运筹学线性规划的图解法
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管理运筹学第二章 线性规划的图解法
B、约束条件不是等式的问题：
若约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量si ，使它等于约束右 边与左边之差 si=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn ) 显然，si 也具有非负约束，即si≥0， 这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn+si = bi
第二章 线性规划 的图解法
一、线性规划的概念 二、线性规划问题的提出 三、线性规划的数学模型 四、线性规划的图解法 五、线性规划解的情况 六、LP图解法的灵敏度分析
一、线性规划的概念
线性规划Linear Programming 简称LP，是一 种解决在线性约束条件下追求最大或最小的 线性目标函数的方法。 线性规划的目标和约束条件都可以表示成线 性的式子。
max z 3 x1 2 x2
2 x1 x2 ≤ 10 设备B台时占用 s.t. x1 x2 ≤ 8 x , x ≥ 0 产量非负 1 2
决策变量 （decision variable） 目标函数 （objective function） 约束条件 （subject to）
-ai1
x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi 。
例1.3：将以下线性规划问题转化为标准形式 Min f = 3.6 x1 - 5.2 x2 + 1.8 x3 s. t. 2.3 x1 + 5.2 x2 - 6.1 x3 ≤15.7 4.1 x1 + 3.3 x3 ≥8.9 x1 + x2 + x3 = 38 x 1 , x 2 , x3 ≥ 0
运筹学线性规划图解法
引理1.线性规划问题的可行解X为基本可行解的充分 必要条件是X的正分量所对应的系数列向量是线性独立的. 证明:
必要性：已知X为线性规划的基本可行解，要证X的 正分量所对应的系数列向量线性独立。
因为X为基本解，由定义，其非零分量所对应的系数 列向量线性独立；又因为X还是可行解，从而其非零分量 全为正。
•有唯一解
例1： max z=2x1+ 3x2 s.t. x1+2x2≤8 4x1≤16 x1,x2≥0
画图步骤： 1、约束区域的确定 2、目标函数等值线 3、平移目标函数等值线求最优值
x2
可行域
(4,2) z=14
目标函数 等值线
x1
•有无穷多解
例2 max z =2x1+4x2 s.t. x1+2x2≤8 4x2 ≤ 12 3x1 ≤12 x1, x2 ≥0
X(0)=Σ α iX(i) α i0,Σ α i=1 记X(1),X(2), …,X(k)中满足max CX(i)的顶点为X(m)。于是，
k
k
CX (0) Ci X (i) Ci X (m) CX (m)
i 1
i 1
由假设CX(0)为最优解，所以CX(0)=CX(m)，即最优解可在顶点
充分性：已知可行解X的正分量所对应的系数列向量 线性独立，欲证X是线性规划的基本可行解。
若向量P1, P2,…, Pk线性独立,则必有k≤m；当k=m时， 它们恰构成一个基，从而X=（x1，x2,…,xk，0…0）为相 应的基可行解。K〈m时，则一定可以从其余的系数列向量 中取出m-k个与P1, P2,…, Pk构成最大的线性独立向量组， 其对应的解恰为X，所以根据定义它是基可行解。
§2 线性规划图解法
第一章 线性规划
(1-8)
例 1.5 （汽油混合问题） 一种汽油的特性可用两个指标描述：其点火性用“辛烷数” 描述，其挥发性用“蒸汽压力”描述，某炼油厂有四种标准汽油，设其标号分别为 1，2， 3，4，其特性及库存量见表 1.5，将上述标准汽油适量混合，可得到两种飞机汽油，其标 号分别为 1，2，这两种飞机汽油的性能指标及产量需求见表 1.6，问应如何根据库存情况 适量混合各种标准汽油，使既满足飞机汽油的性能指标，而产量又为最高。
注：前苏联的尼古拉也夫斯克城住宅兴建计划采用了上述模型，共用了 12 个变量，10 个约束条件。
表 1.2 资源 住宅体系 砖混住宅 壁板住宅 大模住宅 资源限量 造价 (元/m2) 105 135 120 110000 (千元 钢材 (公斤/m2) 12 30 25 20000 (吨) 例 1.2 的数据表 水泥 (公斤/m2) 110 190 180 150000 (吨) 砖 (块/m2) 210 —— —— 147000 (千块) 人工 (工日/m2) 4.5 3.0 3.5 4000 (千工日)
3．线性规划模型的一般形式 以 MAX 型、≤约束为例 决策变量： x1 ,
(1-4)
, xn
目标函数： Maxz = c1 x1 +
+ cn x n
⎧a11 x1 + + a1n x n ≤ b1 ⎪ ⎪ 约束条件： s.t.⎨ ⎪a m1 x1 + + a mn x n ≤ bm ⎪ ⎩ x1 , , x n ≥ 0
2
Maxz = x1 + x 2 + x3 ⎧0.105 x1 + 0.135 x 2 + 0.120 x3 ≤ 110000 ⎪0.012 x1 + 0.030 x 2 + 0.025 x3 ≤ 20000 数学模型为: ⎪0.110 x1 + 0.190 x 2 + 0.180 x 3 ≤ 150000 (1-3) s.t ⎨ 0.210 x ≤ 147000 ⎪0.00451 x + 0.003x 2 + 0.0035 x 3 ≤ 4000 ⎪x , x , x 1 ≥ 0 ⎩ 1 2 3
例 1.5 （汽油混合问题） 一种汽油的特性可用两个指标描述：其点火性用“辛烷数” 描述，其挥发性用“蒸汽压力”描述，某炼油厂有四种标准汽油，设其标号分别为 1，2， 3，4，其特性及库存量见表 1.5，将上述标准汽油适量混合，可得到两种飞机汽油，其标 号分别为 1，2，这两种飞机汽油的性能指标及产量需求见表 1.6，问应如何根据库存情况 适量混合各种标准汽油，使既满足飞机汽油的性能指标，而产量又为最高。
注：前苏联的尼古拉也夫斯克城住宅兴建计划采用了上述模型，共用了 12 个变量，10 个约束条件。
表 1.2 资源 住宅体系 砖混住宅 壁板住宅 大模住宅 资源限量 造价 (元/m2) 105 135 120 110000 (千元 钢材 (公斤/m2) 12 30 25 20000 (吨) 例 1.2 的数据表 水泥 (公斤/m2) 110 190 180 150000 (吨) 砖 (块/m2) 210 —— —— 147000 (千块) 人工 (工日/m2) 4.5 3.0 3.5 4000 (千工日)
3．线性规划模型的一般形式 以 MAX 型、≤约束为例 决策变量： x1 ,
(1-4)
, xn
目标函数： Maxz = c1 x1 +
+ cn x n
⎧a11 x1 + + a1n x n ≤ b1 ⎪ ⎪ 约束条件： s.t.⎨ ⎪a m1 x1 + + a mn x n ≤ bm ⎪ ⎩ x1 , , x n ≥ 0
2
Maxz = x1 + x 2 + x3 ⎧0.105 x1 + 0.135 x 2 + 0.120 x3 ≤ 110000 ⎪0.012 x1 + 0.030 x 2 + 0.025 x3 ≤ 20000 数学模型为: ⎪0.110 x1 + 0.190 x 2 + 0.180 x 3 ≤ 150000 (1-3) s.t ⎨ 0.210 x ≤ 147000 ⎪0.00451 x + 0.003x 2 + 0.0035 x 3 ≤ 4000 ⎪x , x , x 1 ≥ 0 ⎩ 1 2 3
管理运筹学第二章线性规划的图解法
02
图解法的基本原理
图解法的概念
图解法是一种通过图形来直观展示线性规划问题解的方法。它通过在坐标系中绘 制可行域和目标函数，帮助我们理解问题的结构和最优解的位置。
图解法适用于线性规划问题中变量和约束条件较少的情况，能够直观地展示出最 优解的几何意义。
图解法的步骤
确定决策变量和目标函数
明确问题的决策变量和目标函数，以便在图 形中表示。
目标函数是要求最小化或最大化的函数，通常表示为 $f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
04
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
LINDO是一款开源的线性规划求解器，用 户可以免费使用。
软件工具的使用方法
Excel
用户需要先在Excel中设置好线性规划模型，然后使 用“数据”菜单中的“规划求解”功能进行求解。
Gurobi/CPLEX/LINDO
这些软件通常需要用户先在软件界面中输入线性规划 模型，然后通过点击“求解”按钮进行求解。
实例三：分配问题
总结词
分配问题是指如何根据一定的分配原则 或目标，将有限的资源分配给不同的需 求方，以最大化整体效益。
VS
详细描述
分配问题在实际生活中广泛存在，如物资 分配、任务分配等。通过图解法，可以将 分配问题转化为线性规划模型，并利用图 形直观地展示最优解的资源分配方案。在 分配问题中，通常需要考虑不同需求方的 重要性和优先级，以及资源的有限性等因 素，以实现整体效益的最大化。
管理运筹学_第二章_线性规划的图解法
线性规划中超过约束最低限的部分，称为剩余量。 记s1,s2为剩余变量，s3为松弛变量，则s1=0, s2=125,
s3=0，加入松弛变量与剩余变量后例2的数学模型变为 标准型： 目标函数： min f =2x1+3x2+0s1+0s2+0s3 约束条件： x1+x2-s1=350， x1-s2=125, 2x1+x2+s3=600, x1, x2, s1,s2,s3≥0.
阴影部分的每 一点都是这个线 性规划的可行解， 而此公共部分是 可行解的集合， 称为可行域。
B
X2=250
100
100
300
x1
B点为最优解， X1+X2=300 坐标为（50, 250）， Z=0=50x1+100x2 此时Z=27500。 Z=10000=50x1+100x2 问题的解： 最优生产方案是生产I产品50单位，生产Ⅱ产品250单位，可得 最大利润27500元。
Z=10000=50x1+50x2
线段BC上的所有点都代表了最优解，对应的最优值相 同： 50x1+50x2=15000。
10
3. 无界解，即无最优解的情况。对下述线性规划问题：
目标函数：max z =x1+x2 约束条件：x1 - x2≤1 -3x1+2x2≤6 x1≥0, x2≥0．
x2 -3x1+2x2=6 3
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
16
灵敏度分析
灵敏度分析：求得最优解之后，研究线性规划的
第一章_线性规划
第 一 节 线性规划问题及其数学模型
一、线性规划问题的数学模型
线性规划问题主要解决以下两类问题： 1、任务确定后，如何统筹安排，做到应用尽量少的人 力和物力资源来完成任务； 2、在一定量的人力、物力资源的条件下，如何安排、 使用他们，使完成的任务最多。
在生产管理和经济活动中，经常会遇到线性规划问 题，如何利用线性规划的方法来进行分析，下面举例 来加以说明。
表1－2
成分
产品来源
分析：很明显，该厂可以有多种不同的方案从A，B 两处采购原油，但最优方案应是使购买成本最小的一 个，即在满足供应合同单位的前提下，使成本最小的 一个采购方案。
解：设分别表示从A，B两处采购的原油量（单位：万 吨），建立的数学模型为：
m in S 200 x1 290 x2
3. 若存在无非负要求的变量。即有某一个变 量 xj 取正值或负值都可以。这时为了满足标准型 对变量的非负要求，可令 xj = xjˊ- xj〞, 其中： xjˊ、 xj〞 0 ，由于xjˊ可能大于也可能小于xj〞，故 xj 可以为正也可以为负。
上述的标准型具有如下特点： （1）目标函数求最大值； （2）所求的变量都要求是非负的； （3）所有的约束条件都是等式； （4）常数项非负。 综合以上的讨论可以说明任何形式的线
max Z x1 2x2 3x4 3x5 0x6 0x7
x1 x2 x4 x5 x6 7
x13x1x2
x4 x2
x5 2x4
x7 2 2x5 5
x1, x2, x4, , x7 0
第二节 线性规划问题的图解法及几何意义
例1－1：（计划安排问题）某工厂在计划期内安排 生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所占用的 设备A、B的台时、原材料的消耗及两种产品每件 可获利润见表所示：
《物流运筹学》郝海.熊德国chap2线性规划22.1 线性规划模型与图解法
源自2.1 线性规划模型与图解法
生产计划资源表
定额(工时/件)
产品型号
1
2
3
每周可利用 的有效工时
A
1.2 1.0 1.1
5400
工序 B
0.7 0.9 0.6
2800
C
0.9 0.8 1.0
3600
利润（元/件） 10 15 12
【分析】该问题主要是要把有限的工时资源合理地分配到三 种产品的生产活动上去，以期望获得最多的利润。根据问题的 要求，旨在获得最大利润，也就是说，在资源约束的条件下， 尽可能生产更多的产品，以获得最大的利润，实现工厂利润最 大化的目标，
2.1 线性规划模型与图解法
线性规划的研究内容可归纳为两个方面：一是资源的数量 已定，如何合理利用、调配，使任务完成的最多，才能更有效 地运用有限的资源以更高水平达到目标；二是系统的任务已定 ，如何合理筹划，精细安排，用最少的资源(人力、物力和财 力)去实现这个任务； 2.1.1 问题的引入
【例2.1】 （生产计划问题）某企业生产l、2和3三种产品， 每种产品需经过三道工序，每件产品在每道工序中的工时定额 、每道工序在每周可利用的有效工时和每件产品的利润见下表 。问每种产品各生产多少,可使这一周内生产的产品所获利润最 大？
食品的营养构成表
序号 食品名称 热量(卡路里) 蛋白质(g) 钙(mg) 价格(元)
1 猪肉
1000
50
400
10
2 鸡蛋
800
60
200
6
3 大米
900
20
300
3
4 白菜
200
10
500
2
2.1 线性规划模型与图解法
生产计划资源表
定额(工时/件)
产品型号
1
2
3
每周可利用 的有效工时
A
1.2 1.0 1.1
5400
工序 B
0.7 0.9 0.6
2800
C
0.9 0.8 1.0
3600
利润（元/件） 10 15 12
【分析】该问题主要是要把有限的工时资源合理地分配到三 种产品的生产活动上去，以期望获得最多的利润。根据问题的 要求，旨在获得最大利润，也就是说，在资源约束的条件下， 尽可能生产更多的产品，以获得最大的利润，实现工厂利润最 大化的目标，
2.1 线性规划模型与图解法
线性规划的研究内容可归纳为两个方面：一是资源的数量 已定，如何合理利用、调配，使任务完成的最多，才能更有效 地运用有限的资源以更高水平达到目标；二是系统的任务已定 ，如何合理筹划，精细安排，用最少的资源(人力、物力和财 力)去实现这个任务； 2.1.1 问题的引入
【例2.1】 （生产计划问题）某企业生产l、2和3三种产品， 每种产品需经过三道工序，每件产品在每道工序中的工时定额 、每道工序在每周可利用的有效工时和每件产品的利润见下表 。问每种产品各生产多少,可使这一周内生产的产品所获利润最 大？
食品的营养构成表
序号 食品名称 热量(卡路里) 蛋白质(g) 钙(mg) 价格(元)
1 猪肉
1000
50
400
10
2 鸡蛋
800
60
200
6
3 大米
900
20
300
3
4 白菜
200
10
500
2
2.1 线性规划模型与图解法
运筹学线性规划的图解法
O
C
2
4
6
x1
6
3、 画目标函数图
令目标函数值为零，可得到斜率，根据斜率做一过原点的直 线。（如果可行解域在第一象限，且目标函数等值线斜率为 负）若给出问题是求最大值，把目标函数等值线平行移动到 与可行解域最后相交的点，这点就是问题的最优解；若给出 问题是求最小值，把目标函数等值线平行移动到与可行解域 最先相交的点，这点即为问题的最优解。
对应的可行解域。 3、画目标函数图。 4、判断解的形式，得出结论。
4
1、建立数学模型
max F 6x1 4x2 s.t. 2x1 3x2 10 4x1 2x2 12 x1 , x2 0
5
2、绘制可行解域
x2
5 4x1 2x2 12
可行解域为 阴影部分
OABC
A 3
B
1
2x1 3x2 10
B
x1 4
A
x2 3
C
1
x1 2x2 8
O
2
D
6
x1
19
解、移动目标函数等值线
x2
5
B A
1
O
2
2x1 4x2 0
x1 4
C
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 3
x1 2x2 8
D
6
x1
20
解、目标函数等值线最终与可 行解域边线重合
x2
5
B A
1
O
2
2x1 4x2 0
x1 4
C
x2 3
x1 2x2 8
11
解、绘制可行解域
x2
x2≥0
A
可行解域为开放 区域x2ABCDx1
6
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将最优解代入目标函数，得最优值：
maxF 6x1 4x 2 6 2 4 2 20
例2
min F 2 x1 3 x 2 s.t. x1 x 2 5 4 x1 x 2 8 x1 2 x 2 6 x1 0, x 2 0
解、绘制可行解域
第二节
线性规划的图解法
对于只包含两个决策变量的线性规划问题，可以
用图解法来求解。
图解法简单直观，有助于了解线性规划问题求解
的基本原理。
例1
max F 6 x1 4 x 2 s.t . 2 x1 3 x 2 10 4 x1 2 x 2 12 x1 , x 2 0
一、解的概念
解
x2
x1
x1 x2 1 0
解得：
无可行解，无最优解。
思考题与练习题
x2
5 B A C 1 O 2 D 6
x1 4
x2 3
x1 2 x2 8
2 x1 4 x2 0
x1
解
最优解为BC线段上所有点
（无穷多个最优解）
最优值为16。
例5
max F 2 x1 x 2 s.t. x1 x 2 1 0 x1 0, x 2 0
可行解
把满足约束条件的一组决策变量值x1，x2，…，xn称为该线性规划 问题的可行解。
可行解集/可行解域
满足约束条件的可行解的全体称为可行解集。 在平面上，所有可行解的点的集合称为可行解域。
最优解
在可行解集中，使目标函数达到最优值的可行解称为最优解。
图解法的一般步骤
1、建立数学模型。
4 x1 2 x2 12
可行解域为 阴影部分 OABC
3
B
1 C O 2
2 x1 3x2 10
4 6 x1
3、 画目标函数图
令目标函数值为零，可得到斜率，根据斜率做一过原点的直 线。（如果可行解域在第一象限，且目标函数等值线斜率为 负）若给出问题是求最大值，把目标函数等值线平行移动到 与可行解域最后相交的点，这点就是问题的最优解；若给出
解、绘制可行解域
x2
可行解域为阴 影部分OABCD 5 B A C 1 O 2 D 6
x1 4
x2 3
x1 2 x2 8
x1
解、移动目标函数等值线
x2
5 B A C 1 O 2 D 6
x1 4
x2 3
x1 2 x2 8
2 x1 4 x2 0
x1
解、目标函数等值线最终与可 行解域边线重合
问题是求最小值，把目标函数等值线平行移动到与可行解域
最先相交的点，这点即为问题的最优解。
3、画目标函数图
x2
5 A
4 x1 2 x2 12
B
3
1 O 2 C
2 x1 3x2 10
4 6 x1
6 x1 4 x2 0
6 x1 4 x2 20
4、判断解的形式，得出结论。
x2
x2≥0
A
6
可行解域为开放 区域x2ABCDx1
4
2
B
C
2 4
x1≥0 D
4 x1 x2 8
x1 x2 5
x1 2 x2 6
x1
解、画目标函数等值线
x2
x2≥0
A C点为最优解
6
4
2
B
C
2 4
x1≥0 D
x1
x1 2 x2 6
2 x1 3x2 0
4 x1 x2 8
x1 x2 5
解、求出最优解。
x1 x2 5 x1 2 x2 6
x1 4 最优解： x2 1
将最优解代入目标函数，得最优值：
minF 2x1 3x 2 2 4 3 1 11
例3
将例2中目标函数改为
maxF=2x1+3x2， 约束条件不变。
2、绘制约束条件不等式图，做出可行解集 对应的可行解域。
3、画目标函数图。 4、判断解的形式，得出结论。
1、建立数学模型
max F 6 x1 4 x 2 s.t. 2 x1 3 x 2 10 4 x1 2 x 2 12 x1 , x 2 0
2、绘制可行解域
x2
5 A
本题有唯一的最优解。
解法：
最优解是由两根直线所确定的最后的交点； 解由此两根直线相应方程所组成的方程组，得到 问题的精确最优解；
将最优解代入目10 4 x1 2 x2 12
x1 2 最优解： x2 2
解、可行解域不变
x2
x2≥0
A
6
4
2
B
C
2 4
x1≥0 D
x1
x1 2 x2 6
2 x1 3x2 0
4 x1 x2 8
x1 x2 5
解
该问题有可行解但最优解无界，
即无界解。
例4
max F 2 x1 4 x 2 s.t . x1 4 x2 3 x1 2 x 2 8 x1 0, x 2 0