运筹学线性规划的图解法
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管理运筹学第二章 线性规划的图解法
B、约束条件不是等式的问题：
若约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量si ，使它等于约束右 边与左边之差 si=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn ) 显然，si 也具有非负约束，即si≥0， 这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn+si = bi
第二章 线性规划 的图解法
一、线性规划的概念 二、线性规划问题的提出 三、线性规划的数学模型 四、线性规划的图解法 五、线性规划解的情况 六、LP图解法的灵敏度分析
一、线性规划的概念
线性规划Linear Programming 简称LP，是一 种解决在线性约束条件下追求最大或最小的 线性目标函数的方法。 线性规划的目标和约束条件都可以表示成线 性的式子。
max z 3 x1 2 x2
2 x1 x2 ≤ 10 设备B台时占用 s.t. x1 x2 ≤ 8 x , x ≥ 0 产量非负 1 2
决策变量 （decision variable） 目标函数 （objective function） 约束条件 （subject to）
-ai1
x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi 。
例1.3：将以下线性规划问题转化为标准形式 Min f = 3.6 x1 - 5.2 x2 + 1.8 x3 s. t. 2.3 x1 + 5.2 x2 - 6.1 x3 ≤15.7 4.1 x1 + 3.3 x3 ≥8.9 x1 + x2 + x3 = 38 x 1 , x 2 , x3 ≥ 0
运筹学课后习题答案
第一章 线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058244212121x x x x x x解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4Max z=5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-0,23222212121x x x x x x解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞Maxz = 2x 1 +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.1212125.max 23284164120,1,2maxZ .jZ x x x x x x x j =+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x 1+2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束，321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解：令Z ’ = -z ，引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。
运筹学线性规划图解法
引理1.线性规划问题的可行解X为基本可行解的充分 必要条件是X的正分量所对应的系数列向量是线性独立的. 证明:
必要性：已知X为线性规划的基本可行解，要证X的 正分量所对应的系数列向量线性独立。
因为X为基本解，由定义，其非零分量所对应的系数 列向量线性独立；又因为X还是可行解，从而其非零分量 全为正。
•有唯一解
例1： max z=2x1+ 3x2 s.t. x1+2x2≤8 4x1≤16 x1,x2≥0
画图步骤： 1、约束区域的确定 2、目标函数等值线 3、平移目标函数等值线求最优值
x2
可行域
(4,2) z=14
目标函数 等值线
x1
•有无穷多解
例2 max z =2x1+4x2 s.t. x1+2x2≤8 4x2 ≤ 12 3x1 ≤12 x1, x2 ≥0
X(0)=Σ α iX(i) α i0,Σ α i=1 记X(1),X(2), …,X(k)中满足max CX(i)的顶点为X(m)。于是，
k
k
CX (0) Ci X (i) Ci X (m) CX (m)
i 1
i 1
由假设CX(0)为最优解，所以CX(0)=CX(m)，即最优解可在顶点
充分性：已知可行解X的正分量所对应的系数列向量 线性独立，欲证X是线性规划的基本可行解。
若向量P1, P2,…, Pk线性独立,则必有k≤m；当k=m时， 它们恰构成一个基，从而X=（x1，x2,…,xk，0…0）为相 应的基可行解。K〈m时，则一定可以从其余的系数列向量 中取出m-k个与P1, P2,…, Pk构成最大的线性独立向量组， 其对应的解恰为X，所以根据定义它是基可行解。
§2 线性规划图解法
管理运筹学第二章线性规划的图解法
02
图解法的基本原理
图解法的概念
图解法是一种通过图形来直观展示线性规划问题解的方法。它通过在坐标系中绘 制可行域和目标函数，帮助我们理解问题的结构和最优解的位置。
图解法适用于线性规划问题中变量和约束条件较少的情况，能够直观地展示出最 优解的几何意义。
图解法的步骤
确定决策变量和目标函数
明确问题的决策变量和目标函数，以便在图 形中表示。
目标函数是要求最小化或最大化的函数，通常表示为 $f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
04
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
LINDO是一款开源的线性规划求解器，用 户可以免费使用。
软件工具的使用方法
Excel
用户需要先在Excel中设置好线性规划模型，然后使 用“数据”菜单中的“规划求解”功能进行求解。
Gurobi/CPLEX/LINDO
这些软件通常需要用户先在软件界面中输入线性规划 模型，然后通过点击“求解”按钮进行求解。
实例三：分配问题
总结词
分配问题是指如何根据一定的分配原则 或目标，将有限的资源分配给不同的需 求方，以最大化整体效益。
VS
详细描述
分配问题在实际生活中广泛存在，如物资 分配、任务分配等。通过图解法，可以将 分配问题转化为线性规划模型，并利用图 形直观地展示最优解的资源分配方案。在 分配问题中，通常需要考虑不同需求方的 重要性和优先级，以及资源的有限性等因 素，以实现整体效益的最大化。
管理运筹学_第二章_线性规划的图解法
线性规划中超过约束最低限的部分，称为剩余量。 记s1,s2为剩余变量，s3为松弛变量，则s1=0, s2=125,
s3=0，加入松弛变量与剩余变量后例2的数学模型变为 标准型： 目标函数： min f =2x1+3x2+0s1+0s2+0s3 约束条件： x1+x2-s1=350， x1-s2=125, 2x1+x2+s3=600, x1, x2, s1,s2,s3≥0.
阴影部分的每 一点都是这个线 性规划的可行解， 而此公共部分是 可行解的集合， 称为可行域。
B
X2=250
100
100
300
x1
B点为最优解， X1+X2=300 坐标为（50, 250）， Z=0=50x1+100x2 此时Z=27500。 Z=10000=50x1+100x2 问题的解： 最优生产方案是生产I产品50单位，生产Ⅱ产品250单位，可得 最大利润27500元。
Z=10000=50x1+50x2
线段BC上的所有点都代表了最优解，对应的最优值相 同： 50x1+50x2=15000。
10
3. 无界解，即无最优解的情况。对下述线性规划问题：
目标函数：max z =x1+x2 约束条件：x1 - x2≤1 -3x1+2x2≤6 x1≥0, x2≥0．
x2 -3x1+2x2=6 3
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
16
灵敏度分析
灵敏度分析：求得最优解之后，研究线性规划的
运筹学线性规划问题与图解法
线性规划问题的一般形式
Max(min)Z=C1X1+ C2X2+…+CnXn a11X1+ a12X2+…+ a1nXn (=, )b1 a21X1+ a22X2+…+ a2nXn (=, )b2 … … … am1X1+ am2X2+…+ amnXn (=, )bm Xj 0(j=1,…,n)
简写式
Max(min)z c j x j
j 1 n
aij x j (, )bi , i＝1, 2,..., m st. j 1 x 0, j 1, 2,..., n j
n
向量式 Max(min)z CX
Pj x j (, )b st . j 1 x 0
min z C T X
线性规划的标准型
下列情况具体处理 若要求目标函数求最大化 若约束方程为不等式：非负松弛变量，非负 剩余变量 若变量不是非负：非正，自由变量， 右边为非正 任何形式的线性规划模型都可以化为标准型。
Ai
配料问题:每单位原料i含vitamin如下：
原料
1
A
4
B
1
Ｃ
0
每单位成本
2
2
3
6
1
1
7
2
1
5
6
4
每单位添 加剂中维生 素最低含量
2
5
3
8
12
14
8
求：最低成本的原料混合方案
解：设每单位添加剂中原料i的用量为 xi (i =1,2,3,4)
minZ= 2x1 + 5x2 +6x3+8x4 4x1 + 6x2 + x3+2x4 12
第二章 线性规划的图解法(简)
第二节 图解法
在线性规划中，对一个约束条件中没使用的资源或能力的大小称 之为松弛量。记为Si。
第二节 图解法
像这样把所有的约束条件都写成等式 ，称为线性规划模型的标准化，所得结果 称为线性规划的标准形式。
第二节 图解法
同样对于≥约束条件中，可以增加一些代表
最低限约束的超过量，称之为剩余变量，把≥约
第二章 线性规划的图解法
主要内容：
§1 问题的提出 （什么是线性规划） §2 图解法 §3 图解法的灵敏度分析
重点和难点
重点： （1）线性规划问题的主要概念 （2）线性规划问题的数学模型 （3）线性规划图解法的过程 （4）阴影价格的定义和灵敏度分析 难点： 灵敏度分析
第一节 问题的提出
约束条件对偶价格小于零时，约束条件
右边常数增加一个单位，就使得最优目
标函数值减少一个其对偶价格。
第三节 图解法的灵敏度分析
对目标函数值求最小值的情况下， 当对偶价格大于零时，约束条件右边常数增加 一个单位就使其最优目标函数值减少一个其对 偶价格； 当对偶价格等于零时，约束条件右边常数增加 一个单位，并不影响其最优目标函数值； 当对偶价格小于零时，约束条件右边常数增加 一个单位，就使得其最忧目标函数值增加一个 其对偶价格。
具有上述3个特征的问题为线性规划问题。
第一节 问题的提出
我们的仸务就是要选择一组或多组方案，使目
标函数值最大或最小。从选择方案的角度说，
这是规划问题。从使目标函数值最大或最小的
角度说，就是优化问题。
线性规划数学模型的一般表示方式
max(min) f ( x) c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn a x a x a x 21 1 22 2 2n n s.t. a x a x a x m2 2 mn n m1 1 x1 , x2 , , xn n : 变量个数 ; m : 约束行数 ; n m : 线性规划问题的规模 c j : 价值系数 ; b j : 右端项; aij : 技术系数 (, )b1 (, )b2 (, )bm 0
运筹学课堂PPT4.2目标规划的图解法
x1
,
x2
,
d
j
,
d
j
d1 0
d1
80
(3)
最优解空间：ABCD
(2) C
B
x1
(1) (3)
min
Z
P1d1
P2
(d
2
d
2
)
P3
(d
3
d
3
)
P4d
4
3x1 12
(1)
x2
4 x2 16
复习：两平行直线间的距离公式
Ax By d d C（目标约束）
y
d d 0
Ax By C
d 0 ( x0 , y0 )
d
正负偏差变量中至少有一个零，如：
A2 B2
x Ax By C
Ax By d d C d 0, d 0
Ax By d C
Ax By C d C（在下半平面）
P2d4
P3d
3
P4 (2d1
d
2
)
x1 30 x2 20 / 3
x2
d1 0
d1 0
d
2
25 /
3
d2 0
d
3
680
d
3
0
d
4
0
d4 0
D
E(35/2,15)
(2)
min Z (0, 0, 680, 25 / 3)
F(30,20/3)
A
B
x1
(1)
(4) (3)
4.2 目标规划的图解法
差变量大于零的区域。
(1) (2) (3)
（平行） (4)
(2)
x1
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把满足约束条件的一组决策变量值x1，x2，…，xn称为该线性规划 问题的可行解。
可行解集/可行解域
满足约束条件的可行解的全体称为可行解集。 在平面上，所有可行解的点的集合称为可行解域。
最优解
在可行解集中，使目标函数达到最优值的可行解称为最优解。
3
图解法的一般步骤
1、建立数学模型。 2、绘制约束条件不等式图，做出可行解集
2ห้องสมุดไป่ตู้
4
D
x1
2x1 3x2 0 4x1 x2 8
x1 x2 5 x1 2x2 6
16
解
该问题有可行解但最优解无界， 即无界解。
17
例4
max F 2 x1 4 x2 s.t. x1 4 x2 3 x1 2 x2 8 x1 0, x2 0
18
解、绘制可行解域
x2
可行解域为阴 影部分OABCD 5
7
3、画目标函数图
x2
5
4x1 2x2 12
A 3
B
1
2x1 3x2 10
O
2C 4
6
x1
6x1 4x2 0
6x1 4x2 20
8
4、判断解的形式，得出结论。
本题有唯一的最优解。 解法：
最优解是由两根直线所确定的最后的交点； 解由此两根直线相应方程所组成的方程组，得到
问题的精确最优解； 将最优解代入目标函数，得最优值。
13
解、求出最优解。
x1 x2 x1 2x2
5 6
最优解：xx12
4 1
将最优解代入目标函数，得最优值：
minF 2x1 3x2 2 4 31 11
14
例3
将例2中目标函数改为 maxF=2x1+3x2， 约束条件不变。
15
解、可行解域不变
x2
x2≥0
A
6
4
B
2
x1≥0
C
B
x1 4
A
x2 3
C
1
x1 2x2 8
O
2
D
6
x1
19
解、移动目标函数等值线
x2
5
B A
1
O
2
2x1 4x2 0
x1 4
C
x2 3
x1 2x2 8
D
6
x1
20
解、目标函数等值线最终与可 行解域边线重合
x2
5
B A
1
O
2
2x1 4x2 0
x1 4
C
x2 3
x1 2x2 8
对应的可行解域。 3、画目标函数图。 4、判断解的形式，得出结论。
4
1、建立数学模型
max F 6x1 4x2 s.t. 2x1 3x2 10 4x1 2x2 12 x1 , x2 0
5
2、绘制可行解域
x2
5 4x1 2x2 12
可行解域为 阴影部分
OABC
A 3
B
1
2x1 3x2 10
9
4、求出最优解。
42xx11
3x2 2x2
10 12
最优解：xx12
2 2
将最优解代入目标函数，得最优值：
maxF 6x1 4x2 6 2 4 2 20
10
例2
min F 2x1 3x2 s.t. x1 x2 5 4x1 x2 8 x1 2x2 6 x1 0, x2 0
D
6
x1
21
解
最优解为BC线段上所有点 （无穷多个最优解）
最优值为16。
22
例5
max F 2x1 x2 s.t. x1 x2 1 0 x1 0, x2 0
23
解
x2
x1
x1 x2 1 0
24
解得： 无可行解，无最优解。
25
思考题与练习题
26
11
解、绘制可行解域
x2
x2≥0
A
可行解域为开放 区域x2ABCDx1
6
4
B
2
x1≥0
C
2
4
D
x1
4x1 x2 8
x1 x2 5 x1 2x2 6
12
解、画目标函数等值线
x2
x2≥0
A C点为最优解
6
4
B
2
x1≥0
C
2
4
D
x1
2x1 3x2 0 4x1 x2 8
x1 x2 5 x1 2x2 6
O
C
2
4
6
x1
6
3、 画目标函数图
令目标函数值为零，可得到斜率，根据斜率做一过原点的直 线。（如果可行解域在第一象限，且目标函数等值线斜率为 负）若给出问题是求最大值，把目标函数等值线平行移动到 与可行解域最后相交的点，这点就是问题的最优解；若给出 问题是求最小值，把目标函数等值线平行移动到与可行解域 最先相交的点，这点即为问题的最优解。
第二节 线性规划的图解法
对于只包含两个决策变量的线性规划问题，可以 用图解法来求解。
图解法简单直观，有助于了解线性规划问题求解 的基本原理。
1
例1
max F 6 x1 4 x2 s.t. 2 x1 3x2 10 4 x1 2 x2 12 x1 , x2 0
2
一、解的概念
可行解
可行解集/可行解域
满足约束条件的可行解的全体称为可行解集。 在平面上，所有可行解的点的集合称为可行解域。
最优解
在可行解集中，使目标函数达到最优值的可行解称为最优解。
3
图解法的一般步骤
1、建立数学模型。 2、绘制约束条件不等式图，做出可行解集
2ห้องสมุดไป่ตู้
4
D
x1
2x1 3x2 0 4x1 x2 8
x1 x2 5 x1 2x2 6
16
解
该问题有可行解但最优解无界， 即无界解。
17
例4
max F 2 x1 4 x2 s.t. x1 4 x2 3 x1 2 x2 8 x1 0, x2 0
18
解、绘制可行解域
x2
可行解域为阴 影部分OABCD 5
7
3、画目标函数图
x2
5
4x1 2x2 12
A 3
B
1
2x1 3x2 10
O
2C 4
6
x1
6x1 4x2 0
6x1 4x2 20
8
4、判断解的形式，得出结论。
本题有唯一的最优解。 解法：
最优解是由两根直线所确定的最后的交点； 解由此两根直线相应方程所组成的方程组，得到
问题的精确最优解； 将最优解代入目标函数，得最优值。
13
解、求出最优解。
x1 x2 x1 2x2
5 6
最优解：xx12
4 1
将最优解代入目标函数，得最优值：
minF 2x1 3x2 2 4 31 11
14
例3
将例2中目标函数改为 maxF=2x1+3x2， 约束条件不变。
15
解、可行解域不变
x2
x2≥0
A
6
4
B
2
x1≥0
C
B
x1 4
A
x2 3
C
1
x1 2x2 8
O
2
D
6
x1
19
解、移动目标函数等值线
x2
5
B A
1
O
2
2x1 4x2 0
x1 4
C
x2 3
x1 2x2 8
D
6
x1
20
解、目标函数等值线最终与可 行解域边线重合
x2
5
B A
1
O
2
2x1 4x2 0
x1 4
C
x2 3
x1 2x2 8
对应的可行解域。 3、画目标函数图。 4、判断解的形式，得出结论。
4
1、建立数学模型
max F 6x1 4x2 s.t. 2x1 3x2 10 4x1 2x2 12 x1 , x2 0
5
2、绘制可行解域
x2
5 4x1 2x2 12
可行解域为 阴影部分
OABC
A 3
B
1
2x1 3x2 10
9
4、求出最优解。
42xx11
3x2 2x2
10 12
最优解：xx12
2 2
将最优解代入目标函数，得最优值：
maxF 6x1 4x2 6 2 4 2 20
10
例2
min F 2x1 3x2 s.t. x1 x2 5 4x1 x2 8 x1 2x2 6 x1 0, x2 0
D
6
x1
21
解
最优解为BC线段上所有点 （无穷多个最优解）
最优值为16。
22
例5
max F 2x1 x2 s.t. x1 x2 1 0 x1 0, x2 0
23
解
x2
x1
x1 x2 1 0
24
解得： 无可行解，无最优解。
25
思考题与练习题
26
11
解、绘制可行解域
x2
x2≥0
A
可行解域为开放 区域x2ABCDx1
6
4
B
2
x1≥0
C
2
4
D
x1
4x1 x2 8
x1 x2 5 x1 2x2 6
12
解、画目标函数等值线
x2
x2≥0
A C点为最优解
6
4
B
2
x1≥0
C
2
4
D
x1
2x1 3x2 0 4x1 x2 8
x1 x2 5 x1 2x2 6
O
C
2
4
6
x1
6
3、 画目标函数图
令目标函数值为零，可得到斜率，根据斜率做一过原点的直 线。（如果可行解域在第一象限，且目标函数等值线斜率为 负）若给出问题是求最大值，把目标函数等值线平行移动到 与可行解域最后相交的点，这点就是问题的最优解；若给出 问题是求最小值，把目标函数等值线平行移动到与可行解域 最先相交的点，这点即为问题的最优解。
第二节 线性规划的图解法
对于只包含两个决策变量的线性规划问题，可以 用图解法来求解。
图解法简单直观，有助于了解线性规划问题求解 的基本原理。
1
例1
max F 6 x1 4 x2 s.t. 2 x1 3x2 10 4 x1 2 x2 12 x1 , x2 0
2
一、解的概念
可行解