第1章 控制系统的状态空间表达式
控制系统的状态空间表达式
第一章 控制系统的状态空间表达式Chapter 1 State space representation of control systems本章内容• 状态变量及状态空间表达式 • 状态空间表达式的模拟结构图 • 状态空间表达式的建立(1) • 状态空间表达式的建立(2) • 状态矢量的线性变换 • 由传递函数求状态方程• 由状态空间表达式求传递函数阵 • 离散系统的状态空间表达式• 时变系统和非线性系统的状态空间表达式系统的动态特性由状态变量构成的一阶微分方程组来描述，能同时给出系统全部独立变量的响应，因而能同时确定系统的全部内部运动状态。
1.1 状态变量及状态空间表达式1.1 State space representation of control systems 状态变量 (State variables)状态：表征系统运动的信息和行为状态变量：能完全表示系统运动状态的最小个数的一组变量x 1(t ), x 2(t ), …, x n (t ) 状态向量(State vectors)由状态变量构成的向量 x (t )T 123()(),(),()...()n x t x t x t x t x t =⎡⎤⎣⎦状态空间 (State space) • 以各状态变量x 1(t ),x 2(t ),…… x n (t )为坐标轴组的几维空间。
•状态轨迹：在特定时刻t ，状态向量可用状态空间的一个点来表示，随着时间的推移，x (t )将在状态空间描绘出一条轨迹线。
状态方程 (State equations)• 由系统的状态变量与输入变量之间的关系构成的一阶微分方程组。
例1.1 设有一质量弹簧阻尼系统。
试确定其状态变量和状态方程。
解：系统动态方程2()().()().()()()d yF t ky t f yt m dt my t f yt ky t F t ⎧--=⎪⎨⎪++=⎩ 设1()()y t x t =，2()()yt x t = 12()()............................................(1)1()()()()........(2)x t y t f k x t y t y t F t m m m =⎧⎪⎨=--+⎪⎩12212()()1()()()()xt x t k f x t x t x t F t m m m =⎧⎪⎨=--+⎪⎩1122010()()()1()()xt x t F t f k x t x t m m m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ＝ 状态方程的标准形式：()()()xt Ax t Bu t =+ （A ：系统矩阵 B ：输入矩阵） 输出方程 (O u t p u t e q u a t i o n )系统的输出量与状态变量之间的关系[]112()()()10 ()x t y t x t x t ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦()()y t Cx t =(C:输出矩阵）状态方程和输出方程的总和即称为状态空间表达式。
第一章 控制系统的状态空间表达式
9
第一章 控制系统的状态空间表达式
从系统框图建立状态空间表达式
示例
u
K1 T1s 1 K2 T2 s 1 K3 T3 s
y
K4
Step 1: 变换成模拟结构图
u + K1 T1
+ -
1 T1
K2 T2
+
-
1 T2
K3 T3
y
K4
10
第一章 控制系统的状态空间表达式
从系统框图建立状态空间表达式
x1 y 1 0 0 x2 x 3
特点：输入矩阵的最后一个元素是1，其它为零； 输出矩阵的第一个元素为1， 其它为零； 状态矩阵的最后一行由传递函数分母多项式 系数决定，从低次幂系数到高次幂系数排列， 并加负号，直接转移矩阵为零。 22
第一章 控制系统的状态空间表达式
u + K1 T1
3 x
+ -
1 T1
x3
K2 T2
2 x
+
-
Байду номын сангаас
1 T2
x2
K3 T3
1 x
x1 y
K4
状 态 方 程
1 x
K3 x2 T3 1 K2 x2 x3 T2 T2
Step 4: 列出方程 输出方程 y x1
12
2 x 3 x
1 KK K x3 1 4 x1 1 u T1 T1 T1
K3 T3 1 T2 0
0 0 K2 x 0 u T2 K1 1 T 1 T1
13
《现代控制理论》第一章
q1(t) h1(t)
R1 q 2(t)
h2(t)
R2 q 3(t)
h3(t)
R3 q 4(t)
返回
[例2]：图示阻容电路。输入量：输入电压u1（t）。输出流量：电容上的 电压u2（t）。列写状态空间表达式。
R1
R2
u1（t）
i1（t） L
i2（t） C
u2（t）
返回
四. 根据微分方程或传递函数建立状态空间表达式
a0
状态空间表达式为：
0 1 0 0
x
0
0
1
x
0u
a0 a1 a2 1
y b0 b1 b2 x b3u
返回
2、控制系统的原始模型为传递函数的零极点分布形式
（1）无重极点；
Y(s)
F (s)
ABC
U (s) (s a)(s b)(s c) (s a) (s b) (s c)
xynm11((tt))
f [x(t),u(t),t] g[ x(t ), u (t ), t ]
• 输入向量、输出向量、状态向量
• 状态方程为一阶微分方程组的向量矩阵表示形式
• 输出方程为代数方程组的向量矩阵表示形式
• 研究重点为线性定常系统（A、B、C、D常数矩阵）
2. 控制系统结构图
二、控制系统中状态空间表达式及结构框图 1.状态空间表达式的一般形式（四种）
（1） 线性定常系统状态空间表达式 （2） 线性时变系统状态空间表达式
yx nm11((tt))ACnmnnxxnn11((tt))BDnmrururr1(1t()t)
yx nm11((tt))
控制系统的状态空间表达式
式中：x
x2
xn
CT c1 c2 cn
a11
a12
a1n
A
C
若矩对阵caac122n于形1111 一式个 为ccaa多12n22222输入多 输出系ccaa12统n2nnnn， 其m状n态nn空维维间输系表出统 达矩式矩阵的阵
非线性状态方程不可能写成（1-1）的形式，只能一般地表示为：
x f (x, u, t),
其中 f 是 n 维函数列向量。上式也可展开写成
x
1
f1 (x1, x2 ,, xn
;
u1, u2 ,, ul ; t)
x 2
f 2 (x1, x2 ,, xn
;
u1, u2 ,, ul ; t)
出方程
输出量：系统需要着重研究的受控量。
输出量的数目不限，而且可以选择某些受控量的线性组 合作为输出量，或是输出量与受控量的线性组合。
在例1-1中，若指定Uc为输出量，即：u=Uc=X1，
则有输出方程：
y 1
x1
0
x2
或 y CT x ; CT 1 0
x n f n (x1, x2 ,, xn ; u1, u2 ,, ul ; t)
三、状态空间表达式的系统方块图 参见课本P14
四、状态空间表达式的模拟结构图
与状态空间系统方块图不同，模拟结构图反映的是系统各状态变量 之间的信息传递，而方块图表示的是系统整体信号传递的关系。状 态空间的模拟结构图有助于系统的状态空间表达式的建立。
现代控制理论_制系统的状态空间表达式
UC (s) U (s)
LCs2
1 RCs
1
传递函数
只反映外部情况，无法获知内部联系
定义状态变量
R +
u(t) i(t)
输入
_
x1(t) uc (t) x2 (t) i(t)
二阶微分方程，选择两个状态变量
状态向量
x(t) [x1(t), x2 (t)]T
定义输出变量
y(t) x1(t)
L +
如何选取内部信息？
•由控制任务决定： 不同的系统有 不同的控制任务。
•选取应全面，应覆盖所有的内部信息
•信息量恰到好处：“少一个不全，多一个多余”， 即线性无关。
1.1 状态变量及状态空间表达式 •状态：系统内部运动信息的集合
•系统状态为各元器 件的电压和电流 •状态变量：用变量来表示状态的话，能完全描述系统 运动状况的个数最小的一组变量即为状态变量。 •特性：线性无关、个数唯一、状态不唯一
第一章 控制系统的状态空间表达式
本章主要内容： • 状态变量及状态空间表达式 • 状态变量及状态空间表达式的系统结构图 • 状态变量及状态空间表达式的建立 • 状态矢量的线性变换 • 从状态空间表达式求传递函数阵
课程回顾
➢经典控制理论描述系统数学模型的方法： 外部描述：时域内为高阶微分方程、复频域内为输入－输 出关系的传递函数；
1 L
uc
(t)
R L
i(t)
1 L
u(t)
选 x1 uc , x2 uc，则得到一阶微分方程组：
即：
x1 x2
x2
1 LC
x1
R L
x2
1 LC
u
0 1 0
x
状态空间分析法
4
§1-1 状态变量及状态空间表达式
一、状态
状态:动态系统的状态粗略地说就是指系统的过去、现在和 将来的运动状况。精确地说，状态需要一组必要而充分的 数据来说明。
二、状态变量
状态变量：足以完全确定系统运动状态的一组最小（内部） 变量。
y(t) Cx(t) Du(t)
11
§1-1 状态变量及状态空间表达式
例：
R
方法二： 令x1(t)= uc(t)
u(t)
x1
(
t
)
x 2
(
t
)
x1(t)
yx2((tt ))
Lxx1C21((xt1t)(0L)tL1)iC(RLt)1xC12RL(ut )0c(t)Lxx1Cxx12 ((12uLLitt((((Ct))ttti))())utc)(tC)0L1RuRciC((uttux)()ct2(()t t)u)=cu(cut()tc)(t)uu((tt))
四、状态空间 以状态变量x1(t), x2(t) , x3(t) , … , xn(t)为坐标轴
所构成的 n 维空间，称为状态空间。 在特定时刻t，状态向量x (t) = [x1(t) , … , xn(t)]T
在状态空间中是一点 。随着时间的推移，状态向量 x (t) 在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。
x1
(
t
)
x2
(
t
)
0
1
L
现代控制理论总结
现代控制理论总结第一章：控制系统的状态空间表达式1、状态变量，状态空间与状态轨迹的概念：在描述系统运动的所有变量中，必定可以找到数目最少的一组变量，他们足以描述系统的全部运动，这组变量就称为系统的状态变量。
以状态变量X1,，X2，X3，……X n为坐标轴所构成的n维欧式空间（实数域上的向量空间）称为状态空间。
随着时间的推移，x（t）在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。
2、状态空间表达式：状态方程和输出方程合起来构成对一个系统完整的动态描述，称为系统的状态空间表达式。
3、实现问题：由描述系统输入输出关系的运动方程或传递函数建立系统的状态空间表达式，这样的问题称为实现问题单入单出系统传函：W(s)=，实现存在的条件是系统必须满足m<=n，否则是物理不可实现系统最小实现是在所有的实现形式中，其维数最低的实现。
即无零，极点对消的传函的实现。
三种常用最小实现：能控标准型实现，能观标准型实现，并联型实现（约旦型）4、能控标准型实现，能观标准型实现，并联型实现（约旦型）传函无零点系统矩阵A的主对角线上方元素为1，最后一行元素是传函特征多项式系数的负值，其余元素为0，A为友矩阵。
控制矩阵b除最后一个元素是1，其他为0，矩阵A，b具有上述特点的状态空间表达式称为能控标准型。
将b与c矩阵元素互换，另输出矩阵c除第一个元素为1外其他为0，矩阵A，c具有上述特点的状态空间表达式称为能观标准型。
传函有零点见书p17页……..5、建立空间状态表达式的方法：①由结构图建立②有系统分析基里建立③由系统外部描述建立（传函）6、子系统在各种连接时的传函矩阵：设子系统1为子系统2为1）并联：另u1=u2=u，y=y1+y2的系统的状态空间表达式所以系统的传递函数矩阵为：2）串联：由u1=u，u2=y1，y=y2得系统的状态空间表达式为：W(S)=W2(S)W1(S)注意不能写反，应为矩阵乘法不满足交换律3）反馈：系统状态空间表达式：第二章：状态空间表达式的解：1、状态方程解的结构特征：线性系统的一个基本属性是满足叠加原理，把系统同时在初始状态和输入u作用下的状态运动x（t）分解为由初始状态和输入u分别单独作用所产生的运动和的叠加。
现代控制理论_第1章
现代控制理论 机械工程硕士研究生学位课
状态空间表达式
ɺ = Ax + bu x y = cx
x1 0 x 0 2 x = ⋮ , A = ⋮ xn −1 0 xn −a0 1 0 ⋮ 0 −a1 0 1 ⋮ ⋯ ⋯ ⋱ 0 0 0 0 ⋮ , b = ⋮ , c = [1 0 ⋯ 0] 1 0 −an −1 b0
现代控制理论 机械工程硕士研究生学位课
实现问题
实现问题：由描述系统输入-输出动态关系 的运动方程式或传递函数，建立系统的状态 空间表达式。 揭示系统的内部关系 讨论单输入单输出线性定常系统
ɺ = Ax + bu x y = cx + du
现代控制理论 机械工程硕士研究生学位课
两类实现问题
di 1 Ri + L + ∫ idt = u dt C
本例子中 1. 输入和输出都已 明确； 2. 选择两个独立的 储能元件作为状 态变量； 3. 根据电路的基本 定律列出方程
现代控制理论 机械工程硕士研究生学位课
1 y = uc = ∫ idt C
系统状态方程的建立
设状态变量为电感器电流和电容器电压，即
现代控制理论 Modern Control Theory
现代控制理论 机械工程硕士研究生学位课
本课程主要内容
系统描述：状态空间表示法 系统分析：状态方程的解、线性系统的能 控和能观测性、稳定性分析 系统设计：状态反馈和状态观测器 最优控制：最优控制系统及其解法
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§1－1 状态空间变量及状态空间表达式
三. 状态空间 以状态变量为坐标轴所构成的空间为状态空间。
x2
x
x1
x3
●系统任一时刻的状态均可表示为状态空间中的一个点。 ●系统状态随时间变化的过程，在状态空间中描绘出一条轨迹，称为
. 状态轨迹。
§1－1 状态空间变量及状态空间表达式
四. 状态方程 由系统状态变量构成的描述系统动态过程的一阶微分方程组称为 系统的状态方程 。 ●状态方程用于描述系统输入引起系统状态变化的动态过程 。
K1 Kp
u
K1 Kp
＋
K1
Kp
x6
x6
＋
x5
x5
1 x4 J1
x3
x3
Kn
＋
x4
§1－3 状态空间表达式的建立（一）
由以上方框图可知：x1 x 2 x2 x3
状态方程：
x4 x5 x6
J2 x4 Kb K n x4 Kp Kp 1 1 x3 x4 x5 x6 J1 J1 J1 J1 K1 x4 K1 x6 K1 K1 K1 x1 x6 u Kp Kp Kp
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 K p K1 s
＋
故：
K p s K1 s
K1
Kp
＋
§1－3 状态空间表达式的建立（一）
一.从系统方框图出发建立状态空间表达式
1 J1
J2 Kb
J 2S 2
Kn s
Kn
Kb
1 J1s
§1－3 状态空间表达式的建立（一）
＋ －
－
J2 Kb
x2
x2
x1
x1
输出方程为：
y U R2 0
R2
x1 0 x 2 x3
§1－3 状态空间表达式的建立（一）
二.从系统机理出发建立状态空间表达式
习题1－3 有机械系统如下图所示， M 1 和 M 2 分别受外力 f1 和 的作用。求以 M 1 和 M 的运动速度为输出的状态空间表达式。
七. 状态空间表达式的系统方框图
x Ax Bu y Cx Du
D
u
B
+
+
x
A
x
+ C
+
y
§1－2 状态空间表达式的模拟结构图
一. 状态空间表达式模拟结构图的绘制步骤 模拟结构图的三个基本元件：积分器、比例器和加法器。 绘制步骤如下： 1.确定积分器的数目（积分器的数目等于状态变量的数目或微分方程 的阶数），将积分器画在适当的位置，每个积分器的输出对应一个状 态变量。 2.根据给定的数学模型，画出相应的加法器和比例器。 3.用箭头将这些元件连接起来。
§1－2 状态空间表达式的模拟结构图
二. 绘制状态空间模拟结构图的例子 例1 一阶标量微分方程： ax bu x
u
b
+
x
+
a
x
§1－2 状态空间表达式的模拟结构图
二. 绘制状态空间模拟结构图的例子 例2 三阶微分方程 ：
x a 2 a1 x a0 x bu x
§1－3 状态空间表达式的建立（一）
二.从系统机理出发建立状态空间表达式
习题 1－2 有电路如下图所示。以电压 u (t ) 为输入量，求以电感中的电 流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和一电阻 R2 上的电压作 为输出的输出方程。 L2 L1 R1
u (t )
x1 i1 x2 i2
§1－3 状态空间表达式的建立（一）
一.从系统方框图出发建立状态空间表达式
习题1－1 ：已知系统的模拟结构图如下，建立其状态空间表达式
U(s)
K1 K p s K1
K p s K1 s
1 J1s
Kb J 2S 2
) s (
Kn s
§1－3 状态空间表达式的建立（一）
一.从系统方框图出发建立状态空间表达式
第一章 控制系统的状态空间表达式
● 经典控制理论：
u
y
Y ( s) 数学模型： G ( s ) U ( s)
● 现代控制理论：
u
X
y
数学模型：状态空间表达式
§1－1 状态空间变量及状态空间表达式
一. 状态变量 足以完全表征系统运动状态的最少个数的一组变量，称为状态变量。
●可以完全表征系统的运动状态是指：只要给定状态变量在t=t0时刻的
b1s b0 Y ( s ) bm s bm1s W( s ) U( s ) s n a n1s n1 a1s a 0
求出状态空间表达式 ：
m
m1
mn
x Ax b u y Cx d u
§1－4 状态空间表达式的建立（二）
x
u 为r 维控制（输入）向量 ;
A 表征了系统内部状态的联系，称为系统矩阵(n×n)；
B 表征了输入对状态的作用，称为控制矩阵(n×r)；
C 表征了输出与状态变量的关系，称为输出矩阵(m×n)；
D 表征了输出与输入的关系，称为（前馈矩阵）直接传输矩阵(m×r)；
§1－1 状态空间变量及状态空间表达式
一. 实现问题
m ● 实现存在的条件： n。且当m=n时，d 0 ；当 m n ，输出
将含有输入信号的直接微分项，这样当系统输入为阶跃信号时，输出将 趋于无穷大，这在实际系统中是不允许的。
●实现的非唯一性；会有无穷多个状态空间表达式，实现给定的输入
输出关系。
● 没有零极点对消的传递函数的实现称为最小实现。
内部描述
外部描述
§1－4 状态空间表达式的建立（二）
一. 实现问题
由输入输出描述确定状态空间描述的问题称为实现问题。
即若对于单输入、单输出的线性定常系统，已知描述系统动态过程的 微分方程为： y ( n ) a n1 y ( n1 ) a1 y a 0 y bm u ( m ) bm1u ( m1 ) b1u b0 u 或传递函数 ：
§1－1 状态空间变量及状态空间表达式
六. 状态空间表达式 状态方程和输出方程总和起来，构成对一个系统的完整动态描述， 称为系统的状态空间表达式。 ●对于n个状态变量、r个输入、m个输出的动态系统，状态空间表达 . 式的一般形式为： x Ax Bu
y Cx Du
其中： 为n维状态变量； y 为m维输出向量；
+
y
§1－3 状态空间表达式的建立（一）
建立系统的状态空间表达式主要有三种方法： 1.根据系统的方框图列写； 2.从系统的基本原理进行推导； 3.根据传递函数或高阶微分方程实现。
一.从系统方框图出发建立状态空间表达式
该方法的基本步骤是将系统方框图中的各环节进行适当的变换，化 为只包含积分环节、比例环节和加法器的方框图，把每个积分环节的输 出作为状态变量。由模拟结构图直接写出系统的状态空间表达式。
1 1 L 0 L 1 x1 1 x 0 R2 1 2 L2 L2 x3 1 1 0 C C
1 x1 L1 x2 0 u x3 0
u
X
y
●状态方程的一般形式为：
x Ax Bu
§1－1 状态空间变量及状态空间表达式
五. 输出方程 在指定系统输出y 的情况下，输出y 与状态变量x 及系统输入u 的 函数关系式，称为系统的输出方程 。
●系统的状态和输入决定了系统输出的变化 。
u
●输出方程的一般形式为 ：
X
y
y Cx Du
1 K K1 s 1 K sK K p 1 K1 1 p 1 Kp s
K1 K p s K1
由于：
故：
－
K1 Kp
K1 Kp
＋
§1－3 状态空间表达式的建立（一）
一.从系统方框图出发建立状态空间表达式
由于：
K p s K1 s
i1
C
i2 UC
R2
解：令
x3 U C
由基尔霍夫电压定律有： u－R x L x x 0 1 1 1 1 3
L2 x2 R2 x2 x3 0
§1－3 状态空间表达式的建立（一）
二.从系统机理出发建立状态空间表达式
由基尔霍夫电流定律有： C x3 x 2 x1 0 整理可得 状态方程为： R
§1－1 状态空间变量及状态空间表达式
二. 状态向量 由系统状态变量构成的向量，称为系统的状态向量。
●若一个系统有n个状态变量 x1 (t )、x 2 (t )、 、x n (t ) ，把这些状态
变量看作是向量的分量，则就称为状态向量。
x1 (t ) x (t ) 2 x(t ) x n (t )
§1－3 状态空间表达式的建立（一）
二.从系统机理出发建立状态空间表达式
输出方程为：
x1 x y1 0 0 1 0 2 y 0 0 0 1 x 3 2 x4
§1－4 状态空间表达式的建立（二）
外部描述（输入输出描述）：传递函数、微分方程； 内部描述：状态空间表达式；
有：
M 1 x3 f1 K 2 ( x1 x2 ) B1( x3 x4 )