高中数学人教B版必修一2.4.1《函数的零点》word教案
人教新课标高中数学B版必修1《2.4.1 函数的零点》教学设计(表格式)
2.4.1《函数的零点》教学设计课题：函数的零点教材：人教B版新课标高中数学必修1教学内容：第二章函数2.4.1函数的零点教材分析：一．教材的地位和作用本课时主要学习函数的零点，通过研究二次函数的图象性质归纳函数的零点的性质。
本节课的内容起到了承上启下的作用。
本节课重点在于研究函数的零点概念及其存在性，函数零点的概念及求法，函数零点与方程根之间的关系。
难点是理解方程的根与函数零点的关系，利用函数的零点作图。
通过本节课的学习进一步加深学生对函数概念及性质的理解和认识，使学生能够整理出较为系统的函数知识体系和完整的思维方式方法，并由此及彼，帮助后面函数的学习。
二．教学目标：1.知识目标：(1)理解函数零点的定义，能判断二次函数零点的存在性；(2)会求简单函数的零点。
理解函数零点和方程的根的关系。
(3)理解函数零点存在的判定条件。
2.能力目标：通过充分运用函数与方程，数形结合的数学思想方法教学，体验函数零点概念的形成过程，体会数形结合、等价转化的数学思想．同时注重培养学生对于解题方法的灵活性和多样性的掌握。
3.情感态度与价值观目标：感悟形与数不同的数学形态间的和谐统一美,培养学生对事物之间转化的辩证唯物主义观点的认识三．教学重点和难点重点：函数零点的概念及求法，函数零点与方程根之间的关系难点：理解方程的根与函数零点的关系，利用函数的零点作图.教学关键点：从实际出发，在学生获得一定感性认识的基础上，通过观察，比较，归纳进一步提升到理性认识，逐步形成完整的概念，在此基础上结合图象，运用数学结合的数学思想解决问题。
学情分析：学生已经学习过函数的基本性质，本节课函数关系的建立做好了知识准备，在此基础上进行函数的零点的学习，可以将对函数的认识进一步系统化和完善化。
教法分析：(一)教学方式教师引导，学生讨论，与启发探究相结合。
(二)教学手段借助几何画板和函数编辑器等教学软件和投影仪等，展示学生的做图结果，并演示高次函数的图像。
高中数学人教B版必修一学案：2.4.1函数的零点
高一数学第二章第一课时学案2.5.1 函数的零点一、学习目标1、理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性。
2、会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系。
3、能通过零点画出函数的图象，并研究其性质。
4、在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．二、自主学习1、引例：已知二次函数26y x x =--，试求当y=0时的x 值，并画出其图象，由图象观察当x 在何区间上使得y>0？y<0？。
2、零点的定义：一般地，如果函数))((D x x f y ∈=在实数α处的值等于，即 ，则α叫做这个函数的 。
在坐标系中表示 。
3、二次函数的零点：（１）△＞０，方程02=++c bx ax 有 ，二次函数的图象与x 轴有 ，二次函数有 ．（２）△＝０，方程02=++c bx ax 有 ，二次函数的图象与x 轴有 ，二次函数有一个 ．（３）△＜０，方程02=++c bx ax 无 ，二次函数的图象与x 轴无 ，二次函数无 ．4、二次函数零点的性质：当函数图象通过零点且穿过x 轴时，函数值 ;两个零点把x 轴分成三个区间，在每个区间上所有函数值 ；如果一个二次函数有一个二重零点，那么它通过这个二重零点时，函数值的符号 。
三、合作探究1、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的是否一定有零点，判断依据是什么2、函数的零点与方程的根、函数图象与x 轴交点的关系：函数)(x f y =有零点⇔方程0)(=x f 有 ⇔函数)(x f y =的图象与x 轴 ．3、函数零点的求法：求函数)(x f y =的零点即求 。
4、二次函数零点两侧的函数值有何变化？零点将x 轴分成几个区间，在每个区间上函数值有何特点？分别以下列函数为例说明①122+-=x x y ；②223y x x =--+；③322+-=x x y 。
四、典例示范例1、求下列函数的零点：①220y x x =--+；② 32332y x x x =+++；③()()22232y x x x =-++例2、求函数3222y x x x =--+的零点，并画出它的图象。
高中数学人教B版必修一学案：2.4.1 函数的零点
2.4函数与方程2.4.1函数的零点[学习目标]1.理解函数零点的概念.2.会求一次函数、二次函数的零点.3.初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系.[知识链接]考查下列一元二次方程与对应的二次函数：(1)方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3；(2)方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1；(3)方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3.请列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的坐标.答案[1.函数的零点(1)定义：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点.(2)性质①当函数图象通过零点且穿过x轴时，函数值变号.②两个零点把x轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值保持同号.2.二次函数零点与二次方程实根个数的关系要点一求函数的零点 例1求下列函数的零点： (1)f (x )＝－x 2－2x ＋3； (2)f (x )＝x 4－1.解(1)∵f (x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)， ∴方程－x 2－2x ＋3＝0的两根分别是－3和1. 故函数的零点是－3,1.(2)∵f (x )＝x 4－1＝(x 2＋1)(x ＋1)(x －1)， ∴方程x 4－1＝0的实数根是－1和1. ∴函数的零点为±1. 规律方法函数零点的求法：(1)代数法：求方程f (x )＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f (x )＝0，可以将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，图象与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点. 跟踪演练1求函数y ＝(ax －1)(x ＋2)的零点. 解(1)当a ＝0时，令y ＝0得x ＝－2； (2)当a ≠0时，令y ＝0得，x ＝1a 或x ＝－2.①当a ＝－12时，函数的零点为－2；②当a ≠－12时，函数的零点为1a ，－2.综上所述：(1)当a ＝0或－12时，零点为－2；(2)当a ≠0且a ≠－12时，零点为1a ，－2.要点二函数零点个数的判断例2若函数f (x )＝ax 2－x －1仅有一个零点，求实数a 的取值范围.解①若a ＝0，则f (x )＝－x －1为一次函数，易知函数仅有一个零点；②若a ≠0，则函数f (x )为二次函数，若其只有一个零点，则方程ax 2－x －1＝0仅有一个实数根(也可说成有两个相等的实数根)， 故判别式Δ＝1＋4a ＝0，a ＝－14.综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点.规律方法判断或求形如函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点时，首先对a 分a ≠0和a ＝0两种情况讨论，然后对a ≠0的情况，利用判别式法判别相应一元二次方程根的情况，即可判断函数零点的情况.跟踪演练2判断下列函数的零点个数： (1)f (x )＝x 2－7x ＋12； (2)f (x )＝x 2－1x.解(1)由f (x )＝0即x 2－7x ＋12＝0， 得Δ＝49－4×12＝1＞0，∴方程x 2－7x ＋12＝0有两个不等的实数根. ∴函数f (x )有两个零点.(2)方法一由x 2－1x ＝0得x 2＝1x ，令h (x )＝x 2(x ≠0)，g (x )＝1x，在同一坐标系中画出h (x )和g (x )的图象知两图象只有一个交点， 故函数有一个零点.方法二令f (x )＝0得x 2－1x ＝0即x 3－1＝0(x ≠0)， ∴x ＝1，即方程只有一个根. ∴函数有一个零点. 要点三函数零点性质的应用例3已知关于x 的二次方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a 的取值范围.解令f (x )＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1，依题意知，函数f (x )有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2.∴f (x )的大致图象如图所示：则a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，f (2)＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，f (2)＞0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，4a －4(a ＋1)＋a －1＜0， 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，4a －4(a ＋1)＋a －1＞0， 解得0＜a ＜5， ∴a 的取值范围为(0,5).规律方法解决此类问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式，使问题得解.当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论. 跟踪演练3已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围.解由已知抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1的图象与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出示意图，得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝2m ＋1＜0，f (－1)＝2＞0，f (1)＝4m ＋2＜0，f (2)＝6m ＋5＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－12，m ∈R ，m ＜－12，m ＞－56，∴－56＜m ＜－12，故m 的取值范围是(－56，－12).1.函数y ＝x 2－4的图象与x 轴的交点坐标及其函数的零点分别是() A.(0，±2)；±2B.(±2,0)；±2C.(0，－2)；－2D.(－2,0)；2 答案B解析令x 2－4＝0，得x ＝±2，故交点坐标为(±2,0)，所以函数的零点为±2.2.若函数f (x )在定义域R 上的图象是连续的，图象穿过区间(0,4)，且方程f (x )＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f (0)·f (4)的值() A.大于0B.小于0 C.等于0D.无法判断 答案B解析由题意可知，函数在零点左边和右边的函数值是异号的，所以f (0)·f (4)＜0. 3.如果二次函数y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点，则m 的取值范围是() A.(－2,6) B.[－2,6]C.(－∞，－2)∪(6，＋∞)D.{－2,6} 答案C解析由题意，得Δ＝m 2－4(m ＋3)＞0，即m 2－4m －12＞0，∴m ＞6或m ＜－2. 4.函数f (x )＝x －4x 的零点个数为()A.0B.1C.2D.无数个 答案C解析f (x )＝x 2－4x，得x 1＝2，x 2＝－2，即函数有2个零点.5.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的零点是2和－4，则a ＝________，b ＝________. 答案2 －8解析∵2，－4是函数f (x )的零点， ∴f (2)＝0，f (－4)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝－4，－4a ＋b ＝－16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－8.1.函数是否有零点是针对相应方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点.反映在图象上就是函数图象与x 轴无交点，如函数y ＝1或y ＝x 2＋1就没有零点.2.判断函数的零点，可利用的结论：若函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f (a )·f (b )＜0，则在区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )至少有一个零点，即相应的方程f (x )＝0在区间(a ，b )内至少有一个实数解.。
高中数学_2.4.1 函数的零点教学设计学情分析教材分析课后反思
2.4.1《函数的零点》教学设计一、教材与教学分析1．函数的零点在教材中的地位本节课是人教B版必修一2.4.1《函数与方程》第一课时的内容，它是在学习了一次函数和二次函数以及函数的基本性质基础上，对函数知识的进一步延伸和拓展，为了下节学习“求函数零点近似解的一种计算方法——二分法”和后续的“算法学习”做好了铺垫。
它在整个高中数学教材体系中起着承上启下的作用，地位至关重要。
2．教学目标分析①知识能力方面：（1）.掌握函数零点的概念，会求函数的零点.（2）.掌握二次函数零点的判定方法.（3）.会运用性质做出简单三次函数的大致图像.②数学核心素养方面：（1）.在探索方程根与函数零点的关系中，构建函数零点的概念，提升学生数学抽象与数学建模素养；(2).在判定二次函数零点的个数及探索零点性质的过程中；培养学生数形结合与直观想象的核心素养.3.教学的重点：函数零点的概念与性质；判定二次函数零点的个数；会求函数的零点.教学的难点：函数零点的应用值为四、函数零点的性质 性质1，问题1．请同学们通过列表研究一次，二次函数零点左右的函数值的符号如何变化的？ 问题2．如果函数图象通过零点但是不穿过x 轴时，函数值变号吗？问题3．如果零点左右的函数值连续变号，函数图象与x 轴一定有什么关系？ 性质2，问题4.通过几何画板观察一次函数，二次函数在零点分成的区间上，函数值有什么特点？1.通过列表，学生从数上理解函数零点的性质12.通过几何画板的演示，使学生直观地观察到连续i 函数在零点分成的区间上函数值保持同号。
3.培养学生分析问题探究问题的能力，培养学生数形结合思想，直观想象的核心素养。
师：观察函数12-=x y ，2()6f x x x =--的图像，在零点两侧附近函数值的符号是如何变化的？一生投影展示，大胆给出结论 师：性质1.（板书）师：如果函数图象通过零点但是不穿过x 轴时，函数值变号吗？生：不变号师：如果零点左右的函数值连续变号，函数图象与x 轴有什么关系？生：相交师：通过几何画板观察一次函数，二次函数在零点分成的区间上，函数值有什么特点？师：性质2（板书） 五、性质简单应用 1.运用零点的性质，求函数22)(23+--=x x x x f 的零点，画出函数的图像。
人教B版必修一高中数学第二章第四节《函数的零点》教案
人教B版《必修一》第二章第四节《函数的零点》（第一课时）【教材分析与学情分析】1.本节课是人教B版《必修一》第二章第四节“函数与方程”的第一课时。
高一学生在学习本节内容之前，对三次函数的了解仅限于第二章的幂函数；而利用函数零点与方程根的关系作图也仅限于二次函数。
随着学习内容的加深与扩展，本节课的设计对学生来说，是一次思想方法上的突破和学习观念的提升。
2.任教班级学生数学基础良好。
【课型】新授课【教学目标】1.能说出函数零点的定义，会求简单函数的零点。
2.经历二次函数零点性质推广到一般连续函数的过程，体会“函数与方程”、“转化与化归”、、“数形结合”的数学精神。
3. 用数学的眼光发现问题，并用数学知识方法给予解决；在学习新知的过程中，体会数学的应用价值；树立正确的人生观、价值观以及爱国主义情怀。
【教学准备】1.多媒体技术；2.网络资源；3.三封信件4.图书文献资源和网络资源：对“我国女排发球技术研究”的查阅【教学方法】自主探究、合作探究【教学重点】函数零点的概念与求法，作三次函数图象【教学难点】作三次函数图象、解决简单应用问题【教学过程】（含时间分配）（先准备几封写好的信（其实为最后学习要点的引出埋下伏笔），鼓励课堂活动踊跃的学生）（一）新课引入（5分钟）1.情景引入（激发学生的好奇心）播放中国女排在2016年里约奥运会夺冠的视频，指出女排的夺冠与数学紧密相连。
2.问题引入（激发学生求知欲）（二）概念的形成与深化（5分钟）1.实例引入 ?062=--=y x x x y 取何值时，，当对于函数2.函数的零点3.概念深化 函数y=f(x)有零点方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x 轴有交点（三）实践与探究（14分钟）1.自主尝试求下列函数的零点：2.总结升华（学生把一般二次函数零点的判定以表格形式给出）3.深入探究（学生自主探究）当二次函数有零点时，请由图象探究：(1)在零点的两侧，函数值符号是否改变？(2)相邻两个零点之间函数值的符号是否相同？1.你能画出函数y=2x+7的图象吗？22.你能画出函数y=x -x-6的图象吗？323.你能画出函数y=x -2x -x+2的图象吗？(1)236(2)y x y x =-+=222(3)(4)21(5)23y x x y x x y x x =+=-+=-+()=0f x x 使得函数的实数的值，叫做这个函数的零点.（学生自主完成）对于二次函数而言： (1)当函数图象穿过零点时，函数值变号； 当函数图象遇到零点但不穿过零点时，函数值不变号. (2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.（师总结）推广：对任意函数，只要函数图象是连续不断的，上述性质同样成立.（四）应用举例（18分钟）1.（学生亲自投影，面对同学讲解做法，教师适当补充）在这4个区间内，取x 的一些值，以及零点，列出这个函数的对应值表： X … -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 … Y … -4.38 0 1.88 2 1.13 0 -0.63 0 2.63 … 在坐标系内，描点连线，作出图象.x y 0 x 1x 1 x 2 0yx 321.例求函数y=x -2x -x+2的零点，并画出它的图象.322211x x x --+-解：因为 ＝（x-2)(x-1)(x+1)所以函数的零点为， ， 2.x 4--1-11122,+∞∞3个零点把轴分成个区间：（，），（，），（，），（）*学生总结方法求函数y=f(x)零点的方法：求方程f(x)=0的根.（常用：因式分解）画三次函数图象的步骤：（1）求函数的零点，用其将x 轴分成几个区间；（2）利用在区间内适当取的x 值及零点，得到图象上的一些点；（3）描点连线，得到图象.2.自主尝试(学生黑板板演)*课下研究课题3.（回扣课头）例 2 研究发现：排球发球的成功率y%与抛球角度x(单位：度)近似满足二次函数关系：216144,25y x x =-+-(3090)x << 在一场排球比赛中，每位发球队员的成功率只有大于80%，才有利于比赛胜出。
【配套K12】高中数学 函数的零点教案(1) 新人教B版必修1
教案：2.4.1函数的零点一、教学目标：1、知识与技能：了解函数的零点与方程根的关系。
理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点。
培养学生对事物的观察、归纳能力和探究能力。
2、过程与方法：通过描绘函数图像，分析零点的存在性. 体验函数零点概念的形成过程，提高数学知识的综合应用能力。
3、情感态度与价值观：培养学生的数形结合思想,渗透由抽象到具体思想,使学生理解动与静的辨证关系,在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．让学生初步体会事物间相互转化的辩证思想。
二、教学重点、难点：重点是函数零点的概念及求法；难点是利用函数的零点作图。
三、教学方法：本节课是对初中内容的加深，学生以相关知识比较熟悉，因此采用以学生活动为主，自主探究，合作交流的教学方法为宜。
四、教学流程：结合描绘的二次函数图像，提出问题，引入课题．体验数学，对二次函数的零点及零点存在性的初步认识．零点的存在性判断及零点的确定．利用计算机绘制某类特殊函数图像，找出零点，并尝试五、教学过程：1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）0532=++-x x ； （2）3)2(2-=-x x ； （3）442-=x x ； （4）532522+=+x x x ．2．已知f(x)=2x 4－7x 3－17x 2+58x －24．，请探究方程0)(=x f 的根．如果方程有根，指出每个根所在的区间（区间长度不超过1）．3．已知f(x)=2（m+1）x2+4mx+2m－1：（1）m为何值时，函数的图象与x轴有两个零点；（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求m的值．设计意图：结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性说明零点的个数；让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用．培养动手，和分析图表的能力．列表，借助计算机或计算器来画函数的图象帮助分析．相对应例题给出一元四次函数及指数型的函数零点的探究，拓展学生的思维，以达到触类旁通。
高中数学2.4函数与方程_函数的零点教案新人教B版必修1
§2.4.1函数的零点（课前预习案）一、新知导学1.函数零点的概念：对于函数y=f （x ），我们把使 叫做函数y=f （x ）的零点.2.变号零点与不变号零点：（1）当函数通过变号零点时，函数值变号；（2）相临两个零点之间的所有函数值保持同号。
3.函数零点与方程根的关系：方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与 有交点⇔函数y=f(x)有 注意：函数的零点不是一个点，而是函数图象与x 轴交点的 .4.函数零点的判断：如果函数y=f （x ）在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 ,那么函数y=f(x)在区间 内有零点,即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f ,c 也就是方程0)(=x f 的根.二、预习自测：1.求下列函数的零点：（1）452--=x x y ； （2）202++-=x x y ；（3）； （4）)23)(2()(22+--=x x x x f ．2.观察二次函数f (x )＝x 2－2x －3的图象：在区间[-2，1]上有零点______； f (-2)=_______，f (1)=_______，f (-2)·f (1)_____0（“＜”或“＞”）． 在区间(2，4)上有零点______；f (2)·f (4)____0（“＜”或“＞”）．§2.4.1函数的零点（课堂探究案）§2.4.1函数的零点（课后拓展案）1.如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ）A.),6()2,(+∞--∞B.)6,2(-C.]6,2[-D.}6,2{-2.方程063223=-+-x x x 在区间[-2，4]上的根必定属于区间（ ）A.[-2，1]B.]4,25[C.]47,1[D.]25,47[ 3. 函数f (x )=x (x 2－16)的零点为（ ）A ．(0，0)，(4，0)B ．0，4C ．(–4，0)，(0，0)，(4，0)D ．–4，0，4 4.若函数b ax x f +=)(有一个零点是2,那么函数ax bx x g -=2)(的零点是（ ）A.0，2B.0，21 C.0，-21 D.2，-21 5若函数()21f x mx x =--有且仅有一个零点，则实数m 的值是________。
高中数学 第二章 函数 2.4.1 函数的零点学案 新人教B版必修1-新人教B版高一必修1数学学案
2．4 函数与方程2．4.1 函数的零点1．理解函数零点的概念．(重点)2．会求一次函数、二次函数的零点．(重点)3．初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴交点的横坐标之间的关系．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 函数的零点阅读教材P 70～P 71“例”以上部分内容，完成下列问题． 1．定义如果函数y ＝f (x )在实数α处的值等于零，即f (α)＝0，则α叫做这个函数的零点． 2．性质(1)当函数图象通过零点且穿过x 轴时，函数值变号．(2)两个零点把x 轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值保持同号．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数都有零点．( )(2)若方程f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，则函数y ＝f (x )的零点为(x 1,0)，(x 2,0)．( )(3)f (x )＝x －1x只有一个零点．( )【答案】 (1)× (2)× (3)×教材整理2 二次函数零点与一元二次方程 实根个数的关系阅读教材P 70“倒数第2行”～P 71“例”以上的内容，完成下列问题．判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b 2a没有实根二次函数y ＝ax 2＋bx＋c 的零点有两个零点x 1，x 2有一个二重零点x 1＝x 2没有零点已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a 的图象全部在x 轴的上方，则实数a 的取值范围是________.【导学号：97512030】【解析】 函数f (x )的图象是开口向上的抛物线，所以Δ＝4－4a <0，a >1. 【答案】 (1，＋∞)[小组合作型]求函数的零点(1)函数y ＝1＋1x的零点是( ) A ．(－1,0) B ．x ＝－1 C ．x ＝1D ．x ＝0(2)求下列函数的零点． ①f (x )＝－x 2－2x ＋3； ②f (x )＝x 4－1.【精彩点拨】 求函数对应方程的根，即为函数的零点． 【自主解答】 (1)令1＋1x＝0，解得x ＝－1，故选B.(2)①由于f (x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)，所以方程－x 2－2x ＋3＝0的两根是－3,1. 故函数的零点是－3,1.②由于f (x )＝x 4－1＝(x 2＋1)(x ＋1)(x －1)， 所以方程x 4－1＝0的实数根是－1,1. 故函数的零点是－1,1.【答案】 (1)B (2)①－3,1 ②－1,1求函数的零点时，通常转化为解方程f x ＝0，若方程f x ＝0有实数根，则函数f x 存在零点，该方程的根就是函数f x 的零点；否则，函数f x 不存在零点.[再练一题]1．函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________.【导学号：60210059】【解析】 ∵函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，∴2a ＋b ＝0，即b ＝－2a ， ∴g (x )＝bx 2－ax ＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)， ∵－ax (2x ＋1)＝0，即x ＝0，x ＝－12，∴函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是0，－12.【答案】 0，－12函数零点个数的判断判断下列函数零点的个数． (1)f (x )＝x 2－7x ＋12；(2)f (x )＝x 2－1x .【精彩点拨】 (1)中f (x )为一元二次函数，解答本题可判断对应的一元二次方程的根的个数；(2)中函数零点可用解方程法转化为两个熟知的基本初等函数求图象交点个数．【自主解答】 (1)由f (x )＝0，即x 2－7x ＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1>0， ∴方程x 2－7x ＋12＝0有两个不相等的实数根3,4.∴函数f (x )有两个零点． (2)法一 由x 2－1x ＝0，得x 2＝1x.令h (x )＝x 2(x ≠0)，g (x )＝1x.在同一坐标系中画出h (x )和g (x )的图象，如图所示，两函数图象只有一个交点，故函数f (x )＝x 2－1x只有一个零点．法二 令f (x )＝0，即x 2－1x＝0.∵x ≠0，∴x 3－1＝0.∴(x －1)(x 2＋x ＋1)＝0. ∴x ＝1或x 2＋x ＋1＝0.∵方程x 2＋x ＋1＝0的根的判别式Δ＝12－4＝－3<0， ∴方程x 2＋x ＋1＝0无实数根．∴函数f (x )只有一个零点．确定函数零点个数的方法1．一元n 次方程根的个数的问题，一般采用分解因式法来解决． 2．一元二次方程通常用判别式来判断根的个数．3．指数函数和对数函数等超越函数零点个数的问题，一般用图象法来解决． 4．利用函数的单调性判断函数零点的个数．[再练一题]2．判断函数y ＝x 3－3x 2－2x ＋6的零点个数． 【解】 y ＝x 3－3x 2－2x ＋6 ＝x 2(x －3)－2(x －3) ＝(x 2－2)(x －3)，令y ＝0，则x ＝±2或x ＝3， 显然有三个零点．[探究共研型]函数零点的应用探究1 设F (g (x )有何关系？ 【提示】 F (x )的零点是函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象的交点的横坐标．探究2 若函数f (x )＝x 2－2x ＋a 有零点，则实数a 的取值范围是什么？【提示】 若函数f (x )＝x 2－2x ＋a 有零点，则方程x 2－2x ＋a ＝0有根．故Δ＝(－2)2－4a ≥0，故a ≤1.若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________． 【精彩点拨】 把问题转化为方程|2x－2|＝b 有根问题，进而应用数形结合的思想转化为y ＝|2x －2|与y ＝b 图象的交点问题．【自主解答】 由f (x )＝|2x －2|－b ＝0，得|2x －2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示，则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点． 【答案】 (0,2)已知函数有零点方程有根求参数取值范围常用的方法：1直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.2分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.3数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.[再练一题] 3.若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则a 的取值范围是( ) A ．a >15B ．a >15或a <－1C ．－1<a <15D ．a <－1【解析】 根据函数零点的性质，f (1)，f (－1)一正一负，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝－5a ＋1所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0－5a ＋1<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0－5a ＋1>0，解得a >15或a <－1.【答案】 B1．下列四个函数图象，在区间(－∞，0)内，函数f i (x )(i ＝1,2,3,4)中有零点的是( )A ．B ．C ． D.【解析】 由函数图象可知，f 2(x )在(－∞，0)上与x 轴有交点，故f 2(x )在(－∞，0)上有零点．【答案】 B2．函数y ＝2x －4的零点是( ) A ．2B ．(2,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 D.12【解析】 由2x －4＝0，得x ＝2，即函数y ＝2x －4的零点是2. 【答案】 A3．已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，其零点为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝________.【解析】 由奇函数的对称性知：若f (x 1)＝0， 则f (－x 1)＝0，即零点关于原点对称，且f (0)＝0， 故x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝0. 【答案】 04．若函数f (x )＝ax 2－x －1只有一个零点，则实数a ＝________.【解析】 (1)当a ＝0时，函数为y ＝－x －1，显然该函数的图象与x 轴只有一个交点，即函数只有一个零点．(2)当a ≠0时，函数y ＝ax 2－x －1是二次函数．因为y ＝ax 2－x －1只有一个零点，所以关于x 的方程ax 2－x －1＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝0，即1＋4a ＝0，解得a ＝－14.【答案】 0或－145．已知关于x 的二次方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a 的取值范围．【解】 令f (x )＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1，依题意知，函数f (x )有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2.∴f (x )的大致图象如图所示：则a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0，f 2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，4a －4a ＋1＋a －1<0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，4a －4a ＋1＋a －1>0，解得0<a <5，∴a 的取值范围为(0,5)．。
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8分钟
15分钟
20分钟
引导学生理解
1．如果函数ｙ＝ｆ（ｘ）在实数a处的值等于零，即ｆ（a）＝０，则a叫做．
２．把一个函数的图像与叫做这个函数的零点．
３．二次函数ｙ＝ａ ＋ｂｘ＋ｃ（ａ ０），当Δ＝ －４ａｃ＞０时，二次函数有个零点；Δ＝ －４ａｃ＝０时，二次函数有个零点；Δ＝ －４ａｃ＜０时，二次函数零点．
3.在函数与方程的联系中，让学生初步体会事物间相互转化的辩证思想；在教学中让学生体验探究的过程、发现的乐趣。
教学重点:函数零点的概念、求法及性质；
教学难点：函数零点的应用含参数的二次函数的Leabharlann 质讨论教学过程教学环节
问题与任务
时间
学生活动
新课讲解
典型例题讲解
巩固提高
理解零点的定义及性质
理解零点的意义，会根据零点画函数图像解不等式
Ａ．－２ Ｂ．２ Ｃ．－０．５ Ｄ．０．５
6．已知函数ｆ（ｘ）＝２（ｍ－１） －４ｍｘ＋２ｍ－１
（１）ｍ为何值时，函数图像与ｘ轴有一个公共点．
（２）如果函数的一个零点为２，求ｍ的值．
反思
Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．无数个
２．函数ｆ（ｘ）＝ 的零点是（ ）
Ａ．１，２，３ Ｂ．－１，１，２ Ｃ．０，１，２Ｄ．－１，１，－２
3．若函数ｆ（ｘ）＝ｍ ＋８ｍｘ＋２１，当ｆ（ｘ）＜０时－７＜ｘ＜－１，则实数ｍ的值为（ ）
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４
4．ｆ（ｘ）＝ ，方程ｆ（４ｘ）＝ｘ的根是（ ）
学生与老师共同探讨理解知识点
学生尝试解决问题，或讨论完成题目
学生尝试解决问题，或讨论完成题目
小结
2分
理解理解函数零点的概念与性质，会求函数的零点，能判断二次函数零点的存在性，了解函数的零点与方程的根之间的关系，初步形成用函数的观点处理问题的意识
个别回答
板书
例题
作业训练
１．函数ｆ（ｘ）＝ｘ－ 的零点是（ ）
４．二次函数零点的性质：
（１）二次函数的图像是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），．
（２）在相邻的两个零点之间所有
例1：已知函数 ，（1）当 取何值时， （2）作出函数的图像。
例2、求函数 的零点，并指出 时， 的取值范围。
例3.求函数 的零点，并画出它的图像
1．函数ｆ（ｘ）＝２ －ｍｘ＋３有一个零点为1.5，则ｆ（１）＝
2．函数ｙ＝（ｘ－１）（ －２ｘ－３）的零点（ ）
Ａ．１，２，３ Ｂ．１，－１，３ Ｃ．１，－１，－３ Ｄ．无零点
３．ｋ为何值时，函数ｆ（ｘ）＝２ －４ｘ＋ｋ无零点（ ）
Ａ．ｋ＝２Ｂ．ｋ＜２Ｃ．ｋ＞２Ｄ．ｋ ２
５．函数ｙ＝ 的定义域为．
６．如果函数ｙ＝ ＋ｍｘ＋（ｍ＋３）至多有一个零点，则的取值范围是．
学科：数学
课题：2.4.1函数的零点
教学目标（三维融通表述）：
1．通过讲解学生理解理解函数零点的概念与性质，会求函数的零点，能判断二次
函数零点的存在性，了解函数的零点与方程的根之间的关系，初步形成用函数的观点处理问题的意识。
2．在对二次函数的零点与方程根的关系研究过程中，体会由特殊到一般的思维方
法，通过由零点的性质作函数图像的过程及函数零点的性质的总结，渗透“数形结合”的思想方法。