高中数学 第3章3.1.3知能优化训练 新人教B版选修11
高中数学 第3章3.3.1知能优化训练 新人教B版选修11
1．函数y ＝x 3＋x 的递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－∞，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选C.y ′＝3x 2＋1＞0对于任何实数都恒成立．2．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A.3．函数y ＝x 3＋x 2－5x －5的单调递增区间是________．解析：令y ′＝3x 2＋2x －5＞0得x ＜－53或x ＞1. 答案：(－∞，－53)，(1，＋∞) 4．求下列函数的单调区间：(1)y ＝x －ln x ；(2)y ＝12x. 解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)．其导数为y ′＝1－1x. 令1－1x >0，解得x >1；再令1－1x<0，解得0<x <1. 因此，函数的单调增区间为(1，＋∞)，函数的单调减区间为(0,1)．(2)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．y ′＝－12x 2，所以当x ≠0时，y ′＝－12x 2<0， 而当x ＝0时，函数无意义，所以y ＝12x在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是减函数， 即y ＝12x的单调减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)．一、选择题1．函数f (x )＝x －2ln x 的单调减区间为( )A ．(－∞，0)B ．(2，＋∞)C ．(0,2)D ．(－∞，0)，(2，＋∞)答案：C2．函数y ＝4x 2＋1x的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(12，＋∞) D ．(1，＋∞) 解析：选C.∵y ′＝8x －1x 2＝8x 3－1x 2>0，∴x >12. 即函数的单调递增区间为(12，＋∞)． 3．若在区间(a ，b )内，f ′(x )>0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有( )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )＝0D ．不能确定解析：选A.因f ′(x )>0，所以f (x )在(a ，b )内是增函数，所以f (x )>f (a )≥0.4．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是( )A ．y ＝2－3x 2B ．y ＝ln xC ．y ＝1x －2D ．y ＝sin x 解析：选C.对于函数y ＝1x －2，其导数y ′＝－1x －2＜0，且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y ＝1x －2在区间(－1,1)上是减函数，其余选项都不符合要求，故选C. 5．函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2 B.()π，2π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π2 D.()2π，3π 解析：选B.y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ，若y ＝f (x )在某区间内是增函数，只需在此区间内y ′恒大于或等于0即可．∴只有选项B 符合题意，当x ∈(π，2π)时，y ′≥0恒成立．6．函数y ＝ax 3－x 在R 上是减函数，则( )A ．a ≥13B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a ≤0解析：选D.因为y ′＝3ax 2－1，函数y ＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，所以y ′＝3ax 2－1≤0恒成立，即3ax 2≤1恒成立．当x ＝0时，3ax 2≤1恒成立，此时a ∈R ；当x ≠0时，若a ≤13x 2恒成立，则a ≤0. 综上可得a ≤0.二、填空题7．y ＝x 2e x 的单调递增区间是________．解析：∵y ＝x 2e x ，∴y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝e x x (2＋x )>0⇒x <－2或x >0.∴递增区间为(－∞，－2)和(0，＋∞)．答案：(－∞，－2)，(0，＋∞)8．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为[－1,2]，则b ＝________，c ＝________.解析：∵y ′＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知[－1,2]是不等式3x 2＋2bx ＋c <0的解集，∴－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的根，由根与系数的关系得b ＝－32，c ＝－6. 答案：－32－69．若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是________． 解析：∵y ′＝－4x 2＋a ，且y 有三个单调区间，∴方程y ′＝－4x 2＋a ＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×(－4)×a >0，∴a >0.答案：(0，＋∞)三、解答题10．求下列函数的单调区间．(1)f (x )＝x 3＋3x； (2)f (x )＝x ＋b x(b ＞0)． 解：(1)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f ′(x )＝3x 2－3x 2＝3(x 2－1x 2)， 由f ′(x )>0，解得x <－1或x >1，由f ′(x )<0，解得－1<x <1且x ≠0，∴递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，递减区间为(－1,0)，(0,1)．(2)函数的定义域为x ≠0.f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b x ′＝1－b x 2＝1x 2(x ＋b )(x －b )． 令f ′(x )＞0，则1x (x ＋b )(x －b )＞0， ∴x ＞b 或x ＜－b .∴函数的单调递增区间为(－∞，－b )和(b ，＋∞)．令f ′(x )＜0，则1x 2(x ＋b )(x －b )＜0， ∴－b ＜x ＜b 且x ≠0.∴函数的单调递减区间为(－b ，0)和(0，b )．11．求函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1在区间[－4,4]上的单调性．解：∵f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1，∴f ′(x )＝3x 2－6x －9.令f ′(x )>0，结合－4≤x ≤4，得－4≤x <－1或3<x ≤4.令f ′(x )<0，结合－4≤x ≤4，得－1<x <3.∴函数f (x )在[－4，－1)和(3,4]上为增函数，在(－1,3)上为减函数．12．已知函数f (x )＝ax －a x－2ln x (a ≥0)，若函数f (x )在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围． 解：∵f ′(x )＝a ＋a x 2－2x， 要使函数f (x )在定义域(0，＋∞)内为单调函数，则在(0，＋∞)内f ′(x )恒大于等于0或恒小于等于0.当a ＝0时，f ′(x )＝－2x<0在(0，＋∞)内恒成立；当a >0时，要使f ′(x )＝a (1x －1a )2＋a －1a ≥0恒成立，则a －1a ≥0，解得a ≥1. 综上，a 的取值范围为{a |a ≥1或a ＝0}．。
高中数学 第3章3.3.2第2课时知能优化训练 新人教B版选修11
1．函数y ＝f (x )在[a ，b ]上( )A ．极大值一定比极小值大B ．极大值一定是最大值C ．最大值一定是极大值D ．最大值一定大于极小值解析：选D.由函数的最值与极值的概念可知，y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值一定大于极小值．2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( )A ．有最大值，但无最小值B ．有最大值，也有最小值C ．无最大值，但有最小值D ．既无最大值，也无最小值解析：选D.f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.3．函数y ＝4x 2(x －2)在x ∈[－2,2]上的最小值为________，最大值为________．解析：由y ′＝12x 2－16x ＝0，得x ＝0或x ＝43. 当x ＝0时，y ＝0；当x ＝43时，y ＝－12827； 当x ＝－2时，y ＝－64；当x ＝2时，y ＝0.比较可知y max ＝0，y min ＝－64.答案：－64 04．已知函数f (x )＝13x 3－4x . (1)求函数的极值；(2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．解：(1)f ′(x )＝x 2－4，解方程x 2－4＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋f (x ) ↗ 163 ↘ －163↗ 从上表可看出，当x ＝－2时，函数有极大值，且极大值为3；而当x ＝2时，函数有极小值，且极小值为－163. (2)f (－3)＝13×(－3)3－4×(－3)＝3， f (4)＝13×43－4×4＝163， 与极值比较，得函数在区间[－3,4]上的最大值是163，最小值是－163.一、选择题1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( )A ．f (2)，f (3)B ．f (3)，f (5)C ．f (2)，f (5)D ．f (5)，f (3)解析：选B.∵f ′(x )＝－2x ＋4，∴当x ∈[3,5]时，f ′(x )<0，故f (x )在[3,5]上单调递减，故f (x )的最大值和最小值分别是f (3)，f (5)．2．f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )A ．－2B ．0C ．2D ．4解析：选C.f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0可得x ＝0或x ＝2(舍去)，当－1≤x <0时，f ′(x )>0，当0<x ≤1时，f ′(x )<0.所以当x ＝0时，f (x )取得最大值为2.3．函数y ＝ln x x 的最大值为( ) A ．e －1 B ．eC ．e 2 D.103解析：选A.令y ′＝ln x ′x －ln x ·x ′x 2＝1－ln x x2＝0. 解得x ＝e.当x >e 时，y ′<0；当x <e 时，y ′>0.y 极大值＝f (e)＝1e，在定义域内只有一个极值， 所以y max ＝1e. 4．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( ) A ．π－1 B.π2－1 C ．π D ．π＋1解析：选C.因为y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，y ′>0，则函数y 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sinπ＝π，故选C.5．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( )A ．－10B ．－71C ．－15D ．－22解析：选B.f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)．由f ′(x )＝0得x ＝3，－1.又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27，f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20.由f (x )max ＝k ＋5＝10，得k ＝5，∴f (x )min ＝k －76＝－71.6．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a 等于( ) A ．－32 B.12C ．－12 D.12或－32解析：选C.当a ≤－1时，最大值为4，不符合题意，当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上是减函数，f (a )最大，－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或a ＝－32(舍去)． 二、填空题7．函数f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上有最小值是________．解析：f ′(x )＝6x 2－6x －12，令f ′(x )＝0得x ＝2或x ＝－1(舍去)，比较f (0)，f (2)，f (3)可得函数的最小值为f (2)＝－15.答案：－158．函数y ＝x e x 的最小值为________．解析：令y ′＝(x ＋1)e x ＝0，得x ＝－1.当x <－1时，y ′<0；当x >－1时，y ′>0.∴y min ＝f (－1)＝－1e. 答案：－1e9．已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m的取值范围是________．解析：f ′(x )＝m －2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝m 2. 由题设得m2∈[－2，－1]，故m ∈[－4，－2]． 答案：[－4，－2]三、解答题10．试求f (x )＝(x 2－3)e x 的最值．解：函数的定义域为R ，且f ′(x )＝e x (x 2＋2x －3)令f ′(x )＞0，得x ＞1或x ＜－3；令f ′(x )＜0得－3＜x ＜1.所以函数f (x )在(－∞ ，－3)和(1，＋∞)上递增，在(－3,1)上递减，因此函数f (x )在x ＝－3处取得极大值，极大值为f (－3)＝6e －3，在x ＝1处取得极小值，极小值为f (1)＝－2e.又由f (x )＞0，得x ＞3或x ＜－3；由f (x )＜0，得－3＜x ＜3，所以函数的大致图象如图．从函数图象可知函数f (x )的最小值就是函数的极小值f (1)＝－2e ，而函数无最大值．11．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋2，x ＝2是f (x )的一个极值点，求：(1)实数a 的值；(2)f (x )在区间[－1,3]上的最大值和最小值．解：(1)∵f (x )在x ＝2处有极值，∴f ′(2)＝0.∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ，∴3×4＋4a ＝0，∴a ＝－3.(2)由(1)知a ＝－3，∴f (x )＝x 3－3x 2＋2，f ′(x )＝3x 2－6x .令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2.x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2 (2,3) 3f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋f (x ) －2 ↗ 2 ↘ －2 ↗ 2 从上表可知f (x )在区间[－1,3]上的最大值是2，最小值是－2.12．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋3x .(1)若f (x )在x ∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )在x ∈[1，a ]上的最大值和最小值．解：(1)令f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3＞0，∴a ＜⎣⎢⎡⎦⎥⎤32x ＋1x min ＝3(当x ＝1时取最小值)．∵x ≥1，∴a ＝3时亦符合题意，∴a ≤3.(2)f ′(3)＝0，即27－6a ＋3＝0，∴a ＝5，f (x )＝x 3－5x 2＋3x ，f ′(x )＝3x 2－10x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝13(舍去)．当1＜x ＜3时，f ′(x )＜0，当3＜x ＜5时，f ′(x )＞0，即当x ＝3时，f (x )的极小值f (3)＝－9.又f (1)＝－1，f (5)＝15，∴f (x )在[1,5]上的最小值是f (3)＝－9，最大值是f (5)＝15.。
第3章3.1.1知能优化训练
1．函数f (x )＝log 5(x －1)的零点是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．根据表格中的数据，可以判断方程e x －x －2＝0必有一个根在区间( )x －1 0 1 2 3 e x 0.37 1 2.78 7.39 20.09x ＋21 2 3 4 5 A.(－1,0) B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)3．(2010年高考福建卷)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0－2＋ln x ，x ＞0的零点个数为( ) A ．0 B ．1C ．2D ．34．已知函数f (x )＝x 2－1，则函数f (x －1)的零点是________．1．若函数f (x )＝ax ＋b 只有一个零点2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )A ．0,2B ．0，－12C ．0，12D ．2，122．若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＜1B ．a ＞1C ．a ≤1D ．a ≥13．函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( ) A ．(1,2) B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(e,3)4．下列函数不存在零点的是( )A ．y ＝x －1xB ．y ＝2x 2－x －1C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1 (x ≤0)x －1 (x ＞0)D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x ≥0)x －1 (x ＜0) 5．函数y ＝log a (x ＋1)＋x 2－2(0＜a ＜1)的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．无法确定6．设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)7．函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋c (a ≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________．8．若函数f (x )＝3ax －2a ＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，则a 的取值范围是________．9．下列说法正确的有________：①对于函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，若f (a )＞0，f (b )＞0，则函数f (x )在区间(a ，b )内一定没有零点．②函数f (x )＝2x －x 2有两个零点．③若奇函数、偶函数有零点，其和为0.④当a ＝1时，函数f (x )＝|x 2－2x |－a 有三个零点．10．若方程x 2－2ax ＋a ＝0在(0,1)恰有一个解，求a 的取值范围．11．判断方程log 2x ＋x 2＝0在区间[12，1]内有没有实数根？为什么？12．已知关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，探究a 为何值时，(1)方程有一正一负两根；(2)方程的两根都大于1；(3)方程的一根大于1，一根小于1.。
高中数学 第2章231知能优化训练 选修11 试题(共6页)
知能优化训练(x ùnli àn)[学生用书 P 33]1．动点P 到直线x ＋4＝0的间隔 与它到M (2,0)的间隔 之差等于2，那么P 的轨迹是( ) A ．直线 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析：选D.依题意知，动点P 到定直线x ＝－2的间隔 与到定点M (2,0)的间隔 相等，故动点P 的轨迹是抛物线．2．抛物线y ＝14a x 2(a ≠0)的焦点坐标为( )A ．当a >0时，(0，a )，当a <0时，(0，－a )B ．当a >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，当a <0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2C ．(0，a )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，0 解析：选C.a >0时，x 2＝4ay 的焦点为(0，a )，这时焦点在y 轴正半轴上；a <0时，x 2＝4ay 的焦点为(0，a )，这时焦点在y 轴负半轴上．故不管a 为何值，x 2＝4ay 的焦点总为(0，a )，所以选C.3．(2021年模拟)点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的间隔 为d ，点A (72，4)，那么|PA |＋d 的最小值是( ) A.72 B ．4C.92D ．5y 2＝2x 的焦点为F ，那么F (12，0)．又点A (72，4)在抛物线的外侧，且点P 到准线的间隔 为d ，所以d ＝|PF |，那么|PA |＋d ＝|PA |＋|PF |≥|AF |＝5.应选D.4．抛物线y ＝ax 2的准线(zhǔn xiàn)方程是y ＝2，那么a 的值是______． 解析：由y ＝ax 2的准线方程为y ＝－14a ＝2，得a ＝－18.答案：－18一、选择题1．准线方程为x ＝1的抛物线的HY 方程是( ) A ．y 2＝－2x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝2xD ．y 2＝4xx ＝1知，抛物线的HY 方程是y 2＝－4x .应选B.2．抛物线y ＝mx 2的准线方程是y ＝1，那么实数m 的值是( ) A.14 B ．－14C ．4D ．－4y ＝mx 2，得x 2＝1m y ，14m ＝－1，a ＝－14.3．P (8，a )在抛物线y 2＝4px 上，且P 到焦点的间隔 为10，那么焦点到准线的间隔 为( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16x ＝－p ，∴8＋p ＝10，p ＝2.∴焦点到准线的间隔 为2p ＝4.4．(2021年高考卷)抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，那么p 的值是( ) A.12 B ．1 C ．2D ．4x ＝－p 2.由x 2＋y 2－6x －7＝0得(x －3)2＋y 2＝16.∵准线(zhǔn xiàn)与圆相切，∴3＋p2＝4，∴p ＝2.5．(2021年高考卷)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的间隔 是4，那么点P 到该抛物线焦点的间隔 是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12解析：选 B.如下图，抛物线的焦点为F (2,0)，准线方程为x ＝－2，由抛物线的定义知：|PF |＝|PE |＝4＋2＝6.6．假设点P 到定点F (4,0)的间隔 比它到直线x ＋5＝0的间隔 小1，那么点P 的轨迹方程是( ) A ．y 2＝－16x B ．y 2＝－32xC ．y 2＝16xD ．y 2＝16x 或者y ＝0(x <0)解析：选C.∵点F (4,0)在直线x ＋5＝0的右侧，且P 点到点F (4,0)的间隔 比它到直线x ＋5＝0的间隔 小1，∴点P 到F (4,0)的间隔 与它到直线x ＋4＝0的间隔 相等．故点P 的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，p ＝8，故P 点的轨迹方程为y 2＝16x . 二、填空题7．抛物线y 2＝2px (p >0)过点M (2,2)，那么点M 到抛物线准线的间隔 为________．解析：y 2＝2px 过点M (2,2)，于是p ＝1，所以点M 到抛物线准线的间隔 为2＋p 2＝52.答案(dá àn)：528．抛物线y 2＝4x 的弦AB ⊥x 轴，假设|AB |＝43，那么焦点F 到直线AB 的间隔 为________．解析：由抛物线的方程可知F (1,0)，由|AB |＝43且AB ⊥x 轴得y 2A ＝(23)2＝12，∴x A ＝y 2A4＝3，∴所求间隔 为3－1＝2. 答案：29．动点P 到点F (2,0)的间隔 与它到直线x ＋2＝0的间隔 相等，那么点P 的轨迹方程为________．解析：由抛物线定义知，点P 的轨迹是以点F (2,0)为焦点，x ＝－2为准线的抛物线，那么其方程为y 2＝8x . 答案：y 2＝8x 三、解答题10．假设抛物线y 2＝－2px (p >0)上有一点M ，其横坐标为－9.它到焦点的间隔 为10，求抛物线方程和M 点的坐标．解：由抛物线定义知焦点为F (－p 2，0)，准线为x ＝p2，由题意设M 到准线的间隔 为|MN |， 那么|MN |＝|MF |＝10， 即p2－(－9)＝10，∴p ＝2.故抛物线方程为y 2＝－4x ，将M (－9，y )代入y 2＝－4x ，解得y ＝±6， ∴M (－9,6)或者M (－9，－6)．11．指出抛物线方程为x ＝ay 2(a ≠0)的顶点坐标、焦点坐标、准线方程． 解：∵原抛物线方程(fāngchéng)为y 2＝1a x ，∴2p ＝1|a |.当a ＞0时，p 2＝14a ，抛物线顶点坐标为(0,0)，开口向右，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ，0，准线方程为x ＝－14a；当a ＜0时，p 2＝－14a ，抛物线顶点坐标为(0,0)，开口向左，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ，0，准线方程为x ＝－14a.综上，当a ≠0时，抛物线x ＝ay 2的顶点坐标为(0,0)，焦点坐标为(14a ，0)，准线方程为x＝－14a.12．根据以下所给条件，写出抛物线的HY 方程及准线方程： (1)焦点是F (0，－2)； (2)焦点是F (3,0)； (3)准线方程为x ＝－14；(4)焦点到准线的间隔 是2.解：(1)∵焦点F (0，－2)在y 轴的负半轴上， ∴抛物线的HY 方程的形式为x 2＝－2py (p >0)． 由p2＝2，得p ＝4， ∴抛物线的HY 方程的形式为：x 2＝－8y ， 其准线方程为y ＝2.(2)∵焦点F (3,0)在x 轴的正半轴上， ∴抛物线的HY 方程的形式为y 2＝2px (p >0)． 由p2＝3，得p ＝6， ∴抛物线的HY 方程(fāngchéng)为：y 2＝12x ， 其准线方程为x ＝－3.(3)∵准线方程为x ＝－14，∴抛物线的HY 方程为：y 2＝2px (p >0)．由p 2＝14，得p ＝12， 所以抛物线的HY 方程为：y 2＝x . (4)由参数p 的几何意义，可知p ＝2.焦点在x 轴的正半轴上时，抛物线的HY 方程为：y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1；焦点在x 轴的负半轴上时，抛物线的HY 方程为：y 2＝－4x ，其准线方程为x ＝1；焦点在y 轴的正半轴上时，抛物线的HY 方程为：x 2＝4y ，其准线方程为y ＝－1；焦点在y 轴的负半轴上时，抛物线的HY 方程为：x 2＝－4y ，其准线方程为y ＝1.内容总结。
高中数学 第3章3.3.2知能优化训练 湘教版选修11
[学生用书 P 33]1．设x 0为可导函数f (x )的极值点，则下列说法正确的是( ) A ．必有f ′(x 0)＝0 B ．f ′(x 0)不存在C ．f ′(x 0)＝0或f ′(x 0)不存在D ．f ′(x 0)存在但可能不为0 答案：A2．下列函数存在极值的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝x －e xC ．y ＝x 3＋x 2＋2x －3D ．y ＝x 3解析：选B.A 中f ′(x )＝－1x2，令f ′(x )＝0无解，且f (x )为双曲线．∴A 中函数无极值．B中f ′(x )＝1－e x，令f ′(x )＝0可得x ＝0.当x <0时，f ′(x )>0，当x >0时， f ′(x )<0.∴y ＝f (x )在x ＝0处取极大值，f (0)＝－1.C 中f ′(x )＝3x 2＋2x ＋2，Δ＝4－24＝－20<0. ∴y ＝f (x )无极值．D 也无极值．故选B.3．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内的极小值点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解析：选A.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如题图所示，函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个．4．y ＝x 3－6x ＋a 的极大值为________．解析：y ′＝3x 2－6＝0，得x ＝± 2.当x <－2或x >2时，y ′>0；当－2<x <2时，y ′<0.∴函数在x ＝－2时，取得极大值a ＋4 2. 答案：a ＋4 2一、选择题1．“函数y ＝f (x )在一点的导数值为0”是“函数y ＝f (x )在这点取极值”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.对于f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2，f ′(0)＝0，不能推出f (x )在x ＝0处取极值，反之成立．故选B.2．函数f (x )＝x ＋1x在x ＞0时有( )A ．极小值B ．极大值C ．既有极大值又有极小值D ．极值不存在解析：选A.令f ′(x )＝1－1x2＝0，得x ＝±1，∵x ＞0，∴x ＝1.当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当x ＞1时，f ′(x )＞0.∴在x ＞0时，函数f (x )有极小值．3．下列四个函数：①y ＝x 3；②y ＝x 2＋1；③y ＝|x |；④y ＝2x.在x ＝0处取得极小值的函数是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①③解析：选B.作出函数的大致图象，由图象可分析出结论；也可以用排除法，因为①④是单调函数，无极值，即可排除A 、C 、D ，故应选B.4．函数f (x )的定义在区间[a ，b ]上，其导函数的图象如图所示，则在[a ，b ]上函数f (x )的极值点个数为( )A ．3B ．4C ．6D ．7解析：选C.图象与x 轴有6个交点，即使得导数值为0的点有6个，故函数有6个极值点．5．设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a ＜－1 B ．a ＞－1C ．a ＞－1eD ．a ＜－1e解析：选A .y ′＝e x ＋a ，令y ′＝0得e x＝－a ，即x ＝ln(－a )＞0，所以a ＜－1.6．函数f (x )的导函数为f ′(x )，若(x ＋1)·f ′(x )＞0，则下列结论中正确的为( ) A ．x ＝－1一定是函数f (x )的极大值点 B ．x ＝－1一定是函数f (x )的极小值点 C ．x ＝－1不是函数f (x )的极值点 D ．x ＝－1不一定是函数f (x )的极值点解析：选D.由题意，得x ＞－1，f ′(x )＞0或x ＜－1，f ′(x )＜0，但函数f (x )在x ＝－1处未必连续，即x ＝－1不一定是函数f (x )的极值点，故选D. 二、填空题7．函数y ＝x ·2x取极小值时x 等于________．解析：y ′＝2x ＋x ·2x ln2＝2x(1＋x ·ln2)＝0.∴x ＝－1ln2.当x ＞－1ln2时，f ′(x )＞0，函数递增；当x ＜－1ln2时，f ′(x )＜0，函数递减．∴函数在x ＝－1ln2时取得极小值．答案：－1ln28．已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________． 解析：x ＝2是f (x )的极大值点，∵f (x )＝x (x 2－2cx ＋c 2)∴f ′(x )＝x (2x －2c )＋x 2－2cx ＋c 2＝3x 2－4cx ＋c 2，∴f ′(2)＝c 2－8c ＋12＝0.∴c ＝2或c ＝6.当c ＝2时，f (x )在x ＝2处只能取极小值．不能取极大值，∴c ＝6. 答案：69．当a 为________时，函数f (x )＝e x (x 2＋ax ＋a ＋1)没有极值点．解析：由已知可得f ′(x )＝e x (x 2＋ax ＋a ＋1)＋e x (2x ＋a )＝e x [x 2＋(a ＋2)x ＋2a ＋1]，若函数不存在极值点，则在方程f ′(x )＝0即x 2＋(a ＋2)x ＋2a ＋1＝0中，有Δ＝(a ＋2)2－4(2a ＋1)＝a 2－4a ≤0，解之得0≤a ≤4. 答案：0≤a ≤4 三、解答题10．求下列函数的极值：(1)f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋5；(2)f (x )＝ln xx.解：(1)f ′(x )＝3x 2－6x －9.解方程3x 2－6x －9＝0，得x 1＝－1，x 2＝3.当x且极小值为f (3)＝－22.(2)函数f (x )＝ln x x 的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln xx2， 令f ′(x )＝0，得x ＝e.当x 变化时，f ′(x 单调递增 单调递减故当x ＝e 时函数取得极大值，且极大值为f (e)＝e.11．如果函数f (x )＝ax 5－bx 3＋c (a ≠0)在x ＝±1时有极值，极大值为4，极小值为0，试求a ，b ，c 的值．解：f ′(x )＝5ax 4－3bx 2.令f ′(x )＝0，即5ax 4－3bx 2＝0，x 2(5ax 2－3b )＝0.∵x ＝±1是极值点，∴5a (±1)2－3b ＝0.又x 2＝0，∴可疑点为x ＝0，x ＝±1.若a >0，f ′(x )＝5ax 2(x 2－1)．由上表可知，当x ＝－1时，f (x )有极大值； 当x ＝1时，f (x )有极小值． ∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＋c ＝4a －b ＋c ＝05a ＝3b⇒⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2b ＝a ＋2b ＝53a⇒⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2a ＝3，b ＝5若a <0时，同理可得a ＝－3，b ＝－5，c ＝2.12．已知f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数，且m >0)有极大值－52，求m 的值．解：∵f ′(x )＝3x 2＋mx －2m 2＝(x ＋m )(3x －2m )，令f ′(x )＝0，则x ＝－m 或x ＝23m .∴f (x )极大值＝f (－m )＝－m 3＋2m 3＋2m 3－4＝－2，∴m ＝1.。
高中数学 第3章2知能优化训练 选修11 试题
卜人入州八九几市潮王学校1．函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为()A．f′(x0)＝B．f′(x0)＝[f(x0＋Δx)－f(x0)]C．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)D．f′(x0)＝f′(x0)＝[f(x0＋Δx)－f(x0)]，右边的式子表示函数值的变化量的极限，趋近于0；C中f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，右边的式子表示函数值的变化量；D中f′(x0)＝，右边的式子表示函数的平均变化率．2．(2021年高考大纲全国卷Ⅱ)假设曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，那么()A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1解析：选A.∵＝＝Δx＋a，当Δx趋于0时，趋于a，∴a＝1.又点(0，b)在切线x－y＋1＝0上，∴0－b＋1＝0，即b＝1.3．(2021年模拟)假设＝k，那么等于()A．2k B．kC.k D．以上都不是＝·2＝2·＝2k.4．设函数y＝f(x)，f′(x0)>0，那么曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的倾斜角的范围是________．解析：根据导数的几何意义，曲线y＝f(x)在点x＝x0处的导数即为曲线在这一点的切线的斜率，由f′(x0)>0知斜率大于零，故倾斜角为锐角．答案：(0，)一、选择题1．函数y＝3x2在x＝1处的导数为()A．2 B．3C．6 D．12解析：选C.f′(1)＝＝＝6.2．设f(x)＝ax＋4，假设f′(1)＝2，那么a等于()A．2 B．－2C．3 D．－3解析：选A.∵＝＝a，且f′(1)＝＝2，∴f′(1)＝a＝2.3．函数y＝f(x)的图像如图，那么f′(x A)与f′(x B)的大小关系是()A．f′(x A)>f′(x B)B．f′(x A)<f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B)D．不能确定解析：选B.f′(x A)和f′(x B)分别表示函数图像在点A、B处的切线斜率，故f′(x A)<f′(x B)．4．设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，那么点P0的坐标为()A．(1,0) B．(2,8)C．(1,0)或者(－1，－4) D．(2,8)或者(－1，－4)f′(x)＝3x2＋1，由于曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f(x)在P0处的导数值等于4，设P0(x0，y0)，故f′(x0)＝3x＋1＝4，解得x0＝±1，这时P0点的坐标为(1,0)或者(－1，－4)．5．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为()A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2解析：选A.∵点(－1，－1)在曲线y＝上，∴先求y＝f(x)＝在x＝－1处的导数，由＝＝，当Δx趋近于零时，趋近于2可知y＝在x＝－1处的导数为f′(－1)＝2，∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.6．点P是曲线y＝－x2上任意一点，那么点P到直线y＝x＋2的最小间隔为()A．1 B.C. D.解析：选B.依题意知，当过P点的曲线y＝－x2的切线与直线y＝x＋2平行时，点P到直线y＝x＋2的间隔最小，设此时P点的坐标为(x0，－x)．令f(x)＝－x2，那么由导数的定义可以求得f′(x0)＝＝(－2x0－Δx)＝－2x0，由导数的几何意义可知过P点的切线的斜率为k＝－2x0，因为该切线与直线y＝x＋2平行，所以－2x0＝1，解得x0＝－.故P点的坐标为(－，－)，这时点P到直线y＝x＋2的间隔d＝＝.二、填空题7．如图，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程是y＝－2x＋9，P点的横坐标是4，那么f(4)＋f′(4)＝________.解析：由导数的几何意义知f′(4)＝－2，由点P在切线y＝－2x＋9上知y P＝－2×4＋9＝1.∴点P的坐标为(4,1)，∴f(4)＝1，∴f(4)＋f′(4)＝1＋(－2)＝－1.答案：－18．假设f′(x0)＝－3，那么等于________．解析：＝＝＋3＝f′(x0)＋3f′(x0)＝4f′(x0)＝－12.答案：－129．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，曲线C在点P处的切线的斜率为2，那么点P的坐标为________．解析：设P点的坐标为(x0，y0)．y′＝＝＝3x2－10，曲线C在点P处的切线的斜率k P x－10＝2，解得x0＝±2，∵点P在第二象限内，∴x0＝－2，又点P在曲线C上，那么y0＝(－2)3－10×(－2)＋3＝15，∴点P的坐标为(－2,15)．答案：(－2,15)三、解答题10．f(x)＝，求f′(2)．解：∵Δy＝－，∴＝＝＝.∴f′(x)＝＝＝.f′(2)＝＝.11．过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率，并求曲线在P点的切线斜率．解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1＝3Δx＋3Δx2＋Δx3，∴＝＝3＋3Δx＋Δx2.当Δx＝0.1时，割线PQ的斜率为tanβ＝＝3＋3×0.1＋(0.1)2＝1，曲线在点P的切线斜率为tanα＝＝(3＋3Δx＋Δx2)＝3.12．曲线y＝x2＋1，问是否存在实数a，使得经过点(1，a)可以作出该曲线的两条切线？假设存在，求出实数a的取值范围；假设不存在，请说明理由．解：因为y＝x2＋1，由导数的定义知y′＝＝＝2x.设切点为(t，t2＋1)，因为y′＝2x，所以切线方程的斜率为y′|x＝t＝2t，于是可得切线方程为y－(t2＋1)＝2t(x－t)，将(1，a)代入，得a－(t2＋1)＝2t(1－t)，即t2－2t＋(a－1)＝0.因为切线有两条，所以Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，解得a<2.故存在实数a，使得经过点(1，a)可以作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(－∞，a)．。
高中数学 第3章3.1.3知能优化训练 湘教版选修11
[学生用书 P 33]1．当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率B ．在x 0处的变化率C ．在x 1处的变化量D ．在区间[x 0，x 1]上的导数答案：A2．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，d ＝0.1时，f (x ＋d )－f (x )的值为( )A ．0.40B ．0.41C ．0.43D ．0.44解析：选B.f (x ＋d )－f (x )＝f (2.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41.3．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( ) A ．3 B ．－3C ．2D ．－2解析：选B.f 32＋d －f 32d＝－d －3， 当d 趋于0时，－d －3趋于－3，故选B.4．已知f ′(1)＝1，则当d →0时，f ＋d －f d →________.解析：当d →0时，f ＋d －f d →f ′(1)＝1.答案：1一、选择题1．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋d ，f (1＋d ))，则f ＋d －f d等于( ) A ．4B ．4xC ．4＋2dD ．4＋2d 2 解析：选C.f ＋d －f d ＝＋d 2－4＋2d ＝2d 2＋4d d＝2d ＋4. 2．正方体的棱长从1增加到2时，正方体的体积平均膨胀率为( )A ．8B ．7 C.72D ．1 解析：选B.V ＝V －V 2－1＝23－13＝7. 3．球的半径从a 增加到a ＋h 时，球表面积的平均变化率为( )A ．π(2a ＋h )B ．π(a ＋h )C ．4π(2a ＋h )D ．4π(a ＋h ) 解析：选C.S ＝S a ＋h －S a h ＝4πa ＋h 2－4πa 2h＝4π(2a ＋h )．4．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2(其中s 的单位是m ，t 的单位是s)，那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )A ．7 m/sB ．6 m/sC ．5 m/sD ．8 m/s解析：选C.s ＋d －s d＝1－＋d ＋＋d 2－－3＋32d ＝5＋d ，当d 趋于0时，5＋d 趋于5.5．球的半径r ＝a 时，球表面积相对于r 的瞬时变化率为( )A ．2a πB ．a πC ．8a πD ．4a π解析：选C.4πa ＋d 2－4πa 2d＝4π(2a ＋d )， 当半径的改变量d 趋于0时，4π(2a ＋d )趋于8a π.即球表面积相对于r 的瞬时变化率为8a π.6．若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋d ](d >0)上的平均变化率不大于－1，则d 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选A.f ＋d －f d＝－＋d 2＋＋d －－4＋d＝－3－d .∴由－3－d ≤－1得d ≥－2.又∵d >0，∴d 的取值范围是(0，＋∞)． 二、填空题7．函数y ＝x 2－2x ＋1在x ＝－2附近的平均变化率为______．解析：当自变量从－2变化到－2＋d 时，函数平均变化率－2＋d 2－－2＋d ＋1－＋4＋d＝d －6. 答案：d －68．质点的运动方程是s (t )＝1t 2，则质点在t ＝2时的速度为________． 解析：s ＋d －s d ＝1＋d 2－122d ＝－4－d＋d 2， 当d 趋于0时，－4－d ＋d 2趋于－14， 所以质点在t ＝2时的速度为－14. 答案：－149．函数f (x )＝23x 2－2，则f ′(－12)＝________. 解析：f －12＋d －f－12d＝23－12＋d 2－2－[23－122－2]d ＝－23＋23d ， 当d 趋于0时，－23＋23d 趋于－23， ∴f ′(－12)＝－23. 答案：－23三、解答题10．球半径r ＝a 时，计算球体积相对于r 的瞬时变化率．解：半径r 从a 增加到a ＋d 时，球体积的平均变化率为：43πa ＋d 3－43πa 3d＝43πa 2d ＋3ad2＋d 3d＝4πa 2＋4πad ＋43πd 2， 当d 趋于0时，4πa 2＋4πad ＋43πd 2趋于4πa 2. 即球半径r ＝a 时，球体积相对于r 的瞬时变化率为4πa 2. 11．求函数y ＝x 在x ＝1处的导数．解：令f (x )＝y ＝x ， ∵f (1＋d )－f (1)＝1＋d －1， ∴f ＋d －f d ＝1＋d －1d ＝11＋d ＋1， 当d 趋于0时，11＋d ＋1趋于12. 即函数y ＝x 在x ＝1处的导数为12. 12．甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，试比较两人的速度哪个快？ 解：在t 0处，s 1(t 0)＝s 2(t 0)，但s 1(t 0－d )>s 2(t 0－d )，故s 1t 0－s 1t 0－d d <s 2t 0－s 2t 0－d d， 所以在相同时间内乙的速度比甲的速度快，因此，在如图所示的整个运动过程中乙的速度比甲的速度快．。
【优化设计】高一下学期数学(人教版必修4)第三章3.1.3课时作业
[学业水平训练]1.⎝⎛⎭⎫cos π12－sin π12⎝⎛⎭⎫cos π12＋sin π12的值为( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32解析：选D.原式＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32. 2．已知sin α2＝35，cos α2＝－45，则角α终边所在的象限是( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D.由题意，得sin α＝2sin α2cos α2＝－2425<0，cos α＝2cos 2α2－1＝725>0，故α是第四象限角．3．下列函数f (x )与g (x )中，不能表示同一函数的是( )A ．f (x )＝sin 2x g (x )＝2sin x cos xB ．f (x )＝cos 2x g (x )＝cos 2x －sin 2xC ．f (x )＝2cos 2x －1 g (x )＝1－2sin 2xD ．f (x )＝tan 2x g (x )＝2tan x 1－tan 2x解析：选D.显然选项A 、B 、C 均正确，对于D ，函数f (x )与g (x )的定义域不同，所以二者表示的函数不同．4．已知cos 2x 2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝15，则sin 2x ＝( ) A ．－2425 B ．－45 C.2425 D.255解析：选A.∵cos 2x 2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝15， ∴cos 2x －sin 2x cos x －sin x ＝15， ∴cos x ＋sin x ＝15， ∴1＋sin 2x ＝125， ∴sin 2x ＝－2425.5．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且 sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22 B.33 C. 2D. 3解析：选D.∵sin 2α＋cos 2α＝14， ∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α＝14. ∴cos α＝±12. 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos α＝12，sin α＝32. ∴tan α＝ 3. 6．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，则tan 2α＝________． 解析：由已知可得cos α＝－255， ∴tan α＝－12， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43. 答案：－437．已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________． 解析：sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56. 答案：－568．已知等腰三角形底角的余弦值等于45，则这个三角形顶角的正弦值为________． 解析：设此三角形的底角为α，顶角为β， 则cos α＝45，sin α＝35， 所以sin β＝sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2×45×35＝2425. 答案：24259．已知sin α2－cos α2＝－15，π2<α<π，求sin α，tan 2α的值． 解：∵⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＝15，∴1－sin α＝15. ∴sin α＝45.又∵π2<α<π，∴cos α＝－35. ∴tan α＝－43，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247. 10．已知角α在第一象限且cos α＝35， 求1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2的值． 解：∵cos α＝35且α在第一象限， ∴sin α＝45. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725， sin 2α＝2sin αcos α＝2425， 原式＝1＋2⎝⎛⎭⎫cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145. [高考水平训练]1．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( ) A ．－34B.34 C ．－43 D.43 解析：选B.由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除以cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34. 2．计算cos 10°·cos 80°sin 20°＝________． 解析：原式＝sin 80°·cos 80°sin 20°＝2sin 80°·cos 80°2sin 20°＝sin 160°2sin 20°＝12. 答案：123．已知sin(π4＋x )sin(π4－x )＝16，x ∈(π2，π)，求sin 4x 的值． 解：∵sin(π4＋x )sin(π4－x )＝sin(π4＋x )sin[π2－(π4＋x )]＝sin(π4＋x )cos(π4＋x )＝12sin(π2＋2x ) ＝12cos 2x ＝16， ∴cos 2x ＝13. ∵x ∈(π2，π)，∴2x ∈(π，2π)，∴sin 2x ＝－223. ∴sin 4x ＝2sin 2x cos 2x ＝－429. 4．求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ. 证明：原式变形为1＋sin 4θ－cos 4θ＝tan2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)，①而①式右边＝tan 2θ(1＋cos 4θ＋sin 4θ)＝sin 2θcos 2θ(2cos 22θ＋2sin 2θcos 2θ) ＝2sin 2θcos 2θ＋2sin 22θ＝sin 4θ＋1－cos 4θ＝左边，∴①式成立，即原式得证．。
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1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( )
A ．不存在
B ．与x 轴平行或重合
C ．与x 轴垂直
D ．与x 轴相交但不垂直
解析：选B.函数在某点处的导数为零，说明相应曲线在该点处的切线的斜率为零．
2．曲线y ＝－1x 在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x
C ．y ＝x ＋2
D ．y ＝－x －2
解析：选A.f ′(1)＝lim Δx →0 －11＋Δx ＋11Δx
＝lim Δx →0 11＋Δx ＝1，则在(1，－1)处的切线方程为y ＋1＝x －1，即y ＝x －2.
3．函数y ＝x 2＋4x 在x ＝x 0处的切线斜率为2，则x 0＝________.
解析：2＝lim Δx →0 x 0＋Δx 2＋4x 0＋Δx －x 2
0－4x 0Δx
＝2x 0＋4，∴x 0＝－1.
答案：－1
4．求证：函数y ＝x ＋1x
图象上的各点处的切线斜率小于1. 证明：∵y ′＝lim Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx
＝lim Δx →0 x ＋Δx ＋1x ＋Δx －x ＋1
x Δx
＝x 2－1x 2＝1－1x 2<1， ∴y ＝x ＋1x
图象上的各点处的切线斜率小于1.
一、选择题
1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是( )
A ．在点x 0处的斜率
B ．在点(x 0，f (x 0))处的切线与x 轴所夹锐角的正切值
C ．曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率
D ．点(x 0，f (x 0))与点(0,0)连线的斜率
答案：C
2．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切线斜率为( )
A ．4
B ．16
C ．8
D ．2
解析：选C.曲线在点A 处的切线的斜率就是函数y ＝2x 2在x ＝2处的导数．
f ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 2x ＋Δx 2－2x 2Δx
＝lim Δx →0 4x ·Δx ＋2Δx 2Δx
＝4x .则f ′(2)＝8.
3．已知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，那么( )
A ．f ′(x 0)＝0
B ．f ′(x 0)＜0
C ．f ′(x 0)＞0
D ．f ′(x 0)不确定
解析：选B.曲线在某点处的切线的斜率为负，说明函数在该点处的导数也为负．
4．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，116) D ．(12，14
) 解析：选D.k ＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x 2
Δx
＝lim
Δx →0
(2x ＋Δx )＝2x . ∵倾斜角为π4
，∴斜率为1. ∴2x ＝1，得x ＝12
，故选D. 5．y ＝－1x ＋1在点⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，－2处的切线方程是( ) A ．y ＝4x B ．y ＝4x －4
C ．y ＝4x ＋4
D ．y ＝2x －4
解析：选B.先求y ＝－1x ＋1的导数：Δy ＝－1x ＋Δx ＋1x ＝Δx x x ＋Δx ，Δy Δx ＝1x x ＋Δx
，lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1x x ＋Δx ＝1x 2，即y ′＝1x 2.所以y ＝－1x ＋1在点⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，－2处的切线斜率k ＝y ′|x ＝12
＝4. 所以切线方程是y ＋2＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －12，即y ＝4x －4. 6．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0 f 1－f 1－x x
＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是( )
A ．2
B ．－1 C.12
D ．－2 解析：选B.∵lim x →0
f 1－f 1－x x
＝－1， ∴lim x →0 f 1－x －f 1－x
＝－1， ∴f ′(1)＝－1. 二、填空题
7．若曲线y ＝2x 2－4x ＋a 与直线y ＝1相切，则a ＝________.
解析：设切点坐标为(x 0,1)，则f ′(x 0)＝4x 0－4＝0，
∴x 0＝1.即切点坐标为(1,1)．
∴2－4＋a ＝1，即a ＝3.
答案：3
8．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则b
a
＝________. 解析： lim Δx →0 a 1＋Δx 2－a Δx ＝lim Δx →0
(a ·Δx ＋2a )＝2a ＝2，
∴a ＝1，又3＝a ×12＋b ，∴b ＝2，即b a ＝2. 答案：2 9．已知曲线y ＝3x 2，则在点A (1,3)处的曲线的切线方程为________．
解析：∵Δy Δx ＝31＋Δx 2－3×12Δx
＝6＋3Δx ， ∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0
(6＋3Δx )＝6. ∴曲线在点A (1,3)处的切线斜率为6.
∴所求的切线方程为y －3＝6(x －1)，即6x －y －3＝0.
答案：6x －y －3＝0
三、解答题
10．曲线y ＝－x 2＋4x 上有两点A (4,0)，B (2,4)．
求：(1)割线AB 的斜率k AB ；
(2)点A 处的切线的斜率；
(3)点A 处的切线方程．
解：(1)k AB ＝4－02－4
＝－2. (2)f ′(x )＝lim Δx →0 －x ＋Δx 2＋4x ＋Δx ＋x 2－4x Δx
＝lim Δx →0 －2x ·Δx －Δx 2＋4Δx Δx
＝lim
Δx →0
(－2x ＋4－Δx )＝－2x ＋4， ∴点A (4,0)处的切线的斜率
k ＝f ′(4)＝－2×4＋4＝－4.
(3)点A 处的切线方程为y ＝－4(x －4)，即4x ＋y －16＝0.
11．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线．
解：先求曲线y ＝3x 2－4x ＋2在M (1,1)处的切线的斜率，
k ＝y ′|x ＝1＝lim Δx →0 31＋Δx 2－41＋Δx ＋2－3＋4－2Δx
＝lim
Δx →0
(3Δx ＋2)＝2. 设过点P (－1,2)且斜率为2的直线为l ，则由点斜式y －2＝2(x ＋1)，化为一般式2x －y ＋4＝0.
所以所求直线方程为2x －y ＋4＝0.
12．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10，求：
(1)它们的交点；
(2)抛物线在交点处的切线方程．
解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10，
得x 2＋4＝10＋x ， 即x 2－x －6＝0，
∴x ＝－2或x ＝3.代入直线的方程得y ＝8或13.
∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．
(2)∵y ＝x 2＋4，
∴y ′＝lim Δx →0 x ＋Δx 2＋4－x 2＋4Δx
＝lim Δx →0 Δx 2＋2x ·Δx Δx
＝lim Δx →0 (Δx ＋2x )＝2x . ∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6，
即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(－2,8)处的切线方程为4x＋y＝0；
在点(3,13)处的切线方程为6x－y－5＝0.。