运筹学第二章对偶问题
运筹学课件 第2章：线性规划的对偶理论
min w 16y1 36y2 65y3
90 y1 3 y 2 y1 2 y 2 5 y 3 70 y , y , y 0 1 2 3
原问题 A b C 约束系数矩阵
对偶问题 约束系数矩阵的转臵
约束条件的右端项向量 目标函数中的价格系数向量 目标函数中的价格系数向量 约束条件的右端项向量 Max z=CX Min w=Y’b 目标函数 AX≤b A’Y≥C’ 约束条件 X≥0 Y≥0 决策变量
若原问题为求极小形式的对称形式线性规划问题， 对偶问题应该具有什么形式？
Min w Y 'b A'Y C Y 0
max w Y 'b A'Y C Y 0
min z CX
Max z CX
AX b X 0
AX b X 0
min w 5 y1 4 y2 6 y3 4 y1 3 y2 2 y3 2 y1 2 y2 3 y3 3 3 y1 4 y3 5 2 y 7 y y 1 2 3 1 y1 0, y2 0, y3无约束
对偶问题 约束系数矩阵的转臵
目标函数中的价格系数向量
目标函数 约束条件
变量
Max z=CX m个 ≤ ≥ = n个 ≥0 ≤0 无约束
约束条件的右端项向量 目标函数 Min w=Y’b m个 ≥0 变量 ≤0 无约束 n个 ≥ 约束条件 ≤ =
【例2-3】写出下列线性规划问题的对偶问题
min 2x1 3x2 5x3 x4
1.初始表中单位阵在迭代后单纯形表中对应的位臵就是B-1 2.对于原问题的最优解，各松弛变量检验数的相反数恰好 是其对偶问题的一个可行解，且两者具有相同的目标函数 值。根据下面介绍的对偶问题的基本性质还将看到，若原 问题取得最优解，则对偶问题的解也为最优解。
运筹学第2章
-43-
运 筹 学
线性规划的对偶理论
性质3 最优性定理：如果 X 0 是原问题的可行解， 0 是其对偶 Y 问题的可行解，并且:
CX 0 BY 0
即: z w
则 X 0是原问题的最优解，Y 0是其对偶问题的最优解。
T
分别是原问题和对偶问题的可行解。 且原问题的目标函数值为
min W 20 y1 20 y2 s.t. y1 2 y2 1 2 y1 y2 2 2y1 3 y2 3 3 y1 2 y2 4 y1 , y2 0
Z CX 10
min W 20 y1 20 y2 s.t. y1 2 y2 1 2 y1 y2 2 2y1 3 y2 3 3 y1 2 y2 4 y1 , y2 0
(DP)
-41China University of Mining and Technology
-44China University of Mining and Technology
运 筹 学
线性规划的对偶理论
性质4 强(主)对偶性：若原问题及其对偶问题均具有可行解， 则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。
还可推出另一结论：若一对对偶问题中的任意一个有最优解， 则另一个也有最优解，且目标函数最优值相等；若一个问题 无最优解，则另一问题也无最优解。 一对对偶问题的关系，有且仅有下列三种： 1. 都有最优解，且目标函数最优值相等； 2. 两个都无可行解； 3. 一个问题无界，则另一问题无可行解。
-1-
运 筹 学
学习要点： 1. 理解对偶理论，掌握描述一个线性规划问题 的对偶问题。 2. 能够运用对偶单纯形法来求解线性规划问题。 3. 会用互补松弛条件来考虑一对对偶问题的界。
运筹学基础对偶线性规划(2)
y1 +2y2 +y3 ≤ 3
-3y1 +y3 ≤ -5
y1 -y2 +y3＝1
y1 ≥ 0, y2 , y3 ≤ 0
对偶问题（或原问题） 目标函数最大化（ maxZ）
n 个约束 m 个变量 目标函数价值向量（系数） 约束条件限定向量
≤ 约束 ≥
＝
≥0 变量 ≤ 0
无限制
§2.2 线性规划的对偶理论
n 个变量 m 个约束 约束条件限定向量（右边项） 目标函数价值向量
≥0 变量 ≤ 0
无限制
对偶问题（或原问题） 目标函数最大化（ maxZ）
n 个约束 m 个变量 目标函数价值向量（系数） 约束条件限定向量
≤ 约束 ≥
＝
-2 x1
x3 3
≥ 约束 ≤
≥0 变量 ≤ 0
x1,x2,x3
＝
无限制
原问题线性规划模型 对偶线性规划模型
max f 2x1 3x2 min g 8y1 16 y2 12 y3
x1 2 x2 8 s.t.44x1xx,12x2 11620
s.t.
y1 4y2 2 2y1 4y3 3
yi 0,i 1,2,3
下列的表给出了原问题模型和模型的对应关系，这些也可以
≥ 约束 ≤
＝
≥ 约束 ≤
＝
反号
Hale Waihona Puke ≤0 变量 ≥ 0无限制
原问题(maxZ)与对偶之关系：
原问题 目标函数max
对偶问题 目标函数min
n个
变 量
无 00约束
n个 约
束
条
件
原问题(maxZ)口诀: 变量决定约束是同号
约 m个
运筹学课件第二章对偶问题
第二章线性规划的对偶理论与灵敏度分析一、学习目的与要求 1、掌握对偶理论及其性质 2、掌握对偶单纯形法3、熟悉灵敏度分析的概念和内容4、掌握限制常数与价值系数、约束条件系数的变化对原最优解的影响5、掌握增加新变量和增加新的约束条件对原最优解的影响，并求出相应因素的灵敏度范围6、了解参数线性规划的解法 二、课时 6学时第一节 线性规划的对偶问题一、对偶问题的提出定义：一个线性规划问题常伴随着与之配对的、两者有密切联系的另一个线性规划问题，我们将其中一个称为原问题，另一个就称为对偶问题，在求出一个问题的解时，也同时给出了另一问题的解。
应用：在某些情况下，解对偶问题比解原问题更加容易；对偶变量有重要的经济解释(影子价格)；作为灵敏度分析的工具；对偶单纯形法(从一个非可行基出发，得到线性规划问题的最优解)；避免使用人工变量(人工变量带来很多麻烦，两阶段法则增加一倍的计算量)。
例：某家具厂木器车间生产木门与木窗；两种产品。
加工木门收入为56元/扇，加工木窗收入为30元/扇。
生产一扇木门需要木工4小时，油漆工2小时；生产一扇木窗需要木工3小时，油漆工1小时；该车间每日可用木工总共时为120小时，油漆工总工时为50小时。
问：(1)该车间应如何安排生产才能使每日收入最大？(2)假若有一个个体经营者，手中有一批木器家具生产订单。
他想利用该木器车间的木工与油漆工来加工完成他的订单。
他就要考虑付给该车间每个工时的价格。
他可以构造一个数学模型来研究如何定价才能既使木器车间觉得有利可图而愿意为他加工这批订单、又使自己所付的工时费用最少。
解(1)：设该车间每日安排生产木门x1扇，木窗x2扇，则数学模型为⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=-0502120343056max 21212121x x x x x x x zX*=(15,20)’ Z*=1440元解(2)：设y 1为付给木工每个工时的价格，y 2为付给油工每个工时的价格⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=-0303562450120min 21212121y y y y y y y wY*=(2,24)’ W*=1440元将上述问题1与问题2称为一对对偶问题，两者之间存在着紧密的联系与区别：它们都使用了木器生产车间相同的数据，只是数据在模型中所处的位置不同，反映所要表达的含义也不同。
运筹学--第二章 线性规划的对偶问题
习题二2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题(1) max z ＝10x1＋x2＋2x3(2) max z ＝2x1＋x2＋3x3＋x4st. x1＋x2＋2 x3≤10 st. x1＋x2＋x3 ＋x4≤54x1＋x2＋x3≤20 2x1－x2＋3x3＝－4x j≥0 （j＝1,2,3）x1－x3＋x4≥1x1，x3≥0，x2，x4无约束(3) min z ＝3x1＋2 x2－3x3＋4x4(4) min z ＝－5 x1－6x2－7x3st. x1－2x2＋3x3＋4x4≤3 st. －x1＋5x2－3x3≥15x2＋3x3＋4x4≥－5 －5x1－6x2＋10x3≤202x1－3x2－7x3 －4x4＝2＝x1－x2－x3＝－5 x1≥0，x4≤0，x2，，x3无约束x1≤0，x2≥0，x3无约束2.2 已知线性规划问题max z＝CX，AX=b，X≥0。
分别说明发生下列情况时，其对偶问题的解的变化：（1）问题的第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）；（2）将第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）后加到第r个约束条件上；（3）目标函数改变为max z＝λCX（λ≠0）；'x代换。
（4）模型中全部x1用312.3 已知线性规划问题min z＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4st. x1＋2x2＋x4≥33x1＋x2＋x3＋x4≥6x3 ＋x4＝2x1 ＋x3 ≥2x j≥0（j＝1,2,3,4）(1) 写出其对偶问题；(2) 已知原问题最优解为x*＝（1，1，2，0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
2.4 已知线性规划问题min z＝2x1＋x2＋5x3＋6x4 对偶变量st. 2x1 ＋x3＋x4≤8 y12x1＋2x2＋x3＋2x4≤12 y2x j≥0（j＝1,2,3,4）对偶问题的最优解y1*=4；y2*=1，试对偶问题的性质，求出原问题的最优解。
2.5 考虑线性规划问题max z＝2x1＋4x2＋3x3st. 3x1＋4 x2＋2x3≤602x1＋x2＋2x3≤40x1＋3x2＋2x3≤80x j≥0 （j＝1,2,3）４７４８（1）写出其对偶问题（2）用单纯形法求解原问题，列出每步迭代计算得到的原问题的解与互补的对偶问题的解；（3）用对偶单纯形法求解其对偶问题，并列出每步迭代计算得到的对偶问题解及与其互补的对偶问题的解；（4）比较（2）和（3）计算结果。
运筹学第二章对偶问题
DUAL PRICES
1.500000 0.125000 0.000000
影子价格 （对 偶问题的解）
迭代（旋转）次数 NO. ITERATIONS= 2
用软件分析
目标不变下要素的变化范围 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
目标系数的变化范围
VARIABLE
CB XB b y1 y2 y3 y4 y5 y6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy7
i
M y5 2 1 4 0 1 1 0 0
M y7 3 2
0 [ 4] 0
0 1 1
3/4
83M 164M 124M M 0
M0
8 16 12 0 M 0 M
CB XB b y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7
i
M y5 2 1
4 0 1 1 0 0
M0
3 M－3
8 16 12 0 M 0 M
CB XB b y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7
i
M y5 2
1 [ 44 ] 0 1 1
0 0 1/2
12 y3 3/4 1/2 0 1
0 0 1/4 1/4 －
2-M 16-4M 0
M0
3 M－3
8 16 12 0 M 0 M
CB XB b y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7
两边乘以“1”
5x1 3x2 + x3 200 5x1 3x2 + x3 200
Max z = 3x1 +4x2 +6x3 St. 2x1 +3x2 +6x3 440 6x1 +4x2 + x3 100 对偶 5x1 3x2 + x3 200 5x1 +3x2 x3 200 x1 ，x2 ，x3 0
运筹学第二章线性规划的对偶理论
(5.5) (5.6)
4.3 对偶问题的基本性质
证： 设B是一可行基，于是A=(B,N)
max z=CBXB+ CNXN BXB+BXN +Xξ=b X,XB,Xξ ≥0
其中Yξ=(Yξ1, Yξ2)
min ω =Yb YB－Yξ1=CB YN－Yξ2=CN Y, Yξ1 Yξ2 ≥0
(5.5) (5.6)
x1﹐x2 ≥0
关系？
对原模型设： 1 2
A= 4 0 b=(8,16,12)T C=(2，3) 04
X=（x1，x2）T Y=（y1，y2 ，y3 ） 则可得:
4.1 对偶问题的提出
min ω=8 y1+16y2 +12y3
y1+4y2
≥2
2 y1 +4y3≥3
与
y1 ， y2 ，y3≥0 12
max z＝2x1+3x2 x1＋ 2x2 ≤8
4x1
≤16
4x2 ≤12
x1﹐x2 ≥0
有何关 系？
对愿模型设： A= 4 0 04
b=(8,16,12)T C=(2，3)
X=（x1，x2）T
Y=（y1，y2 ，y3 ） 则可得:
max z=CX AX≤b （5.1） 和
min ω =Yb YA ≥ C （5.2）
120
A=
1 -3
0 2
1 1
1 -1 1
b=(2,3,-5,1)T C=(5,4, 6)
确定约束条件
YA
C
x1 ≥0 ﹐x2≤0, x3 无约束
解：因原问题有3个变 于是 量，4个约束条件， 所以对偶问题4个 变量，3个约束条
运筹学第二章第6讲
例题4：写出以下模型的对偶问题
max z = 3 x1 − 2 x2 − 5 x3 + 7 x4 + 8 x5 x2 − x3 + 3 x4 − 4 x5 = −6 2 x1 + 3 x2 − 3 x3 − x4 ≥ 2 − x1 + 2 x3 − 2 x4 ≤ −5 s.t. − 2 ≤ x1 ≤ 10 5 ≤ ≤ 25 x2 , ≥ 0, 为自由变量 x5 x3 x4
OR1
对偶问题（或原问题） 对偶问题（或原问题） 目标函数 MinW
约束条件数： 约束条件数：n 第i个约束条件类型为“≥” 个约束条件类型为“ ” 个约束条件类型为 个约束条件类型为“ ” 第i个约束条件类型为“≤” 个约束条件类型为 个约束条件类型为“ 第i个约束条件类型为“=” 个约束条件类型为 对偶变量数： 个 对偶变量数：m个 第i个变量 个变量≥0 个变量 个变量≤0 第i个变量 个变量 第i个变量是自由变量 个变量是自由变量
OR1
15
2 弱对偶性：极大化原问题的任一可行解的目标 弱对偶性： 函数值不大于其对偶问题任意可行解的目标函数 值。即： C X≤ Yb
证明：设原问题为maxZ=CX, AX ≤b ，X ≥0. ≥0. 证明： 原问题为maxZ=CX,
为原问题的可行解， ≤b， X 为原问题的可行解，有AX ≤b，
二.对偶线性规划的定义 对偶线性规划的定义
max Z = CX ( LP ) AX ≤ b S .T . X ≥ 0
称线性规划(DLP)为线性规划 为线性规划(LP)的对偶线性规划 称线性规划 为线性规划 的对偶线性规划
minω = yb ( DLP ) yA ≥ C S .T . y ≥ 0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Max z = 3x1 +4x2 +6x3 St. 2x1 +3x2 +6x3 440 6x1 +4x2 + x3 100 对偶 5x1 3x2 + x3 200 5x1 +3x2 x3 200 x1 ，x2 ，x3 0
Min w = 440y1 100y2 +200y4 200y5 2y1 6y2 +5y4 5y5 3 3y1 +4y2 3y4 +3y5 4 6y1 + y2 + y4 y5 6 y1 , y2 , y4 , y5 0
y1元/小 时y2元/kg y3元/kg
Min = 8y1 + 16y2 + 12y3
y1 + 4y2
2
2y1
+ 4y3 3
y1 ，y2，y3 0
例2-1 求解此16y2 + 12y3 +0y4 + My5 + 0y6 + My7
y1 + 4y2
y4 + y5
第二章 对偶问题与灵敏度分析
2.1 对偶问题的提出 例1-1
设备 原材料A 原材料B
单位利润
I II 12 40 04
23
8台时 16kg 12kg
线性规划模型: 资源出租出让价格 对偶问题
Max z = 2x1 +3x2 St. x1 +2x2 8 4x1 16 4x2 12 x1 ，x2 0
6y1 + y2 + y3 6
y1 , y2 , y4 , y5 0
y1 , y2 0, y3 ：unr
当原问题的第 i 个约束条件为“=”时，其对偶问题的第 i 个变量没有符号约束
例2-3：求下面线性规划问题的对偶问题
Min w = 3x1 +9x2 +4x3
St. x1 + 2x2 +3x3 = 180
Min w = 440y1 100y2 +200（y4 y5 ）
Min w = 440y1 100y2 +200y3
2y1 6y2 +5(y4 y5 )3 令 y3 = y4 y5 3y1 +4y2 +3(y4 y5 )4
2y1 6y2 +5y3 3 3y1 +4y2 +3y3 4
6y1 + y2 + (y4 y5 )6
对于其他形式的对偶问题，可以先转化为上述形式，再求对偶问题
例2-2：求下面线性规划问题的对偶问题
Max z = 3x1 +4x2 +6x3 St. 2x1 +3x2 +6x3 440 6x1 4x2 x3 100 5x1 3x2 + x3 = 200 x1 ，x2 ，x3 0
两边乘以“1”
5x1 3x2 + x3 200 5x1 3x2 + x3 200
M0
8 16 12 0 M 0 M
CB XB b y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7
i
M y5 2 1
4 0 1 1 0 0
M y7 3 2 0 [ 4 ] 0 0 1 1
3/4
83M 164M 124M M 0
M0
8 16 12 0 M 0 M
CB XB b y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7
2x1 3x2 + x3 60
5x1 +3x2
240
x1 ，x2 0 ，x3:unr
两边乘以“1”
Min w = 3x1 +9x2 +4x3
Max z = 180y1 60y2 +240y3
St. x1 + 2x2 +3x3 = 180 对偶
y1 2y2 +5y3 3
2x1 +3x2 x3 60
Min = b1 y1 + b2 y2 + ……+ bm ym St. a11 y1 + a21 y2 + ……+ am1 ym c1 a12 y1 + a22 y2 + ……+ am2 ym c2
a1n y1 + a2n y2 + ……+ amn ym cn y1 , y2 ,…… ym 0
0
1
1/2 1/8
0
z 14 0
0 3/2 1/8
0
8 16 12 0 M 0 M
CB XB b y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 16 y2 1/8 0 1 1/2 1/4 1/4 1/8 1/8
8 y1 3/2 1 0 2
0 0 1/2 1/2
y 14 0 0 4
4 M4 2 M2
2.2 对偶问题的一般形式
Min w = 440y1 100y2 +200y4 200y5 2y1 6y2 +5y4 5y5 3 3y1 +4y2 +3y4 3y5 4 6y1 + y2 + y4 y5 6 y1 , y2 , y4 , y5 0
Max z = 3x1 +4x2 +6x3 St. 2x1 +3x2 +6x3 440 6x1 4x2 x3 100 5x1 3x2 + x3 = 200 x1 ，x2 ，x3 0
=2
2y1
+ 4y3
y6 + y7 = 3
y1 , y2, y3 , y4 , y5 , y6 , y7 0
8 16 12 0 M 0 M
CB XB b y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7
i
M y5 2 1 4 0 1 1 0 0
M y7 3 2
0 [ 4] 0
0 1 1
3/4
83M 164M 124M M 0
2y1 +3y2 +3y3 9
5x1 +3x2
240
x1 ，x2 0 ，x3:unr
3y1 y2
=4
y1 ：unr, y2 , y3 0,
原问题（或对偶问题） 对偶问题（或原问题）
目标函数 MaxZ
目标函数 MinW
约束条件数：m个
对偶变量数：m个
第i个约束条件类型为“≤”第i个变量≥0
第i个约束条件类型为“≥”第i个变量≤0
i
M y5 2
1 [ 44 ] 0 1 1
00
1/2
12 y3 3/4 1/2 0 1
0 0 1/4 1/4 －
2-M 16-4M 0
M0
3 M－3
比较原问题和对偶问题的最优单纯形表，得
2 3 00
0
CB XB b
x1
x2
x3
x4
x5
2 x1 4
1
0
0 1/4
0
0 x5 4
0
0 2 1/2
1
3 x2 2
Max z = c1 x1 + c2 x2 + ……+ cn xn St. a11 x1 + a12 x2 + ……+ a1n xn b1 对偶问题 a21 x1 + a22 x2 + ……+ a2n xn b2 ……
am1 x1 + am2 x2 + ……+ amn xn bm x1 , x2 ,…… xn 0