江苏省南通市(数学学科基地命题)2017年高考模拟试卷(10)
【江苏省南通市】2017年高考(数学学科基地命题)模拟数学试卷(九)-答案
由（1）知， ，故有 ，即 ，
而 ，所以对任意正整数n，有 ．
江苏省南通市2017年高考（数学学科基地命题）模拟数学试卷（九）
解析
一、填空题
1~6．略
7. 30.线性规划或待定系数法，设甲、乙混货物分别为x,y克，由题意 ,
设 ，解得， ，即可.
8. .9. .设CA=x,则PQ=2CPcos<CAP= ,
13． .（方法一）由题意，得
所以 是方程 的两根．
即方程 ，所以 ，所以 ．
（方法二）同上， 是方程 的两根．
设 ，则 ．
令 ，得 ，所以 ，所以 ．
（方法三）直线 交单位圆于 两点，
过 作 ，垂足为 ，易知 ．
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ．
14． .
当 时， ，得 ， ，
结合图形知，
①当 时， 成等差数列，则 ，代入 得， ；
即实数 的最大值为 ．
B．（1）设 ，则 ，
∴ ，
∴ ．
（2）∵ ，∴
即 代入 可得
，即 ，
故曲线 的方程为 ．
C．（1）曲线 ： ，极坐标方程为
曲线 的直角坐标方程为 ；
（2）曲线 与曲线 的公共点的坐标为 ，极坐标为 ．
D．因为 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ．
当且仅当 时，等号成立．
22．（1）从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，
江苏省南通市2017年高考（数学学科基地命题）模拟数学试卷（九）
答案
一、填空题
1．
2．
3．
4．0.5
5．
6．60
7．30
8．
9．
10．
11．9
12．
【江苏省南通市、扬州市、泰州市】2017年高考三模数学试卷-答案
江苏省南通市、扬州市、泰州市2017年高考三模数学试卷答 案1．12-2．2|}0{x x ＜＜3．564．3 5．75006．110789．10．111．812．[46]-,13．214．3(,2)2- 15．解：（1）由条件，周期2πT =，即2π2πω=，所以1ω=，即πsin 3f x A x =+()()．因为f x ()的图象经过点π()32，所以2πsin 32A =． ∴1A =， ∴πsin 3f x x =+()()．（2）由12f παα+=()(-)，得πππsin 1323αα++=()(-)，即ππsin 133αα++=()()，可得：ππ2sin 133[]α=(+)-，即1sin 2α=． 因为0πα∈(,)，解得：π6α=或5π6． 16．证明：（1）因为M 、N 分别为PD 、PC 的中点， 所以//MN DC ，又因为底面ABCD 是矩形，所以//AB DC ．所以//MN AB ，又AB ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以//MN 平面PAB ．（2）因为AP AD =，P 为PD 的中点，所以AM PD ⊥．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，又平面PAD 平面ABCD =AD ，CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD ，又AM ⊂平面PAD ，所以CD AM ⊥．因为CD 、PD ⊂平面PCD ，CDPD D =，∴AM ⊥平面PCD ．17．解：（1）由题意，10F (-,)，由焦点210F (,)，且经过31,2P ()， 由22PF PF a +=，即24a =，则2a =，2223b a c ==-， ∴椭圆的标准方程22143x y +=； （2）设直线AB 的方程为1y k x =+()．①若0k =时，24AB a ==，1FD FO +=， ∴4ABDF =．②若0k ≠时，11Ax y (,)，22B x y (,)，AB 的中点为00M x y (,)， 22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：22224384120k x k x k +++=()-， ∴2122834k x x k +=-+，则202434k x k =-+，则0023134k y k x k =+=+()． 则AB 的垂直平分线方程为2223143434k k y x k k k =+++--()， 由DA DB =，则点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点， ∴22034k D k +(-,)，∴22223313434k k DF k k +=-+=++， 由椭圆的左准线的方程为4x =-，离心率为12，由1142AF x =+，得11(4)2AF x =+， 同理21(4)2BF x =+， ∴212211212()4234k AB AF BF x x k +=+=++=+， ∴4ABDF = 则综上，得ABDF 的值为4．18．解：（1）设DQ 与半圆相切于点Q ，则由四边形CDEF 是等腰梯形知，OQ DE ⊥，以CF 所在直线为x 轴，OQ 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ．设EF 与圆切于G 点，连接OG ，过点E 作EH OF ⊥，垂足为H ．∵EH OG =，OFG EFH ∠=∠，GOF HEF ∠=∠，∴Rt EHF Rt OGF △≌△，∴12HF FG EF t ==-． ∴222111()2EF HF EF t =+=+-， 解得1024t EF t t=+(＜＜)． （2）设修建该参观线路的费用为y 万元． ①当103t <≤，由1325[2()]5()42t y t t t t =++=+．2325(02)y t '=-＜，可得y 在1(0,]3上单调递减， ∴13t =时，y 取得最小值为32.5． ②当123t <<时，2111632(8)[2()]1242t y t t t t t t=-++=+--． 22331624(1)(331)'12t t t y t t t -+-=-+=． ∵123t <<，∴23310t t +-＞． ∴1(,1)3t ∈时，0y '＜，函数y 此时单调递减；12t ∈(,)时，0y '＞，函数y 此时单调递增． ∴1t =时，函数y 取得最小值24.5．由 ①②知，1t =时，函数y 取得最小值为24.5．答：（1）1024t EF t t =+(＜＜)（百米）．（2）修建该参观线路的最低费用为24.5万元．19．解：（1）∵122331a b a b a b +=+=+，∴21111112a b q a d b q a d b +=++=++，化为：2210q q =--，1q ≠±． 解得12q =-． （2）m p p r r m a b a b a b +=+=+，即p m p r a a b b =--，∴p m r m m p m d b q q =--(-)(-)，同理可得：1r m m r p d b q =-(-)(-)．∵m ，p ，r 成等差数列，∴12p m r p r m ==--(-)，记p m q t =-，则2210t t =--， ∵1q ≠±，1t ≠±，解得12t =．即12p m q =-，∴10q -＜＜， 记p m α=-，α为奇函数，由公差大于1，∴3α≥． ∴11311()()22a q =≥，即131()2q ≤-， 当3α=时，q 取得最大值为131()2-． （3）满足题意的数组为23E m m m =++(,,)，此时通项公式为：1133()(1)288m n n a m -=---，*m N ∈． 例如134E =(,,)，31188n a n =-． 20．（1）证明：12a =时，21cos 2f x x x =+()， 故sin f x x x '=（）-，即sin g x x x =()-，1cos 0g x x '=≥()-， 故g x ()在R 递增；（2）解：∵2sin g x f x ax x ='=()()-，∴2cos g x a x '=()-， ①12a ≥时，1cos 0g x x '≥≥()-，函数f x '()在R 递增， 若0x ＞，则00f x f '=()＞()， 若0x ＜，则00f x f ''=()＜()，故函数f x ()在0+∞(,)递增，在0∞(-,)递减， 故f x ()在0x =处取极小值，符合题意； ②12a ≤-时，1cos 0g x x '≤≤()--，f x '()在R 递减， 若0x ＞，则00f x f ''=()＜()， 若0x ＜，则00f x f '=()＞()， 故f x ()在0+∞(,)递减，在0∞(-,)递增， 故f x ()在0x =处取极大值，不合题意； ③1122a -＜＜时，存在00x π∈(,)，使得0cos 2x a =，即00g x '=()， 但当00x x ∈(,)时，cos 2x a ＞，即0g x '()＜，f x '()在00x (,)递减， 故00f x f ''=()＜()，即f x ()在00x (,)递减，不合题意， 综上，a 的范围是1[2+∞,)； （3）解：记2cos ln 0h x ax x x x x =+-()(＞)，①0a ＞时，ln x x ＜，则1122ln x x <，即ln x <，当2x >时，112sin 1ln 2222022h x ax x x ax a a+'==()---＞--﹣﹣)＞，故存在21(2m a+=，函数h x ()在m +∞(,)递增； ②0a ≤时，1x ＞时，2sin 1ln sin 1ln 0h x ax x x x x '=()---＜---＜， 故存在1m =，函数h x ()在m +∞(,)递减；综上，函数ln y f x x x =()-在0+∞(,)上广义单调．21．解：连结PA 、PB 、CD 、BC ，因为PAB PCB ∠=∠，又点P 为弧AB 的中点，所以PAB PBA ∠=∠，所以PCB PBA ∠=∠，又DCB DPB ∠=∠，所以PFE PBA DPB PCB DCB PCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠，所E 、F 、D 、C 四点共圆．所以PE PC PF PD =．22．解：由题意，111115a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1115a b -=-⎧⎨--=-⎩，解得2a =，4b =，所以矩阵1214M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． 所以矩阵M 的特征多项式为2125614f λλλλλ--==+-()-，令0f λ=()，得矩阵M 的特征值为2和3． 23．解：因为圆心C 在极轴上且过极点，所以设圆C 的极坐标方程为：cos a ρθ=，又因为点)4π在圆C 上，所以cos 4a π=，解得6a =， 所以圆C 的极坐标方程为：6cos ρθ=．24．证明：∵a ，b ，c ，d 是正实数，且1abcd =，∴54a b c d a +++≥=，同理可得：54a b c d b +++≥=，54a b c d c +++≥=，54a b c d d +++≥=，将上面四式相加得：555533334444a b c d a b c d a b c d +++++++≥+++，∴5555a b c d a b c d +++≥+++．25．解：（1）以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则000D (,,)，220B (,,)，010C (,,)，002S (,,) ∴(2,2,2)SB =-，(0,1,2)SC =-，(0,0,2)DS =设面SBC 的法向量为(,,)m x y z =由222020m SB x y z m SC y z ⎧=+-=⎪⎨=-=⎪⎩可取(1,2,1)m =-∵SD ⊥面ABC ，∴取面ABC 的法向量为(0,0,1)n = 6cos ,m n =∵二面角S BC A --为锐角．二面角S BC A --（2）由（1）知101E (,,)，则(2,1,0)CB =，(1,1,1)CE =-， 设CP CB λ=，01λ≤≤()．则(2,,0)CP λλ=，(12,1,1)PE CE CP λλ=-=---易知CD ⊥面SAD ，∴面SAD 的法向量可取(0,1,0)CD =cos ,13PE CD ==， 解得13λ=或119λ=（舍去）． 此时21(,,0)33CP =，∴5CP =∴线段CP26．解：（1）102()bc ad f x f x ax b -='=+()()， 2132[]2()()()bc ad ax b a bc ad f x f x ax b -+--='='=+()()； （2）猜想111(1)()!()n n n n a bc ad n f x ax b --+-++-++()=，*n N ∈， 证明：①当1n =时，由（1）知结论正确；②假设当n k =，*k N ∈时，结论正确， 即有111(1)()!()k k k k a bc ad k f x ax b --+-+-+=+() 11112(1)()1?1])[(k k k k k k a bc ad k a bc ad k ax b ax b -++-++-+=+++'=+---()(-)(-)()() 所以当10n k =+时结论成立，由①②得，对一切*n ∈N 结论正确．江苏省南通市、扬州市、泰州市2017年高考三模数学试卷解析1．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：∵a+bi=（4+3i）i=﹣3+4i．∴a=﹣3，b=4．∴ab=﹣12．故答案为：﹣12．2．【考点】1F：补集及其运算．【分析】根据补集的定义写出运算结果即可．【解答】解：集合U={x|x＞0}，A={x|x≥2}，则∁U A={x|0＜x＜2}．故答案为：{x|0＜x＜2}．3．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n==6，甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的对立事件是甲、乙2首歌曲都没有被播放，由此能求出甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率．【解答】解：∵随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，∴基本事件总数n==6，甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的对立事件是甲、乙2首歌曲都没有被播放，∴甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率：p=1﹣=．故答案为：．4．【考点】EF：程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，循环可得结论．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=1，k=1S=2，不满足条件S＞10，k=2，S=6不满足条件S＞10，k=3，S=15满足条件S＞10，退出循环，输出k的值为3．故答案为：3．5．【考点】B3：分层抽样方法．【分析】由题意，其他年级抽取200人，其他年级共有学生3000人，即可求出该校学生总人数．【解答】解：由题意，其他年级抽取200人，其他年级共有学生3000人，则该校学生总人数是=7500．故答案为：7500．6．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列通项公式求出首项a1=2，由此利用等差数列前n项和公式能求出S10．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，若公差d=2，a5=10，∴a5=a1+4×2=10，解得a1=2，∴S10=10×2+=110．故答案为：110．7．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】利用三角形的面积公式求出A，再利用余弦定理求出BC．【解答】解：因为锐角△ABC的面积为3，且AB=3，AC=4，所以×3×4×sinA=3，所以sinA=，所以A=60°，所以cosA=，所以BC===．故答案为：．8．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由抛物线的方程可得其焦点坐标，将其代入双曲线的方程可得a2的值，即可得双曲线的方程，计算可得c的值，由双曲线离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线的方程为y2=8x，其焦点为（2，0），若双曲线﹣y2=1（a＞0）经过点（2，0），则有﹣0=1，解可得a2=4，即双曲线的方程为：﹣y2=1，则a=2，c==，则双曲线的离心率e==；故答案为：．9．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解得到圆锥的底面半径，然后利用勾股定理确定圆锥的高即可．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr=，r=1；圆锥的高为： =2．故答案为：2．10．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先设出切点坐标P（x0，e x0+x0），再利用导数的几何意义写出过P的切线方程，最后由直线是y=2x+b 是曲线y=e x+x的一条切线，求出实数b的值．【解答】解：∵y=e x+x，∴y′=e x+1，设切点为P（x0，e x0+x0），则过P的切线方程为y﹣e x0﹣x0=（e x0+1）（x﹣x0），整理，得y=（e x0+1）x﹣e x0•x0+e x0，∵直线是y=2x+b是曲线y=e x+x的一条切线，∴e x0+1=2，e x0=1，x0=0，∴b=1．故答案为1．11．【考点】7F：基本不等式．【分析】根据题意，将变形可得则=+=+﹣1=（x+y）（+）﹣1=（1+4++）﹣1=（+）+4，由基本不等式分析可得答案．【解答】解：根据题意，x，y满足x+y=1，则=+=+﹣1=（x+y）（+）﹣1=（1+4++）﹣1=（+）+4≥2+4=8，即的最小值是8；故答案为：8．12．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】依题意，设=λ（0≤λ≤），=μ（﹣1≤μ≤0），由=+， =+，可求得=（+）•（+）=λ+μ=9λ+4μ；再由0≤λ≤，﹣1≤μ≤0，即可求得﹣4≤9λ+4μ≤6，从而可得答案．【解答】解：∵AB∥DC，∠ABC=90°，AB=3，BC=DC=2，且E，F分别是线段DC和BC上的动点，∴=λ（0≤λ≤），=μ（﹣1≤μ≤0），又=+， =+，∴=（+）•（+）=（+）•（λ+μ）=λ+μ=9λ+4μ．∵0≤λ≤，∴0≤9λ≤6①，又﹣1≤μ≤0，∴﹣4≤4μ≤0②，①+②得：﹣4≤9λ+4μ≤6．即的取值范围是[﹣4，6]，故答案为：[﹣4，6]．13．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】设出=t，化简可得圆的方程，运用两圆相减得交线，考虑圆心到直线的距离不大于半径，即可得出结论．【解答】解：设P（x，y），=t，则（1﹣t2）x2+（1﹣t2）y2﹣2x+（2﹣4t2）y+2﹣4t2=0，圆x2+y2=2两边乘以（1﹣t2），两圆方程相减可得x﹣（1﹣2t2）y+2﹣3t2=0，（0，0）到直线的距离d=，∵t＞0，∴0＜t≤2，∴的最大值是2，故答案为2．14．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】求出g（x）的解析式，计算g（x）的零点，讨论g（x）在区间[a，+∞）上的零点个数，得出g（x）在（﹣∞，a）上的零点个数，列出不等式解出a的范围．【解答】解：g（x）=，显然，当a=2时，g（x）有无穷多个零点，不符合题意；当x≥a时，令g（x）x=0得x=0，当x＜a时，令g（x）=0得x=0或x2=，（1）若a＞0且a≠2，则g（x）在[a，+∞）上无零点，在（﹣∞，a）上存在零点x=0和x=﹣，∴≥a，解得0＜a＜2，（2）若a=0，则g（x）在[0，+∞）上存在零点x=0，在（﹣∞，0）上存在零点x=﹣，符合题意；（3）若a＜0，则g（x）在[a，+∞）上存在零点x=0，∴g（x）在（﹣∞，a）上只有1个零点，∵0∉（﹣∞，a），∴g（x）在（﹣∞，a）上的零点为x=﹣，∴﹣＜a，解得﹣＜a＜0．综上，a的取值范围是（﹣，2）．故答案为（﹣，2）．15．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；H2：正弦函数的图象．【分析】（1）由条件可求周期，利用周期公式可求ω=1，由f（x）的图象经过点（，），可求Asin =．解得A=1，即可得解函数解析式．（2）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得sin．结合范围α∈（0，π），即可得解α的值．16．【考点】LW：直线与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出MN∥DC，AB∥DC．从而MN∥AB，由此能证明MN∥平面PAB．（2）推导出AM⊥PD，CD⊥AD，从而CD⊥平面PAD，进而CD⊥AM，由此能证明AM⊥平面PCD．17．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）根据椭圆的定义，即可求得2a=4，由c=1，b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆的标准方程；（2）分类讨论，当直线的斜率存在时，代入椭圆方程，由韦达定理及中点坐标公式求得M点坐标，求得直线AB垂直平分线方程，即可求得D点坐标，由椭圆的第二定义，求得丨AF丨=（x1+4），即丨BF丨=（x2+4），利用韦达定理即可求得丨AB丨，即可求得的值．18．【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）设DQ与半圆相切于点Q，则由四边形CDEF是等腰梯形知，OQ⊥DE，以CF所在直线为x 轴，OQ所在直线为y轴，建立平面直角坐标系xoy．设EF与圆切于G点，连接OG，过点E作EH⊥OF，垂足为H．可得Rt△EHF≌Rt△OGF，HF=FG=EF﹣t．利用EF2=1+HF2=1+，解得EF．（2）设修建该参观线路的费用为y万元．①当，由y=5=5．利用y′，可得y在上单调递减，即可得出y的最小值．②当时，y==12t+﹣﹣．利用导数研究函数的单调性极值最值即可得出．19．【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】（1）由a1+b2=a2+b3=a3+b1，利用等差数列与等比数列的通项公式可得：a1+b1q==a1+2d+b1，化简解出即可得出．（2）a m+b p=a p+b r=a r+b m，即a p﹣a m=b p﹣b r，可得（p﹣m）d=b m（q p﹣m﹣q r﹣m），同理可得：（r﹣p）d=b m（q r ﹣m﹣1）．由m，p，r成等差数列，可得p﹣m=r﹣p=（r﹣m），记q p﹣m=t，解得t=．即q p﹣m=，由﹣1＜q＜0，记p﹣m=α，α为奇函数，由公差大于1，α≥3．可得|q|=≥，即q，即可得出．（3）满足题意的数组为E=（m，m+2，m+3），此时通项公式为：a n=，m∈N*．20．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，根据导函数的符号，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，单调函数的极小值，从而确定a的具体范围即可；（3）记h（x）=ax2+cosx﹣xlnx（x＞0），求出函数的导数，通过讨论a的范围结合函数的单调性证明即可．21．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【分析】连结PA、PB、CD、BC，推导出∠PFE=∠PBA+∠DPB=∠PCB+∠DCB=∠PCD，从而E、F、D、C四点共圆．由此能证明PE•PC=PF•PD．22．【考点】OV：特征值与特征向量的计算．【分析】设出矩阵，利用特征向量的定义，即二阶变换矩阵的概念，建立方程组，即可得到结论．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】因为圆心C在极轴上且过极点，所以设圆C的极坐标方程为：ρ=acosθ，又因为点（3，）在圆C上，代入解得ρ即可得出圆C的极坐标方程．[选修4-5：选修4-5：不等式选讲]24．【考点】R6：不等式的证明．【分析】由不等式的性质可得：a5+b+c+d≥4=4a，同理可得其他三个式子，将各式相加即可得出结论．解答题25．【考点】MI：直线与平面所成的角；MT：二面角的平面角及求法．【分析】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，1，0），S（0，0，2），利用空间向量求解．26．【考点】RG：数学归纳法；63：导数的运算．【分析】（1）利用条件，分别代入直接求解；（2）先说明当n=1时成立，再假设n=K（K∈N*）时，猜想成立，证明n=K+1时，猜想也成立．从而得证．。
【江苏省南通市】2017年高考(数学学科基地命题)模拟数学试卷(三)-答案
为直角，有0=OB AB ，即有()0-=OB OB OA ，∴2=OA OB OB ； ， 5． ．[1,)-+∞． 13a b， b时，即，则(=-AP x ，(=-BP x ，根据2+=AP BP λ 2234403|334-+=<+)(7,)+∞1，函数f ， )(7,)+∞15．解：(1)∵在△ABC 中，3=B ，2=AC 2=BC ， 由余弦定理得2222cos =+-AC AB BC AB BC B ， 得21242=+-AB AB ，即2280--=AB AB 解之得4=AB ，2=-AB （舍去）．(2)cos 0=>A ，得π02<<A ，sin ==A sintan cos ==AA A ，又∵π3=B ，∴tan tan 333tan tan()1tan tan 33++=-+=-==-A B C A B A B ． 16．解：(1)在△AOB 与△COD 中， ∵∥DC AB ，2=DC AB ， ∴12==AO AB CO CD ， 又∵2=PE AE ， ∴在△APC 中，有12==AO AE CO PE ，则∥OE PC ． 又∵⊄OE 平面PBC ，⊂PC 平面PBC ， ∴∥OE 平面PBC ．(2)∵⊥AB 平面PAD ，⊂DE 平面PAD ， ∴⊥AB DE ．又∵⊥AP DE ，⊂AB 平面PAB ，⊂AP 平面PAB ，⋂=AP AB A ， ∴⊥DE 平面PAB ，⊂PB 平面PAD ， ∴⊥DE PB ．17．解：(1)当010<≤t 时，32()1124100100=+-+<V t t t t ， 化简得211240-+<t t ， 解得3<t 或8>t ，又∵010<≤t ，故04<<t 或810<≤t ，当1012<≤t 时，()4(10)(341)100100=--+<V t t t ，得41103<<t ， 又∵1012<≤t ，故1012<≤t ． 综上得04<<t ，或812<≤t ．∴衰退期为1月，2月，3月，4月，…9月，10月，11，12月共8个月． (2)由(1)知：()V t 的最大值只能在(4,9)内取到． 由322()(1124100)32224''=-+-+=+-V t t t t t t 令()0'=V t ， 得6=t 或43=t （舍去）． 当t 变化时，()'V t 与()V t 的变化情况如下表：由上表，()V t 在6=t 时取最大值(6)136()=亿立方米V ． 故该冰川的最大体积为136亿立方米．18．解：(1)∵圆222:+=x y r O与椭圆22221(0):+=>>x y ab a C b相交于点(0,1)M∴1==b r ．又∵离心率为e 2==c a ， ∴=a∴椭圆22:12+=y C x ．(2)∵过点M 的直线l 另交圆O 和椭圆C 分别于A ，B 两点，∴直线l 的方程为1(0)=+≠y kx k ，由22112=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y kx x y 得22(21)40++=k x kx ， ∴222421(,)2121--+++k k B k k ， 同理2211=+⎧⎨+=⎩y kx x y 得到22(1)20++=k x kx ， ∴22221(,)11--+++k k A k k ，∵23=MB MA ，则224223211--=++k kk k ∵0≠k ，∴=k ，即直线l 的方程为1=+y ．②根据①222421(,)2121--+++k k B k k ，22221(,)11--+++k k A k k ，222111121-++-+====---+A N NAA N k y y k k k k x x k k ，22222111214221-++-+====---+B N NB B N k y y k k k k x x k k ， ∴2112=k k 为定值．19．解：(1)∵e ,()e |e ,⎧-+≥⎪=--=⎨+-<⎪⎩x xx x a x af x x a x a x a ，则e 1,()e 1,⎧-≥⎪'=⎨+<⎪⎩x x x a f x x a ，∵()f x 在R 上单调递增， ∴()0'≥f x 恒成立，当<x a 时，()e 110'=+≥>x f x 恒成立， 当≥x a 时，()e 10'=-≥x f x 恒成立， 故()0'≥f a ，即0≥a ．(2)由(1)知当0≥a 时，()f x 在R 上单调递增，不符题意， ∴有0<a ．此时，当<x a 时，()e 110'=+≥>x f x ，()f x 单调递增， 当≥x a 时，()e 1'=-x f x ，令()0'=f x ，得0=x ， ∴()0'<f x 在(,0)a 上恒成立，()f x 在(,0)a 上单调递减，()0'>f x 在(0,)+∞恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递增，∴()()e ==极大af x f a ，()(0)1==+极小f x f a ，即0<a 符合题意．由2121()()()-≥-f x f x k x x 恒成立，可得e 1--≥a a ka 对任意0<a 恒成立， 设()e (1)1=-+-a g a k a ，求导，得()e (1)'=-+a g a k ， ①当1≥-k 时，()0'≥g a 恒成立，()g a 在(,0)-∞单调递增， 又∵1(1)0e-=+<g k ，与()0>g a 矛盾； ②当0≥k 时，()0'≤g a 在(,0)-∞上恒成立，()g a 在(,0)-∞单调递减， 又∵(0)0=g ，∴此时()0≥g a 恒成立，符合题意；③当10-<<k 时，令()0'>g a 在(,0)-∞上解集为(ln(1),0)+k ， 即()g a 在(ln(1),0)+k 上单调递增， 又∵(0)0=g ，∴(ln(1))0+<g k 不符题意； 综上，实数k 的取值范围为[0,)+∞． 20．证明：(1)由312+++=n n n n a a a a ，可知323311...+++====n n n n a a aa a a a ，∴212232123212212()++---++==++n n n n n n n na a a a a a a a a a ， 当1=n 时，123+=a a ，即数列212{}-+n n a a 是以3为首项，3a 为公比的等比数列．(2)法一：由(1)，同理可知，数列221{}++n n a a 是以32+a 为首项，3a 为公比的等比数列．故当2=n k 时，32123421233(1)()()...()1--=++++++=-k k k k a S a a a a a a a 故当21=+n k 时，33211234513(2)(1)()()...()11+-+-=+++++++=+-k k n n a a S a a a a a a a a ． 又∵{}+n S t 为等比数列，故有221()()()++++=+n n n S t S t S t ，对+∀∈N n 恒成立， ∴222221()()()++++=+k k k S t S t S t 和222322()()()++++=+k k k S t S t S t 对+∀∈N k 恒成立，即123333333112333333333(1)3(1)(2)(1)()()(1)111(2)(1)(2)(1)3(1)(1)(1)()111+++⎧--+-++=++⎨---⎩+-+--++++=+---k k k k k k a a a a t t t a a a a a a a a t t t a a a 对+∀∈N k 恒成立， 解得34=a ，1=t ，此时2132(1)(1)(1)++=+S S S 也成立．∴34=a ，1=t ，即21=-nn S 得到12-=n n a ．法二：由(1)，同理可知，数列221{}++n n a a 是以32+a 为首项，3a 为公比的等比数列．故当2=n k 时，3212342123333(1)33()()...()111--=++++++==----k kk k ka S a a a a a a a a a a 要使得{}+n S t 为等比数列必有2{}+k S t 为等比数列，即有331=-t a 成立① 故当21=+n k 时，333321123451333(2)(1)22()()...()11111+-+-++=+++++++=+=-+---k k k n n a a a a S a a a a a a a a a a a ．要使得{}+n S t 为等比数列必有2{}+k S t 为等比数列，即有33211+=--a t a 成立② 联立①②得1=t ，34=a 以下同解法一法三：由(1)，同理可知，数列221{}++n n a a 是以32+a 为首项，3a 为公比的等比数列．故当2=n k 时，32123421233(1)()()...()1--=++++++=-k k k k a S a a a a a a a 故当21=+n k 时，33211234513(2)(1)()()...()11+-+-=+++++++=+-k k n n a a S a a a a a a a a ． 要使得{}+n S t 为等比数列必有2243()()()++=+S t S t S t 和2132()()()++=+S t S t S t 解得1=t ，34=a ，通过验证1=t ，31=a 时，{}+n S t 为等比数列．以下同解法一第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．解：A ．连接AD ， ∵AB 为圆O 的直径， ∴90∠=︒ADB ，又∵⊥EF AB ，90∠=︒AFE ，则A ，D ，E ，F 四点共圆， ∴=BD BE BA BF ，又~△△ABC AEF ，即=AB AF AE AC ．∴2()-=-=-=BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ．B ．∵212()5614--⎡⎤==-+⎢⎥-⎣⎦f λλλλλ，由()0=f λ，得2=λ或3=λ． 当2=λ时，对应的一个特征向量为121⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α；当3=λ时，对应的一个特征向量为211⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α；设321211⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦m n ，解得11=⎧⎨=⎩m n ，∴33333312122143()12131135⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=⨯+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A A A A αααααC ．∵直线l 的极坐标方程为π()3=∈θρR ，∴直线l的直角坐标方程为y ，又∵曲线C 的参数方程为2cos 1cos2=⎧⎨=-⎩x y αα，∴曲线C 的普通方程为212,[2,2]2=-+∈-y x x ，联立解方程组2122⎧=⎪⎨=-+⎪⎩y y x ．解得3⎧=⎪⎨=-+⎪⎩x y3⎧=⎪⎨=-⎪⎩x y∴点P的直角坐标方程为(3-+． D ．∵0>a b ，0>b a ， ∴要证>a b b a ， 只要证ln ln >a b b a只要证ln ln >b ab a，构造函数ln (),(e,)=∈+∞x f x x x ． 21ln (),(e,)-'=∈+∞x f x x x，()0'<f x 在区间(e,)+∞恒成立， ∴函数()f x 在(e,)∈+∞x 上是单调递减，∴当e >>a b 时，有()()>f b f a 即ln ln >b ab a，得证． 22．解：(1)记“第三局结束后小明获胜”为事件A ，则3327()()464==P A ．(2)由题意可知X 的所有可能取值为3，4，5．33317(3)()()4416==+=P X131333311345(4)()()()()4444128==+=P X C C ，27(5)(3)(4)128===-==P X P X P X ．∴比赛局数X 的分布列为∴比赛局数X 的数学期望是74527483()34516128128128=⨯+⨯+⨯=E X ．23．解：(1)当1=m 时，1100111(,1)(1)(1)111++--=∑-=∑-=+++nn kkk k nn k k P n C C k n n ， 又∵11(,1)1+==+n Q n C n ，显然(,1)(,1)1=P n Q n ． (2)0(,)(1)-=∑-+nk knk mP n m C m k111111(1)()(1)-----=+∑-++-++n k k k nn n k m mC C m k m k111(1,)(1)---=-+∑-+n k k n k m P n m C m k 0(1,)(1)-=-+∑-+n k knk m m P n m C n m k (1,)(,)=-+mP n m P n m n即(,)(1,)=-+nP n m P n m m n， 由累乘，易求得!!1(,)(0,)()!+==+n n mn m P n m P m n m C ，又∵1(,)+=nn Q n m C ，∴(,)(,)1=P n m Q n m ．。
【江苏省南通市】2017年高考(数学学科基地命题)模拟数学试卷(七)-答案
15．解：（1）由正弦定理得sin sin 2sin cos A C A B +=，则2sin cos sin sin()sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++， 所以sin sin cos cos sin sin()B A B A B A B =-=-． 因为0A <，πB <所以ππA B -<-<，所以B A B =-或π()B A B =--，即2A B =或πA =（舍）， 所以2A B =．（2）由214S a =，得211sin 24ab C a =，所以1sin sin sin 2B C A =，由（1）知，1sin sin sin2sin cos 2B C B B B ==，因为sin 0B ≠，所以sin cos C B =．因为sin 0C >，所以cos 0B >，即B 为锐角，若C 为锐角，则πsin sin()2C B =-，即π2C B =-，可知π2A =； 若C 为钝角，则πsin sin()2C B =+，即π2C B =+，可知π4A =．16．解：（1）连接OE ，由四边形ABCD 是正方形知，O 为BD 中点， 因为PD ACE ∥平面，PD PBD ⊂面，PBD ACE OE =面面，所以PD OE ∥．因为O 为BD 中点，所以E 为PB 的中点．（2）在四棱锥P －ABCD 中，AB =，因为四边形ABCD 是正方形，所以2OC AB =， 所以PC OC =．因为G 为PO 中点，所以CG PO ⊥． 又因为PC ABCD ⊥底面，BC ABCD ⊂底面， 所以PC BD ⊥．而四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥， 因为,AC CG PAC ⊂平面，AC CG C =，所以BD PAC ⊥平面，因为CG PAC ⊂平面，所以BD CG ⊥． 因为,PO BD PBD ⊂平面，PO BD O =，所以l PA QA =+，即4π(0)sin cos 2l θθθ=+<<．（2）设4()cos f θθ，π(0,)2θ∈．由24sin ()cos f θθθ'==，令()f θ'，得0tan θ且当0(0,)θθ，()0f θ<；当0π(,)2θθ∈，()0f θ'>，所以，()f θ在0(0,)θ上单调递减；在0π(,)2θ上单调递增，所以，当0θθ=时，()f θ取得极小值，即为最小值．当0tan 2θ=0sin θ=，0cos θ=，所以()f θ的最小值为即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为m ．18．解：（1）由题意，12c a =且6a a c+=，解得2a =，1c =．∴b ==∴椭圆的标准方程为22143x y +=．（2）证明：设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，又(2,0)A -， ∴直线AP 的方程为00(2)2y y x x =++，得002(0,)2y M x +， ∴00(22,)2y x AM +=． 同理可得002(0,)2y N x --+，0022)2(,y AN x -=-+，∴220444y AM AN x =+-．又点P 在椭圆C 上，故2200143x y +=，即2200443x y -=-， ∴2204414y AM AN x =+=-（定值）； （3）证明：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，将直线AP 的方程1(2)y k x =+与椭圆方程联立得：21214(32)y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，即2222111(34)1616120k x k x k +++=-．∴2112116234k x k -+=+-，211216834k x k =-+，11212112234k k y x +=+=-，∴221122116812(,)3434k k P k k -++． ∵121k k =-，∴221122116812(,)3434k k Q k k --++．当211k =时，2121682347k k -=-+点P 和点Q 的横坐标相同，直线PQ 的方程为27x =-， 由此可见，如果直线PQ 经过定点R ，则点R 的横坐标一定为27-．当211k ≠时，11222111222111221112123434768684(1)3434OQ k k k k k k k k k k k --++==----++， 直线PQ 的方程为211122211112768()344(1)34k k k y x k k k --=-+-+， 令27x =-得：2111222111768122()04(1)73434k k k y k k k -=--+=-++．19．解：（1）21()32f x ax x'=--， 由题意，(1)0f '=，(1)f b =，解得，1a =，1b =-， 所以0a b +=．（2）由（1）知，3()2ln f x ax x x =--，3221321(1)(331)()32x x x x x f x x x x x---++'=--==， 令()0f x '=，得1x =，且当01x <<时，()0f x '=；当1x >时，()0f x '>， 所以函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．因为(1)10f =-<，3112()10e e e f =-+>，3(e)e 2e 10f =-->，函数()f x 在区间1[,1]e和[1,e]上的图象是一条不间断的曲线，由零点存在性定理，所以函数()f x 有两个零点．（3）设()()2()g x f x x a =++，即3()2ln g x ax a x =+-，(0,1]x ∈．32131()3ax g x ax x x-'=-=，当0a ≤时，()0g x '<，所以函数()g x 在(0,1]单调递减， 所以()g x 最小值为(1)30g a =≤，不合题意；当0a >时，()g x '令()0g x '=，得x =1，即103a ≤≤时，函数()g x 在(0,1]单调递减， 所以()g x 最小值为(1)30g a =>，只需31a ≥，即13a ≥， 所以13a =符合；1，即13a >时，函数()g x在上单调减，在上单调增， 所以()g x的最小值为112ln3133g a a =++>， 所以1a >符合． 20．解：（1）由条件，22213a a +=，22327a a -=，226513a a +=，227615a a -=， 2210921a a +=，22111023a a -=， 所以222213511...82a a a a +++=．（2）①由22121(2)n n a a n n --=+≥，22215a a -=，22327a a -=，22439a a -=，…，22121n n a a n --=+．将上面的式子相加，得221(215)(1)2nn n a a ++--=，所以22(215)(1)4(1)(2)2nn n a n n ++-=+=+≥．因为{}n a 的各项均为正数，故1(2)n a n n =+≥． 因为12a =也适合上式，所以*1()n a n n =+∈N ． ②假设存在满足条件的k m a=， 1m +，平方得22(21)19(1)k k m -+=+，（*）所以222(21)2(21)(1)19(2)k k k m k -<-=+-<，所以2222(1)(21)19(1)(2)19m k m k ⎧+-->⎪⎨+-<⎪⎩， 即(2)(22)19(1)(12)(12)19(2)m k m k m k m k +-+->⎧⎨+++-<⎩由（1）得，221m k +-≥，即120m k +-≥， 若120m k +-=，代入（*）式，求得18m =，192k =不合，舍去； 若120m k +->，结合（2）得1219m k +-≤， 所以21192k m k <+≤-，即194k <，又*k ∈N 且2k ≥， 所以k 的可能取值为2，3，4， 代入（*）式逐一计算，可求得3k =． 21．A ．因为ABCD 是圆的内接四边形，所以DAE BCD ∠=∠，FAE BAC BDC ∠=∠=∠． 因为BC BD =，所以BCD BDC ∠=∠， 所以DAE FAE ∠=∠，所以AE 是四边形ABCD 的外角DAF ∠的平分线．B ．由题意，233115a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即63,315,a b -=⎧⎨-=⎩， 解得，3,2,a b =⎧⎨=⎩所以2321M ⎡⎤⎢⎣=⎥⎦． 设23()(2)(1)6021f λλλλλ--==---=--，解得1λ=-或4λ=，所以矩阵M 的特征值为1-和4．C ．由32,1x t y t =-⎧⎨=-⎩消参数t ，得210x y --=．由55cos ,35sin x y ϕϕ=+⎧⎨=-+⎩消参数ϕ，得22(5)(3)25x y -++=．所以圆心(5,3)-到直线210x y --=的距离d ==所以AB =D ．因为不等式20x ax b -+<的解集为(1,0)， 所以可得，3a =，2b =．又函数()((f x a b =--由柯西不等式可得，22122(21]5++=，当且仅当=16[3,4]5x =∈时取等号． 所以，当165x =时，函数()f x22．因为平面B DEF C A A D ⊥平面，ADEF ABCD AD =平面平面，CD ABCD ⊂平面，CD AD ⊥，所以CD ADEF ⊥平面，因为DE ADEF ⊂平面，所以CD DE ⊥． （1）建立如图所示的空间直角坐标系． 设1AD =，则(0,0,0)D ，(1,1,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,1)E ，F(1,0,1)，所以(0,2,1)EC =-，(1,0,1)DF =，(1,1,0)DB =． 设平面BDF 的法向量(,,)n x y z ，则00n DF n DB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即00x z x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y z ==-，所以(1,1,1)n --， 设直线与平面所成角为，则sin |||||||EC n EC n θ===⨯即直线EC 与平面BDF ． （2）假设线段EC 上是否存在点P 满足题意，设(01)EP EC λλ=≤≤， 则(0,2,1)P λλ-，所以(0,2,1)DP λλ=-． 设平面BDP 的法向量2(1,1,)1n λλ'=--， EC BDF θ则00n DP n DB ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩，即2(1)00y z x y λλ''+-=⎧⎨''+=⎩，令1x '=，则1y '=-，21z λλ'=-，所以2(1,1,)1n λλ'--． 设二面角F-BD-P 的平面角为α，则2111cos ||||3n n n n λα+-'==='⨯， 解得13λ=或57λ=．经检验，符合条件的13λ=， 即当13EP EC =时，二面角F-BD-P 的余弦值为13． 23．解：（1）由22214()01(2)(1)(2)x f x x x x x '=-=≥++++，知函数()f x 在定义域(1,)-+∞上为增函数，由于(0)0f =， 所以不等式()0f x >的解集为(0,)+∞．（2）①当3n =，不等式左边1111571ln3345660=+++=<<，所以不等式成立； ②假设当(3)n k k =≥时，不等式成立，即231ln ki k i=<∑；则当1n k =+时，左边2(1)233111111ln 21222122k k i i k i i k k k k +===++<++++++∑∑． 下面证明11ln ln(1)2122k k k k ++≤+++，只需证111ln 2122k k k k++≤++（*）． 由（1）知，1x >时，()0f x >，即2ln(1)2xk x +>+，所以212ln(1)1212kk k k+>=++， 由于112212221k k k +++++，所以（*）不等式成立， 当1n k =+时，原不等式仍然成立．由①②知，原不等式对任意n ∈N ，3n ≥都成立．江苏省南通市2017年高考（数学学科基地命题）模拟数学试卷（七）解 析一、填空题1． {2，3} 2． 3． 90 4． 245．12 ．由双曲线的一条准线的方程为，所以．6． ．所有的基本事件的总数为，“恰有两个盒子各有1个球”的对立事件是“甲、乙两个不同的球在同一个盒子”，有3种可能，所以“恰有两个盒子各有1个球”的概率为． 7． ．8．．由条件，不等式即为，所以， 解得． 9． 3 ．由条件，，所以，所以，因为，，所以．10. 4 ．由，得，所以，所以．11． ．令，即，所以， 因为，所以，即12． 7．如图所示，函数与的图象有7个不同的交点，所以原方程有713． 18．直线过定点的对称中心，所以为的中点，由所以动点满足所以的最大值为18．14． ．由1i -+2214y x a -=3x =3=12a =23339⨯=32193-=()1010，(lg )(1)0f x f +>(lg )(1)f x f >-lg 1x <-1010x <<234534()()2()a a a a a a +++=+2312(1)()2()q a a q a a ++=+11(1)(3)8q q a qa ++=10a >1q ≠3q =16cos 8OP OA AOP ⋅=∠=1cos 2AOP ∠=60AOP ∠=42cos604OC AP OC OB ⋅=⋅=⨯⨯=345cos22sin x x =-25(12sin )2sin x x -=-210sin sin 30x x --=()π02x ∈，3sin 5x =03sin 5x =()1y f x =+y =1y kx k =+-(1,1)M M AB 4PA PB +≤2PM ≤()P m n ，22(1)(1)8m n -+-≤22m n +2a ≤e+e 2(1)x yx y ax a +-+-≤当时，不等式为恒成立，；当时，不等式为，设，，则，当且仅当时取“=”， 再设，则，设，由于，所以在上单调增，因为，所以当时，，即；当时，，即， 所以在上为减函数，在上为增函数， 所以在时取得最小值，且最小值为2．综上，当且时，取最小值为2，所以．2x =-220e+e 2yy -+--+≤a ∈R 2x >-1e (e +e )22x y y a x -⎡⎤+⎣⎦+≤1()e (e +e )22x y y f x x -⎡⎤=+⎣⎦+()2x ∈-+∞，2(e 1)()2x f x x ++≥0y =2(e 1)()2x g x x +=+222[e (2)(e 1)]2[e (1)1]()(2)(2)x x x x x g x x x +-++-'==++()e (1)1x t x x =+-()e (1)e e (2)0x x xt x x x '=++=+>()t x ()2-+∞，(0)0t =(20)x ∈-，()0t x <()0g x '<(0)x ∈+∞，()0t x >()0g x '>()g x (20)x ∈-，(0)x ∈+∞，()g x 0x =0x =0y =()f x 2a ≤。
【江苏省南通市】2017年高考(数学学科基地命题)模拟数学试卷(九)及答案解析
江苏省南通市2017年高考（数学学科基地命题）模拟数学试卷（九）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,3,4}A =，则U C A =________．2．设复数i z a b =+（,a b ∈R ，i 是虚数单位），若(2i)i z -=，则a b +的值为________． 3．在如图所示的算法流程图中，若输出的y 的值为26，则输入的x 的值为________．4．甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为________．5．顶点在原点且以双曲线2213x y -=的右准线为准线的抛物线方程是________．6．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50,150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50,100)中的频数为24，则n 的值为________．7．甲，乙两种食物的维生素含量如下表：8，侧棱与底面所成的角为60°，则该棱锥的体积为________．9．在角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)2x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，AP 平面直，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为________． 10．若函数0,2,()0ln ,x x x f x x ax x ≤⎧+=⎨>-⎩在其定义域上恰有两个零点，则正实数a 的值为________．11．设直线l 是曲线343ln y x x =+的切线，则直线l 的斜率的最小值为________． 12．扇形AOB 中，弦1AB =，C 为劣弧AB 上的动点，AB 与OC 交于点P ，则O P B P 的最小值是________．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知(cos ,sin )A αα，(cos ,sin )B ββ是直线y =的两点，则tan()αβ+的值为________．14．已知函数3()||2f x x a a x=--+-有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a 的取值集合为________．（1）求cos2α的值；（2）求2αβ-的值． 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，ACD △是正三角形，BD 垂直平分AC ，垂足为M ，120ABC ∠=，=1PA AB =，2PD =，N 为PD 的中点．（1）求证：AD ⊥平面PAB ； （2）求证：CN ∥平面PAB ． 17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B分别是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的上、下顶点，点1(0)2M ，为线段AO 的中点，AB .（1）求椭圆的方程（2）设(,2)N t （0t ≠），直线NA ，NB 分别 交椭圆于点P ，Q ，直线NA ，NB ，PQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k ． ①求证：P ，M ，Q 三点共线；②求证：132312k k k k k k +-为定值． 18．（本小题满分16分）如图，一个角形海湾AOB ，2AOB θ∠＝（常数θ为锐角）．拟用长度为l （l 为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择： 方案一：如图1，围成扇形养殖区OPQ ，其中PQ l =； 方案二：如图2，围成三角形养殖区OCD ，其中CD l =；（1）求方案一中养殖区的面积1S ；（2）求证：方案二中养殖区的最大面积224tan l S θ=；（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由． 19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的首项为2，前n 项的和为nS ，且111241n n n a a S +-=-（*n ∈N ）．（1）求2a 的值；（2）设1nnn na ba a +=-，求数列{}nb 的通项公式；（3）若ma ，pa ，ra （*,,m p r ∈N ，m p r <<，）成等比数列，试比较2p 与mr 的大小，并证明．20．（本小题满分16分）已知函数2()e ln )x f x a x b x=++（，其中,a b ∈R ．e 2.71828=是自然对数的底数． （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线方程为e(1)y x =-．求实数a ，b 的值； （2）①若2a =-时，函数()y f x =既有极大值，又有极小值，求实数b 的取值范围； ②若2a =，2b ≥-．若()f x kx ≥对一切正实数x 恒成立，求实数k 的最大值（用b 表示）．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答． A ．（选修4-1；几何证明选讲） 如图，1O ，2O 交于两点P ，Q ，直线AB 过点P ，与1O ，2O 分别交于点A ，B ，直线CD 过点Q ，与1O ，2O 分别交于点C ，D ．求证：AC BD ∥．B ．（选修4-2：矩阵与变换） 若二阶矩阵M 满足：12583446M ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （1）求二阶矩阵M ；（2）若曲线C ：22221x xy y ++=在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线C '，求曲线C '的方程．C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）已知点(1)P αα-（其中[0,2π)α∈），点P 的轨迹记为曲线1C ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点Q 在曲线2C：1π)4ρθ=+上．（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）当0ρ≥，02πθ≤<时，求曲线1C 与曲线2C 的公共点的极坐标．D ．（选修4-5：不等式选讲）【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分．22．已知正六棱锥S ABCDEF -的底面边长为2，高为1．现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X 表示所得三角形的面积．（1）求概率(P X=的值；（2）求X 的分布列，并求其数学期望()E X ．23.已知数列{}n a 满足：11a ＝，对任意的*n ∈N ，都有121)1(12n nna a n n +＋＝＋＋．（1）求证：当2n ≥时，2n a ≥；120，30．60，90，即120，所以90，即=，AB AP ACH HN H=60，2rθ，即．由余弦定理，得2)(4r p -=111113221232222412n n n n --+<-=--． 3<，即32e 2()a n <≥，，则()OP BP OM MP BP MP BP ⋅=+⋅=⋅，若MP BP ，同向，则0OP BP ⋅>；若MP BP ，反向，则0OP BP ⋅<， 故OP BP ⋅的最小值在MP BP ，反向时取得， 此时1||||MP BP +=，2||||||||(MP BP OP BP MP BP +⋅=-⋅-≥当且仅当1||||4MP BP ==时取等号，即OP BP ⋅的最小值是（方法一）由题意，得sin 3cos αα=。
【江苏省南通市】2017年高考(数学学科基地命题)模拟数学试卷(七)-答案
15．解：（1）由正弦定理得sin sin 2sin cos A C A B +=，则2sin cos sin sin()sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++， 所以sin sin cos cos sin sin()B A B A B A B =-=-． 因为0A <，πB <所以ππA B -<-<，所以B A B =-或π()B A B =--，即2A B =或πA =（舍）， 所以2A B =．（2）由214S a =，得211sin 24ab C a =，所以1sin sin sin 2B C A =，由（1）知，1sin sin sin2sin cos 2B C B B B ==，因为sin 0B ≠，所以sin cos C B =．因为sin 0C >，所以cos 0B >，即B 为锐角，若C 为锐角，则πsin sin()2C B =-，即π2C B =-，可知π2A =； 若C 为钝角，则πsin sin()2C B =+，即π2C B =+，可知π4A =．16．解：（1）连接OE ，由四边形ABCD 是正方形知，O 为BD 中点， 因为PD ACE ∥平面，PD PBD ⊂面，PBD ACE OE =面面，所以PD OE ∥．因为O 为BD 中点，所以E 为PB 的中点．（2）在四棱锥P －ABCD 中，AB =，因为四边形ABCD 是正方形，所以2OC AB =， 所以PC OC =．因为G 为PO 中点，所以CG PO ⊥． 又因为PC ABCD ⊥底面，BC ABCD ⊂底面， 所以PC BD ⊥．而四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥， 因为,AC CG PAC ⊂平面，AC CG C =，所以BD PAC ⊥平面，因为CG PAC ⊂平面，所以BD CG ⊥． 因为,PO BD PBD ⊂平面，PO BD O =，所以l PA QA =+，即4π(0)sin cos 2l θθθ=+<<．（2）设4()cos f θθ，π(0,)2θ∈．由24sin ()cos f θθθ'==，令()f θ'，得0tan θ且当0(0,)θθ，()0f θ<；当0π(,)2θθ∈，()0f θ'>，所以，()f θ在0(0,)θ上单调递减；在0π(,)2θ上单调递增，所以，当0θθ=时，()f θ取得极小值，即为最小值．当0tan 2θ=0sin θ=，0cos θ=，所以()f θ的最小值为即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为m ．18．解：（1）由题意，12c a =且6a a c+=，解得2a =，1c =．∴b ==∴椭圆的标准方程为22143x y +=．（2）证明：设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，又(2,0)A -， ∴直线AP 的方程为00(2)2y y x x =++，得002(0,)2y M x +， ∴00(22,)2y x AM +=． 同理可得002(0,)2y N x --+，0022)2(,y AN x -=-+，∴220444y AM AN x =+-．又点P 在椭圆C 上，故2200143x y +=，即2200443x y -=-， ∴2204414y AM AN x =+=-（定值）； （3）证明：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，将直线AP 的方程1(2)y k x =+与椭圆方程联立得：21214(32)y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，即2222111(34)1616120k x k x k +++=-．∴2112116234k x k -+=+-，211216834k x k =-+，11212112234k k y x +=+=-，∴221122116812(,)3434k k P k k -++． ∵121k k =-，∴221122116812(,)3434k k Q k k --++．当211k =时，2121682347k k -=-+点P 和点Q 的横坐标相同，直线PQ 的方程为27x =-， 由此可见，如果直线PQ 经过定点R ，则点R 的横坐标一定为27-．当211k ≠时，11222111222111221112123434768684(1)3434OQ k k k k k k k k k k k --++==----++， 直线PQ 的方程为211122211112768()344(1)34k k k y x k k k --=-+-+， 令27x =-得：2111222111768122()04(1)73434k k k y k k k -=--+=-++．19．解：（1）21()32f x ax x'=--， 由题意，(1)0f '=，(1)f b =，解得，1a =，1b =-， 所以0a b +=．（2）由（1）知，3()2ln f x ax x x =--，3221321(1)(331)()32x x x x x f x x x x x---++'=--==， 令()0f x '=，得1x =，且当01x <<时，()0f x '=；当1x >时，()0f x '>， 所以函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．因为(1)10f =-<，3112()10e e e f =-+>，3(e)e 2e 10f =-->，函数()f x 在区间1[,1]e和[1,e]上的图象是一条不间断的曲线，由零点存在性定理，所以函数()f x 有两个零点．（3）设()()2()g x f x x a =++，即3()2ln g x ax a x =+-，(0,1]x ∈．32131()3ax g x ax x x-'=-=，当0a ≤时，()0g x '<，所以函数()g x 在(0,1]单调递减， 所以()g x 最小值为(1)30g a =≤，不合题意；当0a >时，()g x '令()0g x '=，得x =1，即103a ≤≤时，函数()g x 在(0,1]单调递减， 所以()g x 最小值为(1)30g a =>，只需31a ≥，即13a ≥， 所以13a =符合；1，即13a >时，函数()g x在上单调减，在上单调增， 所以()g x的最小值为112ln3133g a a =++>， 所以1a >符合． 20．解：（1）由条件，22213a a +=，22327a a -=，226513a a +=，227615a a -=， 2210921a a +=，22111023a a -=， 所以222213511...82a a a a +++=．（2）①由22121(2)n n a a n n --=+≥，22215a a -=，22327a a -=，22439a a -=，…，22121n n a a n --=+．将上面的式子相加，得221(215)(1)2nn n a a ++--=，所以22(215)(1)4(1)(2)2nn n a n n ++-=+=+≥．因为{}n a 的各项均为正数，故1(2)n a n n =+≥． 因为12a =也适合上式，所以*1()n a n n =+∈N ． ②假设存在满足条件的k m a=， 1m +，平方得22(21)19(1)k k m -+=+，（*）所以222(21)2(21)(1)19(2)k k k m k -<-=+-<，所以2222(1)(21)19(1)(2)19m k m k ⎧+-->⎪⎨+-<⎪⎩， 即(2)(22)19(1)(12)(12)19(2)m k m k m k m k +-+->⎧⎨+++-<⎩由（1）得，221m k +-≥，即120m k +-≥， 若120m k +-=，代入（*）式，求得18m =，192k =不合，舍去； 若120m k +->，结合（2）得1219m k +-≤， 所以21192k m k <+≤-，即194k <，又*k ∈N 且2k ≥， 所以k 的可能取值为2，3，4， 代入（*）式逐一计算，可求得3k =． 21．A ．因为ABCD 是圆的内接四边形，所以DAE BCD ∠=∠，FAE BAC BDC ∠=∠=∠． 因为BC BD =，所以BCD BDC ∠=∠， 所以DAE FAE ∠=∠，所以AE 是四边形ABCD 的外角DAF ∠的平分线．B ．由题意，233115a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即63,315,a b -=⎧⎨-=⎩， 解得，3,2,a b =⎧⎨=⎩所以2321M ⎡⎤⎢⎣=⎥⎦． 设23()(2)(1)6021f λλλλλ--==---=--，解得1λ=-或4λ=，所以矩阵M 的特征值为1-和4．C ．由32,1x t y t =-⎧⎨=-⎩消参数t ，得210x y --=．由55cos ,35sin x y ϕϕ=+⎧⎨=-+⎩消参数ϕ，得22(5)(3)25x y -++=．所以圆心(5,3)-到直线210x y --=的距离d ==所以AB =D ．因为不等式20x ax b -+<的解集为(1,0)， 所以可得，3a =，2b =．又函数()((f x a b =--由柯西不等式可得，22122(21]5++=，当且仅当=16[3,4]5x =∈时取等号． 所以，当165x =时，函数()f x22．因为平面B DEF C A A D ⊥平面，ADEF ABCD AD =平面平面，CD ABCD ⊂平面，CD AD ⊥，所以CD ADEF ⊥平面，因为DE ADEF ⊂平面，所以CD DE ⊥． （1）建立如图所示的空间直角坐标系． 设1AD =，则(0,0,0)D ，(1,1,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,1)E ，F(1,0,1)，所以(0,2,1)EC =-，(1,0,1)DF =，(1,1,0)DB =． 设平面BDF 的法向量(,,)n x y z ，则00n DF n DB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即00x z x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y z ==-，所以(1,1,1)n --， 设直线与平面所成角为，则sin |||||||EC n EC n θ===⨯即直线EC 与平面BDF ． （2）假设线段EC 上是否存在点P 满足题意，设(01)EP EC λλ=≤≤， 则(0,2,1)P λλ-，所以(0,2,1)DP λλ=-． 设平面BDP 的法向量2(1,1,)1n λλ'=--， EC BDF θ则00n DP n DB ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩，即2(1)00y z x y λλ''+-=⎧⎨''+=⎩，令1x '=，则1y '=-，21z λλ'=-，所以2(1,1,)1n λλ'--． 设二面角F-BD-P 的平面角为α，则2111cos ||||3n n n n λα+-'==='⨯， 解得13λ=或57λ=．经检验，符合条件的13λ=， 即当13EP EC =时，二面角F-BD-P 的余弦值为13． 23．解：（1）由22214()01(2)(1)(2)x f x x x x x '=-=≥++++，知函数()f x 在定义域(1,)-+∞上为增函数，由于(0)0f =， 所以不等式()0f x >的解集为(0,)+∞．（2）①当3n =，不等式左边1111571ln3345660=+++=<<，所以不等式成立； ②假设当(3)n k k =≥时，不等式成立，即231ln ki k i=<∑；则当1n k =+时，左边2(1)233111111ln 21222122k k i i k i i k k k k +===++<++++++∑∑． 下面证明11ln ln(1)2122k k k k ++≤+++，只需证111ln 2122k k k k++≤++（*）． 由（1）知，1x >时，()0f x >，即2ln(1)2xk x +>+，所以212ln(1)1212kk k k+>=++， 由于112212221k k k +++++，所以（*）不等式成立， 当1n k =+时，原不等式仍然成立．由①②知，原不等式对任意n ∈N ，3n ≥都成立．江苏省南通市2017年高考（数学学科基地命题）模拟数学试卷（七）解 析一、填空题1． {2，3} 2． 3． 90 4． 245．12 ．由双曲线的一条准线的方程为，所以．6． ．所有的基本事件的总数为，“恰有两个盒子各有1个球”的对立事件是“甲、乙两个不同的球在同一个盒子”，有3种可能，所以“恰有两个盒子各有1个球”的概率为． 7． ．8．．由条件，不等式即为，所以， 解得． 9． 3 ．由条件，，所以，所以，因为，，所以．10. 4 ．由，得，所以，所以．11． ．令，即，所以， 因为，所以，即12． 7．如图所示，函数与的图象有7个不同的交点，所以原方程有713． 18．直线过定点的对称中心，所以为的中点，由所以动点满足所以的最大值为18．14． ．由1i -+2214y x a -=3x =3=12a =23339⨯=32193-=()1010，(lg )(1)0f x f +>(lg )(1)f x f >-lg 1x <-1010x <<234534()()2()a a a a a a +++=+2312(1)()2()q a a q a a ++=+11(1)(3)8q q a qa ++=10a >1q ≠3q =16cos 8OP OA AOP ⋅=∠=1cos 2AOP ∠=60AOP ∠=42cos604OC AP OC OB ⋅=⋅=⨯⨯=345cos22sin x x =-25(12sin )2sin x x -=-210sin sin 30x x --=()π02x ∈，3sin 5x =03sin 5x =()1y f x =+y =1y kx k =+-(1,1)M M AB 4PA PB +≤2PM ≤()P m n ，22(1)(1)8m n -+-≤22m n +2a ≤e+e 2(1)x yx y ax a +-+-≤当时，不等式为恒成立，；当时，不等式为，设，，则，当且仅当时取“=”， 再设，则，设，由于，所以在上单调增，因为，所以当时，，即；当时，，即， 所以在上为减函数，在上为增函数， 所以在时取得最小值，且最小值为2．综上，当且时，取最小值为2，所以．2x =-220e+e 2yy -+--+≤a ∈R 2x >-1e (e +e )22x y y a x -⎡⎤+⎣⎦+≤1()e (e +e )22x y y f x x -⎡⎤=+⎣⎦+()2x ∈-+∞，2(e 1)()2x f x x ++≥0y =2(e 1)()2x g x x +=+222[e (2)(e 1)]2[e (1)1]()(2)(2)x x x x x g x x x +-++-'==++()e (1)1x t x x =+-()e (1)e e (2)0x x xt x x x '=++=+>()t x ()2-+∞，(0)0t =(20)x ∈-，()0t x <()0g x '<(0)x ∈+∞，()0t x >()0g x '>()g x (20)x ∈-，(0)x ∈+∞，()g x 0x =0x =0y =()f x 2a ≤。
【江苏省南通市】2017届高三年级第二次模拟考试理科数学试卷(附答案与解析)
江苏省南通市2017届高三第一次调研测试理科数学试卷参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．棱锥的体积公式：1V Sh =棱锥，其中S 为棱锥的底面积，h 为高．{3}AB =，则A B =________为虚数单位，则z 的实部为________．4．口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．已知摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为________．5．如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为________．6．若实数x ，y 满足24,37,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则32z x y =＋的最大值为________．7．抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：8．如图，在正四棱柱1111–ABCD A B C D 中，3cm AB =，11cm AA =，则三棱锥11D A BD -的体积为 ______3cm ．9．在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +=为双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的一条渐近线，则该双曲线的离心率为________．10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为________升． 中，若2BC BA AC AB CA CB +=，则sin sin AC12．已知两曲线()2sin f x x =，()cos g x a x =，π(0,)2x ∈相交于点P ．若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为________．13．已知函数()|||4|f x x x =+-，则不等式2(2)()f x f x +>的解集用区间表示为________．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点，点(1,1)A ，且A B A C ⊥，则线段BC 的长的取值范围为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A ．以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，5AB =． （1）求cos β的值； （2）若点A 的横坐标为513，求点B 的坐标．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，点E PC 为的中点，OP OC =，PA PD ⊥．求证：（1）直线PA BDE ∥平面； （2）平面BDE PCD ⊥平面．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，焦点到相应准线的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O OP 作的垂线交直线y 于点Q ，求2211OP OQ +的值． 18．（本小题满分16分）如图，某机械厂要将长6 m ，宽2 m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪．已知点F AD 为的中点，点E BC 在边上，裁剪时先将四边形CDFE EF MNFE 沿直线翻折到处（点C ，D BC M 分别落在直线下方点，N 处，FN BC P 交边于点），再沿直线PE 裁剪．（1）当4EFP ∠=π时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积； （2）若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．19．（本小题满分16分）已知函数2()ln f x ax x x =--，a ∈R ．（1）当38a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若10a -≤≤，证明：函数()f x 有且只有一个零点；（3）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围． 20．（本小题满分16分）已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1k a ，2k a ，…，n k a ，…(12k k <<…n k <<…)成等比数列，公比为q ． （1）若11k =，23k =，38k =，求1a d的值； （2）当1a d为何值时，数列{}n k 为等比数列； （3）若数列{}n k 为等比数列，且对于任意n *∈N ，不等式2n n k n a a k +>恒成立，求1a 的取值范围．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修41-：几何证明选讲]（本小题满分10分）已知圆O 的直径4AB =，C AO 为的中点，弦2DE C CE CD =过点且满足，求OCE △的面积．B ．[选修42-：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值–1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,1)P 在矩阵A 对应的变换作用下变为(3,3)P '，求矩阵A ．C ．[选修44-：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在极坐标系中，求直线π()4θρ=∈R 被曲线4sin ρθ=所截得的弦长． D ．[选修45-：不等式选讲]（本小题满分10分）求函数3sin y x =+【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在棱长为11112ABCD A B C D -的正方体中，11P C D 为棱的中点，1Q BB 为棱上的点，且1(0)BQ BB λλ=≠．（1）若12λ=，求AP AQ 与所成角的余弦值； （2）若直线1AA APQ 与平面所成的角为45︒，求实数λ的值． 23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)x py p =>上的点(,1)M m 到焦点2F 的距离为． （1）求抛物线的方程；（2）如图，点E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E x P 处的切线与轴相交于点，直线PF 与抛物线相交于A ，B 两点，求EAB △面积的最小值．江苏省南通市2017届高三第一次调研测试数学试卷∞2)(2,+)+2,62]二、解答题：本大题共∠OA OB AOBcos2-ABOA OB3，PC PD P=，PCD．PN MN=2m ）解法一：=0 EFDθ(<19．【解】（1）当38a =时，23()ln 8f x x x x =--．所以31(32)(2)()144x x f x x x x+-'=--=，（0x >）．2分令()0f x '=，得2x =，当(0,2)x ∈时，()0f x '<；当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>， 所以函数()f x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增． 所以当2x =时，()f x 有最小值1(2)ln 22f =--．4分（2）由2()ln f x ax x x =--，得2121()21,0ax x f x ax x x x--'=--=>．所以当0a ≤时，221()<0ax x f x x--'=，函数()f x 在(0,+)∞上单调递减，所以当0a ≤时，函数()f x 在(0,+)∞上最多有一个零点． 6分因为当10a -≤≤时，(1)1<0f a =-，221e e ()>0e e af -+=，所以当10a -≤≤时，函数()f x 在(0,+)∞上有零点．综上，当10a -≤≤时，函数()f x 有且只有一个零点．8分（3）解法一：由（2）知，当0a ≤时，函数()f x 在(0,+)∞上最多有一个零点． 因为函数()f x 有两个零点，所以>0a ．9分由2()ln f x ax x x =--，得221(),(0)ax x f x x x--'=>，令2()21g x ax x =--．因为(0)10g =-<，2>0a ，所以函数()g x 在(0,)+∞上只有一个零点，设为0x ．当0(0,)x x ∈时，()0,()0g x f x '<<；当0(,)x x ∈+∞时，()0,()0g x f x '>>． 所以函数()f x 在0(0,)x 上单调递减；在0(,)x +∞上单调递增．要使得函数()f x 在(0,+)∞上有两个零点，只需要函数()f x 的极小值0()0f x <，即200ln 0ax x x --<． 又因为2000()210g x ax x =--=，所以002ln 10x x +->， 又因为函数h()=2ln 1x x x +-在(0,+)∞上是增函数，且h(1)=0， 所以01x >，得0101x <<． 又由20210ax x --=，得22000111112()()24a x x x =+=+-， 所以01a <<．13分以下验证当01a <<时，函数()f x 有两个零点． 当01a <<时，21211()10a a g a a a a-=--=>， 所以011x a <<． 因为22211e e ()10e e e e a af -+=-+=>，且0()0f x <．所以函数()f x 在01(,)ex 上有一个零点．又因为2242222()ln (1)10a f a a a a a a=----=>≥（因为ln 1x x ≤-），且0()0f x <．所以函数()f x 在02(,)x a上有一个零点．所以当01a <<时，函数()f x 在12(,)e a内有两个零点．综上，实数a 的取值范围为(0,1)．16分下面证明：ln 1x x ≤-．设()1ln t x x x =--，所以11()1x t x x x-'=-=，（0x >）． 令()0t x '=，得1x =．当(0,1)x ∈时，()0t x '<；当(1,)x ∈+∞时，()>0t x '． 所以函数()t x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． 所以当1x =时，()t x 有最小值(1)0t =． 所以()1ln 0t x x x =--≥，得ln 1x x ≤-成立． 解法二：由（2）知，当0a ≤时，函数()f x 在(0,+)∞上最多有一个零点． 因为函数()f x 有两个零点，所以>0a ．9分由2()ln 0f x ax x x =--=，得关于x 的方程2ln x xa x +=，（0x >）有两个不等的实数解． 又因为ln 1x x ≤-，所以222ln 211(1)1x x x a x x x+-=≤=--+，（0x >）． 因为0x >时，21(1)11x--+≤，所以1a ≤．又当1a =时，1x =，即关于x 的方程2ln x xa x +=有且只有一个实数解．所以<<1a 0．13分（以下解法同解法1）20．【解】（1）由已知可得：1a ，3a ，8a 成等比数列，所以2111(2)(7)a d a a d +=+， 2分 整理可得：2143d a d =．因为0d ≠，所以143a d =．4分（2）设数列{}n k 为等比数列，则2213k k k =． 又因为1k a ，2k a ，3k a 成等比数列，所以2111312[(1)][(1)][(1)]a k d a k d a k d +-+-=+-． 整理，得21213132132(2)(2)a k k k d k k k k k k --=---+． 因为2213k k k =，所以1213213(2)(2)a k k k d k k k --=--． 因为2132k k k ≠+，所以1a d =，即11a d=． 6分当11a d=时，1(1)n a a n d nd =+-=，所以n k n a k d =． 又因为1111n n n k k a a q k dq --==，所以11n n k k q -=．所以1111nn n n k k q q k k q +-==，数列{}n k 为等比数列． 综上，当11a d=时，数列{}n k 为等比数列． 8分（3）因为数列{}n k 为等比数列，由（2）知1a d =，11(1)n n k k q q -=>．1111111n n n n k k a a q k dq k a q ---===，11(1)n a a n d na =+-=． 因为对于任意n ∈*N ，不等式2n n k n a a k +>恒成立． 所以不等式1111112n n na k a q k q --+>，即111112n n k q a n k q -->+，111111110222n n nn k q q na k q k q --+<<=+恒成立．10分下面证明：对于任意的正实数(01)εε<<，总存在正整数1n ，使得11n n εq <． 要证11n n εq <，即证11ln ln ln n n q ε<+． 因为11ln e 2x x x ≤<，则1122111ln 2ln n n n =<，解不等式1211ln ln n n q ε<+，即1122211()ln ln 0n q n ε-+>，可得121n >，所以21n >．不妨取20]1n =+，则当10n n >时，原式得证．所以11102a <≤，所以12a ≥，即得1a 的取值范围是[2,)+∞．16分21．A ．[选修41-：几何证明选讲]（本小题满分10分）已知圆O 的直径4AB =，C AO 为的中点，弦2DE C CE CD =过点且满足，求OCE △的面积． 【解】设CD x =，则2CE x =． 因为1CA =，3CB =，由相交弦定理，得CA CB CD CE =， 所以21322x x x ⨯==，所以2x =． 2分取DE 中点H ，则OH DE ⊥． 因为2222354()28OH OE EH x =-=-=，所以OH =．6分又因为2CE x ==，所以OCE △的面积1122S OH CE ==⨯ 10分B ．[选修42-：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值–1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy 中，点11P （，）在矩阵A对应的变换作用下变为(3,3)P '，求矩阵A ．【解】设ab Acd ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 因为向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵–1A 的属于特征值的一个特征向量，所以111(1)111a b cd -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以11a b c d -=-⎧⎨-=⎩，．4分因为点(1,1)P 在矩阵A 对应的变换作用下变为(3,3)P '，所以1313a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以+3+3a b c d =⎧⎨=⎩，．8分解得1a =，2b =，2c =，1d =，所以1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． 10分C ．[选修44-：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在极坐标系中，求直线.π()4θρ=∈R .被曲线4sin ρθ=所截得的弦长． 【解】解法一：在4sin ρθ=中，令π4θ=，得π4sin 4ρ=AB =． 10分解法二：以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系． 直线π()4θρ=∈R 的直角坐标方程为y x =①， 3分 曲线4sin ρθ=的直角坐标方程为2240x y y +-=②．6分由①②得00x y =⎧⎨=⎩，，或22x y =⎧⎨=⎩，，8分所以(0,0),(2,2)A B ，所以直线π()4θρ=∈R 被曲线4sin ρθ=所截得的弦长AB =． 10分D ．[选修45-：不等式选讲]（本小题满分10分）求函数3sin y x =+【解】3sin y x x =++2分由柯西不等式得222222(3sin (34)(sin cos )25y x x x =+≤++=，8分所以max 5y =，此时3sinx =． 22．【解】以{}1,,AB AD AA 为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -． （1）因为=(1,2,2)AP ，=(2,0,1)AQ ，所以cos =||||AP AQ AP AQ AP AQ <>==，．所以AP 与AQ ． 4分（2）由题意可知，1(0,0,2)AA =，(2,0,2)AQ λ=． 设平面APQ 的法向量为(,,)x n y z =，则0,0,AP AQ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即220,220x y z x z λ++=⎧⎨+=⎩．令2z =-，则2x λ=，2y λ=-． 所以(2,2,2)n λλ=--．6分又因为直线1AA 与平面APQ 所成角为45︒，所以111||=||||||2,AA AA AA cos n <>==n n ， 23．【解】（1）抛物线22(0)x py p =>的准线方程为2py =-， 因为(,1)M m ，由抛物线定义，知12p MF =+， 所以122p+=，即2p =， 所以抛物线的方程为24x y =．3分（2）因为214y x =，所以12y x '=． 设点2(,),04t E t t ≠，则抛物线在点E 处的切线方程为21()42t y t x t -=-．令0y =，则2tx =，即点(,0)2t P ．因为(,0)2t P ，(0,1)F ，所以直线PF的方程为2()2ty x t =--，即20x ty t +-=．则点2(,)4t E t 到直线PF 的距离为3|2|t t t d +-= 5分联立方程2,420,x y x ty t ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩消元，得2222(216)0t y t y t -++=． 因为2242(216)464(4)0t t t ∆=+-=+>，所以1y =2y =所以221212222164(4)1122tt AB y y y y t t ++=+++=++=+=． 7分所以EAB △的面积为3222214(4)1(4)22||t t S t t ++=⨯=⨯．不妨设322(4)()x g x x +=(0)x >，则12222(4)()(24)x g x x x+'=-．因为x ∈时，()0g x '<，所以()g x 在上单调递减；)x ∈+∞上，()0g x '>，所以()g x 在)+∞上单调递增．所以当x 32min 4)()g x ==所以EAB △的面积的最小值为10分。
江苏省南通市数学学科基地命题2017年高考模拟试卷9Word版含答案
（第3题）（第6题） 2017年高考模拟试卷(9)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．1． 全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,4A =，则U C A = ▲ ．2． 设复数i z a b =+（a b ∈，R ，i 是虚数单位），若()2i i z -=则a b +的值为 ▲ ．3． 在如图所示的算法流程图中，若输出的y 的值为26，则输入的x 的值为 ▲ ．4． 概率为，乙不输的概率为，则两人下成和棋的概率为 ▲ ．5． 顶点在原点且以双曲线1322=-y x 的右准线为准线的抛物线方程是 ▲ ．6． 为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中， 其频率分布直方图如图所示．已知在[50 100)，中 的频数为24，则n 的值为 ▲． 7． 甲，乙两种食物的维生素含量如下表：分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素A ，B 的含量分别不低于100，120单位，则混合物重量的最小值为 ▲ kg ．8． 60°，则该棱锥的体积为 ▲ ．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)2x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为 ▲ ． 10．若函数 0,2,()0ln ,≤x x x f x x ax x ⎧+=⎨>-⎩在其定义域上恰有两个零点，则正实数a 的值为▲ ．11．设直线l 是曲线343ln y x x =+的切线，则直线l 的斜率的最小值为 ▲ ． 12．扇形AOB 中，弦1AB =，C 为劣弧AB 上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP BP ⋅的最小值是 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知(cos sin )A αα，，(cos sin )B ββ，是直线y =+上的两点，则tan()αβ+的值为 ▲ ．14．已知函数3()2f x x a a x=--+-有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a 的取值集合为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 15．(本小题满分14分)已知tan α＝2，cos β＝－ 7210，且α，β∈(0，π)， （1）求cos2α的值； （2）求2α－β的值． 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，△ACD 是正三角形，BD 垂直平分AC ，垂足为M ，ABC ∠=120° ，=1PA AB =，2PD =，N 为PD 的中点． （1）求证：AD ⊥平面PAB ； （2）求证：CN ∥平面PAB ．17. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知A B ，分别是椭圆22221(0)yx a b a b +=>>的上、下顶点，点()102M ，为线段AO的中点，AB .（1）求椭圆的方程；（2）设(2)N t ，（0t ≠），直线NA ，NB 分别 交椭圆于点P Q ，，直线NA ，NB ，PQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k . ① 求证：P M Q ，，三点共线； ② 求证：132312k k k k k k +-为定值. 18．(本小题满分16分)如图，一个角形海湾AOB ，∠AOB ＝2θ（常数θ为锐角）．拟用长度为l （l 为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：D（第16题）PAPBPCM N（第17题）2OP D方案一：如图1，围成扇形养殖区OPQ ，其中⌒PQ ＝l ； 方案二：如图2，围成三角形养殖区OCD ，其中CD ＝l ；（1）求方案一中养殖区的面积S 1 ；（2）求证：方案二中养殖区的最大面积S 2＝l 24tan θ；（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的首项为2，前n 项的和为n S ，且111241n n n a a S +-=-（*n ∈N ）．（1）求2a 的值； （2）设1nn n na b a a +=-，求数列{}n b 的通项公式；（3）若m p r a a a ，，（*m p r ∈，，N ，m p r <<，）成等比数列，试比较2p 与mr 的大小，并证明．20．（本小题满分16分）已知函数2()ln )xf x e a x b x=++（，其中,a b R ∈． 2.71828e =是自然对数的底数． （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线方程为(1)y e x =-．求实数,a b 的值； （2）① 若2a =-时，函数()y f x =既有极大值，又有极小值，求实数b 的取值范围； ② 若2a =，2b ≥-．若()f x kx ≥对一切正实数x 恒成立，求实数k 的最大值（用b 表示）．第II 卷（附加题，共40分）21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的．．．．．答题区域内作答．．．．．．．. A ，（选修4-1；几何证明选讲）如图，1O ，2O 交于两点P Q ，，直线AB 过点P ，与1O ，2O 分别交于点A B ，，直线CD 过点Q ，与1O ，2O 分别交于点C D ，．llAOBAOB图1Q PAOBC D 图2（第18题）2θ2θ2θ求证：AC ∥BD ． B ．（选修4-2：矩阵与变换）若二阶矩阵M 满足：12583446M ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1）求二阶矩阵M ；(2）若曲线22:221C x xy y ++=在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线C '，求曲线C '的方程.C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）已知点(1)P αα-（其中[)0,2)απ∈，点P 的轨迹记为曲线1C，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点Q 在曲线21:)4C ρπθ=+上． (1)求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程;(2)当0,02ρθπ≥≤<时，求曲线1C 与曲线2C 的公共点的极坐标． D ．（选修4-5：不等式选讲）已知实数0x >，0y >，0z >，证明：1239()()2462yx z x y z ++++≥．【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.22．已知正六棱锥S ABCDEF -的底面边长为2，高为1．现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X 表示所得三角形的面积．（1）求概率(P X =的值；（2）求X 的分布列，并求其数学期望()E X ．23.已知数列{a n }满足：a 1＝1，对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＝(1＋1n 2＋n)a n ＋12n ．（1）求证：当n ≥2时，a n ≥2；（2）利用“∀x ＞0，ln(1＋x )＜x ”，证明：a n ＜2e 34(其中e 是自然对数的底数)．2017年高考模拟试卷(9)参考答案南通市数学学科基地命题一、填空题1. {}2,5．2. 15.3.-4. 4. 0.5. 5. 26y x =-.6. 60.7. 30. 线性规划或待定系数法，设甲、乙混货物分别为x ,y 克，由题意3x+4y 1005x+2y 120≥⎧⎨≥⎩,设x+y=34)(52)x y x y λμ+++（，解得，31==1414λμ，，即可.8.9.[3. 设CA=x,则PQ=2CPcos<CAP=([3,))x ∈+∞,据此可得2PQ ≤<. 10. 1e. 易知函数()f x 在(],0-∞上有一个零点，所以由题意得方程ln 0ax x -=在()0+∞，上恰有一解，即ln x a x =在()0+∞，上恰有一解. 令ln ()x g x x=，21ln ()0x g x x-'==，得e x =，当()0,e x ∈时，()g x 单调递增，当()e,+x ∈∞时，()g x 单调递减，所以()1e e a g ==.11．9.223331212922k x x x x x=+=++≥,也可以求导. 12. 116-.设弦AB 中点为M ，则()OP BP OM MP BP MP BP ⋅=+⋅=⋅， 若MP BP ，同向，则0OP BP ⋅>；若MP BP ，反向，则0OP BP ⋅<， 故OP BP ⋅的最小值在MP BP ，反向时取得， 此时1||||2MP BP +=，2||||1||||()216MP BP OP BP MP BP +⋅=-⋅-=-≥， 当且仅当1||||4MP BP ==时取等号，即OP BP ⋅的最小值是116-．13．（方法一）由题意，得sin sin ααββ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩所以αβ，是方程sin x x =即方程()πsin 3x -=5ππ()26k k αβ+=+∈Z，所以tan()αβ+=． （方法二）同上，αβ，sin 0x x -+=的两根．设()sin f x x x =-+()cos f x x x '=-．令()0f x '=，得0tan x =，所以02x αβ+=，所以（方法三）直线210x y +-=交单位圆于A B ，两点， 过O 作OH AB ⊥，垂足为H ，易知OH =因为OC =，所以60COH ∠=︒，即1502αβ+=︒，所以tan()tan 300αβ+=︒=14．95⎧-⎨⎩⎭.32()322x x a x f x x a x a x ⎧--⎪=⎨⎪--+-<⎩，≥，，，当x a ≥时，320x x --=，得11x =-，23x =，结合图形知，① 当1a <-时，313x -，，成等差数列，则35x =-，代入3220x a x --+-=得，95a =-；② 当13a -≤≤时，方程3220x a x --+-=，即22(1)30x a x +-+=的根为34x x ，，则343x x =，且3432x x +=，解得4x =，又342(1)x x a +=-，所以a .③ 当3a >时，显然不符合. 所以a的取值集合95⎧-⎨⎩⎭. 二､解答题:本大题共6小题，共90分．15． (1)因为tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α．又sin 2α＋cos 2α＝1，所以5cos 2α＝1，即cos 2α＝15． 所以 cos2α＝2cos 2α－1＝－35．(2)由α∈(0，π)，且tan α＝2＞1，得α∈(π4，π2)，所以2α∈(π2，π). 由题知cos2α＝－35，所以sin2α＝45．又因为β∈(0，π)，cos β＝－7210∈(－1，0)，所以β∈(π2，π)， 所以sin β＝210，且2α－β∈(－π2，π2)．因为sin(2α－β)＝sin2αcos β－cos2αsin β＝45×(－7210)－(－35)×210＝－22， 所以2α－β＝－π4．16.（1）因为BD 垂直平分AC ，所以BA BC =，在△ABC 中，因为120ABC ∠=︒， 所以30BAC ∠=︒．因为△ACD 是正三角形，所以60DAC ∠=︒， 所以90BAD ∠=︒，即AD AB ⊥．因为=1AB ，120ABC ∠=︒，所以AD AC = 又因为1PA =，2PD =，由222PA AD PD +=， 知90PAD ∠=︒，即AD AP ⊥． 因为AB AP ⊂，平面PAB ，AB AP A =，所以AD ⊥平面PAB ．（2）（方法一）取AD 的中点H ，连结CH ，NH． 因为N 为PD 的中点，所以HN ∥PA ， 因为PA ⊂平面PAB ，HN ⊄平面PAB ， 所以HN ∥平面PAB ．由△ACD 是正三角形，H 为AD 的中点，所以CH AD ⊥．由（1）知，BA AD ⊥，所以CH ∥BA ， 因为BA ⊂平面PAB ，CH ⊄平面PAB ， 所以CH ∥平面PAB ． 因为CH HN ⊂，平面CNH ，CH HN H =，所以平面CNH ∥平面PAB ． 因为CN ⊂平面CNH ， 所以CN ∥平面PAB ．（方法二）取PA 的中点S ，过C 作CT ∥AD 交AB 的延长线于T ，连结ST ，SN ．因为N 为PD 的中点，所以SN ∥AD ，且12SN AD =，因为CT ∥AD ，所以CT ∥SN ． 由（1）知，AB AD ⊥，所以CT AT ⊥， 在直角△ CBT 中，1BC =，60CBT ∠=︒， 得CT =由（1）知，AD 12CT AD =，HPABCDMN P ABCDMNTS所以CT SN =．所以四边形SNCT 是平行四边形， 所以CN ∥TS ．因为TS ⊂平面PAB ，CN ⊄平面PAB ， 所以CN ∥平面PAB ．17．（1）由题意知，124()2b b =-，解得a =1b =，所以椭圆的方程为2212x y +=.（2）① 由(2)N t ，，(01)A ，，(01)B -，，则直线NA 的方程为11y x t =+，直线NB 的方程为31y x t=-.由221122y x t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得，222422.2t x t t y t ⎧=-⎪+⎨-⎪=+⎩，，故()2224222t t t t P --++，. 由223122y x t x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得，222121818.18t x t t y t ⎧=⎪+⎨-⎪=+⎩，，故()22212181818t t t t Q -++，. 所以直线PM 的斜率222221262482PMt t t k t t t ---+==-+， 直线QM 的斜率2222181261812818QMt t t k t t t ---+==+， 所以PM QM k k =，故P M Q ，，三点共线.② 由①知，11k t =，213k t=，2368t k t -=. 所以21323122463182t k k k k k k t t t-+-=⨯-=-， 所以132312k k k k k k +-为定值12-.18．(1)设OP ＝r ，则l ＝r ·2θ，即r ＝l2θ，所以S 1＝12lr ＝l 24θ，θ∈(0，π2)．(2)设OC ＝a ，OD ＝b ．由余弦定理，得l 2＝a 2＋b 2－2ab cos2θ，所以l 2≥2ab －2ab cos2θ．所以 ab ≤l 22(1－cos2θ)，当且仅当a ＝b 时“＝”成立．所以S △OCD ＝12ab sin2θ≤l 2sin2θ4(1－cos2θ)＝l 24tan θ，即S 2＝l 24tan θ．(3)1S 2－1S 1＝4l 2(tan θ－θ)，θ∈(0，π2)，． 令f (θ)＝tan θ－θ，则f '(θ)＝(sin θcos θ)'－1＝sin 2θcos 2θ．当θ∈[0，π2)时，f '(θ)＞0，所以f (θ)在区间[0，π2)上单调增．所以，当θ∈(0，π2)时，总有f (θ)＞f (0)＝0，即1S 2－1S 1＞0，即S 1＞S 2．答：为使养殖区面积最大，应选择方案一． 19． （1）易得2143a =．（2）由111241n n n a a S +-=-，得11241n nn n n a a a a S ++-=-，所以11241n n n n na a S a a ++-=-①．所以12121241n n n n n a a S a a +++++-=-②，由②-①，得12112112n n n n n n n n na a a aa a a a a +++++++=---．因为10n a +≠，所以22112n nn n n na a a a a a ++++=---． 所以121112n n n n n n a a a a a a +++++-=--，即12111n nn n n na a a a a a ++++-=--，即11n n b b +-=，所以数列{}n b 是公差为1的等差数列． 因为112134a b a a ==-，所以数列{}n b 的通项公式为14n b n =-．（3）由（2）知，114n n n a n a a +=--，所以114311414n n an a n n ++=+=--，所以14(1)141n n a a n n +=+--，所以数列41n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是常数列．由124113a =⨯-，所以2(41)3n a n =-．（方法一）由m p r a a a ，，（m p r <<）成等比数列，则41m -，41p -，41r -成等比数列，所以2(41)(41)(41)p m r -=--，所以2168164()0p p mr m r --++=，即2424()0p p mr m r --++=（*）．（途径一）（*）式即为2424()4p p mr m r mr -=-+<-所以2211(2))22p -<，即11222p -<，所以p <2p mr <．（途径二）（*）式即为24241p p rm r -+=-．由222222(42)(42)(41)()0414141p p r p p r r r p p r mr p r p r r r -+-+----=⋅-==>---， 所以2p mr <．（方法二）由m p r a a a ，，（m p r <<）成等比数列， 则41m -，41p -，41r -成等比数列， 记4m α=，4p β=，4r γ=（1αβγ<<<）， 则有1α-，1β-，1γ-成等比数列，所以2(1)(1)(1)βαγ-=--，即22()ββαγαγ-=-+．若2βαγ=，即2p mr =时，则2αγβ+=，所以αβγ==，矛盾； 若2βαγ>，则22()0βαγβαγ-+=->，所以1()12βαγ>+>，所以[][]2221(2)()()()()()024αγββαγαγαγαγαγαγ+---+>-+--+=->， 矛盾．所以2βαγ<，即2p mr <．20． (1) 由题意知曲线()y f x =过点(1,0)，且'(1)e f =；又因为222'()ln e xa f x a xb xx+=-++⎛⎫ ⎪⎝⎭，则有(1)e(2)0,'(1)e()e,f b f a b =+==+=⎧⎨⎩解得3,2a b ==-.(2) ①当2a =-时，函数()y f x =的导函数22'()e 2ln 0xf x x b x =--+=⎛⎫ ⎪⎝⎭，若'()0f x =时，得222ln b x x=+， 设22()2ln g x x x=+(0)x > . 由2332424'()x g x x x x -=-=0=，得x =1ln 2g =+.当0x <<时，'()0g x <，函数()y g x =在区间上为减函数，()(1ln 2,)g x ∈++∞；仅当1ln 2b >+时，()b g x =有两个不同的解，设为1x ，2x 12()x x <.此时，函数()y f x =既有极大值，又有极小值.②由题意2e ln x a x b xkx ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭对一切正实数x 恒成立，取1x =得(2)e k b ≤+.下证2e ln e (2)x a x b xb x ++⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭对一切正实数x 恒成立.首先，证明e e xx ≥. 设函数()e e xu x x =-，则'()e e xu x =-，当1x >时，'()0u x >； 当1x <时，'()0u x <；得e e (1)0xx u -=≥，即e e xx ≥，当且仅当都在1x =处取到等号.再证1ln 1x x +≥. 设1()ln 1v x x x =+-，则21'()x v x x-=，当1x >时，'()0v x >；当1x <时，'()0v x <；得()(1)0v x v =≥，即1ln 1x x+≥，当且仅当都在1x =处取到等号. 由上可得2e ln (2)e x a x b xb x ++⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，所以min()(2)e f x b x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，即实数k 的最大值为(2)e b +.数学Ⅱ（附加题）21． A. 连结PQ ，因为四边形ACQP 是1O 的内接四边形， 所以A PQD ∠=∠，又在2O 中，PBD PQD ∠=∠，所以A PBD ∠=∠， 所以AC ∥BD ．B ．（1） 设1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则12234A ==-， 1213122A --⎛⎫⎪∴= ⎪-⎝⎭， 21582131461122M -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪∴== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭． (2）11112x x x x x M M y y y y y -'''-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∴== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪'''-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即,2,x x y y x y ''=-⎧⎨''=-+⎩ 代入22221x xy y ++=可得()()()()2222221x y x y x y x y ''''''''-+--++-+=，即22451x x y y ''''-+=，故曲线C '的方程为22451x xy y -+=．C. (1)曲线1C ：22(1)2x y ++=，极坐标方程为22cos 10ρθ+-= 曲线2C 的直角坐标方程为1y x =-； (2) 曲线1C 与曲线2C 的公共点的坐标为(0,1)-，极坐标为3(1,)2π． D. 因为0x >，0y >，0z >，所以1233x y z ++，2463y x z ++， 所以1239()()2462yx z x y z ++++≥．当且仅当::1:2:3x y z =时，等号成立．22．（1）从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有37=35C种取法．其中X =ABF ， 这类三角形共有6个．因此(376635P X C ==．（2）由题意，X 2，其中X =ABF ，这类三角形共有6个；其中2X =的三角形有两类，如△PAD (3个)，△PAB (6个)，共有9个；其中X =PBD ，这类三角形共有6个；其中X =CDF ，这类三角形共有12个；其中X =的三角形如△BDF ，这类三角形共有2个．因此(635P X ==，()9235P X ==， (635P X ==，(1235P X ==，(235P X ==． 所以随机变量X 的概率分布列为：所求数学期望()E X 69612223535353535+⨯++． 23． (1)①当n ＝2时，a 2＝2，不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2)时不等式成立，即a k ≥2，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝(1＋1k (k ＋1))a k ＋12k ＞2．所以，当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 根据①，②可知，对所有n ≥2，a n ≥2成立．(2)当n ≥2时，由递推公式及(1)的结论有a n ＋1＝(1＋1n 2＋n )a n ＋12n ≤(1＋1n 2＋n ＋12n ＋1)a n (n ≥2)．两边取对数，并利用已知不等式ln(1＋x )＜x ，得 ln a n ＋1≤ln(1＋1n 2＋n ＋12n ＋1)＋ln a n ＜ln a n ＋1n 2＋n ＋12n ＋1，故 ln a n ＋1－ln a n ＜1n 2＋n ＋12n ＋1(n ≥2)，求和可得ln a n －ln a 2＜12⨯3＋1 3⨯4＋…＋1 (n －1)n＋123＋124＋ (12)＝(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1－1n )＋123·1－12n －21－12＝12－1n ＋122－12n ＜34． 由(1)知，a 2＝2，故有ln a n 2＜34，即a n ＜2e 34(n ≥2)， 而a 1＝1＜2e 34，所以对任意正整数n ，有a n ＜2e 34．。
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Y N
开始 输入S = 0
n < 2 S←S + n n←n – 1 输出
结束 (第6题)
2017年高考模拟试卷(10) 南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．
1. 设全集{2,1,0,1,2},{2,1,2}UA，则UAð ▲ .
2． 设aR，i是虚数单位，若1aii为纯虚数，则a ▲ ． 3． 在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小
长方形面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为__▲______. 4. 棱长均为2的正四棱锥的体积为 ▲ . 5． 已知m{1，0，1}，n{2，2}，若随机选取m，n，则直线10mxny上存在第二象限的 点的概率是 ▲ ．
6． 如图所示的流程图，当输入n的值为10时，则输出S的值为 ▲ ． 7． 已知正数a，b满足a2ab10，则8ab的最小值为 ▲ ． 8． 在平面直角坐标系xOy中，已知点A为双曲线224xy的左顶点， 点B和点C在双曲线的右支上，ABC是等边三角形，则ABC的 面积为 ▲ ．
9． 已知ABC中，角ABC,,的对边分别为abc,,，且22265tanacBacb， 则sinB的值是 ▲ ．
10．已知函数2()||2xfxx，xR，则2(2)(34)fxxfx的 解集是 ▲ ． 11．记等差数列{}na的前n项和为nS，已知13a，且数列nS也为等差数列，则
11a= ▲ ．
12．在平面直角坐标系xOy中，已知点(0)(0)Att，，(0)Bt，，点C满足8ACBC，且点C到 直线l：34240xy的最小距离为95，则实数t的值是 ▲ ．
13. 设函数1,21,13)(2xxxxxf，则满足2))((2))((afaff的a的取值范围为 ▲ ． 14. 已知函数2()()()(0)fxxaxbb，不等式()()fxmxfx对xR恒成立，则 2mab ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.
15．（本小题满分14分）在ABC中，三个内角分别为A,B,C，已知sin(A)2cosA6．
（1）若6cosC3，求证：230ac． （2）若(0,)3B，且4cos()5AB，求sinB．
16．（本小题满分14分）已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，60ABC，1,3DCAD．已知PB=PC. （1）若N为PA的中点，求证：DN∥平面PBC； （2）若M为BC的中点，求证：MN⊥BC．
17.(本小题满分14分）如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知 单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照． 半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是
6ECF,
点,EF在直径AB上，且6ABC．
（1）若13CE，求AE的长； （2）设ACE, 求该空地产生最大经济价值时 种植甲种水果的面积．
.
NDC
BA
Px
y O B A C D P （第18题） 18．(本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：22221(0)yxabab的离心 率为22，点12 33A，在椭圆E上，射线AO与椭圆E的另一交点为B，点(4)Ptt，在椭圆E内 部，射线AP，BP与椭圆E的另一交点分别为C，D． （1）求椭圆E的方程；
（2）求证：直线CD的斜率为定值．
19．(本小题满分16分）设Ra，函数axxxfln)(． （１）求)(xf的单调递增区间； （２）设，axaxxfx2)()(F问)(Fx是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在， 请说明理由； （３）设),(B),(A2211yxyx，是函数axxfxg)()(图象上任意不同的两点，线段AB 的中点为，),(C00yx直线AB的斜率为k．证明：)(0xgk．
20．(本小题满分16分）已知数列{}na的各项均为正数，且对任意不小于2的正整数n，都有 123aaa1nnaka21nta（k，t为常数）成立．
（1）若12k，14t，问：数列{}na是否为等差数列？并说明理由； （2）若数列{}na是等比数列，求证：t0，且0k．
第II卷（附加题，共40分） 21.【选做题】本题包括A, B,C,D四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的．．．．．
答题区域内作答．．．．．．．.
A.（选修4-1；几何证明选讲）如图,∠PAQ是直角,圆O与射线AP相切于点T,与射线 AQ相交于两点BC、．求证：BT平分∠OBA．
B．（选修4-2：矩阵与变换）在平面直角坐标系xOy中，设点P(x，3)在矩阵M1234对应的变换 下得到点Q(y4，y +2)，求2xyM．
C．（选修4-4：坐标系与参数方程）已知直线l：cossinxtmyt（t为参数）恒经过椭圆C：sin3cos5yx
（为参数）的右焦点F．
（1）求m的值； （2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求FAFB的最大值与最小值．
D．（选修4-5：不等式选讲）已知 abc，，均为正数，且a＋2b＋3c＝9．求证：14a＋118b＋1108c≥19． 【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分. 22．一个袋中装有黑球，白球和红球共n(n∈N*)个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中
任意摸出1个球，得到黑球的概率是25．现从袋中任意摸出2个球．
（1）若n＝15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是47，设ξ表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ； （2）当n取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少？
23．设集合{1,0,1}M，集合123{(,,)|,1,2,,}nniAxxxxxMin，，，集合nA
中满足 条件 “121||||||nxxxm”的元素个数记为nmS． （1）求22S和42S的值； （2）当mn时，求证：nmS111322nmn． 2017年高考模拟试卷(10)参考答案 一、填空题 1.{1,0} 2.1 3.32． 4. 423．
5．23. m、n的取法共有3×2＝6种，即共有6条直线，其中当m＝0，n＝2和m＝－1，n＝2， 直线10mxny恰好不经过第二象限，所有经过第二象限的直线有4条，所以P＝23．
6.54．
7.6. 8.123 ．9. 35.
10．（1,2）. 10()4102xfxxx，由2220234xxxxx得111． 63 .可设2,nSAnBnanb平方比较系数得，B=b=0,故知nSAn，结合113Sa，所以23nSn，则11111063aSS.
12.1. 设() Cxy，，则2228ACBCxyt，所以点C的轨迹为以原点为圆心，28t 为半径的圆，故圆心到直线的距离2249855dt，解得1t（负舍）. 13. }2132|{aaa或 . 设tfa，所以2))((2))((afaff化为22ftt由函数式得23121ttt或22221ttt，所以12t或1t，即12fa或1fa
12a或23a，因此a的取值范围为}2132
|{aaa或.
14．23. 2()()()[(31)(2)]0mxfxfxxbmxabmambxab，可知13m，进而()[(2)3]0xbabxab，由于0b得a=b，所以2mab2/3 .
二、解答题 15． 因为sin(A)2cosA6，得31sinAcosA2cosA22，
n 10 9 8 7 6 5 4 3 2 S 10 19 27 34 40 45 49 52 54 即sinA3cosA，因为A0,，且cosA0， 所以tanA3，所以A3. （1）因为22sinCcosC1，6cosC3，C0,，所以3sinC3
由正弦定理知acsinAsinC，即332233asinAcsinC，即230ac （2）因为(0,)3B，所以033ABB,， 因为22sin()cos()1ABAB，所以3sin()5AB， 所以433sinsinsincos()cossin()10BAABAABAAB. 16．（1）取PB的中点E，连接NE，CE， 因为ABCD是直角梯形，AB∥DC，60ABC，
1,3DCAD， 易得AC =CB= AB=2， 又因E为PB的中点，N为PA的中点， 所以NE∥CD且NE=CD 所以四边形CDNE是平行四边形 所以DN∥CE； 又CE平面PBC，DN平面PBC… 所以DN∥平面PBC （2）连接AM，PM． 因为PB=PC，M为BC的中点 所以PM⊥BC， 因为AC =AB，M为BC的中点 所以AM⊥BC， 又因为AMPMM， ,AMPM平面PAM， 所以BC⊥平面PAM． 因为NM平面PAM， 所以MN⊥BC．
MNDC
BA
P
jEN
P
DC
BA