运筹学第1章 线性规划(2015.8)
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运筹学讲义_1线性规划
第一章 线性规划【教学内容】线性规划模型，图解法，可行区域的几何结构，基本可行解及线性规划的基本定理，单 纯形方法，单纯形表，两阶段法，关于单纯形方法的几点说明，对偶线性规划，对偶理论， 对偶单纯形法，求解线性规划问题的几个常用软件。
【教学要求】要求学生理解线性规划的标准形式，能熟练的将一般的线性规划问题化为标准形式；掌 握图解法，能用单纯形法求解线性规划问题；掌握灵敏度分析方法，能够建立线性规划模型 及用常用软件求解线性规划问题。
【教学重点】线性规划模型，图解法，单纯形方法，单纯形表，两阶段法，对偶线性规划，对偶单纯 形法，灵敏度分析。
【教学难点】基本可行解及线性规划的基本定理，单纯形方法，对偶线性规划，对偶理论，对偶单纯 形法。
第一节 线性规划模型线性规划(Linear Programming ， 简记为 LP )问题研究的是在一组线性约束条件下一个线 性函数最优问题。
§1．1 线性规划问题举例例 1.1.1 某工厂用 3 种原料 3 2 1 , , P P P 生产 3 种产品 3 2 1 , , Q Q Q 。
已知单位产品所需原 料数量如表 1.1.1 所示，试制订出利润最大的生产计划。
453 单位产品的利润（千元）20005 2 800 4 2 0 P 2 1500 0 3 2 P 1 原料可用量Q 3Q 2 Q 1 单位产品所需产品原料数量(kg)原料3P 3表 1.1.1分析 设产品 j Q 的产量为 j x 个单位， 3 , 2 , 1 = j ，它们受到一些条件的限制。
首先， 它们不能取负值，即必须有 3 , 2 , 1 , 0 = ³ j x j ；其次，根据题设，三种原料的消耗量分别不 能超过它们的可用量，即它们又必须满足：1223 123 231500 24800 3252000 x x x x x x x +£ ì ï+£ í ï ++£ î我们希望在以上约束条件下，求出 3 2 1 , , x x x ，使总利润 3 2 1 4 5 3 x x x z + + = 达到最大， 故求解该问题的数学模型为：123 12 23 123 max 354 231500 24800 .. 3252000 0,1,2,3j z x x x x x x x s t x x x x j =++ +£ ì ï +£ ï í++£ ï ï ³= î 类似这样的问题非常多。
运筹学第一章线性规划
0
X1
约束条件所组成的可行 域为空集，无可行解。
《运筹学》 第一章 线性规划
Slide 19
二、线性规划的标准形式
1、目标函数：max z c1x1 c2x2 cnxn
a x11 1 a x12 2 a x1n n b1 a x21 1 a x22 2 a x2n n b2
《运筹学》 第一章 线性规划
Slide 9
方案 根数
ABC
下料
3m 2 3 0
4m 1 0 2
合计 (m)
10
9
8
料头 (m)
0
1
2
P70 习题1－1： 设按这三种方案下料的原材料
根数分别为x1、x2、x3 。 min x1+x2+x3 S.t. 2x1+3x2>=90 x1+2x3>=60 Xi>=0
minz=2X1＋3X2＋5X3
s.t. X1＋X2－X3>=－5 －6X1＋7X2－9X3=15 ︱19X1－7X2＋5X3︱<=13
X1>=0, X2>=0
令X3=X3`－X3`` -X1－X2＋X3 `－X3`` ＋X4=5 －6X1＋7X2－9X3`＋9X3``=15 19X1－7X2＋5X3`－5X3``+X5=13 －19X1＋7X2－5X3 `＋5X3``＋X6=13 maxz=－2X1－3X2－5X3 `＋5X3`` ＋0X4+0X5+0X6 X1,X2,X3`,X3``,X4,X5,X6>=0 三、线性规划的解的概念（参考P12例1.7） 1、可行解和最优解：满足约束条件的解（X1，X2， …，Xn）T称为线性规划的可行解。而使得目标函数达到 最优值的可行解称为最优解。 2、基：（注意课本P15的定义对“基”的定义有误） 设A是约束方程组m×n维的系数矩阵，其秩为m，B是 矩阵A中m×m阶非奇异子矩阵（B的行列式│B│≠0），则 称B是线性规划问题的一个基。
《运筹学》第一章 线性规划
③
约束方程②的系数矩阵
2 2 1 0 0 0
A 1 4
2 0
0 0
1 0
0 1
0 0
p1
p2
p3
p4
p5
p6
0 4 0 0 0 1
确定初始基B
1 0 0 0
产量分别为 x1、x2
项目
Ⅰ
设备 A（h） 0
设备 B（h） 6 调试工序（h） 1 利润（元） 2
Ⅱ 每天可用能力
5
15
2
24
1
5
1
问：应如何安排生产计划，才 能使总利润最大？
2.目标函数：设总利润为z，则
max z = 2 x1 + x2 3.约束条件：
5x2 ≤ 15
s.t.
6x1+ 2x2 ≤ 24 x1+ x2 ≤ 5
凸集
顶点
凸集
不是凸集
顶点：如果凸集C中不存在任何两个不同的点X1， X2，使X成为这两个点连线上的一个点。
（三）基本定理
定理1 若线性规划问题存在可行解，则问题的 可行域是一个凸集。
定理2 线性规划的基可行解对应线性规划问题 可行域（凸集）的顶点。
定理3 若线性规划问题有最优解，一定存在一个 基可行解是最优解。
(2)常数项bi＜0的转换：约束方程两边乘以（－1）。 (3) 约束方程的转换：由不等式转换为等式 。
aij xj bi aij xj bi
aij x j xni bi
xni 0 称为松弛变量
aij x j xni bi
xni 0 称为剩余变量
(4) 变量的变换
若存在取值无约束的变量 x，j可令
2x1
《运筹学》课件 第一章 线性规划
10
解：令
xi=
1， Si被选中
min z= ci xi i 1 10
0， Si没被选中
xi 5
i 1
x1 x8 1 x7 x8 1
称为技术系数
b= (b1,b2, …, bm) 称为资源系数
2、非标准型
标准型
（1）Min Z = CX
Max Z' = -CX
（2）约束条件
• “≤”型约束，加松弛变量；
松弛变量
例如： 9 x1 +4x2≤360
9 x1 +4x2+ x3=360
• “≥”型约束，减松弛变量；
例、将如下问题化为标准型
数据模型与决策 (运筹学）
课程教材：
吴育华,杜纲. 《管理科学基础》，天津大学出版社。
绪论
一、运筹学的产生与发展
运筹学（Operational Research) 直译为“运作研究”。
• 产生于二战时期 • 60年代，在工业、农业、社会等各领域得到广泛应用 • 在我国，50年代中期由钱学森等引入
Min z x1 2x2 3x3
x1 x2 x3 7
s.t
.
x1 x2 x3 3x1 x2 2
x3
2
5
x1, x2 , x3 0
解：令 Min z Max z' (z' z) ，第一个约束加松弛变量x5，
第二个约束减松弛变量x6，得标准型：
Max z' x1 2x2 +3x3
x1 x2 x3 x4 7
s.t .
x1 x2 3x1
x3 x2
x5 2 2x3 5
x1 , , x5 0
第一章 线性规划
第1章线性规划Chapter 1 Linear Programming本章内容提要线性规划是运筹学的重要内容。
本章介绍线性规划数学模型、线性规划的基本概念以及求解线性规划数学模型的基本算法——单纯形法。
学习本章要求掌握以下内容：⏹线性规划模型的结构⏹线性规划的标准形式，非标准形式转化为标准形式⏹线性规划的图解以及相应的概念。
包括：约束直线，可行半空间，可行解，可行域，凸集，极点，目标函数等值线，最优解⏹线性规划的基本概念。
包括：基，基础解，基础可行解，基变量，非基变量，进基变量，离基变量，基变换⏹单纯形法原理。
包括：基变量和目标函数用非基变量表出，检验数，选择进基变量的原则，确定离基变量的方法，主元，旋转运算⏹单纯形表。
包括初始单纯形表的构成，单纯形表运算方法⏹初始基础可行解，两阶段法⏹退化的基础可行解§1.1 运筹学和线性规划1.1.1 运筹学运筹学（Operations Research）是二十世纪三十年代二次大战期间由于战争的需要发展起来的一门学科。
当时，英国组织了一批自然科学和工程科学的学者，和军队指挥员一起，研究大规模战争提出的一些问题。
如轰炸战术的评价和改进、反潜艇作战研究等，研究结果在战争实践中取得了明显得效果。
这些研究当时在英国称为Operational Research，直译为作战研究。
战争结束以后，这些研究方法不断发展完善，并逐步形成学科理论体系，其中一些主要的理论和方法包括：线性规划，网络流，整数规划，动态规划，非线性规划，排队论，决策分析，对策论，计算机模拟等。
这些理论和方法在经济管理领域也得到了广泛应用，Operations Research也转义成为“作业研究”。
我国将Operations Research译成“运筹学”，非常贴切地将Operations Research这一英文术语所包含的作战研究和作业研究两方面的涵义都体现了出来。
现在，运筹学已经成为管理科学重要的基础理论和应用方法，是管理科学专业基本的必修课程之一。
第一章_线性规划
第 一 节 线性规划问题及其数学模型
一、线性规划问题的数学模型
线性规划问题主要解决以下两类问题： 1、任务确定后，如何统筹安排，做到应用尽量少的人 力和物力资源来完成任务； 2、在一定量的人力、物力资源的条件下，如何安排、 使用他们，使完成的任务最多。
在生产管理和经济活动中，经常会遇到线性规划问 题，如何利用线性规划的方法来进行分析，下面举例 来加以说明。
表1－2
成分
产品来源
分析：很明显，该厂可以有多种不同的方案从A，B 两处采购原油，但最优方案应是使购买成本最小的一 个，即在满足供应合同单位的前提下，使成本最小的 一个采购方案。
解：设分别表示从A，B两处采购的原油量（单位：万 吨），建立的数学模型为：
m in S 200 x1 290 x2
3. 若存在无非负要求的变量。即有某一个变 量 xj 取正值或负值都可以。这时为了满足标准型 对变量的非负要求，可令 xj = xjˊ- xj〞, 其中： xjˊ、 xj〞 0 ，由于xjˊ可能大于也可能小于xj〞，故 xj 可以为正也可以为负。
上述的标准型具有如下特点： （1）目标函数求最大值； （2）所求的变量都要求是非负的； （3）所有的约束条件都是等式； （4）常数项非负。 综合以上的讨论可以说明任何形式的线
max Z x1 2x2 3x4 3x5 0x6 0x7
x1 x2 x4 x5 x6 7
x13x1x2
x4 x2
x5 2x4
x7 2 2x5 5
x1, x2, x4, , x7 0
第二节 线性规划问题的图解法及几何意义
例1－1：（计划安排问题）某工厂在计划期内安排 生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所占用的 设备A、B的台时、原材料的消耗及两种产品每件 可获利润见表所示：
运筹学第1章-线性规划
凸集的数学定义:设K为n维欧氏空间的一个点集，若K中任意两个 点X1和X2连线上的所有点都属于K，即“X =αX1+(1-α) X2 ∈ K(0≤a ≤ 1)”，则称K为凸集。设X(x1，x2，…，xn)，X1(u1， u2，...，un)，X2(v1，v2，…，vn)，如图1一5所示，“X =αX1+(1α) X2 ∈ K(0≤a ≤ 1)”的证明思路如下:
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图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
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1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。
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图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
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1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。
运筹学-1、线性规划
则：
x1 x2 100
x1 ( x3 ) x4 x2 2
设x3为第二年新的投资； x4为第二年的保留资金；
则：
18
•设x5为第三年新的投资；x6为第三年的保留资金；
则：
x3 ( x5 ) x6 x4 2 x1 2
•设x7为第四年新的投资；第四年的保留资金为x8；
max Z 2 x7 x9 x1 x2 100 x 2x 2x 2x 0 2 3 4 1 4 x1 x3 2 x4 2 x5 2 x6 0 s.t 4 x3 x5 2 x6 2 x7 2 x8 0 4 x5 x7 2 x 8 2 x9 0 x 0, j 1, 2, , 9 j
13
例3：（运输问题）设有两个砖厂A1 、A2 ，产 量分别为23万块、27万块，现将其产品联合供应三 个施工现场B1 、 B2 、 B3 ，其需要量分别为17万 块、18万块、15万块。各产地到各施工现场的单位 运价如下表： 现场 砖厂 B1 B2 B3
A1 A2
5 6
14 18
7 9
问如何调运才能使总运费最省？
20
例5：（下料问题） 某一机床需要用甲、乙、 丙三种规格的钢轴各一根，这些轴的规格分别是 2.9,2.1, 1.5(m),这些钢轴需要用同一种圆钢来做，圆 钢长度为7.4m。现在要制造100台机床，最少要用多 少根圆钢来生产这些钢轴？
解：第一步：设一根圆钢切割成甲、乙、丙三 种钢轴的根数分别为y1,y2,y3，则切割方式可用不等 式2.9y1+2.1y2+1.5y3≤7.4 表示，求这个不等式的有实 际意义的非负整数解共有8组，也就是有8种不同的 下料方式，如下表所示：
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可行域
OR课件
LP
例1.4 现有两个变量的LP模型
x2
§4 LP 问 题 图 解 法
Z 10 x 8x 3x 2 x 120 非 30 x 基 本 45 x 解 , x x 0
max 1 1 2 1 2 1 2
2
80 60
(10,45) Z=460
约束条件
非负约束
OR课件
LP
§1 LP 问题 及其 数学 模型
例、某工厂用三种原料生产三种产品，已 知的条件如下表所示，试制订总利润最大 的生产计划。
单位产品所需原 料数量（公斤） 产品 Q1 1
x
2 0 3 3
产品 2 Q2
x
3 2 2 5
产品 Q33
x
原料可用量 （公斤/日）
原料P1
原料P2 原料P3
OR课件
LP
§1 LP 问题 及其 数学 模型
例2 运输问题：甲乙两地分别有货物80t和 100t，要运送到a，b，c三个地方，数量分 别是70，60和50t，它们之间的单位运价 （元/T· km）如下表，现在要制订出最佳运 输方案，使总的运输费用达到最小。
收点 发点
a 5 8 70
b 4 6 60
OR课件
LP
LP问题标准形式
§2 LP 问题 的标 准型 及其 转化
MaxZ c x Ax b s.t. x 0
特征：
目标取极大（MaxZ) 约束条件取等式（＝） 变量取非负（0）（另外：b0)
OR课件
LP问题模型转换
LP
§2 LP 问题 的标 准型 及其 转化
原料 P3 ： 3x1 2 x2 5x3 2000
非负约束：产量为非负数
x1,x2,x3 ≥0
OR课件
LP
§1 LP 问题 及其 数学 模型
max 3 x1 5 x2 4 x3 2 x1 3 x 2 1500 s.t. 2 x 2 4 x 3 800 3 x1 2 x 2 5 x 3 2000 x1 , x 2 , x 3 0
约束条件
OR课件
LP
其中：
§2 LP 问题 的标 准型 及其 转化
x j ; j 1,2,...,n
为待定的决策变量，
c ( c 1 , c 2 , , c n ) 为价值向量，
c j ; j 1,2,...,n 为价值系数，
b ( b1 , b 2 ,...,b m ) 为右端向量，
0 4 5 4
1500 800 2000
单位产品的利润 （千元）
OR课件
LP
解：设
决策变量：每天生产三种产品的数量，分别设为
§1 LP 问题 及其 数学 模型
x1 , x2 , x3
目标函数：每天的生产利润最大
MaxZ 3x1 5x2 4 x3
约束条件： 每天原料的需求量不超过可用量： 原料 P1 ： 2 x1 3x2 1500 原料 P2 ： 2 x2 4 x3 800
例1、某工厂生产A、B两种产品，都需使 用铜和铝两种金属材料，有关资料如下表 所示。问如何确定A,B产品的产量，使工厂 获取的总利润最大？
原 料 铜 铝 单位产品的利润 （万元） A产品单 1 耗（吨）
x
B产品单 2 耗（吨）
x
原料可用量 （吨）
2 x1 + 1 x2 ≤ 1 x1 + 3 x2 ≤ 3 x1 4 x2
剩余变量
பைடு நூலகம்
OR课件
不等式变不等式
§2 LP 问题 的标 准型 及其 转化
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
或
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
max 1 2
2 2 1 2 1
最优目标值： Z=120
最优解为AB线段上所有点 －－称为多重解
X = XA + (1-)XB
0
20
40
60
80 x1
OR课件
LP
§4 LP 问 题 图 解 法
例1.6 某LP问题的可行域如下图：
MaxZ
OR课件
LP
LP问题模型转换
§2 LP 问题 的标 准型 及其 转化
例 把问题转化为标准形式
min S x1 x 2 2 x1 x2 2 x 2x 2 1 2 s.t. x1 x2 5 x1 0
MaxZ x1 ( x3 x4 ) 2 x1 ( x3 x4 ) x5 2 x 2( x x ) x 2 1 3 4 6 s.t. x1 ( x3 x4 ) x7 5 xi 0; i 1,3,4,5,6,7
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n s i b i , s i 0
或
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
松弛变量
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n s i b i , s i 0
OR课件
LP
§3 LP 问 题 解 的 概 念
可行解：满足LP问题所有约束条件的解。 最优解：满足目标函数的可行解。
MaxZ CX AX b X 0
OR课件
LP
§3 LP 问 题 解 的 概 念
基、基变量、非基变量：
X x1 x2 xm xm1 xn a11 a12 a1m a1m1 a1n A am1 am2 amm amm1 amn a11 a12 a1m B a a a mm m1 m2
40 20
不 可 行 解
x
2
= Z/8 － 5/4 x1
0 可行域
20
40
60
80 x1
若Z=160, x2=20－5/4x1 等值线
最优解: x1=10, x2=45, Z=460 (唯一最优解)
OR课件
LP
§4 例1.5 若将上例的目标函数改为： x LP Z 3x 2x 问 约束条件不变，其最优 80 题 解会发生什么变化？ 60 不 可 图 A(10,45) Z=120 行 x = Z/2 － 3/2 x 解 40 解 法 若Z=60, x =30－3/2x 20 B(30,15) Z=120
变量转换
负变量化为正变量
令自由变量 x j x ，其中 x x j j j , x j 为非负变量
目标转换
求最大可以等价成求负的最小
MinS c x MaxZ c x
约束转换
OR课件
LP问题约束转换
等式变不等式
§2 LP 问题 的标 准型 及其 转化
退化基本解：非零基变量的个数小于m的 基本解。
OR课件
LP
LP问题解集
§3 LP 问 题 解 的 概 念
非 基 本 解
基本解
可行解
不 可 行 解
其交集为基本可行解
OR课件
§3 LP 问 题 解 的 概 念
1． 基本可行解不一定都是最优解， 最优解也不一定都是基本解 2． 如果有两个基本可行解是最优解， 则两解的凸组合也都是最优解。 3． 如果最优解不唯一，则会有多个基本可行解是最优解，它们必然在 同一个面上。 4．基本可行解个数有限，可以在基本可行解中寻找最优解。
矩阵
a 11 a 21 A a m1 a 12 a 22 am2 a1n a 2n a mn
为系数矩阵。
OR课件
LP
§2 LP 问题 的标 准型 及其 转化
LP问题规范形式
min c x Ax b s.t. x 0
40 30
利润（Z）=3x1
+ 4x2
OR课件
LP
决策变量
解：设A、B两种产品的产量分别为x1、x2， 则使工厂获取的总利润最大的数学模型如下：
§1 LP 问题 及其 数学 模型
Max z=3x1 + 4x2
2x1＋x2 ≤ 40 （铜） x1＋3x2 ≤ 30（铝） x1, x2 ≥ 0
目标函数
OR课件
运 筹 帷 幄 之 中 Linear Programming-----LP
决 胜
线性规划基础
（第1章）
千 里 之 外
OR课件
导 学
重 点 与 难 点 -----
重点
掌握什么样的问题是线性规划问题，即
线性规划问题的数学模型的特点、标准型
的建立和图解法的基本思想。
难点
线性规划问题解的概念和标准型的转化。
OR课件
导 学
主 要 内 容 -----
§ 1 LP问题及其数学模型
§ 2 LP的标准型及其转化
§ 3 LP解的概念 § 4 LP的图解法
OR课件
LP
§1 LP 问题 及其 数学 模型
线性规划实例
生产计划问题 运输问题 线性规划模型 模型特征 建模步骤
OR课件
LP
§1 LP 问题 及其 数学 模型
（4）每一问题要求目标函数实现最大化（Max） 或者最小化（Min）。