运筹学件图解法
管理运筹学第二章 线性规划的图解法
B、约束条件不是等式的问题：
若约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量si ，使它等于约束右 边与左边之差 si=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn ) 显然，si 也具有非负约束，即si≥0， 这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn+si = bi
第二章 线性规划 的图解法
一、线性规划的概念 二、线性规划问题的提出 三、线性规划的数学模型 四、线性规划的图解法 五、线性规划解的情况 六、LP图解法的灵敏度分析
一、线性规划的概念
线性规划Linear Programming 简称LP，是一 种解决在线性约束条件下追求最大或最小的 线性目标函数的方法。 线性规划的目标和约束条件都可以表示成线 性的式子。
max z 3 x1 2 x2
2 x1 x2 ≤ 10 设备B台时占用 s.t. x1 x2 ≤ 8 x , x ≥ 0 产量非负 1 2
决策变量 （decision variable） 目标函数 （objective function） 约束条件 （subject to）
-ai1
x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi 。
例1.3：将以下线性规划问题转化为标准形式 Min f = 3.6 x1 - 5.2 x2 + 1.8 x3 s. t. 2.3 x1 + 5.2 x2 - 6.1 x3 ≤15.7 4.1 x1 + 3.3 x3 ≥8.9 x1 + x2 + x3 = 38 x 1 , x 2 , x3 ≥ 0
运筹学_2 线性规划图解法
约束条件
图解法求min
x2
x1
图解法求min
x2
x1
图解法求min
解与值
解位于X1+X2=800和0.21X1-0.3X2=0的交点处 X1=470.59，X2=329.41 Z=437.65元/天
不等式与等式联立的结果是一个不等式 联立可分3种情况，代入x1＋x2＝800与x1＝800 －x2；代入800，不代入任何数字 产生的不等式，相应图形也有三种情况
LP是OR最主要的组成部分之一
应用广泛：经营计划、材料配比、下料方案
小结
什么是线性规划问题 二元线性规划图解法
图解法的适用条件：因要表示在平面坐标系中，只有二 元线性规划才能用图解法 图解方法、例题 学习图解法的作用
例题
A、B两类制剂，所需原料分别为2和3个单位，需要的 工时为4和2个单位，在计划期内可以使用的原料为100 ，工时为120单位。以至利润分别为6和4个单位，求获 利的最大方案。
From Jilin Uni. OR PPT
特殊饲料的要求是至少要有30%的蛋白质和至多5%的纤维，农 场希望每天成本最小的饲料配置
图解法求min
定义变量
X1，每天玉米饲料的重量
X2，每天大豆粉饲料的重量
目标函数
min Z=0.3X1+0.9X2
X1+X2=800 总量约束 0.09X1+0.6X2 ≥0.3(X1+X2) 蛋白质约束 0.02X1+0.06X2≤0.05（X1+X2）纤维约束 X1，X2≥0 非零约束
《运筹学图解法》课件
提高建模能力
提高模型解释和应用能力
提高求解效率的策略与技巧
选择合适的图解 法：根据问题类 型选择合适的图 解法，如最短路 径问题、最大流 问题等。
优化算法：对图 解法进行优化， 如使用动态规划、 贪心算法等。
并行计算：利用 多核处理器进行 并行计算，提高 求解速度。
利用软件工具： 使用专业的图解 法软件，如 Matlab、 Python等，提 高求解效率。
缺点：需要一定 的数学基础，不 适合初学者使用
运筹学图解法的基本步骤
确定问题目标
明确问题的性质 和类型
确定问题的目标 和约束条件
分析问题的关键 因素和影响因素
确定问题的求解 方法和步骤
建立模型
确定问题：明确需要解决的问题
建立模型：根据数据建立数学模 型
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
收集数据：收集与问题相关的数 据
模型验证与优化的方法与技巧
模型验证：通过实际数据验证模型的准确性和可靠性
模型优化：根据实际需求对模型进行优化，提高模型的效 率和效果
模型选择：根据实际问题选择合适的模型，提高模型的适 用性和准确性
模型调整：根据实际数据对模型进行调整，提高模型的适 应性和准确性
模型评估：对模型进行评估，了解模型的优缺点和改进方 向
软件工具的使用：熟悉软件工具 的界面和功能，掌握基本的操作 方法
软件工具的优化与调整：根据问 题特点和需求，对软件工具进行 优化和调整，提高求解效率和准 确性
软件工具的常见问题与解决方 案：了解软件工具的常见问题， 掌握相应的解决方案，提高求 解效率和准确性
软件工具的学习与提高：不断学 习和实践，提高软件工具的使用 水平和求解能力
管理运筹学第二章线性规划的图解法
02
图解法的基本原理
图解法的概念
图解法是一种通过图形来直观展示线性规划问题解的方法。它通过在坐标系中绘 制可行域和目标函数，帮助我们理解问题的结构和最优解的位置。
图解法适用于线性规划问题中变量和约束条件较少的情况，能够直观地展示出最 优解的几何意义。
图解法的步骤
确定决策变量和目标函数
明确问题的决策变量和目标函数，以便在图 形中表示。
目标函数是要求最小化或最大化的函数，通常表示为 $f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
04
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
LINDO是一款开源的线性规划求解器，用 户可以免费使用。
软件工具的使用方法
Excel
用户需要先在Excel中设置好线性规划模型，然后使 用“数据”菜单中的“规划求解”功能进行求解。
Gurobi/CPLEX/LINDO
这些软件通常需要用户先在软件界面中输入线性规划 模型，然后通过点击“求解”按钮进行求解。
实例三：分配问题
总结词
分配问题是指如何根据一定的分配原则 或目标，将有限的资源分配给不同的需 求方，以最大化整体效益。
VS
详细描述
分配问题在实际生活中广泛存在，如物资 分配、任务分配等。通过图解法，可以将 分配问题转化为线性规划模型，并利用图 形直观地展示最优解的资源分配方案。在 分配问题中，通常需要考虑不同需求方的 重要性和优先级，以及资源的有限性等因 素，以实现整体效益的最大化。
运筹学知识点总结
运筹学：应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。
第一章、线性规划的图解法1.基本概念线性规划：是一种解决在线性约束条件下追求最大或最小的线性目标函数的方法。
线性规划的三要素：变量或决策变量、目标函数、约束条件。
目标函数：是变量的线性函数。
约束条件：变量的线性等式或不等式。
可行解：满足所有约束条件的解称为该线性规划的可行解。
可行域：可行解的集合称为可行域。
最优解：使得目标函数值最大的可行解称为该线性规划的最优解。
唯一最优解、无穷最优解、无界解（可行域无界）或无可行解（可行域为空域）。
凸集：要求集合中任意两点的连线段落在这个集合中。
等值线：目标函数z，对于z的某一取值所得的直线上的每一点都具有相同的目标函数值，故称之为等值线。
松弛变量：对于“≤”约束条件，可增加一些代表没使用的资源或能力的变量，称之为松弛变量。
剩余变量：对于“≥”约束条件，可增加一些代表最低限约束的超过量的变量，称之为剩余变量。
2.线性规划的标准形式约束条件为等式（=）约束条件的常数项非负（b j≥0）决策变量非负（x j≥0）3.灵敏度分析：是在建立数学模型和求得最优解之后，研究线性规划的一些系数的变化对最优解产生什么影响。
4.目标函数中的系数c i的灵敏度分析目标函数的斜率在形成最优解顶点的两条直线的斜率之间变化时，最优解不变。
5.约束条件中常数项b i的灵敏度分析对偶价格：约束条件常数项中增加一个单位而使最优目标函数值得到改进的数量。
当某约束条件中的松弛变量（或剩余变量）不为零时，这个约束条件的对偶价格为零。
第二章、线性规划问题在工商管理中的应用1.人力资源分配问题（P41）设x i为第i班次开始上班的人数。
2.生产计划问题（P44）3.套材下料问题（P48）下料方案表（P48）设x i为按各下料方式下料的原材料数量。
4.配料问题（P49）设x ij为第i种产品需要第j种原料的量。
运筹学概念整理
运筹学概念整理名解5、简答4、建模与模型转换2、计算5~6第1章线性规划与单纯形法(计算、建模:图解法)线性规划涉及的两个方面：使利润最大化或成本最小化线性规划问题的数学模型包含的三要素：一组决策变量：是模型中需要首确定的未知量。
一个目标函数：是关于决策变量的最优函数，max或min。
一组约束条件：是模型中决策变量受到的约束限制，包括两个部分：不等式或等式；非负取值（实际问题）。
线性规划问题(数学模型)的特点：目标函数和约束条件都是线性的。
1.解决的问题是规划问题；2解决问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或最小值；3解决问题的约束条件是多个决策变量的线性不等式或等式。
图解法利用几何图形求解两个变量线性规划问题的方法。
求解步骤：第一步：建立平面直角坐标系；第二步：根据约束条件画出可行域；第三步：在可行域内平移目标函数等值线，确定最优解及最优目标函数值。
LP问题的解：（原因）唯一最优解、无穷多最优解（有2个最优解，则一定是有无穷多最优解）无界解（缺少必要的约束条件）、无可行解（约束条件互相矛盾，可行域为空集）标准形式的LP模型特点：目标函数为求最大值、约束条件全部为等式、约束条件右端常数项bi全部为非负值，决策变量xj的取值为非负●线性规划模型标准化（模型转化）(1) “决策变量非负”。
若某决策变量x k为“取值无约束”(无符号限制)，令：x k= x’k–x”k，(x’k≥0, x”k≥0) 。
(2) “目标函数求最大值”。
如果极小化原问题minZ = CX，则令Z’ = – Z，转为求maxZ’ = –CX 。
注意：求解后还原。
(3) “约束条件为等式”。
对于“≤”型约束，则在“≤”左端加上一个非负松弛变量，使其为等式。
对于“≥”型约束，则在“≥”左端减去一个非负剩余变量，使其为等式。
(4) “资源限量非负”。
若某个bi < 0，则将该约束两端同乘“–1” ，以满足非负性的要求。
运筹学课件1.2 图解法
线性规划问题解的特点
若线性规划问题存在唯一的最优解，那 么它必定在顶点上（基本可行解） 若线性规划问题存在多个最优解，那么 必有几个相邻的顶点是最优解，其它最 优解可以表示成这几个顶点的凸组合。 若一个顶点的目标函数值比它的相邻定 点的目标函数值要好的话，它就是最优 解。
单纯形法的思路
从某个顶点开始 向目标函数值更好的邻近顶点移动 判断此顶点是否为最优解：检查它是否 比它的临近顶点的目标函数值都好，若 是，则是最优解；若不是，则重复上述 第二步。
习题
P.258，习Biblioteka 3（1）、（4）。第二节 线性规划问题的图解法
例1.1的图解法 可行解及可行解集的特性 线性规划问题解的特点 单纯形法的思路
例1.1的图解法
可行解及可行解集
凸集 凸集的顶点（角顶） 可行解、可行域，基本可行解，可行基 可行域是凸集，且顶点个数有限 基本可行解是凸集的顶点（角顶）
解的集合表示
运筹学第二章
例2.4：将以下线性规划问题转化为 标准形式
Max s.t. Z = 3 x1 - 5 x2 + 8 x3 2x1 + 2x2 - x3 = 15.7
4 x1
+ 3x3 = 8.9
x1 + x2 + x3 = 38 x2 , x3 ≥ 0
4.右端项有负值的问题：
在标准形式中，要求右端项 必须每一个分量非负。当某一个 右端项系数为负时，如 bi<0，则 把该等式约束两端同时乘以-1， 得到：
产品甲 设备A 3 产品乙 2 设备能力 （h） 65
设备B
设备C 利润（元/件）
2
0 1500
1
3 2500
40
75
问：如何安排生产计划，才能使制药厂利润最大？
解：设变量 xi为第i种（甲、乙）产品的生 产件数（i＝1，2）。根据前面分析，可 以建立如下的线性规划模型： Max
z = 1500 x1 + 2500 x2
MinZ=∑xi
i=1
X6 +
x1 x1 + x2 x2 + x3 x3 + x4 x4 + x5 x5 + x6
≥ 8 ≥ 12
≥ 10
≥ 8 ≥ 6 ≥ 4
二、线性规划模型的一般形式
目标函数 s.t.
产品对资源的 单位消耗量
利润系数
Max(Min)z=c1x1+c2x2+……+cnxn
a11x1+a12x2+……+a1nxn≥(=、≤)b1 a21x1+a22x2+……+a2nxn≥(=、≤)b2 …… am1x1+am2x2+……+amnxn≥(=、≤)bm
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约束条件
注解：
o x1, x2 L xn称为决策变量。
o 上述规划中的决策变量也可以是无约束的。 o 满足所有约束条件的一组决策变量称为可行解
o 使目标函数达到最大的一组决策变量称为最优解
o 最优解所对应的目标函数值称为最优值 o 所有可行解组成的集合称为可行域
在人们的生产实践中，经常会遇到 如何利用现有资源来安排生产，以取得 最大经济效益的问题。此类问题构成了 运筹学的一个重要分支—数学规划，而 线性规划(Linear Programming 简记 LP)则是数学规划的一个重要分支。
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自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性 规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上 趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别 是在计算机能处理成千上万个约束条件和决 策变量的线性规划问题之后，线性规划的适 用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常 采用的基本方法之一。
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第二节
线性规划的图解法
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图解法
缺点： 只能求解两个决策变 量的线性规划
优点：简单、直观、帮助我 们了解求解线性规划的原理
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2.2、图解法
变要量点用直：角坐标系中的点表示
约束条件用坐标系中的半空间或直线的 交表示
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目标函数用一组等值线表示，沿着增加 或减少的方向移动
结论： 可行域一定是凸集 若最优解存在，则最优解一定
在凸集的顶点达到
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上例中求得 问题的解是唯一的， 但对一般线性规划问题，求解结果还 可能出现以下几种情况：
1、无穷多最优解（多重解）
若将上例中的目标函数 max z 2x1 4x2
改为则表示目标函数中以参数的等值线 与约束条件的边界平行，当值由小变大 时，将与此边界重合，线段AB上的所有 点都是最优解。
产品 Q3
原料可用量 （公斤/日）
原料P1
2
3
0
1500
原料P2
0
2
4
800
原料P3
3
2
5
2000
单位产品的利润
3
5
4
（千元）
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可控因素：每天生产三种产品的数量，
分别设为：x1 , x2 , x3
目标：每天的利润最大
利润函数：3x1 5x2 4x3
受制条件：每天原料的需求量不超过可用量
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从以上例可以看出，其特征是：
1) 问题用一组决策变量 (x1, x2 L xn )
表示某一方案；决策变量的值就代表 一个具体的方案，一般这些变量是非 负的。
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2. 存在一定的约束条件，这些约束都可 以用一组线性等式或线性不等式表示。
3. 都有一个要达到的目标，它可以用决 策变量的线性函数来表示。按问题的 不同要求，目标函数实现最大化或最 小化。
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满足以上三个条件的数 学模型称为线性规划的数 学模型，其一般形式为:
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目标函数
max(min)z c1x1 c2x2 L cnxn
s.tx1 x2 L 1n xn (, )b1 x1 x2 L 2n xn (, )b2 L L L L L L L L L L L L L L
x1 , x2 , x3 0
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原料可用量 （公斤/日）
1500 800 2000
综上，本问题可用如下模型描述：
目标函数： max z 3x1 5x2 4x3
约束条件：
2x1 3x2 1500
2x1 4x3 800 3x1 2x2 5x3 2000
x1 , x2 , x3 0
2x1 x2 5
x1, x2 0
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总之，可能出现的情况：
➢ 可行域是空集
➢可行域无界无最优解 ➢最优解存在且唯一，则一定在顶点上达到 ➢最优解存在且不唯一，一定存在顶点是
最优解
第26页/共2页
注：图解法简便、直观，有助于了解
线性规划问题求解的基本原理，但是当 变量的个数多于三个时，它就无能为力 了，因此我们将介绍单纯形法。为了便 于讨论，我们先规定线性规划问题的数 学模型的标准形式。
等值线
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例1:
msa.txxz122xx1238x2
x1 16
4x2 12
x1, x22 0
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x2 4x2 12
A
可行域
B
msa.txxz122xx1238x2
x1 16
4x2 12 x1, x2 0
x1 16
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最优解（4，2）
x1
x1 2x2 8
第2页/共72页
§2.1 问题的提出 §2.2 线性规划的图解法 §2.3 图解法的灵敏度分析
第3页/共72页
第一节 问题的提出
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1.1、问题的提出
例1: 某工厂用三种原料生产三种产品，已知
的条件如下表所示，试制订总利润最大的生 产计划
单位产品所需原 料数量（公斤）
产品 Q1
产品 Q2
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由图可知，该问题的可行域无界，目 标函数可以增大到无穷大，称这种情况 为无界解或无最优解。
第24页/共72页
3、无可行解
在上述问题中增加一个约束条件， 2x1 x2 5
该问题可行域为空集，即无可行解，从而不存在最优解。
max z s.t
x1 x2 x1 x2
4
x1 x2 2
第27页/共72页
线性规划问题的标准形式
第28页/共72页
线性规划的一般形式
max(min)z c1x1 c2x2 L cnxn
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2、无界解
对下述问题用图解法求解结果见下图：
max z s.t
x1 x2 x1 x2
4
x1 x2 2
x1, x2 0
第22页/共72页
max z s.t
x1 x2 x1 x2
4
x1 x2 2
x2
x1, x2 0
2x1 x2 4
x1 x2 2
x1
第6页/共72页
单位产品所需原料 数量（公斤）
产品 Q1
产品 Q2
产品 Q3
原料P1
2
3
0
原料P2
0
2
4
原料P3
3
2
5
单位产品的利润
3
5
4
（千元）
原料 p1: 2x1 3x2 1500
原料 p2: 2x1 4x3 800
原料 p:3 3x1 2x2 5x3 2000
蕴含约束：产量非负