2007年江干初二数学竞赛试题
全国初中数学竞赛试题及答案(2007年)
2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为D C B A ,,,的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1. 已知z y x ,,满足x z z y x +=-=532，则z y y x 25+-的值为 （ ）（A ）1. （B ）31. （C ）31-. （D ）21. 【答】B.解 由x z z y x +=-=532得x z x y 23,3==，所以31333525=+-=+-x x x x z y y x ，故选（B ）.注：本题也可用特殊值法来判断.2．当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算代数式2211x x +-的值，将所得的结果相加，其和等于 （ ）（A ）－1. （B ）1. （C ）0. （D ）2007.【答】C.解 因为=+-++-222211)1(1)1(1n n n n 011112222=+-++-n n n n ，即当x 分别取值n 1，n n (为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0；而当1=x 时，0111122=+-.因此，当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算所得各代数式的值之和为0.故选（C ）. 3. 设c b a ,,是△ABC 的三边长，二次函数2)2(2b a cx x ba y ----=在1=x 时取最小值b 58-，则△ABC 是 （ ）（A ）等腰三角形. （B ）锐角三角形. （C ）钝角三角形. （D ）直角三角形.【答】D.解 由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=---,5822,1)2(2b b a c b a b a c 即⎪⎩⎪⎨⎧==+,53,2b c a c b 所以b c 53=，b a 54=，因此222b c a =+，所以△ABC 是直角三角形. 故选（D ）. 4. 已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（ ）（A ）30°. （B ）45°. （C ）60°. （D ）75°. 【答】C.解 锐角△ABC 的垂心在三角形内部，如图，设△ABC 的外心为O ，D 为BC 的中点，BO 的延长线交⊙O 于点E ，连CE 、AE ，则CE //AH ，AE //CH ，则OD CE AH OB 2===，所以∠OBD ＝30°，∠BOD ＝60°，所以∠A ＝∠BOD ＝60°.故选（C ）.5．设K 是△ABC 内任意一点，△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心分别为D 、E 、F，则ABC DEF S S △△:的值为 （ ）（A ）91. （B ）92. （C ）94. （D ）32. 【答】A.解 分别延长KD 、KE 、KF ，与△ABC 的三边AB 、BC 、CA 交于点M 、N 、P ，由于D 、E 、F 分别为△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心，易知M 、N 、P 分别为AB 、BC 、CA 的中点，所以ABC MNP S S △△41=.易证△DEF ∽△M N P ，且相似比为3:2，所以MNP DEF S S △△2)32(=ABC S △4194⋅=ABC S △91=. 所以:DEF S △19ABC S =△.故选（A ）. 6．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是 （ ）（A ）101. （B ）51. （C ）103. （D ）52. 【答】B.解 设摸出的15个球中有x 个红球、y 个黑球、z 个白球，则z y x ,,都是正整数，且7,6,5≤≤≤z y x ，15=++z y x .因为13≤+z y ，所以x 可取值2，3，4，5.当2=x 时，只有一种可能，即7,6==z y ；当3=x 时，12=+z y ，有2种可能，7,5==z y 或6,6==z y ；当4=x 时，11=+z y ，有3种可能，7,4==z y 或6,5==z y 或5,6==z y ；当5=x 时，10=+z y ，有4种可能，7,3==z y 或6,4==z y 或5,5==z y 或4,6==z y .因此，共有1＋2＋3＋4＝10种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种，所以所求的概率为51102=.故选（B ）. 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1. 设121-=x ，a 是x 的小数部分，b 是x -的小数部分，则=++ab b a 333____1___.解 ∵12121+=-=x ，而3122<+<，∴122-=-=x a . 又∵12--=-x ，而2123-<--<-，∴22)3(-=---=x b .∴1=+b a ，∴=++ab b a 333=++-+ab b ab a b a 3))((221)(3222=+=++-b a ab b ab a . 2. 对于一切不小于2的自然数n ，关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两个根记作n n b a ,（2≥n ），则)2)(2(122--b a )2)(2(133--+b a +)2)(2(120072007--+b a =.10034016- 解 由根与系数的关系得2+=+n b a n n ，22n n a b n ⋅=-，所以=--)2)(2(n n b a (2-n n b a 4)++n n b a 222(2)42(1)n n n n =--++=-+， 则11111()(2)(2)2(1)21n n a b n n n n =-=----++， )2)(2(122--b a )2)(2(133--+b a +)2)(2(120072007--+b a ＝11111111111003()()()()22334200720082220084016⎡⎤--+-++-=--=-⎢⎥⎣⎦. 3. 已知直角梯形ABCD 的四条边长分别为6,10,2====AD CD BC AB ，过B 、D 两点作圆,与BA 的延长线交于点E ，与CB 的延长线交于点F ，则BF BE -的值为____4_____.解 延长CD 交⊙O 于点G ，设DG BE ,的中点分别为点N M ,，则易知DN AM =.因为10==CD BC ，由割线定理，易证DG BF =，所以42)(2)(2==-=-=-=-AB AM BM DN BM DG BE BF BE .4． 若64100+a 和64201+a 均为四位数，且均为完全平方数，则整数a 的值是___17____.AB CD E F G M N解 设264100m a =+，264201n a =+，则100,32<≤n m ，两式相减得 ))((10122m n m n m n a -+=-=，因为101是质数，且101101<-<-m n ，所以101=+m n ，故1012-=-=n m n a .代入264201n a =+，整理得020*******=+-n n ，解得59=n ，或343=n （舍去）.所以171012=-=n a .第二试 （A ）一、 （本题满分20分）设n m ,为正整数，且2≠m ，如果对一切实数t ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离不小于2t n +，求n m ,的值.解 因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为3mt +.由题意，32mt t n+≥+，即22(3)(2)mt t n +≥+，即222(4)(64)90m t m n t n -+-+-≥. 由题意知，042≠-m ，且上式对一切实数t 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2mn m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m 或⎩⎨⎧==.1,6n m 二、（本题满分25分）如图，四边形ABCD 是梯形，点E 是上底边AD 上一点，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线交CD 的延长线于点M ，BM 与AD 交于点N .证明：∠AFN =∠DME . 证明 设MN 与EF 交于点P ，∵NE //BC ，∴△PNE ∽△PBC ，∴PC PE PB PN =, ∴PC PN PE PB ⋅=⋅.又∵ME //BF ，∴△PME ∽△PBF ，∴PF PE PB PM =, ∴PF PM PE PB ⋅=⋅.∴PF PM PC PN ⋅=⋅,故PFPC PN PM = 又∠FPN =∠MPE ，∴△PNF ∽△PMC ，∴∠PNF ＝∠PMC ，∴NF//MC ∴∠ANF ＝∠EDM.又∵ME//BF ，∴∠FAN ＝∠MED.∴∠ANF ＋∠FAN ＝∠EDM ＋∠MED ，∴∠AFN=∠DME.三、 （本题满分25分）已知a 是正整数，如果关于x 的方程056)38()17(23=--+++x a x a x 的根都是整数，求a 的值及方程的整数根.解 观察易知，方程有一个整数根11=x ，将方程的左边分解因式，得[]056)18()1(2=+++-x a x x因为a 是正整数，所以关于x 的方程 056)18(2=+++x a x （1）的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根.而原方程的根都是整数，所以方程（1）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即 224)18)(18(=-+++k a k a .显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以 A B D E F M N P⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a 当39=a 时，方程（1）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-.此时原方程的三个根为1，1-和56-.当12=a 时，方程（1）即056302=++x x ，它的两根分别为2-和28-.此时原方程的三个根为1，2-和28-. 第二试 （B ）一、（本题满分20分）设n m ,为正整数，且2≠m ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为1d ，二次函数nt x n t x y 2)2(2+-+-=的图象与x 轴的两个交点间的距离为2d .如果21d d ≥对一切实数t 恒成立，求n m ,的值.解 因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以31+=mt d ；一元二次方程02)2(2=+-+-nt x n t x 的两根分别为t 2和n -，所以n t d +=22.所以，21d d ≥22)2()3(23n t mt n t mt +≥+⇔+≥+⇔09)46()4(222≥-+-+-⇔n t n m t m （1）由题意知，042≠-m ，且（1）式对一切实数t 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2mn m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m 或⎩⎨⎧==.1,6n m 二、（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同. 三、（本题满分25分）设a 是正整数，二次函数a x a x y -+++=38)17(2，反比例函数xy=，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值. 解 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=,56,38)17(2x y a x a x y 消去y 得a x a x -+++38)17(2x56=，即 056)38()17(23=--+++x a x a x ，分解因式得[]056)18()1(2=+++-x a x x （1）显然11=x 是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点. 因为a 是正整数，所以关于x 的方程 056)18(2=+++x a x（2）的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根. 而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即 224)18)(18(=-+++k a k a .显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a 当39=a 时，方程（2）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-，此时两个函数的图象还有两个交点)56,1(--和)1,56(--.当12=a 时，方程（2）即056302=++x x ，它的两根分别为2-和28-，此时两个函数的图象还有两个交点)28,2(--和)2,28(--.第二试 （C ）一、（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设a 是正整数，如果二次函数a x a x y 710)232(22-+++=和反比例函数xa y 311-=的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值和对应的公共整点.解 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+++=,311,710)232(22x a y a x a x y 消去y 得a x a x 710)232(22-+++＝113a x-，即0113)710()232(223=-+-+++a x a x a x ，分解因式得 []0311)12()12(2=-+++-a x a x x （1）如果两个函数的图象有公共整点，则方程（1）必有整数根，从而关于x 的一元二次方程 0311)12(2=-+++a x a x（2）必有整数根，所以一元二次方程（2）的判别式∆应该是一个完全平方数， 而224)18(10036)311(4)12(222-+=++=--+=∆a a a a a .所以224)18(2-+a 应该是一个完全平方数，设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即224)18)(18(=-+++k a k a . 显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以 ⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a当39=a 时，方程（2）即0106512=-+x x ，它的两根分别为2和53-，易求得两个函数的图象有公共整点)53,2(-和)2,53(-.当12=a 时，方程（2）即025242=-+x x ，它的两根分别为1和25-，易求得两个函数的图象有公共整点)25,1(-和)1,25(-.。
2007年江干初二数学竞赛试题
2007年江干区数学小能手竞赛8年级试卷提示:1．考试时间120分钟,满分120分2．答题前，请在答题卷的密封区内填写准考证号、学校和姓名一、 选择题：（每小题5分，共40分）请把8个选择题中正确答案前的字母填入下面的表格1． 计算20072008(2)(2)-+-所得结果是（ ▲ ）（A ）2 (B) –2 (C) 1 (D) 200722． 设“●，▲，■”分别表示三种不同的物体，如下图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么“？”处应放“■”的个数为 （ ▲ ）●● ▲■ ●■ ▲ ●▲?(1) (2)(3)装 订 线学 姓名 准考证（A ）5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 3.适合关系式27218a a ++-=的整数a 的值的个数是（ ▲ ）（A ）5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 4．若x 为任意实数，那么多项式4324885x x x x -+-+的取值范围是（ ▲ ）（A ）一切实数 (B) 大于或等于5的实数 (C)一切正数 (D) 大于或等于2的实数5.一个三角形的三边长分别为a 、b 、c （a 、b 、c 均为质数），且满足a +b +c =16.则这个三角形是（ ▲ ）（A ）直角三角形 (B) 等边三角形(C) 等腰三角形 (D) 直角三角形或等腰三角形6. 如图，把△ABC 纸片沿着DE 折叠，当点A 落在四边形BCED 内部时，则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变. 这种关系是（ ▲ ）（A ）∠A =∠1+∠2 (B) 3∠A =2∠1+∠2 (C) 2∠A =∠1+∠2 (D) 3∠A =2(∠1+∠2)7．若a 、b 、c 均为正数，且c a ba b b c c a<<+++，则a 、b 、c 的大小关系是（ ▲ ） （A ）c < a <b (B) b <c < a (C) a <b <c (D) c <b < a8. 如图，已知∠BGF =150°那么∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F 的度数是（ ▲ ）(A) 150° (B) 300° (C) 450° (D) 600°A CD E 1 2 A/二、填空题（每题5分，共40分）请把8个填空题的答案填入下面的表格 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 答案或9．某次数学竞赛初试有试题25道，阅卷规定：每答对一题得4分，每答错（包括未答）一题得（－1）分，得分不低于60分则可以参加复试。
2007年八年级数学竞赛(决赛)试题
2007年八年级数学竞赛（决赛）试题一、选择题（每小题5分，共30分） 1．如果1233121231231t t t t t tt t t t t t ++=-，则的值为（ ） （A ）1 （B ）－1 （C ）±1 （D ）不确定2．已知2110 x x x x-<<，则，，的大小关系是（ ） （A ）21x x x << （B ）21x x x << （C ）21x x x << （D ）21x x x<<3．在平面直角坐标系内，已知点A （2，2），B （2，－3），点P 在y 轴上，且△APB 为直角三角形，则点P 的个数为（ ） （A ）2 （B ）3（C ）4（D ）5 4．下图是由一些相同的小正方形构成的几何体的三视图。
这些相同的小正方形的个数是（ ） （A ）4 （B ）5 （C ） 6 （D ）75．已知22204(2) a b x a b y b a x y =++=-、是实数，，，则、的大小关系是（ ）（A ）x y < （B ） x y > （C ） x y ≤ （D ）x y ≥ 从左边看从上面看从正面看（图2）EDCBA6．关于x 的不等式组255,332x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩ 只有5个整数解，则a 的取值范围是（ ）（A ）1162a -<<-（B ）1162a -≤<- （C ）1162a -<≤- （D ）1162a -≤≤-二、填空题：（每小题5分，共30分）7．如图1，已知AD=DB=BC ，∠C=50°，则∠ABC=8．已知实数35a b x y ax by ay bx +=-=，，，满足，，则2222)()a b x y ++（的值是 ． 9．如图2，1ABCDEC ACE S S S === BDE ，若S ，则ADE S = ． 10．已知114340 04323a ab ba b a b a ab b++≠≠+==-+-，，且，那么 ．11．正五边形广场ABCDE 的周长为2000m ，甲、乙两人分别从A 、C 两点同时出发，绕广场沿A →B →C →D →E →A 的方向行走，甲的速度为50m/min ，乙的速度为46m/min ，则出发后，经过 min ，甲、乙第一次行走在同一条边上。
19982007初二数学竞赛解答题(附答案)分析
1998年三、如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，若在AB、AC上各取一点N、M，使得BM+MN的值最小，求出这个最小值四、国际象棋比赛中，胜一局得1分，平一局得0.5分，负一局得0分，今有8名选手进行单循环比赛（每两人均赛一局），赛完后发现，各个选手的得分均不相同，当按得分由大到小排列好名次后，第四名选手得分为4.5分，第二名选手的得分等于最后四名选手得分的总和。
问：前三名选手各得多少分？五、如图，正方形被两条与边平行的线段EF，GH分割成四个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小并证明你的结论．三、四、1.设选手得分排序后的分数为X1,X2,...X8,且取值在7～0之间，最多全赢，即7分，最少不赢0分，有X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8=28 (任两人比赛，8人共要进行28场，无论谁赢，部分都为1）2.根据关系，有X4=4.5, X2=X5+X6+X7+X8，代入总式，有：X1+2X2+X3+4.5=28 ，即X1+2X2+X3=23.5，且X1,X2,X3>4.5，即3个未知数只能取7，6.5，6，5.5，5这5个数当X3=5时，X1=6.5,X2=6,当X3=5.5时，X1=X2=6,这与声称的‘各个选手的分均不相同’有矛盾，故只有一个答案： X1=6.5,X2=6,X3=5五、如图，连结FH，延长CB到M，使BM=DH，连结AM，∵Rt△ABM≌Rt△ADH，∴AM=AH，∠MAB=∠HAD，∴∠MAH=∠MAB+∠BAH=∠BAH+∠HAD=90°，如图设正方形边长为a，AG=m，GP=n，则FC=a-n，CH=a-m，因为面积是二倍所以列式得到：a2-（m+n）a+mn=2mn，在直角三角形FCH中FH2=（a-n）2+（a-m）2，将上面的式子联立得到：FH2=MF2=（m+n）2，即得到FH=MF，∵AF=AF，AH=AM，∴△AMF≌△AHF，∴∠MAF=∠HAF，∴∠HAF=∠MAF=45°．1999年解答题三、四、五、2000年三、若实数x,y,z满足 x+y+z-2(xy+yz+zx)+4xyz=1/2,证明x,y,z中至少有一个等于1/2四、两张大小适当的正方形纸片，重叠地放在一起，重叠部分是一个凸八边形ABCDEFGH，对角线AE、CG分这个八边形为四个小的凸四边形，请你证明：AE CG，且AE=CG．五、在20*30的长方形方格棋盘中共有600个1*1的小方格，每个小方格里都填上一个数，使得任意能被型盖住的四个小方格中所填的四个数之和都等于2000.问：填入这个长方形的有数的和是多少？说明理由。
初中数学初二竞赛测试精品考试卷考点.doc
初中数学初二竞赛测试精品考试卷考点姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分得分一、判断题5．正数的平方根有两个，它们是互为相反数.（）5．轴对称图形的对称轴有且只有一条.25．如图，直线分别与，轴交于、两点，过点的直线交轴负半轴与，且（1）求直线的函数表达式；（2）直线交直线于，交直线于点，交轴于，是否存在这样的直线，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.（3）如图，为轴上点右侧的一动点，以为直角顶点，为一腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接并延长交轴于点.当点运动时，点的位置是否发生变化？如果不变请求出它的坐标；如果变化，请说明理由.21．如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形ABCD是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可）关系：①AD∥BC，②AB=CD，③∠A=∠C，④∠B+∠C=180°．已知：在四边形ABCD中，______________，______________；求证：四边形ABCD是平行四边形．20．有特大城市A及两个小城市B、C，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B、C两城市的距离相评卷人得分等，且使A市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置。
20．求下列各式中的未知数的值：（本题8分，每小题4分）（1）2x2－8=“0 “ （2）24．如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC=10厘米，AB=8厘米，求EC的长。
（6分）19．计算（1）（﹣1）2015﹣+ +（﹣π）0；（2）22．计算：．6．已知一次函数,若随着的增大而减小,则该函数图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限10．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P 分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．其中正确的结论的个数有（）个.A．5B．4C．3D．23．笔记本每本a元，买3本笔记本共支出y元，在这个问题中：①a是常量时，y是变量；②a是变量时，y是常量；③a是变量时，y也是变量；④a，y可以都是常量或都是变量；上述判断正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个1．小军用50元钱买单价为8元的笔记本，他剩余的钱数Q(元)与他买这种笔记本的本数x之间的关系式为Q＝50－8x，则下列说法正确的是( )A．Q和x是变量B．Q是自变量C．50和x是常量D．x是Q的函数1．在如右图的网格中，以格点A、B、C、D、E、F中的4个点为顶点，你能画出平行四边形的个数为 ( )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．在-0．101001，，，-，，0中，无理数的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．下列各组数据分别是三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的是（）A．5cm，12cm，13cmB．1cm，1cm，cmC．1cm，2cm，cmD．cm，2cm，cm3．直线y=x﹣2与y=﹣x﹣4的交点坐标为（）A．（﹣2，3）B．（2，﹣3）C．（－1，－3）D．（1，3）3．分式方程的解为（）A．B．C．D．2．小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是( )A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形12．已知5＋和5－的小数部分分别为a，b，试求代数式ab－a＋4b－3的值．16．已知代数式7x(x＋5)＋10与代数式9x－9的值相等，求x的值．21．如图，在平面直角坐标系中直线y=-2x+12与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y=x交于点C．（1）求点C的坐标（2）求三角形OAC的面积．2．解不等式组并把解集表示在数轴上.16．式子有意义的条件是________________．14．如图，为了防止门板变形，小明在门板上钉了一根加固木条，从数学的角度看，这样做的理由是利用了三角形的______________。
2007-2008学年下期初二年级数学学科竞赛试卷
2007-2008学年下期初二数学竞赛试卷一、选择题（每小题3分，共21分）1．已知一个等腰三角形的底边长为5，这个等腰三角形的腰长为x ，则x 的取值是（ ）A ．250<<xB ．25≥xC ．25>x D ．100<<x2．若n m ,为实数，则不等式n x m >--)1(2的解集是（ ） A ．12+<m n x B ．12+-<m n x C ．12+>m n x D ．12+->m n x 3．若关于y 方程1)(42++=+n y n y 有正数解，则n 的取值范围是（ ）A ．21->nB ．31-<nC ．31->nD ．21-<n4．已知一次函数b x m y +-=)12(的图象上两点),(),,(2211y x B y x A ，当21x x <时，有21y y >，那么m 的取值范围是（ ）A ．2<mB ．0>mC ．21<m D ．21>m 5．小明从家骑车上学，先上坡到达A 地后再下坡到达学校，所用的时间与路程如图1所示，如果返回时，上、下坡速度仍然保持不变，那么他从学校回到家需要的时间是（ ）A ．8.6分B ．9分C ．12分D ．16分6．若不等式组⎩⎨⎧+<->b a x ba x 的解集31<<x 为，则b a ,的值为（ ）A ．2,1==b aB ．3,1==b aC ．1,2==b aD ．1,3==b a 7．下列分解因式正确的是（ ）A ．)19)(19(192-+=-x x xB ．)4)(4(16224-+=+x x xC ．22)2331(4991x x x -=+- D ．2224)12(21-=-+a a a二、填空题：（每题4分，共32分）1．一件标价为a 元的衬衫，商家打八折销售比降价48元销售获利多，则a 应满足的关系式是_________________.2．若使代数式55-x 的值不小于32-x的值，则x 的取值范围是________________.3．若关于x 的方程2223xm x x -=--的解是非负数，则m 的取值范围是_____________.4．不等式612131-≥--+y y y 的正整数解是___________. 5．若1692++kx x 是完全平方式，则常数k ＝_____________.6．如图2，边长为a 的大正方形中剪去一个边长为b 的小正方形，小明将左图的阴影部分拼成右图的长方形，这一个过程可以验证的公式是_________________________.7．某种商品的进价为150元，出售时标价为225元，由于销售情况不好，商品准备降价出售，要使利润不低于10％，那么商店出售此商品最多降价______________元.8．分解因式：4422+--x y x ＝_______________________. 三、解答题：（共47分）1．解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧+->-+<-1413128.55.0)3.0(4x x x x 并把解集在数轴上表示出来.（7分）学校___________ 班级__________ 考号__________ 姓名____________ 密 封 线 内 不 准 答 题2．若不等式4)1(35)1(2+-<-+x x 的最小整数解是方程531=-ax x 的解，求代数式1122--a a 的值.（10分）3．已知c b a ,,为△ABC 的三边，且满足442222b a c b c a -=-，试判△ABC 的形状.（10分）4．李明问王老师：“你班的学生有多少？”王老师说：“现在有一半的学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在念外语，还剩下不足六位学生在操场踢足球。
2007年八年级(上)数学竞赛测试题(1)(含答案)-
2007年度第一学期八年级数学竞赛题一、选择题:1.下列四个式子中与(a-3)a-31相等的是( ) A.a -3 B.-a -3 C.-3-a D.3-a2.若a+b=4,a 3+b 3=28,则a 2+b 2的值是( )A.14B.12C.10D.83.在⊿ABC 中,∠C=900,∠A=150,AB=12,则⊿ABC 的面积是( )A.18B.12C.10D.84.已知方程x =ax+1有一个负根,且没有正根,则a 的取值范围是( )A.a ＞-1B.a=1C.a ≥1D.a ＞15.⊿ABC 的周长是24,M 是AB 的中点,MC=MA=5,则⊿ABC 的面积是( )A.30B.24C.16D.126.如果一条直线l 经过不同的三点A(a,b),B(b,a),C(a-b,b-a),那么直线l 经过第( )象限.A.二、四B.一、三C.二、三、四D.一、三、四二、填空题：7.已知8=a ，70=b ，则6.5=______________.8.已知x=1-3,则x 5-2x 4-2x 3+x 2-2x+1的值是______________.9. 某人将一本书的页码按1，2，3，…的顺序相加，其中有一个页码被多加了一次，结果得到一个错误的总和2005,则被多加的页码是 。
10. 如图，点C 在线段AB 上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA=BC ，EB=AC ，FC=AB ，∠AFB=51°,则∠DFE= ．11.一个六边形六个内角都是1200,连续四边的长依次是1、3、3、2，则该六边形的周长是___________.12.已知⊿ABC 的三边长分别为AB=13,BC=5,CA=12,CT 是∠ACB 的内角平分线, ⊿ABC 关于直线CT 的对称图形是⊿A 1B 1C 1, ⊿ABC 和⊿A 1B 1C 1,的公共面积是nm ,m,n 是互质的正整数,则m+n=__________.三、解答题：13.已知方程组27234ax y x y -=-⎧⎨+=⎩中的系数a 是不等式组513(1)131722a a a a ->+⎧⎪⎨-<-⎪⎩的整数解,求代数式(x-y)(x 2-xy+y 2)的值.14.如图,已知∠ACB=900,AD 平分∠CAB,BC= 4,CD=23，求AC 的长。
2007年初中数学竞赛试题赏析(含解答)-
2007年初中数学竞赛试题赏析2007年春末夏初，国内的初中数学竞赛基本告一段落，暑假期间，在放松避暑纳凉的同时，对数学爱好者来说，把玩一下新的试题，也是一件乐事．下面为大家选析一些试题，供同学们玩赏．一、代数问题例1 已知a ，b ，c 是实数，若2222b c a bc +-，2222c a b ac +-，2222a b c ab+-之和恰等于1，求证：这三个分数的值有两个为1，一个为-1．（2007年北京市初二数学竞赛试题三）证明 由题设2222b c a bc +-+2222c a b ac +-+2222a b c ab+-=1， 即（2222b c a bc +--1）+（2222a c b ac +--1）+（2222a b c ab+-+1）=0， 通分，分子部分因式分解，（请自己完成演算）可得()()()2a b c c a b c a b abc+-+--+=0． 所以，或者a+b-c=0或者c+a-b=0或者b+c-a=0．①若a+b-c=0，则222222222222222222()21;222()21;222()2 1.222b c a b c b c bc bc bc bcc a b c a c a ac ac ac cab c a a b a b ab bc ab ab+-+--===+-+--===+-+-+-===- ②若c+a-b=0，同理可得2222b c a bc +-=1，2222c a b ac +-=-1，2222a b c ab+-=1， ③若c+a-b=0，同理可得2222b c a bc +-=-1，2222c a b ac +-=1，2222a b c ab+-=1． 综合①、②、③可得，三个分数2222b c a bc +-，2222c a b ac +-，2222a b c ab+-的值有两个为1，一个为-1．评析：由题设2222b c a bc +-+2222c a b ac +-+2222a b c ab+-=1，要证这三个分数的值有两个为1，一个为-1，想到证（2222b c a bc +--1）+（2222a c b ac +--1）+（2222a b c ab+-+1）=0 是关键．其中分子部分的因式分解，可检验你的代数式恒等变形的基本功是否过硬． 例2 设a 是正整数，二次函数y=x 2+（a+17）x+38-a ，反比例函数y=56x，•如果这两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值．（2007年全国初中数学联合竞赛（B 组）试题第三大题）解 联立方程组2(17)38,56,y x a x a y x ⎧=+++-⎪⎨=⎪⎩消去y 得x 2+（a+17）x+38-a=56x， 即x 3+（a+17）x 2+（38-a ）x-56=0，分解因式得（x-1）[x 2+（a+18）x+56]=0． （1）显然x 1=1是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点， 因为a 是正整数，所以关于x 的方程x 2+（a+18）x+56=0 （2）的判别式△=（a+18）2-224>0，它一定有两个不同的实数根．而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，•因此它的判别式△=（a+18）2-224应该是一个完全平方数．设（a+18）2-224=k 2（其中k 为非负整数），则（a+18）2-k 2=224，即（a+18+k ）（a+18-k ）=224．显然a+18+k 与a+18-k 的奇偶性相同，且a+18+k ≥8，而224=112×2=56×4=28×8，18112,1856,1828,182,184,188.39,12,0,55,26,10.a k a k a k a k a k a k a a a k k k ++=++=++=⎧⎧⎧⎨⎨⎨+-=+-=+-=⎩⎩⎩===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩所以或或解得或或 而a 是正整数，所以只可能39,12,55,26,a a k k ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 当a=39时，方程（2）即x 2+57x+56=0，它的两根分别为-1和-56，此时两个函数的图象还有两个交点（-1，-56）和（-56，-1）．当a=12时，方程（2）即x 2+30x+56=0，它的两根分别为-2和-28，此时两个函数的图象还有两个交点（-2，-28）和（-28，-2）．评析：这是初中数学的重点知识与方法高度综合的题目，要求会自行演算独立解答．二、几何问题在初中阶段，图形的运动主要是合同变换，包含平移、轴对称、旋转和中心对称．另外，在我国的几何教学中，对等积变换的知识日益普及，主要是利用“同底等高的两个三角形面积相等”和三角形面积公式来证题、计算，包括解决线段的比例问题．例3 如图1所示，△ABC 中，∠ABC=46°，D 是BC 边上一点，DC=AB ，∠DAB=21°，•试确定∠CAD 的度数．（2007年北京市中学生数学竞赛初二年级试题四）图1 图2解如图2，作△ABD关于AD的轴对称图形△AED，即∠EAD=21°，AE=AB，•所以DE=BD．易知∠ADC=21°+46°=67°，所以∠ADE=∠ADB=180°-67°=113°，∠CDE=113°-67°=46°，连接CE，DC=AB，△ABD≌△CDE≌△ADE．设O为AE与DC的交点，由于∠ODE=∠OED=46°，所以OD=OE．又DC=AE，所以AO=CO ∠OCA=∠OAC ∠COE=2∠ACO．易知∠COE=2×46°=92°，因此2∠ACO=∠COE=92°∠ACO=46°=∠OAC．所以∠DAC=∠DAE+∠EAC=21°+46°=67°．例4如图3，已知等腰△ABC中，AB=AC，P、Q分别为AC、AB上的点，且AP=PQ=•QB=BC，则∠PCQ=______．（2007年北京市中学生数学竞赛初二年级试题）图3 图4解：如图4，过P作AB的平行线，过B作PQ的平行线，二平行线相交于O，则PQBO•是个菱形．连接CO．由AB=AC，AP=QB，则PC=AQ，AP=QB=PO，∠CPO=∠PAQ，所以△PQC≌△APQ，因此CO=PQ=CB=OB，可知△BCO为等边三角形，∠BCO=∠CBO=60°，•设∠CAB=θ，•则∠PCO=∠QBO=θ，由三角形内角和定理，得3θ+2×60°=180°⇒θ=20°，因此∠PCQ=80°-•50°=30°．例5 如图5，四边形ABCD 是梯形，点E 是上底AD 边上一点，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线CD 交的延长线于点M ，BM 与AD 交于点N ．证明：∠AFN=∠DME ．（2007全国初中数学联合竞赛试题）例5分析 延长BF ，CM 相交于Q ，因为EM ∥AF ，所以∠DME=∠DQA ．要证∠AFN=∠DME ，只需证∠AFN=∠DQA 即可．为此，只需证FN ∥MC ．证明 （面积法）连接FM ，BE ，CN ，因为EM ∥AF ，所以S △PFM =S △PBE ，因为AD ∥BC ，S △BNE =S △CNE ，因此S △BNE +S △PNE =S △CNE +S △PNE ．即S △PBE =S △PNC ，所以S △PFM =S △PNC ．两边同加S △PMC 得S △FMC =S △NMC ，所以FN ∥MC ，又已知FB ∥ME ，所以∠AFN=∠DME ．至于其它的证法我们就不再例举了．例6 试问：18能否表示为3个互异的正整数的倒数的和？18能否表示为3•个互异的完全平方数的倒数的和？如果能，请给出一个例子；如果不能，请说明理由． （第12届华杯赛初一组决赛试题14）解：（1）由于18=14×12=14×（112+16+14）=114824++116，所以18能表示为3个互异的正整数的倒数的和．（2）不妨设三个正整数a<b<c ，满足18=21a +21b +21c． 由于a ，b ，c 是互异的正整数，则21c <21b <21a， 从而18=21a +21b +21c <23a ，所以a 2>24．又18>21a，所以a 2>8，故a 2=9或16． 若a 2=9，则21b +21c =18-19=172，于是172>21b，有b 2>72； 又因为21c <21b ，所以172=21b +21c <22b ， 因此b 2<144，所以72<b 2<144．故b 2=81，100或121，将b 2=81，100，121分别代入c 2=227272b b -，没有一个是完全平方数，此时无解．若a 2=16，则21b +21c =18-116=116， 同上讨论可得：16<b 2<32，所以b 2=25，c 2=22161625169b b ⨯=-不是整数． 综上所述，18不能表示为3个互异的完全平方数的倒数之和． 例7 已知a ，b 都是正整数，试问关于x 的方程x 2-abx+12（a+b ）=0是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明．解 不妨设a ≤b ，且方程的两个整数根为x 1，x 2（x 1≤x 2），则有12121()2x x ab x x a b +=⎧⎪⎨=+⎪⎩ 所以x 1x 2-x 1-x 2=12a+12b-ab ，4（x 1-1）（x 2-1）+（2a-1）（2b-1）=5． 因为a ，b 都是正整数，所以x 1，x 2均是正整数．于是x 1-1≥0，x 2-1≥0，2a-1≥1，2b-1≥1，所以12(1)(1)0(21)(21)5x x a b --=⎧⎨--=⎩或12(1)(1)1(21)(21)1x x a b --=⎧⎨--=⎩ （1）当12(1)(1)0(21)(21)5x x a b --=⎧⎨--=⎩时，由于a ，b 都是正整数，且a ≤b ，可得a=1，b=3． 此时，一元二次方程为x 2-3x+2=0，它的两个根为x=1，x=2．（2）当12(1)(1)1(21)(21)1x x a b --=⎧⎨--=⎩时，可得a=1，b=1，此时，一元二次方程为x 2-x+1=0，它无整数解．综上所述，当且仅当a=1，b=3时，题设方程有整数解，且它的两个整数解为x 1=1，x 2=2．例8 （1）是否存在正整数m ，n ，使得m （m+2）=n （n+1）？（2）设k （k ≥3）是给定的正整数，是否存在正整数m ，n ，使得m （m+k ）=n （n+1）？ 解:（1）答案是否定的．若存在正整数m ，n ，使得m （m+2）=n （n+1）． 则（m+1）2=n 2+n+1，显然n>1．于是n 2<n 2+n+1<（n+1）2，所以n 2+n+1不是平方数，矛盾．（2）当k=3时，若存在正整数m ，n ，使得m （m+3）=n （n+1），则4m 2+12m=4n 2+4n ⇔（2m+3）2=（2n+1）2+8即（2m+3-2n-1）（2m+3+2n+1）=8⇔ （m-n+1）（m+n+2）=2， 而m+n+2>2，故上式不可能成立．当k ≥4时，若k=2t （t 是不小于2的整数）为偶数，取m=t 2-t ，n=t 2-1，则m （m+k ）=（t 2-t ）（t 2+t ）=t 4-t 2，n （n+1）=（t 2-1）t 2=t 4-t 2，因此这样的（m ，n ）满足条件．若k=2t+1（t是不小于2的整数）为奇数，取m=22t t-，n=222t t+-，则m（m+k）=22t t-（22t t-+2t+1）=14（t4+2t3-t2-2t）n（n+1）=222t t+-·22t t+=14（t4+2t3-t2-2t），因此这样的（m，n）满足条件．综上所述，当k=3时，答案是否定的；当k≥4时，答案是肯定的．（注：当k≥4时，构造的例子不是唯一的．）四、组合与极值组合问题对锻炼思维意义重大，初中只适宜分类计数、加法原理、乘法原理的简单运用，简单的包含排除原理，基本的抽屉原理也是重要的内容．但在初中阶段，不应提前引入排列组合的计算公式．特别是提前较大范围的培训高中的排列组合知识，会激起大范围超前学习的竞争热，从而影响基础教育，并且也影响竞赛的公平性．建议命一些以几何元素为背景的构造性的问题，容易引发学生兴趣，又使套用组合公式的人容易出错，这类问题的研制特别引人注目．例9 平面上有6个点，其中任何3个点不在同一条直线上，以这6个点为顶点可以构造多少个不同的三角形？从这些三角形中选出一些，如果要求其中任何两个三角形没有公共点，则最多可以选出多少个三角形？（第12届华杯赛初一组决赛试题12）解答:（1）先从6个点中选取1个做三角形的一个顶点，有6种取法；•再从余下的5点中选取1个做三角形的第二个顶点，有5种取法；再从余下的4个点中选取1个点做三角形的第三个顶点者，有4种取法．因为任何3个点不在同一条直线上，所以，这样选出的三个点可以做出一个三角形．但是，如果选出的三个点相同的话，则做出的三角形相同，•三个点相同的取法有3×2×1=6种，所以，以这6个点为顶点可以构造654321⨯⨯⨯⨯=20个不同的三角形．（2）每个三角形有3个顶点，所以，6个点最多只能做出2个三角形，•它们没有公共顶点，如图4（1）．（3）用英文大写字母A，B，C，D，E，F记这6个点，如果可以选出5个三角形，它们共有15个顶点，需要15个英文大写字母．但是，不同的英文大写字母仅有6个，因此，这5•个三角形中至少有三个三角形有同一个顶点，不妨设为点A．根据题目条件，这三个三角形没有公共边，即除去公共顶点A之外，其余6•个顶点互不相同，即表示这6个顶点的字母不相同．否则，根据题目条件，它们将有公共边．但是，除A之外，我们仅有5个不同的字母，所以，不可能存在5个三角形，它们没有公共边．如图4（2）所示，△ABC，△ADE，△BDF和△CEF这4个三角形没有公共边，所以，最多可以选出4个三角形，它们没有公共边．例10 若对于任意n个连续正整数中，总存在一个数的数字之和8是的倍数．试确定n的最小值，并说明你的理由．（2007北京市中学生数学竞赛初二年级试题五）解先证n≤14时题设的性质不成立．因为，当n=14时，对于9999993，9999994，…，999999，…，10000006这14个连续整数中，任意一个数字的数字之和均不能被8整除．所以n≤14时题设的性质不成立．因此要使题设的性质成立，应有n≥15．再证n=15时，题设的性质成立．设a1，a2，…，a15为任意的连续15个正整数，则这15个正整数中，个位数字为0•的整数最多有两个，最少有一个，可分为：（1）当a1，a2，…，a15中个位数字为0的整数有两个时，设a i<a j，且a i，a j的个位数字为0．则满足a i，a i+1，a i+2，…，a i+9，a j为连续的11个整数，其中a i，a i+1，a i+2，…，a i+9无进位设n i表示a i各位数字之和．则前10个数的各位数字之和分别为n i，n i+1，…，n i+9则这连续的10个数中至少有一个被8整除．（2）当a1，a2，…，a15中个位数字为0的整数只有一个时，设其中的a i的个位数字为0，•①若整数满足1≤i≤8，则在a i后面至少有7个连续整数，则a i，a i+1，a i+2，…，a i+7这8个连续整数的各位数字和也为8个连续整数，所以必有一个数能被8整除．②若整数i满足9≤i≤15，则在a前面至少有8个连续整数，不妨设为a i-8，a i-7，a i-5，a i-4，a i-3，a a-2，a a-2，a i-1，这8个连续整数的各位数字和也为8个连续整数，所以必有一个数能被8整除．由①、②可知，当a1，a2，…，a15中个位数字为0的整数只有一个时，必有一个数，其各位数字之和是8的倍数．综上（1）、（2）所述，对于任意15个连续整数中，必有一个数，•其各位数字之和是的倍数．而小于15个的任意连续整数不成立此性质，所以n的最小值是15．例11 平面上有若干个点，其中任意三点都不在同一直线上，将这些点分成三组，并按下面的规则用线段连接：①在同一组的任意两点都没有线段连接；②不在同一组的任意两点间一定有线段连接．（1）若平面上恰好有9个点，且平均分成三组，那么平面上有多少条线段？（2）若平面上恰好有9个点，且点数分成2，3，4三组，那么平面上有多少条线段？（3）若平面上共有192条线段，那么平面上至少有多少个点？（第十八届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试23题）解：（1）平面上恰好有9个点，且平均分成三组，每组3个点，•按题设规则用线段连接，可以连出3×3+3×3+3×3=27条线段．（2）平面上恰好有9个点，且点数分成2，3，4三组，按题设规则用线段连接，可以连出2×3+2×4+3×4=26条线段．（3）设平面上三组点数为m，n，p个，s=m+n+p，目标求s的最小值？按题设规则用线段连接，可以连出mn+mp+np=192条线段．由于s2=（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np≥mn+mp+np+2mn+2mp+2np=3mn+3mp+3np=•3（mn+mp+np）=3×192=576=242所以s≥24．s的最小值是24．事实上，当这24个点平分为3组，每组8个点，按题设规则用线段连接，恰可以连出8×8+8×8+8×8=3×64=192条线段．因此平面上至少有24个点．- 11 -。
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2007年江干区数学小能手竞赛8年级试卷
提示:
1．考试时间120分钟,满分120分
2．答题前，请在答题卷的密封区内填写准考证号、学校和姓名
一、 选择题：（每小题5分，共40分）
请把8个选择题中正确答案前的字母填入下面的表格
1． 计算2007
2008(2)
(2)-+-所得结果是（ ▲ ）
（A ）2 (B) –2 (C) 1 (D) 2007
2
2． 设“●，▲，■”分别表示三种不同的物体，如下图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么“？”处应放“■”的个数为 （ ▲ ）
（A ）5 (B) 4 (C) 3 (D) 2
●●
▲■
●■
▲
●▲
?
(1) (2)
(3)
装 订 线
学 姓名 准考证
3.适合关系式27218a a ++-=的整数a 的值的个数是（ ▲ ）
（A ）5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 4．若x 为任意实数，那么多项式4
3
2
4885x x x x -+-+的取值范围是（ ▲ ）
（A ）一切实数 (B) 大于或等于5的实数 (C)一切正数 (D) 大于或等于2的实数
5.一个三角形的三边长分别为a 、b 、c （a 、b 、c 均为质数），且满足a +b +c =1
6.则这个三角形是（ ▲ ）
（A ）直角三角形 (B) 等边三角形
(C) 等腰三角形 (D) 直角三角形或等腰三角形
6. 如图，把△ABC 纸片沿着DE 折叠，当点A 落在四边形BCED 内部时，则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变. 这种关系是（ ▲ ）
（A ）∠A =∠1+∠2 (B) 3∠A =2∠1+∠2 (C) 2∠A =∠1+∠2 (D) 3∠A =2(∠1+∠2)
7．若a 、b 、c 均为正数，且
c a b
a b b c c a
<<+++，则a 、b 、c 的大小关系是（ ▲ ） （A ）c < a <b (B) b <c < a (C) a <b <c (D) c <b < a
8. 如图，已知∠BGF =150°那么∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F 的度数是（ ▲ ）
(A) 150° (B) 300° (C) 450° (D) 600° A
D E 1 2 A
/
二、填空题（每题5分，共40分）
请把8个填空题的答案填入下面的表格
9．某次数学竞赛初试有试题25道，阅卷规定：每答对一题得4分，每答错（包括未答）
一题得（－1）分，得分不低于60分则可以参加复试。
那么，若要参加复试，初试的答对题数至少为 ▲
10. 如图，锐角△ABC 中，BD 和CE 分别是AC 和
AB 的高，若BD 和CE 所夹的锐角为61°，则 ∠ABC+∠ACB = ▲ °
11. 已知3a +b +2c =3，且a +3b +2c =1，求2a +c 之值 ▲ 12．已知
1
11x x x
---
的值是14-，那么x = ▲ . 13．修建一所房子有一系列工作要做，其中某些工作要在其它一些工作完成后才能进行.下表列出修建一所房子的每项工作前面的工作编号和完成该项工作所需的时间.那么修建这所房子最快的时间是 ▲ 天.
14. 如图，AD 和BE 把△ABC 分成三个三角形和一个四边形， 其中△OAE 、△OAB 、△OBD 的面积分别为10、20、16， 则四边形ODCE 的面积是 ▲ . 15．已知252000x
=，802000y
=，则
11
x y
+等于 ▲ 16．一项工程，甲单独完成需要x 天，乙单独完成需要y 天，x 、y 都是自然数。
现在，乙先工作3天后，甲、乙再共同工作1天，恰好完工，则x ＋y 的值为 ▲ 或 ▲
三、解答题：（每题10分，共40分）
17. 若7个半径相等的圆摆成如图位置，请画出一条直线,将这七个 等圆的面积分成相等的两部分.（要求：标出确定直线的两点A 、B 的位置，再画出直线）
18．如图，已知矩形ABCD ，E 为AD 上一点，F 为CD 上一点，若将矩形沿BE 折叠，点A 恰与点F 重合，且△DEF 为等腰三角形，DE =1，求矩形ABCD 的面积.
19．在一条街AB上，小南由A向B步行，小宇骑自行车由B向A行驶，小宇的速度是小南的3倍，此时公交车由始发站A开出向B行进，且每隔相同时间发一辆车。
过了一段时间，小南发现每隔10分钟有一辆公交车追上他，而小宇也发现每隔5分钟就碰到一辆公交车，求两辆公交车发车的间隔时间。
20.如图，16个城市用16个圆圈表示，圆圈间的线条表示两个城市之间可以直达.问：能否找到一条旅游路线，不重复地走遍这16个城市？
（20题）。