高中数学阶段分层突破4.3学案苏教版选修4_4
江苏专用版2018_2019学年高中数学阶段分层突破4.4学案苏教版选修4_420181002330
阶段分层突破4.4参数方程⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 参数方程的意义参数方程与普通方程的互化常见曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ 直线的参数方程圆的参数方程圆锥曲线的参数方程平摆线、渐开线的参数方程参数方程的应用等式、整体消元法等，但一定要注意转化的等价性．把下列曲线的参数方程化为普通方程，并指出方程所表示的曲线是什么曲线．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝21＋t 2，y ＝2t 1＋t 2(t 为参数)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)． 【解】 (1)两式相除，得t ＝y x， 代入任何一个方程中化简，得x 2＋y 2－2x ＝0. ∵t 2≥0，∴0＜x ≤2. ∴普通方程为x 2＋y 2－2x ＝0(0＜x ≤2)．该方程表示圆心在(1,0)，半径为1的圆除去点(0,0)．(2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ，得x 2＝y ＋1.∵|y |＝|sin 2θ|≤1，∴普通方程为x 2＝y ＋1(－1≤y ≤1)．该方程表示抛物线夹在两平行线y ＝1和y ＝－1之间的部分.参数思想在解题中有着广泛的应用，例如直线参数方程主要用来解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，在解决这类问题时，利用直线参数方程中参数l 的几何意义，可以避免通过解方程组求交点等繁琐运算，使问题得到简化．过点P (2,1)作直线l 分别交x 轴，y 轴的正方向于A 、B 两点，求AP ·BP 值最小时，直线l 的方程． 【解】 如图，设直线的倾斜角为α(π2<α<π)，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)．由于点A 的纵坐标为0，所以点A 对应的参数t 1＝－1sin α； 由于点B 的横坐标为0，所以点B 对应的参数t 2＝－2cos α. 从而AP ·BP ＝|t 1t 2|＝2|sin αcos α|＝4|sin 2α|. 当|sin 2α|＝1，即当α＝3π4时， AP ·BP 最小，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为12，点P (x ，y )是椭圆上的一个动点，若2x ＋3y 的最大值为10，求椭圆的标准方程．【导学号：98990041】【解】 离心率为12，设椭圆标准方程是x 24c 2＋y 23c 2＝1，它的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2c cos θ，y ＝3c sin θ(θ是参数)，2x ＋3y ＝4c cos θ＋3c sin θ＝5c sin(θ＋φ)的最大值是5c ，由题意得5c ＝10，所以c ＝2，所以椭圆的标准方程是x2 16＋y212＝1.百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。
高中数学 第二章 参数方程阶段分层突破学案 苏教版选修44
第二章 参数方程阶段分层突破参数方程⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 参数方程的意义参数方程与普通方程的互化常见曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ 直线的参数方程圆的参数方程圆锥曲线的参数方程平摆线、渐开线的参数方程参数方程的应用等式、整体消元法等，但一定要注意转化的等价性．把下列曲线的参数方程化为普通方程，并指出方程所表示的曲线是什么曲线．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝21＋t 2，y ＝2t 1＋t 2(t 为参数)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)． 【解】 (1)两式相除，得t ＝y x， 代入任何一个方程中化简，得x 2＋y 2－2x ＝0. ∵t 2≥0，∴0＜x ≤2. ∴普通方程为x 2＋y 2－2x ＝0(0＜x ≤2)．该方程表示圆心在(1,0)，半径为1的圆除去点(0,0)．(2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ，得x 2＝y ＋1.∵|y |＝|sin 2θ|≤1，∴普通方程为x 2＝y ＋1(－1≤y ≤1)．该方程表示抛物线夹在两平行线y ＝1和y ＝－1之间的部分.参数思想在解题中有着广泛的应用，例如直线参数方程主要用来解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，在解决这类问题时，利用直线参数方程中参数l 的几何意义，可以避免通过解方程组求交点等繁琐运算，使问题得到简化．过点P (2,1)作直线l 分别交x 轴，y 轴的正方向于A 、B 两点，求AP ·BP 值最小时，直线l 的方程． 【解】 如图，设直线的倾斜角为α(π2<α<π)，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)．由于点A 的纵坐标为0，所以点A 对应的参数t 1＝－1sin α； 由于点B 的横坐标为0，所以点B 对应的参数t 2＝－2cos α. 从而AP ·BP ＝|t 1t 2|＝2|sin αcos α|＝4|sin 2α|. 当|sin 2α|＝1，即当α＝3π4时， AP ·BP 最小，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为12，点P (x ，y )是椭圆上的一个动点，若2x ＋3y 的最大值为10，求椭圆的标准方程．【导学号：98990041】【解】 离心率为12，设椭圆标准方程是x 24c 2＋y 23c 2＝1，它的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2c cos θ，y ＝3c sin θ(θ是参数)，2x ＋3y ＝4c cos θ＋3c sin θ＝5c sin(θ＋φ)的最大值是5c ，由题意得5c ＝10，所以c ＝2，所以椭圆的标准方程是x2 16＋y212＝1.。
「精品」高中数学4.4.3第1课时直线的参数方程的应用学案苏教版选修4_4
第1课时 直线的参数方程的应用1．写出直线的参数方程．2．通过直线的参数方程的应用，感受参数的意义及其作用．[基础·初探]直线的参数方程直线参数方程的常见形式：过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋l cos α，y ＝y 0＋l sin α(l 为参数)．其中参数l 的几何意义是有向线段P 0P 的数量，|l |表示P 0P 的长度．[思考·探究]1．怎样理解参数l 的几何意义？【提示】 参数l 的几何意义是P 0到直线上任意一点P (x ，y )的有向线段P 0P 的数量．当点P 在点P 0的上方或右方时，l 取正值，反之，l 取负值；当点P 与P 0重合时，l ＝0.2．如何由直线的参数方程求直线的倾斜角？【提示】 如果直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos θ，y ＝y 0＋t sin θ(t 为参数)的形式，由方程直接可得出倾斜角，即方程中的角θ，例如，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 15°，y ＝1＋t sin 15°，则直线的倾斜角为15°.如果不是上述形式，例如直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t sin 15°，y ＝1＋t cos 15°(t 为参数)的倾斜角就不能直接判断了．第一种方法：把参数方程改写为⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝t sin 15°，y －1＝t cos 15°，消去t ，有y －1＝1tan 15°(x －1)，即y －1＝tan 75°(x －1)，故倾斜角为75°.第二种方法：把原方程化为参数方程和标准形式，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 75°，y ＝1＋t sin 75°，可以看出直线的倾斜角为75°.[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________(1)写出直线l 的参数方程；(2)求直线l 与直线x －y ＋1＝0的交点． 【自主解答】 (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos 120°，y ＝4＋t sin 120°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3－12t ，y ＝4＋32t (t 为参数)．(2)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12t ，y ＝4＋32t 代入x －y ＋1＝0，得3－12t －4－32t ＋1＝0，得t ＝0.把t ＝0代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12t ，y ＝4＋32t 得两直线的交点为(3,4)．[再练一题]1．已知两点A (1,3)，B (3,1)和直线l ：y ＝x ，求过点A 、B 的直线的参数方程，并求它与直线l 的交点M 分AB 的比．【导学号：98990032】【解】 设直线AB 上动点P (x ，y )，选取参数λ＝APPB，则直线AB 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3λ1＋λ，y ＝3＋λ1＋λ(λ为参数，λ≠－1)．①把①代入y ＝x ，得1＋3λ1＋λ＝3＋λ1＋λ，得λ＝1，所以M 分AB 的比：AMMB＝1.求直线⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝3t(t 为参数)被双曲线x 2－y 2＝1截得的弦长．【思路探究】 先求出直线和双曲线的交点坐标，再用两点间的距离公式，或者用直线参数方程中参数的几何意义求弦长．【自主解答】 令t ＝112＋32t ′，即t ′＝2t ，则直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ′cos θ，y ＝t ′sin θ(其中sin θ＝32，cos θ＝12)， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ′cos θ，y ＝t ′sin θ代入双曲线方程，得t ′2－4t ′－6＝0，所以弦长＝|t 1′－t 2′|＝t 1′＋t22－4t 1′t 2′＝42＋4×6＝210.方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt 中t 的几何意义为定点P 0(x 0，y 0)到动点P (x ，y )的有向线段的数量，有两个原则：其一为a 2＋b 2＝1，其二为b≥0.这是因为α为直线的倾斜角时，必有sin 2α＋cos 2α＝1及sin α≥0.不满足上述原则时，则必须通过换元的方法进行转化后，才能利用直线参数方程的几何意义解决问题．[再练一题]2．(湖南高考)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s(s 为参数)和直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)平行，则常数a 的值为________．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s 消去参数s ，得x ＝2y ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1消去参数t ，得2x ＝ay ＋a .∵l 1∥l 2，∴2a ＝12，∴a ＝4.【答案】 4[真题链接赏析](教材第57页习题4.4第6题)运用4.4.2小节中例3的结论：(1)求经过点P (1，－5)，倾斜角是π3的直线的参数方程；(2)求(1)中的直线与直线x －y －23＝0的交点到点P 的距离．(江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．【命题意图】 本题考查参数方程与普通方程的互化以及直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查转化、分析问题的能力和运算能力．【解】 因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1，得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －，y 2＝2x ，解得公共点的坐标为(2,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1.1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 50°，y ＝3－t sin 40°(t 为参数)的倾斜角α＝________.【解析】 根据tan α＝－sin 40°cos 50°＝－1，因此倾斜角为135°.【答案】 135° 2．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋5t ，y ＝1－2t(t 为参数)与坐标轴的交点是________．【导学号：98990033】【解析】 当x ＝－2＋5t ＝0时，解得t ＝25，可得y ＝1－2t ＝15，当y ＝1－2t ＝0时， 解得t ＝12，可得x ＝－2＋5t ＝12，∴曲线与坐标轴的交点坐标为(0，15)，(12，0)．【答案】 (0，15)，(12，0)3．点(－3,0)到直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t ，y ＝22t (t 为参数)的距离为________．【解析】 直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝22t 化为普通方程为x －22y ＝0.∴点(－3,0)到直线的距离为|－3－0|1＋－222＝1.【答案】 1 4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t (t 为参数)被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为________．【答案】14我还有这些不足：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________。
江苏专用高中数学4.4.3第2课时圆、椭圆的参数方程的应用学案苏教版选修4-4(2021年整理)
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第2课时圆、椭圆的参数方程的应用1．能用曲线的参数方程去研究曲线的性质．2．会用参数法解决圆锥曲线中的最值、定值等问题．[基础·初探］1．圆的参数方程圆的参数方程的常见形式为错误!(α为参数)．其中，参数α的几何意义是以圆心A（a,b）为顶点，且与x轴同向的射线按逆时针方向旋转到圆上一点P所在半径成的角．2．椭圆的参数方程椭圆的参数方程的常见形式为错误!(θ为参数）．［思考·探究］1．椭圆的参数方程与圆的参数方程有什么区别和联系？【提示】椭圆错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)和圆x2＋y2＝r2普通方程都是平方和等于1的形式，故参数方程都运用了三角代换法，只是参数方程的常数不同．2．椭圆的参数方程中参数φ的几何意义是什么?【提示】从几何变换的角度看,通过伸缩变换，令错误!椭圆错误!＋错误!＝1可以变成圆x′2＋y′2＝1。
利用圆x′2＋y′2＝1的参数方程｛x′＝cos φ，，y′＝sin φ（φ是参数）可以得到椭圆错误!＋错误!＝1的参数方程错误!(φ是参数)．因此，参数φ的几何意义应是椭圆上任意一点M所对应的圆的半径OA(或OB）的旋转角(称为离心角）,而不是OM的旋转角，如图．［质疑·手记］预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问2:_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问3：_____________________________________________________解惑:_____________________________________________________疑问4：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________圆的参数方程的应用在圆x2＋2x＋y2＝0上求一点，使它到直线2x＋3y－5＝0的距离最大．【自主解答】圆的方程x2＋2x＋y2＝0可化为(x＋1）2＋y2＝1，所以设圆的参数方程为错误!设P(－1＋cos θ，sin θ)，则点P到直线2x＋3y－5＝0的距离为d＝错误!＝错误!＝错误!（其中sin α＝错误!,cos α＝错误!)．当sin(θ＋α）＝－1,θ＋α＝错误!，即θ＝错误!－α时，d取到最大值错误!，此时x＝－1＋cos θ＝－1－错误!,y＝sin θ＝－错误!，即点P（－1－错误!，－错误!）即为所求．[再练一题]1．已知点P（x，y)在圆x2＋y2＝1上，求x2＋2xy＋3y2的最大值和最小值．【解】圆x2＋y2＝1的参数方程为错误!（α为参数）．∴x2＋2xy＋3y2＝cos2α＋2cos αsin α＋3sin2α＝错误!＋sin 2α＋3×错误!＝2＋sin 2α－cos 2α＝2＋错误!sin(2α－错误!)．则当α＝k π＋错误!(k ∈Z )时，x 2＋2xy ＋3y 2取最大值为2＋错误!,当α＝k π－错误!（k ∈Z )时，x 2＋2xy ＋3y 2取最小值为2－错误!。
2018_2019学年高中数学阶段分层突破4.4学案苏教版选修4_4word版本
阶段分层突破4.4参数方程⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 参数方程的意义参数方程与普通方程的互化常见曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ 直线的参数方程圆的参数方程圆锥曲线的参数方程平摆线、渐开线的参数方程参数方程的应用利用三角恒等式、整体消元法等，但一定要注意转化的等价性．把下列曲线的参数方程化为普通方程，并指出方程所表示的曲线是什么曲线．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝21＋t2，y ＝2t 1＋t2(t 为参数)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)． 【解】 (1)两式相除，得t ＝y x ， 代入任何一个方程中化简，得x 2＋y 2－2x ＝0. ∵t 2≥0，∴0＜x ≤2. ∴普通方程为x 2＋y 2－2x ＝0(0＜x ≤2)．该方程表示圆心在(1,0)，半径为1的圆除去点(0,0)．(2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ，得x 2＝y ＋1.∵|y |＝|sin 2θ|≤1，∴普通方程为x 2＝y ＋1(－1≤y ≤1)．该方程表示抛物线夹在两平行线y ＝1和y ＝－1之间的部分.参数思想在解题中有着广泛的应用，例如直线参数方程主要用来解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，在解决这类问题时，利用直线参数方程中参数l 的几何意义，可以避免通过解方程组求交点等繁琐运算，使问题得到简化．过点P (2,1)作直线l 分别交x 轴，y 轴的正方向于A 、B 两点，求AP ·BP 值最小时，直线l 的方程． 【解】 如图，设直线的倾斜角为α(π2<α<π)，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋tcos α，y ＝1＋tsin α(t 为参数)．由于点A 的纵坐标为0，所以点A 对应的参数t 1＝－1sin α； 由于点B 的横坐标为0，所以点B 对应的参数t 2＝－2cos α. 从而AP ·BP ＝|t 1t 2|＝2|sin αcos α|＝4|sin 2α|. 当|sin 2α|＝1，即当α＝3π4时， AP ·BP 最小，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为12，点P (x ，y )是椭圆上的一个动点，若2x ＋3y 的最大值为10，求椭圆的标准方程．【导学号：98990041】【解】 离心率为12，设椭圆标准方程是x24c2＋y23c2＝1，它的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2ccos θ，y ＝3csin θ(θ是参数)，2x ＋3y ＝4c cos θ＋3c sin θ＝5c sin(θ＋φ)的最大值是5c ，由题意得5c ＝10，所以c ＝2，所以椭圆的标准方程是x216＋y212＝1.。
高中数学4.4参数方程阶段分层突破课件苏教版选修4-4
参数方程的应用
参数方程是研究曲线的辅助工具，多注重参数方程与普通方程的互化．参数 思想在解题中有着广泛的应用，例如直线参数方程主要用来解决直线与圆锥曲线 的位置关系问题，在解决这类问题时，利用直线参数方程中参数 l 的几何意义，可 以避免通过解方程组求交点等繁琐运算，使问题得到简化．
巩 层
· 知
识
整 合
阶
阶段分层突破
段 综
合
提
测
升
评
层
· 能 力 强
化
参数方程的意义
参数方程与普通方程的互化
直线的参数方程
参数方程常见曲线的参数方程圆 圆 平的 锥 摆参 曲 线数 线 、方 的 渐程 参 开数 线方 的程 参数方程
参数方程的应用
参数方程与普通方程的互化 将参数方程化为普通方程实质上就是消参的过程，常用的方法有代入消元、 利用三角恒等式、整体消元法等，但一定要注意转化的等价性．
高中数学 第一章 坐标系阶段分层突破学案 苏教版选修4
第一章 坐标系阶段分层突破坐标系⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧ 平面直角坐标系⎩⎪⎨⎪⎧直角坐标系直角坐标系中常见变换⎩⎪⎨⎪⎧ 平移变换伸缩变换球坐标系柱坐标系极坐标系⎩⎪⎨⎪⎧曲线的极坐标方程常见曲线的极坐标方程⎩⎪⎨⎪⎧直线的极坐标方程圆的极坐标方程圆锥曲线的极坐标方程极坐标与直角坐标互化的公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x ，当不能直接使用公式时，可通过适当变换，化成能使用的形式．把下列极坐标化为直角坐标：(1)M ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，56π；(2)N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32π；(3)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，54π；(4)Q ⎝⎛⎭⎪⎫2，－π6.【解】 (1)由题意知x ＝5cos 56π＝5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－532，y ＝5sin 56π＝5×12＝52.所以M 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－532，52.(2)x ＝2cos 32π＝2×0＝0，y ＝2sin 32π＝2×(－1)＝－2.所以N 点的直角坐标为(0，－2)．(3)x ＝2cos 54π＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－2，y ＝2sin 54π＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－ 2. 所以P 点的直角坐标为()－2，－2. (4)x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2×32＝3， y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1.所以Q 点的直角坐标为Q (3，－1).ρ和θ的含义．(陕西高考)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．【导学号：98990024】【解析】 直线2ρcos θ＝1可化为2x ＝1，即x ＝12；圆ρ＝2cos θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝2x .将x ＝12代入x 2＋y 2＝2x 得y 2＝34，∴y ＝±32. ∴弦长为2×32＝ 3. 【答案】3变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λ＞，y ′＝μy μ＞，其中P (x ，y )为变换前的点，P ′(x ′，y ′)为变换后的点．将圆锥曲线C 按伸缩变换公式⎩⎪⎨⎪⎧3x ′＝x ，2y ′＝y 变换后得到双曲线x ′2－y ′2＝1，求曲线C 的方程．【解】 设曲线C 上任意一点P (x ，y )，通过伸缩变换后的对应点为P ′(x ′，y ′)，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ′＝x ，2y ′＝y得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y ，代入x ′2－y ′2＝1得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即x 29－y 24＝1为所求．。
高中数学 第一章 坐标系阶段分层突破学案 苏教版选修4-4(2021年最新整理)
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第一章坐标系阶段分层突破坐标系错误!极坐标与直角坐标的互化极坐标与直角坐标互化的公式错误!或错误!当不能直接使用公式时，可通过适当变换,化成能使用的形式．把下列极坐标化为直角坐标:（1）M错误!；（2）N错误!；(3）P错误!；（4）Q错误!。
【解】(1）由题意知x＝5cos 错误!π＝5×错误!＝－错误!,y＝5sin 错误!π＝5×错误!＝错误!。
所以M点的直角坐标为错误!.(2)x＝2cos 错误!π＝2×0＝0,y＝2sin 错误!π＝2×（－1）＝－2。
所以N点的直角坐标为(0,－2)．(3)x＝2cos 错误!π＝2×错误!＝－错误!，y＝2sin 54π＝2×错误!＝－错误!。
所以P点的直角坐标为错误!.（4)x＝2cos错误!＝2×错误!＝错误!,y＝2sin错误!＝2×错误!＝－1。
所以Q点的直角坐标为Q（错误!，－1）.极坐标的应用ρ和θ的含义．（陕西高考)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．【导学号:98990024】【解析】直线2ρcos θ＝1可化为2x＝1，即x＝错误!；圆ρ＝2cos θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程是x2＋y2＝2x。
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阶段分层突破
4.3
坐标系
⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪
⎪⎪⎧ 平面直角坐标系⎩⎪⎨⎪⎧
直角坐标系直角坐标系中常见变换⎩⎪⎨⎪⎧
平移变换伸缩变换球坐标系
柱坐标系
极坐标系
⎩⎪⎨⎪⎧
曲线的极坐标方程
常见曲线的
极坐标方程⎩⎪⎨⎪⎧
直线的极坐标方程圆的极坐标方程
圆锥曲线的极坐标方程
极坐标与直角坐标互化的公式⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ
或⎩
⎪⎨⎪
⎧
ρ2
＝x 2
＋y 2
，tan θ＝y x ，当不能直接使
用公式时，可通过适当变换，化成能使用的形式．
把下列极坐标化为直角坐标：
(1)M ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，56π；(2)N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32π；(3)P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，54π；
(4)Q ⎝
⎛⎭⎪⎫2，－π6.
【解】 (1)由题意知x ＝5cos 56π＝5×⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－32＝－532，y ＝5sin 56π＝5×12＝52.
所以M 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－532，52.
(2)x ＝2cos 32π＝2×0＝0，y ＝2sin 3
2π＝2×(－1)＝－2.所以N 点的直角坐标为(0，
－2)．
(3)x ＝2cos 54π＝2×⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－22＝－2，
y ＝2sin 54
π＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－
22＝－ 2. 所以P 点的直角坐标为()－2，－2. (4)x ＝2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6＝2×32＝3， y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12
＝－1.
所以Q 点的直角坐标为Q (3，－1).
ρ和θ的含义．
(陕西高考)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．
【导学号：98990024】
【解析】 直线2ρcos θ＝1可化为2x ＝1，即x ＝12；圆ρ＝2cos θ两边同乘ρ得
ρ2
＝2ρcos θ，化为直角坐标方程是x 2
＋y 2
＝2x .
将x ＝12代入x 2＋y 2＝2x 得y 2
＝34，
∴y ＝±
3
2
. ∴弦长为2×3
2＝ 3. 【答案】
3
变换公式⎩
⎪⎨
⎪⎧x ′＝λ
x λ＞，y ′＝μy μ＞
，
其中P (x ，y )为变换前的点，P ′(x ′，y ′)为变换
后的点．
将圆锥曲线C 按伸缩变换公式⎩
⎪⎨
⎪⎧
3x ′＝x ，2y ′＝y 变换后得到双曲线x ′2－y ′2
＝1，
求曲线C 的方程．
【解】 设曲线C 上任意一点P (x ，y )，通过伸缩变换后的对应点为P ′(x ′，y ′)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
3x ′＝x ，2y ′＝y
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝13x ，y ′＝1
2y ，
代入x ′2
－y ′2
＝1
得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32－⎝ ⎛⎭
⎪⎫y 22
＝1，即x 29－y 2
4＝1为所求．。