运筹学第二章
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运筹学第2章
China University of Mining and Technology
-43-
运 筹 学
线性规划的对偶理论
性质3 最优性定理：如果 X 0 是原问题的可行解， 0 是其对偶 Y 问题的可行解，并且:
CX 0 BY 0
即: z w
则 X 0是原问题的最优解，Y 0是其对偶问题的最优解。
T
分别是原问题和对偶问题的可行解。 且原问题的目标函数值为
min W 20 y1 20 y2 s.t. y1 2 y2 1 2 y1 y2 2 2y1 3 y2 3 3 y1 2 y2 4 y1 , y2 0
Z CX 10
min W 20 y1 20 y2 s.t. y1 2 y2 1 2 y1 y2 2 2y1 3 y2 3 3 y1 2 y2 4 y1 , y2 0
(DP)
-41China University of Mining and Technology
-44China University of Mining and Technology
运 筹 学
线性规划的对偶理论
性质4 强(主)对偶性：若原问题及其对偶问题均具有可行解， 则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。
还可推出另一结论：若一对对偶问题中的任意一个有最优解， 则另一个也有最优解，且目标函数最优值相等；若一个问题 无最优解，则另一问题也无最优解。 一对对偶问题的关系，有且仅有下列三种： 1. 都有最优解，且目标函数最优值相等； 2. 两个都无可行解； 3. 一个问题无界，则另一问题无可行解。
-1-
运 筹 学
学习要点： 1. 理解对偶理论，掌握描述一个线性规划问题 的对偶问题。 2. 能够运用对偶单纯形法来求解线性规划问题。 3. 会用互补松弛条件来考虑一对对偶问题的界。
-43-
运 筹 学
线性规划的对偶理论
性质3 最优性定理：如果 X 0 是原问题的可行解， 0 是其对偶 Y 问题的可行解，并且:
CX 0 BY 0
即: z w
则 X 0是原问题的最优解，Y 0是其对偶问题的最优解。
T
分别是原问题和对偶问题的可行解。 且原问题的目标函数值为
min W 20 y1 20 y2 s.t. y1 2 y2 1 2 y1 y2 2 2y1 3 y2 3 3 y1 2 y2 4 y1 , y2 0
Z CX 10
min W 20 y1 20 y2 s.t. y1 2 y2 1 2 y1 y2 2 2y1 3 y2 3 3 y1 2 y2 4 y1 , y2 0
(DP)
-41China University of Mining and Technology
-44China University of Mining and Technology
运 筹 学
线性规划的对偶理论
性质4 强(主)对偶性：若原问题及其对偶问题均具有可行解， 则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。
还可推出另一结论：若一对对偶问题中的任意一个有最优解， 则另一个也有最优解，且目标函数最优值相等；若一个问题 无最优解，则另一问题也无最优解。 一对对偶问题的关系，有且仅有下列三种： 1. 都有最优解，且目标函数最优值相等； 2. 两个都无可行解； 3. 一个问题无界，则另一问题无可行解。
-1-
运 筹 学
学习要点： 1. 理解对偶理论，掌握描述一个线性规划问题 的对偶问题。 2. 能够运用对偶单纯形法来求解线性规划问题。 3. 会用互补松弛条件来考虑一对对偶问题的界。
运筹学 胡运权 第二章
《运筹学》 运筹学》
第1页
第二章 线性规划的对偶理论
一、问题的提出: 设用两种原料（A、B）
生产三种产品的一个生产计划问题
m f ( x) = x1 + 2x2 + 4x3 ax x1 + 2x2 + 2x3 ≤ 25 s.t. 2x1 + x2 + 2x4 ≤15 x1, x2 , x3 ≥ 0
华东师范大学
《运筹学》 运筹学》
第11页 11页
弱对偶性的推论： 对偶性的推论：
max问题的任何可行解目标函数值是其对偶min问 题目标函数值的下限； min问题的任何可行解目标 函数值是其对偶max问题目标函数值的上限。 如果原max(min)问题为无界解，则其对偶 min (max) max(min) 问题无可行解。 如果原max(min)问题有可行解，其对偶 min (max) 问题无可行解，则原问题为无界解。 存在原问题和对偶问题同时无可行解的情况。
华东师范大学
14 December 2010
《运筹学》 运筹学》
第10页 10页
1. 弱对偶性定理（P55） 对偶问题(min)的任何可行解Y0，其目 标函数值 bTY0 总是不小于原问题(max) 的任何可行解X0的目标函数值CTX0, 即 CTX0 ≤ bTY0
14 December 2010
14 December 2010
华东师范大学
《运筹学》 运筹学》
第8页
表2.1 对偶变换的规则
原问题(max,≤) ≤ 原问题 系数矩阵 A 目 标 系数 C 常数 项 b 第 i 行约束条件为 ≤ 型 第 i 行约束条件为 ≥ 型 第 i 行约束条件为 = 型 决策变量 xj ≥ 0 决策变量 xj ≤ 0 决策变量 xj ±不限 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 对偶问题(min,≥) ≥ 对偶问题 系数矩阵 AT 常数项 b 目 标 系数 C 对偶变量 yi ≥ 0 对偶变量 yi ≤ 0 对偶变量 yi ±不限 第 j 行约束条件为 ≥ 型 第 j 行约束条件为 ≤ 型 第 j 行约束条件为 = 型
第1页
第二章 线性规划的对偶理论
一、问题的提出: 设用两种原料（A、B）
生产三种产品的一个生产计划问题
m f ( x) = x1 + 2x2 + 4x3 ax x1 + 2x2 + 2x3 ≤ 25 s.t. 2x1 + x2 + 2x4 ≤15 x1, x2 , x3 ≥ 0
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第11页 11页
弱对偶性的推论： 对偶性的推论：
max问题的任何可行解目标函数值是其对偶min问 题目标函数值的下限； min问题的任何可行解目标 函数值是其对偶max问题目标函数值的上限。 如果原max(min)问题为无界解，则其对偶 min (max) max(min) 问题无可行解。 如果原max(min)问题有可行解，其对偶 min (max) 问题无可行解，则原问题为无界解。 存在原问题和对偶问题同时无可行解的情况。
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1. 弱对偶性定理（P55） 对偶问题(min)的任何可行解Y0，其目 标函数值 bTY0 总是不小于原问题(max) 的任何可行解X0的目标函数值CTX0, 即 CTX0 ≤ bTY0
14 December 2010
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第8页
表2.1 对偶变换的规则
原问题(max,≤) ≤ 原问题 系数矩阵 A 目 标 系数 C 常数 项 b 第 i 行约束条件为 ≤ 型 第 i 行约束条件为 ≥ 型 第 i 行约束条件为 = 型 决策变量 xj ≥ 0 决策变量 xj ≤ 0 决策变量 xj ±不限 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 对偶问题(min,≥) ≥ 对偶问题 系数矩阵 AT 常数项 b 目 标 系数 C 对偶变量 yi ≥ 0 对偶变量 yi ≤ 0 对偶变量 yi ±不限 第 j 行约束条件为 ≥ 型 第 j 行约束条件为 ≤ 型 第 j 行约束条件为 = 型
运筹学第二章
例2.4：将以下线性规划问题转化为 标准形式
Max s.t. Z = 3 x1 - 5 x2 + 8 x3 2x1 + 2x2 - x3 = 15.7
4 x1
+ 3x3 = 8.9
x1 + x2 + x3 = 38 x2 , x3 ≥ 0
4.右端项有负值的问题：
在标准形式中，要求右端项 必须每一个分量非负。当某一个 右端项系数为负时，如 bi<0，则 把该等式约束两端同时乘以-1， 得到：
产品甲 设备A 3 产品乙 2 设备能力 （h） 65
设备B
设备C 利润（元/件）
2
0 1500
1
3 2500
40
75
问：如何安排生产计划，才能使制药厂利润最大？
解：设变量 xi为第i种（甲、乙）产品的生 产件数（i＝1，2）。根据前面分析，可 以建立如下的线性规划模型： Max
z = 1500 x1 + 2500 x2
MinZ=∑xi
i=1
X6 +
x1 x1 + x2 x2 + x3 x3 + x4 x4 + x5 x5 + x6
≥ 8 ≥ 12
≥ 10
≥ 8 ≥ 6 ≥ 4
二、线性规划模型的一般形式
目标函数 s.t.
产品对资源的 单位消耗量
利润系数
Max(Min)z=c1x1+c2x2+……+cnxn
a11x1+a12x2+……+a1nxn≥(=、≤)b1 a21x1+a22x2+……+a2nxn≥(=、≤)b2 …… am1x1+am2x2+……+amnxn≥(=、≤)bm
运筹学第2章：线性规划的对偶理论
目
标函数求极小时取“≥”号
注：对称形式与线性规划标准型是两种不同的形 式，对称形式中约束条件的符号由目标函数决定
从以下方面比较(LP1)与(LP2)：
原问题
对偶问题 约束系数矩阵的转 臵 目标函数中的价格 系数向量 约束条件的右端项 向量 Min w=Y’b A’Y≥C’ Y≥0
A
b C 目标函数 约束条件 决策变量
非基变量 基变量
XB
0 b Xs C j - zj B
XN
N
Xs
I
0
初始 单纯形表
非基变量
CB
CN
基变量
最终
单纯形表
CB
XB
XB B-1b Cj - zj
I 0
Xs B-1 N B-1 CN-CBB-1N -CBB-1
XN
若B-1b为最优解，则
CB CB ( B 1B) 0 C N CB B N 0 CB B 1 0
令 y 2 y 2 , y3 y3 y3 ，则
min 2 y1 y2 4 y3
2 y1 3 y2 y3 1 3 y y y 4 1 2 3 s.t. 5 y1 6 y2 y3 3 y1 0, y2 0, y3无约束
n j 1 m j j
C X Y b, 即 c j x j y i bi
j 1 i 1
__
__
n
m
c x ( a
j 1 m i 1 n i i i 1 i 1 j 1
n
m
ij
yi ) x j aij x j yi ( a ji yi c j )
例1
运筹学02-单纯形法
反之，若经过迭代，不能把人工变量都变
为非基变量，则表明原LP问题无可行解。
19
第2章
单纯形法
2.3 人工变量法
2.3.1 大M法
在原问题的目标函数中添上全部人工变量，并令其系数 都为-M，
而M是一个充分大的正数。即
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + … + cnxn – M( xn+1 + xn+2 +…+ xn+m )
思路：由一个基本可行解转化为另一个基本可行解。 等价改写为 目标方程 max z max z = 3x1+5x2 z -3x1 -5x2 = 0 z -3x1 -5x2 x1 +x3 x1 +x3 = 8 2x2 +x4 2x2 +x4 = 12 s.t. s.t. 3x1+4x2 +x5 3x1 + 4x2 +x5 = 36 x1 ， x2 ，x3，x4，x5 x1 ， x2 ，x3，x4，x5 ≥ 0
以主列中正值元素为分母，同行右端常数为分子，求比值；
6
第2章
单纯形法
2.1 单纯形法的基本思想
(Ⅰ)
用换基运算 将X0 转化为 另一个基本 可行解 X1。
z- 3x1 -5x2 = 0 0 换基运算—— x1 +x3 = 8 ① 方程组的初等变换 目的是把主列变为 22x2 +x4 = 12 ② 单位向量：主元变 3x1 + 4x2 +x5 = 36 ③ 为1，其余变为0。 X0 = ( 0, 0, 8, 12, 36 )T z0 = 0
⑴ 当前基：m阶排列阵
运筹学第二章线性规划的对偶理论
(5.5) (5.6)
4.3 对偶问题的基本性质
证： 设B是一可行基，于是A=(B,N)
max z=CBXB+ CNXN BXB+BXN +Xξ=b X,XB,Xξ ≥0
其中Yξ=(Yξ1, Yξ2)
min ω =Yb YB－Yξ1=CB YN－Yξ2=CN Y, Yξ1 Yξ2 ≥0
(5.5) (5.6)
x1﹐x2 ≥0
关系？
对原模型设： 1 2
A= 4 0 b=(8,16,12)T C=(2，3) 04
X=（x1，x2）T Y=（y1，y2 ，y3 ） 则可得:
4.1 对偶问题的提出
min ω=8 y1+16y2 +12y3
y1+4y2
≥2
2 y1 +4y3≥3
与
y1 ， y2 ，y3≥0 12
max z＝2x1+3x2 x1＋ 2x2 ≤8
4x1
≤16
4x2 ≤12
x1﹐x2 ≥0
有何关 系？
对愿模型设： A= 4 0 04
b=(8,16,12)T C=(2，3)
X=（x1，x2）T
Y=（y1，y2 ，y3 ） 则可得:
max z=CX AX≤b （5.1） 和
min ω =Yb YA ≥ C （5.2）
120
A=
1 -3
0 2
1 1
1 -1 1
b=(2,3,-5,1)T C=(5,4, 6)
确定约束条件
YA
C
x1 ≥0 ﹐x2≤0, x3 无约束
解：因原问题有3个变 于是 量，4个约束条件， 所以对偶问题4个 变量，3个约束条
运筹学第2章-线性规划的对偶理论
❖ 影子价格不是市场价格，而是在现有技术和管理条件下， 新增单位资源所能够创造的价值，是特定企业的一种边 际价格；不同企业或同一企业不同时期，同种资源的影 子价格可能不同；当市场价格高于影子价格，可以卖出； 相反，则应买进，以获取更大收益
Ma例x：Z （ 2第x一1 章3例x22）
2 x1 2 x2 12
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这 一对线性规划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin
二、原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系
（1）定义：若原问题是
MaxZ c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21
x1
a22
二、 手工进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产 品的资源转让收益不 小于生产该种产品时 获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材 料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现 有的工时及原材料转而接受外来加工时， 那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
内，使得产品的总利润最大 。
MaxZ 2x1 3x 2
2x1 2x2 12
s.t.54xx12
16 15
x1, x 2 0
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了 劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统 最具有竞争力：
MinW 12y1 16y2 15y3
2y1 4y2
2
s.t.2y1y，1y
y1, y2, , ym 0
Ma例x：Z （ 2第x一1 章3例x22）
2 x1 2 x2 12
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这 一对线性规划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin
二、原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系
（1）定义：若原问题是
MaxZ c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21
x1
a22
二、 手工进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产 品的资源转让收益不 小于生产该种产品时 获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材 料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现 有的工时及原材料转而接受外来加工时， 那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
内，使得产品的总利润最大 。
MaxZ 2x1 3x 2
2x1 2x2 12
s.t.54xx12
16 15
x1, x 2 0
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了 劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统 最具有竞争力：
MinW 12y1 16y2 15y3
2y1 4y2
2
s.t.2y1y，1y
y1, y2, , ym 0
运筹学第2章单纯形法
==８ ==6
① ② ③
－２Ｘ４＋Ｘ５ ＝１２
得到新的基本可行解 X1 =(0,6,8,0,12)T
(1)、决定进基变量：1=--3, X1进基 (2)、决定离基变量：最小比值规则来确定主 元与离基变量.
则Xl为进基变量。 MIN(8/1,-,12/3)=12/3 此时可以确定X5为离基变量
Z
X(0) =(0, 0, 10, 15 )T
Z0 =0
Z-30X1-20X2 =0 选中X1从0↗，X2 =0 X3=10-(-X1 )0
X4=15-(-3X1 )0 求X1， X1→+ ,Z→+
2.2.3 单纯形法计算之例
2-3 人工变量法 (Artificial Variable)
+1/2X4
+X5 =42 =6
X3 +2/3X4 -1/3X5 =4
X2 +1/2X4
X1 -2/3X4+1/3X5=4 令X4 =X5 =0 X =(4, 6, 4, 0, 0)T Z =42
。此时4=1/2,
Z值不 再增大了,X值是最优基本解
5
=1,
* T * 即:X =(4,6) ,Z =42
检验数
当目标方程中基变量系数全为0时，非基 变量的系数可以作为检验当前的基本可 行解是否最优的标志，称之为检验数。
(2)、判定解是否最优 Z-3X1-5X2 =0 当X1从0↗或X2从0↗ Z从0↗ ∴ X0 不是最优解
(3)、由一个基可行解→另一个基可行解。 ∵ -5<-3 选X2从0↗，X1 =0 X3 =8 X4 =12-2X2 0 X2 12/2
N
沿边界找新 的基本可行解
结束
① ② ③
－２Ｘ４＋Ｘ５ ＝１２
得到新的基本可行解 X1 =(0,6,8,0,12)T
(1)、决定进基变量：1=--3, X1进基 (2)、决定离基变量：最小比值规则来确定主 元与离基变量.
则Xl为进基变量。 MIN(8/1,-,12/3)=12/3 此时可以确定X5为离基变量
Z
X(0) =(0, 0, 10, 15 )T
Z0 =0
Z-30X1-20X2 =0 选中X1从0↗，X2 =0 X3=10-(-X1 )0
X4=15-(-3X1 )0 求X1， X1→+ ,Z→+
2.2.3 单纯形法计算之例
2-3 人工变量法 (Artificial Variable)
+1/2X4
+X5 =42 =6
X3 +2/3X4 -1/3X5 =4
X2 +1/2X4
X1 -2/3X4+1/3X5=4 令X4 =X5 =0 X =(4, 6, 4, 0, 0)T Z =42
。此时4=1/2,
Z值不 再增大了,X值是最优基本解
5
=1,
* T * 即:X =(4,6) ,Z =42
检验数
当目标方程中基变量系数全为0时，非基 变量的系数可以作为检验当前的基本可 行解是否最优的标志，称之为检验数。
(2)、判定解是否最优 Z-3X1-5X2 =0 当X1从0↗或X2从0↗ Z从0↗ ∴ X0 不是最优解
(3)、由一个基可行解→另一个基可行解。 ∵ -5<-3 选X2从0↗，X1 =0 X3 =8 X4 =12-2X2 0 X2 12/2
N
沿边界找新 的基本可行解
结束
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10
x1 + 2x 2 22 x
2 x1 + 3x2
1.用图解法求解极大化问题 用图解法求解极大化问题
例1
OBJ : max Z = 2x1 + 3x2 x1 + 2x2 ≤ 8 4x ≤ 16 1 s.t. 4x2 ≤ 12 x1, x2 ≥ 0
x1 + 2x 2
x2
4 3
4x1=16 x1+2x2=8 Q(4,2) 4x2=12
x2 40 C 30 20
10
B A 0 5 10 15 20 x1
5x1+2x2 =60
13
3.从上述例题中,可以总结出: 1.若某一线性规划问题有最优解, 1.若某一线性规划问题有最优解,则一定有一个可行 若某一线性规划问题有最优解 域的顶点对应一个最优解. 域的顶点对应一个最优解. 2.无穷多最优解 若例1中目标函数变为Z=50x 无穷多最优解: 2.无穷多最优解:若例1中目标函数变为Z=50x1+50x2, 则该线性规划有无穷多个最优解, 则该线性规划有无穷多个最优解,Z对应的直线平移 后将与约束条件直线x =300重合 重合. 后将与约束条件直线x1+ x2 =300重合. 3.无界解 即无最优解. 见例题) 无界解: 3.无界解:即无最优解.(见例题) 4.无可行解 无可行解: 4.无可行解:若在上例题中加一个约束条件 -2x1+x2 ≥4,则该题可行域为空集,无可行解. ≥4,则该题可行域为空集,无可行解.
9
五,两变量线性规划问题的图解法
用图解法求解线性规划问题是利用数学模型中方程的 几何图形来直接找到最优解, 几何图形来直接找到最优解,图解法适用于包含两个 决策变量的线性规划问题. 决策变量的线性规划问题.
2.图解法步骤 图解法步骤 1) 将约束方程用图形绘出 2) 作出 问题的可行域 作出LP问题的可行域 3) 作出目标函数的图形 称为等值线),找出其移动的方向 作出目标函数的图形(称为等值线 找出其移动的方向 称为等值线 4) 移动等值线到可行域边界得到最优点
3
四,如何建立线性规划模型
由线性规划模型的定义可知,模型的建立是以下 述三个基本设想为前提的: ⑴比例性 每种活动的资源耗用量与活动的量成比例;每种 活动对目标函数的贡献与活动的量成比例; ⑵相加性 总的资源耗用量是各种活动的资源耗用之和;目 标函数之总值是各种活动的贡献量之和; ⑶非负性 各种活动的量只能取零或正值,不取负值.
1
二,线性规划模型的定义
对于一般线性规划模型,通常定义如下:
求一组变量x 的值,使目标函数: 求一组变量 1,x2,……xn的值,使目标函数:Z = c1x1 + c2x2 + …… + cnxn的值最大或最小,并满足的约束条 的值最大或最小, 件: a11x1 + a12x2 + …… + a1nxn ≤(≥,=) b1 a21x1 + a22x2 + …… + a2nxn ≤(≥,=) b2 …… am1x1 + am2x2 + ……+ amnxn ≤(≥,=) bm + x1,x2 …… xn≥ 0
2 x1 + 3x2
做目标函数2x 的等值线, 做目标函数 1+3x2的等值线,与 阴影部分的边界相交于Q(4,2)点, 阴影部分的边界相交于 点 这表明最优解是:x 这表明最优解是 1= 4,x2 =2
0
4 Z=2x1+3x2
8
x1
11
例2
x2
10 9 8 7 6 5 4 3
f(x
2
m Z = 6x1 + 4x2 ax 2x1 + x2 ≤ 10 x + x ≤8 1 2 s.t. x2 ≤ 7 x1 , x2 ≥ 0
第二章 线性规划及单纯形法
第一节 基本概念
一,线性规划 线性规划是运筹学的一个重要分支,是现代科学管 理的重要手段之一,是帮助管理者作决策的一个有 效的方法. 线性规划,是一种最优化的数学模型 最优化的数学模型(所谓最优化 最优化的数学模型 方法,即:最小的投入最大的产出). 线性规划就是一种"以线性数学表达式描述所研究 以线性数学表达式描述所研究 的问题, 的问题,并从问题在一定条件下所有的可行解中求 出它的最优解"的技术. 出它的最优解
式中: 决策变量; 常数; 式中:xj——决策变量;aij,cj,bi——常数; 决策变量 常数 i = 1,2,3 …… m ;j = 1,2,3 …… n
2
三,线性规划数学模型的特点
1.线性 1.线性 对所研究的问题用线性方程或线性不等式表示.即与 解决问题有关的一些限制条件(或约束条件),以及 决策人所追求的目标等,均用线性的数学表达式来描 述; 2.肯定性 2.肯定性 对数学模型的各个参数取肯定的数值,即作肯定估计; 模型本身不考虑不肯定因素,包括概率分析; 3.目标单一性 3.目标单一性 虽然决策人追求的可能有几个目标,但线性规划模型 只有一个目标,即最大值或最小值,其本质上是求极 值的问题.
解:设 x1, x2 , x3, x4 , x5分别代表五种 不同的原料用量方案(余料最少) 不同的原料用量方案(余料最少)
方案 x1 x2 x3 x4 x5 2.9米 米 1 2 0 1 0 2.1米 米 0 0 2 2 1 1.5米 米 3 1 2 0 3 合计 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6 余料 0 0.1 0.2 0.3 0.8
4
某制药厂生产甲,乙两种药品,它们均需在A, 例1 某制药厂生产甲,乙两种药品,它们均需在 , B,C三种设备上加工.每种设备所用的时间,每 三种设备上加工. , 三种设备上加工 每种设备所用的时间, 吨药品的加工时间以及所获利润如下表1-1所示 所示. 吨药品的加工时间以及所获利润如下表 所示. 问甲,乙两种药品各生产多少吨, 问甲,乙两种药品各生产多少吨,可使该厂所获 利润最大? 利润最大?
A B C 利润 (元/吨) 700 300
加工时间(小时/吨) 甲 乙
设备使用时间
3 9 540
5 5 450
9 3 720
5
例2 设每人每月至少需要60单位的糖,40单位的蛋白质合 设每人每月至少需要 单位的糖,40单位的蛋白质合 单位的糖
5单位的脂肪.食品A每千克含糖,蛋白质和脂肪各为5,3 单位的脂肪.食品A每千克含糖,蛋白质和脂肪各为5 个单位,食品B分别为2 个单位.每千克售价: 和3个单位,食品B分别为2,2和1个单位.每千克售价:A 1.5元 0.7元 为1.5元,B为0.7元,在保证一个人最低营养要求的前提 每月两种食品各买多少,方能使费用最少? 下,每月两种食品各买多少,方能使费用最少?
糖 蛋白质 脂肪 售价 含量(单位/千克 千克) 千克) 含量(单位 千克) (元/千克) 千克 A B
每人每月最低需求量(单位) 每人每月最0
3 1 35
1.5 0.7
现要做100套钢架 每套需2.9米 套钢架, 米和1.5米的圆钢各 例3 现要做 套钢架,每套需 米,2.1米和 米的圆钢各 米和 一根.已知原料长7.4米,问如何下料,使用的原料最少(余料 一根.已知原料长 米 问如何下料,使用的原料最少( 6 最少或根数最少)? 最少或根数最少)?
7
8
线性规划问题( 问题 的共同特征: 问题) 线性规划问题(LP问题)的共同特征: 每一个问题变量都用一组决策变量(x1, x2, …, xn) 每一个问题变量都用一组决策变量( 表示某一方案,这组决策变量的值代表一个具体方案, 表示某一方案,这组决策变量的值代表一个具体方案, 这些变量是非负的. 这些变量是非负的. 存在一定的约束条件,这些约束条件可以用一组线 存在一定的约束条件, 性等式或线性不等式来表示. 性等式或线性不等式来表示. 目标函数用决策变量的线性函数来表示.按问题 目标函数用决策变量的线性函数来表示. 的不同,要求目标函数实现最大化和最小化. 的不同,要求目标函数实现最大化和最小化.
最优解: x1 = 2 x2 = 6 Z = 36
F E A B G C
3
2 1
f( x
1
)=1 2
O
1
2
3
4
D 5 6
7
H 8 12
) =0
x1
2.用图解法求解极小化问题 用图解法求解极小化问题
min Z = 1.5x1+0.7x2 5x1+2x2 ≥60 3x1+2x2 ≥40 3x1+ x2 ≥ 35 x 1, x 2 ≥ 0
15
16
�
14
4.图解法的优点及局限性 1.优点:直观,形象, 1.优点:直观,形象,容易使人具体地认识线 优点 性规划模型的求解过程. 性规划模型的求解过程. 2.局限性 仅适用于只有两个变量的, 局限性: 2.局限性:仅适用于只有两个变量的,即二维 的线性规划问题. 的线性规划问题. 作业】 P24) 【作业】(P24) 1. 习题 第1题 2. 习题 第2题 3. 习题 第4题
x1 + 2x 2 22 x
2 x1 + 3x2
1.用图解法求解极大化问题 用图解法求解极大化问题
例1
OBJ : max Z = 2x1 + 3x2 x1 + 2x2 ≤ 8 4x ≤ 16 1 s.t. 4x2 ≤ 12 x1, x2 ≥ 0
x1 + 2x 2
x2
4 3
4x1=16 x1+2x2=8 Q(4,2) 4x2=12
x2 40 C 30 20
10
B A 0 5 10 15 20 x1
5x1+2x2 =60
13
3.从上述例题中,可以总结出: 1.若某一线性规划问题有最优解, 1.若某一线性规划问题有最优解,则一定有一个可行 若某一线性规划问题有最优解 域的顶点对应一个最优解. 域的顶点对应一个最优解. 2.无穷多最优解 若例1中目标函数变为Z=50x 无穷多最优解: 2.无穷多最优解:若例1中目标函数变为Z=50x1+50x2, 则该线性规划有无穷多个最优解, 则该线性规划有无穷多个最优解,Z对应的直线平移 后将与约束条件直线x =300重合 重合. 后将与约束条件直线x1+ x2 =300重合. 3.无界解 即无最优解. 见例题) 无界解: 3.无界解:即无最优解.(见例题) 4.无可行解 无可行解: 4.无可行解:若在上例题中加一个约束条件 -2x1+x2 ≥4,则该题可行域为空集,无可行解. ≥4,则该题可行域为空集,无可行解.
9
五,两变量线性规划问题的图解法
用图解法求解线性规划问题是利用数学模型中方程的 几何图形来直接找到最优解, 几何图形来直接找到最优解,图解法适用于包含两个 决策变量的线性规划问题. 决策变量的线性规划问题.
2.图解法步骤 图解法步骤 1) 将约束方程用图形绘出 2) 作出 问题的可行域 作出LP问题的可行域 3) 作出目标函数的图形 称为等值线),找出其移动的方向 作出目标函数的图形(称为等值线 找出其移动的方向 称为等值线 4) 移动等值线到可行域边界得到最优点
3
四,如何建立线性规划模型
由线性规划模型的定义可知,模型的建立是以下 述三个基本设想为前提的: ⑴比例性 每种活动的资源耗用量与活动的量成比例;每种 活动对目标函数的贡献与活动的量成比例; ⑵相加性 总的资源耗用量是各种活动的资源耗用之和;目 标函数之总值是各种活动的贡献量之和; ⑶非负性 各种活动的量只能取零或正值,不取负值.
1
二,线性规划模型的定义
对于一般线性规划模型,通常定义如下:
求一组变量x 的值,使目标函数: 求一组变量 1,x2,……xn的值,使目标函数:Z = c1x1 + c2x2 + …… + cnxn的值最大或最小,并满足的约束条 的值最大或最小, 件: a11x1 + a12x2 + …… + a1nxn ≤(≥,=) b1 a21x1 + a22x2 + …… + a2nxn ≤(≥,=) b2 …… am1x1 + am2x2 + ……+ amnxn ≤(≥,=) bm + x1,x2 …… xn≥ 0
2 x1 + 3x2
做目标函数2x 的等值线, 做目标函数 1+3x2的等值线,与 阴影部分的边界相交于Q(4,2)点, 阴影部分的边界相交于 点 这表明最优解是:x 这表明最优解是 1= 4,x2 =2
0
4 Z=2x1+3x2
8
x1
11
例2
x2
10 9 8 7 6 5 4 3
f(x
2
m Z = 6x1 + 4x2 ax 2x1 + x2 ≤ 10 x + x ≤8 1 2 s.t. x2 ≤ 7 x1 , x2 ≥ 0
第二章 线性规划及单纯形法
第一节 基本概念
一,线性规划 线性规划是运筹学的一个重要分支,是现代科学管 理的重要手段之一,是帮助管理者作决策的一个有 效的方法. 线性规划,是一种最优化的数学模型 最优化的数学模型(所谓最优化 最优化的数学模型 方法,即:最小的投入最大的产出). 线性规划就是一种"以线性数学表达式描述所研究 以线性数学表达式描述所研究 的问题, 的问题,并从问题在一定条件下所有的可行解中求 出它的最优解"的技术. 出它的最优解
式中: 决策变量; 常数; 式中:xj——决策变量;aij,cj,bi——常数; 决策变量 常数 i = 1,2,3 …… m ;j = 1,2,3 …… n
2
三,线性规划数学模型的特点
1.线性 1.线性 对所研究的问题用线性方程或线性不等式表示.即与 解决问题有关的一些限制条件(或约束条件),以及 决策人所追求的目标等,均用线性的数学表达式来描 述; 2.肯定性 2.肯定性 对数学模型的各个参数取肯定的数值,即作肯定估计; 模型本身不考虑不肯定因素,包括概率分析; 3.目标单一性 3.目标单一性 虽然决策人追求的可能有几个目标,但线性规划模型 只有一个目标,即最大值或最小值,其本质上是求极 值的问题.
解:设 x1, x2 , x3, x4 , x5分别代表五种 不同的原料用量方案(余料最少) 不同的原料用量方案(余料最少)
方案 x1 x2 x3 x4 x5 2.9米 米 1 2 0 1 0 2.1米 米 0 0 2 2 1 1.5米 米 3 1 2 0 3 合计 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6 余料 0 0.1 0.2 0.3 0.8
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某制药厂生产甲,乙两种药品,它们均需在A, 例1 某制药厂生产甲,乙两种药品,它们均需在 , B,C三种设备上加工.每种设备所用的时间,每 三种设备上加工. , 三种设备上加工 每种设备所用的时间, 吨药品的加工时间以及所获利润如下表1-1所示 所示. 吨药品的加工时间以及所获利润如下表 所示. 问甲,乙两种药品各生产多少吨, 问甲,乙两种药品各生产多少吨,可使该厂所获 利润最大? 利润最大?
A B C 利润 (元/吨) 700 300
加工时间(小时/吨) 甲 乙
设备使用时间
3 9 540
5 5 450
9 3 720
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例2 设每人每月至少需要60单位的糖,40单位的蛋白质合 设每人每月至少需要 单位的糖,40单位的蛋白质合 单位的糖
5单位的脂肪.食品A每千克含糖,蛋白质和脂肪各为5,3 单位的脂肪.食品A每千克含糖,蛋白质和脂肪各为5 个单位,食品B分别为2 个单位.每千克售价: 和3个单位,食品B分别为2,2和1个单位.每千克售价:A 1.5元 0.7元 为1.5元,B为0.7元,在保证一个人最低营养要求的前提 每月两种食品各买多少,方能使费用最少? 下,每月两种食品各买多少,方能使费用最少?
糖 蛋白质 脂肪 售价 含量(单位/千克 千克) 千克) 含量(单位 千克) (元/千克) 千克 A B
每人每月最低需求量(单位) 每人每月最0
3 1 35
1.5 0.7
现要做100套钢架 每套需2.9米 套钢架, 米和1.5米的圆钢各 例3 现要做 套钢架,每套需 米,2.1米和 米的圆钢各 米和 一根.已知原料长7.4米,问如何下料,使用的原料最少(余料 一根.已知原料长 米 问如何下料,使用的原料最少( 6 最少或根数最少)? 最少或根数最少)?
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线性规划问题( 问题 的共同特征: 问题) 线性规划问题(LP问题)的共同特征: 每一个问题变量都用一组决策变量(x1, x2, …, xn) 每一个问题变量都用一组决策变量( 表示某一方案,这组决策变量的值代表一个具体方案, 表示某一方案,这组决策变量的值代表一个具体方案, 这些变量是非负的. 这些变量是非负的. 存在一定的约束条件,这些约束条件可以用一组线 存在一定的约束条件, 性等式或线性不等式来表示. 性等式或线性不等式来表示. 目标函数用决策变量的线性函数来表示.按问题 目标函数用决策变量的线性函数来表示. 的不同,要求目标函数实现最大化和最小化. 的不同,要求目标函数实现最大化和最小化.
最优解: x1 = 2 x2 = 6 Z = 36
F E A B G C
3
2 1
f( x
1
)=1 2
O
1
2
3
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D 5 6
7
H 8 12
) =0
x1
2.用图解法求解极小化问题 用图解法求解极小化问题
min Z = 1.5x1+0.7x2 5x1+2x2 ≥60 3x1+2x2 ≥40 3x1+ x2 ≥ 35 x 1, x 2 ≥ 0
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4.图解法的优点及局限性 1.优点:直观,形象, 1.优点:直观,形象,容易使人具体地认识线 优点 性规划模型的求解过程. 性规划模型的求解过程. 2.局限性 仅适用于只有两个变量的, 局限性: 2.局限性:仅适用于只有两个变量的,即二维 的线性规划问题. 的线性规划问题. 作业】 P24) 【作业】(P24) 1. 习题 第1题 2. 习题 第2题 3. 习题 第4题