反比例函数图像与性质
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第14讲 反比例函数的性质及其图象
， 该函数的图象就不经过此点， 四个选项中只有D不符合．
考点二、反比例函数表达式的确定
确定解析式的方法仍是待定系数法。由于在反比例函 数y=k/x中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或 图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析 式。
对于反比例函数y=3/x，下列说法正确的是（ ） A．图象经过点（1，-3） B．图象在第二、四象限 C．x＞0时，y随x的增大而增大 D．x＜0时，y随x增大而减小 解析： A.∵反比例函数y=3/x，
在x轴的正半轴上，若点D在
（x＜0）
【考点】反比例函数图象
上点的坐标特征；平行四 边形的性质．
完成过关测试：第
题.
完成课后作业：第
题.
故答案为：没有实数根.
小结：此题综合考查了反比例函数的图象与性质、一 元二次方程根的判别式.注意正确判定a的取值范围是 解决问题的关键.
【例题2】（2016·深圳市）如图，四边形ABCO是平行四
边形，OA=2，AB=6，点C在x轴的负半轴上，将▱ABCO
绕点A逆时针旋转得到▱ADEF，AD经过点O，点F恰好落
正比例函数y=6x的图象与反比例函数y=6/x的图象的交点
位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第一、三象限
解析：
【例题1】关于x的反比例函数 y a 4 的图象如
x
图，A，P为该图象上的点，且关于原点成中心对
称．△PAB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于
点B．若△PAB的面积大于12，则关于x的方程 a 1 x2 x 1 0 的根的情况是 没有实数根 ．
∴xy=3，故图象经过点（1，3），故此选项错误； B.∵k＞0，∴图象在第 一、三象限，故此选项错误； C.∵k＞0，∴x＞0时，y随x增大而减小，故此选项错误； D.∵k＞0，∴x＜0时，y随x增大而减小，故此选项正确．
考点二、反比例函数表达式的确定
确定解析式的方法仍是待定系数法。由于在反比例函 数y=k/x中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或 图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析 式。
对于反比例函数y=3/x，下列说法正确的是（ ） A．图象经过点（1，-3） B．图象在第二、四象限 C．x＞0时，y随x的增大而增大 D．x＜0时，y随x增大而减小 解析： A.∵反比例函数y=3/x，
在x轴的正半轴上，若点D在
（x＜0）
【考点】反比例函数图象
上点的坐标特征；平行四 边形的性质．
完成过关测试：第
题.
完成课后作业：第
题.
故答案为：没有实数根.
小结：此题综合考查了反比例函数的图象与性质、一 元二次方程根的判别式.注意正确判定a的取值范围是 解决问题的关键.
【例题2】（2016·深圳市）如图，四边形ABCO是平行四
边形，OA=2，AB=6，点C在x轴的负半轴上，将▱ABCO
绕点A逆时针旋转得到▱ADEF，AD经过点O，点F恰好落
正比例函数y=6x的图象与反比例函数y=6/x的图象的交点
位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第一、三象限
解析：
【例题1】关于x的反比例函数 y a 4 的图象如
x
图，A，P为该图象上的点，且关于原点成中心对
称．△PAB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于
点B．若△PAB的面积大于12，则关于x的方程 a 1 x2 x 1 0 的根的情况是 没有实数根 ．
∴xy=3，故图象经过点（1，3），故此选项错误； B.∵k＞0，∴图象在第 一、三象限，故此选项错误； C.∵k＞0，∴x＞0时，y随x增大而减小，故此选项错误； D.∵k＞0，∴x＜0时，y随x增大而减小，故此选项正确．
反比例函数的图像及性质
解题技巧归纳
判断函数类型
通过观察函数表达式，判断其是否为反比例 函数。
利用对称性
利用反比例函数图像的对称性，可以简化一 些复杂问题的求解过程。
分析图像特征
根据 $k$ 的正负判断双曲线所在的象限， 并理解其增减性。
结合其他知识点
在解题过程中，可能需要结合一次函数、二 次函数等其他知识点进行综合分析。
表达式
反比例函数的一般表达式为y=k/x（ k≠0），其中k是比例系数，x是自变 量，y是因变量。
自变量取值范围
由于分母不能为0，因此反比例函数 的自变量x不能为0，即x的取值范围 是x≠0。
反比例函数的定义域是除去使分母为0 的点以外的所有实数。
函数值变化规律
当x>0时，随着x的增大，y的值逐渐减小，但永远不会等于0；当x<0时 ，随着x的减小，y的值逐渐增大，也永远不会等于0。
综合应用探讨
解决问题类型
反比例函数和一次函数在解决实际问题时具有广泛的应用。例如，反比例函数可用于描述速度、密度等物理量之间的 关系；一次函数则可用于描述线性增长或下降的问题，如直线运动、均匀变化等。
建模方法
在建立反比例函数和一次函数的模型时，需要根据问题的实际背景和条件，确定函数的表达式和参数。通过比较和分 析不同函数的图像和性质，可以选择最合适的函数模型来描述问题的本质和规律。
反比例函数的图像及性质
汇报人：XXX 2024-01-22
contents
目录
• 反比例函数基本概念 • 反比例函数图像特征 • 反比例函数性质分析 • 反比例函数应用举例 • 反比例函数与一次函数比较 • 总结回顾与拓展延伸
01
反比例函数基本概念
定义与表达式
反比例函数的图象和性质
P(a,b)
X>0
例5.已知函数y=k/x 的图象如下右图，则y=k x-2 的图象大致是（ D ）
y y o (B) y y o x x y o x x
(A)
o
x
o
(C)
(D)
练一练
1.所受压力为F (F为常数且F≠ 0) 的物体，所受压 强P与所受面积S的图象大致为（ B）
P （A） P （B） O P （C） O S O （D） S S
8. 如图点Ｐ 是反比例函数y= 4/x 的图象上的任意 点，PA垂直于x轴，设三角形AOP的面积为S，则 Ｓ＝_____
4 2
P
-5
O
A
5
-2
9。已知反比例函数y =k/x 和一次函数 y=kx+b 的图象都经过点（2，1） （1）分别求出这个函数的解析式 （2）试判断是A（-2， -1）在哪个函数的图象上 （3）求这两个函数的交点坐标
P C
A B
o Q x
1.5 8 1 1、反比例函数y , y , y 的共同点是 （ C） x x 4x (A)图像位于同样的象限 (B)自变量取值是全体实数 (C)图像都不与坐标轴相交 (D)函数值都大于0
2、以下各图表示正比例函数y=kx与反比例函数 y y o (B) x o (C)
y
0
y x
0
x
如果两个变量x,y之间的关系可以表示成 （k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例 函数，其中自变量不能为0。
y
k x
函数名称
函数解 析式和 自变量 取值范 围
正比例函数 y=kx(k≠0，k是 常数) x取一切实数 K>0 K<0 y x o y随着x 增大而 减小 x o
反比例函数的图像和性质
y
A S1 B
A. B. C. D.
S1 S1 S3 S1
= < < >
S2 S2 S1 S2
= S3 < S3 < S2 >S3
C
o
S2 S3 A1 B1 C1
x
7.如图，过平面直角坐标系中的x轴上的整数 点1、2、3、4、5作x轴的垂线，分别交反比例函数 D、E作y轴的垂线。则图中阴影部分的面积是___.
1 4.如图在坐标系中，直线y=x+ 2
k与ห้องสมุดไป่ตู้
4.如图，点A、C是反比例函数
的图
像上的任意两点，过点A作x轴的垂线，过点C 作y轴的垂线，连接OA、OC，设Rt△OAB和 Rt△OCD（O为坐标原点）的面积分别是M和N， y 则M、N的大小关系是（ ） A.M>N B.M<N C.M=N D.M和N的大小关系不能确定.
S1
A
B
o
S2
x
C
D
1 5. .如图, 在 y ( x > 0 )的图像上有三点 A , B , C , x 经过三点分别向 x 轴引垂线 , 交 x 轴于 A1 , B1 , C 1 三点 , 边结 OA , OB , OC , 记 OAA 1 , OBB 1 , OCC 1的 面积分别为 S 1 , S 2 , S 3 , 则有 __ .
3 2
5 D. 2
y A D C O B
x
例1.如图：一次函数y=ax+b的图象与 k 反比例函数y= x 交于M （2，m） 、N （1，-4）两点。（1）求反比例函数和一次 函数的解析式；（2）根据图象写出反比 例函数的值大于一次函数 y 的值的x的取值范围。
A S1 B
A. B. C. D.
S1 S1 S3 S1
= < < >
S2 S2 S1 S2
= S3 < S3 < S2 >S3
C
o
S2 S3 A1 B1 C1
x
7.如图，过平面直角坐标系中的x轴上的整数 点1、2、3、4、5作x轴的垂线，分别交反比例函数 D、E作y轴的垂线。则图中阴影部分的面积是___.
1 4.如图在坐标系中，直线y=x+ 2
k与ห้องสมุดไป่ตู้
4.如图，点A、C是反比例函数
的图
像上的任意两点，过点A作x轴的垂线，过点C 作y轴的垂线，连接OA、OC，设Rt△OAB和 Rt△OCD（O为坐标原点）的面积分别是M和N， y 则M、N的大小关系是（ ） A.M>N B.M<N C.M=N D.M和N的大小关系不能确定.
S1
A
B
o
S2
x
C
D
1 5. .如图, 在 y ( x > 0 )的图像上有三点 A , B , C , x 经过三点分别向 x 轴引垂线 , 交 x 轴于 A1 , B1 , C 1 三点 , 边结 OA , OB , OC , 记 OAA 1 , OBB 1 , OCC 1的 面积分别为 S 1 , S 2 , S 3 , 则有 __ .
3 2
5 D. 2
y A D C O B
x
例1.如图：一次函数y=ax+b的图象与 k 反比例函数y= x 交于M （2，m） 、N （1，-4）两点。（1）求反比例函数和一次 函数的解析式；（2）根据图象写出反比 例函数的值大于一次函数 y 的值的x的取值范围。
反比例函数的图像及性质
3．某蓄水池的排水管每小时排水8m3，6小时可将满池水全部排空．
（1）蓄水池的容积是多少？
（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到Q（m3），那么将满池水排空所需的时间t（h）将如何变化？
（3）写出t与Q的关系式．
（4）如果准备在5小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？
（5）已知排水管的最大排水量为每小时12m3，那么最少需多长时间可将满池水全部排空？
二、四象限
在每个象限内， 值随 的增大而增大
2.反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出 ）
3．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数 中的两个变量必成反比例关系。
例1:如果函数 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么k的值是多少？
5.点P（2m－3，1）在反比例函数y＝的图象上，则m＝__________．
6.已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（－2，3）则m的值为__________．
7.已知反比例函数 的图象上两点 ，当 时，有＝7，求：
(1)求y和x之间的函数关系式；(2)当x=8时，求y的值；
2.已知反比例函数 的图象经过点（1，-2），则这个函数的图象一定经过（）
A、（2，1）B、（2，-1）C、（2，4）D、（-1，-2）
3．在同一直角坐标平面内，如果直线 与双曲线 没有交点，那么 和 的关系一定是（）
A. + =0B. · <0C. · >0D. =
4.反比例函数y＝的图象过点P（－1.5，2），则k＝________．
（1）求矩形OABC的面积S1；
（2）作类似矩形OA1B1C1，求矩形OA1B1C1的面积S2；
（1）蓄水池的容积是多少？
（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到Q（m3），那么将满池水排空所需的时间t（h）将如何变化？
（3）写出t与Q的关系式．
（4）如果准备在5小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？
（5）已知排水管的最大排水量为每小时12m3，那么最少需多长时间可将满池水全部排空？
二、四象限
在每个象限内， 值随 的增大而增大
2.反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出 ）
3．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数 中的两个变量必成反比例关系。
例1:如果函数 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么k的值是多少？
5.点P（2m－3，1）在反比例函数y＝的图象上，则m＝__________．
6.已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（－2，3）则m的值为__________．
7.已知反比例函数 的图象上两点 ，当 时，有＝7，求：
(1)求y和x之间的函数关系式；(2)当x=8时，求y的值；
2.已知反比例函数 的图象经过点（1，-2），则这个函数的图象一定经过（）
A、（2，1）B、（2，-1）C、（2，4）D、（-1，-2）
3．在同一直角坐标平面内，如果直线 与双曲线 没有交点，那么 和 的关系一定是（）
A. + =0B. · <0C. · >0D. =
4.反比例函数y＝的图象过点P（－1.5，2），则k＝________．
（1）求矩形OABC的面积S1；
（2）作类似矩形OA1B1C1，求矩形OA1B1C1的面积S2；
反比例函数图象和性质
图 26-1-6
解：∵MN⊥x 轴，点 M(a,1)， ∴S△OMN＝12a＝2，∴a＝4. ∴M(4,1)． ∵正比例函数 y＝k1x 的图象与反比例函数 y＝kx2(x>0)的图 象交于点 M(4,1)， ∴k1＝14，k2＝4×1＝4. ∴正比例函数的解析式是 y＝14x，反比例函数的解析式是 y ＝4x.
足分别为 B，C，则四边形 OBAC 周长的最小值为( A )
A．4
B．3
C．2
D．1
图 26-1-5
解析：要使四边形的周长最小，则需要四边形为正方形，
此时 OB＝AB＝AC＝OC＝1，所以周长为 4.
6．已知：正比例函数 y＝k1x 的图象与反比例函数 y＝kx2(x>0) 的图象交于点 M(a,1)，MN⊥x 轴于点N(如图 26-1-6)，若△OMN 的面积等于 2，求这两个函数的解析式．
(1)反比例函数的增减性不是连续的，因此在 涉及反比例函数的增减性时，一般都是指在各自象限内的增减 情况．
(2)反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由反比例 系数 k 的符号决定的；反过来，由双曲线的位置和函数的增减 性，也可以推断出 k 的符号．
(3)解决反比例函数的相关问题时，往往我们需要画出函数 的大致图象(即草图)采用数形结合的方法，解决问题更直观．
(2)当 k<0 时，由于____x_y_____得负，因此可以判断 x，y 的符号__相__反____，所以点(x，y)在__第__二__或__第__四__象限，所以函数 图象位于___二__、__四___象限．
归纳：反比例函数的图象是_双__曲__线__，它有_两__个__分支． 当 k>0 时，函数图象位于____一__、__三____象限； 当 k<0 时，函数图象位于____二__、__四____象限．
解：∵MN⊥x 轴，点 M(a,1)， ∴S△OMN＝12a＝2，∴a＝4. ∴M(4,1)． ∵正比例函数 y＝k1x 的图象与反比例函数 y＝kx2(x>0)的图 象交于点 M(4,1)， ∴k1＝14，k2＝4×1＝4. ∴正比例函数的解析式是 y＝14x，反比例函数的解析式是 y ＝4x.
足分别为 B，C，则四边形 OBAC 周长的最小值为( A )
A．4
B．3
C．2
D．1
图 26-1-5
解析：要使四边形的周长最小，则需要四边形为正方形，
此时 OB＝AB＝AC＝OC＝1，所以周长为 4.
6．已知：正比例函数 y＝k1x 的图象与反比例函数 y＝kx2(x>0) 的图象交于点 M(a,1)，MN⊥x 轴于点N(如图 26-1-6)，若△OMN 的面积等于 2，求这两个函数的解析式．
(1)反比例函数的增减性不是连续的，因此在 涉及反比例函数的增减性时，一般都是指在各自象限内的增减 情况．
(2)反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由反比例 系数 k 的符号决定的；反过来，由双曲线的位置和函数的增减 性，也可以推断出 k 的符号．
(3)解决反比例函数的相关问题时，往往我们需要画出函数 的大致图象(即草图)采用数形结合的方法，解决问题更直观．
(2)当 k<0 时，由于____x_y_____得负，因此可以判断 x，y 的符号__相__反____，所以点(x，y)在__第__二__或__第__四__象限，所以函数 图象位于___二__、__四___象限．
归纳：反比例函数的图象是_双__曲__线__，它有_两__个__分支． 当 k>0 时，函数图象位于____一__、__三____象限； 当 k<0 时，函数图象位于____二__、__四____象限．
反比例函数的图像和性质ppt课件
7、若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在
反比例函数 y = - 1 0 0 的图象上，则（
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
）
A、y1>y2>y3 C、y3>y1>y2
B、y2>y1>y3 D、y3>y2>y1
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
已知点A(2,y1)， B（5,y2)C是（反-3比,y例3)函是数y 象上的两点．请比较y1,y2的,y大3的小大．小．
4 x
图
y
⑴代入求值
y1 A B
-3 y2 O2 5
C y3
⑵利用增减性
⑶根据图象判断
x
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
1、反比例函数y= - 5 的图象大致是（ D ）
y
x
y
A：
o
x
B：
o
x
y
C：
o
x
D：
y
o x
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
2、我校食堂有5吨煤，用y表示可以用的天数
，用x表示每天的烧煤量，则y关于x的函数的
10
１、这几个函数图象有 8 什么共同点？
２、函数图象分别位于 6 哪几个象限？
4
３、y随的x变化有怎
反比例函数的性质及图像
反比函数的图像是在一个坐标轴上有两根相互对称的曲线而组成，性质分别为：①单调性、②面积、③图想表达、④对称性。
反比例函数图像：
具体性质：
①单调性：反比函数是具有单调性的，当函数内容k大于零的时候，图像分别位于第一三象限，而在每一个象限的内部，从左往右来数，y是随着x的增大而减少，如果K小于零的时候，图像分别位于第二四象限，在每一个象限的内部，y随着x的增大而增大。
当K大于零的时候，函数在x小于零上是一个减函数，而在x大于零的时候，也是为减函数。
在k小于零的时候，函数在x小于零上为增函数，在x大于零的时候同为增函数。
②面积：在一个反比例函数上面取两个点，这两个点可以随意的取，然后过点分别做一个x轴和
一个y轴的平行线，而这个平行线是可以和坐标轴围成一个矩形，而这一个矩形的面积为绝对值得K。
而在反比例函数上，找到一个点，向X/Y轴分别做一个垂线，设置一个围好的矩形，而这个矩形则为QOWM，这个垂线分别位于y轴和x轴，则围成形状的这个面积为绝对值得K，则连接这个矩形的对角线为OM，则满足RT△OMQ的面积等于二分之一绝对值得K。
③图像表达：对于反比例函数的图像来说的话，不和x轴或者是y轴的相交渐近线为x轴和y轴，K值相等的反比例函数图像是相互重合的，k值不相等的反比例函数图像是永远都不会相交的，而绝对值得K越大的话，反比例函数距离坐标轴就会越来越远。
④对称性：反比例函数是一种中心对称的图形，对称中心是原点，而正是这样的一个反比例函数的图像也是轴对称图形，随意反比例函数上的点是关于原点坐标对称的，图像关于原点对称。
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速度x(km/h)的函数，则这个函数的图象大致是（ C ）
6.反比例函数y= - 5的图象大致是（ D ）
y
x
y
A：
o
x
B：
o
x
y C：
o
x
D：
y o
x
7.已知 k<0, 则函数 y1=kx, y2=
k
x
在同
一坐标系中的图象大致是 ( D )
y
y
(A)
(B)
x
0
x
y
y
(C)
(D)
0
x
0
x
8.如图，函数y=k/x 和y=－kx+1(k≠0)在
-7
-8
归纳总结
反比例函数的图象既是轴对称 图形又是中心对称图形. 对称轴有两条:y=x和y=-x,对
称中心是原点.
相信自己，我能行
1、函数 y 20的图象在第___一__、__三_象限,
x
在每一象限内，y 随x 的增大而_____减__小__.
2、 函数 y 30的图象在第___二__、__四_象限,
y2与y3的大小关系(从大到小)
为 y3 ＞y1＞.y2
y
-2 -1y3 o
A B
yy12
C
4x
考点：反比例函数关于面积问题
设P(m, n)是双曲线y k (k 0)上任意一点,有 : x
(1)过P作x轴的垂线, 垂足为A, 则
SOAP
1 2
OA
AP
1 2
|
m
|•
|
n
|
1 2
|
k
|
面积性质 （一）
解： 1．列表：
x
y4 x
… -8
-4
-3
-2
-1
1 2
…
…
1 2
-1 4 -2 3
-4-8Βιβλιοθήκη …1 2184
2 2
3
4 3
4 1
8
1 2
列表(在自变量取值范围内取一些值,并计算相应的函数值)
x
-8
-4
-3
-2
-1
1 2
1 2
1
2
3
4
8
y
1 2
-1
4 3
-2
-4 y -8
8
4
2
4 3
1
1 2
描点
8● 7 6 5 4● 3
教学重点：通过观察图象，概括反比例函数图象的共同特 征，探索 反比例函数的主要性质.
教学难点：从反比例函数的图象中归纳总结反比例函数的 主要性质.
例题
请画出函数 y = —4x 的图象。
思考：
（1）还记得作函数图象的三个步骤是什么？
列表、描点、连线。
注意： ① x≠0 ②列表时自变量 取值易于计算, 易于描点
x
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
将反比例函数的图象绕原点旋转180度后, 能与原来的图象重合吗?
y
y=4/x
o
x
思考：反比例函数是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？
y
8
7
y=x
6
5
4
3
-8 –7–6 –5–4 –3 -2-1 O-21 1 2 3 4 5 6 7 8
x
-2
-3
-4
-5 -6
y=-x
同一坐标系内的图象大致是 （ D）
6y
6y
4
4
2
2
-5
O
A-2
-4
5x
-5
O
B -2
-4
6y
4 2
6y
4 2
5 x 先假设某个函数 图象已经画好， 再确定另外的是否 符合条件.
-5
O
5
x
-5
-2
C
-4
O
D
5
x
-2
-4
9都.已在知反点比例A(函-2数,y1),B(y-1,4xy2的),C图(4象,y上3) ,则y1、
y4 x
2
●
1
● ●
●
连线
-8●–7–6 –5–4 –3 -2-1 O 1 2 3 4 5 6 7 8
●
-1
●
x
● -2
-3
● -4
-5
-6
-7
-●8
你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？
1.列表时,自变量的值可以选取一些互为相反数的值,这 样既可简化计算,又便于对称性描点;
2.列表描点时,要尽量多取一些数值,多描一些点,这样 既可以方便连线,又较准确地表达函数的变化趋势;
y
P(m,n)
y
oA
x
P(m,n)
oA
x
(2)过P分别作x轴, y轴的垂线,垂足分别为A, B, 则S矩形OAPB OA AP | m | • | n || k | (如图所示).
面积性质（二）
y
y
B
P(m,n)
oA
x
B
P(m,n)
oA
x
y
y
o
x
o
x
(1)
(2)
7.如图所示:双曲线y=k/x上有一点
-3 -4 -5 -6
1 2 ．3 4. ．5 6 x . .
．
．
驶向胜 利的彼
岸
反比例函数的 图象和性质
y4 x
-10
-5
反比例函数的图象是 由两支双曲线组成的. 因此称反比例函数的 图象为双曲线;
10
１、这两个函数图
象有什么共同点？
8
２、函数图象分别
6
位于哪几个象限？
4
y4 x
３、y随的x变化 有怎样的变化？
3.连线时一定要养成按自变量从小到大的顺序，依次 用平滑的曲线连接,从中体会函数的增减性；
4.图象是延伸的，注意不要画成有明确端点。 5.曲线的发展趋势只能靠近坐标轴,但不能和坐标轴 相交.
2．画出函数 y = -x—4 的图象
. y
6
y4 x
5
.4
3
．
． ．.
2 1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2
质
一、三象限，在每个 二、四象限，在每个 象限内，y随x的增大 象限内，y随x的增大
而减小.
而增大.
当k>0时,在每
y X=1时，y=4 8 X=2时, y=2
一象限内,y随 x的增大而减 小
7 X=4时， y=1
6
5 4
y4
3
x
2
-8 –7–6 –5–4 –3 -2-1 O-1 1 2 3 4 5 6 7 8
与坐标轴围成的矩形面积是2,k=__2__
8.如图所示:双曲线y=k/x上 有一点向x轴做垂线并与原点 相连所得直角三角形面积是2,
反比例函数的图象和性质
y
0
x
y
0
x
什么叫反比例函数 ？ 它有几种
表示方法
y
k x
或y
k x1或x y
k(k
0)
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条 直线,称直线y=kx+b.
反比例函数的图象又是什么形状呢？
教学目标：
1.让学生掌握画反比例函数的图象. 2.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反 比例函数的主要性质. 3.通过对图象性质的研究，训练学生的探索能力和语言组 织能力.
2
5
10
-2
当k>0时,两支双曲线分
-4
位于第一,三象限内; -6 当k<0时,两支双曲线分别
位于第二,四象限内;
-8
反比例函数的图象和性质：
1.反比例函数的图象是双曲线;
2.图象性质见下表：
y= k
K>0
K<0
x
图 象
当k＞0时，函数图象 当k＜0时，函数图象
性 的两个分支分别在第 的两个分支分别在第
x
在每一象限内，y 随x 的增大而____增__大___.
3、函数 y ,当x>0时,图象在第__一__象限,
x
y随x 的增大而___减__小____.
4.若关于x,y的函数
y k＋1 图象位于第一、三象限， x
则k的取值范围是____k_>__－__1______
5.甲乙两地相距100km，一辆汽车从甲地开往乙地， 把汽车到达乙地所用的时间y(h)表示为汽车的平均
6.反比例函数y= - 5的图象大致是（ D ）
y
x
y
A：
o
x
B：
o
x
y C：
o
x
D：
y o
x
7.已知 k<0, 则函数 y1=kx, y2=
k
x
在同
一坐标系中的图象大致是 ( D )
y
y
(A)
(B)
x
0
x
y
y
(C)
(D)
0
x
0
x
8.如图，函数y=k/x 和y=－kx+1(k≠0)在
-7
-8
归纳总结
反比例函数的图象既是轴对称 图形又是中心对称图形. 对称轴有两条:y=x和y=-x,对
称中心是原点.
相信自己，我能行
1、函数 y 20的图象在第___一__、__三_象限,
x
在每一象限内，y 随x 的增大而_____减__小__.
2、 函数 y 30的图象在第___二__、__四_象限,
y2与y3的大小关系(从大到小)
为 y3 ＞y1＞.y2
y
-2 -1y3 o
A B
yy12
C
4x
考点：反比例函数关于面积问题
设P(m, n)是双曲线y k (k 0)上任意一点,有 : x
(1)过P作x轴的垂线, 垂足为A, 则
SOAP
1 2
OA
AP
1 2
|
m
|•
|
n
|
1 2
|
k
|
面积性质 （一）
解： 1．列表：
x
y4 x
… -8
-4
-3
-2
-1
1 2
…
…
1 2
-1 4 -2 3
-4-8Βιβλιοθήκη …1 2184
2 2
3
4 3
4 1
8
1 2
列表(在自变量取值范围内取一些值,并计算相应的函数值)
x
-8
-4
-3
-2
-1
1 2
1 2
1
2
3
4
8
y
1 2
-1
4 3
-2
-4 y -8
8
4
2
4 3
1
1 2
描点
8● 7 6 5 4● 3
教学重点：通过观察图象，概括反比例函数图象的共同特 征，探索 反比例函数的主要性质.
教学难点：从反比例函数的图象中归纳总结反比例函数的 主要性质.
例题
请画出函数 y = —4x 的图象。
思考：
（1）还记得作函数图象的三个步骤是什么？
列表、描点、连线。
注意： ① x≠0 ②列表时自变量 取值易于计算, 易于描点
x
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
将反比例函数的图象绕原点旋转180度后, 能与原来的图象重合吗?
y
y=4/x
o
x
思考：反比例函数是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？
y
8
7
y=x
6
5
4
3
-8 –7–6 –5–4 –3 -2-1 O-21 1 2 3 4 5 6 7 8
x
-2
-3
-4
-5 -6
y=-x
同一坐标系内的图象大致是 （ D）
6y
6y
4
4
2
2
-5
O
A-2
-4
5x
-5
O
B -2
-4
6y
4 2
6y
4 2
5 x 先假设某个函数 图象已经画好， 再确定另外的是否 符合条件.
-5
O
5
x
-5
-2
C
-4
O
D
5
x
-2
-4
9都.已在知反点比例A(函-2数,y1),B(y-1,4xy2的),C图(4象,y上3) ,则y1、
y4 x
2
●
1
● ●
●
连线
-8●–7–6 –5–4 –3 -2-1 O 1 2 3 4 5 6 7 8
●
-1
●
x
● -2
-3
● -4
-5
-6
-7
-●8
你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？
1.列表时,自变量的值可以选取一些互为相反数的值,这 样既可简化计算,又便于对称性描点;
2.列表描点时,要尽量多取一些数值,多描一些点,这样 既可以方便连线,又较准确地表达函数的变化趋势;
y
P(m,n)
y
oA
x
P(m,n)
oA
x
(2)过P分别作x轴, y轴的垂线,垂足分别为A, B, 则S矩形OAPB OA AP | m | • | n || k | (如图所示).
面积性质（二）
y
y
B
P(m,n)
oA
x
B
P(m,n)
oA
x
y
y
o
x
o
x
(1)
(2)
7.如图所示:双曲线y=k/x上有一点
-3 -4 -5 -6
1 2 ．3 4. ．5 6 x . .
．
．
驶向胜 利的彼
岸
反比例函数的 图象和性质
y4 x
-10
-5
反比例函数的图象是 由两支双曲线组成的. 因此称反比例函数的 图象为双曲线;
10
１、这两个函数图
象有什么共同点？
8
２、函数图象分别
6
位于哪几个象限？
4
y4 x
３、y随的x变化 有怎样的变化？
3.连线时一定要养成按自变量从小到大的顺序，依次 用平滑的曲线连接,从中体会函数的增减性；
4.图象是延伸的，注意不要画成有明确端点。 5.曲线的发展趋势只能靠近坐标轴,但不能和坐标轴 相交.
2．画出函数 y = -x—4 的图象
. y
6
y4 x
5
.4
3
．
． ．.
2 1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2
质
一、三象限，在每个 二、四象限，在每个 象限内，y随x的增大 象限内，y随x的增大
而减小.
而增大.
当k>0时,在每
y X=1时，y=4 8 X=2时, y=2
一象限内,y随 x的增大而减 小
7 X=4时， y=1
6
5 4
y4
3
x
2
-8 –7–6 –5–4 –3 -2-1 O-1 1 2 3 4 5 6 7 8
与坐标轴围成的矩形面积是2,k=__2__
8.如图所示:双曲线y=k/x上 有一点向x轴做垂线并与原点 相连所得直角三角形面积是2,
反比例函数的图象和性质
y
0
x
y
0
x
什么叫反比例函数 ？ 它有几种
表示方法
y
k x
或y
k x1或x y
k(k
0)
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条 直线,称直线y=kx+b.
反比例函数的图象又是什么形状呢？
教学目标：
1.让学生掌握画反比例函数的图象. 2.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反 比例函数的主要性质. 3.通过对图象性质的研究，训练学生的探索能力和语言组 织能力.
2
5
10
-2
当k>0时,两支双曲线分
-4
位于第一,三象限内; -6 当k<0时,两支双曲线分别
位于第二,四象限内;
-8
反比例函数的图象和性质：
1.反比例函数的图象是双曲线;
2.图象性质见下表：
y= k
K>0
K<0
x
图 象
当k＞0时，函数图象 当k＜0时，函数图象
性 的两个分支分别在第 的两个分支分别在第
x
在每一象限内，y 随x 的增大而____增__大___.
3、函数 y ,当x>0时,图象在第__一__象限,
x
y随x 的增大而___减__小____.
4.若关于x,y的函数
y k＋1 图象位于第一、三象限， x
则k的取值范围是____k_>__－__1______
5.甲乙两地相距100km，一辆汽车从甲地开往乙地， 把汽车到达乙地所用的时间y(h)表示为汽车的平均