编号61：反比例函数图像与性质(3)
反比例函数的图象与性质
2、函数 y
2
4、一平行四边形的面积是12cm2，它的一边是acm，这边上的高是
12 hcm， 则a与h的函数关系式是 a ， 这个函数是反比例 函数。 h
k 5、若点P(2，－3)在函数 y 的图象上，那么这个函数的图象 x 二、四象限内，在每一象限内，y随x的增大而 增大 是 双曲线 ， 它在 。 2m 1 6、若反比例函数 y 的图象在第一、三象限，那么m的取值 x 1 范围是 m 2 ，在每一象限内，y随x 的增大而 减少 。
13、直线y=2x－b与双曲线 y 标是 A.(－1，2) ( B ) B.(2，－1)
2 1 交于点( ,4 )，则另一个交点的坐 x 2
C.(2，9)
D.(5，4)
14、如图，A为双曲线上一点，过A作AC⊥x轴，垂 足为C，且S△AOC =2． (1)求该反比例函数解析式； (2)若点(-1,y1),(-3,y2)在双曲 线上，试比较y1、 y2的大小．
4、在同一直角坐标系中，表示函数 y ax b ，与 y
ab ( ab 0) 的图象只能是 x
5、已知： a, b 0 点 pa , b 在反比例函数 y 过的象限为 （ A．第一象限 ） B．第二象限
a 的图象上，则直线 y ax b 不经 x
C．第三象限
D．第四象限
7、函数y=kx与 y
k 在同一直角坐标中的图象可能是 ( C ) x
8、已知直线y=ax+b如图所示，则函数 y 的图象应在 ( D ) A.第一、二象限 C.第一、三象限
ab x
B.第二、三象限 D.第二、四象限
9、 若y=－2xm－2+3n－1是反比例函数， 则y=5－m+x3n是 一次 函数。
11.2 反比例函数的图像与性质(3)
2m 2、如图，是反比例函数 y x 的图象的
一支． (1)函数图象的另一支在第几象限？ (2)求常数m的取值范围． (3)点A（－3，y1）、B（－1，y2）、C（2 ，y3）都在这个反比例函数的图象上，比 y 较y1、y2和y3的大小．
O
x
k y 3、已知反比例函数 x 与一次函数 y=mx+b的图象交于P(－2,1)和Q（1，n） 两点． (1) 求k、n的值； (2) 求一次函数y=mx+b的解析式． (3) 求△POQ的面积．
2a 4、已知反比例函数y1 =和一次点P（a，2a）． (1) 求a与k的值； (2) 在同一坐标系中画出这两个函数的 图象； (3) 若两函数图象的另一个交点是 Q(0.5，4)，利用图象指出：当x为何值 时，有y1﹥y2?
谈谈你这一节课有哪些收获．
x
（2）根据题意，可知x＞0．
10 反比例函数 y＝ （ x＞0）的图像是其在第一 x
象限的一支．
k 例2、已知反比例函数 y＝ 的图像与一次函数 x y＝x＋1 的图像的一个交点的横坐标是－3 .
（1）求k的值，并画出这个反比例函数的图像；
（2）根据反比例函数图像，指出当x＜－1时，
y的取值范围.
初中数学 八年级(下册)
11.2
反比例函数的图像与性质（3）
1．如图，是反比例函数 y＝ m－3 的图像的一支．
x
（1）函数图像的另一支在第几象限？ y （2）求常数m的取值范围．
O
x
复习：反比例函数图像的性质
3 2．已知点A、B在反比例函数 y 的图像上，若A x （3， y1 ），B (5， y2 )，比较 y1 、 y 2 的大小．
复习：反比例函数图像的性质
反比例函数的图像和性质
反比例函数的图像和性质反比例函数是数学中的一种基本函数类型，其图像和性质具有一定的特点。
本文将从图像和性质两个方面进行论述。
一、图像反比例函数的基本形式为y=k/x，其中k为常数，且k不等于0。
根据函数的定义域和值域，可得反比例函数的图像具有如下特点：1. 对称轴：对于反比例函数y=k/x来说，其对称轴为y轴和x 轴，即函数图像关于y轴和x轴对称。
2. 渐近线：反比例函数的图像会与y轴、x轴以及非对称轴（y=k/x中对称轴为y轴和x轴）形成三条渐近线。
当x趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值趋近于0；当y趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值趋近于0。
3. 图像形状：反比例函数的图像呈现双曲线的形状，即左右两侧趋近于无穷大而且不相交。
二、性质除了图像特点外，反比例函数还具有以下性质：1. 变化趋势：反比例函数的特殊之处在于当自变量x增大时，因为分母逐渐增大，所以函数值y会逐渐减小；反之，当x减小时，函数值y会逐渐增大。
2. 强调比值关系：反比例函数中，自变量和因变量之间存在着比值关系。
当自变量增大或减小时，因变量的大小相应呈现相反的变化。
3. 零点和定义域：反比例函数在定义域内除了零点x=0外，它的函数值不为零。
定义域一般为除零点的所有实数。
4. 单调性：反比例函数在定义域内通常是单调的，当自变量增大时，因变量会单调减小；当自变量减小时，因变量会单调增大。
5. 特殊情况：当反比例函数中的常数k为正数时，其图像位于第一象限和第三象限；当k为负数时，图像位于第二象限和第四象限。
这决定了函数图像关于原点的对称性。
综上所述，反比例函数的图像呈现双曲线的形状，具有对称轴、渐近线等特点。
同时，反比例函数的性质包括变化趋势、比值关系、零点和定义域、单调性以及特殊情况等。
在实际问题中，反比例函数具有广泛的应用，比如经济学中的供需关系、物理学中的电阻和电流关系等。
通过研究反比例函数的图像和性质，可以更好地理解和应用数学知识。
反比例函数的图像及性质
解题技巧归纳
判断函数类型
通过观察函数表达式，判断其是否为反比例 函数。
利用对称性
利用反比例函数图像的对称性，可以简化一 些复杂问题的求解过程。
分析图像特征
根据 $k$ 的正负判断双曲线所在的象限， 并理解其增减性。
结合其他知识点
在解题过程中，可能需要结合一次函数、二 次函数等其他知识点进行综合分析。
表达式
反比例函数的一般表达式为y=k/x（ k≠0），其中k是比例系数，x是自变 量，y是因变量。
自变量取值范围
由于分母不能为0，因此反比例函数 的自变量x不能为0，即x的取值范围 是x≠0。
反比例函数的定义域是除去使分母为0 的点以外的所有实数。
函数值变化规律
当x>0时，随着x的增大，y的值逐渐减小，但永远不会等于0；当x<0时 ，随着x的减小，y的值逐渐增大，也永远不会等于0。
综合应用探讨
解决问题类型
反比例函数和一次函数在解决实际问题时具有广泛的应用。例如，反比例函数可用于描述速度、密度等物理量之间的 关系；一次函数则可用于描述线性增长或下降的问题，如直线运动、均匀变化等。
建模方法
在建立反比例函数和一次函数的模型时，需要根据问题的实际背景和条件，确定函数的表达式和参数。通过比较和分 析不同函数的图像和性质，可以选择最合适的函数模型来描述问题的本质和规律。
反比例函数的图像及性质
汇报人：XXX 2024-01-22
contents
目录
• 反比例函数基本概念 • 反比例函数图像特征 • 反比例函数性质分析 • 反比例函数应用举例 • 反比例函数与一次函数比较 • 总结回顾与拓展延伸
01
反比例函数基本概念
定义与表达式
反比例函数反比例函数的图象与性质
2023-11-06
contents
目录
• 反比例函数概述 • 反比例函数的图象 • 反比例函数的性质 • 反比例函数的应用 • 反比例函数的扩展知识
01
反比例函数概述
反比例函数的定义
反比例函数定义
一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数 。
反比例函数的积分特性
反比例函数在区间(-∞,0)和(0,+∞) 上的积分等于常数k。
VS
反比例函数在区间(-∞,x)和(x,+∞)上 的积分等于常数k乘以x。
04
反比例函数的应用
用反比例函数解决实际问题
电力分布
在电力分布问题中，常常 需要使用反比例函数来计 算电力的分布情况，以便 合理规划电力设施。
反比例函数的定义域和值域
定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}。
反比例函数的单调性
在区间(-∞,0)和(0,∞)上单调递减。
反比例函数的基本形式
反比例函数的基本形式
01
一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。Biblioteka 反比例函数的解析式02
反比例函数通常被表示为y = k / x的形式，其中k是常数且不
热传导
在热传导中，可以使用反比例函数 来描述热量在介质中的传导规律。
在几何中的应用
圆的面积
在计算圆的面积时，可以使用 反比例函数来描述圆的面积与
半径之间的关系。
球的体积
在计算球的体积时，可以使用 反比例函数来描述球的体积与
半径之间的关系。
光线反射
在光线反射问题中，可以使用 反比例函数来描述光线反射的
反比例函数的图象与性质定
奇偶性
反比例函数是奇函数，因为对于所 有 x，都有 f(-x) = -f(x)。
无界性
由于反比例函数的值域为 y ≠ 0 和 y ≠ -∞，因此其图象在 x = 0 处无 界。
反比例函数的性质
01
02
03
分母不为零
反比例函数的分母不能为 零，因此其定义域为 x ≠ 0。
无界性
反比例函数的值域为 y ≠ 0 和 y ≠ -∞，因此其图象 在 x = 0 处无界。
当$x<0$时，反比例函数的图象位于 第三象限，与直线$y=kx+b$相交于 一点，这一点也是它们的切点。
与二次函数的关系
二次函数是形如 $y=ax^2+bx+c$的函数，其 中$a, b, c$是常数且$a neq 0$
。
反比例函数的图象是一个双曲 线，分布在第一和第三象限。
二次函数的图象是一个抛物线 ，可以开口向上或向下。
反比例函数的图象与性质
目 录
• 反比例函数概述 • 反比例函数的图象特点 • 反比例函数的性质分析 • 反比例函数的应用 • 反比例函数与其他函数的关系 • 反比例函数的扩展知识
01 反比例函数概述
反比例函数的定义
反比例函数定义
反比例函数的值域
反比例函数是一种数学函数，其定义 为 f(x) = k/x，其中 k 是常数且 k ≠ 0。
磁场强度与电流
在电磁学中，磁场强度与电流之间的关系可以用反比例函数 描述，通过分析反比例函数的特性，可以研究电磁感应和电 磁波的传播。
与其他数学知识的结合
代数方程
反比例函数可以与其他代数方程 结合，用于解决代数问题，例如 求解代数方程的根或解决代数不 等式问题。
反比例函数图像和性质
VS
化学反应中的浓度问题
在某些化学反应中，反应物的浓度与反应 时间可能成反比例关系。可以利用反比例 函数来分析这种关系，并求解相关问题， 如反应速率、反应时间等。
05
反比例函数与其他类型函数关系探讨
与一次函数关系
反比例函数与一次函数的交点
在某些特定条件下，反比例函数和一次函数可能会有交点。这些交点可以通过解方程组 来找到。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
反比例函数定义：形如 $y = frac{k}{x}$ （$k$ 为常数 ，$k neq 0$）的函数称为反比例函数。
反比例函数性质
当 $k < 0$ 时，在每个象限内，随着 $x$ 的增大， $y$ 值逐渐增大。
反比例函数图像：反比例函数的图像是双曲线，且以原 点为对称中心。当 $k > 0$ 时，双曲线位于第一、三 象限；当 $k < 0$ 时，双曲线位于第二、四象限。
图像法
通过观察反比例函数的图像，可以发 现其关于原点对称，这也是奇函数的 一个特征。
周期性讨论
周期性定义
周期函数是指函数在某个特定的非零周期长度内重复出现的性质。对于反比例函数，由于其图像不呈 现周期性变化，因此不是周期函数。
非周期性证明
可以通过反证法证明反比例函数的非周期性。假设反比例函数是周期函数，那么在其周期内应该存在 两个相同的点，但是根据反比例函数的定义和性质，这是不可能的。因此，反比例函数不是周期函数 。
变速直线运动
在某些情况下，物体做变速直线运动时，其速度与时间也可能成反比例关系。同样可以利用反比例函数来进行分 析和求解。
浓度问题建模与求解
溶液稀释问题
在溶液稀释过程中，溶质的质量与溶液 的体积成反比例关系。可以通过反比例 函数来描述这种关系，并求解相关问题 ，如稀释后的浓度、所需溶质的质量等 。
反比例函数的图像与性质
反比例函数的图像与性质反比例函数是一种常见的数学函数类型，其图像非常有特点，具有一些独特的性质。
本文将介绍反比例函数的图像及其性质，以帮助读者更好地理解和应用这一函数类型。
一、反比例函数的图像反比例函数的一般形式可以表示为 y = k/x，其中 k 为非零常数。
根据这个函数形式，我们可以研究其图像及其性质。
1. 关于 y 轴和 x 轴的对称性：我们可以观察到反比例函数的图像关于 y 轴和 x 轴均具有对称性。
也就是说，如果一个点 (x, y) 在反比例函数的图像上，那么点 (-x, y)、(x, -y)、(-x, -y) 也会在图像上。
2. 渐近线：对于反比例函数 y = k/x，当 x 趋近于 0 时，y 趋于正无穷大或负无穷大。
也就是说，反比例函数的图像会有两个垂直于 x 轴的渐近线，分别位于第一象限和第三象限。
这两条渐近线可以用方程 x = 0 和 y =0 来表示。
3. 变化趋势：反比例函数的图像随着 x 的增大而逐渐趋向于 x 轴正半轴，随着 x的减小而逐渐趋向于x 轴负半轴。
换句话说，当x 趋近于正无穷大时，y 趋于 0；当 x 趋近于负无穷大时，y 也趋于 0。
这一性质可以通过直观的图像来观察和理解。
二、反比例函数的性质除了图像特点外，反比例函数还具有一些性质，对于解题和实际应用有重要意义。
下面我们将介绍一些常见的性质。
1. 定义域和值域：反比例函数 y = k/x 的定义域为除了 x=0 外的所有实数，值域也为除了 y=0 外的所有实数。
这是因为 0 不能作为分母。
2. 增减性：当 x1<x2 时，对于反比例函数，由于 x1 和 x2 在同一侧相对于 0，所以可以推出 y1 和 y2 在同一侧相对于 0。
也就是说，反比例函数在定义域内的不同点上具有相同的增减性。
3. 零点：反比例函数的零点为x=0，即在坐标系的原点处。
当x 不等于零时，反比例函数的值不会等于零，因此没有其他零点。
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常州市中天实验学校八年级数学学案 NO . 61
11.2反比例函数图像与性质（3）
班级： 姓名：
一. 学习目标：
1. 反比例函数关系系中比例系数k 的几何意义；
2. 利用反比例函数图象的性质解决问题.
二.自学指导：
（1）如下图，反比例函数2y x
=第一象限图像上有一点B ，横坐标为1，过点B 作BA ⊥x 轴与点A ，作BC ⊥y 轴与点C ，①点B 的坐标为 ；②四边形ABCO 为 形；③四边形ABCO 的面积为 ；④若点B 在此函数图像上随意滑动，过点B 作BA ⊥x 轴与点A ，作BC ⊥y 轴与点C ，则四边形ABCO 的面积为 ；⑤若点B 在此函数另一象限图像上随意滑动，过点B 作BA ⊥x 轴与点A ，作BC ⊥y 轴与点C ，则四边形ABCO 的面积为 ；
思考：反比例函数()0k y k x
=≠图像上有一点B 在此函数图像上随意滑动，过点B 作BA ⊥x 轴与点A ，作BC ⊥y 轴与点C ，四边形ABCO 的面积为 ；
（2）思考：如上图，反比例函数()0k y k x
=≠图像上有一点A 在此函数图像上随意滑动，过点A 作AB ⊥y 轴与点B ，连接AO ，则△ABO 的面积为 ；
三.自学检测：
1.如图是三个反比例函数312,,k k k y y y x x x =
==在x 轴上方的图象，由此观察得到k 1，k 2，k 3的大小关系为（ ）
A ．k 1＞k 2＞k 3
B ．k 3＞k 2＞k 1
C ．k 2＞k 3＞k 1
D ．k 3＞k 1＞k 2 2.如图，P 是双曲线上一点，图中的阴影部分的面积为3，则此反比例函数的解析式为 .
第1题
3.如图，A 、B 两点在4y x =
图像上，分别过A 、B 两点向轴作垂线段，S 阴影=1，则S 1+S 2= . 4.已知反比例函数6y x
=在第一象限的图象如图，点A 在其图象上，点B 为x 轴正半轴上一点，连接AO 、AB ，且AO =AB ，则S △AOB = .
5.如图，A ，B 是函数1y x
=的图象上关于原点O 的任意一对对称点，AC 平行于y 轴，BC 平行 于x 轴，△ABC 的面积为S ，则S = .
8．已知反比例函数与矩形ABCD 交于点M 、N ，连接OM ，ON ，M （3，2），S 四边形OMBN =6，求反比例函数的解析式及B 点、N 点的坐标．
编号：61 11.2反比例函数图像与性质（3）当堂训练 2017. 5.22
班级： 姓名：
1．如图2，在函数()10y x x
=>的图象上有三点A 、B 、C ．过这三点分别向x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x 轴、y 轴围成的矩形的面积分别为A B C S S S 、、，则（ ）
A ．A
B
C S S S >> B ．A B C S S S << C ．A C B S S S <<
D ．A B C S S S ==
4．如图，反比例函数y x =-的图象与直线3
y x =-的交点为A ，B ，过点A 作y 轴的平行线与过点B 作x 轴的平行线相交于点C ，则△ABC 的面积为 ． 5．如图，函数与函数1y =的图象交于A 、C 两点，AB ⊥x 轴于B ，则△ABC 的面积6. 如图，在Rt △AOB 中，∠ABO =90°，OB =4，AB =8，且反比例函数()0y k x
=≠在第一象限内的图象分别交OA 、AB 于点C 和点D ，连结OD ，若S △BOD =4，（1）求反比例函数解析式；（2）求C 点坐标．。