运筹学线性规划图解法
合集下载
管理运筹学第二章 线性规划的图解法
B、约束条件不是等式的问题：
若约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量si ，使它等于约束右 边与左边之差 si=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn ) 显然，si 也具有非负约束，即si≥0， 这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn+si = bi
第二章 线性规划 的图解法
一、线性规划的概念 二、线性规划问题的提出 三、线性规划的数学模型 四、线性规划的图解法 五、线性规划解的情况 六、LP图解法的灵敏度分析
一、线性规划的概念
线性规划Linear Programming 简称LP，是一 种解决在线性约束条件下追求最大或最小的 线性目标函数的方法。 线性规划的目标和约束条件都可以表示成线 性的式子。
max z 3 x1 2 x2
2 x1 x2 ≤ 10 设备B台时占用 s.t. x1 x2 ≤ 8 x , x ≥ 0 产量非负 1 2
决策变量 （decision variable） 目标函数 （objective function） 约束条件 （subject to）
-ai1
x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi 。
例1.3：将以下线性规划问题转化为标准形式 Min f = 3.6 x1 - 5.2 x2 + 1.8 x3 s. t. 2.3 x1 + 5.2 x2 - 6.1 x3 ≤15.7 4.1 x1 + 3.3 x3 ≥8.9 x1 + x2 + x3 = 38 x 1 , x 2 , x3 ≥ 0
运筹学线性规划图解法
引理1.线性规划问题的可行解X为基本可行解的充分 必要条件是X的正分量所对应的系数列向量是线性独立的. 证明:
必要性：已知X为线性规划的基本可行解，要证X的 正分量所对应的系数列向量线性独立。
因为X为基本解，由定义，其非零分量所对应的系数 列向量线性独立；又因为X还是可行解，从而其非零分量 全为正。
•有唯一解
例1： max z=2x1+ 3x2 s.t. x1+2x2≤8 4x1≤16 x1,x2≥0
画图步骤： 1、约束区域的确定 2、目标函数等值线 3、平移目标函数等值线求最优值
x2
可行域
(4,2) z=14
目标函数 等值线
x1
•有无穷多解
例2 max z =2x1+4x2 s.t. x1+2x2≤8 4x2 ≤ 12 3x1 ≤12 x1, x2 ≥0
X(0)=Σ α iX(i) α i0,Σ α i=1 记X(1),X(2), …,X(k)中满足max CX(i)的顶点为X(m)。于是，
k
k
CX (0) Ci X (i) Ci X (m) CX (m)
i 1
i 1
由假设CX(0)为最优解，所以CX(0)=CX(m)，即最优解可在顶点
充分性：已知可行解X的正分量所对应的系数列向量 线性独立，欲证X是线性规划的基本可行解。
若向量P1, P2,…, Pk线性独立,则必有k≤m；当k=m时， 它们恰构成一个基，从而X=（x1，x2,…,xk，0…0）为相 应的基可行解。K〈m时，则一定可以从其余的系数列向量 中取出m-k个与P1, P2,…, Pk构成最大的线性独立向量组， 其对应的解恰为X，所以根据定义它是基可行解。
§2 线性规划图解法
运筹学_2 线性规划图解法
约束条件
图解法求min
x2
x1
图解法求min
x2
x1
图解法求min
解与值
解位于X1+X2=800和0.21X1-0.3X2=0的交点处 X1=470.59，X2=329.41 Z=437.65元/天
不等式与等式联立的结果是一个不等式 联立可分3种情况，代入x1＋x2＝800与x1＝800 －x2；代入800，不代入任何数字 产生的不等式，相应图形也有三种情况
LP是OR最主要的组成部分之一
应用广泛：经营计划、材料配比、下料方案
小结
什么是线性规划问题 二元线性规划图解法
图解法的适用条件：因要表示在平面坐标系中，只有二 元线性规划才能用图解法 图解方法、例题 学习图解法的作用
例题
A、B两类制剂，所需原料分别为2和3个单位，需要的 工时为4和2个单位，在计划期内可以使用的原料为100 ，工时为120单位。以至利润分别为6和4个单位，求获 利的最大方案。
From Jilin Uni. OR PPT
特殊饲料的要求是至少要有30%的蛋白质和至多5%的纤维，农 场希望每天成本最小的饲料配置
图解法求min
定义变量
X1，每天玉米饲料的重量
X2，每天大豆粉饲料的重量
目标函数
min Z=0.3X1+0.9X2
X1+X2=800 总量约束 0.09X1+0.6X2 ≥0.3(X1+X2) 蛋白质约束 0.02X1+0.06X2≤0.05（X1+X2）纤维约束 X1，X2≥0 非零约束
管理运筹学第二章线性规划的图解法
02
图解法的基本原理
图解法的概念
图解法是一种通过图形来直观展示线性规划问题解的方法。它通过在坐标系中绘 制可行域和目标函数，帮助我们理解问题的结构和最优解的位置。
图解法适用于线性规划问题中变量和约束条件较少的情况，能够直观地展示出最 优解的几何意义。
图解法的步骤
确定决策变量和目标函数
明确问题的决策变量和目标函数，以便在图 形中表示。
目标函数是要求最小化或最大化的函数，通常表示为 $f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
04
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
LINDO是一款开源的线性规划求解器，用 户可以免费使用。
软件工具的使用方法
Excel
用户需要先在Excel中设置好线性规划模型，然后使 用“数据”菜单中的“规划求解”功能进行求解。
Gurobi/CPLEX/LINDO
这些软件通常需要用户先在软件界面中输入线性规划 模型，然后通过点击“求解”按钮进行求解。
实例三：分配问题
总结词
分配问题是指如何根据一定的分配原则 或目标，将有限的资源分配给不同的需 求方，以最大化整体效益。
VS
详细描述
分配问题在实际生活中广泛存在，如物资 分配、任务分配等。通过图解法，可以将 分配问题转化为线性规划模型，并利用图 形直观地展示最优解的资源分配方案。在 分配问题中，通常需要考虑不同需求方的 重要性和优先级，以及资源的有限性等因 素，以实现整体效益的最大化。
管理运筹学_第二章_线性规划的图解法
线性规划中超过约束最低限的部分，称为剩余量。 记s1,s2为剩余变量，s3为松弛变量，则s1=0, s2=125,
s3=0，加入松弛变量与剩余变量后例2的数学模型变为 标准型： 目标函数： min f =2x1+3x2+0s1+0s2+0s3 约束条件： x1+x2-s1=350， x1-s2=125, 2x1+x2+s3=600, x1, x2, s1,s2,s3≥0.
阴影部分的每 一点都是这个线 性规划的可行解， 而此公共部分是 可行解的集合， 称为可行域。
B
X2=250
100
100
300
x1
B点为最优解， X1+X2=300 坐标为（50, 250）， Z=0=50x1+100x2 此时Z=27500。 Z=10000=50x1+100x2 问题的解： 最优生产方案是生产I产品50单位，生产Ⅱ产品250单位，可得 最大利润27500元。
Z=10000=50x1+50x2
线段BC上的所有点都代表了最优解，对应的最优值相 同： 50x1+50x2=15000。
10
3. 无界解，即无最优解的情况。对下述线性规划问题：
目标函数：max z =x1+x2 约束条件：x1 - x2≤1 -3x1+2x2≤6 x1≥0, x2≥0．
x2 -3x1+2x2=6 3
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
16
灵敏度分析
灵敏度分析：求得最优解之后，研究线性规划的
运筹学线性规划问题与图解法
线性规划问题的基本特征
❖ 决策变量：向量(x1… xn)T 代表一个具体的 方案，一般有xi非负
❖ 约束条件：线性等式或不等式 ❖ 目标函数：Z=ƒ(x1 … xn) 线性式，求Z极大
（Max）或极小(Min)
线性规划问题的一般形式
Max(min)Z=C1X1+ C2X2+…+CnXn a11X1+ a12X2+…+ a1nXn (=, )b1 a21X1+ a22X2+…+ a2nXn (=, )b2 ……… am1X1+ am2X2+…+ amnXn (=, )bm Xj 0(j=1,…,n)
Ai
❖ 配料问题:每单位原料i含vitamin如下：
原料 A B Ｃ 每单位成本
1
4 10
2
2
6 12
5
3
1 71
6
4
2 53
8
每单位添
加剂中维生 素最低含量
12 14 8
求：最低成本的原料混合方案
解：设每单位添加剂中原料i的用量为 xi (i =1,2,3,4)
minZ= 2x1 + 5x2 +6x3+8x4 4x1 + 6x2 + x3+2x4 12 x1 + x2 +7x3+5x4 14 2x2 + x3+3x4 8 xi 0 (i =1,…,4)
x1+x2+x3 ≤9
+0s1 +0s2
－x’1+x2+x’3－ x”3 + s1=9
-x1-2x2+x3 ≥2
运筹学线性规划的图解法
O
C
2
4
6
x1
6
3、 画目标函数图
令目标函数值为零，可得到斜率，根据斜率做一过原点的直 线。（如果可行解域在第一象限，且目标函数等值线斜率为 负）若给出问题是求最大值，把目标函数等值线平行移动到 与可行解域最后相交的点，这点就是问题的最优解；若给出 问题是求最小值，把目标函数等值线平行移动到与可行解域 最先相交的点，这点即为问题的最优解。
对应的可行解域。 3、画目标函数图。 4、判断解的形式，得出结论。
4
1、建立数学模型
max F 6x1 4x2 s.t. 2x1 3x2 10 4x1 2x2 12 x1 , x2 0
5
2、绘制可行解域
x2
5 4x1 2x2 12
可行解域为 阴影部分
OABC
A 3
B
1
2x1 3x2 10
B
x1 4
A
x2 3
C
1
x1 2x2 8
O
2
D
6
x1
19
解、移动目标函数等值线
x2
5
B A
1
O
2
2x1 4x2 0
x1 4
C
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 3
x1 2x2 8
D
6
x1
20
解、目标函数等值线最终与可 行解域边线重合
x2
5
B A
1
O
2
2x1 4x2 0
x1 4
C
x2 3
x1 2x2 8
11
解、绘制可行解域
x2
x2≥0
A
可行解域为开放 区域x2ABCDx1
6
第二章 线性规划的图解法(简)
第二节 图解法
在线性规划中，对一个约束条件中没使用的资源或能力的大小称 之为松弛量。记为Si。
第二节 图解法
像这样把所有的约束条件都写成等式 ，称为线性规划模型的标准化，所得结果 称为线性规划的标准形式。
第二节 图解法
同样对于≥约束条件中，可以增加一些代表
最低限约束的超过量，称之为剩余变量，把≥约
第二章 线性规划的图解法
主要内容：
§1 问题的提出 （什么是线性规划） §2 图解法 §3 图解法的灵敏度分析
重点和难点
重点： （1）线性规划问题的主要概念 （2）线性规划问题的数学模型 （3）线性规划图解法的过程 （4）阴影价格的定义和灵敏度分析 难点： 灵敏度分析
第一节 问题的提出
约束条件对偶价格小于零时，约束条件
右边常数增加一个单位，就使得最优目
标函数值减少一个其对偶价格。
第三节 图解法的灵敏度分析
对目标函数值求最小值的情况下， 当对偶价格大于零时，约束条件右边常数增加 一个单位就使其最优目标函数值减少一个其对 偶价格； 当对偶价格等于零时，约束条件右边常数增加 一个单位，并不影响其最优目标函数值； 当对偶价格小于零时，约束条件右边常数增加 一个单位，就使得其最忧目标函数值增加一个 其对偶价格。
具有上述3个特征的问题为线性规划问题。
第一节 问题的提出
我们的仸务就是要选择一组或多组方案，使目
标函数值最大或最小。从选择方案的角度说，
这是规划问题。从使目标函数值最大或最小的
角度说，就是优化问题。
线性规划数学模型的一般表示方式
max(min) f ( x) c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn a x a x a x 21 1 22 2 2n n s.t. a x a x a x m2 2 mn n m1 1 x1 , x2 , , xn n : 变量个数 ; m : 约束行数 ; n m : 线性规划问题的规模 c j : 价值系数 ; b j : 右端项; aij : 技术系数 (, )b1 (, )b2 (, )bm 0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
j 1
证明：线性规划 max z =CX s.t. AX=b X≥0 设x(1)≠x(2)为D内任取两点，则Ax(1)=b,Ax(2)=b,x(1) ≥ 0, x(2) ≥ 0,令x为线段x(1) ,x(2)上任一点,既有 x=μ x(1)+(1-μ )x(2) (0≤μ ≤1) 则 Ax=A[μ x(1) + (1-μ ) x(2)] (0≤μ ≤1) =μ Ax(1)+Ax(2)-μ Ax(2) =μ b+b–μ b=b 又因为 x(1) ≥ 0, x(2) ≥ 0, 0≤μ ≤1 所以 x ≥ 0 即 x∈D 证毕
§2.2 线性规划问题解的概念
设线性规划的标准形式： max z=Σ cjxj (1) s.t.Σ aijxj=bi i=1,2,…,m (2) xj≥0 j=1,2,…,n (3) 可行域：由约束条件(2)、(3)所围成的区域； 可行解：满足(2)、(3)条件的解X=(x1，x2，…，xn)T为可行解； 基：设A是约束条件方程组的m×n维系数矩阵,其秩为m，B是A中 m×m阶非奇异子矩阵，则称B为线性规划问题的一个基。 设
B=
a11 a21 … am1
a12 … a1m a22 … a2m … … am2 …amm
=(p1,p2, …,pm)
基向量、非基向量、基变量、非基变量： 称pj(j=1,2,…,m）为基向量，其余称为非基向量；与基 向量pj(j=1,2,…,m）对应的xj称为基变量，其全体写成 XB=（x1，x2，…，xm）T；否则称为非基变量，其全体经 常写成XN。 基解：对给定基B,设XB是对应于这个基的基变量 XB=(x1，x2，…，xm)T； 令非基变量xm+1=xm+2=…=xn=0， 由（2）式得出的解X=（x1，x2，…，xm，0，…，0）T 称为基解。 基可行解：所有决策变量满足非负条件(xj ≥0)的基解, 称作基可行解。 可行基：基可行解所对应的基底称为可行基。
•x1
• x1
• x2 • x2
凸集性质:
凸组合：设x(1),x(2),…,x(k)是n维空间中的k个点,若存在 μ 1,μ 2,…,μ k (0≤μ i≤1 i=1,2,…k 且Σ μ i=1)使 x=μ 1x(1)+μ 2x(2)+…+μ kx(k)成立,则称 x为 x(1),x(2),…,x(k) 的凸组合。 特别，平面上的两点x(1),x(2),连线上任一点x的坐标为 x=α x(1)+(1-α )x(2) 0≤α ≤1. 顶点：设K为凸集,x∈K并且x不能用K内不同的两点x(1),x(2) (x≠x(1),x≠x(2))的凸组合表示,则称x为顶点. 定理1: 线性规划问题若存在可行域,则其必是凸集，亦即 n D={X∣AX=b}={X∣ Pj x j b , xj≥0 }是凸集。
图解法得出线性规划问题解的几种情况
解的几种情况约束条件图形特点 唯一解 一般围成有限区域,最优值 只在一个顶点达到 无穷多解 在围成的区域边界上,至少 有两个顶点处达到最优值 无可行解 ( 无 围不成区域 解) 无界解(无解) 围成无界区域 , 且无有限 最优值 方程特点
目标和某一约束 方程成比例 有矛盾方程
缺少一必要条件 的方程
复习线性代数内容:
列向量 x=(x1，x2，…，xm）T为m维列向量。xRm 线性相关 一组向量v1,…,vn,如果有一组不全为零的系数 α 1, …,α n,使得: α 1 v1+…+α nvn=0 则称v1,…,vn 是线性相关的. 线性无关 一组向量v1,…,vn,如果对于任何数α 1,…,α n, 若要满足: α 1 v1+…+α nvn=0 ,则必有系数 α 1=…=α n=0,(全为零)则称v1,…,vn线性无关(线 性独立). 矩阵A的秩 设A为一个m×n阶矩阵(m<n)若矩阵中最大线性 无关列向量个数为k,则称矩阵A的秩数为k,记 为秩(A)=k.
引理1.线性规划问题的可行解X为基本可行解的充分 必要条件是X的正分量所对应的系数列向量是线性独立的. 证明: 必要性：已知 X 为线性规划的基本可行解，要证 X 的 正分量所对应的系数列向量线性独立。 因为X为基本解，由定义，其非零分量所对应的系数 列向量线性独立；又因为X还是可行解，从而其非零分量 全为正。
•无有限最优解(无界解) 例4：
x2
max z=4x1+3x2
s.t. -3x1+2x2≤6 -x1+3x2≥18 x1, x2 ≥ 0
-3x1+2x2=6
线性规划的几何特性： 线性规划问题若有最优解,一定在其可行域的顶点达到；
唯一最优解必在一个顶点达到 或无穷多最优解至少在两
个顶点达到；
无解(可行域为空集或目标函数无有限极值)。
解的关系：
可行解 基可 行解
基解
非可 行解
注： 基解的数目最多为Cnm个。基可行解的数目一般小于 基解的数目; 基解中非零分量的个数小于m个时，基解称为退化解。 以后在不声明的情况下，均假设不出现退化情况。
§2.3 线性规划问题的几何意义
凸集 : （直观）图形中连接任意两点的直线全部都在图 形区域内,称此图形是凸的.严格数学定义: 设Ω 为一n维 欧 氏 空 间 的 点 集 , 若 任 意 两 点 x1,x2∈Ω , 有 x=λ x1+(1λ )x2∈Ω ，其中λ ∈[0，1]，则称Ω 为凸集。
x2 x1+2x2=8
4x2=12
线段Q1Q2上的任意点都是最优解
Q1
Q2 x1
3x1=12Biblioteka x2•无可行解 例3：
max z 3x1 2 x2 2 x1 x2 2 s.t 3x1 4 x2 12 x , x 0 1 2
约束条件围不成区域 (又称矛盾方程)
x1
•有唯一解 例1： max z=2x1+ 3x2 s.t. x1+2x2≤8 4x1≤16 x1,x2≥0 画图步骤： 1、约束区域的确定 2、目标函数等值线 3、平移目标函数等值线求最优值 x2
可行域
(4,2) z=14
目标函数 等值线
x1
•有无穷多解
例2 max z =2x1+4x2 s.t. x1+2x2≤8 4x2 ≤ 12 3x1 ≤12 x1, x2 ≥0
证明：线性规划 max z =CX s.t. AX=b X≥0 设x(1)≠x(2)为D内任取两点，则Ax(1)=b,Ax(2)=b,x(1) ≥ 0, x(2) ≥ 0,令x为线段x(1) ,x(2)上任一点,既有 x=μ x(1)+(1-μ )x(2) (0≤μ ≤1) 则 Ax=A[μ x(1) + (1-μ ) x(2)] (0≤μ ≤1) =μ Ax(1)+Ax(2)-μ Ax(2) =μ b+b–μ b=b 又因为 x(1) ≥ 0, x(2) ≥ 0, 0≤μ ≤1 所以 x ≥ 0 即 x∈D 证毕
§2.2 线性规划问题解的概念
设线性规划的标准形式： max z=Σ cjxj (1) s.t.Σ aijxj=bi i=1,2,…,m (2) xj≥0 j=1,2,…,n (3) 可行域：由约束条件(2)、(3)所围成的区域； 可行解：满足(2)、(3)条件的解X=(x1，x2，…，xn)T为可行解； 基：设A是约束条件方程组的m×n维系数矩阵,其秩为m，B是A中 m×m阶非奇异子矩阵，则称B为线性规划问题的一个基。 设
B=
a11 a21 … am1
a12 … a1m a22 … a2m … … am2 …amm
=(p1,p2, …,pm)
基向量、非基向量、基变量、非基变量： 称pj(j=1,2,…,m）为基向量，其余称为非基向量；与基 向量pj(j=1,2,…,m）对应的xj称为基变量，其全体写成 XB=（x1，x2，…，xm）T；否则称为非基变量，其全体经 常写成XN。 基解：对给定基B,设XB是对应于这个基的基变量 XB=(x1，x2，…，xm)T； 令非基变量xm+1=xm+2=…=xn=0， 由（2）式得出的解X=（x1，x2，…，xm，0，…，0）T 称为基解。 基可行解：所有决策变量满足非负条件(xj ≥0)的基解, 称作基可行解。 可行基：基可行解所对应的基底称为可行基。
•x1
• x1
• x2 • x2
凸集性质:
凸组合：设x(1),x(2),…,x(k)是n维空间中的k个点,若存在 μ 1,μ 2,…,μ k (0≤μ i≤1 i=1,2,…k 且Σ μ i=1)使 x=μ 1x(1)+μ 2x(2)+…+μ kx(k)成立,则称 x为 x(1),x(2),…,x(k) 的凸组合。 特别，平面上的两点x(1),x(2),连线上任一点x的坐标为 x=α x(1)+(1-α )x(2) 0≤α ≤1. 顶点：设K为凸集,x∈K并且x不能用K内不同的两点x(1),x(2) (x≠x(1),x≠x(2))的凸组合表示,则称x为顶点. 定理1: 线性规划问题若存在可行域,则其必是凸集，亦即 n D={X∣AX=b}={X∣ Pj x j b , xj≥0 }是凸集。
图解法得出线性规划问题解的几种情况
解的几种情况约束条件图形特点 唯一解 一般围成有限区域,最优值 只在一个顶点达到 无穷多解 在围成的区域边界上,至少 有两个顶点处达到最优值 无可行解 ( 无 围不成区域 解) 无界解(无解) 围成无界区域 , 且无有限 最优值 方程特点
目标和某一约束 方程成比例 有矛盾方程
缺少一必要条件 的方程
复习线性代数内容:
列向量 x=(x1，x2，…，xm）T为m维列向量。xRm 线性相关 一组向量v1,…,vn,如果有一组不全为零的系数 α 1, …,α n,使得: α 1 v1+…+α nvn=0 则称v1,…,vn 是线性相关的. 线性无关 一组向量v1,…,vn,如果对于任何数α 1,…,α n, 若要满足: α 1 v1+…+α nvn=0 ,则必有系数 α 1=…=α n=0,(全为零)则称v1,…,vn线性无关(线 性独立). 矩阵A的秩 设A为一个m×n阶矩阵(m<n)若矩阵中最大线性 无关列向量个数为k,则称矩阵A的秩数为k,记 为秩(A)=k.
引理1.线性规划问题的可行解X为基本可行解的充分 必要条件是X的正分量所对应的系数列向量是线性独立的. 证明: 必要性：已知 X 为线性规划的基本可行解，要证 X 的 正分量所对应的系数列向量线性独立。 因为X为基本解，由定义，其非零分量所对应的系数 列向量线性独立；又因为X还是可行解，从而其非零分量 全为正。
•无有限最优解(无界解) 例4：
x2
max z=4x1+3x2
s.t. -3x1+2x2≤6 -x1+3x2≥18 x1, x2 ≥ 0
-3x1+2x2=6
线性规划的几何特性： 线性规划问题若有最优解,一定在其可行域的顶点达到；
唯一最优解必在一个顶点达到 或无穷多最优解至少在两
个顶点达到；
无解(可行域为空集或目标函数无有限极值)。
解的关系：
可行解 基可 行解
基解
非可 行解
注： 基解的数目最多为Cnm个。基可行解的数目一般小于 基解的数目; 基解中非零分量的个数小于m个时，基解称为退化解。 以后在不声明的情况下，均假设不出现退化情况。
§2.3 线性规划问题的几何意义
凸集 : （直观）图形中连接任意两点的直线全部都在图 形区域内,称此图形是凸的.严格数学定义: 设Ω 为一n维 欧 氏 空 间 的 点 集 , 若 任 意 两 点 x1,x2∈Ω , 有 x=λ x1+(1λ )x2∈Ω ，其中λ ∈[0，1]，则称Ω 为凸集。
x2 x1+2x2=8
4x2=12
线段Q1Q2上的任意点都是最优解
Q1
Q2 x1
3x1=12Biblioteka x2•无可行解 例3：
max z 3x1 2 x2 2 x1 x2 2 s.t 3x1 4 x2 12 x , x 0 1 2
约束条件围不成区域 (又称矛盾方程)
x1
•有唯一解 例1： max z=2x1+ 3x2 s.t. x1+2x2≤8 4x1≤16 x1,x2≥0 画图步骤： 1、约束区域的确定 2、目标函数等值线 3、平移目标函数等值线求最优值 x2
可行域
(4,2) z=14
目标函数 等值线
x1
•有无穷多解
例2 max z =2x1+4x2 s.t. x1+2x2≤8 4x2 ≤ 12 3x1 ≤12 x1, x2 ≥0