“随机变量及其分布”简介
随机变量及其分布简介
由于在《数学3（必修）》中已经介绍了线性回归方程相关知识与应用，教材在这些知识的基础上增加了有关模型诊断的思想介绍，使学生使学生知到解决实际问题不仅仅是建立经验方程，还需要对样本数据、模型的拟合效果等方面进行考察，以求尽可能准确描述数据间的关系。
事实上，数据本身不能直接告诉我们它来自什么模型，我们所能做的仅是在一定的规则下努力寻找效果更好的模型来刻画这些数据。
3.具体内容的变化
4.
知识载体的变化：以取限值离散型随机变量为知识载体。
•使学生的注意力更集中在有关随机变量的均值、方差概念的理解；
•
•不影响二点分布、超几何分布、二项分布的知识理解，他们都是取有限值的随机变量。
•
增加了超几何分布。
•贴近学生们的生活。如在模球和扑克牌游戏中，都会出现超几何分布。而同学们又很熟悉这些游戏，由此可提升他们学习概率知识的兴趣。
1.函数模型与“回归模型”的关系。
2.
Байду номын сангаас3.
函数模型：
样本点在函数曲线 上
因变量y完全由自变量x确定
回归模型：
样本点不全在函数曲线 上
预报变量y完全由解释变量x和模型误差e确定
4.引进残差变量的作用：虽然无法得到残差变量 的值，但却可以估计它，对它进行分析，从而可以发现异常数据，可以做模型诊断。
5.
6.散点图与模型的选择：若散点分布在函数曲线族 中的某条曲线附近，则可以用
四、
1.在教学过程中要交待引入随机变量的原因（章引言中）；
2.
3.通过与函数的比较加深对随机变量的理解；
4.
5.在介绍有关随机变量的概念过程中，重点在在于概念的理解及应用，不宜引入过于复杂的计算，以免喧宾夺主；
概率论中的随机变量及其分布的特点和性质
概率论中的随机变量及其分布的特点和性质随机变量是概率论与数理统计中的一个重要概念，它可用于描述某种随机过程中，可能出现的各种数值结果。
其定义包括两个方面，即具有某种分布规律和可能取相应数值。
下面就随机变量及其分布的特点和性质，进行介绍和探讨。
一、随机变量的定义和基本概念随机变量是将随机试验的结果映射到一组实数，即使试验的结果不确定，随机变量却具有确定性的特征。
常用符号包括X、Y等，大写表示随机变量本身，小写表示特定的取值。
随机变量仅是映射结果，而不是试验过程本身。
随机变量可以是离散型和连续型两种。
如果随机变量只能取离散值，称为离散随机变量，如掷骰子、投硬币等试验结果；如果随机变量是在一连续的区间上变化的，称为连续随机变量，如电压、温度等。
概率分布是随机变量取各种可能值的可能性大小，通常由概率密度函数或累积分布函数来描述。
概率密度函数是表示连续随机变量X 可能取到某个数值的概率分布，表示为f(x)，满足非负性、归一性和可积性。
累积分布函数是表示随机变量X小于等于x的概率分布，表示为F(x)，具有单调不降性和右连续性。
二、离散型随机变量及其分布的特点和性质离散型随机变量指只可能取离散值的随机变量，取值只能是有限或无限个数，但个数可以是可数的。
例如，某班学生的身高和体重等指标就是离散型随机变量。
离散型随机变量的概率分布通常用概率质量函数表示，通常记为P(X=x)，表示随机变量X取值为x的概率，满足非负性和归一性。
离散随机变量的特点和性质如下：1. 概率非负性：对于任意一个取值x，有P(X=x)≥0。
2. 归一性：所有可能取值x的概率之和为1，即∑P(X=x)=1。
3. 可数性：离散随机变量的取值是有限个或可数无限个。
4. 期望与方差：离散随机变量的期望和方差分别为E(X)=∑xP(X=x)和Var(X)=E[X-E(X)]^2=∑(x-E(X))^2P(X=x)。
5. 独立性：如果两个离散随机变量X和Y，对于任何一组实数x 和y，都有P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)，则称X和Y是独立的。
随机变量及其分布
随机变量及其分布随机变量是概率论和统计学中的重要概念，它是描述随机现象结果的数学量。
随机变量可以是离散的，也可以是连续的。
在统计学中，我们通常用随机变量来描述随机试验的结果。
随机变量的分布则是描述随机变量可能取值的概率规律。
本文将介绍随机变量及其分布的基本概念，以帮助读者更好地理解这一重要的统计学概念。
**随机变量的定义**随机变量是一个函数，将样本空间中的每个事件映射到实数上。
简而言之，随机变量就是能够描述随机现象结果的一个变量。
例如，投掷一枚硬币，正面朝上可以用随机变量X=1表示，反面朝上可以用随机变量X=0表示。
在这个例子中，随机变量X的取值只能是1或0，因此X是一个离散的随机变量。
**随机变量的分类**根据随机变量的取值范围不同，可以将随机变量分为离散随机变量和连续随机变量两类。
离散随机变量的取值是有限个或可列无穷个，例如上面提到的投硬币问题；而连续随机变量的取值是连续的，通常对应于实数轴上的某个区间，例如一个人的身高、体重等。
在统计学中，我们常常使用概率密度函数（probability density function）来描述连续随机变量的分布。
**随机变量的分布**随机变量的分布是描述随机变量取各种值的概率规律。
对于离散随机变量，我们可以通过概率质量函数（probability mass function）来描述其分布。
概率质量函数给出了随机变量取每个可能值的概率。
例如，对于一个掷骰子的随机变量，其概率质量函数可以表示为P(X=x)，其中X是随机变量，x是取值。
而对于连续随机变量，我们则使用概率密度函数来描述其分布。
概率密度函数在某一区间内的取值越大，该区间的概率越大。
常见的连续分布包括正态分布、均匀分布等。
**常见的随机变量分布**1. **离散分布**- 伯努利分布：伯努利分布是最简单的离散分布，只有两个可能的取值，例如抛硬币的结果。
- 二项分布：二项分布描述了n次独立重复的伯努利试验中，成功次数的概率分布，例如n次抛硬币后正面朝上的次数。
随机变量及其分布函数
随机变量及其分布函数将随机事件以数量来标识，即用随机变量描述随机现象的研究方法，它是定义在样本空间上具有某种可预测性的实值函数。
分布函数则完整的表述了随机变量。
一、 随机变量与分布函数(1) 随机变量：取值依赖于某个随机试验的结果（样本空间），并随着试验结果不同而变化的变量，称之为随机变量。
分布函数：[1] 定义：设X 是一个随机变量，对任意实数x ，记作(){}F x P X x ≤=，称()F x 为随机变量X 的分布函数，又称随机变量X 服从分布()F x ，显然，函数()F x 的定义域为(),-∞+∞，值域为[0,1]。
[2] 性质：❶()F x 单调非降。
❷()0F -∞=、()1F +∞=。
❸()(0)F x F x =+，即()F x 一定是右连续的。
❹对于任意两个实数a b <，{}()()P a X b F b F a <≤=-❺对于任意实数0x ，000{}()()P X x F x F x ==-- ❻000{}1{}1()P X x P X x F x >=-≤=- ❼000{}{)lim }(x x P X x P X x x F →-=≤<=-❽000{}1{}1()P X x P X x F x ≥=-<=-- 二、 离散型随机变量与连续型随机变量(1) 离散型随机变量[1] 概念：设X 是一个随机变量，如果X 的取值是有限个或者无穷可列个，则称X 为离散型随机变量。
其相应的概率()i i P X x p ==(12)i =、……称为X 的概率分布或分布律，表格表示形式如下：[2] 性质：❶0i p ≥❷11nii p==∑❸分布函数()i i x xF x p ==∑❹1{}()()i i i P Xx F x F x -==-(2) 连续型随机变量[1] 概念：如果对于随机变量的分布函数()F x ，存在非负的函数 ()f x ，使得对于任意实数x ，均有：()()xF x f x d x-∞=⎰则称X 为连续型随机变量，()f x 称为概率密度函数或者密度函数。
随机变量的定义、分布和期望值及其应用
随机变量的定义、分布和期望值及其应用随机变量是概率论中非常重要的概念，它指的是随机试验的结果，是一个数值型的随机变量。
在统计学和概率论中，随机变量是研究的核心对象之一。
本文将详细讲解随机变量的定义、分布和期望值及其应用。
一、随机变量的定义在概率论中，随机变量是一个数学函数，它将样本空间中的每个样本赋值为一个实数。
随机变量有两种类型：离散型和连续型。
离散型随机变量的取值为有限个或可数个，如掷骰子点数；连续型随机变量的取值为一个区间，如人的身高、体重等。
二、随机变量的分布随机变量的分布是指随机变量在每个可能取值上的概率分布。
主要包括离散型随机变量的概率分布函数和连续型随机变量的概率密度函数。
对于离散型随机变量，可以用概率质量函数（PMF）来描述其概率分布，对于连续型随机变量，则可使用概率密度函数（PDF）来描述。
常见的离散型随机变量有伯努利分布、二项分布、泊松分布等；常见的连续型随机变量有均匀分布、正态分布、指数分布等。
随机变量的分布是根据随机变量的特点和概率分布函数的性质来确定的。
三、随机变量的期望值随机变量的期望值是指其所有取值的平均数，也叫做数学期望，常用符号是EX。
对于离散型随机变量，期望值可以用下面这个公式来计算：E(X)=∑xP(X=x)对于连续性随机变量，则需要使用积分来表示期望值：E(X)=∫xp(x)dx其中，p(x)是概率密度函数。
在实际应用中，期望值经常被用来评估随机变量的平均水平，它对随机变量的整体特征有着非常关键的作用。
四、随机变量的应用随机变量理论是物理学、化学、工程学以及其他科学领域的基础，并且在现代数据分析和机器学习等领域也有着广泛的应用。
例如，期望值可以用来计算股票收益的均值，或是计算电信公司某天内接收到的电话呼叫的平均数量。
概率分布的特性可以用来描述随机变量的性质，比如统计值、方差或者协方差等。
此外，使用随机变量可以通过概率分布来检验假设以及预测未来的趋势。
总之，随机变量的定义、分布和期望值是概率论和统计学的核心知识点之一，非常重要。
随机变量及其分布总结
随机变量及其分布1、基本概念⑴互斥事件：不可能同时发生的两个事件.如果事件A B C 、、，其中任何两个都是互斥事件，则说事件A B C 、、彼此互斥. 当A B 、是互斥事件时，那么事件A B +发生（即A B 、中有一个发生）的概率，等于事件A B 、分别发生的概率的和，即()()(P A B P A P B +=+.⑵对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件.事件A 的对立事件通常记着A . 对立事件的概率和等于1. ()1()P A P A =-.特别提醒：“互斥事件”与“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件，因此，对立事件必然是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条件.⑶相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，（即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响）.这样的两个事件叫做相互独立事件.当A B 、是相互独立事件时，那么事件A B ⋅发生（即A B 、同时发生）的概率，等于事件A B 、分别发生的概率的积.即()()()P A B P A P B ⋅=⋅.若A 、B 两事件相互独立，则A 与B 、A 与B 、A 与B 也都是相互独立的.⑷独立重复试验①一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验.②独立重复试验的概率公式p ，那么在n 次独立重复试验中这个试验恰好发生k 次的概率()()(1)0,12,.,k k n k n n P k n k C p p -==-⑸条件概率：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A 发生的条件下B 发生的概率.知识结构公式：()(),()0.()P AB P B A P A P A => 2、离散型随机变量 ⑴随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用字母,,,X Y ξη等表示.⑵离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.⑶连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.⑷离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出.若X 是随机变量，(,Y aX b a b =+是常数）则Y 也是随机变量 并且不改变其属性（离散型、连续型）.3、离散型随机变量的分布列⑴概率分布（分布列）设离散型随机变量X 可能取的不同值为12,x x ，…，i x ，…，n x ，X )i i X x p ==，则称表为随机变量的概率分布，简称的分布列.性质：①0,1,2,...;i p i n ≥= ②1 1.n i i p ==∑⑵两点分布则称X 服从两点分布，并称(1)p P X ==为成功概率.⑶二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是()(1).k k n k n P X k C p p -==-我们称这样的随机变量X 服从二项分布，记作()p n B X ,~，并称p 为成功概率.判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三点：①对立性：即一次试验中事件发生与否二者必居其一；②重复性：即试验是独立重复地进行了n 次;① 等概率性：在每次试验中事件发生的概率均相等.② 注：⑴二项分布的模型是有放回抽样；⑵二项分布中的参数是,,.p k n⑷超几何分布一般地, 在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件,其中恰有X 件次品数,则事件{}X k =发生的概率为()(0,1,2,,)k n k M N M n N C C P X k k m C --===,于是得到随机变量X其中{}min ,m M n =,*,,,,n N M N n M N N ∈≤≤. 我们称这样的随机变量X 的分布列为超几何分布列,且称随机变量X 服从超几何分布.注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样；⑵超几何分布中的参数是,,.M N n 其意义分别是总体中的个体总数、N 中一类的总数、样本容量.4、离散型随机变量的均值与方差⑴离散型随机变量的均值则称()1122i i n n E X x p x p x p x p =+++++为离散型随机变量X 的均值或数学期望（简称期望）.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.⑵离散型随机变量的方差则称21()(())n ii i D X x E X p ==-∑为离散型随机变量X 的方差，为随机变量X 的标准差.它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度. ()D X 越小，X 的稳定性越高，波动越小，取值越集中；()D X 越大，X 的稳定性越差，波动越大，取值越分散.。
高中数学随机变量及其分布内容简介
高中数学随机变量及其分布内容简介
随机变量是概率论中的重要概念，指的是一个变量的取值由随机试验的结果决定。
在高中数学中，我们常常接触到一些常见的随机变量及其分布，这些内容是数学学习中的重要一环。
首先，我们要了解离散随机变量及其分布。
离散随机变量是指只取有限个或可数无限个可能值的随机变量。
在离散随机变量的分布中，最常见的是二项分布和泊松分布。
二项分布是指在n次独立重复的伯努利试验中成功的次数的概率分布，而泊松分布则是用于描述单位时间（或单位面积、单位体积）内随机事件发生的次数的分布。
另外，连续随机变量及其分布也是我们需要了解的内容。
连续随机变量是指取值在一段或多段连续区间内的随机变量。
在连续随机变量的分布中，最常见的是正态分布和指数分布。
正态分布是一种在数学、物理、工程领域中非常常见的分布，其形状呈钟形曲线，具有均值和标准差这两个参数。
而指数分布则是描述独立随机事件发生的时间间隔的分布。
在学习高中数学中的随机变量及其分布时，我们需要掌握如何计算随机变量的期望值、方差以及概率分布等重要性质。
通过学习随机变量及其分布，我们可以更好地理解概率论中的概念，为后续的数学学习打下坚实的基础。
总的来说，高中数学中的随机变量及其分布是一项重要的内容，通过学习这一部分知识，我们可以更好地理解概率论的相关概念，提高数学分析和问题解决的能力。
希望同学们能够认真学习这一部分内容，掌握其中的关键知识点，为未来的学习和发展打下良好的基础。
第四章 随机变量及其分布
第一节 随机变量及其分布函数
一、 随机变量的概念
1、含义：用来表示随机现象结果的变量。 ①样本点本身是用数量表示的； T ②样本点本身不是用数量表示的。 H 总之，不管随机试验的结果是否具有数量的性 质，都可以建立一个样本空间和实数空间的对 应关系，使之与数值发生联系，用随机变量的 取值来表示事件。 2、定义：定义在样本空间Ω＝｛ω｝上的实值 函数X＝X(ω)称为随机变量，常用大写英文字 母或小写希腊字母来表示，相应地，用小写英 文字母表示其取值。
为了方便地表示随机事件的概率及其运算，我 们引入了分布函数的概念。
定义：设X 是一随机变量，对x R,
称F ( x ) P ( X x )为随机变量X的分布函数；
并称X 服从分布F ( x )，记为X ~ F ( x ).
注：（1）分布函数表示的是随机事件的概率。 （2）分布函数与微积分中的函数没有区别。
P ( X 0) F (0) F (0 0) 0.8 0.3 0.5 P ( X 1) F (1) F (1 0) 1 0.8 0.2
X P
1 0.3
0 0.5
1 0.2
思考：X还能取 到其他数值吗？
例4 一汽车沿一街道行驶，需要经过三个设有红绿信号 灯的路口，且信号灯的工作相互独立，以X表示汽车首 次遇到红灯已通过的路口数，求X的概率分布列。 解：记Ai—汽车在第i个路口遇到红灯，i＝1，2，3. 1 P ( Ai ) P ( Ai ) , 且A1 , A2 , A3相互独立. 2 X的可能取值为 0, 1, 2, 3.
共有10个不同的样本点
记X表示“空格个数”，则有
X ( ) 2
X ( ) 1 X ( ) 0
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“随机变量及其分布”简介
北京师范大学数学科学院李勇
随机变量是研究随机现象的重要工具之一，他建立了连接随机现象和实数空间的一座桥梁，使得我们可以借助于有关实数的数学工具来研究随机现象的本质，从而可以建立起应用到不同领域的概率模型，如二项分布模型、超几何分布模型、正态分布模型等。
在本章中将通过具体实例，帮助学生理解取有限值的离散型随机变量及其分布列、均值、方差的概念，理解超几何分布和二项分布的模型并能解决简单的实际问题，使学生认识分布列对于刻画随机现象的重要性，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。
一、内容与要求
1. 随机变量及其分布的概念。
通过具体实例使学生理解随机变量及其分布列的概念，认识随机变量及其分布对于刻画随机现象的重要性。
要求学生会用随机变量表达简单的随机事件，并会用分布列来计算这类事件的概率。
2.超几何分布模型及其应用。
通过实例，理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。
3. 二项分布模型及其应用。
通过具体实例使学生了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验和二项分布模型，并能解决一些简单的实际问题。
4.离散随机变量的均值与方差。
通过实例使学生理解离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。
5.正态分布模型。
借助直观使学生认识正态分布曲线的特点及含义。
二、内容安排及说明
1.全章共安排了4个小节，教学约需12课时，具体内容和课时分配如下（仅供参考）：
2．1 离散型随机变量及其分布列约3课时
2．2 二项分布及其应用约4课时
2．3 离散型随机变量的均值与方差约3课时
2．4 正态分布约1课时
小结约1课时
2. 本章知识框图
3.对内容安排的说明。
研究一个随机现象，可以借助于随机变量，而分布描述了随机变量取值的概率分布规律。
二项分布和超几何分布是两个应用广泛的概率模型．为了使学生能够更好地理解它们，并能用来解决一些实际问题，教科书在内容安排上作了如下考虑：
(1) 为学生把注意力集中在随机变量的基本概念和方法的理解上，通过取有限个不同
值的随机变量为载体介绍这些概念，以便他们能更好的应用这些概念解决实际问
题。
例如，如何定义随机变量来描述所感兴趣的随机事件；一个具体的随机变量都
能表达什么样的事件，如何表达这些事件；如何用分布列来表达随机事件发生的概
率等。
(2) 介绍超几何分布模型及其应用，其目的是
i. 让学生了解它的广泛应用背景，并使学生能够应用该分布设计一些能够丰富学生课外
活动的摸奖游戏，引发学习兴趣；
ii. 另外该模型还可以帮助理解二项分布模型的背景；
iii.在产品的质量控制方面有广泛的应用。
(3) 介绍条件概率和独立性的概念，主要是为引入二项分布模型打基础，另外这些概
念在实际中也有广泛应用。
(4) 为了使学生更容易理解二项分布的产生背景，教材通过简单实例的讨论，向学生
们展示从独立重复实验到二项分布的推导过程。
(5) 对于离散型随机变量的均值与方差的含义及其计算公式，重点是概念的理解，而
不是均值与方差的计算。
因此教材中借助于很简单的离散型随机变量来介绍均值与
方差的概念，以避免复杂的计算冲淡概念的理解。
(6) 关于正态分布模型，仅需要学生们了解正态分布密度曲线的特征，密度曲线与相
应的随机变量落在某个区间的概率之间的关系，参数和的含义，以及准则。
4. 本章的重点和难点
(1) 离散型随机变量的分布列、均知和方差概念的理解；
(2) 条件概率、两事件相互独立的概念；
(3) 二项分布、超几何分布模型及其应用．
三、教材编写中考虑的几个问题
1.知识的引入的变化
●注重利用学生熟悉的实例和具体情景引入知识，以促发学生们的兴趣；
●通过思考或探究栏目提出问题，以调动学生解决问题的积极性。
例如，我们通过学生们熟悉的掷骰子为背景提出问题，引导学生思考，以得到随机变量的概念。
又如，我们以抽奖券为背景，设计了一套问题，引导学生体会概率和条件概率的区别。
再如，我们通过混合糖果定价的问题，引入数学离散型随机变量均值的定义。
2.具体内容的变化
●知识载体的变化：以取限值离散型随机变量为知识载体。
使学生的注意力更集中在有关随机变量的均值、方差概念的理解；
不影响二点分布、超几何分布、二项分布的知识理解，他们都是取有限值的随机变量。
●增加了超几何分布。
贴近学生们的生活。
如在模球和扑克牌游戏中，都会出现超几何分布。
而同学们又很熟悉这些游戏，由此可提升他们学习概率知识的兴趣。
3. 更注重知识的应用
●体现概率统计的应用价值。
●利用思考、探究等栏目提高学生解决实际问题能力。
如，例1.3演示了超几何分布在设计抽奖游戏中的应用，该例后的思考引导学生
动手设计抽奖游戏；例2.2体现了条件概率在破译密码中的应用；例2.3给出了独立
性在抽奖活动中的应用；例2.4给出了二项分布在射击中的应用；例3.3给出了离散
型随机变量在制定减灾方案中的应用。
四、教学建议
1.在教学过程中要交待引入随机变量的原因（章引言中）；
2. 通过与函数的比较加深对随机变量的理解；
3. 在介绍有关随机变量的概念过程中，重点在在于概念的理解及应用，不宜引入过于复
杂的计算，以免喧宾夺主；
4. 注意产生超几何分布与二项分布的背景差别，以帮助学生更好地理解两个模型以及
两个事件间独立性的概念。
●超几何分布：从个红球和个黑球中，不放回模出m个球中的红球个数，结果导
致“第次摸出红球”与“第次摸出红球”不相互独立（）；
●二项分布：从个红球和个黑球中，有放回模出m个球中的红球个数，结果导致“第
次摸出红球”与“第次摸出红球”相互独立（）。
5. 注意解释随机变量与样本均值(方差)的关系：
●两者都表示各自的平均位置(变化剧烈程度)；
●样本均值(方差)是随机变量，具有随机性，而随机变量的均值(方差)是实数，
没有随机性；
●样本均值(方差)的极限是总体均值(方差) 。
6. 在高尔顿钉板试验中，课文中说“随着试验次数的增加，这个频率直方图的形
状会越来越像一条钟形曲线”的含义为：随着试验次数的增加，这个频率直方图
的形状会越来越接近于钟形曲线的离散化。