第三课时：§1.3简单绝对值不等式与一元二次不等式的解法

第三课时：§1.3简单绝对值不等式与一元二次不等式的解法
教学目的：①知识目标：掌握简单绝对值不等式、一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)及简单应用．
②能力目标：能灵活运用“三个二次”解相关问题
③情感目标：通过数形结合，学会“享受”解数学题带乐趣，感受其中的美。

教学重点、难点及其突破：重点是掌握去掉绝对值符号的方法；难点是含绝对值的不等式与其它内容的综合问题．解不等式的问题灵活性比较高，对于含有字母系数的二次不等式是一类较常见的题目，由于这类问题与相应的二次方程，二次函数关系密切，故应就二次项系数的正、负情况，判别式的情况以及根的情况加以讨论．
教学方法：讲练结合
高考要求及学法指导：本节内容考查方式主要有两种：一是单独考查，二是作为中间过程常与函数、不等式、三角，解析几何综合进行考查，试题以容易题和中档题为主．含绝对值的各种不等式的解法，其基本原则是去掉绝对值符号；注意分类讨论思想的运用。

知识网络：
教学过程：
一、知识点复习：
1、一元二次不等式的标准形式是： >0或，（其中a>0）从函数观点来看，一元二次不等式(a>0)的解集是二次函数在x 轴上方的点的横坐标的集合，而一元二次方程=0(a>0)的根就是相应的一次函数与x 轴交点的横坐标．因此，要解一元二次不等式，只要先解相应的一元二次方程即可．
2、一元二次不等式的解集与一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系分类列表如下（下页）：
3、二次函数的解析式有三种形式：
，
，
其中a≠0，要学会根据不同的情况合理选用． 4、二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为a
b x 2-=，当a>0时，抛物线开口向上，
当a<0时，抛物线开口向下，当
时，二次函数的图象与x 轴有两个交点
，
，则
a
∆
５、简单分式不等式的解法 （1）形如
)
()(x g x f ＞０型：
)
()(x g x f ＞０)()(x g x f ⋅⇔＞０⎩⎨
⎧>>⇔0
)(0)(x g x f 或⎩⎨
⎧<<⇔0
)(0)(x g x f
2
（2）形如
)
()(x g x f ＜０型：
)
()(x g x f ＜０)()(x g x f ⋅⇔＜０⎩⎨
⎧<>⇔0
)(0)(x g x f 或⎩⎨
⎧><⇔0
)(0)(x g x f
（３）形如≥０型：)()
(x g x f ≥０⎩
⎨⎧≠≥⋅⇔0)(0
)()(x g x g x f
（4）形如≤０型：
)
()(x g x f ≤０⎩⎨
⎧≠≤⋅⇔0
)(0)()(x g x g x f
二、例题选讲： （一）基础知识扫描 1、不等式 的解集是( )
A.
B.
C.
D. 2、设
，化简
______________________
3、不等式 的解集是______________________
4、若不等式 的整数解只有一个，则实数c 的取值范围是________________
5、不等式
的解集为)2
1,31(
，那么a ，c 为( )
A ．a=6，c=1
B ．a=-6，C=-1
C ．a=1，c=6
D ．a=-1，C=-6
6、不等式
的解集是_________________________________ （二）典型例题分析
题型1：简单绝对值不等式的解法．
例1 解不等式
解 (利用等价转化)原不等式可化为
或
或
或
，原不等式的解集为
本题也可以用图解法（如图）画出
和
的图象．如右图．解方程
可得，
故满足的不等式即原不等式的解集为
例2 (2002年东城区模拟题)解不等式
分析去掉绝对值符号是解题的指导思想，分段讨论是基本方法．
解原不等式等价于
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
+
-
-
-
-
≤
4
2
1
2
2
1
x
x
x
或
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
+
-
+
≤
<
-
4
2
1
2
2
2
1
x
x
x
或
⎩
⎨
⎧
>
-
+
+
>
4
2
1
2
2
x
x
x
即x<-1或1<x≤2或x>2。

∴原不等式的解为
点评 (1)各段的解集要取并集，分界点的找法是令绝对值符号里面的代数式为零得到的解；
(2)本例也可画出图象：和y = 4，求出交点后观察求解．
例3 设对于不大于
4
5
的所有正实数a如果满足不等式
的一切实数x，亦满足不
等式
2
1
，求正实数b的取值范围．
解：设，
2
1
故，)
2
1
,
2
1
(2
2+
-
=a
a
B
由题设知
．故
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+
≤
+
-
≥
-
2
1
2
1
2
2
a
b
a
a
b
a
必成立，
即ｂ≤
2
1
2+
+
-a
a和ｂ≤)
4
5
0(
2
1
2≤
<
+
-a
a
a必成立．
由)
4
5
0(
4
3
)
2
1
(
2
1
2
2≤
<
+
-
-
=
+
+
-a
a
a
a
所以
4
3
2
1
16
3
2≤
+
+
-
≤a
a，从而ｂ≤
16
3
；
4
由4
50(4
1)2
1(2
12
2≤
<+
-
=+-a a a a 所以
16
132
14
12
≤
+
-≤a a
从而ｂ≤
4
1，又因为 b 是正实数，所以 正实数b 的取值范围是]163,
0(
题型３：一元二次不等式的解法及应用．
例4
(2001·全国高考试题)设 解关于x 的不等式：
分析 首先将给出的不等式展开，化简整理，不等式化成最简形式再解． 解 原不等式化为：
整理，得
，
，
，
解得 O≤x≤1，∴不等式的解集为
点评 本题是含有字母的且给出形式较为隐晦的一元二次不等式，必须进行运算、变形、整理，将其变成一元二次不等式标准形式解之．平时一定加强运算能力、恒等变形能力、推理能力的练习和培养，这是我们解答数学问题必须具备的能力．
例5 对于任意实数x ， 对任意实数恒成立，求实数a 的取值范围．
分析 将原不等式变形，再将一元二次不等式与二次函数相联系，借助二次函数图象。

解 原不等式可化为
(1)当a+2=0，即a = - 2时，上式可化为x > 4
3，不满足对任意实数x 恒成立，故a≠－2。

(2)当a+2≠0时，要使上式对任意x 恒成立，则有⎩⎨⎧≤∆>+00
2a 即⎩⎨⎧≤-+-->0
)1)(2(4422a a a 则
a≥2。

三、本节所涉及的数学思想·规律·方法
1、解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，其具体方法有多种，常用的有定义法、平方
法及零点分段法。

2、要熟练掌握一元二次不等式的解法。

解一元二次不等式的主要方法是图象法，这种方法是把一元二次方程、一元二次不等式与二次函数联系起来，从数与形的结合上解决问题，得出一元二次不等式的解集。

一元二次不等式也可以转化为一次不等式组来解或用配方法求解。

3、分式不等式要注意大于或等于0的情况中，分母不为零。

4、在解不等式时，等价转化、分类讨论、函数思想、数形结合等，都是常用的思想方法。

四、作业：《威州中学课时作业》 五、课后记：。