多维随机变量及其分布
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多维随机变量及其分布
解
(1) F ( x, y)
y
x
f ( x , y) d x d y
y x ( 2 x y ) d x d y , x 0, y 0, 0 0 2e 其它. 0,
(1 e 2 x )(1 e y ), x 0, y 0. 得 F ( x , y) 其它. 0,
8 3 2 14 , 13/102
§3.1 二维随机变量
3 2 P{ X 1,Y 1} 1 1 8 3 2 14 ,
2 8 1 P{ X 0,Y 2} 2 2 28 , 3 3 8 9 P{ X 1,Y 0} 1 1 2 28 ,
y
先在图像上画出非0区
O x
20/102
§3.1 二维随机变量
(2) 将 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标
即有 {Y X } {( X ,Y ) G },
P{Y X } P{( X ,Y ) G }
y
f ( x , y ) d x d y
G
YX
2e 0 y
具有同二维类似的性质。
§3.1 二维随机变量
二维离散型的随机变量：
定义：若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不相同的值 是有限对或可列无限多对，则称(X,Y)是离散型随机变量
二维离散型随机变量的分布律：
设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的值为(xi,yj)，i， j＝1,2,…, 记P{X=xi,Y=yj}=pij，i，j＝1,2,…,则由概率的定义有： pij≥0，
(1) F ( x, y)
y
x
f ( x , y) d x d y
y x ( 2 x y ) d x d y , x 0, y 0, 0 0 2e 其它. 0,
(1 e 2 x )(1 e y ), x 0, y 0. 得 F ( x , y) 其它. 0,
8 3 2 14 , 13/102
§3.1 二维随机变量
3 2 P{ X 1,Y 1} 1 1 8 3 2 14 ,
2 8 1 P{ X 0,Y 2} 2 2 28 , 3 3 8 9 P{ X 1,Y 0} 1 1 2 28 ,
y
先在图像上画出非0区
O x
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§3.1 二维随机变量
(2) 将 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标
即有 {Y X } {( X ,Y ) G },
P{Y X } P{( X ,Y ) G }
y
f ( x , y ) d x d y
G
YX
2e 0 y
具有同二维类似的性质。
§3.1 二维随机变量
二维离散型的随机变量：
定义：若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不相同的值 是有限对或可列无限多对，则称(X,Y)是离散型随机变量
二维离散型随机变量的分布律：
设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的值为(xi,yj)，i， j＝1,2,…, 记P{X=xi,Y=yj}=pij，i，j＝1,2,…,则由概率的定义有： pij≥0，
第三章相互独立的随机变量(多维随机变量及其分布)
f X ( x) fY ( y), x, y R,
10:42:20
即 1 , 2 , 1 , 2 ; ), 且已知X与Y
2 2
相互独立， 由于 f ( x , y )，f X ( x )，fY ( y )都是连续函数，
故对于所有的 x , y , f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )成立, 特别地，取 x 1 , y 2 , 则 f ( 1 , 2 ) f X ( 1 ) fY ( 2 ),
求X与 Y的边缘分布函数，并判断X与Y是否相互 独立？
x
y
10:42:20
2
(1 e x )(1 e y ), x 0, y 0, F ( x, y) 解 其它. 0, 1 e x , x 0, F X ( x ) F ( x , ) 其它. 0, 同理 y 1 e , y 0, FY ( y ) F ( , y ) 其它. 0,
则X , Y独立的充分必要条件是 随机向量 ( X ,Y ) 有联合密度 f ( x , y )，且 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
在平面上几乎处处成立 .
这里“几乎处处成立”的含义是：在平面上 除去面积为0的集合外，处处成立.
10:42:20
9
下面考察二维正态随机变量的两个分量的 独立性. 由第二节的讨论可知，
10
f ( x, y)
1 2σ1σ 2 1 ρ
2
( X , Y ) ~ N ( 1 , 2 , 1 , 2 ; ),
2 2
1 ( x μ1 ) 2 ( x μ1 )( y μ2 ) ( y μ2 ) 2 exp 2ρ 2 2 2 σ1 σ 2 σ2 2(1 ρ ) σ1
概率论第三章 多维随机变量及其分布
1 3
概率论
y
y x
o
x
概率论
四、课堂练习
设随机变量(X,Y)的概率密度是
f
x,
y
k
6
x
y,
0,
0 x 2,2 y 4, 其它.
(1) 确定常数 k;
(2) 求概率 PX 1,Y 3 .
解 (1) 1 f x, ydxdy
R2
k
2 dx
46
0
2
x
y dy
k
2 dx
46
概率论
同理, Y的分布律为:
P{Y y j} pij ˆ p•j , j 1,2,, i1
分别称pi• (i 1, 2,), 和p• j , (j 1, 2,)为(X, Y)关于 X和关于Y的边缘分布律.
概率论
例1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次 抛掷中正面出现的次数 ，而 Y 为正面出现次数与 反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律 和边缘分布律.
也就是说,对于给定的
不同的 对应
不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都是一样的.
此例表明 由边缘分布一般不能确定联合分布.
概率论
五、小结
1. 在这一讲中，我们与一维情形相对照，介 绍了二维随机变量的边缘分布. 2. 请注意联合分布和边缘分布的关系: 由联合分布可以确定边缘分布; 但由边缘分布一般不能确定联合分布.
随机变量维（X,Y )的概率密度 , 或 称为随机变量 X 和 Y 的联合概 率密度.
概率论
一维随机变量X
连续型
F x x
f tdt
x
X的概率密度函数
f x x R
多维随机变量及其分布的概念
多维随机变量及其分布对于多维随机变量应理解其概念及其性质，在多位随机变量中，二维随机变量是基础，很多结论都是可以从二维随机变量推广到多维的。
对于二维随机变量，不仅要理解联合分布的概念与性质，还要理解二维离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件分布和二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度、和条件密度。
一、多维随机变量的联合分布函数、边缘分布函数 [1]多维随机变量的及其分布的概念：如果N 维向量12{,}n X X X ⋅⋅⋅的每个分量都是随机变量，则，称之为N 维随机变量，并称函数121122(,){,,}n n n F x x x P X x X x X x ⋅⋅⋅=≤≤⋅⋅⋅≤是N 维随机变量12{,}n X X X ⋅⋅⋅的联合分布函数。
称函数(){}(,,,,i i ii F x P X x F x =≤=+∞+∞⋅⋅⋅+∞+∞为N 维向量12{,}n X X X ⋅⋅⋅关于i X 的边缘分布，或为12(,)n F x x x ⋅⋅⋅的边缘分布函数。
[2]二维随机变量的联合分布函数的概念和性质a) 二维随机变量的联合分布函数的概念：二维随机变量的联合分布函数定义如下：(,)(,)F x y P X x Y y =≤≤b) 二维随机变量的联合分布函数的性质：① 对于任意x,y, 0(,)1F x y ≤≤② (,)F x y 为关于x 或y 均为单调非降、右连续的函数。
③ (,)(,)(,)F F y F x -∞+∞=-∞=-∞=④ (,)1F +∞+∞=⑤ 发生在矩形区域上的概率：(,)(,P a X b c Y d F a<≤<≤=[3]二维随机变量的边缘分布的概念二维随机变量(,)X Y 关于X 与Y 的边缘分布函数分别定义为： ①(){}{,}(,)x F x P X x P X x Y F x =≤=≤<+∞=+∞ ②(){}{,}(,)y F y P Y y P X Y y F Y =≤=<+∞≤=+∞二、二维离散型随机变量[1]二维离散型随机变量的联合概率分布的概念：二维离散型随机变量(,)X Y 是只能去有限个或可列个值，其相应的概率表示为：(,)i i ij P X x Y y p === (,1,2,3i j =⋅⋅⋅并称为联合概率分布或联合分布律： [2] 二维离散型随机变量的联合概率分布的性质：（a,d ）①(,)0i i ij P Xx Y y p ===≥ (,1,2,3i j =⋅⋅⋅②1ijijp=∑∑③(,)i j ij x x y yF x y p ≤≤=∑∑[3]二维离散型随机变量的边缘分布：二维离散型随机变量(,)X Y 关于X 和Y 的边缘概率分布（或边缘分布律）分别定义为：{}{,}i i ij i jjjp P X x P X x Y y p ∙======∑∑ {}{,}j i ij i jiip P Y y P X x Y y p ∙======∑∑ 依据边缘分布函数的定义：(){}{}i i x i i x xx xF x P X x p X x p ∙≤≤=≤===∑∑(){}{}j j y ijy yy yF x P Y y p Y y p∙≤≤=≤===∑∑[4]二维离散型随机变量的条件分布① 定义：设{}0j j p P Y y ∙==>，在事件“j Y y =”发生的条件下，事件“i X x =”发生的条件概率为：{,}{}()i j iji j j jP X x Y y p P X x Y y P Y y p ∙=======(,1,2,3)i j =⋅⋅⋅称为在“j Y y =”条件下，X 的条件分布律。
第三章 多维随机变量及其分布
i 1 n
则称X 1 , X 2 , , X n相互独立。
3.3
多维随机变量函数的分布
一、多维离散随机变量函数的分布 二、最大值与最小值的分布
三、连续场合的卷积公式
四、变量变换法
一、多维离散随机变量函数的分布
泊松分布的可加性
设X P(1 ), Y P(2 )，且X 与Y 独立，则Z X Y P(1 2 ).
二项分布的可加性
设X b(n, p), Y P(m, p)，且X 与Y 独立，则Z X Y b(n m, p).
二、最大值和最小值的分布
最大值分布
设X1 , X 2 , , X n是相互独立的n个随机变量，若Y max( X1 , X 2 , , X n )， 则Y的分布称为最大值分布。
y y
0
1
U g1 ( X , Y ) V g2 ( X , Y )
则(U ,V )的联合分布函数为 p( , ) p( x( , ), y( , )) | J |
积的公式
设X 与Y 相互独立，其密度函数分别为p X ( x)和pY ( y )。则 U XY的密度函数为 pU ( )
P( X x , Y y ) P( X x ), i 1, 2,
j 1 i j i
被称为X 的边际分布列，类似地，对i求和所得的分布列
P( X x , Y y ) P(Y y ), j 1, 2,
i别地, 当n 2时( X , Y )为二维随机变量。
其联合分布函数为（ F x, y） P （X x, Y y）
若F(x,y)是二维随机变量(X,Y)的分布函数, 则 它表示随机点(X,Y)落在二维区域D内的概率, 其中D 如下图所示:
则称X 1 , X 2 , , X n相互独立。
3.3
多维随机变量函数的分布
一、多维离散随机变量函数的分布 二、最大值与最小值的分布
三、连续场合的卷积公式
四、变量变换法
一、多维离散随机变量函数的分布
泊松分布的可加性
设X P(1 ), Y P(2 )，且X 与Y 独立，则Z X Y P(1 2 ).
二项分布的可加性
设X b(n, p), Y P(m, p)，且X 与Y 独立，则Z X Y b(n m, p).
二、最大值和最小值的分布
最大值分布
设X1 , X 2 , , X n是相互独立的n个随机变量，若Y max( X1 , X 2 , , X n )， 则Y的分布称为最大值分布。
y y
0
1
U g1 ( X , Y ) V g2 ( X , Y )
则(U ,V )的联合分布函数为 p( , ) p( x( , ), y( , )) | J |
积的公式
设X 与Y 相互独立，其密度函数分别为p X ( x)和pY ( y )。则 U XY的密度函数为 pU ( )
P( X x , Y y ) P( X x ), i 1, 2,
j 1 i j i
被称为X 的边际分布列，类似地，对i求和所得的分布列
P( X x , Y y ) P(Y y ), j 1, 2,
i别地, 当n 2时( X , Y )为二维随机变量。
其联合分布函数为（ F x, y） P （X x, Y y）
若F(x,y)是二维随机变量(X,Y)的分布函数, 则 它表示随机点(X,Y)落在二维区域D内的概率, 其中D 如下图所示:
第3章多维随机变量及其分布
f(x, y)
1
e ,
1 2(12
[ )
(
x1 12
)2
2
(
x1 )(y 12
2
)
(
y
2 22
)2
]
212 1 2
其中，1、2为实数，1>0,2>0, | |<1，则称(X, Y) 服从参数1,2, 1, 2, 的二维正态分布，可记为
元函数f(Dx1,x2,x.1.,...x. nx)n使 :得a对1 任x意的bn1元,...立a方n 体x bn
有
PX1...X n D
...
D
f (x1, x2 ,...xn )dx1...dxn
则称(X1,X2,...Xn)为n维连续型随机变量，称f(x1,x2,...xn) 为(X1,X2,...Xn)的概率密度。
A6
1
(2)F (1,1) 16e(2x3y)dxdy (1 e2 )(1 e3) 0 0
(3) (X, Y)落在三角形区域D：x0, y0, 2X+3y6 内的概率。
解 P{(X ,Y ) D} 6e(2x3y)dxdy
D
3 22x3
dx 6e(2x3y)dy
F ( x,) lim F ( x, y) 0 y
(2)单调不减 对任意y R, 当x1<x2时， F(x1, y) F(x2 , y)； 对任意x R, 当y1<y2时， F(x, y1) F(x , y2).
(3)右连续 对任意xR, yR,
F(x,
y0
0)
... ... ... ... ... ...
第三章相互独立的随机变量(多维随机变量及其分布)
10:42:20
19
例5 设(X,Y)在圆域D={(x, y)| x2+y2r 2}上服从均匀 分布. (1) 求X与Y的边缘密度，判断X与Y是否相互独立. 2 r2 r 2 2 ( 2)求P 8 X Y 4 . 2 y 解 1 / r , ( x , y ) D , x2+y2=r 2
即 1 2σ1σ 2 1 2 2 σ1 1 ρ 1 , 2 σ 2
从而 0.
综上，对于二维正态随 机变量( X , Y ), X和Y相互独立的充分必要条 件是
0.
10:42:20
12
例3
甲乙两人约定中午12时30分在某地会面. 如果甲来到的时间在 12:15 到 12:45 之间是均匀 分布 . 乙独立地到达 , 而且到达时间在 12:00到 13:00之间是均匀分布. 求先到的人等待另一人到达的时间不超过 5 分钟的概率; 又甲先到的概率是多少？ 解: 设X为甲到达时刻，Y为乙到达时刻. 以12时 为起点0,以分为单位.
d c
o
a
b
x
10:42:20
17
f X ( x)
f ( x , y )dy
d
y
当 a x b时，
d
1 1 f X ( x) dy . c ( b a )(d c ) ba 1 , a x b , f X ( x) b - a 0， 其它.
222121??????????nyx??????????????????????????????????????????????22222121212122212121exp121yyxxyxf??则若0????????????????????????????????????????222221212121exp21yxyxf??????????????????????????????????????22222212112exp212exp21yx????ryxyfxfyx????即即x与y相互独立
概率论与数理统计教程(茆诗松)第三章多维随机变量及其分布
P(X1=0, X2=1) = P(|Y|≥1, |Y|<2) = P(1≤|Y|<2) = 2[Φ(2) Φ(1)] = 0.2719
P(X1=1, X2=0) = P(|Y|<1, |Y|≥2) = 0
P(X1=1, X2=1) = P(|Y|<1, |Y|<2) = P(|Y|<1) = 0.6826
23 August 2021
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第三章 多维随机变量及其分布
列表为：
X1 X2 0 1
0
0.0455 0
1
0.2719 0.6826
第13页
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第三章 多维随机变量及其分布
课堂练习
第14页
设随机变量 X 在 1，2，3 ， 4 四个整数中等可 能地取值，另一个随机变量 Y 在 1到X 中等可能 地取一整数值。试求（X, Y）的联合分布列.
第三章 多维随机变量及其分布
第1页
第三章 多维随机变量及其分布
§3.1 多维随机变量及其联合分布 §3.2 边际分布与随机变量的独立性 §3.3 多维随机变量函数的分布 §3.4 多维随机变量的特征数 §3.5 条件分布与条件期望
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第三章 多维随机变量及其分布
23 August 2021
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第三章 多维随机变量及其分布
3.2.1 边际分布函数
第29页
巳知 (X, Y) 的联合分布函数为 F(x, y)，
则 X FX (x) = F(x, +),
Y FY (y) = F(+ , y).
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P(X1=1, X2=0) = P(|Y|<1, |Y|≥2) = 0
P(X1=1, X2=1) = P(|Y|<1, |Y|<2) = P(|Y|<1) = 0.6826
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第三章 多维随机变量及其分布
列表为：
X1 X2 0 1
0
0.0455 0
1
0.2719 0.6826
第13页
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第三章 多维随机变量及其分布
课堂练习
第14页
设随机变量 X 在 1，2，3 ， 4 四个整数中等可 能地取值，另一个随机变量 Y 在 1到X 中等可能 地取一整数值。试求（X, Y）的联合分布列.
第三章 多维随机变量及其分布
第1页
第三章 多维随机变量及其分布
§3.1 多维随机变量及其联合分布 §3.2 边际分布与随机变量的独立性 §3.3 多维随机变量函数的分布 §3.4 多维随机变量的特征数 §3.5 条件分布与条件期望
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第三章 多维随机变量及其分布
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第三章 多维随机变量及其分布
3.2.1 边际分布函数
第29页
巳知 (X, Y) 的联合分布函数为 F(x, y)，
则 X FX (x) = F(x, +),
Y FY (y) = F(+ , y).
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3. 4 随机变量函数的分布
• 类似地，可得N=min{X, Y}的分布函数为 •即 • 特别地，当X1…，Xn相互独立，且具有相同分布函数F(x)时，有
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图3一3
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图3一4
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图3一5
返回
图3一6
返回
图3一7
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• 定义设二维随机变量(X, Y)的联合分布函数及边缘分布函数分别为 • F(x，y )，Fx(x)，FY(y)，若对任意实数有
•即 • 则称随机变量X, Y相互独立. • 注(1)若(X, Y)为离散型随机变量，则X, Y相互独立的条件(3. 5 ）等
价于:对于(X, Y)所有可能取值(xi，yi)有
3. 1二维离散型随机变量
• 关于Y的边缘分布律可表示为:
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3. 2 二维连续型随机变量
• 一、二维随机变量的分布函数
• 定义1设(X, Y)是二维随机变量，对任意实数x，y，二元函数
•
称为二维随机变量(X, Y)的联
合分布函数(简称(X, Y)的分布函数).
• 二、(X, Y)的分布函数的性质
•即
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3. 3二维随机变量的独立性
• (2)若(X,Y)为淬续型随机变量，并设f(x , y) 和fx(x),fy(y)分别为(X, Y) 的概率密度函数和关于X, Y的功缘密度函数，则X, Y相互独立的条件 (3. 5 )等价干等式f(x , y)=fx(x)·fy(y)几乎处处成立议里“几乎处处” 的含义是:在平面下除去面积为零的集合.
• 这两个公式称为卷积公式.
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3. 4 随机变量函数的分布
• 二、M=max{X, Y}及N=min{X, Y}的分布
• 设X, Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为Fx(x) • fy(y)，我们来求M= max{X, Y}及M=min{X, Y}的分布函数. • 由于M= max{X, Y}不大于z等价于X和Y都不大于z，故有 • 又由于X和Y相互独立，于是得到M=max(X, Y)的分布函数为 • 即有
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3. 1二维离散型随机变量
• 二、二维离散型随机变量的边缘分布
• 定义3在二维随机变量(X, Y)中，若(X, Y)的联合分布由式(3. 1)给 • 出，若只考虑分量X(或Y)的分布律，则
•记
分别称为(X, Y)关于X与Y的边缘分布
律.关于X的边缘分布律可表示为:
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• (1)如果将(X, Y)视为平面上随机点的坐标，则F(x，y)在点(x，y )处 的函数值即为点(x，y)落入图3-3中阴影部分的概率，故
• 0≤F(X, Y)≤1.并且
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3. 2 二维连续型随机变量
• (2)如果(X, Y)落入图3一4矩形域
,则
• (3)F(x，y)关于二或y均为单调非减函数，即对固定的y，若x1≤ x2 • 则F(x1，y) ≤ F(x2，y);对固定的x，若y1<y2,则 • (4)F(x，y)关于x或y均为右连续，即 •
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3. 4 随机变量函数的分布
• 一、Z=X+Y的分布
• 设(X, Y)为二维连续型随机变量，它的联合密度函数为f(x，y )，则 • Z=X +Y仍然为连续型随机变量，密度函数为
• 或者 • 注:若X, Y相互独立，设(X, Y)关干X, Y的功缘密度函数分别fx(x),
fy(y) ，则式(3. 8)、式(3. 9)分别化为
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3. 2 二维连续型随机变量
• 三、二维连续型随机变量的密度函数
• 定义2设(X, Y)为二维随机变量，若存在一个非负可积二元函数 • f(x，y)，使得对任意实数x，y，其分布函数F(x，y) = • 则称(X,Y)是二维连续型随机变量， f(x，y) 称为(X, Y)的概率密度函
数(简称密度函数). • 根据定义可知: • (1) f(x，y)≥0 • (2)
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3. 2 二维连续型随机变量
• 四、二维连续型随机变量的边缘分布函数和边 缘密度函数
• 对于二维连续型随机变量(X, Y)，若只考虑一个随机变量X(或Y)，其 • 分布函数称为(X, Y)关于X(或Y)的边缘分布函数.
第三章多维随机变量及其分布
• 3.1二维离散型随机变量 • 3.2二维连续型随机变量 • 3.3二维随机变量的独立性 • 3 .4随机变量函数的分布
返回
3. 1二维离散型随机变量
• 一、二维离散型随机变量的联合分布
• 定义1 如果二维随机变量(X, Y)全部可能取到的值是有限对或无限可 数对，则称(X, Y)是二维离散型随机变量.
• 定义2 设二维离散型随机变量(X, Y)的所有可能取的值为 • (x，y)(i, j一1, 2,…)，则称
• 为(X, Y)的联合概率分布(简称(X, Y)的联合分布或概率分布). • 由概率定义可知: •1二维离散型随机变量
• 为了形象地表示(X, Y)所有可能取值及其相应概率，我们用下面表格 列出(X, Y)的联合分布，称为(X, Y)的联合分布律:
• 显然，边缘分布函数与联合分布函数有如下关系: • 若在(X, Y)的联合分布函数F(x，y)中，令x→+∞(或y→~+∞)即可 • 得到(X, Y)关于X或Y的边缘分布函数FY(y)(或fx(x)，这表明由联合 • 分布函数可以求得边缘分布函数，即
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3. 2 二维连续型随机变量
• 上式表明，X是连续型随机变量，其密度函数为 • 同理，Y是连续型随机变量，其密度函数为 • fx(x)(或fY(y)分别称为(X,Y)关于X(或Y)的边缘密度函数
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3. 3二维随机变量的独立性
• 一般情况下，随机变量X与Y之间存在着某种联系，因而，一个随机 变量的取值可能会影响到另一个随机变量取值.那么，在何种情况下， 随机变量X与Y之间没有任何影响，即所谓的相互“独立”，为此本 节引出两个随机变量相互独立的概念.
3. 4 随机变量函数的分布
• 类似地，可得N=min{X, Y}的分布函数为 •即 • 特别地，当X1…，Xn相互独立，且具有相同分布函数F(x)时，有
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图3一3
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图3一4
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图3一5
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图3一6
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图3一7
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• 定义设二维随机变量(X, Y)的联合分布函数及边缘分布函数分别为 • F(x，y )，Fx(x)，FY(y)，若对任意实数有
•即 • 则称随机变量X, Y相互独立. • 注(1)若(X, Y)为离散型随机变量，则X, Y相互独立的条件(3. 5 ）等
价于:对于(X, Y)所有可能取值(xi，yi)有
3. 1二维离散型随机变量
• 关于Y的边缘分布律可表示为:
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3. 2 二维连续型随机变量
• 一、二维随机变量的分布函数
• 定义1设(X, Y)是二维随机变量，对任意实数x，y，二元函数
•
称为二维随机变量(X, Y)的联
合分布函数(简称(X, Y)的分布函数).
• 二、(X, Y)的分布函数的性质
•即
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3. 3二维随机变量的独立性
• (2)若(X,Y)为淬续型随机变量，并设f(x , y) 和fx(x),fy(y)分别为(X, Y) 的概率密度函数和关于X, Y的功缘密度函数，则X, Y相互独立的条件 (3. 5 )等价干等式f(x , y)=fx(x)·fy(y)几乎处处成立议里“几乎处处” 的含义是:在平面下除去面积为零的集合.
• 这两个公式称为卷积公式.
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3. 4 随机变量函数的分布
• 二、M=max{X, Y}及N=min{X, Y}的分布
• 设X, Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为Fx(x) • fy(y)，我们来求M= max{X, Y}及M=min{X, Y}的分布函数. • 由于M= max{X, Y}不大于z等价于X和Y都不大于z，故有 • 又由于X和Y相互独立，于是得到M=max(X, Y)的分布函数为 • 即有
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3. 1二维离散型随机变量
• 二、二维离散型随机变量的边缘分布
• 定义3在二维随机变量(X, Y)中，若(X, Y)的联合分布由式(3. 1)给 • 出，若只考虑分量X(或Y)的分布律，则
•记
分别称为(X, Y)关于X与Y的边缘分布
律.关于X的边缘分布律可表示为:
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• (1)如果将(X, Y)视为平面上随机点的坐标，则F(x，y)在点(x，y )处 的函数值即为点(x，y)落入图3-3中阴影部分的概率，故
• 0≤F(X, Y)≤1.并且
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3. 2 二维连续型随机变量
• (2)如果(X, Y)落入图3一4矩形域
,则
• (3)F(x，y)关于二或y均为单调非减函数，即对固定的y，若x1≤ x2 • 则F(x1，y) ≤ F(x2，y);对固定的x，若y1<y2,则 • (4)F(x，y)关于x或y均为右连续，即 •
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3. 4 随机变量函数的分布
• 一、Z=X+Y的分布
• 设(X, Y)为二维连续型随机变量，它的联合密度函数为f(x，y )，则 • Z=X +Y仍然为连续型随机变量，密度函数为
• 或者 • 注:若X, Y相互独立，设(X, Y)关干X, Y的功缘密度函数分别fx(x),
fy(y) ，则式(3. 8)、式(3. 9)分别化为
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3. 2 二维连续型随机变量
• 三、二维连续型随机变量的密度函数
• 定义2设(X, Y)为二维随机变量，若存在一个非负可积二元函数 • f(x，y)，使得对任意实数x，y，其分布函数F(x，y) = • 则称(X,Y)是二维连续型随机变量， f(x，y) 称为(X, Y)的概率密度函
数(简称密度函数). • 根据定义可知: • (1) f(x，y)≥0 • (2)
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3. 2 二维连续型随机变量
• 四、二维连续型随机变量的边缘分布函数和边 缘密度函数
• 对于二维连续型随机变量(X, Y)，若只考虑一个随机变量X(或Y)，其 • 分布函数称为(X, Y)关于X(或Y)的边缘分布函数.
第三章多维随机变量及其分布
• 3.1二维离散型随机变量 • 3.2二维连续型随机变量 • 3.3二维随机变量的独立性 • 3 .4随机变量函数的分布
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3. 1二维离散型随机变量
• 一、二维离散型随机变量的联合分布
• 定义1 如果二维随机变量(X, Y)全部可能取到的值是有限对或无限可 数对，则称(X, Y)是二维离散型随机变量.
• 定义2 设二维离散型随机变量(X, Y)的所有可能取的值为 • (x，y)(i, j一1, 2,…)，则称
• 为(X, Y)的联合概率分布(简称(X, Y)的联合分布或概率分布). • 由概率定义可知: •1二维离散型随机变量
• 为了形象地表示(X, Y)所有可能取值及其相应概率，我们用下面表格 列出(X, Y)的联合分布，称为(X, Y)的联合分布律:
• 显然，边缘分布函数与联合分布函数有如下关系: • 若在(X, Y)的联合分布函数F(x，y)中，令x→+∞(或y→~+∞)即可 • 得到(X, Y)关于X或Y的边缘分布函数FY(y)(或fx(x)，这表明由联合 • 分布函数可以求得边缘分布函数，即
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3. 2 二维连续型随机变量
• 上式表明，X是连续型随机变量，其密度函数为 • 同理，Y是连续型随机变量，其密度函数为 • fx(x)(或fY(y)分别称为(X,Y)关于X(或Y)的边缘密度函数
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3. 3二维随机变量的独立性
• 一般情况下，随机变量X与Y之间存在着某种联系，因而，一个随机 变量的取值可能会影响到另一个随机变量取值.那么，在何种情况下， 随机变量X与Y之间没有任何影响，即所谓的相互“独立”，为此本 节引出两个随机变量相互独立的概念.