概率统计习题课2

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概率论与数理统计(第三版)课后答案习题2

第二章随机变量2.1 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2解：根据1)(0==∑∞=k k XP ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae 。

故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=1122020*********2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P {0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+= 2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++=11[1()]1441314k k lim→∞-=-（2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--=2.6解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719⨯⨯⨯= 1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==-=-==--=2.7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.8 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e -（2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.9解：设应配备m 名设备维修人员。

刘建亚概率论与数理统计课后习题第2,3章答案

1 3
解: 知识点： P43均匀分布函数及其概率密度函数。由题意知, X ∼ U (2, 5), 从而， X 的概率密度函数为 { 1 , x ∈ (2, 5); 3 f (x) = 0, 其他.
2 X 落在(3, 5]之间的概率为 3 ，
f (x) dx √ c dx 1 − x2
X 落在(2, 3]之间为 1 3 从而，至少有两次观测值大于3的概率为 P = = = 19. 题目见课本P57. 解: 知识点： P24伯努利概型、 P37二项分布概念、 P45指数分布及其概率密度函数。 X 表示顾客在某银行窗口等待服务的时间。 Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数。由于他一个月去银行5次 1 2 2 3 2 · ( )3 C3 · ( )2 · + C3 3 3 3 4 8 + 8 27 20 27
3 从5只球中取出3只，取出的总数为C5 。
= 1，
从而得到， a = 1。 (2)由离散概率分布的性质可知 ∑∞ a k=1 2k = 1，因此有 a·
1− 1 2
1 2
由题知，X 表示所取出3只球中的最大号码，所以X 的可能取值为分别为3, 4, 5。当X = 3时，其它两个球只能是1, 2, 故 P (X = 3) =
由于某人的成绩为78分因此高于78分人数的概率为px781???781?700276?789992002909令p1为某单位的录取率又由于某单位招聘155人有526人报名因此52602947进一步由于px7802909p102947录取率为p1155故此人能够被录取
概率论与数理统计课后习题
第 2 章
=
3 10
当X = 4时，其它两个球只能是从1, 2, 3, 4中任取2个，故 C2 6 P (X = 5) = 4 = 3 C5 10 因此， X 的分布列为 X P 3. 题目见课本P56。解: 知识点：P7古典概率定义、 P35超几何分布概念。 X 表示取出四只中所含次品的只数。由于有3件次品，则X 可能取值为 0, 1, 2, 3，进而由古典概率定义和超几何分布，得 P (X = k ) =

《概率论与数理统计》习题二

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《概率论与数理统计》课后习题答案2

1．试分别给出随机变量的可能取值为可列、有限的实例．解用X 表示一个电话交换台每小时收到呼唤的次数，X 的全部可能取值为可列的 0,1,2,3，…，；用Y 表示某人掷一枚骰子出现的点数，Y 的全部可能取值为有限个 1,2,3，4,5,6 ；2．试给出随机变量的可能取值至少充满一个实数区间的实例．解用X 表示某灯泡厂生产的灯泡寿命（以小时记），X 的全部可能取值为区间（0，+∞）3．设随机变量X 的分布函数()F x 为()F x = 2 1, >20, 2A x xx ⎧-⎪⎨⎪≤⎩ 确定常数A 的值，计算(04)P X ≤≤.解由(20)(2),F F +=可得10, =44AA -= (04)(04)(4)(0)0.75P X P X F F ≤≤=<≤=-=.4．试讨论：A 、B 取何值时函数()arctan3xF x A B =+ 是分布函数．解由分布函数的性质，有()()0,1F F -∞=+∞=，可得0,211,,21,2A B A B A B πππ⎧⎛⎫+-= ⎪⎪⎪⎝⎭⇒==⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩于是()11arctan ,.23xF x x π=+-∞<<+∞1．设10个零件中有3个不合格．现任取一个使用，若取到不合格品，则丢弃重新抽取一个，试求取到合格品之前取出的不合格品数X 的概率分布．解由题意知，X 的取值可以是0,1,2,3.而X 取各个值的概率为{}{}70,103771,10930P X P X ====⨯= {}{}32772,1098120321713.10987120P X P X ==⨯⨯===⨯⨯⨯= 因此X 的概率分布为012 377711030120120X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦2．从分别标有号码1 ，2 ，… ，7的七张卡片中任意取两张，求余下的卡片中最大号码的概率分布．解设X 为余下的卡片的最大号码，则X 的可能取值为5、6、7，且1{5}21P X ==5{6}21P X ==15{7}21P X ==即所求分布为567 1515212121X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 3．某人有n 把外形相似的钥匙，其中只有1把能打开房门，但他不知道是哪一把，只好逐把试开．求此人直至将门打开所需的试开次数的概率分布．解设此人将门打开所需的试开次数为X ，则X 的取值为1,2,3,...,k n =，事件{}{}1X k k k ==-前次未打开，第次才打开，且{}11P X n ==， {}11121n P X n n n-==⋅=-，… …，{}()121112111,2,....,n n n k P X k n n n k n k k n n ---+==⋅⋅⋅⋅--+-+== 故所需试开次数的分布为12~111X n nn ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ... n .... 4．随机变量X 只取1 、2 、3共三个值，并且取各个值的概率不相等且组成等差数列，求X 的概率分布．解设{}{}{}1,2,3P X a P X b P X c ======，则由题意有1a b c c b b a ++=⎧⎨-=-⎩解之得2313a c b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩设三个概率的公差为d ，则11,33a d c d =-=+，即X 的概率分布为 12 3111333X d d⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦，103d << 5．设随机变量X 的全部可能取值为1 ，2 ，… ，n ，且()P X k = 与k 成正比，求X 的概率分布．解由题意，得{}() 1,2,,k P X k p ck k n ====其中c 是大于0的待定系数．由11nkk p==∑，有12....1nk k cp c c n c ==+++=∑ 即()112n n c +=，解之得 ()21c n n =+.把()21c n n =+代入k p ，可得到X 的概率分布为{}()2,1,2,...,.1kP X k k n n n ===+6．一汽车沿街道行驶时须通过三个均设有红绿灯的路口．设各信号灯相互独立且红绿两种信号显示的时间相同，求汽车未遇红灯通过的路口数的概率分布．解设汽车未遇红灯通过的路口数为X ，则X 的可能值为0，1，2，3．以()1,2,3i A i =表示事件“汽车在第i 个路口首次遇到红灯”，则123,,A A A 相互独立，且()()1,1,2,32i i P A P A i ===．对0,1,2,3k =，有{}()1102P X P A ==={}()()()1212211142P X P A A P A P A ===== {}()123311282P X P A A A ==== {}()123311382P X P A A A ==== 所以汽车未遇红灯通过的路口数的概率分布为012 311112488X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦7．将一颗骰子连掷若干次，直至掷出的点数之和超过3为止．求掷骰子次数的概率分布．解设掷骰子次数为X ，则X 可能取值为1，2，3，4，且31{1}62P X === 141515{2}6666612P X ==⨯+⨯+=；115111117{3}6666666216P X ==⨯⨯+⨯+⨯=； 1111{4}666216P X ==⨯⨯=所以掷骰子次数X 的概率分布为123 415171212216216X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 8．设X 的概率分布为试求（1）X 的分布函数并作出其图形；（2）计算{11}P X -≤≤ ，{0 1.5}P X ≤≤ ，{2}P X ≤ ．解（1）由公式 (){}()k kx xF X P X x p x ≤=≤=-∞<<+∞∑，得()0,00.2,010.5,120.6,231,3x x F X x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩（2） {}11(1)(10)0.500.5P X F F -≤≤=---=-= {}0 1.5(1.5)(00)0.500.5P X F F ≤≤=--=-={}2(2)0.6P X F ≤==9．设随机变量X 的分布函数为010.210()0.70212x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩，，，，试求（1）求X 的概率分布；（2）计算1322P X ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭，{1}P X ≤- ，{03}P X ≤< ，{1|0}P X X ≤≥解 (1)对于离散型随机变量，有{}()()0P X k F k F k ==--，因此，随机变量X 的概率分布为10 2 0.20.50.3X -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (2) 由分布函数计算概率，得13310.52222P X F F ⎧⎫⎛⎫⎛⎫-<≤=--=⎨⎬ ⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭⎝⎭；{}()110.2P X F ≤-=-=；{}()0330(00)10.20.8P X F F ≤<=---=-=； {}{}{}{}{}1,0100010.50.625.00.8P X X P X X P X P X P X ≤≥≤≥=≥≤≤===≥10．已知随机变量X 服从0—1分布，并且{0}P X ≤=0.2，求X 的概率分布．解 X 只取0与1两个值，{0}P X =={0}P X ≤－{0}P X <＝0.2,{1}1{0}0.8P X P X ==-==11．已知{}P X n == nP ，n =1,2,3,⋯,求P 的值．解因为1{}1,n P X n ∞===∑ 有 11=,1n n pp p∞==-∑解此方程，得0.5p =. 12．商店里有5名售货员独立地售货．已知每名售货员每小时中累计有15分钟要用台秤．（1）求在同一时刻需用台秤的人数的概率分布；（2）若商店里只有两台台秤，求因台秤太少而令顾客等候的概率．解 (1) 由题意知,每名售货员在某一时刻使用台秤的概率为150.2560p ==, 设在同一时刻需用台秤的人数为X , 则()~5,0.25X B , 所以{}550.250.75(0,1,2,3,4,5)kk k P X k C k -===(2) 因台秤太少而令顾客等候的概率为{}{}55553320.250.75k k k k k P X P X k C -==>===∑∑332445550.250.750.250.750.250.1035C C =++≈13．保险行业在全国举行羽毛球对抗赛，该行业形成一个羽毛球总队，该队是由各地区的部分队员形成．根据以往的比赛知，总队羽毛球队实力较甲地区羽毛球队强，但同一队中队员之间实力相同，当一个总队运功员与一个甲地区运动员比赛时，总队运动员获胜的概率为0.6，现在总队、甲队双方商量对抗赛的方式，提出三种方案：（1）双方各出3人；（2）双方各出5人；（3）双方各出7人．3种方案中得胜人数多的一方为胜利．问：对甲队来说，哪种方案有利？解设以上三种方案中第i 种方案甲队得胜人数为(1,2,3),i X i =则上述3种方案中，甲队胜利的概率为（1）{}331322(0.4)(0.6)0.352k k k k P X C -=≥=≈∑（2）{}552533(0.4)(0.6)0.317k k k k P X C -=≥=≈∑（3）{}773744(0.4)(0.6)0.290kk k k P X C -=≥=≈∑因此第一种方案对甲队最为有利．这和我们的直觉是一致的。

中北大学概率统计习题册第二章完整答案(详解)说课讲解

中北大学概率统计习题册第二章完整答案(详解)收集于网络，如有侵权请联系管理员删除1.设X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤<≤=111000)(2x x Ax x x F确定A 并求{}7.03.0≤<X P 。

解：由()F x 的右连续性得()11lim ()1x A F F x →+==={}()()220.30.70.70.30.70.30.4P X F F <≤=-=-=2. 检查下面数列，指出哪个是分布律，并说明理由,若是分布律,写出其分布函数. (1)5,4,3,2,1,0,15)(==x xx p ；解：由55()115x x xp x ====∑∑及 ()()00,1,,515xp x x =≥=L 知5,4,3,2,1,0,15)(==x xx p 是分布律。

分布函数为0,11/15,123/1523()6/153410/154515x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<=⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎩(2)3,2,1,0,65)(2=-=x x x p 。

解：由253(3)06p -=<知 3,2,1,0,65)(2=-=x x x p 不是分布律。

3. 设离散型随机变量X 的分布列为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3.04.03.0101,求：(1)X 的分布函数；解：010.310()0.70111x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩(2) }21{≤≤-X P 。

解：{12}P X -≤≤()()()21110.30.31F F P X =-+=-=-+=4.某射手的射击命中率为p ，现对一目标连续射击，直到第一次击中为止。

令X 表示到第一次击中为止所用的射击次数，试求X 的概率分布。

解：设i A ={第i 击中目标}，1,2,i =L()()11P X P A p === ()()()12111,1,2,k k k P X k P A A A A p p k --===-=L L5. 已知随机变量X 的密度函数为,01,()(2),12,0,kx x f x k x x <<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其它.试求:收集于网络，如有侵权请联系管理员删除（1）常数k ；解：1211()d d (2)d f x x kx x k x x +∞-∞==+-⎰⎰⎰22k kk =+= 即 1k =（2）X 的分布函数；解： ()()dt x F x f t -∞=⎰()()010112100dt01dt 2dt 12dt 2dt 2xxx t x t t x t t x ≤⎧⎪<≤⎪⎪=⎨+-<≤⎪⎪⎪+->⎩⎰⎰⎰⎰⎰ 22000122112212x x x x x x x ≤⎧⎪⎪<≤⎪=⎨⎪--<≤⎪⎪>⎩（3）13{}22P X <<。

概率论与数理统计(理工类,第四版)吴赣昌主编课后习题答案第二

概率论与数理统计（理工类，第四版）吴赣昌主编课后习题答案第二随机变量及其分布2.1 随机变量习题1随机变量的特征是什么？解答：①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.②随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值. ③随机变量取特定值的概率大小是确定的. 习题2试述随机变量的分类. 解答：①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来，则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.②若X的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随机变量. 习题3盒中装有大小相同的球10个，编号为0,1,2,?,9, 从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率. 解答：分别用ω1,ω2,ω3表示试验的三个结果“小于5”，“等于5”，“大于5”，则样本空间S={ω1,ω2,ω3}, 定义随机变量X如下：X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3 则X取每个值的概率为P{X=0}=P{取出球的号码小于5}=5/10, P{X=1}=P{取出球的号码等于5}=1/10, P{X=2}=P{取出球的号码大于5}=4/10.2.2 离散型随机变量及其概率分布习题1设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2}, 求λ. 解答：由P{X=1}=P{X=2}, 得λe-λ=λ22e-λ, 解得λ=2. 习题2设随机变量X的分布律为P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5, 试求(1)P{12<x> (2)P{1≤X≤3}; (3)P{X3}. </x>解答：(1)P{12<x> 52=P{X=1}+P{X=2}=115+215=15;(2)P{≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3} </x>=115+215+315=25;(3)P{X3}=P{X=4}+P{X=5}=415+515=35.习题3已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值，相应概率依次为12c,34c,58c,716c, 试确定常数c, 并计算P{X1OX≠0}.解答：依题意知，12c+34c+58c+716c=1, 即3716c=1,解得c=3716=2.3125. 由条件概率知P{X1OX≠0}=P{X1,X≠0}P{X≠0}=P{X=-1}P{X≠0} =12c1-34c=24c-3=26.25=0.32. 习题4一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律. 解答：随机变量X的可能取值为3,4,5.P{X=3}=C22?1C53=110, P{X=4}=C32?1C53=310, P{X=5}=C42?1C53=35,所以X的分布律为X 3 4 5 pk 1/10 3/10 3/5 习题5 某加油站替出租车公司代营出租汽车业务，每出租一辆汽车，可从出租公司得到3元.因代营业务，每天加油站要多付给职工服务费60元，设每天出租汽车数X是一个随机变量，它的概率分布如下：X 10 20 30 40 pi 0.15 0.25 0.45 0.15 求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率. 解答：因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为：P{3X60}, 即P{X20}, P{X20}=P{X=30}+P{X=40}=0.6. 就是说，加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为0.6. 习题6 设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1, 当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求：(1)X 的概率分布；(2)P{X≥5};(3)在两次调整之间能以0.6的概率保证生产的合格品数不少于多少?解答：(1)P{X=k}=(1-p)kp=(0.9)k×0.1,k=0,1,2,?;(2)P{X≥5}=∑k=5∞P{X=k}=∑k=5∞(0.9)k×0.1=(0.9)5;(3)设以0.6的概率保证在两次调整之间生产的合格品不少于m 件，则m应满足P{X≥m}=0.6, 即P{X≤m-1}=0.4. 由于P{X≤m-1}=∑k=0m-1(0.9)k(0.1)=1-(0.9)m, 故上式化为1-0.9m=0.4, 解上式得m≈4.85≈5,因此，以0.6的概率保证在两次调整之间的合格品数不少于5. 习题7设某运动员投篮命中的概率为0.6, 求他一次投篮时，投篮命中的概率分布. 解答：此运动员一次投篮的投中次数是一个随机变量，设为X, 它可能的值只有两个，即0和1.X=0表示未投中，其概率为p1=P{X=0}=1-0.6=0.4,X=1表示投中一次，其概率为p2=P{X=1}=0.6. 则随机变量的分布律为X 0 1 P 0.4 0.6 习题8 某种产品共10件，其中有3件次品，现从中任取3件，求取出的3件产品中次品的概率分布. 解答：设X 表示取出3件产品的次品数，则X的所有可能取值为0,1,2,3. 对应概率分布为P{X=0}=C73C103=*****, P{X=1}=C73C31C103=*****, P{X=2}=C71C32C103=*****, P{X=3}=C33C103=1120. X的分布律为X 0123 P ***-********-*****120 习题9 一批产品共10件，其中有7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，取出的产品仍放回去，求直至取到正品为止所需次数X的概率分布. 解答：由于每次取出的产品仍放回去，各次抽取相互独立，下次抽取时情况与前一次抽取时完全相同，所以X的可能取值是所有正整数1,2,?,k,?.设第k次才取到正品(前k-1次都取到次品), 则随机变量X的分布律为P{X=k}=310×310×?×310×710=(310)k-1×710,k=1,2,?. 习题10设随机变量X～b(2,p),Y～b(3,p), 若P{X≥1}=59, 求P{Y≥1}. 解答：因为X～b(2,p),P{X=0}=(1-p)2=1-P{X≥1}=1-5/9=4/9, 所以p=1/3.因为Y～b(3,p), 所以P{Y≥1}=1-P{Y=0}=1-(2/3)3=19/27. 习题11纺织厂女工照顾800个纺绽，每一纺锭在某一段时间τ内断头的概率为0.005, 在τ这段时间内断头次数不大于2的概率. 解答：以X记纺锭断头数，n=800,p=0.005,np=4, 应用泊松定理，所求概率为：P{0≤X≤2}=P{?0≤xi≤2{X=xi}=∑k=02b(k;800,0.005)≈∑k=02P(k;4)=e-4(1+41!+422!)≈0.2381. 习题12设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率. 解答：\\becauseP{X=1}=P{X=2}, 即λ11!e-λ=λ22!e-λ?λ=2,∴P{X=0}=e-2, ∴p=(e-2)4=e-8.2.3 随机变量的分布函数习题1F(X)={0,x-20.4,-2≤x01,x≥0, 是随机变量X的分布函数，则X是___________型的随机变量.解答：离散.由于F(x)是一个阶梯函数，故知X是一个离散型随机变量. 习题2设F(x)={0x0x20≤1,1x≥1 问F(x)是否为某随机变量的分布函数. 解答：首先，因为0≤F(x)≤1,?x∈(-∞,+∞). 其次，F(x)单调不减且右连续，即F(0+0)=F(0)=0, F(1+0)=F(1)=1, 且F(-∞)=0,F(+∞)=1, 所以F(x)是随机变量的分布函数. 习题3已知离散型随机变量X的概率分布为P{X=1}=0.3,P{X=3}=0.5,P{X=5}=0.2,试写出X的分布函数F(x)，并画出图形. 解答：由题意知X的分布律为：X 135 Pk 0.30.50.2 所以其分布函数F(x)=P{X≤x}={0,x10.3,1≤x30.8,3≤x51,x≥5. F(x)的图形见图. 习题4 设离散型随机变量X的分布函数为F(x)={0,x-10.4,-1≤x10.8,1≤x31,x≥3, 试求：(1)X的概率分布；(2)P{X2OX≠1}. 解答：(1) X -113 pk 0.40.40.2 (2)P{X2OX≠1}=P{X=-1}P{X≠1}=23. 习题5 设X的分布函数为F(x)={0,x0x2,0≤x1x-12,1≤x1.51,x≥1.5, 求P{0.4<x≤1.3},p{x> 0.5},P{1.7 <x≤2}. 解答：p{0.4<x≥1.3}="P{1.3}-F(0.4)=(1.3-0.5)-0.4/2=0.6," p{x> 0.5}=1-P{X≤0.5}=1-F(0.5)=1-0.5/2=0.75, P{1.7 <x≤2}=f(2)-f(1.7)=1-1=0. 习题 6 设随机变量x的分布函数为f(x)="A+Barctanx(-∞<x<+∞),"></x≤2}=f(2)-f(1.7)=1-1=0.> </x≤2}.> </x≤1.3},p{x>。

概率论与数理统计习题二及答案

2
此时， PX
2
62
1 2 2
1 62 2
65 2!
1 6 2
15 64
。
5. 某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量 X 服从参数 4 的泊松分布，
问在月初进货时，要进多少才能以 99％的概率充分满足顾客的需要？
解：设至少要进 n 件物品，由题意 n 应满足 PX n 1 0.99, PX n 0.99,
pi
i 1 25
(i 1, 2,3, 4,5) 。
解：要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证 pi 是否满足下列二
个条件：其一条件为 pi 0,i 1,2,，其二条件为 pi 1。
i
依据上面的说明可得（1）中的数列为随机变量的分布律；（2）中的数列不是随机变量
的分布律，因为
PX
10
10
1 5
x
e 5 dx
e2
；
（2）设 Y 表示某顾客五次去银行未等到服务的次数，则 Y 服从 n 5, p e2 的二项
分布，所求概率为
PY 1 PY 0 PY 1
5 0
e
2
0 1 e2
5
5 1
e
2
1 e2
4
1 4e2 1 e2 4
12. 设随机变量 X 服从 N (0,1) ，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）P(X 2.2) ;
P(0 X 1) ；（ 3） X 的分布函数。
解：（ 1）系数
A必须满足
Ae
x
dx
1，由于
e
x
为偶函数，所以
Ae
x
dx
20

概率论与数理统计许承德习题二课后答案

习题二1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.解设i A =‘任取一件是i 等品’ 1,2,3i =，所求概率为13133()(|)()P A A P A A P A =，因为 312A A A =+ 所以 312()()()0.60.30.9P A P A P A =+=+= 131()()0.6P A A P A == 故1362(|)93P A A ==. 2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解设A =‘所取两件中有一件是不合格品’i B =‘所取两件中恰有i 件不合格’ 1, 2.i = 则12A B B =+11246412221010()()()C C C P A P B P B C C =+=+，所求概率为2242112464()1(|)()5P B C P B A P A C C C ===+. 3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.解设A =‘发现是同一颜色’，B =‘全是白色’，C =‘全是黑色’，则 A B C =+，所求概率为336113333611511/()()2(|)()()//3C C P AC P C P C A P A P B C C C C C ====++ 4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率.解设A =‘至少有3张黑桃’，i B =‘5张中恰有i 张黑桃’，3,4,5i =，则345A B B B =++，所求概率为555345()()(|)()()P AB P B P B A P A P B B B ==++51332415133********1686C C C C C C ==++.5．设()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===求()P A B 与()P B A -. 解 ()()()() 1.1()(|) 1.10P A B P A P B P A B P A P B A =+-=-=-= ()()()0.60.40.2P B A P B P AB -=-=-=.6．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。

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P( A B) P( A) 1 P( B) 1 P( A) 3
练习2：设A，B是两个事件，并且 B<A,则下列各式正确的是。
( A) P( A B) P( A) (C ) P( B | A) P( B)
( B) P( AB) P( A) ( D) P( B A) P( B) P( A)
P( A) ?
P(B0 | A) ?
练习5：设事件A，B满足：
0 P( A), P( B) 1, P( A | B) P( A | B) 1
则成立 ( )。 (2)事件A与B互相对立。 (4)事件A与B互相独立。
(1)事件A与B互不相容。 (2)事件A与B不独立。
P( A | B) P( A | B) 1
(2)已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率。
P( A1 A2 ) P( A1 | A2 ) P( A2 )
P( A2 ) P( A2 | B1 )P(B1 ) P( A2 | B2 )P(B2 ) P( A2 | B3 )P(B3 )
1 P( A2 | B1 ) P( A2 | B2 ) P( A2 | B3 ) 3 1 7 8 20 61 3 10 15 25 90
用全概率公式!
2 P( A1 A2 ) 9 20 P( A1 | A2 ) 61 P( A2 ) 61 90
还真的是用全概率公式!
练习4：玻璃杯成箱出售，每箱20只，各箱中有0,1，2只残次品的概率分别为0.8、0.1、0.1。售货员随意取一箱卖给一顾客，该随机取出四只检查，若无次品则买下，否则退回。 (1) 顾客买下该箱的概率。 (2)顾客买下的那箱中确实没有次品的概率。是用全概率公式？
解：设 Bi=“任取一箱其中正好有i件次品”，i=0,1,2，再设A=“顾客买下这一箱”
P( B0 ) 0.8, P( B1 ) 0.1, P( B2 ) 0.1 P( A | B0 ) 1
4 C19 4 P( A | B1 ) 4 C20 5 4 C18 12 P( A | B1 ) 4 C20 19
课本P27 练习11。
（3）从而由条件概率公式求得：
例5、10把钥匙中有3把能打开门, 今任取两把, 求能打开门的概率
解：设事件A={能打开门}
基本事件总数n及有利于
古典概型
的基本事件数为：
例6、为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A与B, 每种系统单独使用时, 其有效的概率系统A为0.92, 系统B为0.93, 在A失灵的条件下, B有效的概率为0.85, 求 (1) 发生意外时, 这两个报警系统至少有一个有效的概率条件概率! (2) B失灵的条件下, A有效的概率解: 设A=“系统A有效”, B=“系统B有效”
练习3：设有来自三个地区的各10名、15名、25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份、5份。现在随机地取一个地区，再从中先后抽出两份报名表。 (1)求先抽到的一份是女生表的概率。 (2)已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率。解：设 Bi=“任取一个报名表它是第i区的”，i=1,2,3 又设 Aj=“第j次取到女生表”， j=1,2
P( A1 A2 ) P( A1 A2 | B1 ) P( B1 ) P( A1 A2 | B2 ) P( B2 ) P( A1 A2 | B3 ) P( B3 ) 还真的是
1 3 7 7 8 5 20 3 10 9 15 14 25 24
2 9
P( AB) P( AB ) P( AB ) P( B) P( B ) 1 P( B)
P( A | B) 1 P( A | B) 1 P( AB) P( AB) P( AB ) P( B) P( A | B) P( A | B)
P( AB) P( A) P( B)
1 P( A B) max P( A), P( B)
2) 当
最大时,
达到最小值
最大最小
问题：P(A∪B)最大能是1.3吗？
例3. 设
解:
兰色阴影代表什么？
例4：已知：
课本P27 练习11。
P( A) 0.3, P( B) 0.4, P( AB) 0.5
求解：
P( B | A B )
B1 B3
B2
1 P ( B1 ) P( B2 ) P( B3 ) 3
(1)求先抽到的一份是女生表的概率。
P( A1 ) P( A1 | B1 ) P( B1 ) P( A1 | B2 ) P( B2 ) P( A1 | B3 ) P( B3 ) 1 P( A1 | B1 ) P( A1 | B2 ) P( A1 | B3 ) 3 1 3 7 5 3 10 15 25 是不是还 29 用全概率 90 公式？
() 1 P A B) P A ( B) ( AB) ( ( ) P P 0.7 0.6 0.5 0.8
() 1
(2)
P A B B P (AB ) P AB ) P BB ) BB ( (
(2) (3)
(4)

P(AB ) P (A ) P (AB ) 0.7 0.2 0.5
由全概率公式得全部产品的合格率P(B)为

由后验概率公式得所求条件概率为
这三个条件概率之和应当为1!
例8：
则下列结论正确的是(
)
解:
例9：
设
,且
试证
证:
例10：下面是一个串并联电路示意图. A、B、C、D、E、 F、G、H 都是电路中的元件. 它们下方的数是它们各自正常工作的概率.求电路正常工作的概率.
例1. 已知证明:
问题：等号（1）、（2）、（3）为什么？
例2：设 AB 是两个事件, 且问: (1) 在什么条件下取得最大值, 并求出 (2) 在什么条件下取得最小值, 并求出解: 由得 1) 当达到最大值最小时, 最小当时, 最大问题：为什么P(A∪B)最小不能是0.6？
解：W＝“电路正常工作”，由于各元件独立工作，有
其中
代入得
练习1：设A，B是相互独立的事件，P(A∪B)=0.6， P(A)=0.4，求P(B)。
P( A B) P( A) P( B) P( AB) P( A B) P( A) P( B) P( A) P( B)
1 P( A) P(B) P( A B) P( A)
(1)两个系统至少一个有效的事件为A∪B, 其对立事件为两个系统都失效,
(2)B失灵条件下A有效的概率为
例7、用3个机床加工同一种零件, 零件由各机床加工的概率分别为0.5, 0.3, 0.2, 各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94, 0.9, 0.95, (1)求任取一件产品的合格率.(2)如果取到的一件产品不合格它最可能由哪台生产的？解: 设A1,A2,A3零件由第1,2,3个机床加工, B 为产品合格,A1,A2,A3构成完备事件组.