南京一中高一数学月考试题与答案

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南京市第一中学高一数学月考试卷(上交)080910

某某一中2008-2009学年第一学期第1次阶段性测试高一数学一、填空题：（共14题，每题3分，共42分）1、设集合A={x ∣2＜x ≤5}，集合B={x ∣x ＞4}，则A ∩B= ，2、当x ＝时，分式5x x -与另一个分式62x x --的倒数相等。

3、A={1，2，3，4，5}，B={1，2，4，6}，I=A ⋃B ，则)(B A C I ⋂=。

4、已知函数y=-342++x x ,在区间上[-3 ,5]的最小值为5、已知集合A= {y ︱y=x 2+1, x ∈R}，B={x ︱y=x 2-1, x ∈R }，则A ∩B= 。

6、若43<<x ，化简1689622+-++-x x x x 的结果是7、函数2|1|42-+-=x x y 的定义域为 8、已知不等式210{51}ax bx x x ++≥-≤≤的解集为则a-b=9、已知集合{}1≤-=a x x A ，{}0452≥+-=x x x B ，若φ=B A ，则实数a 的取值X 围是.10、设M ={x |－2≤x ≤2}，N ={y |0≤y ≤2}，函数f （x ）的定义域为M ，值域为N ，则f （x ）的图象序号可以是11、某学校艺术班有100名学生，其中学舞蹈的学生67人，学唱歌的学生45人，而学乐器的学生既不能学舞蹈，又不能学唱歌,人数是21人,那么同时学舞蹈和唱歌的学生有人。

12、下列各对函数中表示同一函数的是。

_1_2_34_① f (x )＝2x , g (x )＝x ; ②f (x )＝x , g (x )＝x x 2; ③f (x )＝42-x , g (x )＝ 22-+x x ; ④f (x )＝x , g (x )＝33x ⑤f (x )＝|x ＋1|, g (x )＝⎩⎨⎧-<---≥+1111x x x x 。

13、已知f(x)是一次函数，且f[f(x －1)]=4x+5，则f(x)的表达式为。

2023-2024学年江苏省南京市高一下学期6月月考数学质量检测模拟试题(含答案)

江苏省南京市2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题一．选择题（共8小题，每题5分，共40分）1.设i 是虚数单位，则复数i1i +在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【正确答案】A【分析】利用复数的除法运算化简i1i+，根据其几何意义判断其对应点的象限即可.【详解】由i i(1i)1i 1i (1i)(1i)2-+==++-，即复数i 1i+在复平面内所对应的点位于第一象限.故选：A2.已知向量a ，b 不共线，3c a b =+ ，()2d ma m b =++ ，若//c d，则m =（）A.-12B.-9C.-6D.-3【正确答案】D【分析】根据//c d ，由c d λ=，利用待定系数法求解.【详解】已知向量a ，b 不共线，且3c a b =+ ，()2d ma m b =++，因为//c d ，所以c d λ=，则()32m a b m b a λλ=+++，所以()321m m λλ=⎧⎨+=⎩，解得31m λ=-⎧⎨=-⎩，故选：D本题主要考查平面向量共线的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列结论正确的是（）A.若2220b c a +->，则ABC 为锐角三角形B.若ABC 为锐角三角形，有2A B π+>，则sin cos A B >C.若8,10,60a c B ===︒，则符合条件的ABC 有两个D.若cos cos a A b B =，则ABC 为等腰三角形【正确答案】B【分析】A ，根据余弦定理，只能判定命题A 为锐角；B ，移项后，利用正弦函数的单调性和诱导公式即得结论；C ，由已知条件为两边一夹角，可判定错误；D ，据正弦定理把等式cos cos a A b B =的边换成角的正弦，再利用倍角公式化简整理得sin 2sin 2A B =，进而推断A B =，或90A B +=︒，即可判定．【详解】对于A ，若2220b c a +->，则cos 0A >，A 为锐角，不能判定ABC 为锐角三角形，故错；对于B ，若ABC 为锐角三角形，有2A B π+>，则ππ022A B >>->，∴sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭,故正确；对于C ，知道两边一夹角，符合条件的三角形有且只有一个，故C 错误；对于D ，cos cos a A b B = ，sin cos sin cos A A B B ∴=，sin 2sin 2A B ∴=，A B ∴=或22180A B +=︒即90A B +=︒，ABC ∴ 为等腰或直角三角形，故不正确．故选：B ．本题考查了命题的真假判断，涉及正弦定理、余弦定理、解三角形的方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题题．4.设,αβ是两个不同平面，,m n 是两条不同直线，下列说法正确的是（）A .若,,//m n m n αβ⊥⊥，则//αβB.若,,m m n αβα⊥⊥⊥，则//n βC.若//,,//m n m n αβ⊥，则αβ⊥D.若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则//m n 【正确答案】C【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断（可通过正方体中的直线、平面进行说明）．【详解】以正方体为例，A ．AB m BC n ==,，平面11BCC B α=，平面11ADD A 与平面1111D C B A 都可以是平面β，α与β可能平行也可能相交，A 错；B ．平面11BCC B α=，平面1111D C B A β=，AB m =，1BB n =，此时n 与β相交，B 错；C ．//m α，由线面平行的性质定理，α内有直线//l m ，//m n ，则//n l ，n β⊥，则l β⊥，则αβ⊥，C 正确；D ．平面11BCC B α=，平面1111D C B A β=，AB m =，1BB n =，但m 与n 相交，不平行，D错．故选：C ．5.已知()()()cos 40cos 40cos 800θθθ︒-+︒++︒-=，则tan θ=（）A. B.3-C.3D.【正确答案】A【分析】利用和差角公式展开，得到2cos 40cos cos80cos sin80sin 0θθθ︒+︒+︒=，即可得到2cos 40cos80tan sin 80θ︒+︒=-︒，再利用两角差的余弦公式计算可得.【详解】因为()()()cos 40cos 40cos 800θθθ︒-+︒++︒-=，所以cos 40cos sin 40sin cos 40cos sin 40sin cos80cos sin 80sin 0θθθθθθ︒+︒+︒-︒+︒+︒=，所以2cos 40cos cos80cos sin80sin 0θθθ︒+︒+︒=，所以2cos 40cos80sin80tan 0θ︒+︒+︒=，所以2cos 40cos80tan sin 80θ︒+︒=-︒()2cos 12080cos80sin80︒-︒+︒=-︒()2cos120cos80sin120sin 80cos8080sin 80sin 80︒︒+︒︒+︒︒=-=-=︒︒故选：A ．6.设1cos6622a =︒-︒，22tan131tan 13b ︒=-︒，c =）A.a b c >>B.a b c<< C.a c b<< D.b<c<a【正确答案】C【分析】利用辅助角公式化简a ，正切二倍角公式和放缩放化简b ，余弦二倍角公式化简c ，然后根据正弦函数的单调性比较可得.【详解】()13cos 6sin 6sin 30cos 6cos30sin 6sin 306sin 2422a =︒-︒=︒︒-︒︒=︒-︒=︒，22tan13sin 26sin 26tan 26sin 261tan 13cos 261b ︒︒︒==︒=>=︒︒，sin 25c =︒，当090x ︒<<︒，sin y x =单调递增，所以sin 26sin 25sin 24︒>︒>︒，所以a c b <<.故选：C7.古代数学名著《九章算术・商功》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．若四棱锥P ABCD -为阳马，PA ⊥平面ABCD ，4AB BC ==，3PA =，则此“阳马”外接球与内切球的表面积之比为（）A.B.414C.D.41【正确答案】B【分析】首先求出三棱锥的外接球半径，进一步利用等体积法的应用求出内切球的半径，最后利用球的表面积公式求出结果．【详解】解：因为四棱锥P ABCD -为阳马，PA ⊥平面ABCD ，4AB BC ==，3PA =，所以5PB PD ===设外接球的半径为R ，所以2222222(2)34441R AB AD AP +=++=+=，故2414R =，所以414414S ππ=⋅⋅=球，所以4416ABCD S =⨯=，14362PAB PAD S S ==⨯⨯= ，154102PBC PCD S S =⨯⨯== 所以166210248ABCD PAB PBC PCD PAD S S S S S =+=++⨯+++⨯ 设内切球的半径为r ，利用1144316()33P ABCD ABCD PAB PBC PCD PAD V S S S S S r -=⨯⨯⨯==⨯++++⋅ ，解得1r =，故2414S ππ=⋅⋅=球，故外接球与内切球的表面积之比为414．故选：B ．8.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，Q 为AD 的中点，P 为正方体内部及其表面上的一动点，且1PQ BD ⊥，则满足条件的所有点P 构成的平面图形的面积是（）A.332B. C.4 D.【正确答案】D【分析】证明出1BD ⊥平面1AB C ，1BD ⊥平面11AC D ，确定过点Q 的截面与正方体各棱的交点，的正六边形，进而可求得结果.【详解】连接1A D 、1C D 、11AC 、AC 、1AB 、1BC 、BD ，如下图所示：因为四边形ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，1DD ⊥Q 平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，1AC DD ∴⊥，1D DD BD = ，AC ∴⊥平面1BDD ，1BD ⊂ 平面1BDD ，1BD AC ∴⊥，同理可得11BD AB ⊥，1AC AB A = ，1BD ∴⊥平面1AB C ，同理可证1BD ⊥平面11AC D ，设过点Q 且垂直于1BD 的平面为平面α，则α与平面1AB C 、平面11AC D 都平行，//α 平面1ACB ，平面ABCD ⋂平面QN α=，平面ABCD ⋂平面1ACB AC =，//QN AC ∴，Q 为AD 的中点，则N 为CD 的中点，同理可知，平面α分别与棱1CC 、11B C 、11A B 、1AA 交于中点，易知六边形EFGHNQ 为正六边形，且其边长为12AC =因此，满足条件的所有点P 构成的平面图形的面积是264⨯⨯=.故选：D.关键点点睛：本题考查正方体截面面积的计算，解题的关键在于利用正方体的几何性质，找出体对角线的垂面，进而确定截面与垂面平行，并以此作出截面.二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）9.甲乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件A 为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件B 为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件C 为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则（）A.事件A 、B 是相互独立事件B.事件B 、C 是互斥事件C.()()()P A P B P C ==D.()18P ABC =【正确答案】AC【分析】利用列举法分别求出事件A ，B ，C ，AB ，ABC 的概率，结合互斥事件、相互独立事件的定义直接求解．【详解】解：甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，基本事件总数6636n =⨯=，记事件A 为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，则事件A 包含的基本事件有18个，分别为：(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,3)，(6,5)，()181362P A ∴==，事件B 为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，则事件B 包含的基本事件有18个，分别为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，181362P ∴==，事件C 为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则事件C 包含的基本事件有18个，分别为：(1,2)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(1,4)，(2,4)，(3,4)，(4,4)，(5,4)，(6,4)，(1,6)，(2,6)，(3,6)，(4,6)，(5,6)，(6,6)，()181362P C ∴==，事件AB 包含的基本事件有9个，分别为：(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，91()364P AB ==，()()()P AB P A P B = ，∴事件A 、B 是相互独立事件，故A 正确；事件B 与C 能同时发生，故事件B 与C 不是互斥事件，故B 错误；()()()12P A P B P C ===，故C 正确；ABC 包包含的基本事件有9个，分别为：(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，91()364P ABC ∴==．故D 错误．故选：AC ．10.某单位为了更好地开展党史学习教育，举办了一次党史知识测试，其200名职工成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A.图中的0.04m =B.成绩不低于80分的职工约80人C.200名职工的平均成绩是80分D.若单位要表扬成绩由高到低前25%职工，则成绩87分的职工A 肯定能受到表扬【正确答案】AB【分析】根据频率分布直方图的性质特点进行分析计算可得答案.【详解】对于A ，(0.010.010.020.02)101m ++++⨯=，得0.04m =，故A 正确；对于B ，成绩不低于80分的职工人数为(0.020.02)1020080+⨯⨯=，故B 正确；对于C ，平均成绩为550.1650.1750.4850.2950.278⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故C 错误；第75%分位数为0.750.6801087.5870.80.6-+⨯=>-，故D 错误.故选：AB.11.向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁.若向量a ，b满足2a b ==，a b += ）A.2a b ⋅=-B.a 与b的夹角为π3C.a b a b->+ D.a b - 在b 上的投影向量为12b- 【正确答案】BD【分析】利用向量的模长公式以及题中条件即可判断A,C ，由夹角公式可判断B ，根据投影向量的求法即可判断D.【详解】2a b ==，a b += 222122424a b a a b b a b =+=+⋅+=+⋅+ ，解得2⋅=a b ，故A 错误；cos ,2a b a b a b ⋅== ，1cos ,2a b a b a b ⋅==，由于0πa b ≤≤ ，，a ∴r 与b 的夹角为π3，故B 正确；2a b a b -==<=+=C 错误；a b - 在b上的投影向量为()21··22b a b b a b b b b b bbb b⋅-⋅-==-=-，故D 正确,故选：BD.12.如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，沿AE ､AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使得B ､C ､D 三点重合于点S ，得到四面体S AEF -（如图2）.下列结论正确的是（）A.平面AEF ⊥平面SAFB.四面体S AEF -的体积为13C.二面角A EF S --2D.顶点S 在底面AEF 上的射影为AEF △的垂心【正确答案】BD【分析】（１）作辅助线，证SNO ∠为平面SAF 与平面AEF 的二面角的平面角，显然SNO ∠为锐角，从而判断A 选项．（２）先证SO ⊥平面AEF ，从而得到锥体的高，计算出所需长度，算出体积即可．（３）证SMA ∠为平面SEF 与平面AEF 的二面角的平面角，计算SMA ∠的正切值．（４）先证O 为S 在平面AEF 上的射影，由于AM EF ⊥，只需证OE AF ⊥，OF AE ⊥即可．【详解】如图，作EF 的中点M ，连结AM 、SM ，过S 作AM 的垂线交AM 于点O ，连结SO ，过O 作AF 的垂线交AF 于点N ，连结SN由题知AE =AF 5AM EF ⊥，SE =SF =1，所以SM EF ⊥，SMA ∴∠为平面SEF 与平面AEF 的二面角的平面角又SM AM M ⋂=EF ∴⊥平面ASM ，SO ⊂平面ASM ，EF ∴⊥SO ，作法知SO AM ^，AM EF M = ，SO ∴⊥平面AEF ，所以SO 为锥体的高．所以O 为S 在平面AEF 上的射影.AF ⊂平面AEF ，所以SO AF ⊥，由作法知ON AF ⊥，SO NO O⋂=AF ∴⊥平面SON ，SN ⊂平面SON ，SN AF∴⊥SNO ∴∠为平面SAF 与平面AEF 的二面角的平面角，显然SNO ∠为锐角，故A 错．由题知AS SE AS SF AS SEF SE SF S ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⋂=⎭平面，SM SEF ⊂平面，AS SM∴⊥又AS＝２，122EM EF ==，SE＝１，22SM AM ∴===22232AS SM SO AM ⨯⨯===，四面体S −AEF 的体积为1132133233AEF V S SO =⨯=⨯⨯= ，故B 正确．在直角三角形ASM中：tan 22AS SMA SM ∠===故C 不正确．因为6OM ==，3AO AM OM =-=，3OE ==所以2224cos 25OE OF EF EOF OE OF +-∠==-⋅，222cos 210OE OA AE EOA OE OA +-∠==-⋅()cos cos OE AF OE OF OA OE OF EOF OE OA EOA ⋅=⋅-=∠-∠43353310⎛⎫⎛⎫=⨯⨯--⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭44099=-+=OE AF ∴⊥，由对称性知OF AE ⊥，又AM EF⊥故D 正确．故选：BD ．三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）13.如图，在四面体ABCD 中，BD =，2AC =，M 、N 分别为BC 、AD 的中点，1MN =，则异面直线AC 与BD 所成的角是_____________．【正确答案】45︒##4π【分析】取CD 的中点E ，连接ME ，NE ，即可得到NEM ∠即为异面直线AC 与BD 所成的角，再由线段关系及勾股定理逆定理得到MNE 为等腰直角三角形，即可得解；【详解】解：取CD 的中点E ，连接ME ，NE ，因为M 为BC 的中点，N 为AD 的中点，所以//NE AC 且1=2NE AC ，//ME BD 且1=2ME BD ，所以NEM ∠即为异面直线AC 与BD 所成的角或其补角，又BD =，2AC =，1MN =，所以=1NE ，ME 222ME MN NE =+，所以90MNE ∠=︒，所以MNE 为等腰直角三角形，所以45NEM ∠=︒；故45︒14.甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为35，乙获胜的概率为25，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局甲获胜的概率为______.【正确答案】54625【分析】由题得恰好进行了4局甲获胜，则甲第一局赢，第二局输，第三、四局赢，再由独立事件的乘法公式即可得出答案.【详解】由题得恰好进行了4局甲获胜，则甲第一局赢，第二局输，第三、四局赢，此时3233545555625P =⨯⨯⨯=.故答案为:54625.15.某次海上联合作战演习中，红方一艘侦查艇发现在北偏东45°方向，相距12n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10n mile 的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦查艇以每小时14n mile 的速度，沿北偏东()45α︒+方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，则角α的余弦值为______.【正确答案】1114【分析】设红方侦查艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，即可得到14AC x =，10BC x =，在ABC 中，利用余弦定理得到关于x 的方程，求解得到x ，从而得到BC ，再利用正弦定理得到sin α，由同角的平方关系即可得到cos α.【详解】设红方侦查艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，则14AC x =，10BC x =，120ABC ∠=︒.根据余弦定理得()()222141210240cos120x x x ︒=+-⨯⨯，解得2x =，故28AC =，20BC =.根据正弦定理得sin sin120BC AC α=︒，解得20sin12053sin 2814α︒==，因为060<α<︒，所以11cos 14α==，故答案为.111416.骑自行车是一种环保又健康的运动，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆DABE ，BEC ，ECD 均是边长为4的等边三角形.设点P 为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，AC AP ⋅ 的最大值为______.【正确答案】60【分析】方法一：以D为坐标原点建立平面直角坐标系，设)P θθ，根据向量数量积的坐标运算和三角恒等变换知识可表示出12sin 483AC AP πθ⎛⎫⋅=++ ⎪⎝⎭ ，则当sin 13πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时可得所求最大值；方法二：根据向量线性运算可得()AC AP AC AD DP ⋅=⋅+ ，利用向量数量积的定义和运算律可化简得到4812cos ,AC AP AC DP ⋅=+<>，由此可求得最大值.【详解】方法一：以点D 为坐标原点，DA 为x 轴负半轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()8,0A -，(2,3C -，点P 在以D 3)33P θθ，(6,23AC ∴= ，)33AP θθ=+ ，36sin 4812sin 483AC AP πθθθ⎛⎫∴⋅=++=++ ⎪⎝⎭ ，则当sin 13πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，AC AP ⋅ 取得最大值124860+=.方法二：()AC AP AC AD DP AC AD AC DP ⋅=⋅+=⋅+⋅ (22cos ,333,AC AC DP AC DP AC DP =+⋅<>=+<> 4812cos ,AC DP =+<> ，则当AC 与DP 同向，即cos ,1AC DP <>= 时，AC AP ⋅ 取得最大值为124860+=.四．解答题（共6小题，共70分）17.已知复数1i z a =+，21i z a =-，其中i 是虚数单位，a ∈R ．（1）若12z z ⋅为纯虚数，求a 的值；（2）若211220z z ++=，求12z z 的虚部．【正确答案】（1）0a =；（2）1.【分析】（1）根据复数乘法和纯虚数的定义进行求解即可；（2）根据复数乘法运算法则，结合虚数单位的性质、复数虚部定义进行求解即可.【小问1详解】由题意得，()()()212i 1i 21iz z a a a a ⋅=+-=+-因为12z z ⋅为纯虚数，所以0a =且210a -≠，综上，0a =．【小问2详解】因为1i z a =+，所以()()2i 2i 20a a ++++=，即()()2121i 0a a +++=，所以1a =-，所以2121i i i i 1i 1iz z -++===++，所以12z z 的虚部为1．18.如图，M 、N 分别是ABC ∆的边BC 、AB 上的点，且14BM BC =，1AN AB 2=，AM 交CN 于P.（1）若AM xAB y AC =+ ，求x y -的值；（2）若4AB =，3AC =，60BAC ∠= ，求AP BC ⋅ 的值.【正确答案】（1）12；（2）277-.【分析】（1）利用平面向量加法的三角形法则可求出x 、y 的值，进而可计算出x y -的值；（2）设3144AP AM AB AC λλλ==+ ，设NP k NC = ，根据平面向量的基本定理可得出关于λ、k 的方程组，解出这两个未知数，可得出AP 关于AB 、AC 的表达式，然后用AB 、AC 表示BC ，最后利用平面向量数量积的运算律和定义即可计算出AP BC ⋅的值.【详解】（1）()11314444AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ，34x ∴=，14y =，因此，311442x y -=-=；（2）设3144AP AM AB AC λλλ==+ ，再设NP k NC = ，则()AP AN k AC AN -=- ，即()112k AP k AN k AC AB k AC -=-+=+ ，所以，314214k k λλ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得4717k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以3177AP AB AC =+ ，因此，()()()221132377AP BC AB AC AC AB AC AB AC AB ⋅=+-=+⋅- 221127324334727⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯-⨯=- ⎪⎝⎭.本题考查利用平面向量的基本定理求参数，同时也考查了平面向量数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查计算能力，属于中等题.19.已知函数21()cos cos ()2f x x x x x R =-+∈.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【正确答案】（1）π（2）最大值为2，最小值为1-【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数式化成()sin y A ωx φ=+的形式，然后再用公式求周期;（2）根据（1）的结果,先求出角26x π-的范围,再根据三角函数的性质求()f x 的最值.【详解】（1）因为31()sin 2cos 222f x x x =-πsin(2)6x =-故()f x 的最小正周期22T ππ==（2）当,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,52[]663x πππ-∈-故当262x ππ-=-，即6x π=-时，min ()1f x =-当263x ππ-=，即4x π=时，max 3()2f x =故函数()f x 在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为1-20.某校有高中生3600人，其中男女生比例约为5:4，为了获得该校全体高中生的身高信息，采取了以下两种方案：方案一：采用比例分配的分层随机抽样方法，抽取了样本容量为n 的样本，得到频数分布表和频率分布直方图．方案二：按照性别分类进行简单随机抽样，抽取了男、女生样本容量均为25的样本，计算得到男生样本的均值为172，方差为16，女生样本的均值为160，方差为20．身高（单位：cm ）[)145,155[)155,165[)165,175[)175,185[]185,195频数420q 64（1）根据图表信息，求n ，q 的值并补充完整频率分布直方图，估计该校高中生的身高均值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）（2）计算方案二总样本的均值及方差；（3）你觉得是用方案一还是方案二总样本的均值作为总体均值的估计比较合适？（说明理由）【正确答案】（1）50n =；16q =；频率分布直方图见解析；167.2（2）166；54（3）答案见解析【小问1详解】（1）因为身高在区间[185，195)的频率为0.008100.08⨯=，频数4，所以4500.08n ==，504206416q =----=，所以身高在区间[165，175)的频率为160.3250=，在区间[175，185)的频率为60.1250=，由此可补充完整频率分布直方图：由频率分布直方图可知，样本的身高均值为：1500.008101600.04101700.032101800.012101900.00810⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯126454.421.615.2167.2=++++=；【小问2详解】把男生样本记为1x ，2x ，...，25x ，其均值记为x ，方差记为2x s ；把女生样本记为1y ，2y ，...，25y ，其均值记为y ，方差记为2y s ，则总样本均值252525172251601662525252550z x y ⨯+⨯=+==++，又因为252511(250i i i i x x x x ==-=-=∑∑，所以2525112()()2()()0i i i i x x x z x z x x ==--=--=∑∑，同理可得2512()0j j y y y z =--=∑，所以总样本方差2525222111[()()]50i j i j s x z y z ===-+-∑∑252522111[(()]50i j i j x x x z y y y z ===-+-+-+-∑∑22221{25[()]25[()]}50x y s x z s y z =+-++-221{25[16(172166)]25[20(160166)]}50=+-++-54=；【小问3详解】用方案一比较合适，因为方案一是按比例抽取样本，所以样本的代表性比较强，能够更好地反映总体的情况.21.如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，AD =，点E 是PB的中点．（1）证明：AE PC ⊥；（2）求点D 到CE 的距离；（3）求二面角C AE D --的大小．【正确答案】（1）证明见解析；（2（3）π4.【分析】（1）由已知位置关系推出AE PBC ⊥平面，即可证明异面直线AE PC ⊥；（2）由（1）中AE PBC ⊥平面，BC PAB ⊥平面，得AE EC ⊥，AD AE ⊥，求解ECD 各边长度，得ECD 为等边三角形，利用等边三角形的性质即得点D 到CE 的距离；（3）利用二面角定义求解即可.【小问1详解】证明：PA ⊥ 平面ABCD ，底面ABCD 为矩形,PA BC BC AB ∴⊥⊥，又,,PA AB A PA AB PAB =⊂ 平面BC PAB ∴⊥平面，又AE PAB⊂ 平面BC AE ∴⊥，PA AB = ，点E 是PB 的中点．AE PB ∴⊥，又,,PB BC B PB BC PBC=⊂ 平面AE PBC∴⊥平面AE PC∴⊥【小问2详解】解：由（1）AE PBC ⊥平面得：AE EC⊥又BC PAB ⊥平面，BC AD ∥，AD PAB ∴⊥平面，即AD AE ⊥因为2PA AB ==，AD =所以AE =，2DE =，AC =，故2EC =即2EC DE CD ===，三角形ECD 是边长为2的正三角形，点D 到CE 的距离为d ,则1π122sin 2232ECD S d =⨯⨯⨯==⨯⨯ ，所以d =所以点D 到CE 【小问3详解】解：由（2）知AD AE ⊥，AE EC ⊥，故取PC 中点M ，连接EM ，DM .因为,E M 分别为,PB PC 中点，所以EM BC ∥，即EM AD ，故EM AE ⊥则MEC ∠为二面角C AE D --的平面角又在EMC △中，1112,,22222EC EM BC MC PC ======所以2222102222cos 222MEC ⎛⎫⎛+- ⎪ ∠=，又(0,π)MEC ∠∈所以π4MEC ∠=.即二面角C AE D --的大小为π4.22.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 1sin tan AA B =+.（1）若A B =，求C ；（2）求sin sin 2cos a B b Ab B +的取值范围.【正确答案】（1）2π3C =（2）()0,1【分析】（1）先由题给条件求得A B =π6=，进而求得2π3C =；（2）先利用正弦定理和题给条件求得π22A B =-和π04B <<，再构造函数122,12y t t t =-<<，求得此函数值域即为sin sin 2cos a B b Ab B +的取值范围【小问1详解】由A B =，cos 1sin tan A AB =+可得cos 1sin tan A A A =+，则()2cos 1sin sin A A A=+整理得22sin sin 10A A +-=，解之得1sin 2A =或sin 1=-A 又π02A <<，则π6A =，则π6B =，则2π3C =【小问2详解】A ，B 为ABC 的内角，则1sin 0A +>则由cos 1sin tan A AB =+，可得cos 0tan AB >，则A B 、均为锐角222cos sin 1tan cos π222tan tan 1sin 42(sin cos )1tan 222A A A A A B A A A A --⎛⎫====- ⎪+⎝⎭++又πππ0,02424A B <<<-<，则π42A B =-，π04B <<则π22A B =-，则πsin sin 2cos 22A B B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭则2sin sin 2sin 2cos 22cos 112cos 2cos 2cos 2cos cos cos a B b A b A b B B B b B b B b B B B +-====-令cos t B =π04B ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则212t <<又1()2f t t t =-在,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增，02f =，(1)1f =可得1021t t <-<，则12cos cos B B -的取值范围为()0,1，则sin sin 2cos a B b A b B +的取值范围为()0,1。

南京一中2023-2024学年高一上12月数学检测卷(含解析)

南京一中2023～2024学年度第一学期12月阶段性检测卷高一数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合M =｛x |−1<x <1｝，N =｛x |0≤x <2｝，则M ∩N =（）A．｛x |-1<x <2｝B．｛x |0≤x <1｝C．｛x |0<x <1｝D．｛x |-1<x <0｝2．命题“x Z ，220x x m ”的否定是（）A．x Z ，220x x m B．x Z ，220x x m C．x Z ，220x x m D．x Z ，220x x m 3.已知20,0,416a a b b ，则2a b 的值是（）A．83B．14C．24D．1244.函数 f x 是定义在(0,+∞)上的增函数，则不等式 816f x f x 的解集为（）A．16(2,)7B．16(,)7C．16(,)7D．(2,) 5.如图，角的始边与�轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P ．已sin cos tan ．则点P 可能位于如图所示单位圆的哪一段圆弧上（）A． AB B． CDC． EFD． GH6．函数 21x f x x的图象大致是（）A．B．C．D．7．已知函数 2f x x ， 12xg x m ，若对任意 20,2x ，总存在 11,3x ，使得12f x g x 成立，则实数m 的取值范围是（）A．8, B．,1 C．1, D．,8 8．设方程41log 04xx，141log 04 xx 的根分别为�1，�2，则（）A．0<�1�2<1B．�1�2=1C．1<�1�2<2D．�1�2≥2二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．小夏同学在学习了《任意角和弧度制》后，对家里的扇形瓷器盘（图1）产生了浓厚的兴趣，并临摹出该瓷器盘的大致形状，如图2所示，在扇形OAB 中，π3AOB ，2OB OA ，则（）A．30AOBB．弧长2π3AB C．扇形OAB 的周长为2π43D．扇形OAB 的面积为4π310．下列说法正确的是（）A．函数 12x f x a （0a 且1a ）的图象恒过定点()1,1-B．函数 11f x x x 与 21g x x 是相同的函数C．函数 2291616f x x x的最小值为6D.若不等式220ax x c 的解集为 1x x 或 2x ，则1a c 11．已知函数 1212xxf x ，2lg1g x x x ，则（）A．函数 f x 为偶函数B．函数 g x 为奇函数C．函数 F x f x g x 在区间 1,1 上的最大值与最小值之和为0D．设 F x f x g x ，则 21=0F a F a 的解集为{1}12.若存在实数M ，使得|()()|f x g x M 在()f x 和()g x 的定义域的交集上恒成立，则称()f x 与()g x 具有“M 近似关系”，下列说法正确的是（）A．1()2x f x ，()2x g x 具有“2近似关系”B．()ln 3f x x ，()ln 3g x x 具有“3近似关系”C．1()(1)1x f x x x与1()(1)2xg x x具有“1近似关系”三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知幂函数()y f x x 在[0,) 上是增函数，且满足1133f ，请写出一个满足条件的的值.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本题10分）求下列各式的值：（1）210321()64(4)2；（2）7log 233427lg25lg4723log log log .18.（本题12分）已知集合0A ，0,01222 m m x x x B .（1）求集合A 、B ；（2）请在：①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的实数�存在，求出�的取值范围；若不存在，说明理由.若�∈�是�∈�成立的条件，判断实数�是否存在？(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)19.（本题12分）已知函数sin()cos(2)()31tan()1tan(2x x f x x x.（1）求31()6f的值；（2）若是三角形的一个内角，且1()5f，求tan 的值.20.（本题12分）我国生产的3D NAND 闪存具有极佳的性能和极长的寿命．为了应对第四季度3D NAND 闪存颗粒库存积压的情况，某闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装x 万片，还需要 C x 万元的变动成本，通过调研得知，当x 不超过120万片时，2()0.1130C x x x ；当x 超过120万片时，25600()1511350C x x x，封装好后的闪存颗粒售价为150元/片，且能全部售完．（1）求公司获得的利润 L x 的函数解析式；（2）封装多少万片时，公司可获得最大利润？（3） 2231,4,[1,2].2已知x x f g x a a f x x ，求 g x 的最大值．22.（本题12分）已知函数3()log 3m x f x x ，[,]x ，其中0,1m m ，0 .（1）证明：3 ；（2）若2,()2m f x ,求实数x 的值；（3）问是否存在实数m ，使得函数()f x 的定义域为[,] 时，其值域恰好为[log (),log ()]m m m m m m ？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.南京一中2023～2024学年度第一学期12月阶段性检测卷高一数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合M =｛x |-1<x <1｝，N =｛x |0≤x <2｝，则M ∩N =（）A．｛x |-1<x <2｝B．｛x |0≤x <1｝C．｛x |0<x <1｝D．｛x |-1<x <0｝【答案】B2．命题“x Z ，220x x m ”的否定是（）A．x Z ，220x x m B．x Z ，220x x m C．x Z ，220x x m D．x Z ，220x x m 【答案】A【分析】根据全称命题与特称命题的否定关系即可判断求解．【解答】解：因为命题“x Z ，220x x m ”为全称命题，而全称命题的否定是特称命题命题“x Z ，220x x m ”的否定是“x Z ，220x x m ”，故选A．【点拨】本题考查了全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题．3.已知20,0,416a a b b ，则2a b 的值是（）A．83B．14C．24D．124【答案】B4.函数 f x 是定义在(0,+∞)上的增函数，则不等式 816f x f x 的解集为（）A．16(2,)7B．16(,)7C．16(,)7D．(2,)【答案】A 【解析】【分析】本题考查了利用函数的单调性求解不等式的问题，属于基础题．利用函数的单调性求解不等式即可，注意定义域．【解答】解：函数�(�)在(0,+∞)上为增函数，∴有�>08�−16>0�>8�−16,解得：2<�<167．不等式�(�)>�(8�−16)的解集为(2,167).故选A ．5.如图角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P ．已sin cos tan ．则点P 可能位于如图所示单位圆的哪一段圆弧上（）A． AB B． CD C． EFD． GH【答案】B【分析】由三角函数的定义结合sin cos tan ，即可判断.【详解】设 ,P x y ，则tan ,sin ,cos yy x x.因为sin cos tan ，所以 yy x x，所以0,0 x y 则ACD 错误.故选：B 6．函数 21x f x x的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】求出函数的定义域，然后判断函数的奇偶性，再根据函数的单调性进行分析判断即可.【详解】函数的定义域为 0x x ，因为 22()11x x f x f x xx，所以()f x 为奇函数，所以()f x 的图象关于原点对称，8．设方程41log 04 x x ，141log 04 xx 的根分别为�1，�2，则（）A．0<�1�2<1B．�1�2=1C．1<�1�2<2D．�1�2≥2是的图象和函数故有，故，，即，所以0<�1�2<1．故选A.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.【分析】根据角度制与弧度制的互相转化、扇形的弧长与面积公式易得答案.)1-c1【分析】根据指数幂的运算性质，结合一元二次不等式的性质、基本不等式、不等式的性质g x lgx21 xlgx 2 1 xg x ，则g x 为奇函数，故B 正确；对于C：F x f x g x ，f x ，g x 都为奇函数，则F x f x g x 为奇函数，F x f x g x 在区间 1,1 上的最大值与最小值互为相反数，必有F x 在区间 1,1 上的最大值与最小值之和为0，故C 正确；对于D： 1221221122121x x x x xf x ，则 f x 在R 上为减函数，221lg1lg1g x x x x x，则 g x 在R 上为减函数，则 F x f x g x 在R 上为减函数，若 210F a F a 即 21F a F a ，则必有21a a ，解得1a ，即 210F a F a 的解集为{1}，故D 正确；故选：BCD12.若存在实数M ，使得|()()|f x g x M 在()f x 和()g x 的定义域的交集上恒成立，则称()f x 与()g x 具有“M 近似关系”，下列说法正确的是（）A．1()2x f x ，()2x g x 具有“2近似关系”B．()ln 3f x x ，()ln 3g x x 具有“3近似关系”C．1()(1)1x f x x x 与1()(1)2xg x x具有“1近似关系”D．()f x 与()1(110)g x x x x 定义域相同，且具有“1近似关系”，则()f x 的值域包含于[1],8 【答案】BCD【分析】作差即可说明A、B 项；分别求出 ,f x g x 的值域，即可说明C 项；换元法求出三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知幂函数()y f x x 在[0,) 上是增函数，且满足1133f，请写出一个满足条件的的值.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本题10分）求下列各式的值：7210323lo 234g 12lo .1(64(4)227lg 25g lg 472g lo l 3og （）（）【答案】解：(1)原式=212+(43)23+1−(2−1)=2+16+1−2+1=18．(2)原式=3+lg (25×4)−2−log 32⋅(12log 23)=3+2−2−12=52．【解析】本题考查分数指数幂的运算法则与对数运算法则，属于基础题型．(1)利用幂的运算法则计算；(2)根据对数运算法则计算．18.（本题12分）已知集合062x x x A ，0,01222 m m x x x B .（1）求集合A 、B ；（2）请在：①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的实数�存在，求出�的取值范围；若不存在，说明理由.若�∈�是�∈�成立的条件，判断实数�是否存在？(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)19.（本题12分）已知函数()31tan()1tan()2f x x x.（1）求31()6f的值；（2）若是三角形的一个内角，且1()5f ，求tan 的值；【答案】（1）先化简()f x 的表达式sin()cos(2)()31tan()1tan()2x x f x x xsin cos 11tan 1tan x xx x22sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin 11sin cos x x x x x x x x x x x x22sin cos sin cos sin cos x x x x x x 313131()sin(cos()666f3131sin(6)cos(6)6655sincos6612 .（2）由题意知1sin cos 5，0 ，平方得112sin cos 25，242sin cos 25，249(sin cos )12sin cos 25，因为sin cos 0 且0 ，所以sin 0,cos 0 ，从而得7sin cos 5，故43sin ,cos 55 ，得4tan 3.20.（本题12分）长江存储是我国唯一一家能够独立生产3D NAND 闪存的公司，其先进的晶栈Xtacking 技术使得3D NAND 闪存具有极佳的性能和极长的寿命．为了应对第四季度3DNAND 闪存颗粒库存积压的情况，某下游闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装x 还需要 C x 万元的变动成本，通过调研得知，当x 不超过120万片时，2()0.1130C x x x ；当x 超过120万片时，25600()1511350C x x x，封装好后的闪存颗粒售价为150元/片，且能全部售完．（1）求公司获得的利润 L x 的函数解析式；（2）封装多少万片时，公司可获得最大利润？（2）根据（1）利润L x 的函数解析式，分段求解函数最值，最终比较得L x 最大值即可.【小问1详解】解：当0 x 120时，L (x ) 150x0.1x 2130x300 0.1x 220x 300，当x 120时，2560025600()15015113503001050L x x x x x x，综上可知 20.120300,0120256001050,120x x x L x x x x；【小问2详解】解：当0120x 时，22()0.1203000.1(100)700L x x x x ，∴当100x 时，利润 L x 取最大值700万元；当120x 时，2560025600()105010502730L x x x x x，∴当且仅当“25600x x”，即“160x ”时，利润 L x 取最大值730万元，综上所述，封装160万片时，公司可获得最大利润730万元．21．（本题12分）设函数 x xf x a a （x R ，1 a ）．（1）证明 y f x 是奇函数，并判断单调性（不需要证明）；（2）若不等式 24 f x tx f x 恒成立，求实数t 的取值范围；（3） 221,4,[1,2].2已知x x f g x a a f x x ，求 g x 的最大值．【答案】(1)证明见解析， f x 是减函数；(2)(－3，5)；(3)2﹒【详解】（1）证明： f x 的定义域为R ，关于原点对称，且 x xf x a a f x ，22.（本题12分）已知函数3()log 3mx f x x ，[,]x ，其中0,1m m ，0 .（1）证明：3 ；（2）若2,()2m f x ,求实数x 的值；（3）问是否存在实数m ，使得函数()f x 的定义域为[,] 时，其值域恰好为[log (),log ()]m m m m m m 若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】⑴由303x x 得3x ，或3x ，由于0 ，故[,](3,) ，所以3 .2(2)若23()log 23x f x x ,则231234x x ，5x (3)(3)若存在适合题意的实数m ，则由0 及0m 知0m m m m ，因为函数()f x 的值域恰好为[log (),log ()]m m m m m m ，....7所以log ()log ()m m m m m m ，必有01m .又因为36133x t x x在区间[,] 上单调递增，所以函数3()log 3m x f x x 在区间[,] 上单调递减，从而有：()log (),()log (),m m f m m f m m即3log log (),33log log (),3m m m m m m m m 所以3,33,3m m m m 这表明、是关于x 的方程33x mx m x 的两个相异实根，所以问题转化为关于x 的方程2(21)330mx m x m 在区间(3,) 上有两个相异实根，.......令2()(21)33g x mx m x m ，则应有2(21)4(33)0,213,2(3)120,m m m m m g m即22()(,),4410,80,m m mU 10由2130488知2148，故204m.综上，存在适合题意的实数m，其取值范围是2(0,4 (12)。

2016-2017学年南京一中高一上数学10月月考试卷

的值；
⑶ x13 + x23 的值．
18. （10 分）设二次函数 f ( x) = ax2 + bx + c （ a ≠ 0 ），集合 A= {x | f ( x=) x=} {1,2} ，且 f (0) = 2 ．
⑴ 求函数 f ( x) 的解析式；
⑵ 求当 x ∈[0,m] （ m > 0 ）时 f ( x) 的值域．
．
7. 已知集合 M = {0,2,3} ，定义集合运算 A※A ={x | x =a + b,a ∈ A,b ∈ A} ，则 M※M =
．
8. 函数 y= 2x + 3 − 1 + 1 的定义域是
．
2−x x
( ) 9.
已知全集U = R ，集合=A
{x | x −1 ≥ 0} ， B ={x | x = −x} ，则 U
11. 已知集= 合 A {= x | x2 1}= ， B {= x | ax 1} ，若 A B = A ，则实数 a =
．
12. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来
时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用 S1, S2 分别表示乌
4
【解析】 ①当 a > 0 时，则 f (1 − a) = 2(1 − a) + a = 2 − a
f (1 + a) =−(1 + a) − 2a =−1 − 3a ，则解得 a = − 3 （舍）；①当 a < 0 时，解得
2
a = − 3 ,综上： a = − 3 ．
4
4
14. 【答案】 9．

江苏省南京市某高级中学高一上学期第一次月考数学试卷

2017-2018学年度第一学期第一次月考高一数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．若{}1,0A =-，{}2,1,0=B ，则A B = ▲ ．答案：{}1,0,1,2-2．函数ln(2)y x =-的定义域为 ▲ ．答案：{}24x x <≤3．满足{}4,3{}5,4,3,2⊆⊆A 的集合A 的个数为 ▲ ．答案：44．若幂函数)(x f y =的图象过点⎪⎭⎫⎝⎛9,31，则=)2(f ▲ ．答案：415．已知函数f (x )＝x 4－ax 3－1是偶函数，则实数a ＝ ▲ ．答案：06. 函数f (x )=1+log a (x -1)的图象通过的定点是 . 【答案】(2,1)【解析】由对数函数过定点(1,0)，可以得出图象过定点(2,1)7．若9.0log 3=a ，8.08.0=b ，9.08.0=c ，则c b a ,,的大小关系为 ▲ ．（用“<”连接）答案：b c a <<8．已知函数f (x )与g (x )分别由下表给出，那么f (g (3))＝ ▲ ．答案：29．已知函数53()5f x ax bx cx =+++，且(3)3f -=，则(3)f = ．【答案】7【解析】(3)(3)10f f -+=10．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3,则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．［答案］－12,－13［解析］由⎩⎪⎨⎪⎧ 22－2a －b ＝032－3a －b ＝0,得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝－6.∴g (x )＝－6x 2－5x －1的零点为－12,－13.11．已知集合{}0122=+-=x ax x A ，若A 中至多有一个元素，则实数a 的取值范围为 ▲ ．答案：0=a 或1≥a12．若定义在区间（－1，0）内的函数f （x ）＝a 2log （x ＋1）满足f （x ）＞0，则a 的取值范围为。

江苏省南京市2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题含解析

南京市阶段学情调研试卷高一数学（答案在最后）注意事项：1．本试卷包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）四部分。

本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。

2．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级填在答题卡上指定的位置。

3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1.已知集合{}220A x x x =->，{}1,2,3B =，则A B = （）A.{}1 B.{}2,3 C.{}3 D.{}1,2【答案】C 【解析】【分析】解出集合A ，再利用交集的含义即可得到答案.【详解】{}{2202A x x x x x =->=或}0x <，则{}3A B ⋂=，故选：C.2.函数()f x =的定义域为（）A.(],3-∞ B.()1,+∞ C.(]1,3 D.()[),13,-∞⋃+∞【答案】C 【解析】【分析】由函数形式得到不等式组，解出即可.【详解】由题意得()()31010x x x ⎧--≥⎨-≠⎩，解得13x <≤，则定义域为(]1,3，故选：C.3.若函数()f x 和()g x 分别由下表给出，满足()()2g f x =的x 值是（）x1234()f x 2341x1234()g x 2143A.1B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】从外到内逐步求值．【详解】由()()2g f x =，则()1f x =，则4x =.故选：D4.“1k >-”是“函数3y kx =+在R 上为增函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据一次函数的性质与必要不充分条件的判定即可得到答案.【详解】当12k =-时，满足1k >-，但是函数3y kx =+在R 上为减函数，则正推无法推出；反之，若函数3y kx =+在R 上为增函数，则01k >>-，则反向可以推出，则“1k >-”是“函数3y kx =+在R 上为增函数”的必要不充分条件，故选：B .5.函数()241x f x x =+的图象大致为（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式得：()()241xf x f xx--==+，则函数()f x为偶函数，其图象关于坐标y轴对称，B、D错误；当1x=时，42011y==>+，D错误.故选：A.6.已知0m>，0n>，2ln2ln2ln2m n+=，则142m n+的最小值是（）．A.18B.9C.4615D.3【答案】B【解析】【分析】根据对数的运算得21m n+=，再利用乘“1”法即可得到最小值.【详解】2212ln2ln2ln2ln2ln2ln2m n m n m n++===+，所以21m n+=，且0m>，0n>，所以()141482559222n mm nm n m n m n⎛⎫+=++=++≥+⎪⎝⎭，当且仅当82n m m n =，即1623m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立，故选：B.7.设m 为实数，若二次函数22y x x m =-+在区间()1,+∞上有且仅有一个零点，则m 的取值范围是（）A.()1,+∞ B.[)1,+∞ C.(),1-∞ D.R【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数的性质求得正确答案.【详解】二次函数22y x x m =-+的开口向上，对称轴为1x =，要使二次函数22y x x m =-+在区间()1,+∞上有且仅有一个零点，则需21210,1m m -⨯+<<，所以m 的取值范围是(),1-∞.故选：C8.已知定义在R 上的函数()f x 是单调递增函数，()()()22g x x f x =-+是偶函数，则()0g x ≤的解集是（）A.(][),22,-∞-+∞U B.[]22-,C.(],2-∞- D.[)2,+∞【答案】B 【解析】【分析】综合单调性和奇偶性再分类讨论即可.【详解】因为()()()22g x x f x =-+是偶函数，且()20g =，(2)4(0)0g f ∴-=-=，又因为()f x 在R 上是单调递增函数，当0x >时，()0f x >；当0x <时，()0f x <，当2x <-时，2020x x +<⎧⎨-<⎩，则()20f x +<，此时()()2(2)0g x x f x =-+>，不成立，当22x -<<时，2020x x +>⎧⎨-<⎩，则()20f x +>，此时()()2(2)0g x x f x =-+<，成立，当2x >时，2020x x +>⎧⎨->⎩，则()20f x +>，此时()(2)()0g x x f x =->不成立，且2x =或2-时，()0g x =，成立，综上，()0g x ≤的解集为[]22-,，故选：B.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．请把答案填涂在答题卡相应位置上．9.若“x M ∃∈，0x <”为真命题，“x M ∃∈，2x ≥”为假命题，则集合M 可以是（）A.(),1-∞ B.[]1,3- C.[)0,2 D.()2,2-【答案】AD 【解析】【分析】依题意可知M 中存在小于0的元素且不存在大于或等于2的元素，即可判断.【详解】依题意可知M 中存在小于0的元素且不存在大于或等于2的元素，则(),1-∞和()2,2-符合题意.故选：AD10.以下结论正确的是（）A.函数1y x x =+的最小值是2 B.若,R a b ∈且0ab >，则2b a a b+≥C.y =+2D.函数()102y x x x =+<-的最大值为0【答案】BC 【解析】【分析】根据基本不等式即可结合选项逐一求解.【详解】对于选项A ，对于函数1y x x=+，当0x <时，0y <，所以A 错误；对于选项B ，由于0ab >，所以0,0b aa b>>，所以2b a a b +≥=，当且仅当22,b a a b a b ==时等号成立，所以B 正确；对于选项C2+≥=即0x =，故C正确，对于选项D ，由于0x <，20x ->，所以111222220222y x x x x x x ⎛⎫=+=-++=--++≤- ⎪---⎝⎭，当且仅当12,2x x-=-即1x =时等号成立，这与0x <矛盾，故D 错误．故选：BC11.下列说法正确的是（）A.若()y f x =是奇函数，则()00f =B.1y x =+和y =表示同一个函数C.函数()f x 在(],0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递增，则()f x 在R 上是增函数D.若()()R y f x x =∈满足()()12f f >，则()f x 不是单调递增函数【答案】BD 【解析】【分析】根据反例即可判断AC,根据函数的定义域和对应关系即可判断B ，由单调函数的定义即可判断D.【详解】当奇函数在0x =处有定义时，才有()00f =，例如()1f x x=为奇函数，但是不满足()00f =，故A 错误，1y x =+和1y x ==+的定义域均为R ，对应关系也一样，故表示同一个函数，B 正确，若函数的图象如下，满足()f x 在(],0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递增，但是()f x 在R 上不是单调递增函数，故C 错误，若()()R y f x x =∈满足()()12f f >，则()f x 不是单调递增函数，故D 正确，故选：BD12.关于x 的不等式210ax bx +-<，下列关于此不等式的解集结论正确的是（）A.不等式210ax bx +-<的解集可以为()1,+∞B.不等式210ax bx +-<的解集可以为RC.不等式210ax bx +-<的解集可以为∅D.不等式210ax bx +-<的解集可以为{}11x x -<<【答案】BD 【解析】【分析】根据题意，由不等式的解集，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】假设结论成立，则0,0a b =<，则不等式为10bx -<，解得1x b >，因为0b <，所以11b≠，故结论不成立，所以A 错误；当2Δ40a b a <⎧⎨=+<⎩时，210ax bx +-<在R 上恒成立，故B 正确；当0x =时，不等式2110ax bx +-=-<，则解集不可能为∅，故C 错误；假设结论成立，则()011111a ba a⎧⎪>⎪⎪-=-+⎨⎪-⎪=-⨯⎪⎩，即10a b =⎧⎨=⎩，符合题意，故D 正确；故选：BD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填涂在答题卡相应位置上．13.命题“[]1,3x ∀∈，()()2f x f ≤”的否定是____________．【答案】[]1,3x ∃∈，()()2f x f >【解析】【分析】根据全称命题的否定即可得到答案.【详解】根据全称命题的否定为存在命题，且范围不变，结论相反，则其否定为[]1,3x ∃∈，()()2f x f >，故答案为：[]1,3x ∃∈，()()2f x f >.14.设2log 93a =，则9a -=___________．【答案】18##0.125【解析】【分析】根据对数、指数的运算可得答案.【详解】因为22log 9log 93aa ==，所以3982a ==，即11988a--==.故答案为：18.15.函数()12x f x x -=-的单调递减区间是_____________【答案】(),1-∞和()2,+∞【解析】【分析】根据题意整理()f x 的解析式可得()()()[)11,,12,211,1,22x x f x x x ∞∞⎧+∈-⋃+⎪⎪-=⎨⎪--∈⎪-⎩，据此作出函数图像，利用图象分析函数的单调区间.【详解】由题意可知：()f x 的定义域为()(),22,-∞+∞ ，可得()()()[)111,,12,1221121,1,222x x x x x f x x x x xx ∞∞-⎧=+∈-⋃+⎪-⎪--==⎨--⎪=--∈⎪--⎩，作出()f x的图象，由图象可知函数()f x 的单调递减区间是(),1-∞和()2,+∞.故答案为：(),1-∞和()2,+∞.16.函数()()()22111f x k x k x =-+-+只有一个零点，则k 的取值集合为___________【答案】51,3⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】分1k =±和1k ≠±讨论即可.【详解】（1）若210k -=，即1k =±时，①当1k =时，此时()1f x =，此时没有零点，②当1k =-时，此时()21f x x =-+，令()210f x x =-+=，解得12x =，符合题意，（2）当1k ≠±时，令()()()221110f x k x k x =-+-+=，则()()221410k k ∆=---=，解得53k =-或1（舍去），综上53k =-或1-，则k 的取值集合为51,3⎧⎫--⎨⎬⎩⎭.故答案为：51,3⎧⎫--⎨⎬⎩⎭.四、解答题：本大题共6小题，其中第17题10分，18--22题每题12分，共70分．请把答案填涂在答题卡相应位置上．17.（1）求()122320131.52348π--⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；（2）已知17x x -+=，求1122x x -+的值．【答案】（1）12；（2）3【解析】【分析】（1）利用幂的运算性质运算即可得解.（2）利用幂的运算性质及完全平方公式运算即可得解.【详解】解：（1）()2122223323320133272331.52π3114828322-----⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+---+--⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎢⎥⎣⎦=⎝⎭2232222321321321213223223232⎛⎫⨯-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭=⎭=.（2）由题意，17x x -+=，则0x >∴2112212729--⎛⎫=++=+= +⎪⎝⎭x x x x ，∵0x >，∴1122x x->+，∴11223x x-+=.18.设全集U =R ，集合{}2650A x x x =-+≤，集合{}212B x a x a =-≤≤+，其中a ∈R ．（1）当3a =时，求()U A B ⋂ð；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求a 的取值范围．【答案】（1）[)(]1,15,7- （2）[)2,+∞【解析】【分析】（1）求出集合A 的等价条件，再求出U A ð，结合集合的基本运算进行求解.（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系建立不等式关系进行求解即可.【小问1详解】集合{}[]26501,5A x x x =-+≤=，所以()(),15,U A ∞∞=-⋃+ð，当3a =时，{}[]171,7B x x =-≤≤=-；所以[)(]1,15,7U A B ⋂=-⋃ð．【小问2详解】由题意得到[]1,5A =，由“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件可得A B ⊆，则21a -≤且125a +≥，解得2a ≥；所以a 的取值范围是[)2,+∞．19.已知二次函数()f x 满足()()246f x f x x +-=+，且()00f =．（1）求()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式()()21f x x m x ->-．【答案】（1）()2f x x x=+（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可将条件代入求解，（2）分类讨论即可求解一元二次不等式的解.【小问1详解】设()2f x ax bx c =++，0a ≠由()00f =，得()20c f x ax bx =⇒=+又()()()()()22222f x f x a x b x ax bx +-=+++-+44246ax a b x =++=+，则44426a a b =⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，所以()2f x x x =+．【小问2详解】由已知，()()221x x x m x +->-即()210x m x m -++>，即()()10x m x -->，①当1m =时，原不等式即为：()210x ->，解得1x ≠；②当1m <时，解得x m <或1x >；③当1m >时，解得1x <或x >m综上，当1m =时，不等式的解集为：()(),11,-∞+∞ ，当1m <时，不等式的解集为：()(),1,m -∞+∞ ，当1m >时，不等式的解集为：()(),1,m -∞⋃+∞．20.已知21a b +=（1）求224a b +的最小值；（2）若a ，b 为正数，求41a a b++的最小值．【答案】（1）12（2）1+【解析】【分析】（1）法一，利用基本不等式求最值；法二，消元结合二次函数求最值；（2）灵活运用“1”求最值.【小问1详解】法一、()22221422a b a b ++≥=，当且仅当2a b =，即12a =，14b =时取等号；法二、()22222211141248418422a b b b b b b ⎛⎫+=-+=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当12a =，14b =取等号；【小问2详解】若,a b 为正数，则10a +>，0b >4412412111a b a b a b a b-+=+=+-+++()14218112262121221b a a b a b a b +⎛⎫⎛⎫=+⋅++-=+-≥+ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，当且仅当811b a a b+=+时等号成立，∴当3a =-，1b =时，min 411a a b ⎛⎫+=+ ⎪+⎝⎭21.已知函数()21ax b f x x-=+是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断()f x 在[]1,1-上的单调性，并用单调性定义证明；（3）解不等式()()()210f t f tf -+>．【答案】21.()221x f x x-=+，[]1,1x ∈-22.减函数；证明见解析；23.510,2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质和()11f =求解即可.（2）利用函数单调性定义证明即可.（3）首先将题意转化为解不等式()()21f tf t >-，再结合()f x 的单调性求解即可.【小问1详解】函数()21ax b f x x-=+是定义在[]1,1-上的奇函数，()()f x f x -=-；2211ax b ax b x x ---=-++，解得0b =，∴()21ax f x x=+，而()11f =-，解得2a =-，∴()221x f x x-=+，[]1,1x ∈-．【小问2详解】函数()221x f x x-=+在[]1,1-上为减函数；证明如下：任意[]12,1,1x x ∈-且12x x <，则()()()()()()121212122222121221221111x x x x x x f x f x x x x x ------=-=++++因为12x x <，所以120x x -<，又因为[]12,1,1x x ∈-，所以1210x x ->，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()()12f x f x >在[]1,1-上为减函数．【小问3详解】由题意，()()()210f t f tf -+>，又()00f =，所以()()210f t f t -+>，即解不等式()()21f t f t >--，所以()()21f t f t >-，所以22111111t t t t ⎧-≤≤⎪-≤-≤⎨⎪<-⎩，解得102t ≤<，所以该不等式的解集为10,2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭．22.已知()42f x x x m x =-+，R m ∈．（1）若()13f =，判断()f x 的奇偶性．（2）若()f x 是单调递增函数，求m 的取值范围．（3）若()f x 在[]1,3上的最小值是3，求m 的值．【答案】（1）当0m =时，()f x 是奇函数；当12m =时，()f x 既不是奇函数，也不是偶函数（2）1122m -≤≤（3）0m =或12m =【解析】【分析】（1）由()13f =，解出m ，代入结合函数的奇偶性进行判断；（2）即在4x m =的左右两侧都单调递增；（3）由（2）1122m -≤≤，()f x 在[]1,3上单调递增，进而对12m <-，12m >时进行分类讨论即可.【小问1详解】函数()f x 的定义域为R ，()13f =，则1423m -+=，解得0m =或者12m =当0m =时，()f x x x x =+，因为()()f x x x x x x x f x -=---=--=-，所以()f x 是奇函数．当12m =时，()22f x x x x =-+，R m ∈()15f -=-，()()11f f ≠-，()()11f f ≠--，所以()f x 既不是奇函数，也不是偶函数．【小问2详解】由题意得()()()2242,4,42,4,x m x x m f x x m x x m ⎧--≥⎪=⎨-++<⎪⎩当21421m m m -≤≤+，即1122m -≤≤时，()f x 在R 上是增函数．【小问3详解】①1122m -≤≤，()f x 在[]1,3上单调递增，()f x 在1x =处取得最小值，()13f =，解得0m =或者12m =；②12m <-时，()f x 在[)21,m -+∞单调递增，因为212m -<-，[][)1,321,m ⊂-+∞，()f x 在[]1,3上单调递增，所以()f x 在1x =处取得最小值，()13f =，无解；③12m >，()f x 在(],21m -∞+单调递增，在[]21,4m m +单调递减，在[)4,m +∞单调递增．若213m +≥，即m 1≥时，函数()f x 在[]1,3上单调递增，所以()f x 在1x =处取得最小值，()13f =，无解；若2134m m +<≤，即314m ≤<时，()f x 在[]1,21m +单调递增，在[]21,3m +上单调减，因为()36f >，所以()f x 在1x =处取得最小值，()13f =，无解；若43m <，即1324m <<，()f x 在[]1,21m +单调递增，在[]21,4m m +单调递减，在[]4,3m 单调增，()13f =，。

江苏省南京市第一中学2018-2019学年高一上学期10月月考数学试题(解析版)

南京一中高一数学月考试卷一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把正确答案填在题中横线上）1. 下列各组函数中，表示同一函数的是__________．①()1f x x =+与；②与()g x = ③()21f x x =+与；④与【答案】④．【解析】【分析】根据函数的两要素定义域与对应法则分析即可求出.【详解】①()1f x x =+与中，的定义域为R ，的定义域为{|0}x x ≠，故不是同一函数；②与()g x =，其中()f x ==-与()g x =对应法则不同，故不是同一函数；③()21f x x =+与，的定义域为R ，的定义域为{|0}x x ≠，故不是同一函数；④与，2()|1|g t t ==-与对应法则相同，定义域都为R ，故为同一函数.【点睛】本题主要考查了构成函数的两要素定义域与对应法则，属于中档题. 2. 函数1()(2)1x f x x x -=≥+的值域是__________．【答案】. 【解析】【分析】化简函数的解析式，利用基本函数的增减性求解即可. 【详解】因为12()1(2)11x f x x x x -==-≥++，当时，，所以，故1()(2)1x f x x x -=≥+的值域. 【点睛】本题主要考查了反比例函数的单调性及函数的化简，属于中档题. 3. 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，则值为__________．【答案】. 【解析】根据完全平方公式，展开，代入已知即可求解. 【详解】根据完全平方公式可得：，所以，解得：.【点睛】本题主要考查了三个数的和的完全平方公式，属于中档题. 4. 设{}12A x x =<<，，若，则实数的取值范围是__________．【答案】. 【解析】分析】根据真子集的概念，得到与2的相对关系，即可求解. 【详解】因为{}12A x x =<<，，且，所以，故的取值范围是.【点睛】本题主要考查了集合真子集的概念，属于容易题.5. 设集合，{}13,5A =,，{}2,3,5B =，则图中阴影部分表示的集合是__________．【答案】. 【解析】【分析】图中阴影部分为全集中除去AB 部分，可用补集来表示即可. 【详解】在全集中，空白部分为{3,5}A B =，所以阴影部分为(){}B 1,2,4UA ⋂=.【点睛】本题主要考查了交集与补集的运算，属于容易题. 6. 已知2(21)f x x x +=+，则__________．【答案】【解析】设2x+1=t,则，f(t)= ，即f(t)= ,所以f(x)= .点睛：换元法是求函数解析式的常用方法之一，它主要用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题．它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域．7. 已知：集合{}023M =，，，定义集合运算※{|,,}x x a b a A b A =+∈∈，则 ※= 【答案】【解析】【分析】由集合{}0,2,3M =，可知所有取值，进而可求出的所有值，从而可求出※. 【详解】由题意知，集合{}0,2,3M =，则可取的值为:，故的值为0,2,3,4,5,6；则※=. 故答案为.【点睛】本题考查了新定义题，要结合题干条件、抓住运算的本质，属于基础题. 8. 函数的定义域是__________．【答案】【解析】【分析】根据解析式，函数有意义需要，，三部分同时有意义，即可求解. 【详解】要使函数有意义，则需，解得且，所以函数的定义域是.【点睛】本题主要考查了有解析式的函数的定义域，属于中档题. 9. 已知全集，集合{}10A x x =-≥，{}B x x x ==-，()UB A =__________．【答案】. 【解析】【分析】化简集合A,B ，根据并集、补集运算即可求解.【详解】因为{}{}101A x x x x =-≥=≥，{}{}|0B x x x x x ==-=≤，所以{|0B x A x =≤或，由知，.【点睛】本题主要考查了集合的并集、补集运算，属于中档题. 10. 已知函数，分别由下表给出则[(1)]f g 的值为________________；满足[()][()]f g x g f x >的的值是______________．【答案】1，2 【解析】[(1)]f g =；当x=1时，，不满足条件，当x=2时，，满足条件，当x=3时，，不满足条件， ∴ 只有x=2时，符合条件．11. 已知集合A ＝{x |x 2＝1}，B ＝{x |ax ＝1}，若A ∪B ＝A ，则实数a ＝【答案】【解析】【分析】根据集合关系，建立条件关系即可得到结论．【详解】集合A ＝{x |x 2＝1}＝{1，﹣1}， ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，若a ＝0，则B ＝∅，满足条件．若a ≠0，则B ＝{]，则此时±1，解得a ＝±1，综上a ＝0或±1，故答案为a ＝0或±1【点睛】本题主要考查集合关系的应用，注意要对a 进行分类讨论．12. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程(为时间)，则下图与故事情节相吻合的是（） A. B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】分别分析乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化情况,即直线的斜率变化即可.【详解】解：对于乌龟，其运动过程分为两段：从起点到终点乌龟没有停歇，一直以匀速前进，其路程不断增加；到终点后，等待兔子那段时间路程不变；对于兔子，其运动过程分三段：开始跑的快,即速度大，所以路程增加的快；中间由于睡觉，速度为零，其路程不变；醒来时追赶乌龟，速度变大，所以路程增加的快；但是最终是乌龟到达终点用的时间短. 故选：B ．【点睛】本题考查利用函数图象对实际问题进行刻画，是基础题.13. 已知实数，函数2,1()2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩，若(1)(1)f a f a -=+，则a 的值为________ 【答案】【解析】【分析】分当时和当时两种分别讨论求解方程，可得答案.【详解】当时，11,1+>1a a -<，所以(1)(1)f a f a -=+，()()211+2,a a a a -+=--解得，不满足，舍去；当时，1>1,1+1a a -<，所以()()1221,a a a a ---=++解得，满足. 故答案为：.【点睛】本题考查解分段函数的方程，在分段函数求函数值的时候，要把自变量代入到所对应的解析式中是解本题的关键，属于基础题．14. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“姊妹函数”，那么函数解析式为，值域为的“姊妹函数”共有__________个．【答案】. 【解析】【分析】根据解析式和值域，推导定义域的可能性问题，定义域中必须有0，然后分析及必须至少有一个，从而求解.【详解】因为，值域为，当||0y x ==时，，时，，时，，所以定义域中必有这个元素，而对于至少有一个元素，共三种可能，对于同理也有三种可能，所以乘法原理共有种（该题也可以选择穷举的方法解决）．【点睛】本题主要考查了函数的定义域；值域问题，涉及分类讨论思想，属于中档题.第Ⅱ卷（共90分）二、解答题（本大题共66小题，共858分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. ⑴已知集合{}2,,M a b =，{}22,2,N a b=且．求，的值．⑵已知{}8A x a x a =<≤+，{}1,5B x x x =-或．若A B =R ，求的取值范围．【答案】⑴或；⑵. 【解析】【分析】（1）根据集合相等考虑或即可（2）根据并集为R 结合数轴可得端点关系，即可求解. 【详解】⑴因为{}2,,M a b =，{}22,2,N a b =且，所以或，解得或或，检验，当时不符合集合中元素的互异性，舍去. 故或.⑵ 因为A B =R 所以，故的取值范围.【点睛】本题主要考查了集合相等，集合的并集，属于中档题. 16. 分解因式： ⑴1xy x y -+-； ⑵； ⑶.【答案】⑴；⑵(22)(3)x y x y -++-；⑶2(1)(2)x x +- 【解析】【分析】（1）先结合第一项与第三项，提公因式，然后再提公因式即可（2）观察后变形为，提取公因式即可（3）变形为，利用立方和和平方差公式即可. 【详解】⑴; ⑵(2+2(3)x y x y =-+-）.⑶3232223413(1)(1)(1)3(1)(1)(1)(44)x x x x x x x x x x x x -+=+--=+-+-+-=+-+2(1)(2)x x =+-.【点睛】本题主要考查了公式法及提取公因式法分解因式，观察变形，正确运用公式是关键，属于难题. 17. 若和分别是一元二次方程22530x x +-=的两根，求： ⑴||的值； ⑵的值； ⑶的值．【答案】⑴；⑵；⑶. 【解析】【分析】根据韦达定理可知，,（1）利用12||x x -==2）利用求解（3）利用立方和公式展开即可代入求解.【详解】因为和分别是一元二次方程22530x x +-=的两根，所以根据韦达定理可知，. （1）127||2x x -====. （2）222121212222222121212253(37)2114994x x x x x x x x x x x x ++=+-+===. （3） .【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，考查了变形能力与计算能力，属于中档题. 18. 设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，集合{}{}()1,2A x f x x ===，且(0)2f =. ⑴求函数的解析式；⑵求当[0,](0)x m m ∈>时的值域．【答案】（1）2()22f x x x =-+；（2）①时，值域为，②时，值域为，③时，值域为.【解析】【分析】（1）由(0)2f =可得，由A 可知方程的根，代入解方程组即可求出，写出解析式（2）根据与对称轴的关系，分类讨论即可求解.【详解】⑴，由题意得=的解为和，带入得，解得，2()22f x x x ∴=-+；（3）如下图，值域需要考虑最值，按的位置分为下面三类：①时，最大，最小，值域为， ②时，最大，最小，值域， ③时，最大，最小，值域为..【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质 19. 已知函数()2(1)f x x x =-+．⑴作出函数的图象； ⑵写出的单调增区间；⑶判断关于的方程2(1)x x a -+=的解的个数.【答案】（1）作图见解析（2）和（3）答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）化简的解析式，利用二次函数的图象性质作图（2）根据图象写出函数单调递增区间（3）根据图象可得出方程解的个数.【详解】⑴222,2()2(1)2,2x x x f x x x x x x ⎧--≥=-+=⎨-++<⎩, 作出图象见图；⑵根据图象可得：单调递增区间为和 ⑶根据图象可得：①()9,0,4a ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，个，②时，个， ③时，个.【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，方程的根与函数图像的关系，属于中档题. 20. 解关于的不等式.【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】化简不等式为，对分类讨论，分，两大类，在时，根据与关系分三类，数轴穿根即可求解.【详解】21(1)110ax a x ax a x x-+++≤+⇔≤即等价于 1时，即2.时，三次不等式对应方程的三个根分别为，和；⑴时，利用数轴标根法，大致图像为：[)1,01,x a ⎡⎫∴∈+∞⎪⎢⎣⎭；⑵时，草图为：需要判断和的大小①时，解集为； ②时，解集为； ③时，解集为. 综上：①时，解集为； ②时，解集为； ③时，解集为； ④时，解集为； ⑤时，解集为.【点睛】本题主要考查了含参不等式的解法，关键在于分类讨论思想方法，属于难题.：。

南京市第一中学2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题(含答案)

南京市第一中学2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题2022.12一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）1.已知{M xx A =∈∣且}x B ∉，若集合{}{}1,2,3,4,5,2,4,6,8A B ==，则M =（）A.{}2,4 B.{}6,8 C.{}1,3,5 D.{}1,3,6,82.命题“30,0x x x ∀≥+≥”的否定是（）A.30,0x x x ∀≥+<B.30,0x x x ∀<+≥C.30,0x x x ∃≥+< D.30,0x x x ∃≥+≥3.已知01x <<，若22log ,2,xa xbc x ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c<< B.a c b<< C.c<a<bD .c b a<<4.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深1CD =，锯道2AB =，则图中 ACB的长度为（）A.2πB.2C.πD.5.下列函数中，既是偶函数又在()0,∞+单调递增的函数是（）A.3y x = B.1y x =+ C.21y x =- D.2xy -=6.已知,b c ∈R ，关于x 的不等式20x bx c ++<的解集为()2,1-，则关于x 的不等式210cx bx ++>的解集为（）A.1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B.11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C.()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭ D.()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭7.函数()2()ax bf x x c +=+的图象如图所示，则（）A.0,0,0a b c <<<B.0,0,0a b c ><>C.0,0,0a b c >><D.0,0,0a b c ><<8.已知函数2,2,()9,2,x a x f x x x ⎧-≤-=⎨+>-⎩(0,1)a a >≠的值域是(7,)+∞，则实数a 的取值范围是（）A.113a << B.103a <≤C.1a >D.103a <<二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）9.下列给出的各角中，与53π-终边相同的角有（）A.3πB.133π C.23π-D.173π-10.已知,,0x y x y ∈<<R 且，则（）A.sin sin x y<B.< C.21x y -< D.11x y x y <++11.下列说法正确的是（）A .若x ∈R ，则函数2y x x=+有最小值 B.若,0,3x y x y xy >++=，则xy 的最大值1C.若,0,2x y x y >+=，则函数22x y +的最大值为4D.若0,0,1a b a b >>+=，则11a b+的最小值为412.已知函数(),y f x x =∈R ，对于任意()()(),,x y f x y f x f y ∈+=+R ，则A.()f x 的图象经过坐标原点 B.()()33f x f x =C.()f x 单调递增D.()()0f x f x -+=三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.函数()log (3)1(0,1)a f x x a a =++>≠的图象恒过定点___________.14.函数21log 1y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的定义域为________.15.已知角θ的终边经过点(),1(0)P x x >，且tan x θ=．则sin θ的值为_________16.已知正实数x 、y 满足22342x xy y ++=，则95x y +的最小值为________．四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设命题p ：实数满足()()30x a x a --<，其中0a >.命题q ：实数x 满足302x x -≤-.（1）当1a =时，命题p ，q 都为真，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18.（1）已知1tan 2θ=，求sin θ和cos θ的值；（2）已知sin 2cos 0θθ+=，求222sin 113cos +-θθ的值.19.求函数()12281()log log 2,,162f x x x x ⎛⎫⎡⎤=⋅∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域.20.某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w （单位：百千克）与肥料费用x （单位：百元）满足如下关系：投入的肥料费用不超过5百元时，341w x =-+，且投入的肥料费用超过5百元且不超过8百元时2111616w x x =-++．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）2x 百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为()L x （单位：百元）．（1）求利润()L x 的函数解析式；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？21.已知函数()2()21x x bf x b R -=∈+是奇函数.（1）求b 的值；（2）判断函数()f x 在定义域上的单调性并用定义证明；（3）若对任意t R ∈，不等式()()2210f ktf kt +-<恒成立，求实数k 的取值范围.22.已知1a b c <<<，且1log log log 2a b a b c c +=+．（1）若3c a =，求log a b 的值；（2）求log log a b b c +的最小值．高一12月月考数学试卷数学2022.12一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知{M x x A =∈∣且}x B ∉，若集合{}{}1,2,3,4,5,2,4,6,8A B ==，则M =（）A.{}2,4 B.{}6,8 C.{}1,3,5 D.{}1,3,6,8【答案】C 【解析】【分析】根据集合M 的定义求解即可【详解】因为集合{}{}1,2,3,4,5,2,4,6,8A B ==，{M x x A =∈∣且}x B ∉，所以{}1,3,5M =，故选：C2.命题“30,0x x x ∀≥+≥”的否定是（）A.30,0x x x ∀≥+< B.30,0x x x ∀<+≥ C.30,0x x x ∃≥+< D.30,0x x x ∃≥+≥【答案】C 【解析】【分析】由“改量词，否结论”，可得答案.【详解】由“改量词，否结论”,命题“30,0x x x ∀≥+≥”的否定是“30,0x x x ∃≥+<”.故选：C3.已知01x <<，若22log ,2,x a x b c x ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c << B.a c b << C.c<a<b D.c b a <<【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数对数函数及幂函数的性质，分别求出,,a b c 的范围，即可判断,,a b c 的大小关系.【详解】当01x <<时，22log 0,2,101x x x ><<<，故a c b <<，故选：B.4.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深1CD =-，锯道2AB =，则图中ACB的长度为（）A.2π B.2C.πD.【答案】B 【解析】【分析】设圆的半径为r ，根据勾股定理可求得r 的值，求出AOB ∠，利用扇形的弧长公式可求得结果.【详解】设圆的半径为r ，则)1ODr CD r =-=-，112AD AB ==，由勾股定理可得222OD AD OA+=，即)2211r r ⎡⎤--+=⎣⎦，解得r =所以，OA OB ==，2AB =，所以，222OA OB AB +=，故2AOB π∠=，因此，22ACB ππ==.故选：B.5.下列函数中，既是偶函数又在()0,∞+单调递增的函数是（）A.3y x = B.1y x =+ C.21y x =- D.2xy -=【答案】B 【解析】【分析】函数函数的初等函数的单调性和奇偶性，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，函数3y x =为奇函数，不符合题意；对于B 中，函数1y x =+的定义域为R ，且()()f x f x -=，所以为偶函数，当()0,x ∈+∞时，函数1y x =+为单调递增函数，符合题意；对于C 中，函数21y x =-为非奇非偶函数，不符合题意；对于D 中，当()0,x ∈+∞时，函数112()2x y -==单调递减函数，不符合题意.故选：B.6.已知,b c ∈R ，关于x 的不等式20x bx c ++<的解集为()2,1-，则关于x 的不等式210cx bx ++>的解集为（）A.1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B.11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C.()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭D.()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】由利用韦达定理可得,b c ，代入所求不等式解不等式即可.【详解】因为不等式20x bx c ++<的解集为()2,1-，所以2121-=-+⎧⎨=-⨯⎩b c 即12=⎧⎨=-⎩b c ，不等式210cx bx ++>等价于2210x x -++>，解得112x -<<.故选：A.7.函数()2()ax b f x x c +=+的图象如图所示，则（）A.0,0,0a b c <<< B.0,0,0a b c ><> C.0,0,0a b c >>< D.0,0,0a b c ><<【答案】D 【解析】【分析】通过函数的定义域可求出c 的范围，由(0)f 可判断b 的范围，由函数图象与x 轴的交点可判断a 的范围【详解】函数的定义域为{}x x c ≠-，由图可知0c ->，则0c <，由图可知2(0)0bf c =<，所以0b <，由()0f x =，得0ax b +=，bx a=-，由图可知0ba ->，得0b a<，所以0a >，综上，0a >，0b <，0c <，故选：D8.已知函数2,2,()9,2,x a x f x x x ⎧-≤-=⎨+>-⎩(0,1)a a >≠的值域是(7,)+∞，则实数a 的取值范围是（）A.113a << B.103a <≤C.1a > D.103a <<【答案】D 【解析】【分析】先由分段函数值域的求法可得9x a >在(],2x ∈-∞-恒成立，再结合不等式恒成立问题求解即可.【详解】解：由已知有，当2x >-时，()9f x x =+，即()7f x >，又函数2,2,()9,2,x a x f x x x ⎧-≤-=⎨+>-⎩(0,1)a a >≠的值域是(7,)+∞，则()2x f x a =-在(],2x ∈-∞-恒有()7f x >，即9xa >在(],2x ∈-∞-恒成立，显然有2019a a -<<⎧⎨>⎩，即103a <<，故选：D.【点睛】本题考查了分段函数值域的求法，重点考查了对数不等式恒成立问题，属中档题.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分）9.下列给出的各角中，与53π-终边相同的角有（）A.3πB.133π C.23π-D.173π-【答案】ABD 【解析】【分析】利用终边相同的角的定义判断.【详解】A.因为5233πππ=-，故正确；B.因为135633πππ=-，故正确；C.令25233k πππ-=-，解得12k Z =∉，故错误；D.因为175433πππ-=--，故正确；故选：ABD10.已知,,0x y x y ∈<<R 且，则（）A.sin sin x y < B.<21x y -< D.11x yx y <++【答案】BCD 【解析】【分析】取特殊值可说明A 错；根据指数函数以及幂函数的单调性，可判断B,C 的对错；利用作差法可判断D 的对错.【详解】对于A ，取2,33x y ππ==满足,,0x y x y ∈<<R 且，但sin sin x y =，故A 错；对于B ，12y x=是定义域上的增函数，故,,0x y x y ∈<<R 且<B 正确；对于C,0x y -<,故0221x y -<=，故C 正确；对于D ，011(1)(1)x y x y x y x y --=<++++，故11x y x y <++，故D 正确，故选：BCD.11.下列说法正确的是（）A.若x ∈R ，则函数2y x x=+有最小值 B.若,0,3x y x y xy >++=，则xy 的最大值1C.若,0,2x y x y >+=，则函数22x y +的最大值为4D.若0,0,1ab a b >>+=，则11a b+的最小值为4【答案】BD 【解析】【分析】对于A 、C ，利用基本不等式，可得答案；对于B ，利用基本不等式，建立不等式，结合二次不等式，可得答案；对于D ，根据基本不等式中“1”的妙用，可得答案.【详解】对于A ，当0x <时，22y x x x x ⎛⎫=+=--+≤-- ⎪-⎝⎭，故A 错误；对于B ，由,0x y >，则x y +≥x y =时等号成立，即3xy -≥整理可得)310≤，解得1≤，故B 正确；对于C ，由,0x y >，则2,21x y >，即224x y +≥===，当且仅当22x y =，即x y =时等号成立，故C 错误；对于D ，()11111124a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当a b b a =，即a b =时等号成立，故D 正确.故选：BD.12.已知函数(),y f x x =∈R ，对于任意()()(),,x y f x y f x f y ∈+=+R ，则A.()f x 的图象经过坐标原点B.()()33f x f x =C.()f x 单调递增D.()()0f x f x -+=【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，令0x y ==可判断，对于B ，分别令y x =和2y x =化简计算即可，对于C ，利用单调的定义判断，对于D ，令y x =-进行判断【详解】对于A ，令0x y ==，则(0)2(0)f f =，得(0)0f =，所以()f x 的图象经过坐标原点，所以A 正确，对于B ，令y x =，则()()22f x f x =，再令2y x =，则()()()32()2()3()f x f x f x f x f x f x =+=+=，所以B 正确，对于D ，令y x =-，则(0)()()f f x f x =+-，因为(0)0f =，所以()()0f x f x -+=，所以D 正确，对于C ，任取12,x x R ∈，且12x x <，由D 选项可知22()()f x f x -=-，所以121212()()()()()f x x f x f x f x f x -=+-=-，而12()f x x -的符号不确定，所以不能确定函数的单调性，所以C 错误，故选：ABD三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.函数()log (3)1(0,1)a f x x a a =++>≠的图象恒过定点___________.【答案】(-2,1)【解析】【分析】根据对数函数的恒等式，可得答案.【详解】当2x =-时，()()2log 231log 111a a f -=-++=+=，故答案为：()2,1-.14.函数21log 1y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为________.【答案】()(),01,-∞⋃+∞【解析】【详解】要使21log 1y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有意义，须110x ->，即10x x ->，解得1x >或0x <，即函数21log 1y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为()(),01,∞∞-⋃+；故答案为()(),01,∞∞-⋃+.15.已知角θ的终边经过点(),1(0)P x x >，且tan x θ=．则sin θ的值为_________【答案】2【解析】【分析】根据三角函数定义即可求解．【详解】由于角θ的终边经过点(),1(0)P x x >，所以1tan x xθ==，得1x =所以sin2θ==故答案为：216.已知正实数x、y满足22342x xy y++=，则95x y+的最小值为________．【答案】【解析】【分析】分析可得()()32x y x y++=，再利用基本不等式可求得95x y+的最小值.【详解】因为正实数x、y满足22342x xy y++=，即()()32x y x y++=，由基本不等式可得()()95233x y x y x y+=+++≥=当且仅当()()()()23332x y x yx y x y⎧+=+⎪⎨++=⎪⎩时，等号成立，故95x y+的最小值为故答案为：四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设命题p：实数满足()()30x a x a--<，其中0a>.命题q：实数x满足32xx-≤-.（1）当1a=时，命题p，q都为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q⌝的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）()2,3；（2）[)20,3,3⎛⎤⋃+∞⎥⎝⎦．【解析】【分析】（1）由 1a=，化简命题p，q，然后根据两个命题都为真求解.（2）化简命题p：(),3x a a∈，q⌝：(](),23,x∈-∞⋃+∞，根据p是q⌝的充分不必要条件，由(),3a a(](),23,-∞+∞∪求解.【详解】（1） 1a=时，p：13x<<，q：23x<≤，因为p，q都为真，所以()2,3x∈；（2） 0a>时p：(),3x a a∈，q⌝：(](),23,x∈-∞⋃+∞，因为p是q⌝的充分不必要条件，所以(),3a a(](),23,-∞+∞∪，则32a≤或3a≥，解得23a<≤或3a≥，所以实数a的取值范围是[)20,3,3⎛⎤⋃+∞⎥⎝⎦．18.（1）已知1tan2θ=，求sinθ和cosθ的值；（2）已知sin2cos0θθ+=，求222sin113cos+-θθ的值.【答案】（1）sin5cos5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin5cos5θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；（2）132【解析】【分析】根据同角三角函数的商式关系以及平方关系，建立方程，可得答案；【详解】（1）由同角三角函数的商式关系，则sin 1tan cos 2θθθ==，即cos 2sin θθ=，由同角三角函数的平方关系，则22sin cos 1θθ+=，即22sin 4sin 1θθ+=，解得sin 5θ=±，由cos 2sin θθ=，可得cos 5θ=±，即可得sin 5cos 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin 5cos 5θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.（2）由sin 2cos 0θθ+=，则sin 2cos θθ=-，即sin tan 2cos θθθ==-，222222222222222sin 12sin sin cos 3sin cos 3tan 113cos sin cos 3cos sin 2cos tan 2θθθθθθθθθθθθθθ+++++===-+---()()223211211342222⨯-++===---.19.求函数()12281()log log 2,,162f x x x x ⎛⎫⎡⎤=⋅∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域.【答案】[]4,5-【解析】【分析】根据对数运算化简函数，利用换元法，结合对数函数的性质以及二次函数的性质，可得答案.【详解】()()()()()12222222288log log 2log log 2log log 8log 2log f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=-⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()22222log 3log 1log 2log 3x x x x =-+=--，由1,162x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[]2log 1,4x ∈-，令2log t x =，即[]1,4t ∈-，则()()()222314f x g t t t t ==--=--，易知()g t 在[]1,4-上的值域为[]4,5-，故函数()f x 在1,162⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]4,5-.20.某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w （单位：百千克）与肥料费用x （单位：百元）满足如下关系：投入的肥料费用不超过5百元时，341w x =-+，且投入的肥料费用超过5百元且不超过8百元时2111616w x x =-++．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）2x 百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为()L x （单位：百元）．（1）求利润()L x 的函数解析式；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）248643,05()1131,58x x L x x x x x ⎧--≤≤⎪=+⎨⎪-++<≤⎩；（2）当投入的肥料费用为6.5百元时，该水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是1734百元．【解析】【分析】1）由题意分段求出利润()L x 的函数解析式，即可得解；（2）按照05x ≤≤、58x <≤分类，结合基本不等式、二次函数的性质即可得解.．【详解】（1）由题意，231643,051()16211163,581616x x x L x w x x x x x x ⎧⎛⎫--≤≤ ⎪⎪+⎪⎝⎭=--=⎨⎛⎫⎪-++-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，化简得：248643,05()1131,58x x L x x x x x ⎧--≤≤⎪=+⎨⎪-++<≤⎩；（2）①当05x ≤≤时，4848()643673(1)674311L x x x x x ⎡⎤=--=-++≤-⎢⎥++⎣⎦，当且仅当483(1)1x x =++即3x =时，等号成立，所以当3x =时，()L x 取得最大值43；②当58x <≤时，2()131L x x x =-++，所以当132x =时，()L x 取得最大值，最大值为1317324L ⎛⎫= ⎪⎝⎭；综上所述，当132x =时，()L x 取得最大值1734，故当投入的肥料费用为6.5百元时，该水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是1734百元．21.已知函数()2()21x x bf x b R -=∈+是奇函数.（1）求b 的值；（2）判断函数()f x 在定义域上的单调性并用定义证明；（3）若对任意t R ∈，不等式()()2210f kt f kt +-<恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）1b =；（2）函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增；证明见解析；（3）(]1,0-.【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的定义和性质建立方程关系即可求a b ，的值；（2）2()121x f x =-+，可判断()f x 在(),-∞+∞上单调递增，再利用函数单调性的定义证明；（3）根据函数奇偶性和单调性的性质,将不等式进行转化进行求解即可.【详解】（1）因为()f x 是奇函数，所以()00f =，即002021b -=+，∴1b =，经检验1b =时，21()21xx f x -=+是R 上奇函数；（2）212122()1212121x x x x x f x +--===-+++，则()f x 在(),-∞+∞上单调递增.证明如下：任取12,x x R ∈且12x x <，则()()121222112121x x f x f x -=--+++()()()1221122222221212121x x x x x x -=-=++++，因为12x x <，所以12022x x <<，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增.（3）又因为()f x 是R 上奇函数，所以()()2210f kt f kt +-<，等价于()2(21)f kt f kt <--，即()2(12)f kt f kt <-，因为()f x 为R 上增函数，则212kt kt <-对一切t R ∈恒成立，即2210kt kt +-<恒成立，①0k =显然成立，②20440k k k <⎧⎨∆=+<⎩，解得10k -<<.综上所述，k 的取值范围是(]1,0-.【点睛】方法点晴：本题属于对函数单调性应用的考察，若函数()f x 在区间D 上单调递增，且()()12f x f x >时，则有12,x x D ∈且12x x >；若函数()f x 在区间D 上单调递减，且()()12f x f x >时，则有12,x x D ∈且12x x <；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.22.已知1a b c <<<，且1log log log 2a b a b c c +=+．（1）若3c a =，求log a b 的值；（2）求log log a b b c +的最小值．【答案】（1）3log 2a b =或2（2）2【解析】【分析】（1）由对数的运算得37log log 2a ab b +=，解方程可得答案；（2）由1log log log 2b a a c b c +=+()21log 3log 04a a c c -+，解不等式得3log 2a c 1log log log 2a b a b c c +=+可得答案.【小问1详解】由题意，331log log log 2a b a b a a +=+，即37log log 2a a b b +=，解得3log 2a b =或2．【小问2详解】因为1a b c <<<，所以log 1,log 1,log 1a b a b c c >>>，所以1log log log 2b a ac b c +=+因此1log 2a c +，即()21log 3log 04a a c c -+，解得3log 2a c +3log 2a c -，因为log 1a c>，所以3log 2a c +，故1log log log 22a b a b c c +=+当log log 12a b b c ==+时取等号，所以log log a b b c +的最小值为2+．。

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南京一中高一数学月考试题
一、填空题
1. 等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 的公差为__________.
2. 在ABC V 中，7a =
，b =
c =ABC V 的最小角为__________.
3. 在相距2千米的A ，B 两点处测量目标C ，若75CAB ∠=o ，60CBA ∠=o ，则A ，C 两点之间的距离是_________千米.
4. 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52
S S =__________. 5. 在ABC V 中，30B ∠=o
，AB =
S =AC =__________.
6. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为__________.
7. 在ABC V 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若5a =，4A π=，3cos 5B =，则边c =__________.
8. 在ABC V 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若2b a =，60B A =+o ，则A =__________.
9. 在ABC V 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .
已知2a b +=
，sin B C =，则cos A =__________.
10. 已知在ABC V 中，D 是AC 边上的点，且AB AD =
，BD AD =
，2BC AD =，则sin C 的值为__________.
11. 已知{}n a 是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为n S ，4224S S =+，若对任意的*n ∈N ，都有8n S S ≥成立，则首项1a 的取值范围__________.
12. 已知两个等差数列{}n a 、{}n b ，它们的前n 项和分别是n S 、n T ，若2331
n n S n T n +=-，则
3753526
a a a
b b b b ++=++__________. 13. 设各项均为实数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1010S =，3070S =，则 40S =__________.
14. 在ABC V 中，若tan tan tan tan tan tan A B A C C B =+，则22
2
a b c +=__________.
二、解答题
15. 设等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若3692S S S +=，求数列的公比q .
16. 已知数列{}n a 为等差数列，记{}n a 的前n 项和为n S ，且138a a +=，2412a a +=.
(1) 求{}n a 的通项公式n a 和前n 项和公式n S
(2) 若1a ，k a ，2k S +成等比数列，求正整数k 的值.
17. 在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos 2cos a C c A a c +=+.
(1) 若sin 3sin 4A B =，求c b
的值. (2) 若23C π=
，且8c a -=，求ABC V 的面积S . 18. 如图，在平面四边形ABCD 中，DA AB ⊥，1DE =
，EC =2EA =，
23
ADC π∠=，且CBE ∠，BEC ∠，BCE ∠成等差数列.
(1)求sin CED ∠；(2)求BE 的长.
19. 市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规划建筑用地区
域是半径为R 的圆面.该圆面的内接四边形ABCD 是原棚户建筑用地，测量可知边界2AB AD ==万米，3BC =万米，1CD =万米.(注解：圆内接四边形对角互补)
(1)求原棚户区建筑用地ABCD 中对角A ，C 两点的距离；
(2)请计算出原棚户区建筑用地ABCD 的面积及圆的半径R ；
(3)因地理条件的限制，边界AD ，DC 不能变更，而边界
AB ，BC 可以调整，
为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC 上设计一点P ，使得棚户区改造的新建筑用地
APCD 的面积最大，并求最大值.
20. 设{}n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列(0d ≠),n S 是前n 项
和.记2n n nS b n c
=+，*n ∈N ，其中c 为实数. (1) 若数列{}n c 满足n n S c n
=，证明：数列{}n c 是等差数列； (2) 若0c =，且1b ，2b ，4b 成等比数列，证明：2nk k S n S =(*
,k n ∈N )；
(3) {}n b 是等差数列，证明：0c =.。