人教版高一数学必修第一章 三角恒等变换教案
三角恒等变换备课教案
三角恒等变换备课教案备课教案：三角恒等变换一、引言三角恒等变换是高中数学中的重要内容，对于学生深入理解三角函数的性质和应用具有重要意义。
本教案将通过引导学生发现和探究三角恒等变换的规律，帮助学生理解和掌握相关的变换技巧。
二、知识背景1. 三角函数的基本关系：(1) 正弦函数：sinθ = 对边/斜边(2) 余弦函数：cosθ = 邻边/斜边(3) 正切函数：tanθ = 对边/邻边2. 三角函数的周期性：(1) 正弦函数、余弦函数的周期是2π(2) 正切函数的周期是π3. 三角函数的基本恒等式：(1) 余弦函数的平方与正弦函数的平方和为1：cos^2θ + sin^2θ = 1(2) 正切函数与余切函数的乘积始终等于1：tanθ · cotθ = 1(3) 正弦函数与余切函数、余弦函数与正切函数的关系：sinθ/cotθ = cosθcosθ/tanθ = sinθ三、教学过程1. 引入：通过提问的方式引导学生回顾三角函数的基本关系和周期性规律。
2. 发现：给出一个具体的三角函数等式，例如sinθ = cos(π/2 - θ)，请学生尝试寻找与之相关的恒等式。
3. 探究：根据学生的发现，引导学生使用初等三角函数的定义和已知的三角函数恒等式，进行推导和证明，找出恒等式的变换规律。
4. 总结：整理学生的发现和推导过程，总结三角恒等变换的基本规律，并给出示例进行演示和讲解。
5. 练习：提供一些练习题，让学生运用所学的三角恒等变换规律，解决相关的三角函数等式和问题。
四、教学评价1. 通过观察学生的推导过程和解题思路，评价他们对三角恒等变换规律的理解和掌握情况。
2. 提供针对性的反馈和指导，帮助学生纠正错误和加深对知识点的理解。
3. 鼓励学生积极参与课堂讨论和解题过程，培养他们的合作和思考能力。
五、课后作业1. 题目一：证明sin(π/2 - θ) = cosθ。
2. 题目二：利用三角恒等变换，化简并求解tanθ + 1 = secθ的解。
三角恒等变换教案
三角恒等变换教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解三角恒等变换的概念和意义；（2）掌握三角恒等变换的基本公式；（3）能够运用三角恒等变换解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳三角恒等变换的规律；（2）培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣和探究欲望；（2）培养学生的团队合作意识和克服困难的勇气。
二、教学内容1. 三角恒等变换的概念和意义；2. 三角恒等变换的基本公式；3. 三角恒等变换的运用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）三角恒等变换的概念和意义；（2）三角恒等变换的基本公式；（3）三角恒等变换的运用。
2. 教学难点：（1）三角恒等变换公式的灵活运用；（2）解决实际问题时的变形和计算。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究三角恒等变换的规律；2. 通过示例讲解，让学生掌握三角恒等变换的基本公式；3. 利用练习题和小组讨论，提高学生的实际应用能力和团队合作意识。
五、教学过程1. 导入新课：（1）复习相关三角函数知识；（2）提问：什么是三角恒等变换？为什么学习三角恒等变换？2. 知识讲解：（1）讲解三角恒等变换的概念和意义；（2）介绍三角恒等变换的基本公式；（3）示例讲解：如何运用三角恒等变换解决实际问题。
3. 课堂练习：（1）布置练习题，让学生独立完成；（2）选取部分学生的作业进行讲解和评价。
4. 小组讨论：（1）让学生分组讨论，分享解题心得和经验；5. 课堂小结：（1）回顾本节课所学内容；（2）强调三角恒等变换在数学和实际生活中的重要性。
6. 课后作业：（1）布置巩固练习题；（2）鼓励学生自主学习，深入探究三角恒等变换的运用。
六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答的正确性以及与同学的合作情况。
2. 练习作业评价：检查学生作业的完成质量，包括答案的正确性、解题方法的合理性以及书写的规范性。
5.5.2 简单的三角恒等变换 教案-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
《5.5.2 简单的三角恒等变换》教学设计第二课时教材内容：三角恒等变换是本章教学的一个重点内容。
倍角公式、半角公式、积化和差、和差化积是在学习了两角和与差的正弦、余弦和正切公式后，借助两角和与差公式进行推导出的。
本节所学的公式对于解决三角恒等变化问题有着极为重要的作用，也为后续的学习奠定了教学基础。
教学目标：1.通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式.2.理解积化和差与和差化积公式的推导方法，并能应用其进行化简和计算.3.通过两角和与差的正弦、余弦公式的变形，会把形如sin cos y a x b x =+的三角函数转化成一个角的一个三角函数的形式，并能用来解决有关周期、最值等问题.教学重点与难点：重点：半角公式、积化和差、和差化积公式； 难点：半角公式、积化和差、和差化积公式。
教学过程设计：1、新课导入学习了和（差）角公式、二倍角公式以后，我们就有了进行三角恒等变换的新工具，从而使三角恒等变换的内容、思路和方法更加丰富.这节课我们就来继续学习一下其他的三角恒等变换公式. 2、探索新知例1 试以cos α表示2sin 2α，2cos2α，2tan2α.解：α是2α的二倍角. 在倍角公式2cos 212sin αα=-中，以α代替2α，以2α代替α，得2cos 12sin2αα=-，所以21cos sin22αα-=.① 在倍角公式2cos 22cos 1αα=-中，以α代替2α，以2α代替α， 得2cos 2cos12αα=-，所以21cos cos 22αα+=.② 将①②两个等式的左右两边分别相除，得21cos tan 21cos ααα-=+.知识点1 半角公式1cos sin22αα-=1cos cos 22αα+=1cos tan 21cos a αα-=+ 符号由2α所在象限决定.例2 求证：（1）1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；（2）sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=.证明：（1）因为sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+，sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-，将以上两式的左右两边分别相加，得sin()sin()2sin cos αβαβαβ++-=，即1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-.（2）由（1）可得sin()sin()2sin cos αβαβαβ++-=.① 设αβθ+=，αβϕ-=，那么2θϕα+=，2θϕβ-=.把α，β的值代入①，即得sin sin 2sin cos22θϕθϕθϕ+-+=.知识点2 积化和差公式1sin cos [sin()sin()]2a αβαββ=++-；1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--；1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-；1sin sin [cos()cos()]2a αββαβ=-+--.知识点3 和差化积公式sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=； sin sin 2cossin22θϕθϕθϕ+--=； cos cos 2coscos22θϕθϕθϕ+-+=； cos cos 2sinsin22θϕθϕθϕ+--=-.例3 求下列函数的周期，最大值和最小值：（1）sin 3y x x =+；（2）3sin 4cos y x x =+. 解：（1）sin 3cos y x x =+132sin 2x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭ππ2sin cos cos sin 33x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2sin 3x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因此，所求周期为2π，最大值为2，最小值为2-. （2）设3sin 4cos sin()x x A x ϕ+=+， 则3sin 4cos sin cos cos sin x x A x A x ϕϕ+=+， 于是cos 3A ϕ=，sin 4A ϕ=， 于是2222cos sin 25A A ϕϕ+=， 所以225A =. 取5A =，则3cos 5ϕ=，4sin 5ϕ=. 由5sin()y x ϕ=+可知，所求周期为2π，最大值为5，最小值为5-.例4 如图，在扇形OPQ 中，半径1OP =，圆心角π3POQ ∠=，C 是扇形弧上的动点，矩形ABCD 内接于扇形.记POC α∠=，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积.解：在Rt OBC △中，cos OB α=，sin BC α=. 在Rt OAD △中，πtan 33DA OA == 所以333OA BC α===，3cos AB OB OA αα=-=. 设矩形ABCD 的面积为S ，则S AB BC =⋅3cos sin ααα⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭23sin cos 3ααα=-13sin 2cos 2)26αα=--133sin 22266αα=+-3132cos 223αα⎫=+-⎪⎪⎭3263πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 由π03α<<，得ππ5π2666α<+<， 所以当22ππ6α+=，即π6α=时， 333S ==最大. 因此，当π6α=时，矩形ABCD 3知识点4 辅助角公式22sin cos )a x b x a b x ϕ+=++，其中tan baϕ=. 3、课堂练习1.已知1cos 5α=，3π,2π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2α等于( ) 10 B.102625答案：A解析：3π,2π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3π,π24α⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，1cos 10sin 22αα-∴==.故选A.2.若3sin 33)x x x ϕ-=+，(π,π)ϕ∈-，则ϕ=___________.答案：π6-解析：313sin 323cos 2x x x x ⎫=-⎪⎪⎭π36x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 因为(π,π)ϕ∈-，所以π6ϕ=-. 3.函数2sin sin cos 1y x x x =++的最小正周期是___________，单调递增区间是___________.答案：π；π3ππ,π88k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z解析：21cos 2sin 2sin sin cos 1122x x y x x x -=++=++23242x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 所以最小正周期2ππ2T ==，令πππ2π22π242k x k -+<-<+，k ∈Z ，解得π3πππ88k x k -+<<+，k ∈Z ，所以函数的单调递增区间是π3ππ,π()88k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z .4、小结作业小结：本节课学习了半角公式、积化和差公式、和差化积公式以及辅助角公式. 作业：完成本节课课后习题. 四、板书设计5.5.2 简单的三角恒等变换1.半角公式：1cos sin 22αα-=1cos cos 22αα+=1cos tan 21cos a αα-=+符号由2α所在象限决定.2.积化和差公式：1sin cos [sin()sin()]2a αβαββ=++-；1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--；1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-；1sin sin [cos()cos()]2a αββαβ=-+--.3.和差化积公式：sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=；sin sin 2cossin22θϕθϕθϕ+--=； cos cos 2coscos22θϕθϕθϕ+-+=；cos cos 2sin sin22θϕθϕθϕ+--=-.4.辅助角公式：22sin cos )a x b x a b x ϕ+=++，其中tan ba ϕ=.。
高中数学必修课教案三角恒等变换的证明与应用
高中数学必修课教案三角恒等变换的证明与应用高中数学必修课教案：三角恒等变换的证明与应用一、引言三角恒等变换是高中数学中重要的概念和工具，它涉及了三角函数的基本关系和性质，对解决各种三角函数相关的问题具有广泛的应用。
本文将详细讲解三角恒等变换的证明与应用，让学生更好地掌握这一知识点。
二、基本定义和公式在开始证明和应用三角恒等变换之前，让我们先回顾一下相关的基本定义和公式：1. 余弦定理：对于任意三角形ABC，设其三边分别为a、b、c，夹角分别为A、B、C，则有c² = a² + b² - 2abcosC2. 正弦定理：对于任意三角形ABC，设其三边分别为a、b、c，夹角分别为A、B、C，则有a/sinA = b/sinB = c/sinC3. 倍角公式：同一函数的倍角公式有以下三种形式：a) sin2A = 2sinAcosAb) cos2A = cos²A - sin²Ac) tan2A = (2tanA)/(1 - tan²A)三、三角恒等变换的证明1. 三角恒等变换的基本思想是根据基本定义和公式，通过代换、化简和运算等方法，将一个三角函数的表达式转化为另外一个三角函数的表达式。
2. 以证明三角函数的平方和差公式为例，假设有两个角A和B，则有以下公式：a) sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinBb) sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinBc) cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinBd) cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB我们可以通过将两个角的和（差）换成一个新的角，然后利用基本定义和公式进行推导和化简，最终得到以上公式的证明。
3. 类似地，其他三角恒等变换的证明也可以通过类似的思路进行推导，关键是要熟练掌握基本定义和公式，并灵活运用代换和化简的方法。
三角恒等变换教案
三角恒等变换教案教案标题：三角恒等变换教案教案概述：本教案针对高中数学课程中的三角函数学习内容，以“三角恒等变换”为主题。
通过引导学生理解三角恒等变换的定义、性质和运用方法，培养学生的逻辑思维能力和数学推理能力，提高他们解决实际问题的能力。
教案目标：1. 了解三角恒等变换的概念和性质；2. 能够正确运用三角恒等变换的方法和技巧进行数学推导和证明；3. 培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
教案重点：1. 三角恒等变换的定义和性质；2. 学生针对具体问题，灵活运用三角恒等变换进行推导和证明。
教案难点：学生对三角恒等变换的抽象性理解以及如何熟练运用于解决问题。
教学准备：1. 教师准备幻灯片、黑板、白板等教学工具；2. 学生准备笔记本、教材等学习工具。
教学过程：步骤一：导入1. 引入数学公式和恒等式的概念，向学生介绍三角恒等变换是一类特殊的恒等变换。
2. 通过具体的示例和问题，引发学生对三角函数之间关系的思考。
步骤二：讲解1. 结合幻灯片或黑板，向学生逐步展示三角恒等变换的基本定义和性质。
2. 通过示例演算和详细讲解，帮助学生理解三角恒等变换的运用方法和技巧。
步骤三：练习1. 发放练习题，让学生运用所学的三角恒等变换方法解决具体问题。
2. 在学生独立完成后，进行试卷讲解，鼓励学生积极参与并解答问题。
步骤四：拓展1. 提出更加复杂的问题，引导学生运用三角恒等变换解决实际问题。
2. 引导学生思考三角恒等变换的实际应用，例如在工程、物理等领域中的具体运用。
步骤五：总结1. 对三角恒等变换内容进行小结，强调重要概念和方法。
2. 提醒学生在复习中注意三角恒等变换的细节，以及如何灵活运用于解决问题。
教学辅助：1. 幻灯片或黑板白板；2. 教材和练习题。
教学延伸：1. 将三角恒等变换与其他数学知识进行整合，拓展学生的数学思维；2. 引导学生自主探究和发现更多三角恒等变换的性质和应用场景；3. 带领学生进行相关的作业和实践项目，综合运用所学的知识。
三角恒等变换教案优质课教案
三角函数的图像与变换
三角函数的基本图像
01
正弦、余弦、正切函数在坐标系中的图像及其特点。
图像的平移与伸缩
02
通过平移和伸缩变换，可以得到不同振幅、周期和相位的三角
函数图像。
图像的对称与周期性
03
三角函数图像具有对称性和周期性，可以通过这些性质进行图
像分析和变换。
三角函数的和差化积与积化和差公式
和差化积公式
05
06
$tan(A - B) = frac{tan A - tan B}{1 + tan A tan B}$
倍角公式与半角公式
倍角公式 $sin 2A = 2sin A cos A$
$cos 2A = cos^2 A - sin^2 A = 2cos^2 A - 1 = 1 - 2sin^2 A$
解释三角恒等变换在几何图形中的应用，如角度、边长等的计算。
02
三角恒等变换在物理中的应用
阐述三角恒等变换在物理学中的应用，如振动、波动等问题的分析。
03
三角恒等变换在工程学中的应用
介绍三角恒等变换在工程领域中的应用，如建筑设计、机械制造等。
拓展：三角恒等变换在其他领域的应用
三角恒等变换在数学分析中的应用
三角恒等变换在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用，是解决实际问题的重要 工具之一。
掌握三角恒等变换的方法和技巧，对于提高学生的数学素养和解决问题的能力具有 重要意义。
课程目标与要求
知识与技能目标
掌握三角恒等变换的基本方法和技巧， 能够熟练地进行三角函数的化简和计 算。
过程与方法目标
情感态度与价值观目标
将两个角的三角函数和差转化为 单个角的三角函数形式，便于计
三角恒等变换教案(优质课教案)
课题三角恒等变换课型复习授课人余伟1、利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式进行化简、求值是高考考查的热点，本部分内容常与三角函数的性质、向量、解三角形的知考情分析识相结合命题2、命题形式多种多样，既有选择题、填空题也有综合性解答题1、通过同类型题目的训练，加深对三角恒等变换中各个公式的理解和记忆，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，提高学生的数学素养。
2、通过三角恒等变换中公式的运用，会进行简单的化简、求值，体会转化教学目标思想在数学中的应用，使学生进一步掌握联系的观点，提高学生分析问题、解决问题的能力。
3、通过本节课的学习，使学生体会探究的乐趣，激发学生分析、探求的学习乐趣。
教学重点和差角、倍角公式、辅助角公式的灵活运用教学难点给值求值问题中合理运用和差角公式教学过程知识梳理：1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：2.二倍角的正弦、余弦、正切公式：3.降幂公式：4.辅助角公式：典例讲评：题型 1三角函数式的化简、求值给角求值”： 一般所给出的角都是非特殊角， 从表面上来看是很难的， 但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系， 解题时， 要利用观察得到的关系， 结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．【例 1】（ 1）（ 2015 年课标全国Ⅰ） sin 20 cos10cos160 sin 10（ ）3 3 1 1 A.B.C.D.2222sin 110 sin 20 ）（ 2）计算sin 2 的值为（ cos 2 155 1553 3 1 1 A.B.C.D.22 22cos40等于（）（3）化简cos 25 1 sin 40A.1B. 3C. 2D.2（4） sin 50 1 3 tan10【规律方法】三角函 数式的化简要遵循“三看”原则(1) 一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2) 二看“函数名称”， 看函数名称之间的差异， 从而确定使用的公式， 常见的有“切化弦”；(3) 三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．题型 2 给值求值问题 ( 已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值 )“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．【例 2】（ 1）（教材课后练习）已知sin 303，60150 ，则 cos 5（ 2）已知cos sin 437的值是，则 sin665（3）已知02，且 cos21， sin2，则923cos的值为（ 4）已知、为锐角， cos 153， sin，则 cos 714（ 5）（ 10 月月考）已知cos2，为锐角，则 cos 21084题型 3给值求角问题( 已知某角的三角函数值，求另一角的值)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．【典例 3】(1)设、为钝角，且 sin 5， cos310的值为（）5，则10A.3B.5C.7D.5或7 44444（ 2）若sin 2510，，3，则， sin，且，51042的值为（）A.7B.9C.5或9D.5或7444444【规律方法】(1)角的变换：转化为同角、特殊角、已知角或它们的和、差、两倍、一半等等；如， 2．(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，，选正、余弦皆可；若角的范围是(0 ，2π) ，选余弦较好；若角的范围为, ，选正弦较好．22(3) 解这类问题的一般步骤：①求角的某一个三角函数值；②确定角的范围；③根据角的范围写出所求的角．课堂小结本节课复习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，降幂公式，辅助角公式，思考：1、如何求解给值求值的问题2、如何求解给值求角的问题3、在化简中哪些技巧值得我们注意。
高中数学教案《三角恒等变换》
教学计划：《三角恒等变换》一、教学目标知识与技能：学生能够理解并掌握三角恒等变换的基本公式，包括和差化积、积化和差、二倍角公式等。
学生能够熟练运用三角恒等变换公式进行化简、求值及证明。
培养学生的逻辑推理能力和代数运算能力。
过程与方法：通过观察、分析、归纳等数学活动，引导学生发现三角恒等变换的规律。
采用“公式推导—例题讲解—练习巩固”的教学模式，帮助学生逐步掌握三角恒等变换的方法。
鼓励学生自主探究，通过小组合作解决复杂问题，培养团队协作能力。
情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，感受数学的美妙与和谐。
培养学生的耐心和细心，养成严谨的科学态度。
引导学生认识到数学在解决实际问题中的重要性，增强应用数学的意识。
二、教学重点和难点重点：三角恒等变换的基本公式及其推导过程;运用公式进行化简、求值及证明。
难点：灵活运用三角恒等变换公式解决复杂问题;理解并记忆众多公式的内在联系。
三、教学过程1. 导入新课（5分钟）情境引入：通过展示一些与三角恒等变换相关的实际问题(如天文学中的角度计算、物理学中的波动分析等)，引导学生思考这些问题背后可能涉及的数学知识，从而引出三角恒等变换的主题。
复习旧知：简要回顾三角函数的基本性质、图像及诱导公式，为学习三角恒等变换做好铺垫。
明确目标：介绍本节课的学习目标，即掌握三角恒等变换的基本公式及其应用。
2. 公式推导（15分钟）和差化积公式推导：通过图形展示和代数运算相结合的方式，引导学生推导出和差化积公式。
强调公式的推导过程，帮助学生理解公式的来源和含义。
积化和差公式推导：类比和差化积公式的推导过程，引导学生自主推导积化和差公式。
鼓励学生提出疑问和见解，促进课堂互动。
二倍角公式推导：利用三角函数的倍角关系，引导学生推导出二倍角公式。
强调公式的记忆方法和应用技巧。
3. 例题讲解（10分钟）基础例题：选取具有代表性的基础例题进行讲解，如利用三角恒等变换公式化简表达式、求三角函数值等。
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第一章 三角恒等变换3.1.1 两角和与差的余弦公式（三）典型例题选讲： 例1不查表，求下列各式的值. (1)cos105°（2）cos15°(3)cos(4)cos80°cos20°+sin80°sin20°(5)cos 215°-sin 215°(6)cos80°cos35°+cos10°cos55°例2已知sin α= ，α∈ ，cos β= - ,β是第三象限角，求cos （α-β）的值.（2）已知sin θ＝1715，且θ为第二象限角，求cos （θ－3π）的值．（3）已知sin （30°＋α）＝，60°＜α＜150°，求cos α．103sin 5sin 103cos 5ππππ-54⎝⎛⎪⎭⎫ππ,21353. 化简cos （36°＋α）cos （α－54°）＋sin （36°＋α）sin （α－54°）．4. 已知32=αsin ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππα,2，53-=βcos ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23ππβ,，求)cos(βα+的值.5. 已知1312-=αcos ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23ππα,，求)cos(4πα+的值。
6. 已知α，β都是锐角，31=αcos ，51-=+)cos(βα，求βcos 的值。
6. 在△ABC 中，已知sin A ＝53，cos B ＝135，求cos C 的值.例3：已知cos(2α-β)=- ,sin(α-2β)= ,且 ，求cos(α+β)的值.例4：cos(α- )=- ,sin( -β)= ,且 ＜α＜π，0＜β＜ ， 求cos 的值.【课堂练习】 1.求cos75°的值2.计算：cos65°cos115°-cos25°sin115°141173440,24πβπαπ〈〈〈〈2β912α322π2π2βα+3.计算：-cos70°cos20°+sin110°sin20°4.sin α-sin β=- ,cos α-cos β= , α∈(0, ), β∈(0, ),求cos(α-β)的值.5.已知锐角α，β满足cos α= ,cos(α-β)=- ,求cos β.6.已知cos(α-β)= ,求(sin α+sin β)2+(cos α+cos β)2的值.2121π22π5313531【课堂小结】1、=+οοοο313sin 253sin 223sin 163sin 。
2、已知βαβα、,32cos ,31sin -==均在第二象限，则)sin(βα+= 。
3、οοο70sin 20sin 10cos 2-= 。
4、)34sin()36cos()33cos()34sin(x x x x +⋅+---ππππ= 。
5、若βαβαβαtan tan ,53)cos(,51)cos(⋅=-=+则= 。
6、)10tan 31(50sin οο+= 。
7、若βαβα、且1010sin ,55sin ==均为锐角，则βα+= 。
8、οο5.22tan 15.22tan 2-= 。
9、ο105cos = 。
10、已知354sin )6cos(=+-απα，则)67sin(πα+= 。
3.1.2 两角和与差的正弦公式（二）、典型例题选讲：例１求值sin(χ+60°)+2sin(χ-60°)-3cos(120°-χ)1利用和差角公式计算下列各式的值（1）sin 72cos 42cos 72sin 42︒︒-︒︒ （2）13cos sin 2x x -（3）3sin cos x x + （4）22cos 2sin 222x x -3（1）已知3sin 5α=-，α是第四象限角，求sin()4πα-的值。
（2）已知54cos(),cos ,,135αββαβα+==均为锐角，求sin 的值。
例２：已知sin(2α+β)=3sin β,tan α=1,求tan(α-β)的值.例３：已知sin(α+β)= ,sin(α-β)= 求 的值.例４：（１）已知sin(α-β)= ,sin(α+β)= ,求tan α:tan β)的值.【课堂练习】１.在△ABC 中，已知cosA = ,cosB= ,则cosC 的值为2.已知 ＜α＜ ，0＜β＜α，cos( +α)=- ,sin( +β)= ,求sin(α+β)的值.3.已知sin α+sin β= ,求cos α+cos β的范围.3252βαtan tan 312131544π43π4π5343π135224.已知sin(α+β)= ,sin(α-β)= ,求 的值.5.已知sin α+sin β= cos α+cos β= 求cos(α-β)6.化简2cos χ-6sin χ7.化解3cos χχsin -8.求证：cos χ+sin χ=2cos （χ - ）21101βαtan tan 53544π9.求证：cos α+3sin α=2sin （ ）.10.已知 ，求函数у=cos （ ）-cos 的值域.11. 求 的值.απ+6⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πχχπ-12⎝⎛⎪⎭⎫+χπ125︒︒-︒20cos 20sin 10cos 2三角函数式的求值【例2】►已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值．【训练2】 已知α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．三角函数的求角问题【例3】►已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β. [【训练3】 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．练习1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于( )A.12B.33C.22D.322．若cos α＝－12，sin β＝－32，α∈(π2，π)，β∈(3π2，2π)，则sin(α＋β)的值是( ) A.32 B ．－32C ．－1D ．03.已知a =(2sin 35°,2cos 35°)，b =(cos 5°,－sin 5°)，则a ·b ＝( ) A.12B ．1C ．2D ．2sin 40° 13．已知α为锐角，sin α＝35，β是第四象限角，cos(π＋β)＝－45.求sin(α＋β)的值．14. 若sin(34π＋α)＝513，cos(π4－β)＝35，且0<α<π4<β<34π，求cos(α＋β)的值．3.1.3 两角和与差的正切公式【学习目标】1.掌握两角和与差的正切公式及其推导方法。
2.通过正式的推导，了解它们的内在联系，培养逻辑推理能力。
3.能正确运用三角公式，进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。
【学习重点难点】能根据两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形【学习过程】（一）预习指导：1.两角和与差的正、余弦公式cos(α+β)=cos(α-β)=sin(α+β)=sin(α-β)=2.新知tan(α+β)的公式的推导(α+β)≠0tan(α+β)注意：1°必须在定义域范围内使用上述公式tan α，tan β,tan(α+β)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能用诱导公式。
2°注意公式的结构，尤其是符号。
（二）典型例题选讲：例1：已知tan α= ,tan β=-2 求tan(α+β),tan(α-β), α+β的值，其中0°＜α＜90°，90°＜β＜180° 31例2：求下列各式的值：（1） （2）tan17°+tan28°+tan17°tan28°（3）tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20°例3：已知sin(2α+β)+2sin β=0 求证tan α=3tan(α+β)例4：已知tan θ和tan( -θ)是方程χ2+p χ+q=0的两个根，证明：p-q+1=0.例5：已知tan α=3(1+m),tan(-β)3(tan αtan β+m),又α，β都是钝角，求α+β的值.︒-︒+75tan 175tan 14π【课堂练习】1.若tan A tan B =tan A +tab B +1，则cos(A +B )的值为 .2.在△ABC 中，若0＜tanA ·tabB ＜1则△ABC 一定是 .3.在△ABC 中，tanA+tanB+tanC=33,tan 2B=tanAtanC,则∠B 等于 . 4. = .5.已知sin(α+β)= ,sin(α-β)= ,求 的值.︒︒︒+︒+︒40tan 20tan 120tan 40tan 20tan 2131)tan(tan tan tan )tan(2βαββαβα+--+3.2.1 二倍角的三角函数（1）【学习目标】1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；2.能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明。
【学习重点难点】重点：1.二倍角公式的推导；2.二倍角公式的简单应用。
难点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数。
【学习过程】（一）预习指导：1.复习两角和与差的正弦、余弦、正切方式：sin(α+β)= (S βα+)cos(α+β)= (C βα+)tan(α+β)= (T βα+)(α,β, α+β≠κπ+ ,Z ∈κ)(二)基本概念2.二倍角公式的推导在公式（S βα+），（C βα+），（T βα+）中，当α=β时，得到相应的一组公式： sin2α= (S α2)cos2α= (C α2)tan2α= (T α2) 注意：1°在（T α2）中2α≠ +κπ,α≠ +κπ(Z ∈κ) 2°在因为sin 2α+cos 2α=1，所以公式（C α2）可以变形为cos2α=或cos2α= (C ′α2)公式（S α2），（C α2），（C ′α2），（T α2）统称为二倍角的三角函数公式，简称二倍角公式。