号、图形等进行分析和综合，在理解的基础上制定解题策略。
【选择填空】1. （浙江台州）请你规定一种适合任意非零实数a ，b 的新运算“a ⊕b ”，使得下列算式成立：1⊕2=2⊕1=3，（﹣3）⊕（﹣4）=（﹣4）⊕（﹣3）=﹣，（﹣3）⊕5=5⊕（﹣3）=﹣，…你规定的新运算a ⊕b = （用a ，b 的一个代数式表示）．2. (山东省临沂市）读一读：式子“1+2+3+4+……+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为∑=1001n n ，这里“∑”是求和符号，通过以上材料的阅读，计算∑=+20121n 1)(n 1n = .【典型试题】 1. （江苏盐城）知识迁移： 当0a >且0x >时，因为2≥0,所以ax x -+≥0,从而a x x +≥(当x =时取等号).记函数(0,0)ay x a x x=+>>,由上述结论可知：当x =,该函数有最小值为直接应用：已知函数1(0)y x x =>与函数21(0)y x x=>, 则当x =_________时,12y y +取得最小值为_________.变形应用：已知函数11(1)y x x =+>-与函数22(1)4(1)y x x =++>-,求21y y 的最小值,并指出取得该最小值时相应的x 的值.实际应用：已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用,共360元；二是燃油费,每千米为1.6元；三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为0.001.设该汽车一次运输的路程为x 千米,求当x 为多少时,该汽车平均每千米的运输成本．．．．．．．．．．最低？最低是多少元？【考点】二次函数的应用，几何不等式。
2012年中考数学压轴题及解析分类汇编
中考数学压轴题:函数相似三角形问题(一)例1直线113y x =-+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°后得到△COD ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A 、C 、D 三点．(1) 写出点A 、B 、C 、D 的坐标；(2) 求经过A 、C 、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标；(3) 在直线BG 上是否存在点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形与△COD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．例2 Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数(0)ky k x=≠在第一象限内的图像与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．（1）求m 与n 的数量关系； （2）当tan ∠A ＝12时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式； （3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．图12012中考数学压轴题函数相似三角形问题(二)例3 如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1 图2例4 如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22=++上．y mx mx n （1）求m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为C，试在x轴上找一个点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．图12012中考数学压轴题函数相似三角形问题(三) 例5 如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．,图1例6 如图1，△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，cos A ＝310．D 为射线BA 上的点（点D 不与点B 重合），作DE //BC 交射线CA 于点E .．(1) 若CE ＝x ，BD ＝y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数的定义域； (2) 当分别以线段BD ，CE 为直径的两圆相切时，求DE 的长度；(3) 当点D 在AB 边上时，BC 边上是否存在点F ，使△ABC 与△DEF 相似？若存在，请求出线段BF 的长；若不存在，请说明理由．图1 备用图 备用图例 7 如图1，在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）．平移二次函数2tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B 、C 两点（∣OB ∣<∣OC ∣），连结A ，B ．（1）是否存在这样的抛物线F ，使得OC OB OA ⋅=2？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQ ∥BC ，且tan ∠ABO ＝23，求抛物线F 对应的二次函数的解析式．图12012中考数学压轴题函数等腰三角形问题(一)例1 如图1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P (0,m )是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ．（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）当△APD 是等腰三角形时，求m 的值；（3）设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂足为H （如图2）．当点P 从O 向C 运动时，点H 也随之运动．请直接写出点H 所经过的路长（不必写解答过程）．图1 图2例2 如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x 的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．图12012中考数学压轴题函数等腰三角形问题(二)例3 如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N 分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．(1)求证：MN∶NP为定值；(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长；(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．图1例4 如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝m （m 是大于0的常数），BC ＝8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE ＝x ，BF ＝y ．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ （3）若12y m，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？图12012中考数学压轴题函数相似三角形问题(三)例5 已知：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为56，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由．图1例6 在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM//x轴（如图1所示）．点B与点A关于原点对称，直线y＝x＋b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，联结OD．（1）求b的值和点D的坐标；（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的圆与圆O外切，求圆O的半径．图12012中考数学压轴题函数直角三角形问题(一)例1 如图1，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B 左侧），与y轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．①当线段34PQ AB =时，求tan ∠CED 的值；②当以C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标． 温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．图1例2 设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2，若l 1⊥l 2，垂足为H ，则称直线l 1与l 2是点H 的直角线．（1）已知直线①122y x =-+；②2y x =+；③22y x =+；④24y x =+和点C (0，2)，则直线_______和_______是点C 的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A (3，0)、B (2，7)、C (0，7)，P 为线段OC 上一点，设过B 、P 两点的直线为l 1，过A 、P 两点的直线为l 2，若l 1与l 2是点P 的直角线，求直线l 1与l 2的解析式．图12012中考数学压轴题函数直角三角形问题(三)例 5 如图1，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．图1例6 已知Rt △ABC 中，︒=∠90ACB ，CB CA =，有一个圆心角为︒45，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，且直线CE ，CF 分别与直线AB 交于点M ，N ．（1）当扇形CEF 绕点C 在ACB ∠的内部旋转时，如图1，求证：222BN AM MN +=；思路点拨：考虑222BN AM MN +=符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM 沿直线CE 对折，得△DCM ，连DN ，只需证BN DN =，︒=∠90MDN 就可以了．请你完成证明过程．（2）当扇形CEF 绕点C 旋转至图2的位置时，关系式222BN AM MN +=是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．图1 图2图5 图6 图72012中考数学压轴题函数平行四边形问题(一)例 1 已知平面直角坐标系xOy （如图1），一次函数334y x =+的图像与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数32y x =的图像上，且MO ＝MA ．二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像经过点A 、M ．（1）求线段AM 的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图像上，点D 在一次函数334y x =+的图像上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标．图1例2将抛物线c 1：2y =x 轴翻折，得到抛物线c 2，如图1所示．（1）请直接写出抛物线c 2的表达式；（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．图12012中考数学压轴题函数平行四边形问题(二)例3 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4,0)、B(0,－4)、C(2,0)三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MAB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．图1 图2例4在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．图1 图22012中考数学压轴题函数平行四边形问题(三)例 5 如图1，等边△ABC的边长为4，E是边BC上的动点，EH⊥AC于H，过E作EF∥AC，交线段AB于点F，在线段AC上取点P，使PE＝EB．设EC＝x（0＜x≤2）．（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段（不再另外添加辅助线）；（2）Q是线段AC上的动点，当四边形EFPQ是平行四边形时，求平行四边形EFPQ 的面积（用含x的代数式表示）；（3）当（2）中的平行四边形EFPQ面积最大值时，以E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与此时平行四边形EFPQ四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围．图1例6 如图1，抛物线322++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ．（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF //DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系．图1例 7 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =+与334y x =-+交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点．（1）求点A 、B 、C 的坐标．（2）当△CBD 为等腰三角形时，求点D 的坐标．（3）在直线AB上是否存在点E，使得以点E、D、O、A为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出BECD的值；如果不存在，请说明理由．图12012中考数学压轴题函数梯形问题(一)例1 已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－(a＋1)x与直线y＝kx的一个公共点为A(4，8)．（1）求此抛物线和直线的解析式；（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值；（3）记（1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN的面积．备用图图1 图2例 2 已知二次函数的图象经过A （2，0）、C (0，12) 两点，且对称轴为直线x ＝4，设顶点为点P ，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；（2）如图1，在直线 y ＝2x 上是否存在点D ，使四边形OPBD 为等腰梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M 是线段OP 上的一个动点（O 、P 两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P 向点O 运动，过点M 作直线MN //x 轴，交PB 于点N ． 将△PMN 沿直线MN 对折，得到△P 1MN ． 在动点M 的运动过程中，设△P 1MN 与梯形OMNB 的重叠部分的面积为S ，运动时间为t 秒，求S 关于t 的函数关系式．图1 图22012中考数学压轴题函数梯形问题(二)例3 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y ＝2114x ，点C 的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q (x ，y )在抛物线上，点P (t ，0)在x 轴上．(1) 写出点M 的坐标；(2) 当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时．① 求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围；② 当梯形CMQP 的两底的长度之比为1∶2时，求t 的值．图1例 4 已知，矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A 的坐标为(4,0)，点C 的坐标为)20(-，，直线x y 32-=与边BC 相交于点D ． (1)求点D 的坐标；(2)抛物线c bx ax y ++=2经过点A 、D 、O ，求此抛物线的表达式；(3)在这个抛物线上是否存在点M ，使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图12012中考数学压轴题函数平行四边形问题(三)例 5 如图1，等边△ABC 的边长为4，E 是边BC 上的动点，EH ⊥AC 于H ，过E 作EF ∥AC ，交线段AB 于点F ，在线段AC 上取点P ，使PE ＝EB ．设EC ＝x （0＜x ≤2）．（1）请直接写出图中与线段EF 相等的两条线段（不再另外添加辅助线）；（2）Q 是线段AC 上的动点，当四边形EFPQ 是平行四边形时，求平行四边形EFPQ 的面积（用含x 的代数式表示）；（3）当（2）中 的平行四边形EFPQ 面积最大值时，以E 为圆心，r 为半径作圆，根据⊙E 与此时平行四边形EFPQ 四条边交点的总个数，求相应的r 的取值范围．图1例6 如图1，抛物线322++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ．（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF //DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系．图1例 7 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =+与334y x =-+交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点．（1）求点A 、B 、C 的坐标．（2）当△CBD 为等腰三角形时，求点D 的坐标．（3）在直线AB 上是否存在点E ，使得以点E 、D 、O 、A 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出BE CD的值；如果不存在，请说明理由．图12012中考数学压轴题函数面积问题(一)例 1 如图1，直线l 经过点A (1，0)，且与双曲线m y x=(x ＞0)交于点B (2，1)．过点(,1)P p p -(p ＞1)作x 轴的平行线分别交曲线m y x =(x ＞0)和m y x=-(x ＜0)于M 、N 两点．（1）求m 的值及直线l 的解析式；（2）若点P 在直线y ＝2上，求证：△PMB ∽△PNA ；（3）是否存在实数p ，使得S △AMN ＝4S △AMP ？若存在，请求出所有满足条件的p 的值；若不存在，请说明理由．图1例2 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的顶点O 为坐标原点，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，CB ∥OA ，OC ＝4，BC ＝3，OA ＝5，点D 在边OC 上，CD ＝3，过点D 作DB 的垂线DE ，交x 轴于点E ．（1）求点E的坐标；（2）二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过点B和点E．①求二次函数的解析式和它的对称轴；②如果点M在它的对称轴上且位于x轴上方，满足S△CEM＝2S△ABM，求点M的坐标．图12012中考数学压轴题函数面积问题(二)例3 如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线12y x b=-+交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．例 4 如图1，在△ABC中，∠C＝90°，A C＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．（1）求线段AD的长；（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．图1 备用图2012中考数学压轴题函数面积问题(三)例5 如图1，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；（2）求正方形边长及顶点C的坐标；（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标．（4）如果点P、Q保持原速度速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP 与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．图1 图2例6 在直角坐标系中，抛物线c=2经过点（0，10）和点（4，2）．+y+xbx（1）求这条抛物线的解析式.（2）如图1，在边长一定的矩形ABCD中，CD＝1，点C在y轴右侧沿抛物线=2滑动，在滑动过程中CD∥x轴，AB在CD的下方.当点D在y轴上时，y++cbxxAB落在x轴上.①求边BC的长.②当矩形ABCD在滑动过程中被x轴分成两部分的面积比为1:4时，求点C的坐标.。
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2012年各地中考数学压轴题精选21~30_解析版【21.2012上海】24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=，EF⊥OD，垂足为F．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；（3）当∠ECA=∠OAC时，求t的值．考点：相似三角形的判定与性质；待定系数法求二次函数解析式；全等三角形的判定与性质；勾股定理。
解答：解：（1）二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），∴，解得，∴这个二次函数的解析式为：y=﹣2x2+6x+8；（2）∵∠EFD=∠EDA=90°∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°，∴∠DEF=∠ODA∴△EDF∽△DAO∴．∵，∴=，∴，∴EF=t．同理，∴DF=2，∴OF=t﹣2．（3）∵抛物线的解析式为：y=﹣2x2+6x+8，∴C（0，8），OC=8．如图，连接EC、AC，过A作EC的垂线交CE于G点．∵∠ECA=∠OAC，∴∠OAC=∠GCA（等角的余角相等）；在△CAG与△OCA中，，∴△CAG≌△OCA，∴CG=4，AG=OC=8．如图，过E点作EM⊥x轴于点M，则在Rt△AEM中，∴EM=OF=t﹣2，AM=OA+AM=OA+EF=4+t，由勾股定理得：∵AE2=AM2+EM2=；在Rt△AEG中，由勾股定理得：∴EG===∵在Rt△ECF中，EF=t，CF=OC﹣OF=10﹣t，CE=CG+EG=+4由勾股定理得：EF2+CF2=CE2，即，解得t1=10（不合题意，舍去），t2=6，∴t=6．【22. 2012广东】22．如图，抛物线y=x2﹣x﹣9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．考点：二次函数综合题。
解答：解：（1）已知：抛物线y=x2﹣x﹣9；当x=0时，y=﹣9，则：C（0，﹣9）；当y=0时，x2﹣x﹣9=0，得：x1=﹣3，x2=6，则：A（﹣3，0）、B（6，0）；∴AB=9，OC=9．（2）∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴=（）2，即：=（）2，得：s=m2（0＜m＜9）．（3）S△AEC=AE•OC=m，S△AED=s=m2；则：S△EDC=S△AEC﹣S△AED=﹣m2+m=﹣（m﹣）2+；∴△CDE的最大面积为，此时，AE=m=，BE=AB﹣AE=．过E作EF⊥BC于F，则Rt△BEF∽Rt△BCO，得：=，即：=∴EF=；∴以E点为圆心，与BC相切的圆的面积S⊙E=π•EF2=．【23. 2012嘉兴】24．在平面直角坐标系xOy中，点P是抛物线：y=x2上的动点（点在第一象限内）．连接OP，过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q．连接PQ，交y轴于点M．作PA丄x轴于点A，QB丄x轴于点B．设点P的横坐标为m．（1）如图1，当m=时，①求线段OP的长和tan∠POM的值；②在y轴上找一点C，使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标；（2）如图2，连接AM、BM，分别与OP、OQ相交于点D、E．①用含m的代数式表示点Q的坐标；②求证：四边形ODME是矩形．考点：二次函数综合题。
解答：解：（1）①把x=代入y=x2，得y=2，∴P（，2），∴OP=∵PA丄x轴，∴PA∥MO．∴tan∠P0M=tan∠0PA==．②设Q（n，n2），∵tan∠QOB=tan∠POM，∴．∴n=∴Q（，），∴OQ=．当OQ=OC 时，则C1（0，），C2（0，）；当OQ=CQ 时，则C3（0，1）．（2）①∵P（m，m2），设Q（n，n2），∵△APO∽△BOQ，∴∴，得n=，∴Q（，）．②设直线PO的解析式为：y=kx+b，把P（m，m2）、Q（，）代入，得：解得b=1，∴M（0，1）∵，∠QBO=∠MOA=90°，∴△QBO∽△MOA∴∠MAO=∠QOB，∴QO∥MA同理可证：EM∥OD又∵∠EOD=90°，∴四边形ODME是矩形．【24. 2012贵州安顺】26．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B，且18a+c=0．（1）求抛物线的解析式．（2）如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动．①移动开始后第t秒时，设△PBQ的面积为S，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题。
解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，由题意知点A（0，﹣12），所以c=﹣12，又18a+c=0，，∵AB∥OC，且AB=6，∴抛物线的对称轴是，∴b=﹣4，所以抛物线的解析式为；（2）①，（0＜t＜6）②当t=3时，S取最大值为9．这时点P的坐标（3，﹣12），点Q坐标（6，﹣6）若以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，有如下三种情况：（Ⅰ）当点R在BQ的左边，且在PB下方时，点R的坐标（3，﹣18），将（3，﹣18）代入抛物线的解析式中，满足解析式，所以存在，点R的坐标就是（3，﹣18），（Ⅱ）当点R在BQ的左边，且在PB上方时，点R的坐标（3，﹣6），将（3，﹣6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件．（Ⅲ）当点R在BQ的右边，且在PB上方时，点R的坐标（9，﹣6），将（9，﹣6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件．综上所述，点R坐标为（3，﹣18）．【25. 2012•资阳】25．抛物线的顶点在直线y=x+3上，过点F（﹣2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；（3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB=，求点M的坐标．考点：二次函数综合题。
专题：压轴题。
分析：（1）利用配方法将二次函数整理成顶点式即可，再利用点在直线上的性质得出答案即可；（2）首先利用点N在抛物线上，得出N点坐标，再利用勾股定理得出NF2=NC2+FC2，进而得出NF2=NB2，即可得出答案；（3）求点M的坐标，需要先求出直线PF的解析式．首先由（2）的思路得出MF=MA，然后连接AF、FB，通过证明△PFA∽△PBF，利用相关的比例线段将PA•PB的值转化为PF的值，进而求出点F的坐标和直线PF的解析式，即可得解．解答：解：（1）y=x2+x+m=（x+2）2+（m﹣1）∴顶点坐标为（﹣2，m﹣1）∵顶点在直线y=x+3上，∴﹣2+3=m﹣1，得m=2；（2）∵点N在抛物线上，∴点N的纵坐标为：a2+a+2，即点N（a，a2+a+2）过点F作FC⊥NB于点C，在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB﹣CB=a2+a，∴NF2=NC2+FC2=（a2+a）2+（a+2）2，=（a2+a）2+（a2+4a）+4，而NB2=（a2+a+2）2，=（a2+a）2+（a2+4a）+4∴NF2=NB2，NF=NB；（3）连接AF、BF，由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的结论知，MF=MA，∴∠MAF=∠MFA，∵MA⊥x轴，NB⊥x轴，∴MA∥NB，∴∠AMF+∠BNF=180°∵△MAF和△NFB的内角总和为360°，∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°，∵∠MAB+∠NBA=180°，∴∠FBA+∠FAB=90°，又∵∠FAB+∠MAF=90°，∴∠FBA=∠MAF=∠MFA，又∵∠FPA=∠BPF，∴△PFA∽△PBF，∴=，PF2=PA×PB=，过点F作FG⊥x轴于点G，在Rt△PFG中，PG==，∴PO=PG+GO=，∴P（﹣，0）设直线PF：y=kx+b，把点F（﹣2，2）、点P（﹣，0）代入y=kx+b，解得k=，b=，∴直线PF：y=x+，解方程x2+x+2=x+，得x=﹣3或x=2（不合题意，舍去），当x=﹣3时，y=，∴M（﹣3，）．点评：考查了二次函数综合题，在该二次函数综合题中，融入了勾股定理、相似三角形等重点知识，（3）题通过构建相似三角形将PA•PB转化为PF的值是解题的关键，也是该题的难点．【26. 2012•德州】23．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．考点：翻折变换（折叠问题）；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；正方形的性质。
分析：（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案；（2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，进而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，利用二次函数的最值求出即可．解答：（1）解：如图1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP．即∠PBC=∠BPH．又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC．∴∠APB=∠BPH．（2）△PHD的周长不变为定值8．证明：如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．由（1）知∠APB=∠BPH，又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，∴△ABP≌△QBP．∴AP=QP，AB=BQ．又∵AB=BC，∴BC=BQ．又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，∴△BCH≌△BQH．∴CH=QH．∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．（3）如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB．又∵EF为折痕，∴EF⊥BP．∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°，∴∠EFM=∠ABP．又∵∠A=∠EMF=90°，∴△EFM≌△BPA．∴EM=AP=x．∴在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2．解得，．∴．又四边形PEFG与四边形BEFC全等，∴．即：．配方得，，∴当x=2时，S有最小值6．点评：此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理、二次函数的最值问题等知识，熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键．【27. 2012•湘潭】26．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．考点：二次函数综合题。