运筹学第二章第8讲
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管理运筹学课件第2章 线性规划
x1 x2 ≤ 8
产量非负 x 1 , x 2 ≥ 0
决策变量
（decision variable）
总利润表三达要式素
目标函数 （objective function）
约束条件 生产能力,不 （subject to） 允许超过 当目标函数与约束条件均为决策变
量的线性函数，且变量取连续值时，
当xk的值由0增加到θ时，原来的基变 量xl取值首先变成零，选择其为出基变 量。称θ的表达式为最小比值原则。
如果所有aik ≤0, xk的值可以由0增加到 无穷，表示可行域是不封闭的，且目 标函数值随进基变量的增加可以无限 增加，此时不存在有限最优解。
下面对以上讨论进行总结.
2019/8/31
课件
15
称为线性规划LP；变量取整称为整
数线性规划ILP；变量取二进制为
0-1规划BLP。
2019/8/31
课件
5
2.1.2 线性规划的数学模型
【例2.1】（合理配料问题）由下表建立一个LP模型求解满足动物成长 需要又使成本最低的饲料配方。
饲料 营养甲(g/kg) 营养乙(g/kg) 营养丙(g/kg) 成本(g/kg)
x1+x2=8
x1
2019/8/31
课件
11
2.2.3 线性规划几何解的讨论
线性规划几何解存在四种情况：唯一最优解、无穷 多最优解、无界解、无可行解。 可行域为封闭有界区域时，可能存在唯一最优解， 无穷多最优解两种情况； 可行域为非封闭无界区域时，可能存在唯一最优解， 无穷多最优解，无界解三种情况； 可行域为空集时，没有可行解，原问题没有最优解。
1
0.5
0.1
0.08
《运筹学第二章》课件
《运筹学第二章》PPT课 件
介绍《运筹学第二章》PPT课件内容和目标，运筹学的定义和特点。探索运 筹学的重要性和应用领域，以及运筹学的特点和原则。
线性规划
概念和模型
探索线性规划的定义和基本模型，展示线性规划在 决策和优化中的重要性。
解法和实例
介绍线性规划的常见解法和实际应用案例，展示线 性规划在生产和资源优化中的应用。
例，展示二维规划在资源分配和市场策
略中的应用。
3
优化技巧
分享二维规划的优化技巧和最佳实践， 帮助读者更好地应用二维规划解决问题。
网络流问题
概念和应用 解法和实例 问题扩展
阐述网络流问题的概念和常见应用领域，如流量 规划和运输优化。
介绍网络流问题的解法和实际应用案例，展示网 络流问题在供应链和通信网络中的应用。
2 求解方法
介绍排队论的常见求解方法和实际应用案例，帮助读者理解和解决实际排队问题。
3 模型分析
分享排队论中的模型分析技巧和最佳实践，帮助读者优化排队系统和提高服务质量。
进化算法
概念和原理
解释进化算法的概念和基本原理，如遗传算法和粒 子群优化。
应用领域
介绍进化算法在不同领域中的应用，如机器学习和 智能优化。
整数规划
概念和模型
阐述整数规划的概念和基本模型，展示整数规 划在离散决策中的重要性。
解法和实际应用
介绍整数规划的常见解法和实际应用，展示整 数规划在项目管理和物流优化中的应用。
二维规划
1
概念和模型
解释二维规划的定义和基本模型，展示
解法和实例
2
二维规划在多目标决策中的应用。
介绍二维规划的常见解法和实际应用案
探讨网络流问题态规划
介绍《运筹学第二章》PPT课件内容和目标，运筹学的定义和特点。探索运 筹学的重要性和应用领域，以及运筹学的特点和原则。
线性规划
概念和模型
探索线性规划的定义和基本模型，展示线性规划在 决策和优化中的重要性。
解法和实例
介绍线性规划的常见解法和实际应用案例，展示线 性规划在生产和资源优化中的应用。
例，展示二维规划在资源分配和市场策
略中的应用。
3
优化技巧
分享二维规划的优化技巧和最佳实践， 帮助读者更好地应用二维规划解决问题。
网络流问题
概念和应用 解法和实例 问题扩展
阐述网络流问题的概念和常见应用领域，如流量 规划和运输优化。
介绍网络流问题的解法和实际应用案例，展示网 络流问题在供应链和通信网络中的应用。
2 求解方法
介绍排队论的常见求解方法和实际应用案例，帮助读者理解和解决实际排队问题。
3 模型分析
分享排队论中的模型分析技巧和最佳实践，帮助读者优化排队系统和提高服务质量。
进化算法
概念和原理
解释进化算法的概念和基本原理，如遗传算法和粒 子群优化。
应用领域
介绍进化算法在不同领域中的应用，如机器学习和 智能优化。
整数规划
概念和模型
阐述整数规划的概念和基本模型，展示整数规 划在离散决策中的重要性。
解法和实际应用
介绍整数规划的常见解法和实际应用，展示整 数规划在项目管理和物流优化中的应用。
二维规划
1
概念和模型
解释二维规划的定义和基本模型，展示
解法和实例
2
二维规划在多目标决策中的应用。
介绍二维规划的常见解法和实际应用案
探讨网络流问题态规划
管理运筹学第二章线性规划的图解法
02
图解法的基本原理
图解法的概念
图解法是一种通过图形来直观展示线性规划问题解的方法。它通过在坐标系中绘 制可行域和目标函数，帮助我们理解问题的结构和最优解的位置。
图解法适用于线性规划问题中变量和约束条件较少的情况，能够直观地展示出最 优解的几何意义。
图解法的步骤
确定决策变量和目标函数
明确问题的决策变量和目标函数，以便在图 形中表示。
目标函数是要求最小化或最大化的函数，通常表示为 $f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
04
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
LINDO是一款开源的线性规划求解器，用 户可以免费使用。
软件工具的使用方法
Excel
用户需要先在Excel中设置好线性规划模型，然后使 用“数据”菜单中的“规划求解”功能进行求解。
Gurobi/CPLEX/LINDO
这些软件通常需要用户先在软件界面中输入线性规划 模型，然后通过点击“求解”按钮进行求解。
实例三：分配问题
总结词
分配问题是指如何根据一定的分配原则 或目标，将有限的资源分配给不同的需 求方，以最大化整体效益。
VS
详细描述
分配问题在实际生活中广泛存在，如物资 分配、任务分配等。通过图解法，可以将 分配问题转化为线性规划模型，并利用图 形直观地展示最优解的资源分配方案。在 分配问题中，通常需要考虑不同需求方的 重要性和优先级，以及资源的有限性等因 素，以实现整体效益的最大化。
运筹学第2章
China University of Mining and Technology
-43-
运 筹 学
线性规划的对偶理论
性质3 最优性定理：如果 X 0 是原问题的可行解， 0 是其对偶 Y 问题的可行解，并且:
CX 0 BY 0
即: z w
则 X 0是原问题的最优解，Y 0是其对偶问题的最优解。
T
分别是原问题和对偶问题的可行解。 且原问题的目标函数值为
min W 20 y1 20 y2 s.t. y1 2 y2 1 2 y1 y2 2 2y1 3 y2 3 3 y1 2 y2 4 y1 , y2 0
Z CX 10
min W 20 y1 20 y2 s.t. y1 2 y2 1 2 y1 y2 2 2y1 3 y2 3 3 y1 2 y2 4 y1 , y2 0
(DP)
-41China University of Mining and Technology
-44China University of Mining and Technology
运 筹 学
线性规划的对偶理论
性质4 强(主)对偶性：若原问题及其对偶问题均具有可行解， 则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。
还可推出另一结论：若一对对偶问题中的任意一个有最优解， 则另一个也有最优解，且目标函数最优值相等；若一个问题 无最优解，则另一问题也无最优解。 一对对偶问题的关系，有且仅有下列三种： 1. 都有最优解，且目标函数最优值相等； 2. 两个都无可行解； 3. 一个问题无界，则另一问题无可行解。
-1-
运 筹 学
学习要点： 1. 理解对偶理论，掌握描述一个线性规划问题 的对偶问题。 2. 能够运用对偶单纯形法来求解线性规划问题。 3. 会用互补松弛条件来考虑一对对偶问题的界。
-43-
运 筹 学
线性规划的对偶理论
性质3 最优性定理：如果 X 0 是原问题的可行解， 0 是其对偶 Y 问题的可行解，并且:
CX 0 BY 0
即: z w
则 X 0是原问题的最优解，Y 0是其对偶问题的最优解。
T
分别是原问题和对偶问题的可行解。 且原问题的目标函数值为
min W 20 y1 20 y2 s.t. y1 2 y2 1 2 y1 y2 2 2y1 3 y2 3 3 y1 2 y2 4 y1 , y2 0
Z CX 10
min W 20 y1 20 y2 s.t. y1 2 y2 1 2 y1 y2 2 2y1 3 y2 3 3 y1 2 y2 4 y1 , y2 0
(DP)
-41China University of Mining and Technology
-44China University of Mining and Technology
运 筹 学
线性规划的对偶理论
性质4 强(主)对偶性：若原问题及其对偶问题均具有可行解， 则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。
还可推出另一结论：若一对对偶问题中的任意一个有最优解， 则另一个也有最优解，且目标函数最优值相等；若一个问题 无最优解，则另一问题也无最优解。 一对对偶问题的关系，有且仅有下列三种： 1. 都有最优解，且目标函数最优值相等； 2. 两个都无可行解； 3. 一个问题无界，则另一问题无可行解。
-1-
运 筹 学
学习要点： 1. 理解对偶理论，掌握描述一个线性规划问题 的对偶问题。 2. 能够运用对偶单纯形法来求解线性规划问题。 3. 会用互补松弛条件来考虑一对对偶问题的界。
运筹学 胡运权 第二章
《运筹学》 运筹学》
第1页
第二章 线性规划的对偶理论
一、问题的提出: 设用两种原料（A、B）
生产三种产品的一个生产计划问题
m f ( x) = x1 + 2x2 + 4x3 ax x1 + 2x2 + 2x3 ≤ 25 s.t. 2x1 + x2 + 2x4 ≤15 x1, x2 , x3 ≥ 0
华东师范大学
《运筹学》 运筹学》
第11页 11页
弱对偶性的推论： 对偶性的推论：
max问题的任何可行解目标函数值是其对偶min问 题目标函数值的下限； min问题的任何可行解目标 函数值是其对偶max问题目标函数值的上限。 如果原max(min)问题为无界解，则其对偶 min (max) max(min) 问题无可行解。 如果原max(min)问题有可行解，其对偶 min (max) 问题无可行解，则原问题为无界解。 存在原问题和对偶问题同时无可行解的情况。
华东师范大学
14 December 2010
《运筹学》 运筹学》
第10页 10页
1. 弱对偶性定理（P55） 对偶问题(min)的任何可行解Y0，其目 标函数值 bTY0 总是不小于原问题(max) 的任何可行解X0的目标函数值CTX0, 即 CTX0 ≤ bTY0
14 December 2010
14 December 2010
华东师范大学
《运筹学》 运筹学》
第8页
表2.1 对偶变换的规则
原问题(max,≤) ≤ 原问题 系数矩阵 A 目 标 系数 C 常数 项 b 第 i 行约束条件为 ≤ 型 第 i 行约束条件为 ≥ 型 第 i 行约束条件为 = 型 决策变量 xj ≥ 0 决策变量 xj ≤ 0 决策变量 xj ±不限 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 对偶问题(min,≥) ≥ 对偶问题 系数矩阵 AT 常数项 b 目 标 系数 C 对偶变量 yi ≥ 0 对偶变量 yi ≤ 0 对偶变量 yi ±不限 第 j 行约束条件为 ≥ 型 第 j 行约束条件为 ≤ 型 第 j 行约束条件为 = 型
第1页
第二章 线性规划的对偶理论
一、问题的提出: 设用两种原料（A、B）
生产三种产品的一个生产计划问题
m f ( x) = x1 + 2x2 + 4x3 ax x1 + 2x2 + 2x3 ≤ 25 s.t. 2x1 + x2 + 2x4 ≤15 x1, x2 , x3 ≥ 0
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第11页 11页
弱对偶性的推论： 对偶性的推论：
max问题的任何可行解目标函数值是其对偶min问 题目标函数值的下限； min问题的任何可行解目标 函数值是其对偶max问题目标函数值的上限。 如果原max(min)问题为无界解，则其对偶 min (max) max(min) 问题无可行解。 如果原max(min)问题有可行解，其对偶 min (max) 问题无可行解，则原问题为无界解。 存在原问题和对偶问题同时无可行解的情况。
华东师范大学
14 December 2010
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第10页 10页
1. 弱对偶性定理（P55） 对偶问题(min)的任何可行解Y0，其目 标函数值 bTY0 总是不小于原问题(max) 的任何可行解X0的目标函数值CTX0, 即 CTX0 ≤ bTY0
14 December 2010
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《运筹学》 运筹学》
第8页
表2.1 对偶变换的规则
原问题(max,≤) ≤ 原问题 系数矩阵 A 目 标 系数 C 常数 项 b 第 i 行约束条件为 ≤ 型 第 i 行约束条件为 ≥ 型 第 i 行约束条件为 = 型 决策变量 xj ≥ 0 决策变量 xj ≤ 0 决策变量 xj ±不限 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 对偶问题(min,≥) ≥ 对偶问题 系数矩阵 AT 常数项 b 目 标 系数 C 对偶变量 yi ≥ 0 对偶变量 yi ≤ 0 对偶变量 yi ±不限 第 j 行约束条件为 ≥ 型 第 j 行约束条件为 ≤ 型 第 j 行约束条件为 = 型
运筹学 第二章 运输问题
1
=
j
j = 1
(
(
这就是运输问题的数学模型，它包含 m·n 变量, m + n 个约束条件。如果用单纯形法求解，先得在各约 束条件上加入一个人工变量(以便求出初始基可行解)。 因此，即使是 m = 3 ， n = 4 这样的简单问题, 变量数 就有19个之多，计算起来非常复杂。因此，我们有必 要针对运输问题的某些特点，来寻求更为简单方便的 求解方法。
销地产地
B1
B2
B3
B4
A1
x11
x12
A2
x21
x24
A3
x32
x34
x11 、 x12 、 x32 、 x34 、 x24 、 x21 构成一个闭回路. 这里有： i1 = 1 ， i2 = 3 ， i3 = 2；j1 = 1 ，j2 = 2 ，j3 = 4. 若把闭回路 的顶点在表中画出, 并且把相邻两个变量用一条直线相连 (今后就称这些直线为闭回路的边)。
第二节 表上作业法1. 表上作业法的基本概念与重要结论针对运输问题的数学模型结构的特殊性，它的约束方 程组的系数矩阵具有如下形式( 具体见下一张幻灯片 )，该 矩阵中， 每列只有两个元素为1，其余都是0。根据这个特 点，在单纯形法的基础上，创造出一种专门用来求解运输 问题的方法，这种方法我们称为表上作业法。运输问题也是一个线性规划问题，当用单纯形法进 行求解时，我们首先应当知道它的基变量的个数；其次， 要知道这样一组基变量应当是由哪些变量来组成。由运输 问题系数矩阵的形式并结合第一章单纯形算法的讨论可以 知道: 运输问题的每一组基变量应由 m+n-1个变量组成。 (即基变量的个数 = 产地个数 + 销售地个数 – 1) 进一步我 们想知道, 怎样的 m+n-1个变量会构成一组基变量？
=
j
j = 1
(
(
这就是运输问题的数学模型，它包含 m·n 变量, m + n 个约束条件。如果用单纯形法求解，先得在各约 束条件上加入一个人工变量(以便求出初始基可行解)。 因此，即使是 m = 3 ， n = 4 这样的简单问题, 变量数 就有19个之多，计算起来非常复杂。因此，我们有必 要针对运输问题的某些特点，来寻求更为简单方便的 求解方法。
销地产地
B1
B2
B3
B4
A1
x11
x12
A2
x21
x24
A3
x32
x34
x11 、 x12 、 x32 、 x34 、 x24 、 x21 构成一个闭回路. 这里有： i1 = 1 ， i2 = 3 ， i3 = 2；j1 = 1 ，j2 = 2 ，j3 = 4. 若把闭回路 的顶点在表中画出, 并且把相邻两个变量用一条直线相连 (今后就称这些直线为闭回路的边)。
第二节 表上作业法1. 表上作业法的基本概念与重要结论针对运输问题的数学模型结构的特殊性，它的约束方 程组的系数矩阵具有如下形式( 具体见下一张幻灯片 )，该 矩阵中， 每列只有两个元素为1，其余都是0。根据这个特 点，在单纯形法的基础上，创造出一种专门用来求解运输 问题的方法，这种方法我们称为表上作业法。运输问题也是一个线性规划问题，当用单纯形法进 行求解时，我们首先应当知道它的基变量的个数；其次， 要知道这样一组基变量应当是由哪些变量来组成。由运输 问题系数矩阵的形式并结合第一章单纯形算法的讨论可以 知道: 运输问题的每一组基变量应由 m+n-1个变量组成。 (即基变量的个数 = 产地个数 + 销售地个数 – 1) 进一步我 们想知道, 怎样的 m+n-1个变量会构成一组基变量？
运筹08(第二章)运筹学第五版课件(历史上最好的,最全面的课件)
初始表中是 I 的位置，经变换后成为 B 1
其中 Y ( y 1 , y 2 ,..., y m )
记
Y CBB
1
1
Y 0 CBB
N
1
则
CN CBB
1
1
N C N YN
1
b B b;
N B
N ,或
P j B
Pj
例：书 P36 例10，验证上述公式。 上述公式对于灵敏度分析很有帮助 。
b
i 1
m
i
ˆ y i ，于是上式应为等式，即有
a
i 1 j 1
m
n
ij
ˆ ˆ x j yi
b
i 1
m
i
ˆ yi
( a
i 1 j 1
m
n
ij
ˆ ˆ x j bi ) y i 0
2012-8-18
19
而
a
j 1
n
ij
ˆ x j bi 0 ;
ˆ yi 0
且两者最优目标函数值相等，即 证明 设有线性规划问题
max z min w
。
max Z CX ; AX X s b ; X , X s 0
经单纯形法计算后，令Y C B B
基可行解 基变量
1
0， 最终表中
非基变量
b
I
0 CB CBB
1
N
B
B
1
j
1 1 N C N C B B N Y C B B
6、设原问题是： max Z CX
2012-8-18
11
运筹学第2章课件
目标函数是要求最大或最小的线性函数，形式为(z = c^T x + z_0)，其中(c)是常数向量，(x)是决策变 量向量，(z_0)是常数。
决策变量是问题中需要求解的未知数，通常为非 负实数。
线性规划的几何解释
线性规划问题可以用几何图形直观地 表示。在二维空间中，目标函数和约 束条件可以表示为直线或线段，决策 变量则表示为平面上的点。
分配问题的应用非常广泛，如 资源分配、任务调度等。这些 案例展示了线性规划在优化资 源配置和提高总体效益方面的 巨大潜力。
04
线性规划的扩展
整数规划
01
整数规划问题
整数规划是一类特殊的线性规划问题，要求决策变量取整数值。整数规
划在现实生活中有广泛的应用，如生产计划、物流调度等。
02
求解方法
整数规划的求解方法包括穷举法、割平面法、分支定界法等。这些方法
第2章总结
• 线性规划的求解方法，包括图解 法、单纯形法和内点法等，以及 各种方法的适用范围和优缺点。
第2章总结
01 内容亮点
02
通过案例分析，使抽象的数学模型更加生动具体，易
于理解。
03
详细介绍了线性规划的求解方法，有助于学生掌握实
际操作技能。
第2章总结
练习与思考 结合实际案例，尝试建立线性规划模型并求解。 分析不同求解方法的适用场景，比较其优劣。
大规模优化问题
大规模优化问题是指决策变量数量庞大，导致计算复杂度极高的优化问题。这类问题在现实生活中很常见，如物流网 络优化、生产调度等。
近似算法
为了解决大规模优化问题，研究者们提出了许多近似算法。这些算法通过牺牲最优解的精度来换取更快的计算速度， 从而在实际应用中得到广泛应用。常见的近似算法包括贪心算法、遗传算法、模拟退火算法等。
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仍是最优基时,但最优解却不同 注: 当B仍是最优基时 但最优解却不同 仍是最优基时 当超出允许值之外,B不再是最优基 当超出允许值之外 不再是最优基, 不再是最优基 可用对偶单纯形法继续求最优解
12
例子(2) 例子
max z = 5x1 + 4 x2 + 3x3 x1 + x2 +2x3 + x4 = 45 2 x + x + x + x = 80 1 2 3 5 s.t. x1 + 3x2 + x3 + x6 = 90 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ≥ 0
3
2.7.1资源变化的灵敏度分析 2.7.1资源变化的灵敏度分析
例1: 线性规划问题： 线性规划问题：
max S = 2x1 + 3x2 s.t. x1+2x2 <= 8 4x1 <= 16 4x2 <= 12 x1,x2>=0
4
初始单纯性表TAB(1)为 初始单纯性表TAB(1)为：
cj→ CB 0 0 0 XB x3 x4 x5
第二章 对偶问题与灵敏度分析
• 重点与难点： 重点与难点： 对偶问题的定义，对偶定理， 1、对偶问题的定义，对偶定理，对 偶问题最优解的经济含义， 偶问题最优解的经济含义，由最优单纯形 表求对偶问题最优解； 表求对偶问题最优解； 对偶单纯形法的特点， 2、对偶单纯形法的特点，对偶单纯 形法求解； 形法求解； 灵敏度分析：价值系数c 3、灵敏度分析：价值系数cj发生变 右端常数b 发生变化，增加一个变量， 化，右端常数bi发生变化，增加一个变量， 增加一个约束， 增加一个约束，A中对应非基变量的一列 元素发生变化。 元素发生变化。
2 −1 0 −1 B = −1 1 0 − 5 2 1
则原最优基B是新问题的对偶可行基， 则原最优基 是新问题的对偶可行基，新单纯形表如下 是新问题的对偶可行基 xB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 3 2 -1 0 x2 -10 0 0 -1 -1 1 0 x1 55 1 x6 65 0 0 -7 -5 2 1 -z -235 0 0 -4 -3 -1 0
1
掌握LP的灵敏度分析 掌握LP的灵敏度分析 LP
在线性规划问题中,都假定A,b,C中的元素a 是已知常数. 在线性规划问题中,都假定A,b,C中的元素aij,bi,cj是已知常数. A,b,C中的元素 但实际上这些数往往是一些估计或预测的数字, 但实际上这些数往往是一些估计或预测的数字,如市场条件一 值就会变化. 是随工艺技术条件的改变而改变, 变,cj值就会变化. aij是随工艺技术条件的改变而改变,而bi值 是根据资源投入后能产生多大经济效益来决定的一种决策选择 因此,当这些参数中的一个或几个发生变化时， 因此 当这些参数中的一个或几个发生变化时，线性规划问题的 当这些参数中的一个或几个发生变化时 最优解会有什么变化， 最优解会有什么变化，或者这些参数一个或多个在什么范围内 变化时,问题的最优解是不变的 这就是灵敏度分析 问题的最优解是不变的。 变化时 问题的最优解是不变的。这就是灵敏度分析 当线性规划问题中的一个或几个参数发生变化时, 当线性规划问题中的一个或几个参数发生变化时 可用单纯形 法 从头计算,看一看最优解有无变化 但这样做既麻烦又没必要 看一看最优解有无变化,但这样做既麻烦又没必要. 从头计算 看一看最优解有无变化 但这样做既麻烦又没必要 因 为单纯形法的迭代是从一个基到另一个基去寻找最优解的,因此 为单纯形法的迭代是从一个基到另一个基去寻找最优解的 因此 当一个或几个参数发生变化时,我们从最优单纯形表去分析 我们从最优单纯形表去分析,去寻 当一个或几个参数发生变化时 我们从最优单纯形表去分析 去寻 找即可. 找即可 2
xB X5 x1 x6 b x1 x2 x3 10 0 -1 -3 45 1 1 2 45 0 2 -1 -1 -7 x4 -2 1 -1 -5 x5 1 0 0 0 x6 0 0 1 0
-z -225 0
则得到新的最优解（ 和最优值225 则得到新的最优解（45,0,0,0,10,45)和最优值 和最优值
的最优单纯形表为如下: 的最优单纯形表为如下
xB x2 x1 x6
b x1 x2 x3 10 0 1 3 35 1 0 -1 25 0 0 -7 0 -4
x4 2 -1 -5 -3
x5 -1 1 2 -1
x6 0 0 1 0
-z -215 0
根据上述表格试对资金b2进行灵敏度分析 根据上述表格试对资金 进行灵敏度分析; 进行灵敏度分析 若资金限量改为100元,求最优生产方案。 求最优生产方案。 若资金限量改为 元 求最优生产方案
13
例子(2-1) 例子
解：（1）b2=80, Δb2=20,由最优单纯形表知 ：（ ）
xB x2 x1 x6 b x1 x2 x3 10 0 1 3 35 1 0 -1 25 0 0 -7 x4 2 -1 -5 x5 -1 1 2 x6 0 0 1
-z -215 0 0 -4 -3 -1 0 − 10 0 10 − 20 −10 ∆b = 20 B−1b = B−1b + B−1∆b = 35 + 20 = 55 0 25 40 65
以cj是非基变量的系数还是基变量的系数两种 情况来讨论。 情况来讨论。
是非基变量x 的系数，此时， 变化∆ ①若cj是非基变量 j的系数，此时，当cj变化 cj后， 要保证最终表中这个检验数仍小于或等于零即可。 要保证最终表中这个检验数仍小于或等于零即可。 是基变量x 的系数，则引起的变化较大。 ②若cj是基变量 j的系数，则引起的变化较大。
0 x5 0 1 0 0
8
CB 2 0 3
cj→ XB x1 x3 x2
-Z
b 4 2 3
2 x1 1 0 0 0
3 x2 0 0 1 0
0 x3 0 1 0 0
0 x4 0.25 -0.25 0 -0.5
0 x5 0 -0.5 0.25 -0.75
-
最优生产方案改为:x 最优生产方案改为:x1=4,x2=3,z*=4×2+3 ×3=17(元). =3,z*=4× 3=17(元
−1 −1
ax M Z = CX 则变化后的线性规划为(LP ) AX = b 1 S.T. X ≥ 0 *
因为常数项b的变动 不影响单纯形表中的检验数 因为常数项 的变动,不影响单纯形表中的检验数 的变动
Bb 故原问题 B A 的最优基是改 故原问题(Lp)的最优基是改 −C B−1b C −C B−1A 变后问题的对偶可行基 10 B B
-Z
2 b 8 16 12 0 x1 1 4 0 2
3 x2 2 0 4 3
0 x3 1 0 0 0
0 x4 0 1 0 0
0 x5 0 0 1 0 θi 4 3
5
最终单纯性表TAB(1)为 最终单纯性表TAB(1)为：
CB 2 0 3
cj→ XB x1 x5 x2
-Z
b 4 4 2 -14
0 = − 2 0 .5
−1
B
0 − 2 = 0 .5
0 . 25 0 .5 − 0 . 125
0 1 0
8 4 16 + 0 b′ = b + ∆ b = 12 0
7
B
−1
b′ = B
−1
(b + ∆ b ) 0 . 25 0 .5 − 0 . 125 0 12 1 16 0 12 4 = − 4 4
2 x1 1 0 0 0
3 x2 0 0 1 0
0 . 25 0 .5
0 x3 0 -2 0.5 0
0 0 x4 x5 0.25 0 0.5 1 -0.125 0 -1.5 -0.125
0 1 0
B
−1
− 0 . 125
6
例1中,若该厂又从别处抽出4台时用于生产这两种产 若该厂又从别处抽出4 求这时的最优方案. 品,求这时的最优方案.
14
例子(2-2) 例子
则原最优基B是新问题的对偶可行基， 则原最优基 是新问题的对偶可行基，新单纯形表如下 是新问题的对偶可行基 xB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x2 -10 0 1 3 2 -1 0 x1 55 1 0 -1 -1 1 0 0 -7 -5 2 1 x6 65 0 -z -235 0 0 -4 -3 -1 0 换基迭代得下列单纯形表： 换基迭代得下列单纯形表：
则原问题的最优基B是新问题的最优基 B−1b ≥ 0 则原问题的最优基 是新问题的最优基 只要
11
小结：约束条件右端常数项 的灵敏度分析 小结：约束条件右端常数项bi的灵敏度分析 我们可通过解不等式组 B−1b ≥ 0
0 ... B −1b + B −1 ∆bi ≥ 0 求出Δbi允许变化的范围 求出Δ 即 ... 0
小结：约束条件右端常数项 小结：约束条件右端常数项bi的灵敏度分析 故原问题的最优基是改变后问题的对偶可行基 是否成立? 取决于 B−1b ≥ 0 是否成立 是否为(LP1)的最优基 的最优基, 基B是否为 是否为 的最优基
b1 0 ... ... −1 −1 = B −1b + B −1 ∆ b ≥ 0 B b = B bi + ∆bi i ... ... 0 bm
9
小结：约束条件右端常数项 小结：约束条件右端常数项bi的灵敏度分析
ax ห้องสมุดไป่ตู้M Z = CX (LP) AX = b S.T. X ≥ 0
12
例子(2) 例子
max z = 5x1 + 4 x2 + 3x3 x1 + x2 +2x3 + x4 = 45 2 x + x + x + x = 80 1 2 3 5 s.t. x1 + 3x2 + x3 + x6 = 90 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ≥ 0
3
2.7.1资源变化的灵敏度分析 2.7.1资源变化的灵敏度分析
例1: 线性规划问题： 线性规划问题：
max S = 2x1 + 3x2 s.t. x1+2x2 <= 8 4x1 <= 16 4x2 <= 12 x1,x2>=0
4
初始单纯性表TAB(1)为 初始单纯性表TAB(1)为：
cj→ CB 0 0 0 XB x3 x4 x5
第二章 对偶问题与灵敏度分析
• 重点与难点： 重点与难点： 对偶问题的定义，对偶定理， 1、对偶问题的定义，对偶定理，对 偶问题最优解的经济含义， 偶问题最优解的经济含义，由最优单纯形 表求对偶问题最优解； 表求对偶问题最优解； 对偶单纯形法的特点， 2、对偶单纯形法的特点，对偶单纯 形法求解； 形法求解； 灵敏度分析：价值系数c 3、灵敏度分析：价值系数cj发生变 右端常数b 发生变化，增加一个变量， 化，右端常数bi发生变化，增加一个变量， 增加一个约束， 增加一个约束，A中对应非基变量的一列 元素发生变化。 元素发生变化。
2 −1 0 −1 B = −1 1 0 − 5 2 1
则原最优基B是新问题的对偶可行基， 则原最优基 是新问题的对偶可行基，新单纯形表如下 是新问题的对偶可行基 xB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 3 2 -1 0 x2 -10 0 0 -1 -1 1 0 x1 55 1 x6 65 0 0 -7 -5 2 1 -z -235 0 0 -4 -3 -1 0
1
掌握LP的灵敏度分析 掌握LP的灵敏度分析 LP
在线性规划问题中,都假定A,b,C中的元素a 是已知常数. 在线性规划问题中,都假定A,b,C中的元素aij,bi,cj是已知常数. A,b,C中的元素 但实际上这些数往往是一些估计或预测的数字, 但实际上这些数往往是一些估计或预测的数字,如市场条件一 值就会变化. 是随工艺技术条件的改变而改变, 变,cj值就会变化. aij是随工艺技术条件的改变而改变,而bi值 是根据资源投入后能产生多大经济效益来决定的一种决策选择 因此,当这些参数中的一个或几个发生变化时， 因此 当这些参数中的一个或几个发生变化时，线性规划问题的 当这些参数中的一个或几个发生变化时 最优解会有什么变化， 最优解会有什么变化，或者这些参数一个或多个在什么范围内 变化时,问题的最优解是不变的 这就是灵敏度分析 问题的最优解是不变的。 变化时 问题的最优解是不变的。这就是灵敏度分析 当线性规划问题中的一个或几个参数发生变化时, 当线性规划问题中的一个或几个参数发生变化时 可用单纯形 法 从头计算,看一看最优解有无变化 但这样做既麻烦又没必要 看一看最优解有无变化,但这样做既麻烦又没必要. 从头计算 看一看最优解有无变化 但这样做既麻烦又没必要 因 为单纯形法的迭代是从一个基到另一个基去寻找最优解的,因此 为单纯形法的迭代是从一个基到另一个基去寻找最优解的 因此 当一个或几个参数发生变化时,我们从最优单纯形表去分析 我们从最优单纯形表去分析,去寻 当一个或几个参数发生变化时 我们从最优单纯形表去分析 去寻 找即可. 找即可 2
xB X5 x1 x6 b x1 x2 x3 10 0 -1 -3 45 1 1 2 45 0 2 -1 -1 -7 x4 -2 1 -1 -5 x5 1 0 0 0 x6 0 0 1 0
-z -225 0
则得到新的最优解（ 和最优值225 则得到新的最优解（45,0,0,0,10,45)和最优值 和最优值
的最优单纯形表为如下: 的最优单纯形表为如下
xB x2 x1 x6
b x1 x2 x3 10 0 1 3 35 1 0 -1 25 0 0 -7 0 -4
x4 2 -1 -5 -3
x5 -1 1 2 -1
x6 0 0 1 0
-z -215 0
根据上述表格试对资金b2进行灵敏度分析 根据上述表格试对资金 进行灵敏度分析; 进行灵敏度分析 若资金限量改为100元,求最优生产方案。 求最优生产方案。 若资金限量改为 元 求最优生产方案
13
例子(2-1) 例子
解：（1）b2=80, Δb2=20,由最优单纯形表知 ：（ ）
xB x2 x1 x6 b x1 x2 x3 10 0 1 3 35 1 0 -1 25 0 0 -7 x4 2 -1 -5 x5 -1 1 2 x6 0 0 1
-z -215 0 0 -4 -3 -1 0 − 10 0 10 − 20 −10 ∆b = 20 B−1b = B−1b + B−1∆b = 35 + 20 = 55 0 25 40 65
以cj是非基变量的系数还是基变量的系数两种 情况来讨论。 情况来讨论。
是非基变量x 的系数，此时， 变化∆ ①若cj是非基变量 j的系数，此时，当cj变化 cj后， 要保证最终表中这个检验数仍小于或等于零即可。 要保证最终表中这个检验数仍小于或等于零即可。 是基变量x 的系数，则引起的变化较大。 ②若cj是基变量 j的系数，则引起的变化较大。
0 x5 0 1 0 0
8
CB 2 0 3
cj→ XB x1 x3 x2
-Z
b 4 2 3
2 x1 1 0 0 0
3 x2 0 0 1 0
0 x3 0 1 0 0
0 x4 0.25 -0.25 0 -0.5
0 x5 0 -0.5 0.25 -0.75
-
最优生产方案改为:x 最优生产方案改为:x1=4,x2=3,z*=4×2+3 ×3=17(元). =3,z*=4× 3=17(元
−1 −1
ax M Z = CX 则变化后的线性规划为(LP ) AX = b 1 S.T. X ≥ 0 *
因为常数项b的变动 不影响单纯形表中的检验数 因为常数项 的变动,不影响单纯形表中的检验数 的变动
Bb 故原问题 B A 的最优基是改 故原问题(Lp)的最优基是改 −C B−1b C −C B−1A 变后问题的对偶可行基 10 B B
-Z
2 b 8 16 12 0 x1 1 4 0 2
3 x2 2 0 4 3
0 x3 1 0 0 0
0 x4 0 1 0 0
0 x5 0 0 1 0 θi 4 3
5
最终单纯性表TAB(1)为 最终单纯性表TAB(1)为：
CB 2 0 3
cj→ XB x1 x5 x2
-Z
b 4 4 2 -14
0 = − 2 0 .5
−1
B
0 − 2 = 0 .5
0 . 25 0 .5 − 0 . 125
0 1 0
8 4 16 + 0 b′ = b + ∆ b = 12 0
7
B
−1
b′ = B
−1
(b + ∆ b ) 0 . 25 0 .5 − 0 . 125 0 12 1 16 0 12 4 = − 4 4
2 x1 1 0 0 0
3 x2 0 0 1 0
0 . 25 0 .5
0 x3 0 -2 0.5 0
0 0 x4 x5 0.25 0 0.5 1 -0.125 0 -1.5 -0.125
0 1 0
B
−1
− 0 . 125
6
例1中,若该厂又从别处抽出4台时用于生产这两种产 若该厂又从别处抽出4 求这时的最优方案. 品,求这时的最优方案.
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例子(2-2) 例子
则原最优基B是新问题的对偶可行基， 则原最优基 是新问题的对偶可行基，新单纯形表如下 是新问题的对偶可行基 xB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x2 -10 0 1 3 2 -1 0 x1 55 1 0 -1 -1 1 0 0 -7 -5 2 1 x6 65 0 -z -235 0 0 -4 -3 -1 0 换基迭代得下列单纯形表： 换基迭代得下列单纯形表：
则原问题的最优基B是新问题的最优基 B−1b ≥ 0 则原问题的最优基 是新问题的最优基 只要
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小结：约束条件右端常数项 的灵敏度分析 小结：约束条件右端常数项bi的灵敏度分析 我们可通过解不等式组 B−1b ≥ 0
0 ... B −1b + B −1 ∆bi ≥ 0 求出Δbi允许变化的范围 求出Δ 即 ... 0
小结：约束条件右端常数项 小结：约束条件右端常数项bi的灵敏度分析 故原问题的最优基是改变后问题的对偶可行基 是否成立? 取决于 B−1b ≥ 0 是否成立 是否为(LP1)的最优基 的最优基, 基B是否为 是否为 的最优基
b1 0 ... ... −1 −1 = B −1b + B −1 ∆ b ≥ 0 B b = B bi + ∆bi i ... ... 0 bm
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小结：约束条件右端常数项 小结：约束条件右端常数项bi的灵敏度分析
ax ห้องสมุดไป่ตู้M Z = CX (LP) AX = b S.T. X ≥ 0