五年级奥数-立体图形问题

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小学数学五年级数学奥数举一反三长方体和正方体一13

五年级奥数举一反三
【练习2】
1，有一个形状如下图的零件，求它的体积和表面积。（单位：厘米）。
2，有一个棱长是4厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1 厘米的正方体后，剩下物体的体积和表面积各是多少？ 3，如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上（如图），那么得到的物体的体积和表面积各是多少？
五年级奥数举一反三
【练习5】 1，有一个长方体，它的前面和上面的面积和是88平方厘米，且长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？
2，一个长方体的长、宽、高是三个连续偶数，体积是96立方厘米，求它的表面积。
3，一个长方体和一个正方体的棱长之长相等，已知长方体长、宽、高分别是6分米、4分米、25分米，求正方体体积。
五年级奥数举一反三
【例题1】一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米？表面积是多少平方厘米？（单位：厘米）
【思路导航】（1）可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积，左边的长方体体积是10×4×2=80（立方厘米），右边的长方体的体积是10×（6－2） ×2=80（立方厘米），整个零件的体积是80×2=160（立方厘米）（2）求这个零件的表面积，看起来比较复杂，其实，朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等；朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。因此，此零件的表面积就是（10×6＋10×4 ＋2×2）×2=232（平方厘米）。想一想：你还能用别的方法来计算它的体积吗？
题一
题二
题三
五年级奥数举一反三
【例题3】一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米。原正方体的表面积是多少平方体拼成新的长方体，其表面积比原来的长方体增加了4块正方形的面积，每块正方形的面积是 50÷4=12.5（平方厘米）。正方体有6个这样的面，所以，原来正方体的表面积是12.5×6=75（平方厘米）。

五年级奥数——立体图形问题

年级五年级授课日期授课主题第6讲——立体图形问题教学内容i.检测定位通过解决立体图形问题可以培养我们的空间想象能力.许多时候拿出或自己做一个实物，亲自观察或动手操作一下，问题的解决会变得相当容易.【例1】如图6-1，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得的多面体的表面积是___________平方厘米.分析与解先求棱长分别是1厘米、2厘米、3厘米、5厘米这四个正方体的表面积之和，然后减去图中粘贴在一起部分的面积之和.）（）（611422233-611223355⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯.19440-234（平方厘米）== 说明解答本题的关键是要能正确分析出粘贴部分有哪几个面，以及这几个面的面积分别是多少. 随堂练习1如图6-2，将一个长方形木条平均截成6段，每段长2米，表面积增加了120平方厘米.问这根木条原来体积是多少立方厘米？【例2】在一个长24分米，宽9分米，高8分米的水槽中注入高4分米的水，然后放入一个棱长为6分米的正方体铁块，问水位上升了多少分米？分析与解首先应判断放入铁块后，水位是否能将铁块淹没.1. 假设上升水位能将铁块淹没，那么水位至少上升了6分米.由于放入的棱长为6分米的正方形铁块体积为（立方分米），216666=⨯⨯它放入水槽后水位将上升.1924216（分米）=÷÷加上原来已注入的水位高4分米.因此放入铁块后水槽中的水位高为（分米），514=+小于铁块的高6分米，因此上升的水位不能将整个铁块淹没.2. 假设水位上升了x 分米，列方程得 )4(66924+⨯⨯=⨯⨯x x ， 46+=x x ，).(8.0分米=x 答：水位上升了0.8分米. 随堂练习2一个长方体的水箱，从里面量长8分米、宽6分米.先倒入102升水，再放入一块棱长2分米的正方形铁块，这时水面离箱口2分米.问这个水箱的容积是多少立方分米（升）？【例3】正方体木块被砍掉一个角（这里的角，指三条线相交处），剩余部分最多有_____个角，最少有_____个角.分析与解画图考虑几种情况，分别数出剩余部分有多少个角，再进行比较.截面如图6-3①，剩余部分最多有10个角；截面如图6-3②，剩余部分最少有7个角. 随堂练习3如图6-4由一个正五边形、五个长方形、五个等边三角形组成，它是一个立体图形的平面展开图，那么这个立体图形有______条棱.【例4】如图6-5，把2、4、6、8、10、12这6个数依次写在一个立方体的正面、背面、两个侧面以及两个底面上，然后把立方体展开，最左边的正方形上的数时12，问最右边有“？”的正方形上的数是什么？分析与解我们将展开图重新组合成立方体，令写2的面为正面得到下图6-6，可见到2与“？”相对，因此.4？随堂练习4沿图6-7的虚线折叠可以围成一个长方体.它的体积是多少？【例5】把正方体的6个面涂上六种不同的颜色，并画上朵数不同的花，各面的颜色和对应的花朵数目的情况如下表所示：现将上述大小相同，颜色、花朵分布完全一样的四个立方体拼成一个如图6-8所示的长方体，那么这个长方体的下底面共有多少朵花？分析与解如图6-8所示，黄与蓝、紫、红、绿相邻，所以黄与白相对；又紫与黄、蓝、白（它是黄的对面）、红相邻，所以紫与绿相对；从而红与蓝相对.据此可知4个下底面的颜色依次为紫、蓝、白、红色，它们对应的花朵数分别为5、3、4、1，其和为13.随堂练习5如例5，小立方体中各面的颜色与所对应的花朵数不变，四个立方体拼成的长方体如图6-9.那么这个长方体下底面共有多少朵花？颜色红黄蓝白紫绿花朵数目 1 2 3 4 5 6【例6】在一个正方形纸板的四角剪去一个大小相同的小正方形，便可以做成一个没有盖的纸盒，按图6-10中）（A 、）（B 、）（C 、）（D 四种方法做出来的纸盒中，容积最小的是_________，容积最大的是_________.分析与解）（A 的容积为（立方厘米）64444=⨯⨯ ）（B 的容积为（立方厘米）108663=⨯⨯ ）（C 的容积为（立方厘米）128882=⨯⨯ ）（D 的容积为（立方厘米）10010101=⨯⨯ 比较后可知，容积最小的是）（A ；容积最大的是）（C . 随堂练习6下面）（A 、）（B 、）（C 是三块形状不同的铁片，将每块铁片沿虚线弯折后焊接成一个无盖的开口为正方形的长方形铁箱，装水最多的水箱是由_______铁皮焊接的.想一想如图1，将1、2、3、4、5、6、7、8分别放置于正方体的8个顶点a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 处，使每一个面上的4个数的和相等.答案如图②，每个面上的4个数的和为18.ii.针对培养1.如图是用棱长1厘米的立方体搭成的一个空间图形.问其体积是多少？表面积是多少？2.从一个长方体上截下一个体积是32立方厘米的长方体后，剩下的部分正好是棱长为4厘米的正方体.问原来这个长方体的表面积是多少平方厘米？3.一下图中可以拼成正方体的是（）4.一根铁丝围成的长方体，长15分米，宽8分米，高7分米.如果还用这根铁丝改围成一个正方体，那么这个正方体的棱长是多少分米？5.有三个完全一样的长方体，用三种不同的方法，分别切成了两个完全一样的长方体，结果它们的表面积分别增加了40、48、60平方厘米.想一想，原来的长方体的表面积是多少平方厘米，体积是多少立方厘米？6.一个长方体水箱，长5分米、宽4分米、深3分米，水面离箱口3厘米，如果把一块棱长2分米的正方体水泥块放入水中，这时箱内会溢出多少升水？7.有一个空的长方体容器A（如图①）和一个水深24厘米的长方体容器B（如图②）.现将容器B中的水倒一部分到容器A中，使两容器水的高度相同，这时两容器的水深为几厘米？8.如图，有一个“空心”大长方体，空心部分相对的两个面是通的，问这个“空心”大长方体是由多少个小木块组成的？（这些小木块是完全相同的正方体）9.从一个长方体上截下一个体积是100立方厘米的小长方体后，剩下部分正好是一个棱长为5厘米的正方体.原来长方体的表面积是多少平方厘米？10.用三个同样的长、宽、高分别是4厘米、3厘米和2厘米的小长方体，拼成一个表面积最大的长方体.这个大长方体的表面积是多少平方厘米？11.一个长方体木块，长5分米，宽3分米，高4分米，在它六个面上都涂满油漆，然后锯成棱长都是1分米的正方体木块.问锯成的木块中几个三面有油漆？两个面、一个面有油漆的各有多少个？有没有各个面都没有油漆的？12.一个长方体，如果长增加5厘米，则体积增加150立方厘米；如果宽增加4厘米，则体积增加160平方厘米；如果高增加3厘米，则体积增加144立方厘米.问长方体的表面积是多少平方厘米？。

(word完整版)奥数五年级立方体习题

长方体与正方体表面积知识框架一、基础知识本讲内容从我们熟悉的平面扩展到了三维立体空间，教学目标是培养学生的空间想象能力，对于长方体和正方体的表面积和体积的计算我们在学校的课本上都已经学习过，都是相对比较简单的，今天我们一起将这部分内容进行拓展和研究.我们主要研究的对象是复杂的立方体的体积和表面积计算方法.同学生要记住知识是有限的，但想象力是无限的.①长方体表面积：若长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么可得：长方体的表面积：S长方体＝2（ab＋bc＋ac）；如右图，长方体共有六个面（每个面都是长方形），八个顶点，十二条棱.在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等.（叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．两个全等图形的面积相等，对应边也相等）．②正方体的表面积：我们也可以称其为立方体，它是一种特殊的长方体，它的六个面都是正方形．如果它的棱长为a，那么可得：正方体的表面积：S正方体=6a2；如右图，正方体共有六个面(每个面都是全等的正方形)，八个顶点，十二条棱．二、立体图形的表面积计算常用公式：立体图形示例表面积公式相关要素长方体S = 2(ab+bc+ac)三要素：a、b、c正方体S = 6a2 一要素：a重难点重点：长方体与正方体的表面积和体积的计算公式的理解性记忆与运用难点：三视图法求表面积例题精讲【例1】如果一个边长为2厘米的正方体的表面积增加192平方厘米后仍是正方体，则边长增加______厘米.【巩固】一小桶油漆恰好可以漆一个边长为0.5米的正方体，要漆一个边长为一米的立方体，则需要______小桶同样油漆.【例2】如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？【巩固】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？【例3】如右图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了多少?【巩固】如图，有一个边长是10的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是10，5，3的长方体，那么它的表面积减少了百分之几?【例4】如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积．【巩固】如图，在一个棱长为8厘米的正方体上放一个棱长为5厘米的小正方体，求这个立体图形的表面积．【例5】如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？【巩固】如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米的三个正方体紧贴在一起，则所得到的立体图形的表面积是_ 平方厘米.【例6】如图所示，有大小不同的两个正方体，大正方体的棱长是小正方体棱长的6倍．将大正方体的6个面都染上红色，将小正方体的6个面都染上黄色，再将两个正方体粘合在一起．那么这个立体图形表面上红色面积是黄色面积的倍．【巩固】有三个大小一样的正方体，将接触的面用胶粘接在一起成图示的形状，表面积比原来减少了16平方厘米.求所成形体的体积.【例7】小华用相同的若干个小正方体摆成一个立体（如图2）.从上体上面看这个立方体，看到的图形是图①～③中的____ .（填序号）③①②【巩固】用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体如下图，请画出从上面和正面看到的图形【例8】由六个棱长为1的小正方体拼成如图所示立体，它的表面积是．【巩固】将15个棱长为1的正方体堆放在桌子上，喷上红色后再将它们分开.涂上红色的部分，面积是（）平方厘米【例9】把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积．【巩固】用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?【例10】有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色（底面不涂）．求被涂成红色的表面积．【巩固】边长为1厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第5层时，这个立体图形的表面积是多少平方厘米？课堂检测1．一个正方体的棱长为3厘米，在它的前、后、左、右、上、下各面中心各挖去一个棱长为1厘米的正方体做成一种玩具，求这个玩具的表面积.2．一个大正方体、四个中正方体、四个小正方体拼成如图的立体图形，已知大、中、小三个正方体的棱长分别为5厘米、2厘米、1厘米．那么，这个立体图形的表面积是________平方厘米．3．下图是用若干个棱长为1的小正方体铁块焊接成的几何体，请画出从正面，侧面，上面看到的视图家庭作业1．右图是一个边长为5厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）2．如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？3．有八个大小一样的正方体，用胶粘接成如下的大正方体，表面积比原来减少了24平方厘米.求所成形体的表面积..4．把五块相同的立方体木块拼成如图所示的形体，表面积比原来减少了96平方厘米．所成形体的表面积是_______平方厘米．5．用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?6．将15个棱长为1的正方体堆放在桌子上，喷上红色后再将它们分开.涂上红色的部分，面积是（）平方厘米MSDC模块化分级讲义体系五年级奥数.几何.长方体与正方体的表面积（A级）.学生版Page 11 of 11学生对本次课的评价○特别满意○满意○一般家长意见及建议家长签字：教学反馈。

五年级上奥数试题——第8讲.立体图形的表面积(含解析)人教版

1. 掌握一些求不规则立体图形的表面积的方法.2. 理解立体图形在分割和拼接过程中表面积的变化本讲着重介绍求立体图形的表面积的方法,其中之一是三视图法,并介绍了立体图形在粘贴、分割过程中表面积的变化规律，要引导学生做好总结．如右图，长方体共有六个面（每个面都是长方形），八个顶点，十二条棱．1．在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等．（叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．）2．长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积：S长方体=2（ab +bc +ac ）；长方体的体积：V 长方体=abc ．3．正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形．如果它的棱长为a ，那么：S正方体=6a 2，V 正方体=a 3．第8讲立体图形的表面积c b a HG FE D C B A分割后立体图形的表面积【例 1】如右图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了多少?【分析】原来正方体的表面积为5⨯5⨯6=150．现在立体图形的表面积减少了前后两个面中的部分面，它们的面积为(3⨯2)⨯2=12，所以减少的面积就是12．［拓展］如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？［分析］我们从三个方向（前后、左右、上下）考虑，新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：10⨯10⨯6=600．【例 2】如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？【分析】大立方体的表面积是20⨯20⨯6=2400平方厘米．在角上挖掉一个小正方体后，外面少了3个面，但里面又多出3个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了2个面，但里面多出4个面；在面上挖掉一个小正方体后，外面少了1个面，但里面多出5个面．所以，最后的情况是挖掉了三个小正方体，反而多出了6个面，可以计算出每个面的面积：（2454-2400）÷6=9平方厘米，说明小正方体的棱长是3厘米．［巩固］右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l 厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）［分析］原正方体的表面积是4⨯4⨯6=96(平方厘米)．每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分．总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形．从而，它的表面积是：96+4⨯6=120平方厘米．【例 3】如右图，一个边长为3a厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个截口是边长为a厘米的正方形的长方体（都和对面打通）．如果这个镂空的物体的表面积为2592平方厘米，试求正方形截口a的边长．【分析】原来正方体的表面积为：6⨯3a⨯3a=6⨯9a2（平方厘米），六个边长为a的小正方形的面积为（减少部分）：6⨯a⨯a=6a2（平方厘米）；挖成的每个长方体空洞增加的侧面积为：a⨯a⨯4⨯2=8a2（平方厘米）；根据题意可得：54a2-6a2+3⨯8a2=2592，解得a2=36（平方厘米），故a=6厘米．［巩固］下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为12厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为14厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？［分析］我们仍然从3个方向考虑．平行于上下表面的各面面积之和：2⨯2⨯2=8（平方厘米）；左右方向、前后方向：2⨯2⨯4=16（平方厘米），1⨯1⨯4=4（平方厘米），12⨯12⨯4=1（平方厘米），1 4⨯14⨯4=14（平方厘米），这个立体图形的表面积为：816++4+1+14=1294（平方厘米）.【例 4】（《小学生数学报》邀请赛）从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)【分析】按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米；按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米；按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米；按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米．图1 图2 图3 图4【例 5】如右图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?【分析】我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积．现在一共切了(3-1)+(4-1)+(5-1)=9刀，而原正方体一个面的面积1⨯l=1(平方米)，所以表面积增加了9⨯2⨯1=18(平方米)．原来正方体的表面积为6⨯1=6(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为6+18=24(平方米)．［巩固］右图是一个表面被涂上红色的棱长为10厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成8个正方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？［分析］10⨯10⨯6=600(平方厘米)．【例 6】右图是由27块小正方体构成的3⨯3⨯3的正方体．如果将其表面涂成红色，则在角上的8个小正方体有三面是红色的，最中央的小方块则一点红色也没有，其余18块小方块中，有12个两面是红的，6个一面是红的．这样两面有红色的小方块的数量是一面有红色的小方块的两倍，三面有红色的小方块的数量是一点红色也没有的小方块的八倍．问：由多少块小正方体构成的正方体，表面涂成红色后会出现相反的情况，即一面有红色的小方块的数量是两面有红色的小方块的两倍，一点红色也没有的小方块是三面有红色的小方块的八倍？【分析】对于由n3块小正方体构成的n⨯n⨯n正方体，三面涂有红色的有8块，两面涂有红色的有12⨯（n-2）块，一面涂有红色的有6⨯2(2)n-块．由题设条件，一点红色(2)n-块，没有涂色的有3也没有的小方块是三面涂有红色的小方块的八倍，即3n-=8⨯8，解得n=6．(2)［铺垫］（05年清华附培训试题）将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中一面都没有红色的小正方形只有3个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？［分析］长：3+1+1=5厘米；宽：1+1+1=3厘米；高：1+1+1=3厘米；所以原长方体的表面积是：（3⨯5+3⨯5+3⨯3）3⨯2=78平方厘米．组合立体图形的表面积【例 7】如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？【分析】44(112244)4100⨯+⨯+⨯+⨯⨯=(平方米)．［巩固］如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积．［分析］我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面.这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分：上下方向：大正方体的两个底面；四周方向(左右、前后方向)：小正方体的四个侧面，大正方体的四个侧面．上下方向：55250⨯⨯=(平方分米)；侧面：554100⨯⨯=(平方分米)，44464⨯⨯=(平方分米)．这个立体图形的表面积为：++=(平方分米)．5010064214【例 8】边长为1厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第5层时，这个立体图形的表面积是多少平方厘米？【分析】这个图形的表面积是俯视面、左视面、正视面得到的图形面积的2倍. 该立体图形的上下、左右、前后方向的表面面积都是15平方厘米，该图形的总表面积为90立方厘米．［拓展］按照上题的堆法一直堆到N 层(3N >)，要想使总表面积恰好是一个完全平方数，则N 的最小值是多少？［分析］每增加一层，每一个“大面”就增加到(1)2N N +个小面，总表面积是6个“大面”，所以就增加到3(1)N N +个小面，几何题变成数论题，问题转化为“3(1)N N +是一个完全平方数，N 的最小值是几(3)N >？”因为N 和1N +互质，所以N 和1N +必须有一个是完全平方数，一个是平方数的3倍，但1N +不能是平方数的3倍，因为如果1N +是平方数的3倍，设213,N n +=231N n =-此时N 被3除余2，不可能是完全平方数，所以N 是平方数的3倍，1N +是完全平方数，开始试验：当2313N =⨯=，不符合题意；当23212N =⨯=，113N +=，不是完全平方数；当23327N =⨯=，128N +=，不是完全平方数；当23448N =⨯=，149N +=，是完全平方数，所以N 的最小值是48，即堆到第48层时，总表面积是完全平方数，为23484984⨯⨯=.【例 9】把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积．【分析】从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三图表示．因此，这个立体图形的表面积为：2个上面2+个左面2+个前面．上表面的面积为：9平方厘米，左表面的面积为：8平方厘米，前表面的面积为：10平方厘米．因此，这个立体图形的总表面积为：(9810)254++⨯=(平方厘米)．上下面左右面前后面【例10】要把12件同样的长a 、宽b 、高h 的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该如何打包？⑴当 b =2h 时，如何打包？⑵当 b <2h 时，如何打包？⑶当 b >2h 时，如何打包？【分析】图2和图3正面的面积相同，侧面面积=正面周长⨯长方体长，所以正面的周长愈大表面积越大，图2的正面周长是8h +6b ，图3的周长是12h +4b .两者的周长之差为2（b -2h ）.当b =2h 时，图2和图3周长相等，可随意打包；当b <2h 时，按图2打包；当b >2h 时，按图3打包. 图3图2图1hba［巩固］用10块长5厘米，宽3厘米，高7厘米的长方体积木堆成一个长方体，这个长方体的表面积最小是多少?［分析］教师可以先提问：这个长方体的表面积最大是多少?为使表面积最大，要尽量保证10⨯2个7⨯5的面成为表面，想要做到这点很容易，只需将7⨯5面做底面，而后将10个长方体连排，衔接的面选用3⨯5的面（衔接的面将不能成为表面积），这样得到的长方体表面积最大．同样要想最小，可把7⨯5面做衔接的面，可得到10个长方体的连排，但此时我们还可以再制造出衔接面，如图：此时增加了2个5⨯7的面，减少了10个3⨯7的面，总体来讲表面积减少了．表面积是：2⨯(7⨯15+15⨯10+10⨯7)=650(平方厘米)，所以这就是最小的表面积．［巩固］要把6件同样的长17、宽7、高3的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？［分析］考虑所有的包装方法，因为6=1⨯2⨯3，所以一共有两种拼接方式：第一种按长宽高1⨯1⨯6拼接，重叠面有三种选择，共3种包装方法.第二种按长宽高1⨯2⨯3拼接，有3个长方体并列方向的重叠面有三种选择，有2个长方体并列方向的重叠面剩下2种选择，一共有6种包装方法.其中表面积最小的包装方法如图所示，表面积为1034.【例11】有一个棱长为 5cm 的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔(右上图)，求这个立体图形的内、外表面的总面积．【分析】将此带孔的正方体看做由八个32228cm ⨯⨯=的正方体(8个顶点)和12个31cm 的正方体(12条棱)粘成的．每个正方体有两个面粘接，减少表面积24cm ，所以总的表面积为：2(46)8612412216(cm )⨯⨯+⨯-⨯=．［拓展］如图，用455个棱长为1 的小正方体粘成一个大的长方体，若拆下沿棱的小正方体，则余下371个小正方体，问：所堆成的大长方体的棱长各是多少？拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积是多少？［分析］设长方体棱长为分别为y z x 、、.，他们只能取正整数，则有： 4554(222)8455371x y z x y z ⨯⨯=⎧⎨-+-+-+=-⎩因为4555713=⨯⨯方程组的无序正整数解只有(5，7，13)，拆下沿棱的的小正方体后的多面体如图所示，首先计算突出在外面的6个平面，面积是2(11511335)206⨯⨯+⨯+⨯=再计算24个宽都是1的长条，面积是8(1135)152⨯++=，总面积为358.【例12】如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？25块积木【分析】当小积木互相重合的面最多时表面积最小.设想27块边长为1的正方形积木，当拼成一个333⨯⨯的正方体时，表面积最小，现在要去掉2块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加，该几何体表面积为54.1.一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？【分析】锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数⨯2=增加的面数．原正方体表面积：1⨯1⨯6=6（平方米），一共锯了（2-1）+（3-1）+（4-1）=6次6+1⨯1⨯2⨯6=18（平方米）．2.在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？【分析】对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后3个方向考虑．变化前后的表面积不变：50⨯50⨯6=15000（平方厘米）．3.右图是456⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？【分析】三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；两面涂红色的在棱长处，共-⨯+-⨯+-⨯=块；(42)4(52)4(62)436一面涂红的表面中间部分：-⨯-⨯+-⨯-⨯+-⨯-⨯=块．(42)(52)2(42)(62)2(52)(62)2524.一个正方体的棱长为3厘米，在它的前、后、左、右、上、下各面中心各挖去一个棱长为1厘米的正方体做成一种玩具，求这个玩具的表面积.【分析】挖去六个小正方体后，大正方体的中心部分即与其主体脱离，这时得到的新玩具是镂空的.把这个玩具分成20部分，8个“角”和12条“梁”，每个“角”为棱长1厘米的小正方体，它外露部分的面积为：2133⨯=(平方厘米)，则8个“角”外露部分的面积为：3824⨯=(平方厘米)．每条“梁”为棱长1厘米的小正方体，它外露部分的面积为：2144⨯=(平方厘米)，则12条“梁”外露部分的面积为：41248+=(平方厘米)．⨯=(平方厘米)．这个玩具的表面积为：2448725.用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?【分析】该图形的上、左、前三个方向的表面分别由9、7、7块正方形组成．该图形的表面积等于(977)246++⨯=个小正方形的面积，所以该图形表面积为46平方厘米．6.用6块右图所示（单位：cm）的长方体木块拼成一个大长方体，有许多种拼法，其中表面积最小的是多少平方厘米？最大是多少平方厘米？123【分析】要使表面积最小，需重叠的面积最大，如图⑴的拼接方式新的长方体长为5，宽为4，高为3，所以表面积为2⨯+⨯+⨯⨯=；要使表面积最大需重叠的面积最小，如图⑵所示，(343334)266(cm)长为18，宽为2，高为1，所以最大的表面积为2(18118212)2112(cm)⨯+⨯+⨯⨯=(1)(2)父亲的遗嘱从前，有一个老头，他临终时叫来五个儿子，对他们说：“孩子，我快要死了，临死前，我要给你们讲一个寓言，你们要用心听，听完后要解释给我听。

五年级奥数讲义第13讲--长方体和正方体(一)

五年级奥数讲义第13讲--长方体和正方体(一)work Information Technology Company.2020YEAR第13讲长方体和正方体（一）一、知识要点在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。

解答稍复杂的立体图形问题要注意几点：1.必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来；2.依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化；3.求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。

二、精讲精练【例题1】一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米表面积是多少平方厘米（单位：厘米）【思路导航】（1）可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积，左边的长方体体积是10×4×2=80（立方厘米），右边的长方体的体积是10×（6－2）×2=80（立方厘米），整个零件的体积是80×2=160（立方厘米）；（2）求这个零件的表面积，看起来比较复杂，其实，朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等；朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。

因此，此零件的表面积就是（10×6＋10×4＋2×2）×2=232（平方厘米）。

想一想：你还能用别的方法来计算它的体积吗？练习1：1.一个长5厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体，被切去一块后（如图），剩下部分的表面积和体积各是多少？2.把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加了2平方分米，求这根木料原来的体积。

3.有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉一个正方体（如图），求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？【例题2】有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能算出它的体积和表面积吗（单位：厘米）【思路导航】（1）先求出长方体的体积，8×5×6=240（立方厘米），由于挖去了一个孔，所以体积减少了2×2×2=8（立方厘米），这个零件的体积是240－8=232（立方厘米）；（2）长方体完整的表面积是（8×5＋8×6＋6×5）×2=236（平方厘米），但由于挖去了一个孔，它的表面积减少了一个（2×2）平方厘米的面，同时又增加了凹进去的5个（2×2）平方厘米的面，因此，这个零件的表面积是236＋2×2×4=252（平方厘米）。

五年级奥数学练习试卷思维培训资料立体图形(一)

第二讲立体图形（一）卷Ⅰ本讲的知识点主要是求复杂立体图形的表面积，竞赛班要求学生掌握复杂立体图形的组合、复杂的面垂直的图形组合和立体图形的切、拼、挖.对表面积的极值问题也要掌握.本讲重在培养学生的空间想象能力，教师可以让学生多思考，多动手，多画图，注重“数形结合”的思想。

本讲的主线是培养学生的空间想象能力，亮点在于极值问题的体现、例3及展开图的应用。

（一）巧解复杂的组合图形表面积【例1】用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?分析：该图形的上、左、前三个方向的表面分别由9、7、7块正方形组成．该图形的表面积等于(9+7+7)×2=46个小正方形的面积，所以该图形表面积为46平方厘米．专题精讲教学目标在墙角处有若干个体积都等于1的正方体堆成如图的立体图形（每个正方体都可独立地搬走，但如果抽走下面的正方体，上面的正方体就会自动落下去），有人希望搬走其中部分正方体，但从上面和前面用平行光线照射时，在墙面及地面上的影子不变，则最多可以搬走多少个小正方体？答案：留下靠墙及地面上的正方体，其余均可搬走共1+3+6=10块.想挑战吗？长方体：6个面，8个顶点，12条棱，表面积=2×（长×宽+宽×高+长×高）.正方体：6个面（每个面都是正方形），8个顶点，12条棱（棱长相等），表面积=6×边长×边长.圆柱体：2个底面圆，1个侧面（长方形或正方形），表面积=2×底面圆面积+侧面面积.【例2】边长为1厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第5层时，这个立体图形的表面积是多少平方厘米？分析：这个图形的表面积是俯视面、左视面、上视面得到的图形面积的2倍. 该立体图形的上下、左右、前后方向的表面面积都是15平方厘米，该图形的总表面积为90立方厘米．[拓展] 如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？分析：当小积木互相重合的面最多时表面积最小.设想27块边长为1的正方形积木，当拼成一个3×3×3的正方体时，表面积最小，现在要去掉2块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加，该几何体表面积为54.【例3】（奥数网原创题）按照上题的堆法一直堆到N层（N＞3），要想使总表面积恰好是一个完全平方数，则N的最小值是多少？N N 个小面，总表面积是6个“大面”，所以就增加到分析：每增加一层，每一个“大面”就增加到(1)23N(N+1)个小面，几何题变成数论题，问题转化为“3N(N+1)是一个完全平方数，N的最小值是几（N＞3）？”因为N和N+1互质，所以N和N+1必须有一个是完全平方数，一个是平方数的3倍，但N+1不能是平方数的3倍，因为此时N被3除余2，不可能是完全平方数，所以N是平方数的3倍，N+1是完全平方数，开始试验：当N=3×12=3，不符合题意；当N=3×22=12，N+1=13，不是完全平方数；当N=3×32=27，N+1=28，不是完全平方数；当N=3×42=48，N+1=49，是完全平方数，所以N的最小值是48，即堆到第48层时，总表面积是完全平方数，为3×48×49=842.（二）表面积的最值问题【例4】一个正方体木块，棱长是15．从它的八个顶点处各截去棱长分别是1、2、3、4、5、6、7、8的小正方体．这个木块剩下部分的表面积最少是多少？分析：截去一个小正方体，表面积不变，只有在截去的小正方体的面相重合时，表面积才会减少，所以要使木块剩下部分的表面积尽可能小，应该在同一条棱的两端各截去棱长7与8的小正方体(如图所示)，这时剩下部分的表面积比原正方体的表面积减少最多．剩下部分的表面积最小是：15×15×6-7×7×2=1252．【例5】边长分别是3、5、8的三个正方体拼在一起，在各种拼法中，表面积最小多少？分析：三个正方体两两拼接时，最多重合3个正方形面，其中边长为3的正方体与其它两个正方体重合的面积不超过边长为3的正方形，边长为5和边长为8的正方体的重合面面积不超过边长为5的正方形，三个正方形表面积和为6×3×3+6×5×5+6×8×8-2×2×3×3-2×5×5=502.【例6】用10块长7厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体积木堆成一个长方体，这个长方体的表面积最小是多少?分析：教师可以先提问：这个长方体的表面积最大是多少?为使表面积最大，要尽量保证10×2个7×5的面成为表面，想要做到这点很容易，只需将7×5面做底面，而后将10个立方体连排，衔接的面选用3×5的面（衔接的面将不能成为表面积），这样得到的长方体表面积最大．同样要想最小，可把7×5面做衔接的面，可得到10个长方体的连排，但此时我们还可以再制造出衔接面，如图：此时增加了2个5×7的面，减少了10个3×7的面，总体来讲表面积减少了．表面积是：2×(7×15+15×10+10×7)=650(平方厘米)，所以这就是最小的表面积．[前铺] 用6块右图所示（单位：cm）的长方体木块拼成一个大长方体，有许多种拼法，其中表面积最小的是多少平方厘米？最大是多少平方厘米？分析：最小：66cm2；最大：（1×2+1×3+2×3）×2×6-1×2×5×2=112．【例7】要把12件同样的长a、宽b、高h的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该如何打包？（1）当b=2h时，按图几打包？（2）当b＜2h时，按图几打包？（3）当b＞2h时，按图几打包？分析：图2和图3正面的面积相同，侧面面积=正面周长×长方体长，所以正面的周长愈大表面积越大，图2的正面周长是8h+6b，图3的周长是12h+4b.两者的周长之差为2（b-2h）.当b=2h时，图2和图3周长相等，可随意打包；当b﹤2h时，按图2打包；当b﹥2h时，按图3打包.[前铺] 要把6件同样的长17、宽7、高3的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？分析：考虑所有的包装方法，因为6=1×2×3，所以一共有两种拼接方式：第一种按长宽高1×1×6拼接，重叠面有三种选择，共3种包装方法.第二种按长宽高1×2×3拼接，有3个长方体并列方向的重叠面有三种选择，有2个长方体并列方向的重叠面剩下2种选择，一共有6种包装方法.其中表面积最小的包装方法如图所示，表面积为1034.卷Ⅱ（三）立体图形的切、拼、挖【例8】下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为1/2厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为1/4厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？分析：我们仍然从3个方向考虑．平行于上下表面的各面面积之和：2×2×2＝8（平方厘米）；左右方向、前后方向：2×2×4=16（平方厘米），1×1×4＝4（平方厘米），1/2×1/2×4=1（平方厘米），1/4×1/4×4=1/4 （平方厘米），这个立体图形的表面积为：8+16+4+1+1/4=29又1/4 （平方厘米）．【例9】如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？分析：大立方体的表面积是20×20×6=2400平方厘米．挖掉了三个小正方体，反而多出了6个面，可以计算出每个面的面积：（2454－2400）÷6=9平方厘米，说明小正方体的棱长是3．[拓展1] 图中是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?分析：原正方体的表面积是4×4×6=96(平方厘米)．每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分．总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形．从而，它的表面积是：96+4×6=120平方厘米．[拓展2] 如右图，一个边长为3a厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个截口是边长为a厘米的正方形的长方体（都和对面打通）．如果这个镂空的物体的表面积为2592平方厘米，试求正方形截口的边长．分析：原来正方体的表面积为：6×3a×3a＝6×9a2（平方厘米），六个边长为a的小正方形的面积为（减少部分）：6×a×a＝6a2（平方厘米）；挖成的每个长方体空洞增加的侧面积为：a×a×4×2＝8a2（平方厘米）；根据题意可得：54a2－6a2＋3×8a2＝2592，解得a2＝36（平方厘米），故a＝6厘米．【例10】有一个棱长为 5 cm的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔（右上图），求这个立体图形的内、外表面的总面积．分析：将此带孔的正方体看做由八个8cm3的正方体（8个顶点）和12个1cm3的正方体（12条棱）粘成的．每个正方体有两个面粘接，减少表面积4cm2，所以总的表面积为：（4×6）×8＋6×12－4×12＝216（cm2）．[拓展] 边长分别是3、5、8的三个正方体拼在一起，在各种拼法中，表面积最小多少？分析：三个正方体两两拼接时，最多重合3个正方形面，其中边长为3的正方体与其它两个正方体重合的面积不超过边长为3的正方形，边长为5和边长为8的正方体的重合面面积不超过边长为5的正方形，三个正方形表面积和为6×3×3+6×5×5+6×8×8-2×2×3×3-2×5×5=502.【例11】如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下侧面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积．分析：外侧表面积为：6×10×10-4×4×4-π×22×2=536-8π.内侧表面积为：16×4×3+2× (4×4-π×2)+2×2π×2×3=192+32-8π+24π=224+16π．总表面积=224+16π+536-8π=760+8π=785.12(平方厘米)．【例12】如图，用455个棱长为1 的小正方体粘成一个大的长方体，若拆下沿棱的小正方体，则余下371个小正方体，问：所堆成的大长方体的棱长各是多少？拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积是多少？分析：设长方体棱长为分别为y zx、、.，他们只能取正整数，则有：4554(222)8455371x y zx y z⨯⨯=⎧⎨-+-+-+=-⎩因为4555713=⨯⨯方程组的有序正整数解只有（5，7，13），拆下沿棱的的小正方体后的多面体如图所示，首先计算突出在外面的6个平面，面积是2(11511335)206⨯⨯+⨯+⨯=再计算24个宽都是1的长⨯++=，总面积为358. 条，面积是8(1135)152（三）展开图【例13】在小于16 的自然数中选出6个不同的数，分别写在正方体的6个面上，要求各组相对的两个面上的数的乘积都相等，下图是正方体的展开图，并填上了1，请将其它数填上。

(完整版)五年级奥数-立体图形问题

课程五立体图形问题1。

长方体、正方体表面积的计算2.长方体、正方体的切割问题3.长方体、正方体的体积4.不规则物体的体积计算长方体和正方体的表面积应注意的问题(1）找出必备条件（长、宽、高或棱长）,如题中没有直接给出，则先求出必备条件，再求表面积(有盖还是无盖)。

（2）统一计量单位,单位不统一的，一般要通过化、聚,使单位统一后再计算。

（3)求所需用的面积材料时，一般用“进一法“取近似值。

（4)用同样多的立体拼图，由于拼法不同，重叠的次数不同，表面积就会发生变化，每重叠一次，就减少两个面;每切一刀，就增加两个面。

1.长方体和正方体的体积概念及其计算公式（1）长方体体积＝长×宽×高V 长方体＝abc（2）正方体体积＝棱长×棱长×棱长V 正方体＝a 32.求不规则物体的体积水中物体的体积＝容器的底面积×水上升或下降的高度。

水上升或下降的高度＝水中物体的体积÷容器的底面积容器的底面积＝水中物体的体积÷水上升或下降的高度例1有一个长15厘米，宽10厘米，高8厘米的长方体,现在要在这个长方体中挖去一个棱长为5厘米的小正方体,那么剩下部分的表面积是多少？(1) (2）（3）分析与解法根据长方体的特征我们可以知道，挖去小正方体的位置有3种情况,可能是在面上，如图(1），可能在顶点上，如图（2），可能在棱上，如图（3)。

在面上时，可以用长方体的表面积＋小正方体4个面的面积；在角上时，正好等于长方体的表面积；在棱上时,要用长方体的表面积+小正方体2个面的面积。

学习目标重点总结解：原长方体表面积为:（15×10+15×8+10×8） ×2=700（平方厘米）在角上时,剩下部分的表面积是700（平方厘米）；在面上时，剩下部分的表面积是：700+5×5×4=800(平方厘米）在棱上时，剩下部分的表面积是:700＋5×5×2＝750(平方厘米）所以剩下部分的表面积是700平方厘米，或800平方厘米，或750平方厘米.说明：本题也是要考虑可能出现的各种情况，要做到不重不漏。

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课程五
立体图形问题
1.长方体、正方体表面积的计算
2.长方体、正方体的切割问题
3.长方体、正方体的体积
4.不规则物体的体积
计算长方体和正方体的表面积应注意的问题
（1）找出必备条件（长、宽、高或棱长），如题中没有直接给出，则先求出必备条件，再求表面积（有盖还是无盖）。

（2）统一计量单位，单位不统一的，一般要通过化、聚，使单位统一后再计算。

（3）求所需用的面积材料时，一般用“进一法“取近似值。

（4）用同样多的立体拼图，由于拼法不同，重叠的次数不同，表面积就会发生变化，每重叠一次，就减少两个面；每切一刀，就增加两个面。

1.长方体和正方体的体积概念及其计算公式（1）长方体体积＝长×宽×高 V 长方体＝abc
（2）正方体体积＝棱长×棱长×棱长 V 正方体＝a 3 2.求不规则物体的体积
水中物体的体积＝容器的底面积×水上升或下降的高度。

水上升或下降的高度＝水中物体的体积÷容器的底面积
容器的底面积＝水中物体的体积÷水上升或下降的高度
例1
有一个长15厘米，宽10厘米，高8厘米的长方体，现在要在这个长方体中挖去一个棱长为5厘米的小正方体，那么剩下部分的表面积是多少？
学习目标
重点
总结
（1）（2）（3）
分析与解法
根据长方体的特征我们可以知道，挖去小正方体的位置有3种情况，可能是在面上，如图（1），可能在顶点上，如图（2），可能在棱上，如图（3）。

在面上时，可以用长方体的表面积＋小正方体4个面的面积;在角上时，正好等于长方体的表面积；在棱上时，要用长方体的表面积+小正方体2个面的面积。

解：原长方体表面积为:
（15×10+15×8+10×8） ×2=700（平方厘米）在角上时，剩下部分的表面积是700（平方厘米）；在面上时，剩下部分的表面积是： 700+5×5×4=800（平方厘米）
在棱上时，剩下部分的表面积是：700＋5×5×2＝750（平方厘米）
所以剩下部分的表面积是700平方厘米，或800平方厘米，或750平方厘米。

说明：本题也是要考虑可能出现的各种情况，要做到不重不漏。

例2
如图棱长是2分米的正方体，沿与AB 棱垂直的方向切3刀，沿与BC 棱垂直的方向切4刀，沿与BF 棱垂直的方向切5刀，共得到大小长方体120个。

问这120个长方体的表面积之和是多少平方分米。

分析与解法
在这道题中，120个长方体表面积的总和是由原来正方体的表面积与所有切面的面积两部分组成。

每切一刀，就增加2个边长是2分米的正方形，共切12刀，增加了24个边长是2分米的正方形。

解： 2×2×6＋2×2×[（3＋4＋5）×2] ＝24＋96
＝120（平方分米）
答：这120个长方体的表面积是120平方分米。

说明：此题并没有要求是平均切，所以只能考虑在原来基础上增加了多少。

例3
有一根长3.5米的方木，把它截成3段，表面积增加了144平方厘米，这根方木的体积是多少立方分米？
分析与解法
A
D
H G
F
E B
C
把方木截成三段要截2次，每截一次要增加2个面，截2次增加4个面，4个面的面积为144平方厘米，144÷4＝36（平方厘米），根据体积公式就能求出方木的体积。

解：144÷4＝36（平方厘米）
36×350＝12600（立方厘米）＝12.6（立方分米）
答：这根方木的体积是12.6立方分米。

说明：切n 刀分出（n+1）段，增加2n个面。

例4
一个长方体的表面积是67.92平方分米，底面积是19平方分米，底面周长是17.6分米，这个长方体的体积是多少？
分析与解法
表面积减去两个底面积，差就是长方体的侧面积，侧面积除以底面周长是长方体的高。

根据公式“底面积×高”求出长方体的体积。

（67.92-19×2）÷17.6
＝29.92÷17.6
＝1.7（分米）
19×1.7＝32.3（立方分米）
例5
一个长方体正块，长5分米，宽3分米，高4分米，在它的六个面上都漆满油漆然后锯成棱长都是1分米的正方体木块，锯成的小正方体木块中，几个三面有红色？两个面、一个面有红色的各有几个？有没有六个面都没有红色的？如果有，有几个？
分析与解法
切开后三个面是红色的8个顶点处；两个面是红色的在每条棱的中间（两头各去掉1个）；一面是红色的在每个面的中间（上下和左右都各去掉1个）。

六个面都没有红色的，在原来的长方体的正中，也就是把原来长方体涂色的面都去掉剩下的长方体。

解：切开后三面有红色的有8个；
两个面有红色的有[（5－2）+（3－2）＋（4－2）]×4＝24（个）
一个面有红色的有[（5－2）×（3－2）＋（5－2）×（4－2）＋（3－2）×（4－2）]×2＝22（个）
六个面都没有红色的有（5-2）×（3-2）×（4-2）=6（个）
说明：平时要多动手，多培养自己的动手能力和空间想象能力。

例6
在长为16厘米，宽为15厘米的长方体水箱中有10厘米深的水。

现在往水箱里放一块石头完全沉入水中，这时水面上升了4厘米。

如果把石头取出来又放入一个铁球（球浸没在水中，且水没有溢出），这时水深17厘米，正好是水箱的高度。

求水箱的容积和铁球、石头的体积。

分析与解法
水上升4厘米的体积就是石头的体积。

17－10＝7（厘米），这7厘米高的水的体积就是铁球的体积，由这些已知条件，再根据长方体的体积公式就能分别求出它们的体积。

解：16×15×4＝960（立方厘米）
16×15×（17－10）＝1680（立方厘米）
16×15×17＝4080（立方厘米）
答：水箱的容积是4080立方厘米，铁球的体积是1680立方厘米，石头的体积是960立方厘米。

说明：仔细读题，注意“上升了”，“水深”等词语，很容易解题。

例7
一个棱长都是整数的长方体的表面积是110平方厘米，已知它的6个面中有2个相对面是正方形，它的体积是多少？
分析与解法
根据题意得知，这个长方体6个面中有两个面是正方形，假设它的长、宽相等。

假设长和宽用字母a表示，高用h表示，根据等量关系式就能找到答案。

解：设长方体的长和宽都是a厘米，高是h厘米。

由题意可知：
2a2+4ah=110
即a（a+2h）=55=5×11
因为a和h都是整数，所以a＝5，a＋2h＝11
所以a=5,h=3
长方体的体积是5×5×3＝75（立方厘米）
答：长方体的体积是75立方厘米。

说明: 当题目出现未知数时，列方程解方程是比较简便的方法。

例8
小明在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块，摆完后从正面看如图（1），从侧面看如图（2），那么他最多用了多少块木块？最少用了多少块木块？
（1）（2）
分析与解法
（1）最多用了25块正方体，第一层放3×4＝12块，第二层放3×3＝9块，第三层的4角各放一块共4块，总共用了12＋9＋4＝25块。

（2）在（1）的基础上不影响视图（1）、（2）的情况下逐步减少正方体，最少用9块。

我们用图来说明
小正方体
最多25块最少9块
在一个4×3的方格长方形中，每个小方格中标有的数字表示在这个小方格中摞起的小正方体的个数。

左图显示最多用25块小正方体；右图显示最少用9块小正方体。

1. 图（1）是用棱长1厘米的立方体搭成的一个空间图形，问其体积是多少？表面积是多少？
2. 从一个长方体上截下一个体积是32立方厘米的长方体后，剩下的部分正好是棱长为4厘米的正方体，问原来这个长方体的表面积是多少平方厘米？
3. 下面图中哪些可以拼成正方体（）
A B C D
4. 一根铁丝围成的长方体，长15分米，宽8分米，高7分米，如果还用这根铁丝改围成一个正方体，那么这个正方体的棱长是多少分米？
5. 用棱长是1厘米的立方块拼成如图的立体图形，从正面看和从右面看得到的是什么样的图形？
3 1 2 3 2 1 2 2 3
1
2
3
3 0 0 0 0 0 2 0 0
1
3
练习
6. 一个长方体的水箱，从里面量长8分米，宽6分米，先倒入102升水，再放入一块棱长2分米的正方体铁块，
这时水面离箱口2分米，问这个水箱的容积是多少立方分米（升）？
7. 沿图的虚线折叠可以围成一个长方体，它的体积是多少？
练习答案
1. 体积为29立方厘米，表面积为76平方厘米
2. 128平方厘米
3. BCD
4. 10分米
5.
（正面看）（右面看）
6. 206立方分米（升）
7. 60 cm3。