第8章 组合体
第8章-4 组合体构型
后悬
7
2、对称与均衡
对称——庄重、稳定、可靠，具有静态美和条理美; 均衡——不对称的、依支点表现出的平衡方式.
8
3、安定与轻巧
安定——实际安定、视觉安定 重心 稳定 稳定的 感觉
轻巧——给人以轻松灵巧的视觉效果，可增加生动亲切感
9
4、过渡与呼应
过渡——形体的相邻两面采取逐渐演变的形式，以取得和 谐的效果 呼应——在形体对称部位以相似的特点进行处理，以产生 和谐、均衡、统一的效果
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六、构型设计举例
例1：已知组合体的主视图，试构思出不同的组合体， 画出俯视图。
28
29Βιβλιοθήκη 121、构形设计法13
2、切割设计法 给定一基本体，经不同的切割和穿孔而 构成不同的基本体的方法，称为切割式设计。
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2、切割设计法 给定一基本体，经不同的切割和穿孔而 构成不同的基本体的方法称为切割式设计。
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3、叠加设计法 给定几个基本体，通过叠加而构成不同 的组合体的方法，称为叠加式设计。
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4、组合式设计法
给定若干个基本体，通过叠加、切割等 多种方法而构成不同的组合体的方法，称为 组合式设计。
如：根据给定三个基本体，构思出不同的组合体。
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方案一
18
方案二
19
方案三
20
方案四
21
比 较
22
五、构形设计的分类:
1、根据已知形状相同的两个视图， 构思并设计多种不同形状的组合形体 。
10
4、构型应符合零件结构的工艺要求且便于成型
（1）两形体之间不能点连接或线连接。 （2）曲面设计一般应采用回转面，不宜采用任意曲面。 （3）封闭内腔不易成行，一般不宜采用。
人教A版高中数学必修第二册第8章教学课件8.1基本立体图形(第2课时)
一、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征及相关概念 圆柱的相关概念
我们把旋转轴叫做圆柱的轴，旋转过程中，矩形其 余的三边与旋转轴成何位置关系？由这些边旋转而成的 面有何特征？
圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 圆柱的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边．
基本立体图形(第2课时)
—圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体
一、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征及相关概念
（一）认识圆柱
问题1 观察奶粉罐的结构，思考它可由什么样的平 面图形绕其所在平面的一条定直线旋转形成？
矩形以其一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形 成的面所围成的几何体，我们称这样的旋转体为圆柱．
一、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征及相关概念
类比圆柱与圆锥，你能给出圆台的相关概念（轴、 底面、侧面、母线）吗？
圆台的轴：即旋转轴； 圆台的底面：直角梯形的两底边旋转而成的圆面； 圆台的侧面：斜腰旋转而成的曲面； 圆台的母线：无论旋转到什么位置的斜腰．
一、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征及相关概念
除了教科书的定义里提及的生成方式，圆锥还可以 看作是由怎样的平面图形旋转而成？
等腰三角形绕其底边上的中线所在的直线旋转得到．
一、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征及相关概念
问题3 正如棱台可以看作是由平行于底面的平面截 棱锥形成的．你能否类比给出圆台的定义？你能举出生 活中具备圆台结构特征的实例吗？
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分 叫做圆台．
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一、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征及相关概念
圆柱可由矩形旋转得到，圆锥可由直角三角形旋 转得到，圆台是否也可以由平面图形旋转生成？如果 可以，可由什么平面图形，如何旋转得到？
2021_2022学年新教材高中数学第8章立体几何初步8.1第2课时圆柱圆锥圆台球与简单组合体的结构
(2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空 间想象能力，或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形 状．
(3)要熟练掌握各类旋转体的结构特征．
[跟进训练] 2．如图所示的平面图形从上往下依次由等腰三角 形、圆、半圆、矩形、等腰梯形拼接形成，若将它绕直 线l旋转形成一个组合体，试分析该组合体由哪些简单几 何体构成． [解] 易知得到的组合体从上到下依次为圆锥、球、半球、圆 柱、圆台．
[跟进训练] 3．一圆锥的母线长为6 cm，底面半径为3 cm，把该圆锥截一圆 台，截得圆台的母线长为4 cm，则圆台的另一底面半径为________ cm． 1 [作轴截面如图， 则3r＝6－6 4＝13，所以r＝1 cm．]
当堂达标·夯基础
1．圆柱的母线长为10，则其高等于(
A．5
B．10
AB [A正确，圆柱的底面是圆面； B正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截 面是一个矩形面； C不正确，圆台的母线延长相交于一点； D不正确，夹在圆柱两个平行于底面的截面间的几何体才是旋 转体．]
类型2 简单组合体的结构特征 【例2】 (对接教材P103例2)如图①②所示的图形绕虚线旋转一 周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？
第பைடு நூலகம்章 立体几何初步
8.1 基本立体图形 第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球与
简单组合体的结构特征
学习任务 1．了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义．
核心素养 通过学习有关旋转
2．掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特
体的结构特征，培
征．(重点)
养直观想象、逻辑
3．认识简单组合体的结构特征，了解简单组 推理、数学运算的
[解] 旋转后的图形如图所示．其中图①是由一个圆柱O1O2和 两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4，一个圆柱 O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的．
【新人教版】数学必修二第八章 8.1 第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体
【新人教版】数学必修二第八单元第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体学习目标 1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.3.了解简单组合体的概念及结构特征.知识点一圆柱的结构特征圆柱图形及表示定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱图中圆柱表示为圆柱O′O 相关概念：圆柱的轴：旋转轴圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边思考圆柱的轴截面有________个，它们________(填“全等”或“相似”)，圆柱的母线有________条，它们与圆柱的高________.答案无穷多全等无穷多相等知识点二圆锥的结构特征圆锥图形及表示定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体图中圆锥表示为圆锥SO相关概念： 圆锥的轴：旋转轴圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置 ，不垂直于轴的边思考 圆锥的轴截面有多少个？母线有多少条？圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是母线吗？答案 圆锥的轴截面有无穷多个，母线有无穷多条，圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是母线. 知识点三 圆台的结构特征圆台图形及表示定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台图中圆台表示为圆台O ′O相关概念： 圆台的轴：旋转轴圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边知识点四球的结构特征球图形及表示定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球图中的球表示为球O 相关概念：球心：半圆的圆心半径：连接球心和球面上任意一点的线段直径：连接球面上两点并经过球心的线段知识点五简单组合体的结构特征1.概念：由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体.2.基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.1.直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥.(×)2.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台.(√)3.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱.(×)4.半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.(×)一、旋转体的结构特征例1下列说法正确的是________.(填序号)①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥；④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.答案③④解析①以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；②它们的底面为圆面；③④正确.反思感悟(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成.②明确旋转轴是哪条直线.(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.跟踪训练1下列说法，正确的是()①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.A.①②B.②③C.①③D.②④答案 D解析由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误.二、简单组合体的结构特征例2(1)请描述如图所示的几何体是如何形成的.解①是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；②是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体；③是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体.(2)如图所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC.当梯形ABCD 绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转形成的面围成一个几何体，试描述该几何体的结构特征.解如下图所示，旋转所得的几何体可看成由一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体.反思感悟(1)解决简单组合体的结构特征相关问题，首先要熟练掌握各类几何体的特征，其次要有一定的空间想象能力.(2)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的.跟踪训练2(1)如图所示的简单组合体的组成是()A.棱柱、棱台B.棱柱、棱锥C.棱锥、棱台D.棱柱、棱柱答案 B(2)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括()A.一个圆台、两个圆锥B.两个圆柱、一个圆锥C.两个圆台、一个圆柱D.一个圆柱、两个圆锥答案 D解析图①是一个等腰梯形，CD为较长的底边，以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图②，包括一个圆柱、两个圆锥.三、旋转体的有关计算例3一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：(1)圆台的高；(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长.解 (1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD (如图所示). 由已知可得O 1A ＝2 cm ，OB ＝5 cm. 又由题意知腰长AB ＝12 cm ， 所以高AM ＝122－(5－2)2 ＝315(cm).(2)如图所示，延长BA ，OO 1，CD ，交于点S ， 设截得此圆台的圆锥的母线长为l ， 则由△SAO 1∽△SBO ，可得l －12l ＝25， 解得l ＝20.即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.反思感悟 用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程(组)而得解.跟踪训练3 如图所示，用一个平行于圆锥SO 底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm ，求圆台O ′O 的母线长.解 设圆台的母线长为l cm ，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm,4r cm.过轴SO 作截面，如图所示.则△SO ′A ′∽△SOA ，SA ′＝3 cm. 所以SA ′SA ＝O ′A ′OA . 所以33＋l＝r 4r ＝14.解得l ＝9，即圆台的母线长为9 cm.1.下列说法中正确的是( ) A.将正方形旋转不可能形成圆柱B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D.通过圆台侧面上一点，有无数条母线 答案 C解析 将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A 错误；B 中没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况下结论不一定正确，所以B 错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D 错误. 2.(多选)下列命题中正确的是( )A.过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径B.母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等C.圆台中所有平行于底面的截面都是圆面D.圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形答案ACD3.下列几何体是台体的是()答案 D解析台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点，B的错误在于截面与圆锥底面不平行.C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确.4.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是()A.圆柱B.圆台C.球体D.棱台答案 D解析圆柱、圆台和球体无论怎样截，截面可能是曲面，也可能是矩形(圆柱)或等腰梯形(圆台)，不可能截出三角形.只有棱台可以截出三角形.5.两相邻边长分别为3 cm和4 cm的矩形，以一边所在的直线为轴旋转所成的圆柱的底面积为________ cm2.答案16π或9π解析当以3 cm长的一边所在直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为4 cm，底面积为16π cm2；当以4 cm长的一边所在直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为3 cm，底面积为9π cm2.1.知识清单：(1)圆柱、圆锥、圆台的结构特征.(2)球的结构特征.(3)简单组合体的结构特征.2.方法归纳：分类讨论.3.常见误区：同一平面图形以不同的轴旋转形成的旋转体一般是不同的.1.下列几何体中不是旋转体的是()答案 D2.如图所示的简单组合体的结构特征是()A.由两个四棱锥组合成的B.由一个三棱锥和一个四棱锥组合成的C.由一个四棱锥和一个四棱柱组合成的D.由一个四棱锥和一个四棱台组合成的答案 A3.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A.一个球体B.一个球体中间挖去一个圆柱C.一个圆柱D.一个球体中间挖去一个长方体答案 B解析圆面绕着直径所在的轴，旋转而形成球，矩形绕着轴旋转而形成圆柱. 故选B.4.若圆柱的母线长为10，则其高等于()A.5B.10C.20D.不确定答案 B解析圆柱的母线长与高相等，则其高等于10.5.如图所示的几何体是由哪个平面图形旋转得到的()答案 D解析图中所给的几何体是由上部的圆锥和下部的圆台组合而成的，故所求平面图形的上部是直角三角形，下部为直角梯形构成.6.观察下列四个几何体，其中可看作是由两个棱柱拼接而成的是________.(填序号)答案①④解析①可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，④可看作由两个四棱柱组合而成.7.已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是Q，则此圆柱的底面半径为________.(用Q表示)答案Q 2解析设圆柱的底面半径为r，则母线长为2r.∴4r2＝Q，解得r＝Q 2，∴此圆柱的底面半径为Q 2.8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为________.答案 3解析由题意知一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π＝πl2，所以母线长为l＝2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr＝2π，所以底面圆半径为r＝1，所以该圆锥的高为h＝l2－r2＝22－12＝ 3.9.一个圆锥的高为2 cm，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积.解如图轴截面SAB，圆锥SO的底面直径为AB，SO为高，SA为母线，则∠ASO＝30°.在Rt△SOA中，AO＝SO·tan 30°＝233(cm).SA＝SOcos 30°＝232＝433(cm).所以S△ASB＝12SO·2AO＝433(cm2).所以圆锥的母线长为433cm，圆锥的轴截面的面积为433cm2. 10.如图所示，有一个底面半径为1，高为2的圆柱体，在A点处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱表面由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？解把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离.∵AA′为底面圆的周长，∴AA′＝2π×1＝2π.又AB＝A′B′＝2，∴AB′＝A′B′2＋AA′2＝4＋(2π)2＝21＋π2，即蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2.11.上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为()A.4B.3 2C.2 3D.2 6答案 D解析圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R满足关系式l2＝h2＋(R－r)2，由题意知l＝5，R＝7，r＝6，求得h＝26，即两底面之间的距离为2 6.12.已知球的半径为10 cm，若它的一个截面圆的面积为36π cm2，则球心与截面圆圆心的距离是______cm.答案8解析如图，设截面圆的半径为r，球心与截面圆圆心之间的距离为d，球半径为R.由示意图易构造出一个直角三角形，解该直角三角形即可.由题意知，R＝10 cm，由πr2＝36π，得r＝6，所以d＝R2－r2＝100－36＝8(cm).13.边长为5的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离为________.答案52π2＋4解析如图，矩形E1F1GH是圆柱沿着其母线EF剪开半个侧面展开而得到的，由题意可知GH ＝5，GF 1＝5π2，GE 1＝254π2＋25＝52π2＋4.所以从点E 沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离是52π2＋4. 14.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而成的.现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是________.(填序号)答案 ①⑤解析 由于截面平行于圆锥的轴或过圆锥的轴，故只能是①⑤.15.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是( ) A.4 B.3 C.2 D.0.5 答案 B解析 如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π和8π，∴两个截面圆的半径分别为r 1＝5， r 2＝2 2.∵球心到两个截面的距离d 1＝R 2－r 21，d 2＝R 2－r 22，∴d 1－d 2＝R 2－5－R 2－8＝1，∴R 2＝9，∴R ＝3.16.圆台的上、下底面半径分别为5 cm,10 cm，母线长AB＝20 cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A，求：(1)绳子的最短长度；(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离.解(1)如图所示，将侧面展开，绳子的最短长度为侧面展开图中AM 的长度，设OB＝l，则θ·l＝2π×5，θ·(l＋20)＝2π×10，解得θ＝π2，l＝20 cm.∴OA＝40 cm，OM＝30 cm.∴AM＝OA2＋OM2＝50 cm.即绳子最短长度为50 cm.(2)作OQ⊥AM于点Q，交弧BB′于点P，则PQ为所求的最短距离.∵OA·OM＝AM·OQ，∴OQ＝24 cm.故PQ＝OQ－OP＝24－20＝4(cm)，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.。
土木工程制图习题集题解
6-12 以曲面AB、CD为导线，平面P为导面，求作柱状面的投影图。
第六章 曲线与曲面
专业
班级
学号
姓名
19
6-13 已知曲导线为右向螺旋线，直径为D，导程为S，求 作双点划线大圆柱范围内的平螺旋面，并判别可见性。
6-15 作出螺旋楼梯的V面投影。
6-14 已知楼梯扶手弯头截面的V面投影和弯头的H面投影，补 绘由平螺旋面组成的楼梯扶手弯头的V面投影。
θ
5-10 已知两平行线AB，CD之间的距离为 12， 求 CD的 正 面 投 影 。
12
5-11 求两交叉直线AB、CD之间的距离。
5-12 用换面法求直线AB与△CDE的交点。
d' X d
b'
a' c' c
b
a
X
距离
第五章 投影变换
专业
班级
学号
姓名
15
5-13 已 知 直 线 AB的 实 长 为 40， 用 旋 转 法 作 出 a b。 40
7-28 已 知 同 坡 屋 面 的 倾 角 α =30° ， 求 作 同 坡 屋 面 的 两 面 投 影 。
第七章 立体
专业
班级
学号
姓名
27
第八章 组合体的投影
8-1 根据组合体轴测图上的尺寸,用比例1:100画三视图(尺寸单位cm)。 8-2 根据组合体轴测图上的尺寸,用比例1:100画三视图(尺寸单位：cm)。
2-2 已知点B在点A的右边5，前方12，下方10，点C在A点的正前 方8，画出B,C的投影图。单位mm。
2-3 已知A、B、C、D各点的三面投影，试判断其相对位置，填 写：A在B之( 上 )_1_0_，A在C之( 左 )_8__，A在D之( 前)_1_0_。
土木工程制图习题集题解
7-10 Leabharlann 作直线与三棱柱表面的交点。7-11 作出直线AB与圆锥表面的贯穿点。
7-12 作出直线AB与球面的交点。
第七章 立体
专业
班级
学号
姓名
23
7-13 求作四棱锥与三棱柱的交线。
7-14 求作四棱锥与四棱柱的交线。
7-15 求作三棱锥与三棱柱交线。
7-16 求作三棱柱与五棱柱的交线。
第七章 立体
6-12 以曲面AB、CD为导线，平面P为导面，求作柱状面的投影图。
第六章 曲线与曲面
专业
班级
学号
姓名
19
6-13 已知曲导线为右向螺旋线，直径为D，导程为S，求 作双点划线大圆柱范围内的平螺旋面，并判别可见性。
6-15 作出螺旋楼梯的V面投影。
6-14 已知楼梯扶手弯头截面的V面投影和弯头的H面投影，补 绘由平螺旋面组成的楼梯扶手弯头的V面投影。
36 5-5 求 平 面 △ ABC的 实 形 。
5-6 在 △ ABC上 作 一 直 线 MN， 使 其 距 离 AB为 12。
第五章 投影变换
专业
班级
学号
姓名
14
5-7 用换面法求△ABC和△BCD之间的夹角。
5-8 在直线AB上取一点E使其与C、D两点 等距离。
5-9 已知点D到平面ABC之间的距离为12， 求 D的 正 面 投 影 。
AB是 水平 线 BC是 水平 线 AC是 侧垂 线 SA是 一般 线 SB是 侧平 线 SC是 一般 线
第二章 点和直线的投影
专业
班级
学号
姓名
3
2-5 已知直线AB的两面投影，求AB的实长 和对Ｈ投影面的倾角。
高中数学第八章立体几何初步8.1基本立体图形3教案第二册
8。
1 基本几何图形第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体立体几何是研究三维空间中物体的形状、大小、位置关系的一门数学学科，而三维空间是人们生存发展的现实空间,学习立体几何对我们更好地认识客观世界，更好地生存与发展具有重要意义。
在立体几何初步部分，学生将先从对空间几何体观察入手、认识空间图形；再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系。
本节内容既是义务教育阶段“空间与图形"课程的延续和提高,也是后续研究空间点、线、面位置关系的基础，既巩固了前面所学的内容，又为后面内容的学习做了知识上和方法上的准备，在教材中起着承前启后的作用。
课程目标1．认识圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．2．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．数学学科素养1.数学抽象：简单组合体概念的理解;2.逻辑推理:圆柱、圆锥、圆台、球的结构特点；3。
直观想象:判断空间几何体；4。
数学运算:球的相关计算、最短距离等；5.数学建模：通过平面展开图将空间问题转化为平面问题解决，体现了转化的思想方法。
重点:掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征；难点：旋转体的相关计算.教学方法:以学生为主体,小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练.教学工具：多媒体.一、情景导入上节课学了常见的多面体：棱柱、棱锥、棱台,那么常见的旋转体有哪些?又有什么结构特点？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察。
研探.二、预习课本,引入新课阅读课本101-104页,思考并完成以下问题1、旋转体包含哪些图形？2、圆柱、圆锥、圆台、球是怎样定义的?又有什么结构特点？3、什么是简单组合体,特点是什么?要求：学生独立完成,以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究一、常见的旋转体1、圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。
旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.圆柱用表示它的轴的字母表示，如圆柱O’O。
高中数学第8章立体几何初步章末知识梳理课件新人教A版必修第二册
2．旋转体及其结构特征 (1)圆柱：①圆柱的轴垂直于底面；②圆柱的轴截面是矩形；③圆柱 的所有母线相互平行且相等，且都与圆柱的轴平行；④圆柱的母线垂直 于底面． (2)圆锥：①圆锥的轴垂直于底面；②圆锥的轴截面为等腰三角形； ③圆锥的顶点与底面圆周上任一点的连线都是圆锥的母线，圆锥的母线 有无数条；④圆锥的底面是一个圆面． (3)圆台：①圆台的上、下底面是两个半径不等的圆面；②圆台两底 面圆所在平面互相平行且和轴垂直；③圆台有无数条母线；④圆台的母 线延长线交于一点．
由
V
圆
台
＝
1 3
×[π×22
＋
π×22×π×52 ＋ π×52]×4 ＝ 52π(cm3) ，
V 半球＝43π×23×12＝136π(cm3)， 所以所求几何体的体积为
V 圆台－V 半球＝52π－136π＝1430π(cm3)．
对点练习❶ (2023·上海格致中学期中)如图，有一个水平放 置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向 容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如不计容器的厚 度，则球的体积为( A )
六、直线、平面垂直的判定及其性质 1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义： 直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂 直． (2)异面直线所成的角： 定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线 a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所 成的角(或夹角)．
二、空间几何体的直观图 1．斜二测画法中“斜”和“二测” “斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中 均与x′轴成45°或135°； “二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴 的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半． 2．斜二测画法中的建系原则 在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行， 但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线或图形 的对称直线为坐标轴，图形的对称点为原点或利用原有互相垂直的直线 为坐标轴等．
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投影图中封闭线框，一般是物体某一表面的投影。在进行线面 分析时，可从线框入手，即在一个投影（如正面投影）上选定一 个（一般先选定大的或投影特征明显的）线框，然后根据投影关 系，找出该线框的其它投影——线框或线段（直线或曲线）。然 后从相应的几个投影，即可分析出物体该表面的形状和空间位置。
在进行线面分析时，要充分利用各种位置线面的投 影特性。若一个线框代表的是一个棱面，该棱面的投影 如不积聚成一条直线，则一定对应一个类似形。
5
13
13
11 7
11 7
14
12
(12)
8
16
8 14
ø13
ø13
16
ø8
15
ø8
15
15
ø15
ø15
ø15
10
13
四、总体尺寸
要标注总体尺寸的图例
不直接标注总体尺寸的图例
要标注总体尺寸的图例
6
35 25
35 27
10
6
10 18
(a)
(b)
18
不直接标注总体尺寸的图例
6 6 22
18 R8 ø9
1. 2. 3. 4. 截交线、相贯线上不应标注尺寸 同一形体的尺寸应该尽量集中标注 尺寸应该标注在反应形体特征的视图上 同轴回转体的直径，应尽量标注在非圆视图上
５.相互平行的尺寸，要使小尺寸靠近图形，大尺寸依次 向外排列，避免尺寸线和尺寸线或尺寸界线相交 6. 同一个方向上连续标注的几个尺寸应该尽量配置在少 数几条线上，避免标注封闭尺寸
33 ø14 ø8
18
ø30
ø18
18 9
10
3 10
35
55
10
R10
40 20
50 30 2*ø10
3.
19
尺寸应该标注在反应形体特征的视图上
6 9 15
18
6
6 18 9 R6 19 5 12
5
12
R6
5
18
9
25
25
清晰
不清晰
18
15
9
4.
同轴回转体的直径，应尽量标注在非圆视图上
16
6
ø12
18
组 合 体 尺 寸 标 注 举 例
ø30
ø18
18 9
10
3 10
35
55
10
R10
40 20
长度方向的基准
50 30
宽度方向的基准
2*ø10
§8-4 组合体的看图方法
一、看图时要注意的几个问题
二、看图的方法和步骤
三、组合体读图举例
一、看图时要注意的几个问题
1． 要掌握常见组合体的投影特点
2．要将几个视图联系起来看 3．要找出特征视图
投影面平行面的投影具有实形性和积聚性
题目
正平面的投影
水平面的投影
侧平面的投影
投影面垂直线的投影具有实长性和积聚性
题目
正垂线的投影
铅垂线的投影
侧垂线的投影
投影面垂直面和一般面的投影具有类似性
正垂面 侧垂面
一般面
铅垂面
【例题4】读图
五、组合体读图举例
1．切割式组合体
2．切割、叠加式组合体
1．切割式组合体读图举例
4． 要弄清视图中“图线”的含义
曲面轮廓素线
轴线
交线投影
面的投影
5． 要弄清视图中“线框”的含义
锥面 内外柱面 平曲组合
柱、球面
锥、平面
锥面 平面 圆平面 圆柱孔
6． 要判断出相邻表面间的相对位置
前、中、后面
左、右面 相交面 左、右面
上、下面
自行分析
二、运用形体分析法读图
形体分析读图方法
在组合体投影图中，各个投影图都是由若干个封闭的图块组 成，每个封闭图块对应一个基本几何形体。首先按投影关系找到 各个封闭图块所对应的其它投影，读懂每个封闭图块所对应的基 本几何形体的形状，然后根据各个封闭图块之间的相对位置，了 解各个基本几何形体之间的相对位置，最后进行综合想象出该组 合体的空间形状。
Ⅳ
Ⅲ
（e）想象出形体Ⅲ
（f）想象出形体Ⅳ
(g) 补画出形体Ⅰ的 左视图
(h) 补画出形体Ⅱ的 左视图
(i) 补画出形体Ⅲ的 左视图
(j) 补画出形体Ⅳ的 左视图
【例题2】
【例题3】
C
B A
已 知 两 投 影 图 求 作 第 三 投 影 图
三、运用线面分析法读图
线面分析法读图方法
在运用形体分析的基础上，对局部较难看懂的部位，常运用 线面分析来帮助读图。
4．要弄清视图中“图线”的含义
5．要弄清视图中“线框”的含义 6．要判断出相邻表面间的相对位置
1．常见组合体的简单结构
简单结构一
简单结构二
简单结构三
R
2R
两圆柱相贯相贯 线的简化画法： 以大圆柱半径 为半径的圆弧 代替
简单结构四
简单结构五
简单结构六
简单结构七
简单结构八
简单结构九
简单结构十
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§8-2 画组合体三视图的方法和步骤
一、投影方向选择
1、确定组合体的安放位置 ⑴ 从稳定性角度来考虑物体的安放位置； ⑵ 按物体的工作位置来安放物体； 2、确定正面投影图的投影方向 ⑴ 优先选择最能反映该物体形状特征和结构特征的 投影方向作为正面投影图的投影方向； ⑵ 选择合理利用图纸幅面的投影方向作为正面投影 图的投影方向，即使物体的长度方向平行与正立 投影面。
ø8 ø30
５.相互平行的尺寸，要使小尺寸靠近图形，大尺寸依 次向外排列，避免尺寸线和尺寸线或尺寸界线相交
19 6 9 15
Hale Waihona Puke 18125
5
9 25
18
6
6. 同一个方向上连续标注的几个尺寸应该尽量配置 在少数几条线上，避免标注封闭尺寸
(a) 不好
(b) 好
七、标注尺寸举例
例题
高度方向的基准
33 ø14 ø8
7. 尺寸应该尽可能标注在轮廓线外面，应该尽量避免在 虚线上标注尺寸
1.截交线、相贯交线上不应标注尺寸
8 12 6 8.9443 7 SR10 R9.3675
错 误 的 尺 寸 标 注 方 式
ø12
(a)
3.75
(b)
ø7
7.5
7.2929 ø12.5
(c)
15
2. 同一 形体 的尺 寸应 该尽 量集 中标 注
简单结构十一
简单结构十二
2．要将几个视图联系起来看
一个视图不能唯一确定物体的形状
主视图、俯视图形状相同，但物体的形状可不同
一个视图不能唯一确定物体的形状
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
主视图、俯视图形状相同，但物体的形状可不同
（1）
（2）
（3）
（4）
3．要找出特征视图
左视图为物体的位置特征视图
例题一 例题二 例题三
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【例1】
作图步骤：
1、形体分析； 2、确定安放位置和正立 面投影图的投影方向； 3、确定投影图数量，选 比例，定图幅； 4、绘制投影图 5、标注尺寸 6、检查无误后，按规定 线型加深图线
正立面投影方向 返回
步骤一
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步骤二
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步骤三
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步骤四
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步骤五
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完成
第 8 章 组合体
§8-1 组合体及形体分析法
§8-2 组合体视图的画法 §8-3 组合体的尺寸标注 §8-4 组合体的看图方法
§8-1 组合体的组合形式及形体分析
一、 概述 二、 组合体的组合方式
三、组合体相邻表面的连接形式
四、 形体分析法
返回
一、概
述
棱柱、棱锥、圆柱、圆锥和球等都 称为基本几何形体。 在工程中所见到的一些形体，可看成 是由这些基本几何形体按照一定的组合方 式组合而成，这些形体称为组合形体，简 称组合体。
1、正确
尺寸标注符合国家标准的有关规定
2、完整
不能有遗漏和重复的尺寸
3、清晰
（1）尺寸尽量标在视图外； （2）尺寸排列整齐； （3）大尺寸在外，小尺寸在内。
二、尺寸分类和尺寸基准
1. 尺寸基准
确定尺寸位置（起点）的几何元素（点、 直线、平面）称为尺寸基准。
2. 定形尺寸
确定组合体各组成部分形状大小的尺寸。
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[例2] 由立体的轴测图画三视图。
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[例3]
由立体的轴测图画三视图。
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§8-3 组合体的尺寸标注
一、组合体尺寸标注的基本要求 二、尺寸分类和尺寸基准 三、基本形体尺寸注法 四、总体尺寸注法
五、截割体、相贯体的尺寸标注
六、标注尺寸应注意的问题
七、标注尺寸举例
一、组合体尺寸标注的基本要求
5 R6
8 16 ø9
2ø5
2ø3
(a)
6
(b)
6 26 R25 ø9
ø17 ø9
(c)
(d)
5 18
3ø3
五、截割体、相贯体的尺寸标注
6 6 12 12 12 8
6
ø12
ø12 10.5
ø12
ø12
(a)
7
4
(c)
10
(d)
(b)
7.5
ø7
ø12.5
(e)
(f)
15
12
六、标注尺寸应注意的问题
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二、组合体的组合方式
叠加式 — 基本几何形体互相叠合、相切或相贯；