运筹学 线性规划习题解析
运筹学部分课后习题解答
运筹学部分课后习题解答P47 1.1用图解法求解线性规划问题min z=2x 3x24为6x2 _ 6st ]4x1+2x2>4X i,X2 _0解：由图1可知，该问题的可行域为凸集MABC,且可知线段BA上的点都为3最优解，即该问题有无穷多最优解，这时的最优值为％=2 - 3P47 1.3用图解法和单纯形法求解线性规划问题max z=10x1 5x213为4x2乞9a )s.t」5为+2x2兰8x1, x^ 0解：由图1可知，该问题的可行域为凸集OABCO且可知B点为最优值点,即严+4卷=9斗|人3，即最优解为x」1,3(5X1 +2X2 =8 & =2 I 2丿这时的最优值为Z max = 10 1 5 -2 2原问题化成标准型为max z=10x1 5x23\ 4x2 x3 = 9 s.t <5^+2x2 +x4 =8X i,X2,X3,X4 —0z所以有—1,3 ,Z max=10 1 5I 2 丿 2 2P78 2.4已知线性规划问题：max z =2x 4x2x3x4/+3X2+x4兰82咅+x2<6彳x2+X3 +x4兰6X,+ x2+ X3<9XZX, X4 一0求：(1)写出其对偶问题；(2)已知原问题最优解为X^(2,2,410)，试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
解：(1)该线性规划问题的对偶问题为：min w =8y, 6y26y39y4\i+2y2 +y4 兰23yr H y<H yr H y^4彳y^y^iy i, y2,y3,y4—0(2)由原问题最优解为X* =(2,2,4,0)，根据互补松弛性得：y1 2y2 y4 = 23y1 y2 y a y^4I y a + yU把X* = (2,2,4,0)代入原线性规划问题的约束中得第四个约束取严格不等号，即 2 2 4 =8 < 9 - y4=0y1 2y2 =2从而有+y2 +y a =4L ya =1得Y1 ,Y2 ,Y a = 1,y4 = 05 5所以对偶问题的最优解为y* =(4,3,1,0)T，最优值为W min =165 5P79 2.7考虑如下线性规划问题:min z = 60x i 40x2 80x3” 3x i + 2x2 + X3 兰24x i + X2 + 3x^ > 42x i +2X2 +2x3 兰3x i,x?,x^ >0(1)写出其对偶问题；(2)用对偶单纯形法求解原问题;解：(1)该线性规划问题的对偶问题为:max w = 2% 4y2 3y33% +4y2 +2y3 W60』2% +y2 +2y3 玄40y i 3y2 2y3 — 80[y i,y2,y^0(2)在原问题加入三个松弛变量X4,X5,X6把该线性规划问题化为标准型max z = -60旨-40X2-80X3—3x i — 2x? — X3 + X4 = -2~4x<i — x? — 3X3 + X5 ——4-2 X i — 2 X2 — 2 X3 + = _3X j "j =1川,6x* 5,?,O)T,Z max =60 540 - 80 06 3 6 3 3P81 2.12某厂生产A、B、C三种产品，其所需劳动力、材料等有关数据见下表。
运筹学：线性规划的数学模型与单纯形法习题与答案
一、单选题1、线性规划具有唯一最优解是指（）。
A.不加入人工变量就可进行单纯形法计算B.最优表中非基变量检验数全部非零C.可行解集合有界D.最优表中存在非基变量的检验数为零正确答案：B2、线性规划具有多重最优解是指（）。
A.最优表中存在非基变量的检验数为零B.可行解集合无界C.基变量全部大于零D.目标函数系数与某约束系数对应成比例正确答案：A3使函数z=−x1+x2+2x3减少得最快的方向是（）。
A. (1,－1,－2)B. (－1,－1,－2)C. 1,1,2)D. (－1,1,2)正确答案：A4、线性规划的退化基可行解是指（）。
A.基可行解中存在为零的非基变量B.基可行解中存在为零的基变量C.非基变量的检验数为零D.所有基变量不等于零正确答案：B5、线性规划无可行解是指（）。
A.有两个相同的最小比值B.第一阶段最优目标函数值等于零C.用大M法求解时,最优解中还有非零的人工变量D. 进基列系数非正正确答案：C6、若线性规划不加入人工变量就可以进行单纯形法计算（）。
A.一定有最优解B.全部约束是小于等于的形式C.可能无可行解D.一定有可行解正确答案：D7、设线性规划的约束条件为x1+x2+x3=22x1+2x2+x4=4x1，…，x4≥0则非可行解是（）。
A. (0，1，1，2)B. (2，0，0，0)C. (1，0，1，0)D. (1，1，0，0)正确答案：C8、线性规划可行域的顶点一定是（）。
A.可行解B.非基本解C.非可行解D.最优解正确答案：A9、X是线性规划的基本可行解则有（）。
A.X不一定满足约束条件B.X不是基本解C.X中的基变量非零，非基变量为零D.X中的基变量非负，非基变量为零正确答案：D10、下例错误的结论是（）。
A.检验数就是目标函数的系数B.检验数是用来检验可行解是否是最优解的数C.不同检验数的定义其检验标准也不同D.检验数是目标函数用非基变量表达的系数正确答案：A11、在解决运筹学问题时，根据对问题内在机理的认识直接构造出模型的方法称为（）。
运筹学线性规划习题解析
解：设配制此化学产品所需A、B、C三种化学 物分别为x1，x2，x3克，成本为S元，则由题意 可得本题的线性规划模型为：
min S=min(5x1+6x2+7x3)
x1+x2+x3=1000
x1≤300
x2≥150 x3 ≥200 x1,x2,x3≥0
第一章 线性规划
2、某产品重量为150千克，用A、B两种原料制 成。每单位A原料成本为2元，每单位B原料成 本为8元。该产品至少需要含14单位B原料，最 多含20单位A原料。每单位A、B原料分别重5千 克、10千克，为使成本最小，该产品中A、B原 料应各占多少？
第一章 线性规划
11、已知X0=（2,3,0）T是某线性规划问题的最 优解，能否判断： （1）X0一定是基础解；错 （2）X0一定是可行解； 对 （3）X0一定是基可行解；错 （4）X0一定是基最优解。错
第一章 线性规划
12、已知X0=（2,0，-1）T是某已化成满秩标准 形的，具有3个变量的线性规划问题的一组值， 能否判定： （1）X0一定不是基础解； 错 （2）X0一定不是可行解； 对 （3）X0一定不是基可行解； 对 （4）X0一定不是最优解； 对 （5）X0一定不是基最优解。 对
≤600 +8x6≤900
x1，x2…x6≥0
第一章 线性规划
4、一家玩具公司制造三种玩具，每一种要求不同的制 造技术。高级的一种需要17个小时加工装配，8小时检 测，每台利润30元；中级的需2小时加工装配，半小时 检测，每台利润5元；低级的需半小时加工装配，10分 钟检测，每台利润1元。现公司可供利用的加工装配时 间为500小时，检测时间100小时。市场预测显示，对高 级、中级、低级玩具的需求量分别不超过10台、30台、 100台，试制定一个能够使总利润最大的生产计划。
线性规划习题及答案
线性规划习题及答案线性规划是运筹学中的一个重要分支，它主要用于解决资源分配问题，以达到最大化或最小化目标函数。
下面是一个线性规划的习题及答案：习题：某工厂生产两种产品A和B，每种产品都需要使用机器时间和劳动力。
产品A每件需要3小时的机器时间和2小时的劳动力，产品B每件需要2小时的机器时间和3小时的劳动力。
工厂每天有24小时的机器时间和18小时的劳动力。
设生产产品A的数量为x，生产产品B的数量为y。
1. 建立目标函数和约束条件。
2. 求解线性规划问题，找出最优生产计划。
答案：1. 目标函数：设目标是最大化利润，产品A的利润为40元/件，产品B的利润为30元/件。
因此，目标函数为：\[ \text{Maximize } P = 40x + 30y \]2. 约束条件：- 机器时间约束：\[ 3x + 2y \leq 24 \]- 劳动力时间约束：\[ 2x + 3y \leq 18 \]- 非负约束：\[ x \geq 0, y \geq 0 \]3. 图解法求解：- 首先在坐标系中画出约束条件所形成的可行域。
- 可行域的顶点坐标为：(0,0), (0,6), (4,2), (8,0)。
- 将这些点代入目标函数计算利润：- P(0,0) = 40*0 + 30*0 = 0- P(0,6) = 40*0 + 30*6 = 180- P(4,2) = 40*4 + 30*2 = 200- P(8,0) = 40*8 + 30*0 = 3204. 最优解：- 通过比较各点的利润，发现当生产8件产品A和0件产品B时，利润最大，为320元。
5. 结论：- 工厂应该生产8件产品A和0件产品B，以实现最大利润320元。
注意：本题答案仅为示例，实际解题时需要根据具体题目条件进行分析和计算。
运筹学基础及应用课后习题答案(第一二章习题解答)
运筹学基础及应用课后习题答案(第一二章习题解答)第一章：线性规划一、选择题1. 线性规划问题中，目标函数可以是（）A. 最大化B. 最小化C. A和B都对D. A和B都不对答案：C解析：线性规划问题中，目标函数可以是最大化也可以是最小化，关键在于问题的实际背景。
2. 在线性规划问题中，约束条件通常表示为（）A. 等式B. 不等式C. A和B都对D. A和B都不对答案：C解析：线性规划问题中的约束条件通常包括等式和不等式两种形式。
二、填空题1. 线性规划问题的基本假设是______。
答案：线性性2. 线性规划问题中，若决策变量个数和约束条件个数相等，则该问题称为______。
答案：标准型线性规划问题三、计算题1. 求解以下线性规划问题：Maximize Z = 2x + 3ySubject to:x + 2y ≤ 83x + 4y ≤ 12x, y ≥ 0答案：最优解为 x = 4, y = 2，最大值为 Z = 14。
解析：画出约束条件的图形，找到可行域，再求目标函数的最大值。
具体步骤如下：1) 将约束条件化为等式，画出直线；2) 找到可行域的顶点；3) 将顶点代入目标函数，求解最大值。
第二章：非线性规划一、选择题1. 以下哪个方法适用于求解非线性规划问题（）A. 单纯形法B. 拉格朗日乘数法C. 柯西-拉格朗日乘数法D. A和B都对答案：B解析：非线性规划问题通常采用拉格朗日乘数法求解，单纯形法适用于线性规划问题。
2. 非线性规划问题中，以下哪个条件不是K-T条件的必要条件（）A. 梯度条件B. 正则性条件C. 互补松弛条件D. 目标函数为凸函数答案：D解析：K-T条件包括梯度条件、正则性条件和互补松弛条件，与目标函数是否为凸函数无关。
二、填空题1. 非线性规划问题中，若目标函数和约束条件都是凸函数，则该问题称为______。
答案：凸非线性规划问题2. 非线性规划问题中，K-T条件是求解______的必要条件。
《运筹学》_习题_线性规划部分练习题及_答案
一、思考题1． 什么是线性规划模型，在模型中各系数的经济意义是什么？ 2． 线性规划问题的一般形式有何特征？3． 建立一个实际问题的数学模型一般要几步？4． 两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？5． 求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？6． 什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。
7． 试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。
8． 试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。
9． 在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？10．大M 法中，M 的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问题呢？ 11．什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续第二阶段？ 二、判断下列说法是否正确。
1． 线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。
2． 线性规划的可行解集是凸集。
3． 如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。
4． 线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。
5． 线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。
6． 如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。
7． 用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与0>j σ对应的变量都可以被选作换入变量。
8． 单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。
9． 单纯形法计算中，选取最大正检验数k σ对应的变量k x作为换入变量，可使目 标函数值得到最快的减少。
10． 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。
运筹学线性规划问题与图解法
线性规划问题的基本特征
❖ 决策变量：向量(x1… xn)T 代表一个具体的 方案，一般有xi非负
❖ 约束条件：线性等式或不等式 ❖ 目标函数：Z=ƒ(x1 … xn) 线性式，求Z极大
（Max）或极小(Min)
线性规划问题的一般形式
Max(min)Z=C1X1+ C2X2+…+CnXn a11X1+ a12X2+…+ a1nXn (=, )b1 a21X1+ a22X2+…+ a2nXn (=, )b2 ……… am1X1+ am2X2+…+ amnXn (=, )bm Xj 0(j=1,…,n)
Ai
❖ 配料问题:每单位原料i含vitamin如下：
原料 A B Ｃ 每单位成本
1
4 10
2
2
6 12
5
3
1 71
6
4
2 53
8
每单位添
加剂中维生 素最低含量
12 14 8
求：最低成本的原料混合方案
解：设每单位添加剂中原料i的用量为 xi (i =1,2,3,4)
minZ= 2x1 + 5x2 +6x3+8x4 4x1 + 6x2 + x3+2x4 12 x1 + x2 +7x3+5x4 14 2x2 + x3+3x4 8 xi 0 (i =1,…,4)
x1+x2+x3 ≤9
+0s1 +0s2
－x’1+x2+x’3－ x”3 + s1=9
-x1-2x2+x3 ≥2
运筹学基础(中文版第10版)哈姆迪塔哈课后习题答案解析
运筹学基础（中文版第10版）哈姆迪塔哈课后习题答案解析第一章线性规划模型1.1 线性规划的基本概念1.请解释线性规划模型的基本要素以及线性规划模型的一般形式。
答：- 线性规划模型的基本要素包括决策变量、目标函数、约束条件。
- 线性规划模型的一般形式如下：Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙSubject to:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 01.2 线性规划模型的几何解释1.请说明线性规划模型的几何解释。
答：线性规划模型在几何上可以表示为一个多维空间中的凸多面体（可行域），目标函数为该多面体上的一条直线，通过不同的目标函数系数向量c，可以得到相应的最优解点。
通过多面体的边界和顶点，可以确定最优解点的位置。
如果可行域是无限大的，则最优解点可以在其中的任何位置。
1.3 线性规划模型求解方法1.简要说明线性规划模型的两种求解方法。
答：线性规划模型可以通过以下两种方法进行求解： - 图形法：根据可行域的几何特征，通过图形方法确定最优解点的位置。
- 单纯形法：通过迭代计算，逐步靠近最优解点。
单纯形法是一种高效的求解线性规划问题的方法。
第二章单变量线性规划2.1 单变量线性规划模型1.请给出单变量线性规划模型的一般形式。
答：Max/Min Z = cxSubject to:ax ≤ bx ≥ 02.2 图形解法及其应用1.请解释图形解法在单变量线性规划中的应用。
答：图形解法可以直观地帮助我们确定单变量线性规划模型的最优解。
通过绘制目标函数和约束条件的图像，可以确定最优解点的位置。
对于单变量线性规划模型，图形解法特别简单，只需要绘制一条直线和一条水平线，求解它们的交点即可得到最优解点的位置。
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k2=-1/2
X1+2x2=28
10.5
28
4x1+x2=42 X1+2x2=28 解得：x1=8,x2=10
x1
（2）如果原料甲增加到42吨，原最优解是否改变？
图解：
x2
42
21 k=-7/5
4x1+x2=42
4x1+x2=42 X1+2x2=42
解得：x1=6,x2=18
X1+2x2=42
10.5
• 表中没有 填数的表示这 台机床不参加 生产这种产品。 现假设在某一 时间内，甲、 乙、丙、丁四台机床的最大工作能力分别为850、700、600、900工时， 问这一时段内，每种产品各应生产多少，才能使该厂总收入最大？
解：由题意可设产品A、B、C、D、E、F分别 生产x1，x2 ，x3，x4，x5，x6单位，总收入为S
元，则本题的线性规划模型为：
max S=max(40x1+28x2+32x3+72x4+64x5+80x6)
x1+x2+x3+3x4+3x5+3x6≤850
2x1
+5x4
≤700
2x2 +5x4
≤600
3x3
+8x6≤900
x1，x2…x6≥0
第一章 线性规划
• 4、一家玩具公司制造三种玩具，每一种要求不同的制 造技术。高级的一种需要17个小时加工装配，8小时检 测，每台利润30元；中级的需2小时加工装配，半小时 检测，每台利润5元；低级的需半小时加工装配，10分 钟检测，每台利润1元。现公司可供利用的加工装配时 间为500小时，检测时间100小时。市场预测显示，对高 级、中级、低级玩具的需求量分别不超过10台、30台、 100台，试制定一个能够使总利润最大的生产计划。
42
x1
(3)如果每吨B产品的利润增加到15万元，原最优解 是否改变？
图解：x2
42
4x1+x2=42
最优解是x1+2x2=28 与x2轴的交点（0,14）
14 k=-7/15
X1+2x2=28
10.5
28
x1
（4）每吨B产品的利润在什么范围内变化，原最优 解才不会改变？
图解：
x2
42
-4<k<-1/2 14
解：由题意可设该产品中A、B原料分别为x1， x2千克，总成本为S，则本题线性规划模型为：
min S=min(2x1+8x2) 5x1+10x2=150 x1≤20 x2≥14 x1,x2≥0
第一章 线性规划
• 3、设某工厂有甲、乙、丙、丁四台机床，生产A、B、C、D、E、F 六种产品。加工每一件产品所需要时间和每一件产品的单价如下表所 示：
第一章 线性规划
• 5、现有300cm长的钢管500根，需截成 70cm长和80cm长两种规格的成套材料。 每套由70cm的3根，80cm的12根组成。 问如何截管，可以使余料最少，套数最多 ？
解：由题设条件可得到1根300cm长的钢管有 以下几种分割方法：
设x1、x2、x3、x4分别代表四种方法分割 300cm的钢管的根数，S表示废料的总长度
4x1+x2=42
解：由题意设生产高级、中级、低级玩具各为 x1，x2，x3台，总利润为S元，则由题意可得本
题的线性规划模型为：
• 由题意可得下表条件约束：
max S=max(30x1+5x2+x3)
17x1 + 2x2+1/2x3 ≤ 500 8x1+1/2x2+1/6x3 ≤ 100
x1 ≤ 10 x2 ≤ 30 x3 ≤ 100 x1,x2,x3≥0
解：设生产A、B两种产品分别为x1、x2单位
（1）在现ห้องสมุดไป่ตู้原料条件下，如何组织生产才能使利润最大 max S=max(7x1+5x2)
x1+2x2≤28 4x1 + x2 ≤42
x1，x2≥0
（1）在现有原料条件下，如何组织生产才能使 利润最大
图解：
x2
42
k=-7/5 14
4x1+x2=42
K1=-4
解：设配制此化学产品所需A、B、C三种化学 物分别为x1，x2，x3克，成本为S元，则由题意
可得本题的线性规划模型为：
min S=min(5x1+6x2+7x3) x1+x2+x3=1000 x1≤300 x2≥150 x3 ≥200 x1,x2,x3≥0
第一章 线性规划
• 2、某产品重量为150千克，用A、B两种 原料制成。每单位A原料成本为2元，每单 位B原料成本为8元。该产品至少需要含14 单位B原料，最多含20单位A原料。每单 位A、B原料分别重5千克、10千克，为使 成本最小，该产品中A、B原料应各占多少 ？
第一章 线性规划
• 6、某皮革厂生产甲、乙两种皮带，生产 甲、乙皮带每条可获利分别为4元、3元。 但生产一条甲皮带是生产一条乙皮带所需 工时的2倍，如果全部生产乙皮带，该厂 每天可生产1000条，但皮革供应只够日产 800条（甲、乙两种皮带合计），甲、乙 皮带所用皮扣（一条一扣）每天分别只能 供应400个、700个。问如何安排生产，可 使该厂获利最大？
解：由题设条件设生产甲、乙两种皮带分别为x1、x2根
max S=max(4x1+3x2) 2x1+x2≤1000
x1 +x2≤800 x1 ≤400
x2 ≤700 x1、x2≥0
交点：x1=200 x2=600
第一章 线性规划
• 7、某厂用甲、乙两种原料生产A、B两种产 品，制造A、B产品每吨所需要的各种原料 、可得利润以及工厂现有的各种原料数如 下表所示：
管理运筹学
第一章 线性规划
第一章 线性规划
• 1、某化工厂生产某项化学产品，每单位 标准重量为1000克，由A、B、C三种化学 物混合而成。产品组成成分是每单位产品 中A不超过300克，B不少于150克，C不少 于200克。A、B、C每克成本分别为5元、 6元、7元。问如何配置此化学产品，才能 使成本最低？
• x1+x2+x3+x4=500 可以截得80cm钢管（3x1+2x2+x3）根，70cm钢管 （2x2+3x3+4x4）根，共有废料（60x1+10x3+20x4 ）cm 则可得： (3x1+2x2+x3):(2x2+3x3+4x4)=12:3 化简的： 3x1-6x2-11x3-16x4=0
min S=min(60x1+10x2+20x3) x1 + x2 + x3 + x4 = 500 3x1-6x2-11x3-16x4 = 0 x1，x2，x3 ,x4≥0