运筹学线性规划的标准形式分解
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线性规划标准型以及定义
0
B6
2
1
B7
2
0 B8 6 1 B9 0 1
解的定义
2x1 x2 x3 x4 3 例： x1 x2 x3 x5 2
xi 0
解：A=
2 1
-1 -1
-1 1
-1 0
0 -1
P1
P2
min Z 2 x1 x2 3 x3
5 x1 x2 x3 7
x1 x2 4 x3 2 3 x1 x2 2 x3 5
x1 , x2 0, x3无约束
解:（１）因为x3无符号要求 ，即x3取正值也可取负值，标准 型中要求变量非负，所以
解的定义
B4 P1
P5
＝
2 1
0 －1
非奇异，
B31b
1 2
1 1
0 3
－2
2
1 2
3 －1
,
解
3 2
0
0
0
－
1 2
T
是基解，但非基可行解。
解的定义
类似可得所有基解。 代入目标函数，通过比较可得最优解。
思考： 线性规划的基解最多有多少个？基可行解呢？
可 行 解
非可行解
基解
基可行解
例1.4 求线性规划问题的所有基矩阵。
max Z 4 x1 2x2 x3
5x110x1x2
x3 x4 3 6x2 2x3 x5
2
x
运筹学之线性规划的标准型及单纯形法
• 向量式：
Obj : MaxZ CX
S.T .
n
p j x j bi
j 1
i 1,2,, m
xj 0
j 1,2,, n
C (c1 ,c2,, cn )
x1
X
x2
x1,
x2 ,, xn T
xn
7
线性规划的标准型
• 矩阵式：
Obj :
MaxZ CX
S .T . AX B
16
基解
不失一般性,设B是A的前m列,即 B=(p1,p2,…,pm）,其相对应的变量 XB=(x1,x2,…,xm)T,称为基变量；其余变量 XN=(Xm+1,…,Xn)T称为非基变量。 令所有非基变量等于零, 则X=（x1,x2,…xm,0,…,0)T称为基解 。
17
基可行解
• 基可行解：基解可正可负，负则不可行， 故称满足非负性条件的基解为基可行解。
3X1+10X2+x5 =300
3 10 0 0 1
Xj≥0 j=1,2,…,5
这里m=3,n=5。 Cmn=10
19
例题6 基可行解说明
• 基（P3，P4，P5），令非基变量x1,x2=0， 则基变量x3=360, x4=200, x5=300,可行解
• 基（p2,p4,p5）,令非基变量x1=0,x3=0基变量 x2=90,x4=-250,x5=-600.非可行解
下步
• 4、根据max {σj } = σK 原则确定XK 进基变量；根
据θ规则 θ = min {b’i / a’ik a’ik >0} = b’l/ a’lk 确定XL出 基变量
• 5、以a’lk 为枢轴元素进行迭代
第1章 线性规划-标准型和图解法
Y
x－y≥1
－ x+2y≤0
O A1 X
39
例
max z=x+2y s.t. － x+2y≥1 x+y≤ － 2 x、y ≥0
x+y≤ － 2
Y
－ x+2y≥1
O
X
40
图解法的启示：
1. 求解线性规划问题时，解的情况有：唯一最优解， 求解线性规划问题时，解的情况有：唯一最优解， 无穷多最优解，无界界，无可行解； 无穷多最优解，无界界，无可行解； 2. 若线性规划问题可行域存在，在可行域是一个凸 若线性规划问题可行域存在， 集； 3. 若线性规划问题最优解存在，在最优解或最优解 若线性规划问题最优解存在， 之一一定能够在可行域的某个顶点取得； 之一一定能够在可行域的某个顶点取得； 4. 解题思路是，先找凸集的任一顶点，计算其目标 解题思路是，先找凸集的任一顶点， 函数值。比较其相邻顶点函数值，若更优， 函数值。比较其相邻顶点函数值，若更优，则逐 点转移，直到找到最优解。 点转移，直到找到最优解。
C(1,3) 2x+2y=8 B(3,1) 4x+12y=24
x=7
2 4 6 7 (2,0) (4,0) A(6,0)G(7,0)
43
22
例
max = − x − y x + y ≥ 2 s.t.x ≤ 3 x , y无约束
23
解：令
x,当x ≥ 0 x′ = 0,当x < 0
y,当y ≥ 0 y′ = 0, 当y < 0
0, 当x ≥ 0 x ′′ = − x, 当x < 0
0,当y ≥ 0 y′′ = − y, 当y < 0
1.线性规划的标准化及图解法
利润函数600x1+400x2 2x1+3x2 ≤ 100 约束条件 4x1+2x2 ≤ 120
目标函数
3
线性规划的数学问题
上述问题可写成如下的数学形式：
它是求目标函数的最大值，决策变量满足一定的 条件（约束条件）。
4
线性规划的模型特点
• 这是一个典型的利润最大化的生产 计划问题。 • “Max”是英文单词“Maximize”的缩写， 含义为“最大化”； • “s.t.”是“subject to”的缩写，表示 “满足于……”。 • 上述模型的含义是：在给定条件限制下， 求使目标函数z达到最大的x1 ,x2 的取 值。
该问题可推广到m个产地，n个销地的运输 问题。
7
线性规划的应用模型
某饲养场使用甲,乙,丙,丁四种饲料，每种饲料的 的维生素A，B，C含量及单位价格和所需的维生素 如下表，要求配制一个混合饲料，每单位混合饲料 的维生素A、B、C的需要量为3，5，10. 甲 A B C 单价 0.2 0.8 1.2 5 乙 0.8 0.3 0.9 6 丙 1.2 0.9 0.7 6 丁 0.6 0.7 1.5 7 需要量 3 5 10
4
约束条件矛盾， 线性规划无解!
－x1+2x2=2
2
1
2
3
4
2x1-x2=3
-2
-4
38
线性规划的图解法
根据以上例题，进一步分析讨 论可知线性规划的可行域和最优解 有以下几种可能的情况
1.可行域为封闭的有界区域 (a)有唯一的最优解； (b)有无穷多个最优解； 2.可行域为不封闭的无界区域 (c)有唯一的最优解；
第一个约束加松弛变量x5,第二约束加剩余变量x6, 第三个约束两端乘-1，再加剩余变量x7.
线性规划标准形式
线性规划标准形式线性规划（Linear Programming，LP）是运筹学中的一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下，求解线性目标函数的最优解。
线性规划问题可以表示为标准形式，这种形式可以更方便地进行求解和分析。
在线性规划中，标准形式通常表示为如下形式：\[\begin{array}{ll}。
\text { maximize } & \mathbf{c}^{T} \mathbf{x} \\。
\text { subject to } & \mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{b} \\。
& \mathbf{x} \geq \mathbf{0}。
\end{array}\]其中，\(\mathbf{x}\) 是一个包含 n 个变量的列向量，\(\mathbf{c}\) 也是一个包含 n 个元素的列向量，\(\mathbf{A}\) 是一个 m×n 的矩阵，\(\mathbf{b}\) 是一个包含 m 个元素的列向量。
目标是最大化或最小化目标函数 \(\mathbf{c}^{T}\mathbf{x}\)，同时满足线性等式约束 \(\mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{b}\) 和非负约束 \(\mathbf{x} \geq \mathbf{0}\)。
在标准形式中，目标函数是一个线性函数，约束条件也是线性的。
这种形式的优点在于，可以利用线性代数和凸优化等数学工具进行求解，求解算法相对较为简单且稳定。
因此，将线性规划问题转化为标准形式是非常重要的。
对于最大化问题，我们可以通过将目标函数乘以-1 转化为最小化问题。
这样，标准形式可以表示为：\[\begin{array}{ll}。
\text { minimize } & -\mathbf{c}^{T} \mathbf{x} \\。
\text { subject to } & \mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{b} \\。
运筹学-1、线性规划
则：
x1 x2 100
x1 ( x3 ) x4 x2 2
设x3为第二年新的投资； x4为第二年的保留资金；
则：
18
•设x5为第三年新的投资；x6为第三年的保留资金；
则：
x3 ( x5 ) x6 x4 2 x1 2
•设x7为第四年新的投资；第四年的保留资金为x8；
max Z 2 x7 x9 x1 x2 100 x 2x 2x 2x 0 2 3 4 1 4 x1 x3 2 x4 2 x5 2 x6 0 s.t 4 x3 x5 2 x6 2 x7 2 x8 0 4 x5 x7 2 x 8 2 x9 0 x 0, j 1, 2, , 9 j
13
例3：（运输问题）设有两个砖厂A1 、A2 ，产 量分别为23万块、27万块，现将其产品联合供应三 个施工现场B1 、 B2 、 B3 ，其需要量分别为17万 块、18万块、15万块。各产地到各施工现场的单位 运价如下表： 现场 砖厂 B1 B2 B3
A1 A2
5 6
14 18
7 9
问如何调运才能使总运费最省？
20
例5：（下料问题） 某一机床需要用甲、乙、 丙三种规格的钢轴各一根，这些轴的规格分别是 2.9,2.1, 1.5(m),这些钢轴需要用同一种圆钢来做，圆 钢长度为7.4m。现在要制造100台机床，最少要用多 少根圆钢来生产这些钢轴？
解：第一步：设一根圆钢切割成甲、乙、丙三 种钢轴的根数分别为y1,y2,y3，则切割方式可用不等 式2.9y1+2.1y2+1.5y3≤7.4 表示，求这个不等式的有实 际意义的非负整数解共有8组，也就是有8种不同的 下料方式，如下表所示：
运筹学 第二章线性规划 第二讲 标准型与单纯形法
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
或写成下列形式：
n
max Z c j x j j 1
n
aij x j
j 1
bi ,
i 1,2,, m
x j 0, j 1,2,, n
或用矩阵形式
max Z CX
AX b
X
0
2.3 线性规划的标准型 Standard form of LP
式(2.2)得
x1
1 5
，x4=4，则基本解为
X (2) ( 1 ,0,0,4,0)T 5
在 X (2) 中x1<0, 不是可行解，因此也不是基本可行解。
反之，可行解不一定是基本可行解，如
X (0,0, 1 , 7 ,1)T 满足式(2.2)~(2.3)，但不是2任2何基矩阵的基本解。
2.4 基本概念 Basic Concepts
5 1
5 1 1 1 0
B2 10 0 A 10 6 2 0 1
在上例中B2的基向量是A中的第一列和第四列，其余列
向量是非基向量，x1、x4是基变量，x2、x3、x5是非基
变量。基变量、非基变量是针对某一确定基而言的，
不同的基对应的基变量和非基变量也不同。
2.4 基本概念 Basic Concepts
基本解(basic solution) : 对某一确定的基B，令非基变量
等于零，利用式(2.2)解出基变量，则这组解称为基Ｂ 的
基本解。
基本可行解(basic feasible solution): 若基本解是可行解 则称为是基本可行解（也称基可行解）。
非可行解(infeasible solution) 无界解 (unbounded solution)
第3章02-线性规划模型的标准形式
第3章02线性规划模型的标准形式同学们大家好，上次我们讲了线性规划模型的结构和特征，然后在后面没给出了要定义线性规划的标准型的原因，今天我们就来介绍一下线性规划的标准型。
首先我们要说标准形式定义出来的，在不同的教材里面的定义并不相同。
在我们教材里面我们是这么定义的：我们先看目标函数，一般形式中可能是关于目标函数的最大化问题，有可能最小化问题，但在标准型里面我们定义目标函数必须是求最大化问题。
1111max(min c max c n n n nz x c x z x c x =++⇒=++ 或）我们再来看一下常约束条件。
在一般形式里面，常约束可能是等式，也可能是不等式，但在标准形式中，定义每个常约束都必须取等号。
112211221,2,,i i i i in in i i i i i in in i a x a x a x b a x a x a x b i m+++≤=≥⇒+++== （或，），再来看非负约束。
在一般形式里面，并不要求每个变量都有非负约束，但是在标准形式里面，要求每一个变量都是非负的。
1212,,0,,,,0k j j j n x x x k n x x x ≥≤⇒≥ 另外，标准形式还要求每一个右端常数项都是大于等于0的，当然这个不是很重要，因为如果右端常数项是负数，可以给这个方程左右两边乘以-1，就把它变成了整数。
最后，我们总结一下，在我们的教材里，标准形式有四个要求：目标函数是求最大化问题，所有常约束为等式，所有变量都有大于等于0，右端常数项都大于等于0。
所以，我们的标准形式可以规范地写成下面的形式。
11112212max , 1,2,,st.,,0n ni i i i in in i n z c x c x a x a x a x b i m x x x =+++++==⎧⎨≥⎩ 关于标准形式，它还有几种等价的形式需要大家熟悉。
第一种是简写形式。
也就是用和式号对标准形式进行简写，形式如下：⎪⎩⎪⎨⎧=≥===∑∑==n j x m i b x a x c z jnj i j ij nj j j ,,2,1,0 ,2,1st.max 11 ，第二种是矩阵形式。
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将数学模型标准化
引入剩余变量x3，x4，及松弛变量x5：
min F 2 x1 3 x2 s.t. x1 x2 x3 350 x1 x4 125 2 x1 x2 x5 600 x j 0, j 1,2, 5
m in F 2 x1 3 x2 s.t . x1 x2 350 x1 125 2 x1 x2 600 x1 0, x2 0
300
A 200 100
x2 250
x1 x2 300
100 D 200 300 400
O
50 x1 100 x2 0
最优解的解释
最优解x1=50，x2=250表示甲产品生产50个单位，乙
产品生产250个单位时，获利最大。
此时，资源利用情况为（代入约束条件）：
设备台时利用量=1*50+1*250=300=资源限制量
设甲、乙两种产品的产量分别为x1、x2：
m ax F 5 0x1 1 0 0x2 s.t . x1 x2 3 0 0 2 x1 x2 4 0 0 x2 2 5 0 x1 0, x2 0
图解法
400
2 x1 x2 400
B C
可行解域为OABCD 最优解为B点（50，250）
品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗以及资源的限制如下表：
甲产品
设备 原料A 原料B
乙产品
1 1 1
资源限制
300台时 400kg 250kg
1 2 0
工厂每生产一单位甲产品可获利50元，每生产一单位乙产品可获利 100元，问工厂应分别生产多少单位产品甲和产品乙才能使得获利最 多？
建立数学模型：
例：某公司由于生产的需要，共需要A、B两种原料至少350
吨（A、B两种原料有一定的替代性），其中原料A至少购进 125吨。但由于A、B两种原料的规格不同，各自所需的加工 时间也是不同的，加工每吨原料A需要2小时，加工每吨原料 B需要1小时，而公司总共有600个加工时数，又知道每吨原
料A的价格为2万元，每吨原料B的价格为3万元，试问在满足
例1
min F 3 x1 4 x2 2 x3 5 x4 s.t. 4 x1 x2 2 x3 x4 2 x1 x2 2 x3 x4 14 2 x1 3 x2 x3 2 x4 2 x1 0, x2 0, x3 0, x4无符号限制
400
O
50 x1 100 x2 0
松弛变量x3=0,x4=50,x5=0
最优解在B点。B点是第1、第3个约束条件对
应的直线的交点，所以第1、第3个约束条件
加入的松弛变量为0，而第2个约束条件加入
的松弛变量不为0（与B点还有一点距离）。
剩余变量X3=0,X4=125，松弛变X5=0
3 500 2 400 B 300 200 100 2 x1 3x2 0 100 200 300
“=“
引入新变量(松弛变量）x5≥0，将约束条件 不等式变为等式。
x1 x2 2x3 x4 14
+ 松弛变量
x1 x2 2x3 x4 x5 14
步骤4： “≥”
“=”
引入新变量（剩余变量）x6≥0，将约束条件 不等式变为等式。
2 x1 3x2 x3 2 x4 2
第三节 线性规划的标准形式
为什么要转化为标准形式？
标准形式的特点：
1、目标函数求最大值（max）；（不一定）
2、所有的约束条件均由等式表示（=）； 3、所有的决策变量限于非负值（xj≥0）； 4、每一个约束条件等式的右端常数均为非负值（bi>0)。
（不一定）
数学模型如下
max S c1 x1 c 2 x 2 c n x n s.t. a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm x1 , x 2 , , x n 0
2 x1 x2 600 x1 125
可行解域为ABC 最优解为C点（250，100）
A
C 1 400
x1 x2 350
500 600
剩余变量X3=0,X4=125，松弛变X5=0
最优解在C点。C 点是第1、第3个约束条件
对应的直线的交点，所以第1、第3个约束
条件加入的剩余变量和松弛变量都为0，而
松弛变量的含义
松弛变量x3=0，表示按最优生产方案生产时，设备已充分利
用，无多余的设备台时。 松弛变量x4=50，表示按最优生产方案生产时，原料A未用完， 还有50个单位。 松弛变量x5=0，表示按最优生产方案生产时，原料B已用完。
所以，松弛变量不等于零，表示某种资源较充裕。
理解剩余变量的含义
图解法
2 x1 x2 600
500 400 300 200 100 2 x1 3x2 0 100 200 300
x1 125
B
可行解域为ABC 最优解为C点（250，100）
A
C
x1 x2 350
400 500 600
最优解的解释
最优解x1=250，x2=100表示最佳购买方案是原料A购进250吨，原料B购
另外，
关于松弛变量和剩余变量的信息也可以
从图解法中获得。
松弛变量x3=0,x4=50,x5=0
400 2 B C
2 x1 x2 400
3ห้องสมุดไป่ตู้
可行解域为OABCD 最优解为B点（50，250）
300
A 200 100
x2 250
1 100 D 200 300
x1 x2 300
max F 50x1 100x2 s.t. x1 x2 x3 300 2 x1 x2 x4 400 x2 x5 250 x j 0, j 1, ,5
∵最优解为x1=50,x2=250,∴代入标准化的数学模型， 得松弛变量x3=0,x4=50,x5=0。
减去一个非负变量（称为剩余变量），不等式改为等式。
例：
a x
ij
j
bi
新设一个非负变量
a
j 1
m
ij
x j xm1 bi
改造方法（5）
5、若约束条件中，某些决策变量没有非负要
求：
①xj≤0，则令新变量xj’=-xj；
②xj无符号限制，则可增设两个非负变量 Vk≥0,Uk≥0，令原变量Xk=Vk-Uk，代入原线性规 划问题的目标函数及约束条件。
改造方法（1）
１、若目标函数求最小值，则在函数式前加上
“－”号，转化为求最大值。转化后目标函数的
最优解不变，最优值差一个符号。
例：
min F c j x j
maxS min F c j x j
改造方法（2）
2、若约束条件中，某些常数项bi为负数，则可先在约
束条件等式或不等式两边乘上“-1”，使得bi≥0。
松弛变量与剩余变量
概念：
松弛变量：在线性规划模型中，如果约束条件为“≤”， 则在不等式左边加入一个非负变量，这个非负变量成为 松弛变量。
剩余变量：在线性规划模型中，如果约束条件为“≥”， 则在不等式左边减去一个非负变量，这个非负变量成为 剩余变量。
理解松弛变量的实际含义
例：某工厂在计划期内要安排甲、乙两种产品的生产。生产单位产
— 剩余变量
2x1 3x2 x3 2x4 x6 2
步骤5：满足变量非负条件
设新变量x7≥0，令x7=-x2，带入目标函数和约束条
件中。
设两个新变量x8≥0， x9≥0，
令x4=x8-x9，带入目标函数和约束条件中。
整理得：
整理后数学模型为：
max S 3x1 4 x7 2 x3 5 x8 5 x9 0 x5 0 x6 s.t. 4 x1 x7 2 x3 x8 x9 2 x1 x7 2 x3 x8 x9 x5 14 2 x1 3x7 x3 2 x8 2 x9 x6 2 x j 0, j 1,3,5,6,7,8,9
第2个约束条件加入的剩余变量不为0（与 C点还有一点距离）。
思考题与练习题
原料A使用量=2*50+1*250=350<资源限制量400
原料B使用量=1*250=250=资源限制量
引入松弛变量x3,x4,x5，将数学 模型标准化：
max F 50x1 100x2 s.t. x1 x2 300 2 x1 x2 400 x2 250 x1 0, x2 0
步骤1：min
max
min F 3x1 4 x2 2 x3 5x4
maxS min F 3x1 4x2 2x3 5x4
步骤2：bi<0
bi>0
4 x1 x2 2 x3 x4 2
4x1 x2 2x3 x4 2
步骤3：“≤”
进100吨。
代入约束条件分析：
总购进量=250+100=350吨=最低要求
原料A购进量=250>最低要求125 原料加工时数=2*250+100=600=最高限制