2016-2017学年江西省赣州市南康中学高一(下)第一次月考数学试卷(理科)

2016-2017学年江西省赣州市南康中学高一（下）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知A={y|y＞1}，B={x|lnx≥0}，则A∩B=（）A．{x|x≥1}B．{x|x＞1}C．{x|0＜x＜1}D．∅2．（5分）已知平面向量，且，则t=（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣33．（5分）要得到函数y=2cos（2x﹣）的图象，只需将函数y=2cos2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位4．（5分）如果sinx+cosx=，且0＜x＜π，那么tanx的值是（）A．﹣ B．﹣或﹣C．﹣ D．或﹣5．（5分）已知数列{a n}是等差数列，a3=8，a4=4，则前n项和S n中最大的是（）A．S3B．S4或S5C．S5或S6D．S66．（5分）已知函数f （x）是定义在闭区间[﹣a，a]（a＞0）上的奇函数，F（x）=f （x）+1，则F（x）最大值与最小值之和为（）A．1 B．2 C．3 D．07．（5分）若α，β都是锐角，且，则cosβ=（）A．B．C．或D．或8．（5分）{a n}是等差数列，且a1+a4+a7=45，a2+a5+a8=39，则a3+a6+a9的值是（）A．24 B．27 C．30 D．339．（5分）设a=（sin17°+cos17°），b=2cos213°﹣1，c=．则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a10．（5分）已知P是边长为2的正△ABC的边BC上的动点，则（）A．最大值为8 B．是定值6 C．最小值为2 D．是定值211．（5分）已知S n是数列{a n}的前n项和，a1=1，a2=2，a3=3，数列{a n+a n+1+a n+2}是公差为2的等差数列，则S25=（）A．232 B．233 C．234 D．23512．（5分）已知函数，若f（sinα+sinβ+sinr﹣1）=﹣1，f（cosα+cosβ+cosr+1）=3，则cos（α﹣β）+cos（β﹣r）的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）化简2sin15°sin75°的值为．14．（5分）已知、均为单位向量，它们的夹角为，那么|+3|等于．15．（5分）已知﹣7，a1，a2，﹣1四个实数成等差数列，﹣4，b1，b2，b3，﹣1五个实数成等比数列，则=．16．（5分）设数列{a n}的通项公式，前n项和为S n，则S2012=．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知=（1，2），=（﹣3，2），当实数k为何值时，（Ⅰ）k+与﹣3垂直？（Ⅱ）k+与﹣3平行？平行时它们是同向还是反向？18．（12分）如图，是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽，它是由一连串直角三角形演化而成的，其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，它可以形成近似的等角螺线．记a n=|OA n|，n=1，2，3，…．（1）写出数列的前4项；（2）猜想数列{a n}的通项公式（不要求证明）；（3）若数列{b n}满足，试求数列{b n}的前n项和S n．19．（12分）已知函数g（x）=2sinx•cosx+2cos2x+m在区间[0，]的最大值为6（1）求常数m的值；（2）求函数y=g（﹣x）的递增区间．20．（12分）已知数列{a n}满足：a1=2，a n+1=2a n+1；（1）求证：数列{a n+1}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）求数列{a n}的前n项和．21．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω，0，|φ|＜π），在同一周期内，当x=时，f（x）取得最大值3；当x=π时，f（x）取得最小值﹣3．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若x∈[﹣，]时，函数h（x）=2f（x）+1﹣m有两个零点，求实数m的取值范围．22．（12分）已知整数列{a n}满足a3=﹣1，a7=4，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求出所有的正整数m，使得a m+a m+1+a m+2=a m a m+1a m+2．2016-2017学年江西省赣州市南康中学高一（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2017春•南康区校级月考）已知A={y|y＞1}，B={x|lnx≥0}，则A ∩B=（）A．{x|x≥1}B．{x|x＞1}C．{x|0＜x＜1}D．∅【解答】解：∵B={x|lnx≥0}={x|x≥1}又∵A={y|y＞1}，∴A∩B={x|x＞1}，故选B2．（5分）（2017春•南康区校级月考）已知平面向量，且，则t=（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【解答】解：∵平面向量，且，∴=3t﹣3=0，解得t=1．故选：B．3．（5分）（2017春•南康区校级月考）要得到函数y=2cos（2x﹣）的图象，只需将函数y=2cos2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：将函数y=2cos2x的图象向右平移个单位得到的函数解析式为：y=2cos[2（x﹣）]=2cos（2x﹣），故选：D．4．（5分）（2017春•南康区校级月考）如果sinx+cosx=，且0＜x＜π，那么tanx 的值是（）A．﹣ B．﹣或﹣C．﹣ D．或﹣【解答】解：sinx+cosx=，两边平方得，化为sinxcosx=﹣．∴，∴，解得tanx=，或．∵sinxcosx=﹣且0＜x＜π，∴，且|sinx|＞|cosx|，故tanx=．故选A．5．（5分）（2015秋•石景山区期末）已知数列{a n}是等差数列，a3=8，a4=4，则前n项和S n中最大的是（）A．S3B．S4或S5C．S5或S6D．S6【解答】解：∵{a n}是等差数列，a3=8，a4=4，∴，解得a1=16，d=﹣4．∴S n=16n+=﹣2n2+18n=﹣2（n﹣）2+．∴当n=4或n=5时，S n取最大值．故选B．6．（5分）（2012秋•黄冈期末）已知函数f （x）是定义在闭区间[﹣a，a]（a ＞0）上的奇函数，F（x）=f （x）+1，则F（x）最大值与最小值之和为（）A．1 B．2 C．3 D．0【解答】解：∵函数f （x）是定义在闭区间[﹣a，a]（a＞0）上的奇函数，则函数的最大值和最小值，分别为f（﹣A），f（A），又∵F（x）=f （x）+1，∴F（x）最大值与最小值分别为f（﹣A）+1，f（A）+1，∴F（x）最大值与最小值之和为2故选B7．（5分）（2015秋•石家庄校级期末）若α，β都是锐角，且，则cosβ=（）A．B．C．或D．或【解答】解：∵α，β都是锐角，且，∴cosα==，cos（α﹣β）==，则cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=+=，故选：A．8．（5分）（2012秋•思明区校级期中）{a n}是等差数列，且a1+a4+a7=45，a2+a5+a8=39，则a3+a6+a9的值是（）A．24 B．27 C．30 D．33【解答】解：设等差数列的公差为d，由a1+a4+a7=45①，a2+a5+a8=39②，②﹣①得：（a2﹣a1）+（a5﹣a4）+（a8﹣a7）=3d=39﹣45=﹣6，则（a3+a6+a9）﹣（a2+a5+a8）=（a3﹣a2）+（a6﹣a5）+（a9﹣a8）=3d=﹣6，所以a3+a6+a9=（a2+a5+a8）+3d=39﹣6=33故选D．9．（5分）（2011春•吉林校级期末）设a=（sin17°+cos17°），b=2cos213°﹣1，c=．则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a【解答】解：∵a=（sin17°+cos17°）=sin17°cos45°+cos17°sin45°=sin62°，b=2cos213°﹣1=cos26°=sin64°，c=sin60°=，再根据函数y=sinx在（0°，90°）上单调递增，∴b＞a＞c，故选：A．10．（5分）（2014•黄冈校级模拟）已知P是边长为2的正△ABC的边BC上的动点，则（）A．最大值为8 B．是定值6 C．最小值为2 D．是定值2【解答】解：设===t则=﹣=﹣，2=4=2•=2×2×cos60°=2=+=+t﹙﹣﹚=﹙1﹣t﹚+t +=+•﹙+﹚=﹙﹙1﹣t﹚+t ﹚•﹙+﹚=﹙1﹣t﹚2+[﹙1﹣t﹚+t]+t 2 =﹙1﹣t﹚×4+2+t×4=6故选B．11．（5分）（2017春•南康区校级月考）已知S n是数列{a n}的前n项和，a1=1，a2=2，a3=3，数列{a n+a n+1+a n+2}是公差为2的等差数列，则S25=（）A．232 B．233 C．234 D．235【解答】解：∵数列{a n+a n+1+a n+2}是公差为2的等差数列，∴a n﹣a n=（a n+1+a n+2+a n+3）﹣（a n+a n+1+a n+2）=2，+3∴a1，a4，a7，…是首项为1，公差为2的等差数列，a2，a5，a8，…是首项为2，公差为2的等差数列，a3，a6，a9，…是首项为3，公差为2的等差数列，∴S25=（a1+a4+a7+…+a25）+（a2+a5+a8+…+a23）+（a3+a6+a9+…+a24）=++=233，故选：B12．（5分）（2016秋•荆州区校级期末）已知函数，若f （sinα+sinβ+sinr﹣1）=﹣1，f（cosα+cosβ+cosr+1）=3，则cos（α﹣β）+cos（β﹣r）的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：由题意知，，∴x≥0时，x2+x+1≥1，x＜0时，2x+1＜1；∵f（sinα+sinβ+sinr﹣1）=﹣1，f（cosα+cosβ+cosr+1）=3，∴2（sinα+sinβ+sinr﹣1）+1=﹣1，即sinα+sinβ=﹣sinr；①（cosα+cosβ+sinr+1）2+（cosα+cosβ+cosr+1）+1=3，得cosα+cosβ+cosr+1=1，即cosα+cosβ=﹣cosr；②①2+②2得，2+2sinαsinβ+2cosαcosβ=1，∴cosαcosβ+sinαsinβ=，即cos（α﹣β）=，同理可求得，cos（β﹣r）=，∴cos（α﹣β）+cos（β﹣r）=﹣1，故选：C．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）（2015秋•石家庄校级期末）化简2sin15°sin75°的值为．【解答】解：2sin15°sin75°=2sin15°sin（90°﹣15°）=2sin15°cos15°=sin30°=．故答案为：．14．（5分）（2016秋•通渭县期末）已知、均为单位向量，它们的夹角为，那么|+3|等于．【解答】解：∵、均为单位向量，它们的夹角为，∴=1×1×cos=，∴|+3|====，故答案为：．15．（5分）（2011•新余校级一模）已知﹣7，a1，a2，﹣1四个实数成等差数列，﹣4，b1，b2，b3，﹣1五个实数成等比数列，则=﹣1．【解答】解：由题得，又因为b2是等比数列中的第三项，所以与第一项同号，即b2=﹣2∴=﹣1．故答案为：﹣1．16．（5分）（2016秋•梁园区校级期中）设数列{a n}的通项公式，前n项和为S n，则S2012=1006．=0．【解答】解：∵，∴n=2k﹣1（k∈N*），a2k﹣1n=2k时，a2k=2kcoskπ=2k×（﹣1）k．则S2012=a2+a4+…+a2012=﹣2+4﹣…+2012=2×503=1006．故答案为：1006．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）（2015秋•天津期末）已知=（1，2），=（﹣3，2），当实数k为何值时，（Ⅰ）k+与﹣3垂直？（Ⅱ）k+与﹣3平行？平行时它们是同向还是反向？【解答】解：，（1）∵，得．（2）∵，得，此时，所以方向相反．18．（12分）（2010秋•梅州期中）如图，是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽，它是由一连串直角三角形演化而成的，其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，它可以形成近似的等角螺线．记a n=|OA n|，n=1，2，3，…．（1）写出数列的前4项；（2）猜想数列{a n}的通项公式（不要求证明）；（3）若数列{b n}满足，试求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）数列{a n}中，由a n=|OA n|，得a1=|OA1|=1，a2=|OA2|==，a3=|OA3|==，a4=|OA4|==2；（2）由a1=1，a2=，a3=，a4=2=，可以猜想数列{a n}的通项公式为：a n=（其中n∈N*）；（3）在数列{b n}中，因为===，所以其前n项和为：S n=（）+（）+（）+…+（）=．19．（12分）（2017春•南康区校级月考）已知函数g（x）=2sinx•cosx+2cos2x+m 在区间[0，]的最大值为6（1）求常数m的值；（2）求函数y=g（﹣x）的递增区间．【解答】解：（1）函数g（x）=2sinx•co sx+2cos2x+m．化解可得：，∵，则，∴．∴，∴m=3．（2）由（1）可知g（x）=2sin（2x+）+4．则=，由，（k∈Z）解得：，∴增区间为．20．（12分）（2014春•惠城区校级期中）已知数列{a n}满足：a1=2，a n+1=2a n+1；（1）求证：数列{a n+1}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）求数列{a n}的前n项和．=2a n+1（n∈N*），∴a n+1+1=2（a n+1），【解答】（1）证明：∵a n+1∴{a n+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列；（2）解：由（1）知，a n+1=2n，∴a n=2n﹣1；（3）解：数列{a n}的前n项和为﹣n=2n+1﹣2﹣n．21．（12分）（2012秋•库尔勒市校级期末）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω，0，|φ|＜π），在同一周期内，当x=时，f（x）取得最大值3；当x=π时，f（x）取得最小值﹣3．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若x∈[﹣，]时，函数h（x）=2f（x）+1﹣m有两个零点，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω，0，|φ|＜π），在同一周期内，当x=时，f（x）取得最大值3；当x=π时，f（x）取得最小值﹣3．∴A=3==∴T=π∵ω=∴ω=2又∵函数在同一周期内，当x=时，f（x）取得最大值3．∴2×φ=（k∈Z）解得φ=2kπ+（k∈Z）又∵|φ|＜π∴φ=进一步求得：f（x）=3sin（2x+）（2）∵在x∈[﹣，]时，函数h（x）=2f（x）+1﹣m有两个零点∴h（x）=0有两个实数根，即函数图象有两个交点．∴sin（2x+）=在[﹣，]上有两个根∵x∈[﹣，]∴2x+∈[﹣，]∴结合函数图象，有2f（x）+1在[﹣，]能取两次的范围是[，7）∴m∈[，7）．22．（12分）（2013•启东市校级模拟）已知整数列{a n}满足a3=﹣1，a7=4，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求出所有的正整数m，使得a m+a m+1+a m+2=a m a m+1a m+2．【解答】解（1）设数列前6项的公差为d，d为整数，则a5=﹣1+2d，a6=﹣1+3d，d为整数，又a5，a6，a7成等比数列，所以（3d﹣1）2=4（2d﹣1），解得d=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4分当n≤4时，a n=n﹣4，由此a 5=1，a 6=2，数列第5项起构成以2为公比的等比数列．当n ≥5时，a n =2n ﹣5， 故通项公式为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8分（2）由（1）知数列{a n }为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，4，8，16，…当m=1时等式成立，即﹣3﹣2﹣1=﹣6=（﹣3）（﹣2）（﹣1）；等式成立． 当m=3时等式成立，即﹣1+0+1=0；等式成立．当m=2、4时等式不成立；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣12分当m ≥5时，即a m +a m +1+a m +2=2m ﹣5（23﹣1），a m a m +1a m +2=23m ﹣12．所以a m +a m +1+a m +2≠a m a m +1a m +2．；故所求的m=1，或m=3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣15分参与本试卷答题和审题的老师有：whgcn；zlzhan；w3239003；沂蒙松；豫汝王世崇；caoqz；wubh2011；minqi5；gongjy；涨停；742048；左杰；刘长柏；chenzhenji；qiss（排名不分先后）菁优网2017年5月14日。