运筹学第1章线性规划及单纯形法复习题
运筹学习题
运筹学复习题第一章 线性规划及单纯形法一、单选题1. 线性规划具有无界解是指A. 可行解集合无界B. 有相同的最小比值C. 存在某个检验数0k λ>，且0(1,2,,)ik a i m ≤=D. 最优表中所有非基变量的检验数非零 2. 线性规划具有唯一最优解是指A. 最优表中非基变量检验数全部非零B. 不加入人工变量就可进行单纯形法计算C. 最优表中存在非基变量的检验数为零D. 可行解集合有界 3. 线性规划具有多重最优解是指A. 目标函数系数与某约束系数对应成比例B. 最优表中存在非基变量的检验数为零C. 可行解集合无界D. 基变量全部大于零 4. 使函数Z=-x 1+x 2+2x 3 减小最快的方向是A. (-1,1,2)B. (1,-1,-2)C. (1,1,2)D. (-1,-1,-2) 5. 当线性规划的可行解集合非空时一定 A. 包含点X =(0,0,···,0) B. 有界 C. 无界 D. 是凸集 6. 线性规划的退化基可行解是指A. 基可行解中存在为零的非基变量B. 基可行解中存在为零的基变量C. 非基变量的检验数为零D. 所有基变量不等于零 7. 线性规划无可行解是指A. 第一阶段最优目标函数值等于零B. 进基列系数非正C. 用大M 法求解时，最优解中还有非零的人工变量D. 有两个相同的最小比值 8. 若线性规划不加入人工变量就可以进行单纯形法计算A. 一定有最优解B. 一定有可行解C. 可能无可行解D. 全部约束是小于等于的形式 9. 设线性规划的约束条件为123124222401234 (,,,)jx x x x x x x j ⎧++=⎪++=⎨⎪≥=⎩ 则非退化基本可行解是A. (2， 0，0， 0)B. (0，2，0，0)C. (1，1，0，0)D. (0，0，2，4) 10. 设线性规划的约束条件为123124222401234 (,,,)jx x x x x x x j ⎧++=⎪++=⎨⎪≥=⎩ 则非可行解是A. (2，0，0， 0)B. (0，1，1，2)C. (1，0，1，0)D. (1，1，0，0) 11. 线性规划可行域的顶点一定是A. 可行解B. 非基本解C. 非可行解D. 是最优解 12. 1234min z x x =+1212124220,x x x x x ⎧+≥⎪+≤⎨⎪≥⎩ A. 无可行解 B.有唯一最优解 C.有无界解 D.有多重最优解13. 12122124432450,max z x x x x x x =-⎧+≤⎪≤⎨⎪≥⎩A. 无可行解B. 有唯一最优解C. 有多重最优解D. 有无界解 14. X 是线性规划的基本可行解则有A. X 中的基变量非负，非基变量为零B. X 中的基变量非零，非基变量为零C. X 不是基本解D. X 不一定满足约束条件 15. X 是线性规划的可行解，则错误的结论是A. X 可能是基本解B. X 可能是基本可行解C. X 满足所有约束条件D. X 是基本可行解 16. 下例错误的说法是A. 标准型的目标函数是求最大值 B 标准型的目标函数是求最小值 C. 标准型的常数项非正 D. 标准型的变量一定要非负 17. 为什么单纯形法迭代的每一个解都是可行解？答：因为遵循了下列规则 A. 按最小比值规则选择换出变量B. 先进基后出基规则C. 标准型要求变量非负规则D. 按检验数最大的变量选择换入变量 18. 线性规划标准型的系数矩阵A m×n ，要求A. 秩(A )=m 并且m <nB. 秩(A )=m 并且m <=nC. 秩(A )=m 并且m =nD. 秩(A )=n 并且n <m 19. 下例错误的结论是A. 检验数是用来检验可行解是否是最优解的数B. 检验数是目标函数用非基变量表达的系数C. 不同检验数的定义其检验标准也不同D. 检验数就是目标函数的系数 20. 对取值为无约束的变量j x ，通常令'''j j j x x x =-，其中''',0j j x x ≥；在用单纯形法求得的解中不可能出现A. '0j x =,''0j x ≥ B. '0j x =,''0j x = C. '0j x >,''0>j x D. '0j x >,''0j x =21．运筹学是一门A. 定量分析的学科B. 定性分析的学科C. 定量与定性相结合的学科D. 定量与定性相结合的学科，其中分析与应用属于定性分析，建立模型与求解属于定量分析二、设某种动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、100毫克维生素。
运筹学习题集(第一章)
判断题判断正误，如果错误请更正第1章线性规划1.任何线形规划一定有最优解。
2.若线形规划有最优解，则一定有基本最优解。
3.线形规划可行域无界，则具有无界解。
4.在基本可行解中非基变量一定为0。
5.检验数λj表示非基变量Xj增加一个单位时目标函数值的改变量。
6.minZ=6X1+4X2｜X1-2X｜︳<=10 是一个线形规划模型X1+X2=100X1>=0,X2>=07.可行解集非空时,则在极点上至少有一点达到最优解.8.任何线形规划都可以化为下列标准型Min Z=∑C j X j∑a ij x j=b1, i=1,2,3……，mX j>=0,j=1,2,3,……，n:b i>=0,i=1,2,3,……m9.基本解对应的基是可行基.10.任何线形规划总可用大M 单纯形法求解.11.任何线形规划总可用两阶段单纯形法求解。
12.若线形规划存在两个不同的最优解，则必有无穷多个最优解。
13.两阶段中第一阶段问题必有最优解。
14.两阶段法中第一阶段问题最优解中基变量全部非人工变量，则原问题有最优解。
15.人工变量一旦出基就不会再进基。
16.普通单纯形法比值规则失效说明问题无界。
17.最小比值规则是保证从一个可行基得到另一个可行基。
18.将检验数表示为λ=C B B-1A-的形式，则求极大值问题时基本可行解是最优解的充要条件为λ》=0。
19.若矩阵B为一可行基，则｜B｜≠0。
20.当最优解中存在为0的基变量时，则线形规划具有多重最优解。
选择题在下列各题中，从4个备选答案中选出一个或从5个备选答案中选出2~5个正确答案。
第1章线性规划1.线形规划具有无界解是指：A可行解集合无界B有相同的最小比值C存在某个检验数λk>0且a ik<=0（i=1，2，3，……，m） D 最优表中所有非基变量的检验数非0。
2.线形规划具有多重最优解是指：A 目标函数系数与某约束系数对应成比例B最优表中存在非基变量的检验数为0 C可行解集合无界D存在基变量等于03.使函数Z=-X1+X2-4X3增加的最快的方向是：A （-1，1，-4）B（-1，-1，-4）C（1，1，4）D（1，-1，-4-）4.当线形规划的可行解集合非空时一定A包含原点X=（0，0，0……）B有界C 无界D 是凸集5.线形规划的退化基本可行解是指A基本可行解中存在为0的基变量B非基变量为C非基变量的检验数为0 D最小比值为06.线形规划无可行解是指A进基列系数非正B有两个相同的最小比值C第一阶段目标函数值大于0 D用大M法求解时最优解中含有非0的人工变量E可行域无界7.若线性规划存在可行基，则A一定有最优解B一定有可行解C可能无可行解D可能具有无界解E全部约束是〈=的形式8.线性规划可行域的顶点是A可行解B非基本解C基本可行解D最优解E基本解9.minZ=X1-2X2，-X1+2X2〈=5，2X1+X2〈=8，X1，X2〉=0，则A有惟一最优解B有多重最优解C有无界解D无可行解E存在最优解10.线性规划的约束条件为X1+X2+X3=32X1+2X2+X4=4X1，X2，X3，X4〉=0 则基本可行解是A（0，0，4，3）B（0，0，3，4）C（3，4，0，0）D（3，0，0，-2）计算题1.1 对于如下的线性规划问题MinZ= X1+2X2s.t. X1+ X2≤4-X1+ X2≥1X2≤3X1, X2≥0的图解如图所示。
运筹学教材编写组《运筹学》课后习题(第1章 线性规划与单纯形法——第3章 运输问题)【圣才出品】
②因为 P1 、 P3 线性无关，故有
2xx11
x3 8 6x3
3x2 3 2x2
4
x4 7 x4
令非基变量
x2
x4
0 ，解得
x1
45 13 , x3
14 13
，故
X (2)
45 13
,
0,
14 13
,
0
T
不是可
行解。
③因为 P1 、x2 3 2x2
x3 6x3
令非基变量
x2
x3
0 ，解得
x1
34 5 , x4
7 5
，故有基可行解
X
(3)
34 5
, 0, 0,
7
T
5
，
z3
117 5
。
④因为 P2 、 P3 线性无关，故有
32xx22
x3 8 6x3
2 3
x1 x1
4x4 7 x4
令非基变量
x1
x4
0 ，解得
4x1 x2 2x3 x4 2
s.t.
x1
x2
2x1
3x3 3x2
x4 x3
14 2x4
2
x1, x2 , x3 0, x4无约束
解：令 x4 x4 ' x4 ''，且 x4 ', x4 '' 0 ；在第一个约束条件两边同时乘以-1 后引入人工
变量 x5 ，在第二个约束条件右端加上松弛变量 x6 ；在第三个约束条件右端减去剩余变量 x7 ，
令非基变量
x1
x3
0 ，解得
X
(5)
0,
68 , 0, 29
运筹学：线性规划的数学模型与单纯形法习题与答案
一、单选题1、线性规划具有唯一最优解是指（）。
A.不加入人工变量就可进行单纯形法计算B.最优表中非基变量检验数全部非零C.可行解集合有界D.最优表中存在非基变量的检验数为零正确答案：B2、线性规划具有多重最优解是指（）。
A.最优表中存在非基变量的检验数为零B.可行解集合无界C.基变量全部大于零D.目标函数系数与某约束系数对应成比例正确答案：A3使函数z=−x1+x2+2x3减少得最快的方向是（）。
A. (1,－1,－2)B. (－1,－1,－2)C. 1,1,2)D. (－1,1,2)正确答案：A4、线性规划的退化基可行解是指（）。
A.基可行解中存在为零的非基变量B.基可行解中存在为零的基变量C.非基变量的检验数为零D.所有基变量不等于零正确答案：B5、线性规划无可行解是指（）。
A.有两个相同的最小比值B.第一阶段最优目标函数值等于零C.用大M法求解时,最优解中还有非零的人工变量D. 进基列系数非正正确答案：C6、若线性规划不加入人工变量就可以进行单纯形法计算（）。
A.一定有最优解B.全部约束是小于等于的形式C.可能无可行解D.一定有可行解正确答案：D7、设线性规划的约束条件为x1+x2+x3=22x1+2x2+x4=4x1，…，x4≥0则非可行解是（）。
A. (0，1，1，2)B. (2，0，0，0)C. (1，0，1，0)D. (1，1，0，0)正确答案：C8、线性规划可行域的顶点一定是（）。
A.可行解B.非基本解C.非可行解D.最优解正确答案：A9、X是线性规划的基本可行解则有（）。
A.X不一定满足约束条件B.X不是基本解C.X中的基变量非零，非基变量为零D.X中的基变量非负，非基变量为零正确答案：D10、下例错误的结论是（）。
A.检验数就是目标函数的系数B.检验数是用来检验可行解是否是最优解的数C.不同检验数的定义其检验标准也不同D.检验数是目标函数用非基变量表达的系数正确答案：A11、在解决运筹学问题时，根据对问题内在机理的认识直接构造出模型的方法称为（）。
运筹学习题
习题一1.1 用图解法求解下列线性规划问题，并指出各问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解。
(1) min z ＝6x1＋4x2(2) max z ＝4x1＋8x2st. 2x1＋x2≥1 st. 2x1＋2x2≤103x1＋4x2≥1.5 －x1＋x2≥8x1, x2≥0 x1, x2≥0(3) max z ＝x1＋x2(4) max z ＝3x1－2x2st. 8x1＋6x2≥24 st. x1＋x2≤14x1＋6x2≥－12 2x1＋2x2≥42x2≥4 x1, x2≥0x1, x2≥0(5) max z ＝3x1＋9x2(6) max z ＝3x1＋4x2st. x1＋3x2≤22 st. －x1＋2x2≤8－x1＋x2≤4 x1＋2x2≤12x2≤6 2x1＋x2≤162x1－5x2≤0 x1, x2≥0x1, x2≥01.2. 在下列线性规划问题中，找出所有基本解，指出哪些是基本可行解并分别代入目标函数，比较找出最优解。
(1) max z ＝3x1＋5x2(2) min z ＝4x1＋12x2＋18x3st. x1＋x3＝4 st. x1＋3x3－x4＝32x2＋x4＝12 2x2＋2x3－x5＝53x1＋2x2＋x5＝18 x j≥0 （j＝1, (5)x j≥0 （j＝1, (5)1.3. 分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题，并对照指出单纯形法迭代的每一步相当于图解法可行域中的哪一个顶点。
(1) max z ＝10x1＋5x2st. 3x1＋4x2≤95x1＋2x2≤8x1, x2≥0(2) max z ＝100x1＋200x2st. x1＋x2≤500x1≤2002x1＋6x2≤1200x1, x2≥01.4. 分别用大M法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出问题的解属于哪一类：(1) max z ＝4x1＋5x2＋x3(2) max z ＝2x1＋x2＋x3st. 3x1＋2x2＋x3≥18 st. 4x1＋2x2＋2x3≥42x1＋x2≤4 2x1＋4x2≤20x1＋x2－x3＝5 4x1＋8x2＋2x3≤16x j≥0 （j＝1,2,3）x j≥0 （j＝1,2,3）(3) max z ＝ x 1＋ x 2 (4) max z ＝x 1＋2x 2＋3x 3－x 4 st. 8x 1＋6x 2≥24 st. x 1＋2x 2＋3x 3＝154x 1＋6x 2≥－12 2x 1＋ x 2＋5x 3＝202x 2≥4 x 1＋2x 2＋ x 3＋ x 4＝10x 1, x 2≥0 x j ≥0 （j ＝1, (4)(5) max z ＝4x 1＋6x 2 (6) max z ＝5x 1＋3x 2＋6x 3 st. 2x 1＋4x 2 ≤180 st. x 1＋2x 2＋ x 3≤183x 1＋2x 2 ≤150 2x 1＋ x 2＋3x 3≤16 x 1＋ x 2＝57 x 1＋ x 2＋ x 3＝10x 2≥22 x 1, x 2≥0，x 3无约束 x 1, x 2≥01.5 线性规划问题max z ＝CX ，AX ＝b ，X ≥0，如X*是该问题的最优解，又λ＞0为某一常数，分别讨论下列情况时最优解的变化：（1） 目标函数变为max z ＝λCX ；（2） 目标函数变为max z ＝（C ＋λ）X ；（3） 目标函数变为max z ＝C X ，约束条件变为AX ＝λb 。
运筹学复习题
轴件
规格：长度（米）
每台机床所需轴件数量
A
B
C
2.9
2.1
1.5
1
1
1
6、试用单纯形法求解下列线性规划问题
2、某工厂生产A、B、C三种产品，现根据订货合同以及生产状况制定生产计划。
已知甲合同为：A产品1000件，单价600元，违约金为120元/件；
B产品700件，单价500元，违约金为100元/件。
乙合同为：B产品900件，单价550元，违约金为110元/件；
C产品800件，单价450元，违约金为90元/件。
有关各产品生产过程所需工时以及原材料的情况见下表。试以利润最大为目标，建立该工厂的生产计划线性规划模型（不求解）。
（1）应如何指派，使总的翻译效率最高？
（2）若甲不懂德文，乙不懂日文，其他数字不变，则应如何指派？
第五章图与网络分析
一复习思考题
1．通常用G(V，E)来表示一个图，试述符号V，E及这个表达式的涵义。
2．解释下列各组名词，并说明相互间的联系和区别：(a)端点，相邻，关联边；(b)环，多重边，简单图；(c)链，初等链；(d)圈，初等圈，简单圈；(e)回路，初等路；(f)节点的次，悬挂点，孤立点；(g)连通图，支撑子图；(h)有向图，赋权图。
2、用分技定界法求解一个极大化的整数规划问题时，任何一个可行解的目标函数是该问题目标函数值的下界；
3、用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题，当得到多于一个可行解时，通常可任取其中一个作为下界值，再进行比较剪枝；
第1章线性规划及单纯形法
线性规划及单纯形法 一．选择1. 运筹学应用分析、试验、（C ）的方法，对经济管理系统中人、财、物等有限资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。
A 统筹 B 量化 C 优化 D 决策2. 运筹学研究的基本手段是（A ）。
A 建立数学模型B 进行数学分析C 进行决策分析D 建立管理规范 3. 运筹学研究的基本特点是（ C ）。
A 进行系统局部独立分析B 考虑系统局部优化C 考虑系统的整体优化D 进行系统的整体决策4. 线性规划问题的数学模型包含三个组成要素：决策变量、目标函数、（B ） A 表达式 B 约束条件 C 方程变量 D 价值系数5. 线性规划问题的基可行解X 对应线性规划问题可行域（凸集）的（ C ） A 边 B 平面 C 顶点 D 内部6. 目标函数取极小化（Z min ）的线性规划问题可以转化为目标函数取极大化即（C ）的线性规划问题求解A Z minB )min(Z -C )max(Z -D Z max -7. 标准形式的线性规划问题，最优解（C ）是可行解A 一定B 一定不C 不一定D 无法确定8. 在线性规划问题中，称满足所有约束条件方程和非负限制的解为（ C ）。
A 最优解 B 基可行解 C 可行解 D 基解9. 生产和经营管理中经常提出任何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是所谓的（D ）A 管理问题B 规划问题C 决策问题D 优化问题10. 在线性规划问题中，图解法适合用于处理变量（ B ）个的线性规划问题 A 1 B 2 C 3 D 411. 求解线性规划问题时，解的情况有:唯一最优解、无穷多最优解、（ C ）、无可行解 A 无解B 无基解 C 无界解 D 无基可行解12. 在用图解法求解的时，找不到满足约束条件的公共范围，这时问题有（D ），其原因是模型本身有错误，约束条件之间相互矛盾，应检查修正。
A 唯一最优解 B 无穷多最优解 C 无界解D 无可行解13. 线性规划问题的基可行解()Tn X X X ,,1 =为基可行解的充要条件是X 的正分量所对应的系数列向量是（B ）A 线性相关B 线性独立C 非线性独立D 无法判断14. 线性规划问题进行最优性检验和解的判别时，如果当0≤j σ时，人工变量仍留在基本量中且不为零，（D ）A 唯一最优解B 无穷多最优解C 无界解D 无可行解15.如果集合C 中任意两个点21,X X 其连线上的所有点也都是集合C 中的点，称C 为（B ）A 集合B 凸集C 顶点D 子集16.线性规划问题求解的时候，目标函数与某一个约束条件平行，则解的情况为（ D ） A 无穷多最优解B 无可行解C 唯一最优解D 无法确定17.线性规划问题求解的时候,该线性规划问题有可行域，目标函数与某一个约束条件平行，则解的情况为（A ）A 无穷多最优解B 无可行解C 唯一最优解D 无法确定 18．运筹学涉及的主要领域是（C ）A 技术问题B 经济问题C 管理问题D 以上都不是 19.齐王赛马的故事运用运筹学的（C ）理论。
运筹学第一章详解答案
运筹学详解答案：1.1分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题，（1）指出问题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解；（2）当具有有限最优解时，指出单纯形表中的各基可行解对应可行域的那一顶点。
A. 图解法图中蓝线代表目标函数线，箭头代表其运动的方向，根据可行域的形状可知此题无最优解。
B. 单纯形法1.行变换法写出此线性规划问题的标准形式max z =5x 1+6x 2s.t.{2x 1−x 2−x 3=2−2x 1+3x 2+x 4=2x i ≥0,(i =1,2,3,4)系数矩阵经过行变换后可的到等价的约束条件如下max z =5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-+=0,23222.65max )4(21212121x x x x x x st x x Zs.t.{x 1−12⁄x 2−12⁄x 3+0x 4=10x 1+2x 2−x 3+x 4=4x i ≥0,(i =1,2,3,4)显然x 1,x 4是基变量利用单纯形表可以求出此题具有无界解。
当然还可以采用其他变量为基变量，例如将约束条件转化为s.t.{x 1+0x 2−34⁄x 3+14⁄x 4=20x 1+x 2−12⁄x 3+12⁄x 4=2x i ≥0,(i =1,2,3,4)此时x 1,x 2成为了基变量。
然后在利用单纯形法可以解出此题具有无界解。
C. 大M 法易知转换成标准形式后，约束问题的系数矩阵中不包含单位矩阵，这时我们可以添加一个人工变量x 5，并在系数矩阵中添加一列单位向量，同时令目标函数中人工变量的系数为任意大的负值，用“-M ”表示。
具体形式如下max z =5x 1+6x 2−Mx 5s.t.{2x 1−x 2−x 3+x 5=2−2x 1+3x 2+x 4=2x i ≥0,(i =1,2,3,4,5)1.在进行第二次迭代时，因为人工变量已经移除基了，我们可以在后续的计算中不考虑它。
2.在进行第三次迭代时，进基的变量是x 3，而其对应的列向量都是小于0的，故此我们可以判断此问题有无界解。
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max (min)Z CX AX (, ) b X 0
3、线性规划的标准形式
max Z CX AX b X 0
① ② ③
4、线性规划问题的解
（一）求解方法
一般有 两种方法
图解法 单纯形法 两个变量、直角坐标 三个变量、立体坐标
适用于任意多个变量、但需将 一般形式变成标准形式
max
x2
Z x1 2 x
无穷多最优解
⑵ ⑶
2
x1 2 x2 6 3 x 2 x 12 1 2 x2 2 x1 0, x2 0
4x1
≤ 16
4x2 ≤ 12
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
此为带约束的极值问题
（二）、数学模型 1、 问题中总有未知的变量，需要我们去解决。 要求：有目标函数及约束条件，一般有非负条件 存在，由此组成规划数学模型。 如果在规划问题的数学模型中，变量是连续的 （数值取实数）其目标函数是线性函数（一次方），
2 2
1
3 x 12 8 16 12
2
作图
6 5
x2
2 x1 x 1 4 x1 x1
⑶
2 2
0
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
4
⑷
3
1
2
(4 2)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x1
⑵
⑴
∴ 最 优 解：x1 = 4 ， x2 = 2
有唯一最优解，Z = 14
例二、
xj 0
如将上例用表格表示如下：
设变量
产品j 设备i
x j 1 , 2 , , n ) j (
有效台时
1 2 n b
i
1 2 m
利润 c
j
a 11 a 1 n a ij a m 1 a mn
c c 1 c 2 n
b b b
1 2
m
( c c c ) 向 量 形 式：C 1 2 n
§2 图 解 法
例一、 max
Z 2 x 2 x 2 x
2 1
3 x
2
2 x1 x 1 4 x1 x1
12 2 8 16 4 x 2 12 0 , x 2 0
⑴
⑵
⑶ ⑷
max
Z
2 x 2 x 2 x 4 x 0, x
为了完成一项任务或达到一定的目的，怎样用最少的 人力、物力去完成或者用最少的资源去完成较多的任务或 达到一定的目的，这个过程就是规划。
例一、有一正方形铁皮，如何截取 x 使容积为最大？
x a
v a2x x
2
dv 0 dx
2 2 ( a 2 x ) x ( 2 ) ( a 2 x ) 0
约束条件：
②
am1 x1 am2 x2 amn xn (, ) bm x1 0, , xn 0
③
也可以记为如下形式： 目标函数： max(min) Z
c x
j 1 j
n
j
约束条件：
a x
j 1
n
ij j
(, ) bi
(i 1,2,, m) (j 1,2,, n)
x1 X x n
a1j pj a mj
b1 b b m
max (min)Z CX p j x j (, ) b X 0
矩阵形式：
a1 1 a1n A am1 am n
a x 6
此为无约束极值问题
例二、已知资 料如表所示，问 如何安排生产才 能使利润最大？ 或如何考虑利润 大，产品好销。
设 备
产 品
A
2
B
1
C
4
D 利润(元)
0 2
Ⅰ
Ⅱ
有效台时
2
12
2
8
0
16
4
12
3
模型
max Z = 2x1 + 3x2
2x1 + 2x2 ≤ 12 x1 + 2x2 ≤ 8 s.t.
约束条件是有关变量的线性等式或不等式，这样，规
划问题的数学模型是线性的。反之，就是非线性的规
划问题。
2、线性规划数学模型的一般形式
目标函数： max (min)Z c1 x1 c2 x2 cn xn ①
a11 x1 a12 x2 a1n xn (, ) b1
第1章 线性规划及单纯形法
(Linear Programming and Simplex Method)
§1一般线性规划问题及其数学模型 §2图解法 §3单纯形法原理 §4单纯形法的计算步骤 §5单纯形法的进一步讨论 §6数据包络分析 §7线性规划应用
§1一般线性规划问题及其数学模型
（一）、问题的提出
P1 P2 P3 P4 P5
9 A= 4
4 5
1 0
0 1
0 0
3X1+10X2+x5 =300
Xj≥0 j=1,2,…,5
3
10
0
0
1
这里m=3,n=5。 C n=10
m
• 基（p3,p4,p5） ，令非基变量x1,x2=0，则 基变量x3=360, x4=200, x5=300, 可行解 • 基（p2,p4,p5）,令非基变量x1=0,x3=0基变 量x2=90,x4=－250,x5=－600. 非可行解 • 基（ p2,p3,p4 ），令非基变量x1,x5=0，则 基变量x2=30, x3=240, x4=50,可行解.
⑷ 基本解：满足条件②，但不满足条件③由基 m B决定的解.最多为 个。 Cn
⑸ 基本可行解：满足非负约束条件的基本解， 简称基可行解。
⑹ 可行基：对应于基可行解的基称为可行基。
可 行 解 非可行解
基解
基可行解
例题 基可行解说明
maxZ=70X1+120X2 9X1+4X2+X3=360
4X1+5、解的概念
⑴ 可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。 所有解的集合为可行解的集或可行域。
⑵ 最优解：使目标函数①达到最大值的可行解。 ⑶ 基：B是矩阵A中m×m阶非奇异子矩阵 （∣B∣≠0），则B是一个基。
则称 Pj ( j = 1 2 … … m) 为基向量。 a 11 a 1 m B (p , ,p ) 1, p 2 m a a m 1 mm ∴ Xj 为基变量，否则为非基变量。