2019届高考数学二轮复习 第二部分专项二 专题七 1 第1讲 专题强化训练 含解析

1．(2018·益阳、湘潭调研)在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝sin α(α为参数)．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝12.直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．(1)求直线l 的直角坐标方程； (2)设点P (1，0)，求|PA |·|PB |的值．解：(1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝12得ρcos θcos π3－ρsin θsin π3＝12， 又ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以直线l 的直角坐标方程为x －3y －1＝0. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝sin α(α为参数)得曲线C 的普通方程为x 2＋4y 2＝4，因为P (1，0)在直线l 上，故可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t ＋1y ＝12t (t 为参数)，将其代入x 2＋4y 2＝4得7t 2＋43t －12＝0， 所以t 1·t 2＝－127，故|PA |·|PB |＝|t 1|·|t 2|＝|t 1·t 2|＝127.2．(2018·合肥第一次质量检测)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ－2cos θ＝0.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若曲线C 1上有一动点M ，曲线C 2上有一动点N ，求|MN |的最小值． 解：(1)由ρ－2cos θ＝0得ρ2－2ρcos θ＝0. 因为ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，所以x 2＋y 2－2x ＝0， 即曲线C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)由(1)可知，圆C 2的圆心为C 2(1，0)，半径为1. 设曲线C 1的动点M (3cos θ，2sin θ)， 由动点N 在圆C 2上可得|MN |min ＝|MC 2|min －1.因为|MC 2|＝（3cos θ－1）2＋4sin 2θ＝5cos 2θ－6cos θ＋5，所以当cos θ＝35时，|MC 2|min ＝455，所以|MN |min ＝|MC 2|min －1＝455－1.3．(2018·高考全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 解：(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋k 2＜1， 解得k ＜－1或k ＞1，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4.综上，α的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫π4，3π4. (2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos αy ＝－2＋t sin α(t 为参数，π4＜α＜3π4)．设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sinα＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22sin 2αy ＝－22－22cos 2α(α为参数，π4＜α＜3π4)． 4．(2018·昆明调研)在直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 过点A (2，1)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线l 与曲线C 分别交于P ，Q 两点．(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若|PQ |2＝|AP |·|AQ |，求直线l 的斜率k .解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos αy ＝1＋t sin α(t 为参数)．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y .(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得t 2＋(4cos α)t ＋3＝0， 由Δ＝(4cos α)2－4×3>0，得cos 2α>34，由根与系数的关系，得t 1＋t 2＝－4cos α，t 1·t 2＝3，由参数的几何意义知，|AP |＝|t 1|，|AQ |＝|t 2|，|PQ |＝|t 1－t 2|， 由题意知，(t 1－t 2)2＝t 1·t 2， 则(t 1＋t 2)2＝5t 1·t 2， 得(－4cos α)2＝5×3，解得cos 2α＝1516，满足cos 2α>34，所以sin 2α＝116，tan 2α＝115，所以直线l 的斜率k ＝tan α＝±1515. 5．(一题多解)(2018·郑州第一次质量预测)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(1，0)，倾斜角为α，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ＝8cos θ1－cos θ. (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若α＝π4，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．解：(1)由题知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)．因为ρ＝8cos θ1－cos 2θ， 所以ρsin 2θ＝8cos θ，所以ρ2sin 2θ＝8ρcos θ，即y 2＝8x .(2)法一：当α＝π4时，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22t y ＝22t (t 为参数)，代入y 2＝8x 可得t 2－82t －16＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝82，t 1·t 2＝－16，所以|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1·t 2＝8 3. 又点O 到直线AB 的距离d ＝1×sin π4＝22，所以S △AOB ＝12|AB |×d ＝12×83×22＝2 6.法二：当α＝π4时，直线l 的方程为y ＝x －1，设M (1，0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝x －1，得y 2＝8(y ＋1)，即y 2－8y －8＝0， 由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8，S △AOB ＝12|OM ||y 1－y 2|＝12×1×（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝12×82－4×（－8）＝12×46＝2 6.6．(2018·陕西教学质量检测(一))在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos αy ＝sin α(t >0，α为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝3. (1)当t ＝1时，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值； (2)若曲线C 上的所有点都在直线l 的下方，求实数t 的取值范围． 解：(1)由2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝3得ρsin θ＋ρcos θ＝3，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得直线l 的直角坐标方程为x ＋y －3＝0，当t ＝1时，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos αy ＝sin α(α为参数)，消去参数得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝1，所以曲线C 为圆，且圆心为O ，则点O 到直线l 的距离d ＝|0＋0－3|2＝322，所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为1＋322.(2)因为曲线C 上的所有点均在直线l 的下方， 所以对任意的α∈R ，t cos α＋sin α－3<0恒成立， 即t 2＋1cos(α－φ)<3⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝1t 恒成立，所以t 2＋1<3， 又t >0，所以0<t <2 2.所以实数t 的取值范围为(0，22)．7．(2018·福州模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos αy ＝sin α(α为参数，t >0)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l ：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2.(1)若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围； (2)若曲线C 上存在点到l 的距离的最大值为62＋2，求t 的值． 解：(1)因为直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，即ρcos θ＋ρsin θ＝2， 所以直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝2.因为曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos αy ＝sin α(α为参数，t >0)，所以曲线C 的普通方程为x 2t2＋y 2＝1(t >0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x 2t2＋y 2＝1，消去x 得，(1＋t 2)y 2－4y ＋4－t 2＝0， 所以Δ＝16－4(1＋t 2)(4－t 2)<0， 又t >0，所以0<t <3， 故t 的取值范围为(0，3)．(2)由(1)知直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0，故曲线C 上的点(t cos α，sin α)到l 的距离d ＝|t cos α＋sin α－2|2，故d 的最大值为t 2＋1＋22，由题设得t 2＋1＋22＝62＋ 2. 解得t ＝± 2. 又t >0，所以t ＝ 2.8．(2018·潍坊模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝2＋2sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ(ρ≥0，0≤θ<π)．(1)写出曲线C 1的极坐标方程，并求C 1与C 2交点的极坐标；(2)射线θ＝β⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤β≤π3与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (A ，B 异于原点)，求|OA ||OB |的取值范围．解：(1)由题意可得曲线C 1的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，联立⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝4sin θ，ρcos 2θ＝sin θ， 得4sin θcos 2θ＝sin θ，此时0≤θ<π，①当sin θ＝0时，θ＝0，ρ＝0，得交点的极坐标为(0，0)；②当sin θ≠0时，cos 2θ＝14，当cos θ＝12时，θ＝π3，ρ＝23，得交点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，π3，当cos θ＝－12时，θ＝2π3，ρ＝23，得交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2π3，所以C 1与C 2交点的极坐标为(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2π3.(2)将θ＝β代入C 1的极坐标方程中，得ρ1＝4sin β， 代入C 2的极坐标方程中，得ρ2＝sin βcos 2β， 所以|OA ||OB |＝4sin βsin βcos β＝4cos 2β，因为π6≤β≤π3，所以1≤4cos 2β≤3，所以|OA ||OB |的取值范围为[1，3]．。