初中数学二次函数的几何性质精选(学生版)
初三数学《二次函数》知识点总结和经典习题(附答案)
初三数学 二次函数 知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c=+上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小； 当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大； 当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式（交点式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b 为0对称轴为y 轴） 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．. ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3） 2. 把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A. 22(1)y x =-+ B. 22(1)y x =-- C. 221y x =-+ D. 221y x =--3.函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ ）Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7.方程222x x x-=的正根的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x x =-- B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++ D. 22y x x =---或22y x x =++二、填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______。
二次函数的性质ppt课件
(2)当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求 二次函数的表达式． 解：∵当 x≤0 时，y 的最大值为 2，当 x＞0 时，y 的最大值 为 3，∴抛物线的对称轴 x＝b2在 y 轴的右侧．∴b＞0. ∵抛物线开口向下，当 x≤0 时，y 的最大值为 2，∴c＝2. 又∵4×(－4×1(－)×c1－) b2＝3，∴b＝±2. ∵b＞0，∴b＝2.∴二次函数的表达式为 y＝－x2＋2x＋2.返回
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点.
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3．【2023·广州】已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线 y＝x2－3上，且 0＜x1＜x2，则y1___<_____y2.(填“<”“>” 或“＝”)
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4．已知二次函数y＝x2＋(m－1)x＋1，当x＞1时，y随x的增 大而增大，则m的取值范围是____m_≥_－__1．
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5．一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点在y轴正半轴 上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函 数的表达式可以是____y_＝__－__x_2＋__1_(_答__案__不__唯__一__)．
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6． 已知函数y＝－x2－7x＋18. (1)确定该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； 解：y＝－x2－7x＋18＝－x＋722＋1241. 该函数图象的开口向下，对称轴为直线 x＝－72， 顶点坐标为－72，1241.
x
2
b a
x
(
b 2a
)2
(b 2a
)2
c
y a(x b )2 4ac b2
2a
4a
a(x b )2 4ac b2
2a
4a
新知学习
初中数学二次函数知识点总结归纳
初中数学二次函数知识点总结归纳一、二次函数的定义及表示法：二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a, b, c为常数，且a ≠ 0。
二、二次函数的图像：1.抛物线：二次函数的图像成为抛物线，该抛物线的开口方向由a的符号决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2.顶点：抛物线的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中(-b/2a)为抛物线的对称轴。
若a>0，则顶点为最小值点；若a<0，则顶点为最大值点。
3.轴对称性：二次函数的图像关于x=-b/2a对称。
3. 平移：二次函数的图像可以通过平移进行变换。
对f(x) = ax^2 + bx + c，平移后的二次函数为f(x) = a(x - h)^2 + k。
若h>0，则向右平移h个单位；若h<0，则向左平移，h，个单位。
若k>0，则向上平移k个单位；若k<0，则向下平移，k，个单位。
4. 变伸缩：二次函数的图像也可以通过变伸缩进行变换。
对f(x) = ax^2 + bx + c，缩放后的二次函数为f(x) = a(cx)^2 + b(cx) + c。
若c>1，则在x轴方向上缩小，纵轴方向上拉长；若0<c<1，则在x轴方向上拉长，纵轴方向上缩小。
若b>0，则抛物线的顶点向左移动；若b<0，则抛物线的顶点向右移动。
二次函数的图像通过平移和变伸缩可以得到不同的形状，从而对应不同的函数。
三、二次函数的性质：1.零点：即二次函数的解，即f(x)=0的解。
根据二次函数的特点，f(x)=0有两个解、一个解或者无解。
2.零点坐标的关系：对于f(x) = ax^2 + bx + c：若b^2 - 4ac = 0，则有且只有一个零点，即二次函数与x轴交于一点；若b^2 - 4ac > 0，则有两个不相等的零点，即二次函数与x轴交于两点；若b^2 - 4ac < 0，则没有实数解，即二次函数与x轴不交。
中考数学复习《函数的基本性质---二次函数》PPT考点与例题讲义
考点
一、二次函数的概念：一般地，形如 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）的函数，叫做二 次函数． 二、二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k 为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中 x1，x2 是二次函数与 x 轴的交点的横坐标，a ≠0．
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【答案】C 【分析】由图像可知 a＜0，c＞0，由对称轴得 b=2a＜0，则 abc＞0，故①错误；当 x=1 时， y=a+b+c=a+2a+c=3a+c＜0，得②正确；由 x=-1 时，y 有最大值，得 a-b+c≥am2+bm+c，得③ 错误；由题意得二次函数 y=ax2+bx+c 与直线 y=-2 的一个交点为（-3，-2），另一个交点为 （1，-2），即 x1=1，x2=-3，进而得出④正确，即可得出结论．
（1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在 x 轴上，求其解析式；
【答案】（1）x 1；（2）y 3 x2 3x 3 或 y x2 2x 1 ；（3）当 a＞0 时，1 m 3；
2
2
当 a＜0 时， m 1或 m 3 ．
【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系：二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大 小．当 a＞0 时，抛物线向上开口；当 a＜0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系 数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时，对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时，对称 轴在 y 轴右．常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点：抛物线与 y 轴交于（0，c）．
人教版2020年九年级数学上册 二次函数-函数的性质及几何变换(含答案)
人教版2020年九年级数学上册二次函数-函数的性质及几何变换一、选择题1.已知二次函数y=2(x+1)(x﹣a)，其中a＞0，且对称轴为直线x=2，则a的值是( )A.3B.5C.7D.不确定2.点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y=－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )A.y3＞y2＞y1B.y3＞y1=y2C.y1＞y2＞y3D.y1=y2＞y33.一次函数y=ax＋b(a≠0)与二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )4.函数y=﹣2x2﹣8x+m的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＜x2＜﹣2，则( )A.y1＜y2B.y1＞y2C.y1=y2D.y1、y2的大小不确定5.已知二次函数y=3(x-1)2+k的图象上有A(，y1)，B(2，y2)，C(-，y3)三个点，则y1，y2，y3的大小关系是( )A.y1>y2>y3B.y2>y1>y3C.y3>y1>y2D.y3>y2>y16.已知关于x的方程ax2+bx+c=5的一个根是2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则这条抛物线的顶点坐标为（）A.（2,﹣3）B.（2,1）C.（2,5）D.（5,2）7.对于抛物线y=﹣x2+2x+3，有下列四个结论：①它的对称轴为x=1；②它的顶点坐标为（1，4）；③它与y轴的交点坐标为（0，3），与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0）；④当x＞0时，y随x的增大而减小.其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．48.若将抛物线y=5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为( )A.y =5(x-2)2+1B.y =5(x+2)2+1C.y =5(x-2)2-1D.y =5(x+2)2-19.在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2－4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为( )A.y=(x＋2)2＋2B.y=(x-2)2-2C.y=(x-2)2＋2D.y=(x＋2)2-210.抛物线y=x2+bx+c图象向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图象的解析式为y=x2﹣2x﹣3，则b、c的值为（）A.b=2，c=2B.b=2，c=0C.b=﹣2，c=﹣1D.b=﹣3，c=2二、填空题11.已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y=－x2＋bx＋c上两点，该抛物线的顶点坐标是________.12.二次函数y=x2+6x+5图象的顶点坐标为 ．13.如图，点E是抛物线y=a(x﹣2)2+k的顶点，抛物线与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，与抛物线交于点B，与对称轴交于点D．点A是对称轴上一点，连结AC、AB．若△ABC是等边三角形，则图中阴影部分图形的面积之和是．14.抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y=0，则x= ．15.如图，抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴相交于点A、B(m＋2，0)，与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为(m，c)，则点A的坐标是________.16.把抛物线y=x2-4x+5的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是三、解答题17.已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标．18.如图，已知抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，点B(3，0)，且过点C(0，－3).(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标；(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=－x上，并写出平移后抛物线的函数表达式.19.已知二次函数y=ax2＋bx-3的图象经过点A（2,-3）,B（-1,0）.（1）求二次函数的解析式；（2）若把图象沿y轴向下平移5个单位,求该二次函数的图象的顶点坐标.20.如图,抛物线的顶点D的坐标为(1,﹣4),与y轴交于点C(0,﹣3),与x轴交于A、B两点．(1)求该抛物线的函数关系式；(2)在抛物线上存在点P(不与点D重合),使得S△PAB=S△ABD,请求出P点的坐标．21.如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D.（1）请直接写出D点的坐标.（2）求二次函数的解析式.（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.22.已知二次函数y=ax2-4x+c的图象过点(-1, 0)和点(2,-9)．(1) 求该二次函数的解析式并写出其对称轴；(2) 已知点P(2 , -2),连结OP , 在x轴上找一点M,使△OPM是等腰三角形,请直接写出点M的坐标(不写求解过程).参考答案1.答案为：B.2.D 3.C4.A5.答案为：C6.C7.C.8.A9.B10.B11.答案为：(1，4)；12.答案为：(﹣3，﹣4)．13.答案为2．14.答案为:﹣3或115.答案为：(－2，0).16.答案为：y=x2-10x+2417.解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）．∴抛物线的解析式为；y=﹣（x﹣3）（x+1），即y=﹣x2+2x+3，（2）∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）．18.解：(1)∵抛物线与x轴交于点A(1，0)，点B(3，0)，∴可设抛物线表达式为y=a(x－1)(x－3)，把C(0，－3)的坐标代入，得3a=－3，解得a=－1，故抛物线表达式为y=－(x－1)(x－3)，即y=－x2＋4x－3.∵y=－x2＋4x－3=－(x－2)2＋1，∴抛物线的顶点坐标为(2，1)；(2)答案不唯一，如：先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y=－x2，平移后抛物线的顶点为(0，0)，落在直线y=－x上.19.解：(1)由已知,有,即,解得∴所求的二次函数的解析式为.(2)（1,）20.解：(1)∵抛物线的顶点D的坐标为(1,﹣4),∴设抛物线的函数关系式为y=a(x﹣1)2﹣4,又∵抛物线过点C(0,﹣3),∴﹣3=a(0﹣1)2﹣4,解得a=1,∴抛物线的函数关系式为y=(x﹣1)2﹣4,即y=x2﹣2x﹣3；(2)∵S△PAB=S△ABD,且点P在抛物线上,∴点P到线段AB的距离一定等于顶点D到AB的距离,∴点P的纵坐标一定为4．令y=4,则x2﹣2x﹣3=4,解得x1=1+2,x2=1﹣2．∴点P的坐标为(1+2,4)或(1﹣2,4)．21.解：（1）∵如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，∴对称轴是x=﹣1.又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，∴D（﹣2，3）；（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），根据题意得，解得，所以二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（3）如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1.22.解：(1)对称轴是x=2(2)。
初中数学中的二次函数
二次函数：了解它的定义、性质和应用在初中数学中，我们学习了很多关于函数的知识。
其中，二次函数是一种非常常见的函数形式，被广泛应用于各个领域，例如经济学、物理学等。
本文将为您详细介绍二次函数的定义、性质和应用。
1. 什么是二次函数？二次函数是指形如$y=ax^2+bx+c$ 的函数，其中$a,b,c$ 都是实数且$a\neq0$。
其中，$a$ 控制着二次函数的开口方向和大小，$b$ 控制着二次函数的平移位置，$c$ 则是二次函数的纵截距。
2. 二次函数的性质（1）对称性二次函数的图像关于其顶点对称。
当$a>0$ 时，二次函数开口朝上，顶点为最小值点；当$a<0$ 时，二次函数开口朝下，顶点为最大值点。
（2）零点二次函数的零点是指函数图像与 $x$ 轴相交的点。
当 $b^2-4ac>0$ 时，二次函数有两个不同的实根；当$b^2-4ac=0$ 时，二次函数有一个重根；当$b^2-4ac<0$ 时，二次函数没有实根。
（3）最值当 $a>0$ 时，二次函数的最小值等于其顶点的纵坐标；当 $a<0$ 时，二次函数的最大值等于其顶点的纵坐标。
3. 二次函数的应用（1）物理学在物理学中，二次函数常被用于描述抛物线运动。
例如，一个运动物体在重力作用下的运动轨迹就可以用二次函数来表示。
（2）经济学在经济学中，二次函数常被用于分析成本和收益之间的关系。
例如，一家企业的生产成本可以用二次函数来表示，通过求导可以得到该企业的最优生产量。
（3）统计学在统计学中，二次函数常被用于拟合散点图。
例如，通过将散点图拟合成二次函数，可以预测出未来的趋势和表现。
总结在本文中，我们详细介绍了二次函数的定义、性质和应用。
二次函数在数学和其他学科中都有着广泛的应用，是我们必须掌握的一种函数形式。
希望本文对您学习二次函数有所帮助。
初中数学知识归纳二次函数的性质与变形
初中数学知识归纳二次函数的性质与变形初中数学知识归纳：二次函数的性质与变形二次函数是初中数学中重要的一个概念，它在解决实际问题中有着广泛的应用。
在学习二次函数时，我们需要了解其性质和变形。
通过归纳与总结，本文将介绍二次函数的性质与变形，帮助读者更好地掌握这一内容。
一、二次函数的性质1. 对称轴与顶点二次函数的图像是一条抛物线，它的对称轴是通过抛物线顶点的一条线。
对称轴与x轴垂直，是抛物线的镜像轴。
顶点是抛物线的最低点或最高点，也是对称轴上的点。
2. 开口方向与最值二次函数的开口方向取决于二次项的系数，当二次项系数大于0时，抛物线向上开口，最值为最小值；当二次项系数小于0时，抛物线向下开口，最值为最大值。
3. 零点与交点二次函数的零点是使函数值为0的自变量值。
可以通过求解二次方程来计算零点。
当二次函数与x轴相交时，交点即为零点。
二、二次函数的变形1. 平移变换平移变换改变了函数图像的位置，有以下两种情况：a. 水平平移：将二次函数的图像沿着x轴平移，平移的距离取决于平移向量的值。
当平移向量为正时，图像左移；当平移向量为负时，图像右移。
b. 垂直平移：将二次函数的图像沿着y轴平移，平移的距离取决于平移向量的值。
当平移向量为正时，图像上移；当平移向量为负时，图像下移。
2. 缩放变换缩放变换改变了函数图像的形状和大小，有以下两种情况：a. 水平缩放：将二次函数的图像沿着x轴缩放，缩放的比例由缩放因子确定。
当缩放因子大于1时，图像变宽；当缩放因子在0和1之间时，图像变窄。
b. 垂直缩放：将二次函数的图像沿着y轴缩放，缩放的比例由缩放因子确定。
当缩放因子大于1时，图像变高；当缩放因子在0和1之间时，图像变矮。
3. 翻折变换翻折变换改变了函数图像关于x轴或y轴的对称性，有以下两种情况：a. x轴翻折：将二次函数的图像沿着x轴翻折，改变了抛物线的开口方向。
原本向上开口的抛物线变为向下开口，反之亦然。
b. y轴翻折：将二次函数的图像沿着y轴翻折，改变了抛物线的左右关系。
4 二次函数的性质(学生版)
新高一暑假数学讲义 “二次函数的性质” 学生姓名 授课日期 教师姓名 授课时长
知识定位 本讲内容：二次函数的形式、二次函数的性质、二次函数与x轴交点的分布 掌握目标：熟练掌握二次函数几种形式的几何意义以及适用场合，了解二次函数的对称性等性质，对二次函数与x轴交点分布的各种情况能熟练掌握。 考试分析：二次函数不但是初中的重点难点，也是高中二次不等式经常涉及的内容，高中对二次函数的单调性和零点作了更具体的讨论，也是高考的重点，一般以大题的形式出现。
知识梳理 知识梳理1：二次函数的性质 一、二次函数的表示方式： 1.一般式：cbxaxxf2)(
)0(a
2.顶点式：cababxaxf4)2()(22 )0(a 3.交点式：))(()(
21xxxxaxf
注意：1x、2x是二次函数与x轴交点的横坐标，因此与x轴没有交点的二次函数没有交点式 二、 二次函数的性质： 1.对称性：二次函数cbxaxxf2)(
)0(a
关于直线abx2对称：ba,同号，
对称轴在y轴左侧；ba,异号，对称轴在y轴右侧；0b，对称轴是y轴
2.顶点：二次函数与对称轴唯一的交点，坐标为：)44,2(2abacab 3.二次项系数a ：0a时，二次函数图像开口向上；0a时，二次函数图像开 口向下 a越大，二次函数图像的开口越小（函数值增长得越快）
开口向上时，顶点处的函数值是二次函数的最小值；开口向下时，顶点处的函数值是二次函数的最大值（注意顶点应在定义域内） 4.单调性：0a时，对称轴左侧单调递减，右侧单调递增；0a时，左侧递增，右侧递减
知识梳理2. 二次方程实根分布的讨论 一、 二次函数与一元二次方程的关系 对于二次函数cbxaxxf2)( )0(a，当0)(xf时，即02cbxax，也就是一元二次方程。因此一元二次方程是否有根等价于相应的二次函数是否与x轴有交点。 若acb420，则cbxaxxf2)(与x轴有两个不同的交点； 若acb42=0，则cbxaxxf2)(与x轴只有一个交点； 若acb420，则cbxaxxf2)(与x轴无交点.
初中数学知识归纳二次函数的性质与计算
初中数学知识归纳二次函数的性质与计算初中数学知识归纳：二次函数的性质与计算二次函数是中学数学中的重要内容，它是一种具有二次项的函数。
在学习二次函数时，我们需要了解二次函数的性质以及如何进行计算。
本文将归纳二次函数的性质，包括顶点、对称轴、判别式和解等内容，并介绍二次函数的计算方法。
一、二次函数的性质1. 顶点：二次函数的图像为抛物线，该抛物线的顶点是二次函数的重要性质之一。
顶点可以通过公式求得，对于一般形式的二次函数 y = ax^2 + bx + c，顶点的 x 坐标为 x = -b/2a，y 坐标为 y = f(-b/2a)。
2. 对称轴：二次函数的图像是关于对称轴对称的，对称轴也是二次函数的重要性质之一。
对称轴可以通过顶点的 x 坐标进行求解，对称轴的方程为 x = -b/2a。
3. 判别式：判别式在解二次方程时起到重要作用。
对于一般形式的二次函数 y = ax^2 + bx + c，判别式可以通过公式求得，判别式的值为Δ = b^2 - 4ac。
判别式的正负与二次函数的根有关，当Δ > 0 时，二次函数有两个不相等的实数根；当Δ = 0 时，二次函数有两个相等的实数根；当Δ < 0 时，二次函数没有实数根。
4. 极值点：极值点是二次函数的最值点，对于开口向上的二次函数，极小值为顶点的 y 坐标；对于开口向下的二次函数，极大值为顶点的 y 坐标。
二、二次函数的计算1. 解二次方程：解二次方程是二次函数内容中的重点之一。
对于一般形式的二次方程 ax^2 + bx + c = 0，可以使用求根公式来解方程。
求根公式为 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
其中，若判别式Δ > 0，则有两个不相等的实数根；若Δ = 0，则有两个相等的实数根；若Δ < 0，则无实数根，解为复数。
2. 求解函数值：给定二次函数的函数式以及 x 的值，我们可以通过代入变量计算出函数的值。
2013-2014中考数学专题复习学生版第十四讲 二次函数的图象和性质
第十四讲 二次函数的图象和性质【基础知识回顾】一、二次函数的定义：一般地如果y= （a 、b 、c 是常数a≠0）那么y 叫做x 的二次函数【名师提醒： 二次函数y=kx 2+bx+c(a≠0)的结构特征是：1、等号左边是函数，右边是 关 于 自 变 量x 的 二 次 式，x 的 最 高 次 数 是 ， 按 一次排列 2、强调二次项系数a 0】二、二次函数的同象和性质：1、二次函数y=kx 2+bx+c(a≠0)的同象是一条 ，其定点坐标为 对称轴式2、在抛物y=kx 2+bx+c(a≠0)中：①、当a>0时，y 口向 ，当x<ab2-时，y 随x 的增大而 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，②、当a<0时，开口向 当x<ab2-时，y 随x 增大而增大，当x 时，y 随x 增大而减小【名师提醒：注意几个特殊形式的抛物线的特点 1、y=ax 2 ,对称轴 定点坐标2、y= ax 2 +k ，对称轴 定点坐标3、y=a(x-h) 2对称轴 定点坐标4、y=a(x-h) 2 +k 对称轴 定点坐标 】 三、二次函数同象的平移【名师提醒：二次函数的平移本质可看作是定点问题的平移，固然要掌握整抛物线的平移，只要关键的顶点平移即可】四、二次函数y= ax 2+bx+c 的同象与字母系数之间的关系：a:开口方向 向上则a 0,向下则a 0 ｜a ｜越大，开口越 b:对称轴位置，与a 联系一起，用 判断b=0时，对称轴是c:与y 轴的交点：交点在y 轴正半轴上，则c 0负半轴上则c 0，当c=0时，抛物点过 点【名师提醒：在抛物线y = ax 2+bx+c 中，当x=1时，y= 当x=-1时y= ,经常根据对应的函数值判考a+b+c 和a-b+c 的符号】 【重点考点例析】考点一：二次函数图象上点的坐标特点例1 （2012•常州）已知二次函数y=a （x-2）2+c （a ＞0），当自变量x 、3、0时，对应的函数值分别：y 1，y 2，y 3，，则y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是（ ） A ．y 3＜y 2＜y 1 B ．y 1＜y 2＜y 3 C ．y 2＜y 1＜y 3 D ．y 3＜y 1＜y 2点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大． 对应训练1．（2012•衢州）已知二次函数y=12-x 2-7x+152，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＞y3＞y1D．y2＜y3＜y1考点二：二次函数的图象和性质例2 （2012•咸宁）对于二次函数y=x2-2mx-3，有下列说法：①它的图象与x轴有两个公共点；②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1；④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3．其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）考点：二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．点评：本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象与几何变换、抛物线与x轴的交点，综合性较强，体现了二次函数的特点．对应训练2．（2012•河北）如图，抛物线y1=a（x+2）2-3与y2=12（x-3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2-y1=4；④2AB=3AC；其中正确结论是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④考点三：抛物线的特征与a、b、c的关系例3 （2012•玉林）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，有如下结论：①c＜1；②2a+b=0；③b2＜4ac；④若方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=2，则正确的结论是（）A．①② B．①③ C．②④ D．③④点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．对应训练3．（2012•重庆）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示对称轴为x=12 ．下列结论中，正确的是（）A．abc＞0 B．a+b=0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b考点四：抛物线的平移例4 （2012•桂林）如图，把抛物线y=x2沿直线y=x个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线解析式是（）A．y=（x+1）2-1 B．y=（x+1）2+1 C．y=（x-1）2+1 D．y=（x-1）2-1点评：此题主要考查了二次函数图象的几何变换，关键是求出A点坐标，掌握抛物线平移的性质：左加右减，上加下减．对应训练4．（2012•南京）已知下列函数①y=x2；②y=-x2；③y=（x-1）2+2．其中，图象通过平移可以得到函数y=x2+2x-3的图象的有（填写所有正确选项的序号）．4．①③【聚焦山东中考】1．（2012•泰安）二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限2．（2012•济南）如图，二次函数的图象经过（-2，-1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是（）A．y的最大值小于0 B．当x=0时，y的值大于1C．当x=-1时，y的值大于1 D．当x=-3时，y的值小于03．（2012•菏泽）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数ayx在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．4．（2012•泰安）设A（-2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=-（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2 5．（2012•烟台）已知二次函数y=2（x-3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=-3；③其图象顶点坐标为（3，-1）；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（2012•日照）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b2-4ac＞0；②2a+b＜0；③4a-2b+c=0；④a：b：c=-1：2：3．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④7．（2012•泰安）将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A ．y=3（x+2）2+3B ．y=3（x-2）2+3C ．y=3（x+2）2-3D ．y=3（x-2）2-3 8．（2012•潍坊）许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料，节约用气是我们日常生活中非常现实的问题．某款燃气灶旋转位置从0度到90度（如图），燃气关闭时，燃气灶旋转的位置为0度，旋转角度越大，燃气流量越大，燃气开到最大时，旋转角度为90度．为测试燃气灶旋转在不同位置上的燃气用量，在相同条件下，选择燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开一壶水（当旋钮角度太小时，其火力不能够将水烧开，故选择旋钮角度x 度的范围是18≤x≤90），（1）请你从所学习过的一次函数、反比例函数和二次函数中确定哪种函数能表示所用燃气量y 升与旋钮角度x 度的变化规律？说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；（2）当旋钮角度为多少时，烧开一壶水所用燃气量最少？最少是多少？（3）某家庭使用此款燃气灶，以前习惯把燃气开到最大，现采用最节省燃气的旋钮角度，每月平均能节约燃气10立方米，求该家庭以前每月的平均燃气量．【备考真题过关】一、选择题1. ．(2013•昭通)已知二次函数y ＝ ax 2＋bx ＋c （a ≠ 0）的图象如图5所示，则下列结论中正确的是（ ）A ．a ＞0B ．3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根C ．a ＋b ＋c ＝0D ．当x ＜1时，y 随x 的增大而减小2.（2013•包头）已知二次函数y =ax 2+bx +c （c ≠0）的图像如图所示，下列结论 ①b <0 ；②4a +2b +c <0； ③a —b +c >0； ④（a +b )²<b ² 其中正确的结论是（ ）x ＝1xy O-1A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②③④ 3. ( 2013•牡丹江)抛物线y=2ax +bx+c (a ＜0)如图所示，则关于x 的不等式2ax +bx+c ＞0的解集是（ ）A.x ＜2B.x ＞-3C.-3＜x ＜1D.x ＜-3或x ＞1 4. （2013•怀化）下列函数是二次函数的是（ ）A ．y ＝2x ＋1B ． y ＝－2x ＋1C ．y ＝x 2＋2D ． y ＝12x －2 5. （2013•岳阳）二次函数2=++y ax bx c 的图象如图所示，对于下列结论：①<0;a ②<0;b ③0;>c ④20;+=b a ⑤0++<a b c ．其中正确的个数是（ ） A ．１个 B ．２个 C ．3个D ．4个6.(2013•鄂州)下列命题正确的个数是( )x 的取值范围为x≤1且x≠0.②我市生态旅游初步形成规模，2012年全年生态旅游收入为302 600 000元，保留三个有效数字用科学计数法表示为3.03×108元.③若反比例函数my x=(m 为常数)，当x ＞0时，y 随x 增大而增大，则一次函数y =-2 x + m 的图像一定不经过第一象限.④若函数的图像关于y 轴对称，则函数称为偶函数，下列三个函数：y =3，y =2x+1，y =x 2中偶函数的个数为2个.A ．1B ．2C ．3D ．47. (2013•鄂州)小轩从如图所示的二次函数y = ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab > 0；②a ＋b ＋c < 0；③b ＋2c ＞0；④a-2b ＋4c ＞0；⑤32a b =。
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二次函数的几何性质精选
【例1】如图，已知抛物线y＝81x2，点F(0，2)在y轴上，直线l：y＝－2与y轴交于点H，点T为抛物线
上任意一点（原点O除外），直线TO交l于点G，过点G作GN⊥l，交抛物线于点N，求证：直线TN一
定经过点F(0，2)．
【性质1】如图，已知直线y＝kx＋b与抛物线y＝ax2交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半
轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，延长AD，BO相交于点E，求证：DE＝CO．
【例2】（2017武汉元调T24题第3问）
已知抛物线y＝21x2＋mx－2m－2（m≥0）与x轴交于A，B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，
P为抛物线上A，B之间一点（不包括A，B），PM⊥x轴于点M，求
PM
BMAM
的值．
【性质2】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝m交于A、B两点，P为抛物线上（不含A、B两点）的
任意一点，PH⊥x轴于点H，求证：AHBHPH＝a1．（若开口方向向下，则AHBHPH＝||1a）
【练习】
1．（2017武昌十校十月联考T24题第3问）
如图，已知抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于A、B两点（A在B的左边），交y轴于点C．若直线l：y＝m
（m＞3）与抛物线交于M、N两点（M在N的左边），Q为抛物线上A、B之间一点（不包括A、B），QH⊥l
轴于点H，求·HMHNQH的值．
2．（2018－2019新洲邾城街11月T24改）
如图，已知抛物线y＝－x2＋2x＋3，直线MN∥x轴，交抛物线于MN（点M在点N的左侧），点T为抛
物线MN上方的一动点，过点T作TH⊥MN于点H，当MH＝TH时，求线段HN的值．
3．如图，已知抛物线y＝－x
2
＋x＋2，向右平移n（n＞0）个单位得到的新抛物线与x轴交于M、N两点
（M在N左侧），P为x轴上方的新抛物线上任意一点，连PM、PN，过P作PQ⊥MN于Q，说明MQPQ＋
NQ
PQ
的值为定值．
4．如图，将抛物线y＝
2
1
x
2
－x－4向右平移n（n＞0）个单位得到的新抛物线与x轴交于M、N（M在N
左侧），P为x轴下方新抛物线上任意一点，连PM、PN，过P作PQ⊥MN于Q，求MQPQ＋NQPQ的值．
【例3】如图，已知抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．直线l：y＝mx＋n与抛物
线有两个交点M，N（M在N的左边），Q为抛物线上M、N之间一点（不与M、N重合），过点Q作QH
平行于y轴交直线l于点H，求HQHNHM的值．（用含m的式子进行表示）
【性质3】如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．直线l：y＝mx＋n与
抛物线有两个交点M、N（M在N的左边），Q为抛物线上M、N之间一点（不与M、N重合），过点Q作
QH平行于y轴交直线l于点H，求证：
HQHNHM＝am21．（若开口方向向下，则HQ
HNHM
＝||12am）
【例4】如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，P为抛物线上
x轴下方一点，过点P的直线交抛物线于点E，抛物线上点E的对称点为点F，直线EP、FP分别交对称
轴于点M、N，试探究DM与DN的数量关系，并说明理由．
性质4：
A、B在二次函数2yax的图象上，且A、B关于y轴对称，C为二次函数
图象上一点，连接BC交y轴于P，延长AC交y轴于Q，求证：OP＝OQ．
拓展性质：
若换成任意抛物线，结论则变为PM＝PN．
【练习】
1．练习书写过程
如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为D，E为抛物线上任一点，抛物线上点E的对称点为点F，P为抛物
线上任一点，直线EP、FP分别交对称轴于点M、N，求证：DM＝DN．
2．如图，抛物线y＝x
2
，直线y＝kx＋2（k＞0）与抛物线相交于点P、Q（点P在点Q左边），过点P作x
轴平行线交抛物线于点H，当k发生改变时，请说明直线QH过定点，并求定点坐标．
3．（2015四调改）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝
21x2－3x＋2
9
交y轴于点E，C为抛物线
的顶点，直线AD：y＝kx＋b（k＞0）与抛物线相交于A、D两点（点D在点A的下方）．当b＝0时，若B
是抛物线上点A的对称点，直线BD交对称轴于点M，求证：PC＝CM．
4．（性质1和性质4）如图，抛物线y＝ax
2
，过点P(0，2)的直线交抛物线于M，N，直线MN过点P，过
N作NE丄x轴于S，交MO的延长线于E，N
1在抛物线上，N，N1关于y轴对称，MN1
的延长线交y轴于
Q，求证：QE∥x轴．
【例5】如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P为y轴上C点下方一
动点，PM、PN分别与抛物线交于唯一公共点M、N，连接MN交y轴于Q，求证：PQ＝2CQ.
性质5：
如图，过点P作抛物线y＝ax2＋bx＋c的两条切线，切点分别为M、N，过P作x轴垂线，交MN于点Q，
交抛物线于点C，求证：①x
M＋xN＝2xP
；②PC＝CQ．