黑龙江省宾县一中2019-2020学年高一数学上学期第二次月考试题理[带答案]
黑龙江省哈尔滨市宾县一中2019-2020学年高一上学期第二次月考数学(理)试题(解析版)
数 学 试 卷(理)一、选择题（每题5分，共计60分）1.已知集合A ＝{x|log 2x<1}，B ＝{x|0<x<c}，若A∪B＝B ，则c 的取值范围是( ) A. (0,1] B. [1，＋∞) C. (0,2] D. [2，＋∞)【答案】D 【解析】 【分析】化简集合A,B ，根据A∪B＝B 可知A ⊆B ，利用数轴可得出c 的范围.【详解】A ＝{x|log 2x<1}＝{x|0<x<2}，因为A∪B＝B ，所以A ⊆B ，所以c≥2，所以c∈[2，＋∞)，故选D. 【点睛】本题主要考查了集合的子集、并集运算，属于中档题.2.函数2211()2x x y +-=的值域是（ ） A. （－∞，4） B. （0，＋∞） C. （0,4] D. [4，＋∞）【答案】C 【解析】试题分析：22221121(1)220()42x x t x x x +-=+-=+-≥-⇒<≤,故选C.考点：函数的值域.3.下列函数中，在()1,1-内有零点且单调递增的是（ ） A.12log y x=B. 21xy =-C. 212y x =-D. 3y x =-【答案】B 【解析】【详解】选项A 零点为1，错误； 选项C 中212y x =-在()1,1-不是增函数；选项D 中，单调递减；只有B 在()1,1-内有零点且单调递增． 故选B.4.已知函数y ＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：则函数y ＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个【答案】B 【解析】 【分析】根据零点存在性定理，判断函数值的符号，然后判断函数零点个数即可．【详解】依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)上均至少含有一个零点，故函数y ＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个．【点睛】本题主要考查函数零点个数的判断，用二分法判断函数的零点的方法，比较基础． 5.设方程10lg()xx =-的两个根分别为12,x x ，则 A. 120x x < B. 120x x = C. 121x x > D. 1201x x <<【答案】D 【解析】 【分析】对应函数的定义域为(,0)-∞，两个根分别为12,x x ，则120,0x x <<得到120x x <，再根据12lg()x x 的范围得到121x x <，得到答案【详解】10lg()xx =-则(,0)x ∈-∞两个根分别为12,x x ，则120,0x x <<得到120x x <. 设12x x >则：1110lg()x x =--，2210lg()xx =-两式相减得：212112121010lg()lg()lg()0lg11x x x x x x x x =-+-=<=⇒<-故1201x x << 故答案选D【点睛】本题考查了方程的解的范围，将解代入方程做减法是解题的关键. 6.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）A. ln(2)y x =+B. y =C. 1()2xy = D. 1y x x=+【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，函数y =1()2xy =在区间(0,)+∞上为减函数；函数1y x x=+在区间(0,)+∞上先减后增的函数，故选A ．考点：函数的单调性．7.设函数()f x 为偶函数，当()0,x ∈+∞时，()2log f x x =，则(f =（ ） A. 12-B.12C. 2D. 2-【答案】B 【解析】试题分析：由于函数()f x 为偶函数,因此,应选B.考点：函数的奇偶性和对数的运算．8.已知函数()2221,021,0x x x f x x x x ⎧+-≥=⎨--<⎩，则对任意12,x x R ∈，若210x x >>，下列不等式成立的是（ ） A. ()()120f x f x +> B. ()()120f x f x +< C. ()()120f x f x -> D. ()()120f x f x -<【答案】D 【解析】由题意及解析式画分段函数图形：有图可以知道该函数图形关于y 轴对称是偶函数，()()()()1122,f x f x f x f x ∴==，且在()0,x ∈+∞为单调递增函数，又对任意12,x x R ∈，若120,x x <<∴必有()()21f x f x >，由于为偶函数，∴等价于与()()21f x f x >，即()()120f x f x -<，故选D.9.已知定义在R 上的奇函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (x 2－2x ＋a )＜f (x ＋1)对任意的x ∈[－1,2]恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A. 13(,)4-∞ B. (－∞，－3)C. (－3，＋∞)D. 13(,)4+∞ 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数()f x 为R 上奇函数以及在[)0,+∞上的单调性，判断出()f x 在R 上的单调性，由此化简()()221f x x a f x -+<+，对a 分离常数，结合x 的取值范围，求得a 的取值范围.【详解】由于函数()f x 为R 上的奇函数，且在[)0,+∞上单调递减，所以()f x 在R 上单调递减.由()()221f x x a f x -+<+得221x x a x -+>+，即231a x x >-++在区间[]1,2-上恒成立.由于231y x x =-++的开口向下，对称轴为[]31,22x =∈-，所以231y x x =-++在32x =处取得最大值为134.所以134a >. 故选：D.【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性解函数不等式，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于基础题.10.函数()()y f x x R =∈的图象如下图所示，则函数()()(log )01a g x f x a =<<的单调减区间是（ ）A. 1[0]2，B. 1]C. 1(,0)[,)2-∞⋃+∞D.【答案】B 【解析】的【分析】根据复合函数单调性的同增异减原则,结合()()y f x x R =∈和log a y x=图象来判断()()(log )01a g x f x a =<<调减区间.【详解】函数()()(log )01a g x f x a =<<()g x 由函数()y f t =与函数log a t x =复合而成∴ 01a <<,故log a t x =在其定义域上单调递减而由复合函数单调性的同增异减原则,函数()y f t =递增时,原函数递减，所以102t ≤≤，即10l og 2ax ≤≤，解得1x ≤≤ 故选B.【点睛】本题考查了由复合函数单调性求参数范围,解题的关键在于掌握复合函数单调性的同增异减原则.11.已知函数f(x)＝－x 2＋2，g(x)＝log 2|x |，则函数F(x)＝f(x)·g(x)的图象大致为( )A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】由题意得函数()()()F x f x g x =为偶函数，根据函数()F x 的性质及函数值的正负可得所求的图象． 【详解】由题意得，函数()(),f x g x 为偶函数，∴函数()()()F x f x g x =为偶函数，其图象关于y 轴对称， 故只需考虑0x >时的情形即可．由函数()(),f x g x 的取值情况可得，当0x >时，函数()F x 的取值情况为先负、再正、再负， 所以结合各选项得B 满足题意．故选B ．【点睛】已知函数的解析式判断函数图象的形状时，可从函数的定义域、函数值、函数的性质（单调性、奇偶性、对称性等）以及特殊值等几个方面入手考虑，经过排除的方法逐步得到所求的图象． 12.已知函数f (x )＝x 2＋e x－ 12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln (x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A. (-∞ B. (-∞C. )+∞ D. )+∞【答案】B 【解析】 【分析】先求得()f x 关于y 轴对称得到的函数表达式()h x ，根据()h x 与()g x 在()0,∞+上有公共点，由()()h x g x =变为两个函数图像在()0,∞+上有交点，来求得a 的取值范围.【详解】()()2102xf x x e x =+-<关于y 轴对称得到的函数为()()2102x h x x e x -=+->，依题意可知()h x 与()g x 在()0,∞+上有公共点，由()()h x g x =得()221ln 2x x e x x a -+-=++，()11ln 2x x a e =++. 对于函数1x y e=，在()0,∞+上单调递减，且()0,1y ∈.对于函数()1ln 2y x a =++，在()0,∞+上单调递增.当0a ≤时，1ln 2x +的图像向右平移a 个单位得到()1ln 2y x a =++，与1x y e=图像在()0,∞+上必有1个交点.当0a >时，1ln 2x +的图像向左平移a 个单位得到()1ln 2y x a =++，要使()1ln 2y x a =++与1x y e=图像在()0,∞+上有交点，则需当0x =时（也即y 轴上），()1ln 2y x a =++的函数值小于1x y e=的函数值，即0111ln ,ln 22a a e +<<，解得0a <<综上所述，a 的取值范围是(-∞. 故选：B.【点睛】本小题主要考查函数的图像的对称关系，考查两个函数图像有交点的问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题（每题5分，共计20分）13.已知函数f (x )＝,0(1),0x e k x k x k x ⎧-≤⎨-+>⎩是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是________． 【答案】1[,1)2【解析】 由题意可知010112k k e k k ->⎧∴≤<⎨-≤⎩，故答案为1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 14.已知函数f (x )＝|3log x |，实数m ，n 满足0＜m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝________. 【答案】9. 【解析】 分析】先分析得到f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，再分析得到0＜m 2＜m ＜1，则f (x )在[m 2，1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增，再根据函数的单调性得到m,n 的值，即得解. 【详解】因为f (x )＝|log 3x |＝33log ,01log ,1x x x x -<<⎧⎨≥⎩,所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0＜m ＜n 且f (m )＝f (n )，可得33011log log m n n m<<⎧⎪>⎨⎪=-⎩,则0111m n mn <<⎧⎪>⎨⎪=⎩,所以0＜m 2＜m ＜1， 则f (x )在[m 2，1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增，所以f (m 2)＞f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2，解得m ＝13，则n ＝3，所以nm ＝9.故答案9【点睛】本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的单调性的应用和最值的求法，意在 考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.15.函数2ln(2)()1x x f x x -=-的定义域为_______． 【答案】(0，1)∪(1，2) 【解析】 分析】由对数式的真数大于0，分式的分母不等于0联立不等式组求得答案．【详解】要使原函数有意义，则22010x x x ＞⎧-⎨-≠⎩，解得：0＜x ＜2，且x ≠1．∴函数f （x ）=()221ln x x x --的定义域为：（0，1）∪（1，2）．故答案为（0，1）∪（1，2）．【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．16.已知函数213,1(){log ,? 1x x x f x x x -+≤=>，()1g x x k x =-+-，若对任意的12,R x x ∈，都有12()()f x g x ≤成立，则实数k 的取值范围为 . 【答案】34k ≤或54k ≥ 【解析】试题分析：对任意的12,R x x ∈，都有12()()f x g x ≤成立，即max min ()()f x g x ≤.观察213,1(){log ,? 1x x x f x x x -+≤=>的图象可知，当12x =时，函数max ()f x =14；因为()1(1)1g x x k x x k x k =-+-≥---=-， 所以min ()1,g x k =- 所以，114k -≥，解得34k ≤或54k ≥， 故答案34k ≤或54k ≥．考点：分段函数，对数函数、二次函数的性质.三、解答题（共计60分）17.函数()f x 是定义在R 上的奇函数，(0)0f =，当0x >时，12()log f x x=.（1）求函数()f x 的解析式； （2）解不等式2(1)2f x ->-；【答案】（1）()()1212log ,00,0log ,0x x f x x x x >⎧⎪⎪==⎨⎪--<⎪⎩；（2）(1⎛⎡⎤⋃-⋃ ⎣⎦ ⎝⎭. 【解析】【详解】(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝()12log x －． 因为函数f (x )是奇函数，所以f (－x )＝- f (x )．因此当x <0时， f (x )＝()12log x －． 当x =0时，f (0)=0所以函数f (x )的解析式为()()1212log ,00,0log ,0x x f x x x x >⎧⎪⎪==⎨⎪--<⎪⎩(2)不等式f (x 2－1)>－2可化为，当210x ->时，()212log 12x ->-，解得2014x <-<； 当210x -=时，02>- ，满足条件；当210x -<时，()212log 12x --+>-，解得2114x -<-. 所以，2014x ≤-<或2114x -<- 解得15x ≤<或51x -<≤-或即不等式的解集为(1⎛⎡⎤⋃-⋃ ⎣⎦ ⎝⎭． 18.已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足12()x f x ＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0. (1)证明：f (x )为单调递减函数．(2)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．【答案】（1）见解析（2）-2【解析】【分析】（1）任取任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，进而可得>1，接下来结合已知即可确定1()f x 与2()f x 的大小关系，从而证得结果；（2）由（1）的结论可知()f x 的最小值是(9)f ，接下来结合已知可得9()(9)(3)3f f f =-，据此即可求得(9)f 的值，得到结果.【详解】解：(1)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则>1，由于当x >1时，f (x )<0， 所以f <0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(2)因为f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数，所以f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ＝f (x 1)－f (x 2)得，f ＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.所以f (x )在[2,9]上的最小值为－2.【点睛】该题考查的是有关抽象函数的单调性以及对应函数的最小值的问题，在解题的过程中，需要时刻关注题中的条件，寻找对应的相关的信息，得到相应的式子，求得结果.19.已知函数f (x )＝1112x a ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭x 3(a ＞0，且a ≠1)． （1）讨论f (x )的奇偶性；（2）求a 的取值范围，使f (x )＞0在定义域上恒成立．【答案】（1）函数f (x )是偶函数（2）a ∈(1，＋∞)【解析】【分析】（1）先求函数f (x )的定义域，再判断f (－x )与f (x )是否相等即可得到结果；（2）由f (x )是偶函数可知只需讨论x ＞0时的情况，则有1112x a ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭x 3＞0，从而求得结果. 【详解】（1）由于a x －1≠0，则a x ≠1，得x ≠0，∴函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}．对于定义域内任意x ，有f (－x )＝1112x a -⎛⎫+ ⎪-⎝⎭(－x )3 ＝112x x a a⎛⎫+ ⎪-⎝⎭(－x )3 ＝11112x a ⎛⎫--+ ⎪-⎝⎭(－x )3 ＝1112x a ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭x 3＝f (x )， ∴函数f (x )是偶函数．（2）由（1）知f (x )为偶函数，∴只需讨论x ＞0时的情况，当x ＞0时，要使f (x )＞0， 则1112x a ⎛⎫+⎪-⎝⎭x 3＞0， 即11x a -＋12＞0， 即()121x x a a +-＞0，则a x ＞1. 又∵x ＞0，∴a ＞1.∴当a ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0.【点睛】本题考查判断函数奇偶性的方法和恒成立问题，判断函数的奇偶性先求定义域，再判断f (－x )与f (x )是否相等或者互为相反数，相等即为偶函数，互为相反数则为奇函数，属中档题.20.已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，当[)0,x ∈+∞时，()22f x x x =-. (1)写出函数()y f x =的解析式；(2)若方程()f x a =恰3有个不同的解，求a 的取值范围.【答案】(1) ()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩ (2) ()1,1- 【解析】【分析】（1）由奇函数的定义求解析式，即设0x <，则有x -＞0，利用()f x -可求得()f x ，然后写出完整的函数式；（2）作出函数()f x 的图象，确定()f x 的极值和单调性，由图象与直线y a =有三个交点可得a 的范围．【详解】解：(1)当(),0x ∈-∞时，()0,x -∈+∞，()f x 是奇函数，()()f x f x ∴=--=-()()2222x x x x ⎡⎤---=--⎣⎦()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥∴=⎨--<⎩. (2)当[)0,x ∈+∞时，()()22211f x x x =-=--，最小值为1-； 当(),0x ∈-∞，()()22211f x x x x =--=-+，最大值为1. 据此可作出函数的图象，如图所示，根据图象得，若方程()f x a =恰有3个不同的解，则a 的取值范围是()1,1-.【点睛】本题考查函数奇偶性，考查函数零点与方程根的关系．在求函数零点个数（或方程解的个数）时，可把问题转化为一个的函数图象和一条直线的交点个数问题，这里函数通常是确定的函数，直线是动直线，由动直线的运动可得参数取值范围．21.已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －.(1)若f (x )＝，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）1（2）[－5，＋∞)．【解析】【分析】（1）根据绝对值定义分类讨论，通过解一元二次方程得x 的值；（2）先根据平方关系化简不等式，并变量分离为对应函数最值问题，最后根据指数函数单调性的最值，即得实数m 的取值范围．【详解】解 (1)当x <0时，f (x )＝0，无解；当x ≥0时，f (x )＝2x －， 由2x －＝，得2·22x －3·2x －2＝0， 看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或－，∵2x >0，∴x ＝1.(2)当t ∈[1,2]时，2t＋m ≥0，即m (22t －1)≥－(24t －1)，∵22t －1>0，∴m ≥－(22t ＋1)，∵t ∈[1,2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5]， 故m 的取值范围是[－5，＋∞)．【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.22.已知函数21()log 1ax f x x +=-（a 为常数）是奇函数．（1）求a 的值与函数()f x 的定义域；（2）若当(1,)x ∈+∞时，2()log (1)f x x m +->恒成立．求实数m 的取值范围．【答案】（1）1a =，{}11x x x <->或；（2）(,1]-∞．【解析】【分析】（Ⅰ）直接由奇函数的定义列式求解a 的值，然后由对数式的真数大于0求解x 的取值集合得答案； （Ⅱ）化简f （x ）+log （x ﹣1）为log 2（1+x ），由x 的范围求其值域得答案． 【详解】（1）因为函数21()log 1ax f x x +=-是奇函数，所以()()f x f x -=-， 所以2211log log 11ax ax x x -+=----，即2211log log 11ax x x ax--=++，所以1a =， 令101x x +>-，解得1x <-或1x >， 所以函数的定义域为{}11x x x <->或．（2）22()log (1)log (1)f x x x +-=+，当1x >时，12x +>，所以22log (1)log 21x +>=．因为(1,)x ∈+∞，2()log (1)f x x m +->恒成立，所以1m £，所以m 的取值范围是(,1]-∞．【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质，考查了利用函数的单调性求解不等式，体现了数学转化思想方法，是中档题．。
黑龙江高一高中数学月考试卷带答案解析
黑龙江高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设集合，则 ()A．B．C．D．2.已知数列是等差数列，，则 ()A．B．C．D．3.的内角的对边分别为，若，,则等于（）A．B．2C．D．4.数列满足，则 ()A．B．C．D．5.在中，角的对边分别为，若，则的形状一定 () A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形6.设等差数列的前项和为，若，则的值为 ()A．B．C．D．7.在中，，若点满足，则 ()A．B．C．D．8.等比数列各项均为正数且,则 () A．B．C．D．9.已知等差数列的前项和是，若，，则最大值是 () A．B．C．D．10.在中,角所对边分别为,若成等比数列，且，则 () A．B．C．D．11.如右图所示，从气球测得正前方的河流的两岸的俯角分别为，此时气球的高度是m，则河流的宽度等于()A．mB．mC．mD．m12.定义为个正数的“均倒数”．若数列的“均倒数”，，则（）A．B．C．D．二、填空题1.角的终边过点，则_________．2.在中，,，则=_________．3.已知等差数列,的前项和分别为和,若,则_______．4.设等比数列满足，，则的最大值为__________．三、解答题1.已知等差数列中，且，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列前项和，求的值．2.设中的内角的对边分别是，已知．（Ⅰ）求的周长；（Ⅱ）求．3.已知向量．（Ⅰ）若且，求角；（Ⅱ）若，求函数的最小正周期和单调递增区间．4.等差数列的前项和为．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和．5.在中，内角的对边分别是，满足．（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若且，求的取值范围．6.已知数列中，，数列满足．（Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列中的最大项和最小项，说明理由．黑龙江高一高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.设集合，则 ()A．B．C．D．【答案】D【解析】,所以选D2.已知数列是等差数列，，则 ()A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，由等差数列通项公式可得：，，又，所以，故选A点睛：考察等差数列的通项公式，根据题意先观察条件下角标的关系，先求出d，然后进行解答3.的内角的对边分别为，若，,则等于（）A．B．2C．D．【答案】D【解析】由余弦定理，得,则，即，解得或（舍）.【考点】余弦定理.4.数列满足，则 ()A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知得：，所以依此类推：点睛：本题考察了数列的概念，递推数列，根据已知条件逐步进行计算即可求出结果，注意计算的准确性5.在中，角的对边分别为，若，则的形状一定 ()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】A【解析】利用正弦定理，可转化为：,根据内角和，诱导公式：,联立上述两式可得：,又因为在三角形中，所以,即等腰三角形点睛：考察正弦定理的和三角和差公式应用，主要能学会借助于角化边的技巧以及三角形内角和的特征来进行解答即可6.设等差数列的前项和为，若，则的值为 ()A．B．C．D．【答案】B【解析】因为等差数列的前项和为，所以仍然成等差数列，又，,,,所以,所以：,所以点睛：通过等差数列和的性质可得仍然成等差数列，此结论比较重要也是解题的关键.7.在中，，若点满足，则 ()A．B．C．D．【答案】D【解析】又题得：三角形△ABC中，又，，点睛：本题考查向量的加减法，考查三角形法则，所以学生务必理解此法则，也是解题关键8.等比数列各项均为正数且,则 ()A．B．C．D．【解析】等比数列各项均为正数，，则=点睛：利用等比数列性质若则9.已知等差数列的前项和是，若，，则最大值是 ()A．B．C．D．【答案】C【解析】由等差数列的前n项和的公式可得：故则，故在数列中，当时，，当，所以时，达到最大值点睛：本题考察等差数列的求和公式的性质，要求出前n项和的最大值即要找出数列有多少项正数项即可10.在中,角所对边分别为,若成等比数列，且，则 () A．B．C．D．【答案】B【解析】成等比数可得：，所以.11.如右图所示，从气球测得正前方的河流的两岸的俯角分别为，此时气球的高度是m，则河流的宽度等于()A．mB．mC．mD．m【答案】C【解析】在直角中，，所以，在直角中，，所以,所以河流的宽度，故选C.【考点】三角形的实际应用.12.定义为个正数的“均倒数”．若数列的“均倒数”，，则（）A．B．C．D．【解析】由已知得数列的“均倒数”，可得，则，所以，又，所以=点睛：本题的解题关键是用到了求和的方法之一：列项相消的原理二、填空题1.角的终边过点，则_________．【答案】【解析】根据可得答案2.在中，,，则=_________．【答案】【解析】中，点睛：求出，然后利用向量的坐标运算求解向量的数量积.3.已知等差数列,的前项和分别为和,若,则_______．【答案】【解析】根据等差数列的性质，由.【考点】等差数列的性质.4.设等比数列满足，，则的最大值为__________．【答案】【解析】设等比数列的公比为q,由所以于是当n=3或4时，取到最大值点睛：高考中数列的客观题大多数都是具有小、巧、灵活的特点，求解时要注意方程思想及数列的相关性质的应用，尽量避免小题大做三、解答题1.已知等差数列中，且，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列前项和，求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）设的公差为，由已知条件解出，．所以．（2）由（1）知．由可得，即，解得或，又，故．点睛：借此题主要熟记等差数列的通项公式即可，然后根据求和公式便可轻松解决2.设中的内角的对边分别是，已知．（Ⅰ）求的周长；（Ⅱ）求．【答案】（1）5；（2）【解析】本试题第一问中，利用余弦定理，解得c=2,然后利用三角形的周长公式，可知a+b+c=1+2+2=5；第二问中，解：（Ⅰ）,所以c="2," 的周长为a+b+c=1+2+2=5（Ⅱ）因为a<c,A<C，故A为锐角，，3.已知向量．（Ⅰ）若且，求角；（Ⅱ）若，求函数的最小正周期和单调递增区间．【答案】（1）或（2）周期单调递增区间为．【解析】（1）根据可得得或（2）由得然后根据正弦函数单调区间即可求解试题解析：（1）或或（2）周期单调递增区间为．点睛：解本题关键要熟悉向量的平行的结论，然后结合三角函数化简的公式以及单调区间的求法便可以轻松解决此题4.等差数列的前项和为．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】（1）根据可求得通项（2）根据裂项相消法可得前n项和试题解析：（1）当时，1当时，数列的通项公式为（2）点睛：本题求利用到=，然后结合数列通项公式的特点，考虑对n分奇偶两种情况，结合等差数列和等比数列的求和公式即可求解5.在中，内角的对边分别是，满足．（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若且，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）由已知得化简得 ,故．（2）因为，所以，由正弦定理故-因为，所以，所以．点睛：本题主要运用三角恒等变换，熟练运用三角和差公式以及二倍角公式，然后对求三角形有关边的线性运算的最值问题，通常是利用正弦定理将其转化为角的问题，借助三角函数来进行最值解答，在运算中要注意角度的取值范围.6.已知数列中，，数列满足．（Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列中的最大项和最小项，说明理由．【答案】（I）证明见解析；（II）当时，取得最小值，当时，取得最大值.【解析】（I）因为，，即可得到，得到证明；（II）由（Ⅰ）知，则，设，利用函数的单调性，即可得到结论.试题解析：（Ⅰ）证明：因为，所以又所以数列是以为首项，1为公差的等差数列（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则设，则f（x）在区间和上为减函数．所以当时，取得最小值－1，当时，取得最大值3【考点】等差数列的概念；数列的单调性的应用.。
高一上学期第二次月考数学试卷及答案
高一年级上学期第二次月考数学试题卷时间：120分 总分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（ ） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,52. 函数()ln(1)f x x =+的定义域为（ ）A ．（-1,2）B ．[1,0)(0,2)- C.(1,0)(0,2]- D ．(1,2]-3. 函数3()2f x ax bx a b =++-是奇函数，且其定义域为[34,]a a -，则()f a =（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14.已知直线20x -=，则该直线的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 5. 已知两直线 1:80l mx y n ++=和 2:210l x my +-=，若12l l ⊥且1l 在y 轴上的截距 为-1，则,m n 的值分别为( )A ．2，7B ．0，8C ．－1，2D ．0，－86.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为 ( ) A ．322π B ．324πC ． π24D ．π）（424+ 7. 设αβ，为平面，,a b 为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（ ）A ．//,//,//a b a b αα若则B ．//,,a a b b αα⊥⊥若则C ．//,,,//a b a b αβαβ⊂⊂若则D ．,//,a a b b αα⊥⊥若则 8.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 9.若函数()()()2221f x m x mx m =-+++的两个零点分别在区间()1,0-和()1,2上，则m 的取值范围是（ ）A.11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 11,42⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D.11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 10. 一个机器零件的三视图如图所示，其中侧视图是一个半圆与边长为2的正方形，俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为（ ）A ．34π+B ．38π+C.π384+ D ．π388+11. 如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知△A ′ED 是△AED 绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中错误的是（ ）A ．恒有DE ⊥A ′FB ．异面直线A ′E 与BD 不可能垂直C ．恒有平面A ′GF ⊥平面BCEDD ．动点A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上 12. 设函数()f x 的定义域为D ，若函数()f x 满足条件：存在[],a b D ⊆，使得()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称()f x 为“倍缩函数”.若函数()()2log 2xf x t =+为“倍缩函数”，则t 的取值范围是（ ） A. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C. ()0,1 D.10,2⎛⎤⎥⎝⎦二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13. 设⎩⎨⎧≥-<=-2),1(log ,2,2)(231x x x e x f x ，则))2((f f 的值为 . 14. 用一个平行于正棱锥底面的平面截这个正棱锥,截得的正棱台上、下底面面积之比为1:9,截去的棱锥的高是2cm,则正棱台的高是 cm.15.如图，正方体1111D C B A ABCD -中，AC 交BD 于O ，E 为线段11D B 上的一个动点，则下列结论中正确的有_______． ①AC ⊥平面OBE ②三棱锥E -ABC 的体积为定值③B 1E ∥平面ABD④B 1E ⊥BC 116. 已知函数32log ,03,()1108,3,33x x f x x x x ⎧<<⎪=⎨-+≥⎪⎩若存在实数,,,a b c d ，满足()()()()f a f b f c f d ===，其中0d c b a >>>>，则abcd 的取值范围为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分10分) 已知全集U R = ，1242x A x⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，{}3log 2B x x =≤. （1）求AB ；（2）求()U C AB .O18. (本小题满分12分)(1)已知直线l 过点(1,2)A ，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积是4，求直线l 的方程．(2)求经过直线1:2350l x y +-=与2:71510l x y ++=的交点．且平行于直线230x y +-=的直线方程．19.(本小题满分12分)已知直线1:310l ax y ++=，2:(2)0l x a y a +-+=． （1）当l 1//l 2，求实数a 的值；（2）直线l 2恒过定点M ，若M 到直线1l 的距离为2，求实数a 的值．20. (本小题满分12分) 如图，△ABC 中，2AC BC AB ==，四边形ABED 是边长为a 的正方形，平面ABED ⊥平面ABC ，若G F 、分别是EC BD 、的中点．(1)求证：//GF ABC 平面；(2) BD EBC 求与平面所成角的大小21. (本小题满分12分) 如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PD 平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，BD AD PD AB BAD ====∠，，，3260，O 为AC 与BD 的交点，E为棱PB 上一点.（1）证明：平面⊥EAC 平面PBD ；（2）若EB PE 2=，求二面角B AC E --的大小.22. (本小题满分12分) 对于函数()f x 与()g x ，记集合{}()()f g D x f x g x >=>. （1）设()2,()3f x x g x x ==+，求集合f g D >；（2）设121()1,()()31,()03xx f x x f x a h x =-=+⋅+=，若12f h f h D D R >>⋃=，求实数a 的取值范围.答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)C C B A B CD C C A B A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13. 2 14. 4 15. ①②③ 16.（21，24）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分10分)解：{}12A x x =-<< ， B {}09B x x =<≤ ·······················4分 （1）{}02A B x x =<< ····································································6分 （2）{}19AB x x =-<≤ ，(){1UC A B x x =≤-或9}x > .·····10分18. (本小题满分12分)(1)解析：解法一 设l ：y －2＝k (x －1)(k <0)， 令x ＝0，y ＝2－k .令y ＝0，x ＝1－2k ，S ＝12(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k ＝4， 即k 2＋4k ＋4＝0. ∴k ＝－2，∴l ：y －2＝－2(x －1)，即l ：2x ＋y －4＝0.···················6分解法二 设l ：x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧12ab ＝4，1a ＋2b ＝1.a 2－4a ＋4＝0?a ＝2，∴b ＝4.直线l ：x 2＋y4＝1. ∴l ：2x ＋y －4＝0.(2)联立，解得．设平行于直线 x +2y ﹣3=0的直线方程为 x +2y +n=0．把代入上述方程可得：n=﹣．∴要求的直线方程为：9x +18y ﹣4=0．···········12分 19.(本小题满分12分)(1)a=3,或a=-1(舍)··························4分 (2)M(-2,-1)···································8分2=得a=4··················12分20. (本小题满分12分)(1)证明： 连接EA 交BD 于F ， ∵F 是正方形ABED 对角线BD 的中点， ∴F 是EA 的中点， ∴FG ∥AC .又FG ?平面ABC ，AC ?平面ABC ，∴FG ∥平面ABC .··················6分 (2)∵平面ABED ⊥平面ABC ，BE ⊥AB ，∴BE ⊥平面ABC .∴BE ⊥AC .又∵AC ＝BC ＝22AB ， ∴BC ⊥AC ， 又∵BE ∩BC ＝B ， ∴AC ⊥平面EBC . 由(1)知，FG ∥AC ， ∴FG ⊥平面EBC ，∴∠FBG 就是线BD 与平面EBC 所成的角．又BF ＝12BD ＝2a 2，FG ＝12AC ＝2a 4，sin ∠FBG ＝FG BF ＝12.∴∠FBG ＝30°. ························12分 21. (本小题满分12分)解：（1）∵⊥PD 平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ，∴PD AC ⊥. ∵60,=∠=BAD BD AD ，∴ABD ∆为正三角形，四边形ABCD 是菱形， ∴BD AC ⊥，又D BD PD = ，∴⊥AC 平面PBD ，而⊂AC 平面EAC ，∴平面⊥EAC 平面PBD .·········································6分 （2）如图，连接OE ，又（1）可知AC EO ⊥，又BD ⊥AC ，∴EOB ∠即为二面角B AC E --的平面角， 过E 作PD EH ∥，交BD 于点H ，则BD EH ⊥， 又31,33,3,2,2=====OH EH PD AB EB PE ，在EHO RT ∆中，3tan ==∠OHEHEOH ，∴ 60=∠EOH ， 即二面角B AC E --的大小为60.·································································12分 22. (本小题满分12分)解：（1） 当0≥x 得3,32>∴+>x x x ； ······················2分当1320-<∴+>-<x x x x ，时，得 ················4分()()∞+⋃-∞-=∴>，31,g f D ··············5分(2) ()⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+⋅+=∞+=>>013)31(,121xxh f h f a x D D ， ·······7分 R D D h f h f =⋃>>21 ， ∴ (]1,2∞-⊇>h f D即不等式01331>+⋅+xx a ）（在1≤x 恒成立 (9)分∴ 1≤x 时，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛->x x a )31(91恒成立， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=x x y )31()91( 在1≤x 时最大值为94-， ··················11分故 94->a ·············12分。
黑龙江高一高中数学月考试卷带答案解析
黑龙江高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.集合，集合，则的关系是（）A．B．C．D．2.集合，则（）A．B．C．D．3.下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A．，B．,C．,D．,4.某城市出租车起步价为10元，最长可租乘3km(含3km)，以后每1km为1.6元（不足1km，按1km计费），若出租车行驶在不需等待的公路上，则出租车的费用y(元)与行驶的里程x（km）之间的函数图象大致为（）5.设是集合的映射，其中，,且，则中元素的象和中元素的原象分别为（）A．, 0 或2B． 0 , 2C． 0 , 0或2D． 0 , 0或6.已知函数，，当时，，的值分别为（）A．1 , 0B．0 , 0C． 1 , 1D．0 , 17.已知函数在上是减函数，则的取值范围是（）A．B．C．或D．8.设是上的任意函数，则下列叙述正确的是（）A．是奇函数B．是奇函数C．是偶函数D．是偶函数9.设奇函数在上为增函数，且，则不等式解集为（）A．B．C．D．10.设函数上满足以为对称轴，且在上只有，试求方程在根的个数为（）A．803个B．804个C．805个D．806个二、填空题1.若，则函数的定义域为 ____________；2.已知奇函数在上为增函数，在上的最大值为8，最小值为-1.则____________；3.若关于的不等式解集为，则的取值范围是____________；4.若关于的不等式的解集为，其中，则关于的不等式的解集为____________.三、解答题1.解不等式：2.设函数，判断在上的单调性，并证明.3.设集合，集合.（1）若，求的值；（2）若，求的值.4.已知函数，若在上的最大值为，求的解析式.5.已知是定义在上的奇函数，且，若时，有成立.（1）判断在上的单调性，并证明；（2）解不等式：；（3）若当时，对所有的恒成立，求实数的取值范围.黑龙江高一高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.集合，集合，则的关系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】本试题主要考查了集合间的关系的运用。
黑龙江省哈尔滨市宾县一中2019届高三上学期第二次月考理数试卷Word版含答案
三、解答题： （本大题共 6 小题，共 70 分 解答应写出文字说明，证明过 程或演算步骤． ）
17．（本大题满分 10 分）
(1) 已知 sin 3 cos 2 sin
sin3
5cos3 4
3cos3 5
sin3
的值
3 ,求 2
1 sin
(2) 化简
1 sin
1 sin
, 其中 为第三象限角
1 sin
10 ． 设 集 合
5
C.
3
2
D.
3
M { x x sin n , n Z} 3
2
，则满足条件
33 P { , } M 的集合 P 个数
22
A． 1
B． 3
C． 4
（）
11 设 f ' x 为定义在 R 上的函数 f x 的导函数 , 且 f ' x
D． 8
fx 0
x
恒成立 , 则
A. 3 f 4 4 f 3 B. 3 f 4 4 f 3 C. 3 f 3 4 f 4
范围是
15. 已知 cos 75ห้องสมุดไป่ตู้
1
且
180
3
cos 15
__________
90 , 则
16 已知函数 f ( x) a ln x 1 x2(a 0) 若对任意两个不相等的正实数 2
x1 、 x2 都有 f (x1) f ( x2) 2 恒成立 , 则 a的取值范围是 __________
x1 x2
D. 3 f 3 4 f 4
12．定义在 R 上的偶函数 f (x) 满足 f (2 x) f (x) ，且在 [ 3, 2] 上是
减函数， , 是钝角三角形的两个锐角，则下列结论正确的是
黑龙江省宾县一中2019_2020学年高一数学上学期第二次月考试题理
黑龙江省宾县一中2019-2020学年高一数学上学期第二次月考试题理一、选择题（每题5分,共计60分）1.已知集合A ＝{x |log 2x ＜1},B ＝{x |0＜x ＜c },若A ∪B ＝B ,则c 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1,＋∞)C ．(0,2]D ．[2,＋∞)2.函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x x 221＋－的值域是( )A ．(－∞,4)B ．(0,＋∞)C ．(0,4]D ．[4,＋∞)3．下列函数中,在(－1,1)内有零点且单调递增的是( )A ．y ＝log 12x B ．y ＝2x －1C ．y ＝x 2－12D ．y ＝－x 34．已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的曲线,且有如下的对应值表：则函数y A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个5.设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1,x 2,则( )A ．x 1x 2＜0B ．x 1x 2＝0C ．x 1x 2＞1D ．0＜x 1x 2＜16．下列函数中,在区间(0,＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x7.设函数f (x )为偶函数,当x ∈(0,＋∞)时,f (x )＝log 2x ,则f (－2)＝() A ．－12 B.12C ．2D ．－28．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x ＜0，则对任意x 1,x 2∈R,若0＜|x 1|＜|x 2|,下列不等式成立的是( )A ．f (x 1)＋f (x 2)＜0B ．f (x 1)＋f (x 2)＞0C ．f (x 1)－f (x 2)＞0D ．f (x 1)－f (x 2)＜09.已知定义在R 上的奇函数f (x )在[0,＋∞)上单调递减,若f (x 2－2x ＋a )＜f (x ＋1)对任意的x ∈[－1,2]恒成立,则实数a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，134 B ．(－∞,－3) C ．(－3,＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫134，＋∞ 10.函数y ＝f (x )(x ∈R)的图象如图所示,则函数g (x )＝f (log a x )(0＜a ＜1)的单调递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 B ．[a ,1]C ．(－∞,0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D ．[a ,a ＋1 ] 11.已知函数f (x )＝－x 2＋2,g (x )＝log 2|x |,则函数F (x )＝f (x )·g (x )的图象大致为( )12.已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点,则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1e B ．(－∞, e) C.⎝⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ D ．( e,＋∞)二、填空题（每题5分,共计20分）13.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x －k ，x ≤0，－k x ＋k ，x >0是R 上的增函数,则实数k 的取值范围是________．14．已知函数f (x )＝|log 3x |,实数m ,n 满足0＜m ＜n ,且f (m )＝f (n ),若f (x )在[m 2,n ]上的最大值为2,则n m ＝________.15.函数f (x )＝x －x 2x －1的定义域为________． 16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1，g (x )＝|x －k |＋|x －1|,若对任意的x 1,x 2∈R,都有f (x 1)≤g (x 2)成立,则实数k 的取值范围为________．一、解答题（共计60分）17.(本题满分10分)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,f (0)＝0,当x >0时,f (x )＝log 12x . (1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)>－2.18. (本题满分12分)已知定义在区间(0,＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2),且当x >1时,f (x )<0.(1)证明：f (x )为单调递减函数．(2)若f (3)＝－1,求f (x )在[2,9]上的最小值．19. (本题满分12分)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a ＞0,且a ≠1)． (1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围,使f (x )＞0在定义域上恒成立．20．(本题满分12分)已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数,当x ∈[0,＋∞)时,f (x )＝x 2－2x .(1)写出函数y ＝f (x )的解析式．(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解,求a 的取值范围．21. (本题满分12分)已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |. (1)若f (x )＝32,求x 的值； (2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立,求实数m 的取值范围．22. (本题满分12分)已知函数f (x )＝log 21＋ax x －1(a 为常数)是奇函数． (1)求a 的值与函数f (x )的定义域；(2)若当x ∈(1,＋∞)时,f (x )＋log 2(x －1)>m 恒成立,求实数m 的取值范围．参考答案1．D2．A3．D4．D5．B6．C7．A8．A9．AD10．AC11．CD12．AC13．；甲； 0.3；14． B 不可以 D15．（1）94m（2）10s≤≤16N F N17．（1）（2）（3）。
2019-2020学年高一数学上学期第二次月考试题(40).doc
2019-2020学年高一数学上学期第二次月考试题(40)一、选择题（每题5分，共60分）1．已知全集{}1,2,3,4U =,集合{}1,2A =,则U A =ð A. {}4 B. {}3,4 C. {}3 D. {}1,3,4 2．已知()()5,6{2,6x x f x f x x -≥=+<，则()3f =（ ）.A. 5B. 4C. 3D. 23．如果奇函数()f x 在[]3,7上是增函数，且最小值是5，那么， ()f x 在[]7,3--上是（ ） A. 增函数，最小值为5- B. 减函数，最大值为5- C. 减函数，最小值为5- D. 增函数，最大值为5-4．如果函数()y f x =的值域为[],a b ，则()1f x +的值域为（ ） A. []1,1a b ++ B. []1,1a b -- C. [],a b D. (),a b5．若函数()2211y x a x =+-+在区间(],2-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. 3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B. 3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ C. 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D. 3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦6．奇函数()f x 在区间[]3,6上是增函数，在区间[]3,6上的最大值为8，最小值为-1，则()()63f f +-的值为（ ）A. 10B. -10C. 9D. 157．已知函数()()221,1{log 4,1x f x xx x <=+≥，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 8．若函数在上的最大值与最小值之和为，则实数的值是（ ） A.B.C. D. 9．已知，且，则函数与的图象可能是（ ）A. B. C. D.10．函数的定义域是（ ） A.B.C.D.11．已知定义域为的偶函数在上是减函数，且，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D.12．若()442xx f x =+，则121000100110011001f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=（ ）A. 1000B. 600C. 550D. 500二、填空题（每题5分，共20分）13．已知()23f x ax bx a b =+++是偶函数，且其定义域为[]1,2a a -，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭=______.．14．若()122xf x a =++是奇函数，则a =__________． 15．__________．16．若，则__________．三、解答题（第17题10分，其它题每题12分， 共70分）17．设集合{}|(21)(2)0A x x m x m =-+-+<，{}|114B x x =≤+≤．（1）若1m =，求A B ；（2）若A B A =，求实数m 的取值集合．18．已知15x x -+=（1）求1122223x xx x --+++的值（2）求22x x --19．已知函数()211x f x x +=+，(1)判断函数在区间［1，+∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)求该函数在区间［1，4］上的最大值与最小值. 20．已知是定义域为的奇函数，且当时，.（1）求的值；（2）求的解析式，并写出函数的单调递增区间.21．已知f （x ）在定义域（0，+∞）上是减函数，已知()32f =-，且对于任意的(),0,x y ∈+∞，都有()()()f xy f x f y =+成立.（1）求()1f 、()27f 的值；（2）若()()274f a f a +->-，求实数a 的取值范围．22．设0≤x≤2,求函数y=-3·2x+5的最大值、最小值.参考答案1．B【解析】∵全集{}1,2,3,4U =,集合{}1,2A = ∴{}3,4U A =ð 故选：B 2．D【解析】由分段函数第二段解析式可知， ()()35f f =,继而()()57f f = 由分段函数第一段解析式()()7752,32f f =-=∴= 故答案选D 3．D【解析】奇函数在定义域及对应定义域上的单调性一致， ()()335f f -=-=-，故选D. 4．C【解析】函数()y f x =的值域为[],a b ,而函数()y 1f x =+是把函数()y f x =向左平移1个单位得到的,纵坐标不变,()1f x +的值域为[],a b .所以C 选项是正确的. 5．B【解析】二次函数对称轴为： 1222a -≥ 解得： 3,2∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦．故选B. 点睛：函数在某个区间上是单调减函数，则要求该区间是原函数的单调减区间的子区间即可． 6．C【解析】由已知得， ()68f =， ()31f =-，又()f x 是奇函数，()()()()()6363819f f f f +-=-=--=，故选C.7．B 【解析】()214,4log 832f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 8．A【解析】依题意函数在上单调，故，解得.9．B 【解析】依题意，由于为正数，且，故单调性相同，所以选.10．C 【解析】,解得且,故选C.11．B【解析】f （x ）是R 的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，所以f （x ）在[0，+∞）上是增函数，所以f （log 2x ）＞2=f （1）⇔f （|log 2x|）＞f （1）⇔|log 2x|＞1； 即log 2x ＞1或log 2x ＜﹣1；解可得x ＞2或 ．故选B ．点睛：根据题意，结合函数的奇偶性、单调性分析可得f （log 2x ）＞2⇔|log 2x|＞1；化简可得log 2x ＞1或log 2x ＜﹣1，解可得x 的取值范围，即可得答案． 12．D【解析】()()1f x f x +- 1144444442424224xxxx x x x--=+=+++++ 4442424x x x =+++⨯424224x x x =+++ 42142x x +==+ 所以121000...100110011001f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭110002999500501...100110011001100110011001f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦5001500=⨯=.故选D.13．1312【解析】由已知得()()f x f x =-⇒ 2233ax bx a b ax bx a b +++=-++ 0b ⇒=⇒()23f x ax a =+ . ()f x 定义域为[]11,2123a a a a a -⇒-=-⇒= ，所以21111133232312f ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 14．13-【解析】由于函数为奇函数，则()1100,33f a a =+==-. 15．【解析】依题意，原式.16．2【解析】根据题意得，，，则.故答案为17．（1）{}|01A B x x =≤<；（2）{}1,2-． 【解析】 试题分析：易得{}|03B x x =≤≤．（1）由1m =⇒{}|11A x x =-<<⇒{}|01A B x x =≤<；（2）A B A =⇒A B ⊆，然后利用分类讨论思想对1m =-、1m >-和1m <-分三种情况进行讨论.试题解析：集合{}|03B x x =≤≤． （1）若1m =，则{}|11A x x =-<<，则{}|01A B x x =≤<．（2）AB A =，∴A B ⊆，当A =∅，即1m =-时，成立； 当A ≠∅，即1m ≠-时，（i ）当1m <-时，(21,2)A m m =--，要使得AB A =，A B ⊆，只要210,23,m m -≥⎧⎨-≤⎩解得152m ≤≤，所以m 的值不存在；（ii ）当1m >-时，(2,21)A m m =--，要使得A B ⊆，只要20,213,m m -≥⎧⎨-≤⎩解得2m =．综上，m 的取值集合是{}1,2-． 考点：集合的基本运算.18．(2) ±【解析】试题分析：(1)利用分数指数幂的性质可得1122x x-+= 2223x x -+=，则所求解的代数式的值为26；(2)整理变形()2122221x x x x ---=+-=，据此可得22x x --=±试题解析：（1）21112227x x x x --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭因为0x >，所以1122x x-+=()212222225,23x x x x x x ---+=++=+=1122223x x x x --+=++（2）()2122221x xx x ---=+-=1x x --=22x x --=±19．（1）见解析；（2）最大值95，最小值32. 【解析】试题分析：（1）设点，作差，定号，下结论即可； （2）利用（1）的结论，根据单调性求最值即可. 试题解析：(1)函数f(x)在［1，+∞)上是增函数. 任取x 1,x 2∈［1,+∞),且x 1<x 2, f(x 1)-f(x 2)=()()121212122x 12x 1x x x 1x 1x 1x 1++--=++++, ∵x 1-x 2<0,(x 1+1)(x 2+1)>0, 所以f(x 1)-f(x 2)<0,即f(x 1)<f(x 2), 所以函数f(x)在［1，+∞)上是增函数.(2)由(1)知函数f(x)在［1，4］上是增函数,最大值()9f 45=,最小值()3f 12=. 点睛：定义法证明函数单调性时常用变形技巧(1)因式分解:当原函数是多项式函数时，作差后的变形通常进行因式分解； (2)通分:当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子进行因式分解； (3)配方:当原函数是二次函数时，作差后可考虑配方，便于判断符号.20．（1）；（2），单调递增区间为.【解析】试题分析：（1）当时，，是定义域为的奇函数，即可求的值；（2）利用奇函数的性质求时的表达式，根据二次函数的性质写出函数的单调递增区间. 试题解析：（1）∵当时，，是定义域为的奇函数，∴；（2）设，则. ∵当时，，∴，∴，单调递增区间为.21．（1）()10f = ； ()276f =－ （2）7922a << 【解析】试题分析：（1）分别赋值给,x y 代入式子()()()f xy f x f y =+可得()10f = ， ()276f =－ ；（2）由()f x 的定义域得72a >；由()()()f xy f x f y =+， ()94f =- 结合()()274f a f a +->- 得()()2279f a a f ->，再根据f x （）在（0,+∞）上是减函数得912a -<<；最后得出7922a << . 试题解析：（1）令1x y == ，则f(1)=2f(1)，即()10f =；令3x y == ，则()()923f f = ，即()94f =－ ； 令39x y ==， ，则()()()()()273924f f f =+=+－－ ，即()276f =－ .（2）()()0,f x +∞的定义域为；07{2702a a a >∴>->解得① ；()()()()94f xy f x f y f =+=-，且，()()()()2274279f a f a f a a f ∴+->-->由得 ；函数f （x ）在（0,+∞）上是减函数 ，2927912a a a ∴-<-<<解得② ；综上所述，由①②得7922a <<. 【点睛】解答本题第一小题的关键是利用赋值法求得正解；第二小题时利用转化化归思想将问题转化为()()2279f a a f ->，再根据函数f x （）的单调性将不等式化为912a -<<，进而求得正解.22．最大值 、最小值 【解析】试题分析:令, 则1≤t≤4 ，所以函数，其对称轴为，所以当时，函数取得最小值，此时；当时，函数取得最大值，此，故函数的最大值和最小值分别为和。
黑龙江省宾县一中2019-2020学年高二上学期第二次月考数学(理)试卷 Word版含答案
数 学 试 卷(理)一、选择题：本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.下列说法错误的是( )A.对于命题01,:2>++∈∀x x R x p ,则01,:0200≤++∈∃⌝x x R x pB.“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件C.若命题q p ∧为假命题,则q p ,都是假命题D.命题“若0232=+-x x ,则1=x ”的逆否命题为：“若1≠x ,则0232≠+-x x ”2. 已知A,B,C 三点不共线,对于平面ABC 外的任一点O,下列条件中能确定点M 与点A,B,C 一定共面的是( )A .OM ++=B .OM --=2C .OC OB OA OM 3121++=D .OC OB OA OM 613121++=3.已知抛物线212y x =的焦点与椭圆2212y x m +=的一个焦点重合,则m =( )A.74B.94C.12764D.129644.设平面α的一个法向量为)2,2,1(1-=n ,平面β的一个法向量为),4,2(2k n --=,若βα//,则=k ( )A.4B. -4C. -2D.25.已知双曲线的方程为19422=-x y ,则下列关于双曲线说法正确的是( )A.虚轴长为4B.焦距为52C.离心率为323D.渐近线方程为032=±y x6.在三棱锥P-ABC 中,PA,PB,PC 两两垂直,且PA=1,PB=2,PC=3,则点P 到三角形ABC 重心G 的距离为( )A. 2B.C. 1D.7.M 是椭圆上一动点,F 1和F 2是左右焦点,由F 2向21MF F ∠的外角平分线作垂线,垂足为N,则N 点轨 迹为( )A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线8.已知四棱锥P ABCD -中,）（），（），，（8-,2,6-AP 0,1,4-AD 3,2-4AB === 则点P 到底面ABCD 的距离为( )A.2B.26 C.1 D.26 9.双曲线22221x y a b -=与椭圆22221x y m b +=(0,0>>>b m a )的离心率互为倒数,那么以m b a ,,为边长的 三角形一定是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形10.如图,正方体1111ABCD A B C D -中,点,M N 分别为棱11,A A B B 的中点,则CM 和1D N 所成角的余弦值为( )A. 19- B.19 C.18- D.1811.已知直线0634:1=+-y x l 和直线1:2-=x l ,抛物线x y 42=上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是( )A.2B.3C.511 D.1637 12.12F F ，分别是双曲线2221(0)4x y b b -=>的左右焦点,过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于B A ，两点.若2ABF ∆为等边三角形,则12BF F ∆的面积为( ) A. 8B. 28C. 38D. 16二、填空题：共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在答题卡相应的位置上.13.在空间中,已知平面α过(3,0,0)和(0,4,0)及z 轴上一点(0,0,a )(a ＞0),如果平面α与平面xOy 的夹角为45°,则a ＝________.14.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,有下列命题: ①()2213AB AB AD AA =++;②()01111=-⋅A A B A C A ;③BA AD 11与的夹角为60°; ④正方体的体积为||1AD AA AB ⋅⋅.其中正确命题的序号是_____.15.如图,若P 为椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 上一点,()0,52-F 为椭圆的焦点,若以椭圆短轴为直径的圆与PF 相切于中点,则椭圆C 的方程为16.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 作圆222x y a +=的切线,切点为E ,延长FE 交双曲线于点P,O 为坐标原点,若)(21OP OF OE +=,则双曲线的离心率为三、解答题：本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)已知命题p ：空间两向量=(1,﹣1,m)与=(1,2,m)的夹角不大于2π；命题q ：双曲线1522=-m x y 的离心率e ∈(1,2).若￢q 与p ∧q 均为假命题, 求实数m的取值范围.18.(本小题满分12分)已知直线L: y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点(异于原点),(1)若直线L 过抛物线焦点,求线段 |AB|的长度；(2)若OA ⊥OB ,求m 的值；19.(本小题满分12分)如图,平面ABDE ⊥平面ABC ,△ABC 是等腰直角三角形,AC ＝BC ＝4,四边形ABDE 是直角梯形,BD ∥AE ,BD ⊥BA ,BD ＝12AE ＝2,O ,M 分别为CE ,AB 的中点.(1)求异面直角AB 与CE 所成角的大小； (2)求直线CD 与平面ODM 所成角的正弦值.20.(本小题满分12分)设直线l ：y=2x ﹣1与双曲线22221x y a b-=(0a >,0b >)相交于A 、B 两个不同的点,且0=⋅(O 为原点).(1)判断2211ba -是否为定值,并说明理由； (2)当双曲线离心率)3,2(∈e 时,求双曲线实轴长的取值范围.21.(本小题满分12分)如图,在四面体ABCD 中,△ABC 是正三角形,△ACD 是直角三角形,∠ABD ＝∠CBD ,AB ＝BD.(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)过AC 的平面交BD 于点E ,若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分,求二面角D -AE-C 的余弦值.22.(本小题满分12分)已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛362,32P 是椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 与抛物线)0(2:2>=p px y E 的一个公共点,且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点F .(1)求椭圆1C 及抛物线E 的方程；(2)设过F 且互相垂直的两动直线21,l l ,1l 与椭圆1C 交于B A ,两点,2l 与抛物线E 交于D C ,两点,求四边形ACBD 面积的最小值.数 学 试 卷(理)答案一、选择题：本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.下列说法错误的是(C )A.对于命题01,:2>++∈∀x x R x p ,则01,:0200≤++∈∃⌝x x R x pB.“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件C.若命题q p ∧为假命题,则q p ,都是假命题D.命题“若0232=+-x x ,则1=x ”的逆否命题为：“若1≠x ,则0232≠+-x x ”2. 已知A,B,C 三点不共线,对于平面ABC 外的任一点O,下列条件中能确定点M 与点A,B,C 一定共面的是( D )A .++=B .--=2C .OC OB OA OM 3121++=D .OC OB OA OM 613121++=3.已知抛物线212y x =的焦点与椭圆2212y x m +=的一个焦点重合,则m =( B )A.74B.94C.12764D.129644.设平面α的一个法向量为)2,2,1(1-=n ,平面β的一个法向量为),4,2(2k n --=,若βα//,则=k ( A ) A.4B. -4C. -2D.25.已知双曲线的方程为19422=-x y ,则下列关于双曲线说法正确的是(D )A.虚轴长为4B.焦距为52C.离心率为323D.渐近线方程为032=±y x6.在三棱锥P-ABC 中,PA,PB,PC 两两垂直,且PA =1,PB =2,PC =3,则点P 到三角形ABC 重心G 的距离为( D )A. 2B.C. 1D.37.M 是椭圆上一动点,F 1和F 2是左右焦点,由F 2向21MF F ∠的外角平分线作垂线,垂足为N,则N 点轨 迹为( B )A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线8.已知四棱锥P ABCD -中, ()4,2,3AB =-uu u r , ()4,1,0AD =-uuu r , ()6,2,8AP =--uu u r,则点P 到底面ABCD 的距离为( A )A.2B.26 C.1 D.26 9.双曲线22221x y a b -=与椭圆22221x y m b +=(0,0>>>b m a )的离心率互为倒数,那么以m b a ,,为边长的 三角形一定是( C )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形10.如图,正方体1111ABCD A B C D -中,点,M N 分别为棱11,A A B B 的中点,则CM 和1D N 所成角的余弦值为( B ) A. 19- B.19 C.18- D.1811.已知直线0634:1=+-y x l 和直线1:2-=x l ,抛物线x y 42=上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是( A )A.2B.3C.511 D.1637 12.12F F ，分别是双曲线2221(0)4x y b b-=>的左右焦点,过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于B A ，两点.若2ABF ∆为等边三角形,则12BF F ∆的面积为(C ) A. 8B. 28C. 38D. 16二、填空题：共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在答题卡相应的位置上.13.在空间中,已知平面α过(3,0,0)和(0,4,0)及z 轴上一点(0,0,a )(a ＞0),如果平面α与平面xOy 的夹角为45°,则a ＝________. a ＝12514.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,有下列命题: ①(1AA AD AB ++uuu r uuu r uu u r )2=32AB uu u r ; ②1AC uuu r ·(111A B A A -uuu u r uuu r)=0; ③11A A D B uuu r uuu r 与的夹角为60°; ④正方体的体积为|1··AD AB AA u uu u r uu r uuu r |.其中正确命题的序号是_____.①②15.如图,若P 为椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 上一点,()0,52-F 为椭圆的焦点,若以椭圆短轴为直径的圆与PF 相切于中点,则椭圆C 的方程为1163622=+y x 16.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 作圆222x y a +=的切线,切点为E ,延长FE 交双曲线于点P,O 为坐标原点,若1()2OE OF OP =+uu u r uu u r uu u r,则双曲线的离心率为三、解答题：本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)已知命题p ：空间两向量=(1,﹣1,m)与=(1,2,m)的夹角不大于2π；命题q ：双曲线1522=-m x y 的离心率e ∈(1,2).若￢q 与p ∧q 均为假命题, 求实数m的取值范围. 17.解：若命题p 为真,则有0,即,解得m ≤﹣1或m ≥1；若命题q 为真,则有1＜＜4,解得：0＜m ＜15；∵￢q 与p ∧q 均为假命题,∴q 为真命题,p 为假命题. 则有,解得0＜m ＜1.故所求实数m 的取值范围是(0,1).18.(本小题满分12分)已知直线L: y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点(异于原点),(1)若直线L 过抛物线焦点,求线段 |AB|的长度； (2)若OA ⊥OB ,求m 的值；18. 答案： (1) m =－2 ,|AB| = 16 (2) m =－819.(本小题满分12分)如图,平面ABDE ⊥平面ABC ,△ABC 是等腰直角三角形,AC ＝BC ＝4,四边第(15)题形ABDE 是直角梯形,BD ∥AE ,BD ⊥BA ,BD ＝12AE ＝2,O ,M 分别为CE ,AB 的中点.(1)求异面直角AB 与CE 所成角的大小； (2)求直线CD 与平面ODM 所成角的正弦值.19.解： (1)∵DB ⊥BA ,平面ABDE ⊥平面ABC ,平面ABDE ∩平面ABC ＝AB ,DB ⊂平面ABDE ,∴DB ⊥平面ABC.∵BD ∥AE ,∴EA ⊥平面ABC.如图所示,以C 为坐标原点,分别以CA ,CB 所在直线为x ,y 轴,以过点C 且与EA 平行的直线为z 轴,建立空间直角坐标系.∵AC ＝BC ＝4,∴C (0,0,0),A (4,0,0),B (0,4,0),E (4,0,4),∴AB →＝(－4,4,0),CE →＝(4,0,4). ∴cos 〈AB →,CE →〉＝－1642×42＝－12,∴异面直线AB 与CE 所成角的大小为π3.(2)由(1)知O (2,0,2),D (0,4,2),M (2,2,0),∴CD →＝(0,4,2),OD →＝(－2,4,0),MD →＝(－2,2,2). 设平面ODM 的法向量为n ＝(x ,y , z ),则由⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥OD →n ⊥MD→,可得⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4y ＝0－2x ＋2y ＋2z ＝0,令x ＝2,则y ＝1,z ＝1,∴n ＝(2,1,1).设直线CD 与平面ODM 所成的角为θ,则sin θ＝|cos 〈n ,CD →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·CD →|n ||CD →|＝3010, ∴直线CD 与平面ODM 所成角的正弦值为3010. 20.(本小题满分12分)设直线l ：y=2x ﹣1与双曲线22221x y a b-=(0a >,0b >)相交于A 、B 两个不同的点,且0=⋅OB OA (O 为原点).(1)判断2211b a -是否为定值,并说明理由； (2)当双曲线离心率)3,2(∈e 时,求双曲线实轴长的取值范围.20.解：(Ⅰ)为定值5.理由如下：y=2x ﹣1与双曲线联立,可得(b 2﹣4a 2)x 2+4a 2x ﹣a 2﹣a 2b 2=0,(b≠2a ),即有△=16a 4+4(b 2﹣4a 2)(a 2+a 2b 2)＞0, 化为1+b 2﹣4a 2＞0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则x 1+x 2=,x 1x 2=,由(O 为原点),可得x 1x 2+y 1y 2=0,即有x 1x 2+(2x 1﹣1)(2x 2﹣1)=5x 1x 2﹣2(x 1+x 2)+1=0,即5•﹣2•+1=0,化为5a 2b 2+a 2﹣b 2=0,即有=5,为定值.(Ⅱ)由双曲线离心率时,即为＜＜,即有2a 2＜c 2＜3a 2,由c 2=a 2+b 2,可得a 2＜b 2＜2a 2,即＜＜,由=5,可得＜﹣5＜,化简可得a ＜,则双曲线实轴长的取值范围为(0,).21.(本小题满分12分)如图,在四面体ABCD 中,△ABC 是正三角形,△ACD 是直角三角形,∠ABD ＝∠CBD ,AB ＝BD.(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)过AC 的平面交BD 于点E ,若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分,求二面角D -AE -C 的余弦值.21.解：(1)证明：由题设可得△ABD ≌△CBD ,从而AD ＝CD.又△ACD 是直角三角形,所以∠ADC ＝90°.取AC 的中点O ,连接DO ,BO ,则DO ⊥AC ,DO ＝AO .又因为△ABC 是正三角形,故BO ⊥AC ,所以∠DOB 为二面角D -AC -B 的平面角.在Rt △AOB 中,BO 2＋AO 2＝AB 2,又AB ＝BD ,所以BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2,故∠DOB ＝90°.所以平面ACD ⊥平面ABC.(2)由题设及(1)知,OA ,OB ,OD 两两垂直,以O 为坐标原点,OA →的方向为x 轴正方向,|OA →|为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ,则A (1,0,0),B (0,3,0),C (－1,0,0),D (0,0,1).由题设知,四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12,从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12,即E 为DB 的中点,得E ⎝⎛⎭⎫0，32，12,故AD →＝(－1,0,1),AC →＝(－2,0,0),AE →＝⎝⎛⎭⎫－1，32，12. 设n ＝(x ,y ,z )是平面DAE 的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AD →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋z ＝0，－x ＋32y ＋12z ＝0，可取n ＝⎝⎛⎭⎫1，33，1. 设m 是平面AEC 的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →＝0，m ·AE →＝0，同理可取m ＝(0,－1,3), 则cos 〈n ,m 〉＝n·m |n||m |＝77.所以二面角D -AE -C 的余弦值为77. 22.(本小题满分12分)已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛362,32P 是椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 与抛物线)0(2:2>=p px y E 的一个公共点,且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点F .(1)求椭圆1C 及抛物线E 的方程；(2)设过F 且互相垂直的两动直线21,l l ,1l 与椭圆1C 交于B A ,两点,2l 与抛物线E 交于D C ,两点,求四边形ACBD 面积的最小值22.解：(Ⅰ)抛物线：一点,,即抛物线的方程为,又在椭圆：上,,结合知(负舍), , 椭圆的方程为,抛物线的方程为.(Ⅱ)由题可知直线斜率存在,设直线的方程,①当时,,直线的方程,,故②当时,直线的方程为,由得.由弦长公式知.同理可得..令,则,当时,,综上所述：四边形面积的最小值为8.。