运筹学第二章线性规划
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管理运筹学第二章 线性规划的图解法
B、约束条件不是等式的问题：
若约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量si ，使它等于约束右 边与左边之差 si=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn ) 显然，si 也具有非负约束，即si≥0， 这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn+si = bi
第二章 线性规划 的图解法
一、线性规划的概念 二、线性规划问题的提出 三、线性规划的数学模型 四、线性规划的图解法 五、线性规划解的情况 六、LP图解法的灵敏度分析
一、线性规划的概念
线性规划Linear Programming 简称LP，是一 种解决在线性约束条件下追求最大或最小的 线性目标函数的方法。 线性规划的目标和约束条件都可以表示成线 性的式子。
max z 3 x1 2 x2
2 x1 x2 ≤ 10 设备B台时占用 s.t. x1 x2 ≤ 8 x , x ≥ 0 产量非负 1 2
决策变量 （decision variable） 目标函数 （objective function） 约束条件 （subject to）
-ai1
x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi 。
例1.3：将以下线性规划问题转化为标准形式 Min f = 3.6 x1 - 5.2 x2 + 1.8 x3 s. t. 2.3 x1 + 5.2 x2 - 6.1 x3 ≤15.7 4.1 x1 + 3.3 x3 ≥8.9 x1 + x2 + x3 = 38 x 1 , x 2 , x3 ≥ 0
第二章线性规划
线性规划要研究的两类问题中都包含有约束条件和目 标函数。用数学的方式描述，规划的目的就是在给定 的限制条件（或称约束条件）下，求目标函数的极值 问题（包括极小值和极大值）。
2
线性规划的数学模型
3
解： 设产品 的产量为：1 , 产品 的产量为：x2 x
4
5
6
7
配料问题：由若干种不同价格、不同成分含量的原料，用 不同的配比混合调配出一些不同规格的产品，在原料的供 应量限制和保证产品成分含量的前提下，如何进行配料来 获取最大利润或使总成本最低。
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2.2.3 线性规划求解的可能结局
1、有唯一的最优解
2、有无穷多个最优解 （将目标函数改为 z=4x1+3x2 ）
x2
max z 4 x1 3 x2 x1 2 x2 5 2 x x 4 1 2 s.t. 4 x1 3 x2 9 x1 , x2 0
3x1 2 x2 4 x3 3
3x1 2 x2 4 x3 xs 3
剩余变量
变量xs实际上是原式左端减去右端的差，即 ：
xs 3x1 2 x2 4 x3 3
当约束条件是“ ”型的不等式时，只要将该约 束条件左端减去一个非负的剩余变量即可化为等式。 无论是松弛变量还是剩余变量在决策中都不产生实际价 值，因此它们在目标函数中的系数都应该为零。有时也将松 29 弛变量和剩余变量统称为松弛变量。
2x1+x2=4 D C
x1+2x2=5 B 4x1+3x2=9 O A x1
16
3、无界解
指线性规划问题有可行解，但是 在可行域，目标函数值是无界的， 因而达不到有限最优值。因此线 性规划问题不存在最优解。
运筹学第二章线性规划
第二章线性规划教学目的和要求：目的：使学生具备线性规划的基本知识以及应用线性规划的基本能力。
要求：理解线性规划概念，标准型，解的概念，基本定理；掌握单纯形法，人工变量法，了解图解法。
重点：线性规划标准型，解的概念，单纯形法，人工变量法。
难点：线性规划基本定理，单纯形法。
教学方法：讲授法，习题法。
学时分配：12学时 作业安排：见教材P 38.线性规划是运筹学的一个重要分支。
1939年苏联科学家康托罗维奇提出了生产组织和计划中的线性规划模型。
1947年美国学者丹捷格(George B.Dantzig)提出了求解一般线性规划问题的方法。
此后，线性规划理论日趋成熟，应用也日益广泛和深入。
第一节线性规划问题一、问题的提出在企业的生产经营活动中经常会面临这样两类问题：一是如何合理地利用有限的人力、物力、财力等资源，取得最佳的经济效果；二是在取得一定的经济效果的前提下，如何合理安排使用人力、物力、财力等资源，使花费的成本最低。
例1.生产计划问题 某工厂利用甲、乙、丙、丁四种设备生产A 、B 、C 三种产品，具体数据如下表所示。
A 、B 、C 单位产品的利润分别是4.5、5、7(百元)。
问如何安排生产计划，才能使所获总利润最大？解：设产品A 、B 、C 产量分别为X 1,X 2,X 3件,Z 表示利润，要求总利润最大，即求Z=4.5X 1+5X 2+7X 3的最大值，故记作极大化Z=4.5X 1+5X 2+7X 3，另外对甲、乙、丙、丁设备需满足2X 1+2X 2+4X 3≦800，X 1+2X 2+3X 3≦650，4X 1+2X 2+3X 3≦850，2X 1+4X 2+2X 3≦700；同时产量应非负，故X j ≧0 (j=1,2,3)；以上问题可用数学模型表示为： 极大化Z=4.5X 1+5X 2+7X 3 满足 2X 1+2X 2+4X 3≦800 X 1+2X 2+3X 3≦6504X 1+2X 2+3X 3≦850 2X 1+4X 2+2X 3≦700X j ≧0 (j=1,2,3)例2.运输问题 设某种物资有m 个产地；A 1,A 2, …,A m ,它们的产量分别为a 1,a 2, …,a m ,有n 个销地B 1,B 2, …,B n 需要这种物资，它们的销量分别为b 1,b 2, …,b n 。
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02
图解法的基本原理
图解法的概念
图解法是一种通过图形来直观展示线性规划问题解的方法。它通过在坐标系中绘 制可行域和目标函数，帮助我们理解问题的结构和最优解的位置。
图解法适用于线性规划问题中变量和约束条件较少的情况，能够直观地展示出最 优解的几何意义。
图解法的步骤
确定决策变量和目标函数
明确问题的决策变量和目标函数，以便在图 形中表示。
目标函数是要求最小化或最大化的函数，通常表示为 $f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
04
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
LINDO是一款开源的线性规划求解器，用 户可以免费使用。
软件工具的使用方法
Excel
用户需要先在Excel中设置好线性规划模型，然后使 用“数据”菜单中的“规划求解”功能进行求解。
Gurobi/CPLEX/LINDO
这些软件通常需要用户先在软件界面中输入线性规划 模型，然后通过点击“求解”按钮进行求解。
实例三：分配问题
总结词
分配问题是指如何根据一定的分配原则 或目标，将有限的资源分配给不同的需 求方，以最大化整体效益。
VS
详细描述
分配问题在实际生活中广泛存在，如物资 分配、任务分配等。通过图解法，可以将 分配问题转化为线性规划模型，并利用图 形直观地展示最优解的资源分配方案。在 分配问题中，通常需要考虑不同需求方的 重要性和优先级，以及资源的有限性等因 素，以实现整体效益的最大化。
管理运筹学_第二章_线性规划的图解法
线性规划中超过约束最低限的部分，称为剩余量。 记s1,s2为剩余变量，s3为松弛变量，则s1=0, s2=125,
s3=0，加入松弛变量与剩余变量后例2的数学模型变为 标准型： 目标函数： min f =2x1+3x2+0s1+0s2+0s3 约束条件： x1+x2-s1=350， x1-s2=125, 2x1+x2+s3=600, x1, x2, s1,s2,s3≥0.
阴影部分的每 一点都是这个线 性规划的可行解， 而此公共部分是 可行解的集合， 称为可行域。
B
X2=250
100
100
300
x1
B点为最优解， X1+X2=300 坐标为（50, 250）， Z=0=50x1+100x2 此时Z=27500。 Z=10000=50x1+100x2 问题的解： 最优生产方案是生产I产品50单位，生产Ⅱ产品250单位，可得 最大利润27500元。
Z=10000=50x1+50x2
线段BC上的所有点都代表了最优解，对应的最优值相 同： 50x1+50x2=15000。
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3. 无界解，即无最优解的情况。对下述线性规划问题：
目标函数：max z =x1+x2 约束条件：x1 - x2≤1 -3x1+2x2≤6 x1≥0, x2≥0．
x2 -3x1+2x2=6 3
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
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灵敏度分析
灵敏度分析：求得最优解之后，研究线性规划的
运筹学第二章第6节矩阵法求解线性规划问题
（3）初始单纯性表与当前单纯性表关系
单纯性法的每一步就是：令非基变量XN（XN1和 XS2）=0，则当前基本可行解X=（XB，0） =（B-1b，0）。当前的目标函数值为 Z=CBB-1b，通过刚才用矩阵法的展示，我们发现： 1）B：初始单纯性表中基。 2）BN：初始单纯性表非基变量在A中对应的矩阵。 3）B-1：初始单纯性表中单位矩阵所对应的列在当 前矩阵中所构成的矩阵。 4）CB：当前基变量的价值向量。 5）CN：当前非基变量的价值向量。
2 x1 [1] 4 0 2
3 x2 0 0 1 0
0 x3 1 0 0 0
0 x4 0 1 0 0
0 x5 0 1/4 -3/4 θ 4 -
-1/2 2
在迭代到单纯性表2时，当前的基变量为x3，x4，x2，其中 x3和x4是松弛变量。这时，松弛变量中，x5为基变量，x3和 x4为非基变量，因此：基变量XB由两部分组成，一部分是 XB1=x2，一部分是XS1=x3和x4；非基变量XN由两部分组成， 一部分是XN1=x1，另外一部分是XS2=x5。
BX X
B
B
b BN X
1
N1
S2 X
N1
S2
;
1
B b B B N1 X
1
1
1
B S 2 X s2 ;
1
目标函数： z C B B b (C N1 C B B B N1 ) X (C S 2 C B B I ) X
1 S N1
令非基变量=0，由上式得到：
x1 2 x 2 x 3 4 x1 4 x2 x
j
8
x4 0
16 x 5 12
j 1, 2 , , 5
第二章线性规划及单纯形法总结
第一章
工厂需要的原棉存放在三个仓库中，现将原棉运往工 厂以满足工厂生产的需求。已知原棉运到各个工厂的单位 运费如表所示。问使总运费最小的运输方案？
仓库\工厂
1 2 3 需求
1
2 2 3 40
2
1 2 4 15
3
3 4 2 35
库存
50 30 10
2．线性规划数学模型
解：设xij为i 仓库运到 j工厂的原棉数量(i =1,2,3
1．线性规划介绍
第一章
线性规划研究的主要问题： 有一定的人力、财力、资源条件下，如何 合理安排使用，效益最高?
某项任务确定后，如何安排人、财、物， 使之最省?
2．线性规划数学模型
第一章
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各 制造一件时分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、 B设备和调试工序每天可用于这两种家电的能力、各售出 一件时的获利情况如表I—l所示。问该公司应制造A、B两 种家电各多少件，使获取的利润为最大？
第一章
j =1,2,3)
minZ= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33 x11 +x12+x13 x21+x22+x23 x31+x32+x33 50 30 10 40
st.
x11 +x21+x31 =
x12 +x22+x32 =
x13 +x23+x33 = xij 0
15
35
2．线性规划数学模型
第一章
练习4 连续投资10万元 A：从第1年到第4年每年初投资，次年末回收本利1.15； B：第3年初投资，到第5年末回收本利1.25，最大投资4万元； C：第2年初投资，到第5年末回收本利1.40，最大投资3万元； D：每年初投资，每年末回收本利1.11。 求：使5年末总资本最大的投资方案。 分析： A 1 x1A 2 x2A x2C x1D x2D x3D x4D x5D 3 x3A 4 x4A 5
运筹学第2章：线性规划的对偶理论
目
标函数求极小时取“≥”号
注：对称形式与线性规划标准型是两种不同的形 式，对称形式中约束条件的符号由目标函数决定
从以下方面比较(LP1)与(LP2)：
原问题
对偶问题 约束系数矩阵的转 臵 目标函数中的价格 系数向量 约束条件的右端项 向量 Min w=Y’b A’Y≥C’ Y≥0
A
b C 目标函数 约束条件 决策变量
非基变量 基变量
XB
0 b Xs C j - zj B
XN
N
Xs
I
0
初始 单纯形表
非基变量
CB
CN
基变量
最终
单纯形表
CB
XB
XB B-1b Cj - zj
I 0
Xs B-1 N B-1 CN-CBB-1N -CBB-1
XN
若B-1b为最优解，则
CB CB ( B 1B) 0 C N CB B N 0 CB B 1 0
令 y 2 y 2 , y3 y3 y3 ，则
min 2 y1 y2 4 y3
2 y1 3 y2 y3 1 3 y y y 4 1 2 3 s.t. 5 y1 6 y2 y3 3 y1 0, y2 0, y3无约束
n j 1 m j j
C X Y b, 即 c j x j y i bi
j 1 i 1
__
__
n
m
c x ( a
j 1 m i 1 n i i i 1 i 1 j 1
n
m
ij
yi ) x j aij x j yi ( a ji yi c j )
例1
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2.2 线性规划的图解法
➢可行解：我们将满足线性规划问题的所有约束 条件的变量的一组取值称为线性规划问题的一个 可行解。 ➢可行域：我们将可行解的集合称为可行域。 ➢最优解：使得目标函数取最优值的可行解。 ➢最优值：将最优解代入目标函数而得到的值。
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线性规划模型的特征
决策变量 目标函数 约束条件 目标函数必须是决策变量的线性函数 约束条件必须是含决策变量的线性等式或不等式
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例2.2 设有一批规格为10米长的圆钢筋，将它截成分别 为3米，4米长的预制构件的短钢筋各100根，问怎样截 取最省料。
x4
x5
x6
20
x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , y 0
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2.12 某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、 乙、丙。已知各种牌号糖果中A、B、C三种原料的含量要求、 各种原料的单位成本、各种原料每月的限制用量、三种牌号 糖果的单位加工费及售价如表所示。问该厂每月生产这三种 牌号糖果各多少千克，才能使该厂获利最大？
第二章 线性规划
1. 线性规划问题的提出
线性规划是运筹学中研究较早、方法较成熟的 一个重要分支。在经济、管理、交通运输、军 事等领域存在着广泛的应用。
线性规划研究的问题大体上可归为两类：一是： 给出一定量的人力、物力、财力等资源，如何 统筹规划这些有限资源完成最大任务；二是： 对于给定的任务，如何运筹规划，合理安排， 以最少资源来完成它。
所需人数 60 70 60 50 20 30
设服务员分别在各时间区段一开始时上班，并连续工作八 小时，问该酒店至少配备多少名服务员。列出此问题的线 性规划模型。
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min w x1 x2 x3 x4 x5 x6
x1 x6 ≥ 60
x2
2x1+x2=4 l* D
C
x1+2x2=5
此时最优值为：
z*
3x1
2x2
6
1 2
O
B 4x1+3x2=9
A
x1
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2.2.3 线性规划求解的可能结局
1、有唯一的最优解
2、有无穷多个最优解 （目标函数改为 z=4x1+3x2 ）
x2
max z 4x1 3x2
等价为： 2x1 3x2 x3 xs 2
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图解法步骤: ➢建立平面直角坐标系 ➢图示约束条件,求可行域 ➢图示目标函数 ➢求最优解
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例: max z=x1+3x2
x1+ x2≤6 st. -x1+2x2≤8
x1 ≥0, x2≥0
x2 6
4
最优解 X*= (4/3, 14/3) z* = 46/3
am1 am2 amn
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2.3.2 线性规划的标准形式
max z c1x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 s.t.a21x1 a22x2 a2n xn b2
－x1+ 2x2=8
可行域
-8 0
目标函数等值线
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6 x1
x1+ x2=6
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max z 3x1 2x2
x1 2x2 5
s.
t.42
x1 x1
x2 4 3x2 9
x1, x2 0
x1 3 2 , x2 1
劳动力安排：某单位由于工作需要，在不同的时间段需要 不同数量的工作人员，在一定的安排规则：比如每个工作 人员在连续做5个工作日后接连休息两天下，如何安排工 作人员才能用最少的工作人员来满足工作的需求？
运输问题：一家公司有若干个生产单位和销售单位，产品 由各生产单位运往各销售单位的成本有差异，如何根据各 生产单位的产量和各销售单位的销售需要量制定一个最佳 的运输方案，使产品运往各销售单位的总运输费用最低？
解：因为，10米长的钢筋截为3米或4米长，共有三种 截法：Ⅰ：3 3 3 1 米；Ⅱ：3 3 4 0 米；Ⅲ：4 4 0 2 米
假设按截法Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ各截取10米长的钢筋分别为x1, x2, x3根。则可以获得3米长的短钢筋的根数是3x1+x2，4 米长短钢筋的根数是 x2+2x3
min w x1 x2 x3
设一共植了y棵树，男生中有x1人挖坑, x2人栽树, x3人浇水； 女生中有x4人挖坑, x5人栽树, x6人浇水.
max z y
20x1 10x4 y 0 30x2 20x5 y 0
s.t.
25x3
x1
x2
15x6 x3
y 30
0
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2
例2.1 穗羊公司的例子
I
II
每周可使用量
A（千克）
1
2
5
B（吨）
2
1
4
C（百工时）
4
3
9
单位产品利润（万元）
3
2
问该公司每周应生产产品I与产品II各多少单位，才能使每周 的获利达到最大？
假设产品I、II每周的产量分别是x1和x2，得到如下数学模型:
目标函数 max z=3x1+2x2
例如线性规划问题：
x2
max z 2x1 x2
x1 2x2 4
2 2
x1 x1
3x2 2 x2 2
x1, x2 0
-x 1+2x 2=4
2x1 -3x2 =2
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O 2x1+x2=2
x1
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两个重要的结论：
➢线性规划问题可行域若不是空集，则它是 一个凸集；
甲
乙
丙
A B C 加工费
x11 60%以上 x12 20%以下 x13 0.50
x21 15%以上 x22 60%以下 x23 0.40
x31 x32 50%以下 x33 0.30
售价
3.40
2.85
2.25
原料成本 2.00 1.50 1.00
限制用量 2000 2500 1200
设该厂每月生产甲品牌糖果(x11 x12 x13)千克，其中用原料A x11千克，用原料B x12千克，用原料C x13千克; 生产乙品牌糖果(x21 x22 x23)千克，其中用原料A x21千克，用原料B x22千克，用原料C x23千克; 生产丙品牌糖果(x31 x32 x33)千克，其中用原料A x31千克，用原料B x32千克，用原料C x33千克。
s.t.
3xx2 12xx23
100 100
x1 , x2 , x3 0
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2.10. 一家酒店24小时都需要安排服务员上班，在各时间段 中所需要的服务员数量见表
班次
1 x1
2 x2 3 x3 4 x4 5 x5 6 x6
时间 6:00-10:00 10:00-14:00 14:00-18:00 18:00-22:00 22:00-2:00 2:00-6:00
1. 目标函数是求最小值的情形 例如： min z 2x1 3x2 x3
取原目标函数的相反数 为新的目标函数
等价于: max w 2x1 3x2 x3
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2. 约束条件为不等式
（a）对于约束条件是“≤”的不等式
例如： 2x1 3x2 x3 2 约束条件左端加上一个非 负的变量xs(松弛变量)
st. ……
am1x1+am2x2+…+amnxn≤(≥,=)bm x1,x2,…,xn ≥0
cj—价值系数 bi—资源常数 aij—工艺系数
技术系数
简化形式
n
max(min) z c j x j
n
j 1
s.t.
aijxj (, )bi (i 1, , m) j1
x
2
b
b2
pj
a
2j
x
m
b
m
a
mj
max(min) z CX
s.t.
AX (, )b X 0
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a
2n
约束条件
x1+2x2 ≤5 s.t. 2x1+ x2 ≤4
4x1+3x2 ≤9
x1 ,x2 ≥0
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例1中的问题常称为生产计划问题或产品组合（product mix） 问题。一般的生产计划问题可以表述为：设用m种资源，生 产n种不同的产品。已知第 i种资源在一给定的计划期最多可 以使用bi个单位，每生产一个单位的产品 j 需要第 i 种资源 aij 个单位，并且产品 j 的单位利润为Cj 元。问在该计划期应如 何组织生产才能获得最大利润？