高等数学CII期末试题D答案与评分标准
数学高数期末试题及答案
数学高数期末试题及答案第一部分：选择题1. 设函数 $f(x) = e^x + \ln x$，则 $f'(1) =$ ( )A. $e$B. $e+1$C. $1$D. $0$2. 设二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(1,2)$ 处可微，则 $\frac{\partialz}{\partial x}$ 在该点的值为 ( )A. $f_x(1,2)$B. $f_y(1,2)$C. $0$D. $f(1,2)$3. 设平面$2x+y+z=2$，直线$L$ 过点$(1,1,1)$，且与该平面平行，则直线 $L$ 的方程为 ( )A. $x=y=z$B. $2x+y+z=4$C. $x=y=z=1$D. $x+y+z=3$第二部分: 简答题1. 解释什么是极限？极限是一个函数在某一点或者无穷远处的值或趋近于的值。
对于一个给定的函数，当自变量趋近某一特定值时，函数的值也会趋近于某个特定的值。
2. 什么是导数？导数是函数在某一点的切线斜率。
在数学中，导数表示函数在给定点的变化率。
第三部分: 解答题1. 计算函数 $f(x) = \sin(x) - \cos(x)$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上的最大值和最小值。
首先，我们求解导数 $f'(x)$，然后令其等于零，解得$x=\frac{\pi}{4}$。
此时，我们可以计算得到 $f(\frac{\pi}{4}) =\sqrt{2}-1$。
另外，我们可以计算 $f(0) = 1$ 和 $f(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}-1$。
所以，函数 $f(x)$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上的最大值为 $1$，最小值为 $\sqrt{2}-1$。
2. 计算二重积分 $\iint_D x^2 y \,dA$，其中 $D$ 是由直线 $x=0$，$y=0$ 和 $x+y=1$ 所围成的区域。
高等数学期末试题(含答案)
高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。
选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。
3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。
4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。
5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。
二。
填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。
2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。
3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。
4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。
西南交通大学2012~2013学年第二学期《高等数学CII》半期试题解答(20130503)
西南交通大学2012－2013 学年第(2)学期期中考试试卷解答课程代码 2100348_ 课程名称 高等数学CII 考试时间 120分钟一、选择题：8个小题，每小题3分，共24分。
1.已知2a = ，3b = ，(,)6a b π= ，则以向量 ()a b - 和向量 (2)a b +为邻边所作的平行四边形的面积为【 C 】（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）11 解：由题意，得所求平行四边形的面积为()(2)(2)(2)0+2()0a b a b a a a b b a b b a b a b -⨯+⨯+⨯-⨯-⨯+⨯⨯- 向量积的反交换律向量积的分配律和结合律3()33sin(,)323sin 96a b a b a b a b π=⨯=⨯=∙∙∙= 向量积的模的定义，故应选（C ）。
2.以点(1,0,0),(0,4,0),(0,0,3),(1,2,3)A B C D 为顶点的四面体ABCD 的体积为【 C 】 （A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）6解法一：利用混合积的绝对值的几何意义。
由题意，得所求四面体ABCD 的体积为（以同一个顶点为起点的三个向量的混合积的绝对值的六分之一）140111()103(06)4(30)3666023AB AC AD -⨯=------= 行列式按第一行展开，故应选（C ）。
解法二：也可利用四面体的体积等于底面积乘以第四个顶点到底面的高的三分之一来计算。
由条件，可知三点(1,0,0),(0,4,0),(0,0,3)A B C 分别是三个坐标轴上的点，故此三点确定的平面的方程为1143x y z++=，即1234120x y z ++-=，则点(1,2,3)D到该平面的距离为 1813d ==又ABC ∆的面积为111113(1,4,0)(1,0,3)140(12,3,4)22222103ABCi j kS AB AC ∆=⨯=-⨯-=-===- ， 所以四面体ABCD 的体积为 111318333213ABC S d ∆== ，故应选（C ）。
高等数学期末试卷及答案
高等数学期末试卷及答案一、填空题（每小题3分，共18分）1.[3分]设)arctan(y x z +=，则y z '=___________； 2. [3分]交换二次积分⎰⎰⎰⎰+121212212),(),(yydxy x f dy dx y x f dy 的积分顺序为 ； 3. [3分]已知∑∞=1!2n nn n n 收敛,则=∞→n n n n n !2lim ;4. [3分]设L 是从A(1,0)到B(-1,2)的直线段,则()x y dsL+⎰=_____________;5. [3分]设),(y x f 为连续函数, 且(1,1)6f =, 则有2222(1)(1)1lim(,)x y f x y dxdy ρρπρ→-+-≤=⎰⎰__________；6. [3分]微分方程dydx x y =-()3的通解是_________________。
二、试解下列各题（本题共3小题，每小题6分，共18分）1．[6分] 设222(,,)x yzu f x y z e ++==, 而2sin z x y =.求ux ∂∂和 u y ∂∂； 2. [6分] 求函数2yz xe =在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2,-1)的方向的方向导数；3. [6分] 计算⎰⎰=D xyd I σ其中D 是由抛物线x y =2及直线2-=x y 所围成的闭区域。
三、试解下列各题（本题共3小题，每小题6分，共18分）1．[6分] 求微分方程25)1(12+=+x x y dx dy －的通解；2．[6分] 将函数()1,(0)f x x x π=-≤≤展开成余弦级数；3．[6分]计算曲面积分⎰⎰∑=z dSI , 其中∑是球面2222a z y x =++被平面h z =)0(a h <<截出的顶部。
四、[本题8分]求函数z y x u 22+-=在条件x y z 2221++=下的极值。
高等数学试题(参考答案与评分标准)
n n
( 1 , …1 )……………………… 3
又 x 1 处级数发散，所以收敛域为 (1,1) .....…………………………………….1
（2）在 (1,1)
内
S ( x)
n1
xn
x 1 x
1 (1 x)2
..................................…… 4
2014—2015 学年第二学期高等数学 I 参考答案与评分标准
一、 单项选择题
【参考答案】
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
C
A
A
B
B
D
【评分标准】每小题选对得 3 分,错选、不选或多选均不得分，满分 24 分
二、 填空题
【参考答案】
题号
9
10
11
12
13
答案 z x2 y2
2
z x2 2y 8
所以对应齐次方程的通解为 Y C1 ex C2 e6x ………………………… 2 自由项中 2 不是对应齐次方程的特征根，所以设原方程的特解为
y* Ae2x …………………… 2
代入原方程中解得 A 1 ……………………………………1 8
所以所求通解为
y
C1
ex
C2
解 这里 P x(y z 1),Q y(z x 1), R z(x y 1) 具有连续的偏导数且
第1页共2页
P Q R 3 ……………… 2 x y z
由 Guass 公式可知
高数期末考试题及答案
高数期末考试题及答案1. 单选题：1) 高数是一门基础学科。
2) 导数的几何意义是函数在某一点的斜率。
3) 定积分是求曲线下某一段的面积。
4) 曲线的凸性由函数的二阶导数决定。
答案：ABCD2. 多选题：1) 函数y = √x在x = 0处不可导的原因有：a) 函数不连续；b) 函数在x = 0处有间断点；c) 函数在x = 0处的左、右导数不等；d) 函数在x = 0处的导数不存在。
2) 函数y = e^x在区间(-∞, +∞)上是增函数的条件是：a) 函数在该区间内连续；b) 函数在该区间内为正；c) 函数的导数在该区间内恒大于0；d) 函数的导数在该区间内恒小于0。
答案：1) CD；2) C3. 简答题：请详细解释导数的定义，并给出一个实际例子。
解答：导数的定义是一个函数在某一点处的变化率或斜率。
数学上，对函数y = f(x)求导数，表示为f'(x)或dy/dx。
导数可以用于描述曲线的斜率，也可用于求函数的最大值、最小值等。
例如，一个移动的物体的位置随时间的变化可以用函数s(t)表示。
速度是位置对时间的导数，即v(t) = ds(t)/dt。
假设某物体的位置函数为s(t) = 2t^3 + t^2 - 3t + 1，则速度函数为v(t) = 6t^2 + 2t - 3。
4. 计算题：计算下列定积分：1) ∫(x - 2) dx，积分区间为[-1, 3]。
2) ∫(2e^x + 3x^2) dx，积分区间为[0, 2]。
3) ∫(2cos(x) - e^x) dx，积分区间为[0, π]。
解答：1) ∫(x - 2) dx = (1/2)x^2 - 2x + C （C为常数）在积分区间[-1, 3]上计算，得到：∫[-1, 3](x - 2) dx = [(1/2)(3)^2 - 2(3)] - [(1/2)(-1)^2 - 2(-1)]= (9/2 - 6) - (1/2 + 2)= -11/22) ∫(2e^x + 3x^2) dx = 2∫e^x dx + 3∫x^2 dx= 2e^x + x^3 + C （C为常数）在积分区间[0, 2]上计算，得到：∫[0, 2](2e^x + 3x^2) dx = [2e^2 + 2^3] - [2e^0 + 0^3]= 2e^2 + 8 - 2 - 1= 2e^2 + 53) ∫(2cos(x) - e^x) dx = 2∫cos(x) dx - ∫e^x dx= 2sin(x) - e^x + C （C为常数）在积分区间[0, π]上计算，得到：∫[0, π](2cos(x) - e^x) dx = [2sin(π) - e^π] - [2sin(0) - e^0]= 0 - 1 - 0 + 1= 0以上就是高数期末考试题及答案，希望对你的学习有所帮助。
高数下期末考试试题和答案解析
2017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A ）注意：1、本试卷共 3 页；2、考试时间110分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中．1．已知a 与b都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（ ）. (A)-=0a b (B)+=0a b (C)0⋅=a b (D)⨯=0a b 2.极限2222001lim()sinx y x y x y →→+=+( ).(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在 3．下列函数中，d f f =∆的是( ).（A ）(,)f x y xy = （B ）00(,),fx y x y c c =++为实数（C ）(,)f x y =（D ）(,)e x y f x y +=4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( ).（A ）驻点与极值点 （B ）驻点，非极值点 （C ）极值点，非驻点 （D ）非驻点，非极值点 5．设平面区域22:(1)(1)2D x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+=⎰⎰，2DI σ=，3DI σ=，则有（ ）.（A ）123I I I << （B ）123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I <<6．设椭圆L ：13422=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=⎰（ ）. (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 127．设级数∑∞=1n na为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ ）.(A)该级数收敛 (B)该级数发散(C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛 8.下列四个命题中，正确的命题是（ ）. （A ）若级数1nn a∞=∑发散，则级数21nn a∞=∑也发散 （B ）若级数21nn a∞=∑发散，则级数1nn a ∞=∑也发散 （C ）若级数21nn a∞=∑收敛，则级数1nn a∞=∑也收敛（D ）若级数1||nn a∞=∑收敛，则级数21n n a ∞=∑也收敛二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)．1.直线3426030x y z x y z a -+-=⎧⎨+-+=⎩与z 轴相交，则常数a 为 .2．设(,)ln(),y f x y x x=+则(1,0)y f '=______ _____.3．函数(,)f x y x y =+在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 .4．设22:2D x y x +≤，二重积分()d Dx y σ-⎰⎰= .5．设()f x 是连续函数，22{(,,)|09}x y z z x y Ω=≤≤--，22()d f x y v Ω+⎰⎰⎰在柱面坐标系下的三次积分为 . 6.幂级数11(1)!nn n x n ∞-=-∑的收敛域是 . 7.将函数21,0()1,0x f x x x ππ--<≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩以2π为周期延拓后，其傅里叶级数在点x π=处收敛于 .三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………三、综合解答题一（5个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 1．设(,)x u xf x y =，其中f 有连续的一阶偏导数，求ux∂∂，u y ∂∂．解： 2．求曲面e 3z z xy ++=在点(2,1,0)处的切平面方程及法线方程． 解：3.交换积分次序，并计算二次积分0sin d d xyx y yππ⎰⎰． 解：4．设Ω是由曲面1,,===x x y xy z 及0=z 所围成的空间闭区域，求23d d d I xy z x y z Ω=⎰⎰⎰. 解：5．求幂级数11n n nx∞-=∑的和函数()S x ，并求级数12nn n ∞=∑的和． 解：三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………四、综合解答题二（5个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.从斜边长为1的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形． 解2．计算积分22()d Lx y s +⎰，其中L 为圆周22x y ax += (0a >)．解：3．利用格林公式，计算曲线积分22()d (2)d LI xy x x xy y =+++⎰，其中L 是由抛物线2y x =和2x y =所围成的区域D 的正向边界曲线．4． 计算d x S ∑⎰⎰，∑为平面1=++z y x 在第一卦限部分.解：5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分d d d d d d x y y z z x S++蝌，其中∑为圆锥面222z x y =+介于平面0z =及1z =之间的部分的下侧. 解：三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………2y x =2x y =y2017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷(A)答案及评分标准一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）1．已知a 与b 都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（D ） (A)-=0a b ； (B)+=0a b ； (C)0⋅=a b ； (D)⨯=0a b ．2.极限2222001lim()sin x y x y x y→→+=+ ( A ) (A) 0； (B) 1； (C) 2； (D)不存在. 3．下列函数中，d f f =∆的是( B )；（A ） (,)f x y xy =； （B ）00(,),f x y x y c c =++为实数；（C ）(,)f x y =（D ）(,)e x yf x y +=.4．函数(,))f x y y ，原点(0,0)是(,)f x y 的( B ).（A ）驻点与极值点； （B ）驻点，非极值点； （C ）极值点，非驻点； （D ）非驻点，非极值点.5．设平面区域D ：22(1)(1)2x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+=⎰⎰，2DI σ=，3DI σ=，则有（ A ） （A ）123I I I <<； （B ）123I I I >>； （C ）213I I I <<； （D ）312I I I <<．6．设椭圆L ：13422=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=⎰（D ） (A) l ； (B) l 3； (C) l 4； (D) l 12．7．设级数∑∞=1n na为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ C ）(A)该级数收敛； (B)该级数发散；(C)该级数可能收敛也可能发散； (D) 该级数绝对收敛． 8.下列四个命题中，正确的命题是（ D ） （A ）若级数1nn a∞=∑发散，则级数21nn a∞=∑也发散； （B ）若级数21nn a∞=∑发散，则级数1nn a∞=∑也发散； （C ）若级数21nn a∞=∑收敛，则级数1nn a∞=∑也收敛；（D ）若级数1||nn a∞=∑收敛，则级数21n n a ∞=∑也收敛．二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)．1.直线3426030x y z x y z a -+-=⎧⎨+-+=⎩与z 轴相交，则常数a 为 3 。
高数下期末考试题及答案
高数下期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x) = 3x^2 + 2x - 5在x=1处的导数是：A. 8B. 6C. 4D. 2答案：B2. 若曲线y = x^3 - 2x^2 + x - 6在点(1, -6)处的切线斜率为-1，则该曲线在该点的切线方程是：A. y = -x - 5B. y = x - 5C. y = -x + 5D. y = x + 5答案：A3. 定积分∫[0,1] x^2 dx的值是：A. 1/6B. 1/3C. 1/2D. 2/3答案：B4. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的原函数F(x)是：A. -cos(x) + sin(x) + CB. -sin(x) + cos(x) + CC. sin(x) - cos(x) + CD. cos(x) + sin(x) + C答案：D5. 微分方程dy/dx + y = x^2的解是：A. y = (1/2)x^3 + CB. y = x^3 + CC. y = (1/3)x^3 + CD. y = x^2 + C答案：C6. 函数f(x) = e^x - x^2的极小值点是：A. x = 0B. x = 1C. x = -1D. x = 2答案：A7. 曲线y = ln(x)在x=1处的切线斜率是：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B8. 定积分∫[1,e] e^x dx的值是：A. e^e - eB. e - 1C. e^e - 1D. e^e答案：C9. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的单调增区间是：A. (-∞, 1)B. (1, 2)C. (2, +∞)D. (-∞, 2)答案：C10. 函数f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1的拐点是：A. x = 0B. x = 1C. x = 2D. x = 3答案：B二、填空题（每题2分，共20分）1. 若f(x) = x^3 - 5x^2 + 4x + 6，则f'(2) = ______。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
东莞理工学院（本科）试卷（D 卷）2016 --2017 学年第二学期《高等数学C （Ⅱ）》试题答案与评分标准开课单位：计算机与网络安全学院，系：数学与数据科学系一、选择题（每题2分，共20分）1、二元函数) ,(y x f 在) ,(00y x 处可导是可微的) ( D(A) 充分不必要条件(B)必要不充分件 (C)充要条件 (D)无关条件2、设向量)1 ,2 ,1(-=a，)1 ,1 ,2(-=b ，则向量b a ,的夹角为) (B(A)65π(B)32π (C)3π(D)3π-3、下列方程的曲面为双曲抛物面的是) ( D(A)1222222=-+c z b y a x(B) 1222222=--cz b y a x(C)z by a x =+2222(D) z by a x =-22224、已知1)(1),(lim222)0,0(),(=+-→y x y x f y x ，则)0 ,0(是),(y x f 的) (B(A)极大值点(B)极小值点 (C)无法确定(D)非极值点5、设曲面1∑：1222=++z y x ，0≥x ，曲面2∑：1222=++z y x ，0≥x 0≥y 0≥z ， 则) (A(A) ⎰⎰⎰⎰∑∑=124xdS xdS(B) ⎰⎰⎰⎰∑∑=124ydS ydS(C)⎰⎰⎰⎰∑∑=124zdS zdS(D)⎰⎰⎰⎰∑∑=124xyzdS xyzdS6、设区域D 为单位圆面，则⎰⎰--Ddxdy y x )1)(1(等于) (A(A) π (B)2π(C)π2 (D)0 7、下列表达式是某个函数的全微分的是) (D(A) xydy xdx + (B) ydy x xydx 22+ (C) dy xy xdx 22+ (D) dy x xydx 22+8、设∑为封闭曲面，方向朝外侧，∑所围几何体的体积为1，x P ∂∂+y Q ∂∂+zR∂∂0=，则 dxdy z R dzdx y Q dydz x P I ⎰⎰∑+++++=)()()(等于) (D(A) 0 (B)1 (C)2 (D)39、下列级数中发散的是) ( A(A)∑∞=32ln1n n(B) ∑∞=-1)1(n n n (C)∑∞=+-11)1(n nn(D)∑∞=12)(sin n nnx 10、满足下述何条件,级数∑∞=1n nu一定收敛) (D(A)∑=nk ku1有界(B)0lim =∞→n n u (C)11<+n n u u (D)∑∞=1||n n u 收敛 二、填空题（每题3分，共301、已知向量k j i ⋅-+=2α，则α与坐标轴z 轴正半轴的夹角=γ43π2、)ln(2122y x z +=.则22x z ∂∂+22yz ∂∂=0 3、曲面z y x =+222在点) 3 ,1 ,1 ( P 处的切平面的方程为0942=-++z y x4、已知z y x z y x f 32),,(++=，则),,(z y x f 在) 1 ,1,1 ( P 处方向导数的最大 值为145、设∑为曲面1222=++z y x ，则关于面积的曲面积分=+++⎰⎰∑dS z y x xy )(222π4 6、交换积分⎰⎰=112dy e dx I xy 的次序，可计算得=I )1(21-e 7、已知xOy 平面上)2 ,1(A ，)4 ,2(B ，L 为有向线段AB （起点A ，终点B ），则关于坐标的曲线积分⎰+Lydy xdx =2158、设∑是曲面)10( 22≤≤+=z y x z 的下侧，则关于坐标的曲面积分⎰⎰∑=dxdy π-9、设3<x ，则)3ln(x +展成x 的幂级数为∑∞=-⋅-+113)1(3ln n nnn n x 10、设nx a x n n cos 0∑∞==)(ππ≤≤-x ，则=1a π4-三、计算题（每小题5分，共40分）1、已知直线l 的一般方程为⎩⎨⎧=-+-=-++02204z y x z y x ，求经过原点和l 垂直的平面方程.解：所求平面的法向量就是直线l 的方向向量，=n)2 ,1 ,1()1 ,1 ,1(-⨯=211111-kji =k j i23--， ………………3分 因为平面过原点，所平面的方程为023=--z y x ………………5分2、已知1=-+yz xy e z确定隐函),(y x z z =，求：x z ∂∂与yz ∂∂ 解：令1)(--+=yz xy e x F z ，则y F x =，z x F y -=，y e F zz -=………………2分x z∂∂zx F F -=y e y z --=， ………………4分y z∂∂z y F F -=ye x z z--= ………………5分 3、计算二重积分dxdy y I D⎰⎰=，其中D 是由直线x y =，直线2=+y x 以及x 轴围成的闭区域.解：D （y 型区域）⎩⎨⎧-≤≤≤≤y x y y 210， ………………1分⎰⎰Dydxdy ⎰⎰-=yyydx dy 21………………2分⎰-=1 0 )22(ydy y ⎰-=1 0 2)(2dy y y 31=………………5分4、计算⎰⎰D xdxdy ，其中D 为)0( 1)1(22≥=-+x y x 所围区域.解：D （极坐标）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤θρπθsin 20 20 ………………1分 ⎰⎰Dxdxdy ⎰⎰⋅=θπρρθρθsin 2020c d os d ………………2分⎰⎰=θπρρθθsin 20220cos d d θθθπd cos sin 38203⎰= ………………3分)(sin sin 38203θθπd ⎰==θ4sin 3202π=32 ………………5分5、计算对面积的曲面积分⎰⎰∑=zdS I ，其中∑为圆柱},1),,{(22R z y xz y x ∈≤+被平面122=++z y x 所截部分.解：设∑在xoy 平面的投影区域=D }1),{(22≤+y x y x , ………………1分曲面∑：y x z 221--=，3)()(122=∂∂+∂∂+yz x z ………………2分 ⎰⎰∑=zdS I =⎰⎰∂∂+∂∂+Ddxdy yz x z z 22)()(1 ………………3分 =⎰⎰⋅--Ddxdy y x 3)221(⎰⎰=Ddxdy 3-⎰⎰+Ddxdy y x )(6⎰⎰=Ddxdy 3 ………………4分π3= ………………5分6、计算xydy dx y 22)3 ,2()1 ,1(+⎰解：2y P =，xy Q 2=，因为yPx Q ∂∂=∂∂y 2=，所以积分与路径无关。
………………1分记)1 ,1(A 、)3 ,2(B 、)1,2(C ，选择积分路径B C A →→,则 xydy dx y 22)3 ,2()1 ,1(+⎰=xydy dx y AC22+⎰+xydy dx y CB22+⎰………………2分⎰=211 dx ⎰+314ydy ………………3分=1716113212=+=+y ………………5分7、设∑是锥面22y x z +=)10(≤≤z 与平面0=z 所围区域的曲面，方向朝外侧。
计算曲面积分⎰⎰∑++=zdxdy ydzdx xdydz I 32解： 设∑所围空间区域为Ω，它是一个底面半径为1，高为1的圆锥. ………………1分 ⎰⎰∑++=zdxdy ydzdx xdydz I 32dxdydz zR y Q x P )(∂∂+∂∂+∂∂=⎰⎰⎰Ω………………2分 dxdydz 6⎰⎰⎰Ω=V 6= ………………4分ππ211362=⋅⋅⋅= ………………5分8、求幂级数∑∞=++-01212)1(n n n n x 的和函数，指出收敛域，据此计算出级数∑∞=+-012)1(n nn 的和.解：令∑∞=++-=01212)1()(n n n n x x s ，则∑∞=++'-='01212)()1()(n n n n x x s =n n n x 20)1(∑∞=-211x += ………………1分⎰+=dx x x s 211)(C x +=arctan ，因为0)0(=s ，所以0=C 所以∑∞=++-01212)1(n n n n x x arctan =， ………………3分收敛域]1,1[- ………………4分令1=x ，得∑∞=+-012)1(n n n 41arctan π== ………………5分 四、应用题（每小题5分，共5分）一个平底锅在),(y x 处的温度y y x y x f 2100),(22+--=，现有一只蚂蚁在热锅的位置坐标为)2 ,1(，蚂蚁想高效从温度高的地方逃走，请确定此刻蚂蚁逃离高温效率最高的方向向量。
解：蚂蚁逃离高温效率最高的方向就是蚂蚁在点)2 ,1(处的梯度方向的反方向，………………2分 y y x y x f 2100),(22+--=在),(y x 处的梯度j y i x gradf⋅+-+⋅-=)22(2，………………3分所以j i gradf22)2 ,1(--= ………………4分所以蚂蚁在)2 ,1(处逃离高温效率最高的方向向量=lj i gradf22)2 ,1(+=-. ………………5分五、证明题（每小题5分，共5分）证明：概率积分=I 1 2122=-∞+∞-⎰dx ex π（提示：=2I ⋅-∞+∞-⎰dx ex 2221πdy ey 22 -∞+∞-⎰，再利用极坐标积分）证明：令=I dx ex ⎰∞+∞--2221π，则=2I dx ex ⎰∞+∞--2221π⋅dy ey ⎰∞+∞--2221π………………1分d x d yeR y x ⎰⎰+-=222221πρρθπρπd ed 2200221-∞+⎰⎰= ………………3分1= ………………4分因为0>I ，所以=I dx ex ⎰∞+∞--2221π1= ………………5分。