甘肃省兰州市2017年高考诊断考试数学(理)试卷
2017届甘肃省高三下学期第四次校内诊断考试数学(理)试题Word版含解析
2017届甘肃省高三下学期第四次校内诊断考试数学（理）试题一、选择题1．已知集合1{|1}2xA x ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭， 2{|280}B x x x =--≤，则A B ⋂=（ ）A. {|20}x x -≤≤B. {|24}x x ≤≤C. {|04}x x ≤≤D. {|2}x x ≤- 【答案】C【解析】因为{|0}A x x =≥， {|24}B x x =-≤≤，所以{|04}A B x x ⋂=≤≤，应选答案C 。
2．若复数z 满足1ziz i=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为（ ）A.2【答案】A【解析】因为z i zi -=，所以()11111222i z i i i i ==+=-+-，则11222z i =-+=，应选答案A 。
3．下列4个命题中正确命题的个数是（ ）①对于命题0:p x R ∃∈，使得2010x -≤，则:p x R ⌝∀∈，都有210x ->； ②已知()22,,(2)0.5X N P x σ~>=；③已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为()4,5，则回归直线方程为ˆ23yx =-； ④“1x ≥”是“12x x+≥”的充分不必要条件 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D【解析】特称命题的否定只需将特称量词变为全称量词，并将结论否定即可．①正确；由已知()22,X N σ~知，曲线的对称轴为2x =，则(2)0.5P x >=，故 ②正确；样本中心点满足回归直线方程，由回归直线的斜率估计值可求得回归直线方程．③正确；由1x ≥．结合基本不等式可得12x x +≥， 反之，由12x x+≥得0x >．故“1x ≥”是“12x x+≥”的充分不必要条件．④正确．故本题选D ． 4．已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，直线6x π=是它的一条对称轴，且2,03π⎛⎫⎪⎝⎭是离该轴最近的一个对称中心，则ϕ=（ ） A ．4π B ．3π C ．2π D ．34π【答案】B【解析】试题分析：由直线6x π=是它的一条对称轴，且2,03π⎛⎫⎪⎝⎭是离该轴最近的一个对称中心，可得 1224362T T ππππ=-=⇒=，所以21w T π==，即()()sin f x x ϕ=+，又因为直线6x π=是它的一条对称轴，且2,03π⎛⎫⎪⎝⎭是离该轴最近的一个对称中心，则()sin 166f ππϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以623πππϕϕ+=⇒=，故选B ．【考点】三角函数的图象与性质．5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A. 14B. 15C. 16D. 17 【答案】C【解析】第一次循环： 221120log log ,2123S n +=+==+ ，不满足3S <-；第二次循环： 22log ,34S n == ，不满足3S <-；第三次循环： 22log ,45S n == ，不满足3S <-；第一次循环：22log ,56S n == ，不满足3S <-； ⋅⋅⋅ ；第十五次循环： 22log ,1617S n == ，满足3S <-； 16n = 。
【甘肃省】2017年高三第二次高考诊断考试理科数学试卷（附答案）
甘肃省2017年高三第二次高考诊断考试理科数学试卷第I 卷(共60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.X + ]1. 己知集合A = (-2,-1,0,1,2,3), B = [x\-—<0),则 A B=()x — 2A. (-2,-1,0,1,2,3} B. {-1,0,1,2} C. {-1,2}D. {0,1)Z7 — i2. 设i 是虚数单位，如果复数z =竺」，其实部与虚部互为相反数，那么实数。
=()2 + iA. -3B. 3C. --D.-3 33. 抛掷两枚骰子，记事件A 为“朝上的2个数之和为偶数”，事件3为“朝上的2个数均为偶数”，则P(B|A)=( )A. 181厂24 51 D.-24.已知实数x ，、满足<2.r+y-4>0x-y-l<0 ,贝\\z = x-3y 的最大值是()A. 2心口 1 八 1B . —C.c 17D.---2 35.圆心为(4,0)且与直线后x-y = O 相切的圆的方程为()2A. (a --4)2+j 2 =1B. (x-4)2 +/ =12C. (x-4)2+y 2=6D. (x + 4)2+y 2=96.如图所示，四面体的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，贝1|四面体ABCQ 的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)()A.①②⑥B.①②③C.④⑤⑥D.③④⑤7.某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元（红包中金额相同视为相同红包），则甲、乙都抢到红包的情况有（）A.18种B.24种C.36种D.48种8.某品牌洗衣机专柜在国庆期间举行促销活动，茎叶图中记录了每天的销售量（单位：台），把这些数据经过如图所示的程序处理后，输出的S=（）~0~2633 345A.28B.29C.196D.2039.已知三棱锥S-ABC的各顶点都在一个球面上，'KBC所在截面圆的圆心。
2017年甘肃省高考数学试卷(理科)(全国新课标ⅱ)
2017年甘肃省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i2．（5分）设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}3．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π5．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（）A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．96．（5分）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种7．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩8．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（）A．2 B．3 C．4 D．59．（5分）若双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2 B．C．D．10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（）A．﹣1 B．﹣2e﹣3C．5e﹣3 D．112．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
甘肃省2017年高考数学一诊试卷(理科)(解析版)
2017年甘肃省高考数学一诊试卷(理科)一、选择题(每小题5分)1.已知集合A={1，2，3}，B={x € Z| (x+2 ) (x-3)v 0}，则A U B ( )A. {1} B . { - 1, 0, 1 , 2, 3}C . {1 , 2} D . {0 , 1, 2, 3} 2•已知z是复数，且二二=1+i，则z在复平面内对应的点的坐标为( )1A . (- 3, 1)B . (- 3，- 1) C. (1，- 3) D . (- 1 , - 3)3. 我国古代数学名著《九章算术》有米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石,验得米内夹谷，抽样取米一把，数得224粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )A . 169 石B . 192 石C. 1367 石 D . 1164 石4. 已知直线I与平面a相交但不垂直，m为空间内一条直线，则下列结论一定不成立的是( )B . m±I, m //a C. m H I, m QaM ? D . m 丄I, m丄a5. 在等差数列{a n}中，a什a2=1 , a2016+a2017=3, S n是数列{a n}的前n项和，贝U S2017=(6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(2 2 27. 若圆x +y +4x - 2y - a =0截直线x+y+5=0所得弦的长度为2，则实数a=(B . - 2 C. ± 4 D . 4A . m±I, m? aA. 6051B. 4034C. 2017D. 1009A . 4+2电'】nB . 8+2电‘】n C.2^2~3~&如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是(。
〖真题〗2017年甘肃省高考数学试卷及答案(理科)(全国新课标ⅱ)
2017年甘肃省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i2．（5分）设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}3．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π5．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值是（）A．﹣15B．﹣9C．1D．96．（5分）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种7．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩8．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a＝﹣1，则输出的S＝（）A．2B．3C．4D．59．（5分）若双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2B．C．D．10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）若x＝﹣2是函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（）A．﹣1B．﹣2e﹣3C．5e﹣3D．112．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（）A．﹣2B．﹣C．﹣D．﹣1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届甘肃省兰州市2017级高三诊断考试数学(理)试卷及解析
2020届甘肃省兰州市2017级高三诊断考试数学（理）试卷★祝考试顺利★第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有项是符合题目要求的1.已知集合{}0,1,2,3,4,5A =,{}*2,B x x n n N ==∈,则A B =I （ ） A. {}0,2,4 B. {}2,4 C. {}1,3,5 D. {}1,2,3,4,5【答案】B【分析】根据交集定义求解．【详解】因为集合{}0,1,2,3,4,5A =,{}*2,B x x n n N ==∈, 所以{2,4}A B ⋂=,故选：B ．2.已知复数5i 22i z =+-,则z =（ ）A. 5 C. 13 【答案】B【解析】【分析】首先进行除法运算化简z ,再求模即可.【详解】因为5i 5(2)2212i 2i 5i i z +=+=+=+-,所以z =. 故选：B3.已知非零向量a r ,b r 给定:p R λ∃∈,使得λa b =r r ,:q a b a b +=+r r r r ,则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分析各个命题中向量a r ,b r 的关系,然后根据充分必要条件的定义确定．【详解】:p R λ∃∈,使得λa b =r r ,则a r ,b r 共线, :q a b a b +=+r r r r 等价于a r ,b r 同向, 因此p 是q 的必要不充分条件． 故选：B ．4.若21tan 5722sin cos 1212tan 2αππα-=,则tan α=（ ） A 4B. 3C. -4D. -3【答案】C【解析】【分析】 对等式两边分别化简,然后可求值． 【详解】5712sincos 2sin()cos()2cos sin sin 1212212212121262πππππππππ=-+=-=-=-, 221tan 222tan tan 2tan 221tan 2ααααα-==-, ∴21tan 2α=-,tan 4α=-． 故选：C ．5.已知双曲线()2222100x y a b a b -=＞，＞的一条渐近线过点（2,﹣1）,则它的离心率。
【甘肃省】2017年高三第二次高考诊断考试理科数学试卷-答案
∴ PB BC ． 由（1）知， DB 平面PBC ，以 B 为坐标原点，建立如图所示坐标系 B-xyz，
2/7
则 P(0,0, 3) ， D(1,0,0) ， C(0, 3,0) ， E(1, 2 3 ,0) ， DP (1,0, 3) ， DE (0, 2 3 ,0) ．
S
1 2
|
AB
|
(h1
h2 )
2( 2 1) 2
2 2 1 ．
2 1
由题意知， S a2 2 ，所以 2 2 1 2 3 ．将 3 代入①式 m 1 k 1．
33
3
21．解：（1）
f (x) ex
1 (x 1)2
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17~23．略
6/7
7/7
令
f (x) ex
1 (x 1)2
0 ，得 x 0 ．
设 r(x)
ex
(x
1 1)2
，则 r(x)
ex
(x
2 1)3
．
当 x 1时， r(x) 0 ， r(x) 在 (1, ) 上是单调增函数，
故而， x 0 是 r(x) 在 (1, ) 内的唯一零点，即 x 0 是 f (x) 在 (1, ) 内的唯一零点．
．
1/7
18．（1）计算 10 块种植地的综合指标，可得下表：
编号
A BCDE FGH I J
综合指标 1 5 2 4 3 4 6 1 5 3
由上表可知：等级为一级的有 5 个，其频率为 1 ． 2
(甘肃)高三数学-甘肃省武威2017届高三上学期第三次诊断数学试卷(理科) Word版含解析
2016-2017学年甘肃省武威高三（上）第三次诊断数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知集合M={x|﹣3＜x≤5}，N={x|﹣5＜x＜5}，则M∩N=（）A．{x|﹣5＜x＜5}B．{x|﹣3＜x＜5}C．{x|﹣5＜x≤5}D．{x|﹣3＜x≤5} 2．已知复数z=1﹣2i，那么=（）A．B．C．D．3．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则=（）A．2 B．C．D．34．曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣25．函数f（x）=log2x与g（x）=（）x﹣1在同一直角坐标系中的图象是（）A．B．C．D．6．已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B．C．5 D．257．函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．38．如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14 B．21 C．28 D．359．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2D．a3＞b310．已知向量=（2，1），=（x，﹣2），若∥，则+等于（）A．（﹣2，﹣1）B．（2，1）C．（3，﹣1）D．（﹣3，1）11．函数f（x）在定义域R上不是常数函数，且f（x）满足条件：对任意x∈R，都有f（2+x）=f（2﹣x），f（1+x）=﹣f（x），则f（x）是（）A．奇函数但非偶函数B．偶函数但非奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．是非奇非偶函数12．将函数y=sin（6x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是（）A．B．C．D．二、填空题：（每小题5分，共20分）13．定义M﹣N={x|x∈M且x∉N}，若M={1，3，5，7，9}，N={2，3，5}，则M﹣N=．14．已知α为第三象限的角，，则=．15．在△ABC中，AB=7，BC=5，CA=6，则•=．16．已知：A={x||x﹣1|＜2}，B={x|﹣1＜x＜m+1}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围．三、解答题.17．已知集合A={x|x2﹣3x﹣10≤0}．（1）若B⊆A，B={x|m+1≤x≤2m﹣6}，求实数m的取值范围；（2）若A⊆B，B={x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围．18．S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3（I）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和．19．在△ABC中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量=（1，cosA﹣1），=（cosA，1）且满足⊥．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若a=，b+c=3 求b、c的值．20．如图，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB=a（a＞2），BC=2，且AE=AH=CF=CG，设AE=x，绿地面积为y．（1）写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；（2）当AE为何值时，绿地面积y最大？21．已知向量=（1，7），=（5，1），=（2，1），点Q为直线OP上一动点．（Ⅰ）当，求的坐标；（Ⅱ）当取最小值时，求的坐标．22．已知函数f（x）=x2+alnx．（Ⅰ）当a=﹣2时，求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若g（x）=f（x）+在[1，+∞）上是单调增函数，求实数a的取值范围．2016-2017学年甘肃省武威高三（上）第三次诊断数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知集合M={x|﹣3＜x≤5}，N={x|﹣5＜x＜5}，则M∩N=（）A．{x|﹣5＜x＜5}B．{x|﹣3＜x＜5}C．{x|﹣5＜x≤5}D．{x|﹣3＜x≤5}【考点】交集及其运算．【分析】由题意已知集合M={x|﹣3＜x≤5}，N={x|﹣5＜x＜5}，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解：∵集合M={x|﹣3＜x≤5}，N={x|﹣5＜x＜5}，∴M∩N={x|﹣3＜x＜5}，故选B．2．已知复数z=1﹣2i，那么=（）A．B．C．D．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】复数的分母实数化，然后化简即可．【解答】解：=故选D．3．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则=（）A．2 B．C．D．3【考点】等比数列的前n项和．【分析】首先由等比数列前n项和公式列方程，并解得q3，然后再次利用等比数列前n项和公式则求得答案．【解答】解：设公比为q，则===1+q3=3，所以q3=2，所以===．故选B．4．曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】欲求在点（﹣1，﹣1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=﹣1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=，∴y′=，=2，得切线的斜率为2，所以k=2；所以k=y′|x=﹣1所以曲线y=f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为：y+1=2×（x+1），即y=2x+1．故选A．5．函数f（x）=log2x与g（x）=（）x﹣1在同一直角坐标系中的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】判断对数函数的图象，判断指数函数的图象，然后推出结果即可．【解答】解：函数f（x）=log2x是增函数经过（1，0）点，所以A不正确；g（x）=（）x﹣1在是减函数，经过（0，2）所以B、C不正确；故选：D．6．已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B．C．5 D．25【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．【解答】解：∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选C．7．函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】根据函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内单调递增，f（0）f（1）＜0，可得函数在区间（0，1）内有唯一的零点【解答】解：由于函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内单调递增，又f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，所以f（0）f（1）＜0，故函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内有唯一的零点，8．如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14 B．21 C．28 D．35【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的性质求解．【解答】解：a3+a4+a5=3a4=12，a4=4，∴a1+a2+…+a7==7a4=28故选C9．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2D．a3＞b3【考点】充要条件．【分析】利用不等式的性质得到a＞b+1⇒a＞b；反之，通过举反例判断出a＞b 推不出a＞b+1；利用条件的定义判断出选项．【解答】解：a＞b+1⇒a＞b；反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1，故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件．故选：A．10．已知向量=（2，1），=（x，﹣2），若∥，则+等于（）A．（﹣2，﹣1）B．（2，1）C．（3，﹣1）D．（﹣3，1）【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的坐标运算．【分析】根据题意，由向量平行的判断方法，可得2x﹣2=0，解可得x的值，即可得的坐标，由向量加法的坐标运算方法，可得答案．【解答】解：根据题意，向量=（2，1），=（x，﹣2），若∥，则有1•x=2•（﹣2），即x=﹣4，即=（﹣4，﹣2），则+=（﹣2，﹣1），11．函数f（x）在定义域R上不是常数函数，且f（x）满足条件：对任意x∈R，都有f（2+x）=f（2﹣x），f（1+x）=﹣f（x），则f（x）是（）A．奇函数但非偶函数B．偶函数但非奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．是非奇非偶函数【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据对任意x∈R，都有f（2+x）=f（2﹣x），f（1+x）=﹣f（x），知f （2+x）=f[1+（1+x）]=﹣f（1+x）=f（x），f（2﹣x）=f[1+（1﹣x）]=﹣f（1﹣x）=f（﹣x），故f（x）为偶函数，反之易得函数f（x）不可能为奇函数，即可得答案．【解答】解：∵对任意x∈R，都有f（2+x）=f（2﹣x），f（1+x）=﹣f（x）∴f（2+x）=f[1+（1+x）]=﹣f（1+x）=f（x），f（2﹣x）=f[1+（1﹣x）]=﹣f（1﹣x）=f（﹣x）∴f（x）=f（﹣x）故f（x）为偶函数又∵既是奇函数又是偶函数只有常数函数，函数f（x）在定义域R上不是常数函数∴函数f（x）不可能为奇函数故选B12．将函数y=sin（6x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由题意根据伸缩变换、平移变换求出函数的解析式，然后求出函数的一个对称中心即可．【解答】解：横坐标伸长到原来的3倍则函数变为y=sin（2x+）（x系数变为原来的），函数的图象向右平移个单位，则函数变为y=sin[2（x﹣）+]=sin2x；考察选项不难发现就是函数的一个对称中心坐标．故选D二、填空题：（每小题5分，共20分）13．定义M﹣N={x|x∈M且x∉N}，若M={1，3，5，7，9}，N={2，3，5}，则M﹣N={1，7，9} ．【考点】元素与集合关系的判断．【分析】直接利用新定义，求出M﹣N即可．【解答】解：因为定义M﹣N={x|x∈M且x∉N}，若M={1，3，5，7，9}，N={2，3，5}，所以M﹣N={1，7，9}．故答案为：{1，7，9}．14．已知α为第三象限的角，，则=．【考点】两角和与差的正切函数；象限角、轴线角；同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正弦．【分析】方法一：由α为第三象限的角，判断出2α可能的范围，再结合又＜0确定出2α在第二象限，利用同角三角函数关系求出其正弦，再由两角和的正切公式展开代入求值．方法二：判断2α可能的范围时用的条件组合方式是推出式，其它比同．【解答】解：方法一：因为α为第三象限的角，所以2α∈（2（2k+1）π，π+2（2k+1）π）（k∈Z），又＜0，所以，于是有，，所以=．方法二：α为第三象限的角，，⇒4kπ+2π＜2α＜4kπ+3π⇒2α在二象限，15．在△ABC中，AB=7，BC=5，CA=6，则•=﹣19．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用余弦定理可得cosB，再由向量的数量积的定义，注意向量的夹角为钝角，计算即可的所求值．【解答】解：在△ABC中，AB=7，BC=5，CA=6，由余弦定理可得cosB===，可得•=﹣||•||•cosB=﹣7×5×=﹣19．故答案为：﹣19．16．已知：A={x||x﹣1|＜2}，B={x|﹣1＜x＜m+1}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围（2，+∞）．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】先通过解绝对值不等式化简集合A；将“若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A”转化为A⊂B，利用集合的包含关系求出m的范围．【解答】解：A={x||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x＜3}要使x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A即A⊆B∴m+1＞3解得m＞2故答案为（2，+∞）．三、解答题.17．已知集合A={x|x2﹣3x﹣10≤0}．（1）若B ⊆A ，B={x |m +1≤x ≤2m ﹣6}，求实数m 的取值范围； （2）若A ⊆B ，B={x |m ﹣6≤x ≤2m ﹣1}，求实数m 的取值范围． 【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】（1）先求出A={x |﹣2≤x ≤5}，若B ⊆A ，则：B=∅时，m +1＞2m ﹣6，即m ＜7；B ≠∅时，无解，即得m 的取值范围； （2）若A ⊆B ，则m 应满足，解该不等式组即得m 的取值范围．【解答】解：A={x |﹣2≤x ≤5}； （1）∵B ⊆A ；∴①若B=∅，则m +1＞2m ﹣6，即m ＜7，此时满足B ⊆A ； ②若B ≠∅，则，无解．由①②得，m 的取值范围是（﹣∞，7）； （2）若A ⊆B ，则，解得3≤m ≤4；∴m 的取值范围是[3，4]．18．S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n ＞0，a n 2+2a n =4S n +3 （I ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n =，求数列{b n }的前n 项和．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I ）通过a n 2+2a n =4S n +3与a n +12+2a n +1=4S n +1+3作差可知a n +1﹣a n =2，进而可知数列{a n }是以3为首项、2为公差的等差数列，计算即得结论； （Ⅱ）通过（I ）可知a n =2n +1，裂项可知b n =（﹣），并项相加即得结论．【解答】解：（I ）∵a n 2+2a n =4S n +3， ∴a n +12+2a n +1=4S n +1+3，两式相减得：a n +12﹣a n 2+2a n +1﹣2a n =4a n +1， 整理得：a n +12﹣a n 2=2（a n +1+a n ），又∵a n＞0，∴a n﹣a n=2，+1又∵a12+2a1=4a1+3，∴a1=3或a1=﹣1（舍），∴数列{a n}是以3为首项、2为公差的等差数列，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1；（Ⅱ）由（I）可知a n=2n+1，∴b n===（﹣），∴数列{b n}的前n项和为：（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）=•．19．在△ABC中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量=（1，cosA﹣1），=（cosA，1）且满足⊥．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若a=，b+c=3 求b、c的值．【考点】解三角形；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】（Ⅰ）利用向量的数量积为0，建立方程，即可求A的大小；（Ⅱ）由余弦定理可得bc=2与条件联立，即可求得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵向量=（1，cosA﹣1），=（cosA，1）且满足⊥，∴cosA+cosA﹣1=0，∴cosA=，∵A为△ABC内角，∴A=60°（Ⅱ）∵a=，A=60°，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得a2=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA∵b+c=3，∴3=9﹣3bc，bc=2∴，解得或20．如图，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB=a（a＞2），BC=2，且AE=AH=CF=CG，设AE=x，绿地面积为y．（1）写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；（2）当AE为何值时，绿地面积y最大？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）利用y=S ABCD﹣2（S△AEH+S△BEF），化简即得结论；（2）通过（1）可知y=﹣2x2+（a+2）x的图象为开口向下、对称轴是的抛物线，比较与2的大小关系并结合函数的单调性即得结论．【解答】解：（1）依题意，，，∴，由题意，解得：0＜x≤2，∴y=﹣2x2+（a+2）x，其中0＜x≤2；（2）∵y=﹣2x2+（a+2）x的图象为抛物线，其开口向下、对称轴是，∴y=﹣2x2+（a+2）x在上递增，在上递减，若，即a＜6，则时，y取最大值；若，即a≥6，则y=﹣2x2+（a+2）x，0＜x≤2是增函数，故当x=2时，y取最大值2a﹣4；综上所述：若a＜6，则时绿地面积取最大值；若a≥6，则AE=2时绿地面积取最大值2a﹣4．21．已知向量=（1，7），=（5，1），=（2，1），点Q为直线OP上一动点．（Ⅰ）当，求的坐标；（Ⅱ）当取最小值时，求的坐标．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】（Ⅰ）由可设OP所在直线方程，点Q在直线OP上，设出Q 点的坐标，用一个字母表示，然后把点的坐标代入即可求解；（Ⅱ）把化为含有Q点的坐标的二次函数，借助于二次函数求最值．【解答】解：（Ⅰ）由P（2，1）知，直线OP的方程为，所以可设Q（2t，t），因为，所以，所以（1﹣2t，7﹣t）•（2，1）=0，所以（1﹣2t）×2+（7﹣t）×1=0，解得：．所以的坐标是．（Ⅱ）由（Ⅰ）得因为t∈R，所以当t=2时，取得最小值，此时的坐标是（4，2）．22．已知函数f（x）=x2+alnx．（Ⅰ）当a=﹣2时，求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若g（x）=f（x）+在[1，+∞）上是单调增函数，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．当a=﹣2时，=，由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间和极值．（Ⅱ）由g（x）=x2+alnx+，得，令φ（x）=，则φ′（x）=﹣．由此利用导数性质能求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x2+alnx，∴函数f（x）的定义域为（0，+∞）．当a=﹣2时，=．当x变化时，f′（x）和f（x）的值的变化情况如下表：1（1，+∞）x（0，1）f′（x）﹣0+f（x）递减极小值递增由上表可知，函数f（x）的单调递减区间是（0，1）、单调递增区间是（1，+∞）、极小值是f（1）=1．（Ⅱ）由g（x）=x2+alnx+，得．若函数g（x）为[1，+∞）上的单调增函数，则g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即不等式2x﹣+≥0在[1，+∞）上恒成立．也即a≥在[1，+∞）上恒成立．令φ（x）=，则φ′（x）=﹣．当x∈[1，+∞）时，φ′（x）=﹣﹣4x＜0，∴φ（x）=在[1，+∞）上为减函数，∴φ（x）max=φ（1）=0．∴a≥0．∴a的取值范围为[0，+∞）．。
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甘肃省兰州市2017年高考诊断考试数学（理）试卷
第Ⅰ卷
一、选择题
1．已知集合()(){}310M x x x =-+≥，{}
22N x x =-≤≤，则M
N =（ ）
A ．[]2,1-
B ．[]1,2-
C ．[]1,1-
D ．[]1,2 2．已知复数z 满足()3425i z -=，则z =（ ）
A ．34i --
B ．34i -+
C ．34i +
D ．34i - 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n s ，若35724a a a ++=，则9s =（ ） A ．36 B ．72 C ．144 D ．288
4．已知某种商品的广告费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据：
根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则表中的值为
（ ）
A ．45
B ．50
C ．55
D ．60 5．下列命题中，真命题为（ ） A ．0x R ∃∈，00x e ≤ B ．x R ∀∈，22x x >
C ．已知,a b 为实数，则0a b +=的充要条件是
1a
b
=- D ．已知,a b 为实数，则1a >，1b >是1ab >的充分不必要条件 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．(9π+
B ．(9π+
C ． (10π+
D ．(10π+
7．设变量,x y 满足不等式组3123x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪-≤⎩
，则22x y +的最小值是（ ）
A
B ．92
C
D
8．如图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算法》中的“更相减损术”，执行该程序
框图，若输入,,a b i 的值分别为6,8,0，则输入的i =（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 9．
已知圆(()2
2
:11C x y +-=和两点(),0A t -，(),0B t ，()0t >，
若圆C 上存在点P ，使得90APB ︒∠=，则当t 取得最大值时，点P 的坐标是（ ） A ．
3,22⎛ ⎝⎭ B
．322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
C ．
32⎛ ⎝⎭ D
．32⎫
⎪⎪⎝⎭
10．函数()()s i n ,0,2f
x x x
R πω
ϕωϕ⎛
⎫
=+∈><
⎪⎝
⎭的部分图像如图所示：如果1223
x x π
+=，则()()12f x f x +=（ ）
A
B
C ．0
D ．12
- 11．已知12,F F 为双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左，右焦点，点P 为双曲线C 右支上一点，直线1PF 与
圆222
x y a +=相切，且212PF F F =，则双曲线C 的离心率为（ ）
A
B ．43
C ．53
D ．2 12．设函数()f x 在R 上的导函数为()'f x ，对x R ∀∈有()()2
f x f x x +-=，在()0,+∞上，()'0f x x -<，
若()()484f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞ B ．(],2-∞ C ．(]
[),22,-∞+∞ D ．[]2,2-
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题
13．22cos 165sin 15-=________________．
14．(
)6
1x x
-的展开式中，2x 项的系数为________________．（用数字作答）
15．已知在三棱锥P ABC -
中，P ABC V -=
4APC π∠=，3
BPC π∠=，PA AC ⊥，PB BC ⊥，且平面PAC ⊥平面PBC ，那么三棱锥P ABC -外接球的体积为________________．
16．已知数列{}n a 中，11,n a S =为数列{}n a 的前n 项和，且当2n ≥时，有2
21n
n n n
a a S S =-成立，则2017S =________________． 三、解答题
17．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin cos 0a B b A +=．
（Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若a =2b =，求ABC ∆的面积S ．
18．随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关心的话题，为了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组在某社区随机抽取了50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：
经调查年龄在[)25,30，[)55,60的被调查者中赞成“延迟退休”的人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查．
（Ⅰ）求年龄在[)25,30的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休”的概率；
（Ⅱ）若选中的4人中，不赞成“延迟退休”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 19．在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，13AA =，点D 为BC 的中点．
（Ⅰ）求证：1//A B 平面11AC D ；
（Ⅱ）若点E 为1A C 上的点，且满足()1A E mEC m R =∈，若二面角E AD C --，求实数m 的值．
20．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>经过点
)
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设,M N 是椭圆上的点，直线OM 与ON （O 为坐标原点）的斜率之积为1
2
-
．若动点P 满足2OP OM ON =+，试探究是否存在两个定点12,F F ，使得12PF PF +为定值？若存在，求12,F F 的坐标；
若不存在，请说明理由． 21．已知函数()11n x
f x x ax
-=
+在()1,+∞上是增函数，且0a >． （Ⅰ）求a 的取值范围； （Ⅱ）若0b >，试证明
11n a b a a b b b
+<<+． 请考生在22、23两题中任选一题作答．注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程．
在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为325
45x t y t ⎧
=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数，t R ∈），以原点O 为极点，x 正半轴
为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为()sin 0a a ρθ=≠． （Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程； （Ⅱ）设直线l 截圆C
a 的值． 23．选修4-5：不等式选讲． 已知函数(
)f x =
R ．
（Ⅰ）求m 的取值范围；
（Ⅱ）若m 的最大值为n ，解关于x 的不等式：3224x x n --≤-．。