离散型随机变量及其概率分布讲义
离散型随机变量与概率分布
离散型随机变量与概率分布离散型随机变量（Discrete Random Variable）是指在一定范围内取有限个或可列个值的随机变量。
与之相对应的是连续型随机变量，后者可以取任意连续的值。
在概率论和数理统计中，离散型随机变量是一个重要的概念，它通常用于描述实验中可以明确计数的结果。
离散型随机变量的概率分布（Probability Distribution）描述了该变量取特定值的概率。
概率分布可以通过概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）或累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF）来表示。
下面将介绍离散型随机变量的概率质量函数和累积分布函数，并给出两个例子进行说明。
一、概率质量函数概率质量函数（PMF）是离散型随机变量取各个值的概率。
对于离散型随机变量X，其概率质量函数可以表示为P(X=x)，其中x为该随机变量可能取的某个值。
概率质量函数需要满足以下两个条件：1. 非负性：对于所有可能的取值x，P(X=x) ≥ 0。
2. 概率的总和为1：所有可能取值的概率之和等于1，即∑P(X=x) = 1。
通过概率质量函数，我们可以计算出随机变量X取某个特定值的概率。
例如，假设有一个公平的六面骰子，投掷一次，随机变量X代表出现的点数。
则该骰子的概率质量函数为：P(X=1) = 1/6P(X=2) = 1/6P(X=3) = 1/6P(X=4) = 1/6P(X=5) = 1/6P(X=6) = 1/6二、累积分布函数累积分布函数（CDF）是离散型随机变量小于等于某个特定值的概率。
对于离散型随机变量X，其累积分布函数可以表示为F(x)=P(X≤x)，其中x为该随机变量的某个值。
累积分布函数也需要满足概率的基本要求。
通过累积分布函数，我们可以计算出随机变量X小于等于某个特定值的概率。
以前述的六面骰子为例，该骰子的累积分布函数为：F(x) = P(X≤x)F(1) = 1/6F(2) = 2/6 = 1/3F(3) = 3/6 = 1/2F(4) = 4/6 = 2/3F(5) = 5/6F(6) = 1三、例子说明例子1：硬币投掷假设有一个公平的硬币，投掷一次，随机变量X代表正面朝上的次数。
2.2 离散型随机变量及其概率分布.ppt
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例 袋中有5个球，其中2个白球，3个黑球， 从中随机地一次抽取3个球，求取得白球数的 概率分布．
解 令 X表示“取得的白球数”，则X 可
能取值为0，1，2，
可以求得的分布律为
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P{X
0}
C33 C53
P( X xk ) pk
xk x
xk x
pk P(X xk ) F(xk ) F(xk1)
其中 xk1 xk .
F( x) 是分段阶梯函数, 在 X 的可能取
值 xk 处发生间断.
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例: 设随机变量的分布律为
X -1 2
§2.2 离散型随机变量及其概率分布
离散随机变量及分布律
定义 若随机变量 X 的可能取值是有限多个 或无穷可列多个，则称 X 为离散型随机变量
描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率 分布或分布律，即
或 P( X xk ) pk , k 1,2,
X
x1
x2
… xK
…
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二项分布中最可能的成功次数 的定义与推导
若 P( X k) P( X j), j X 可取的一切值 则称 k 为最可能出现的次数
记 pk P( X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,, n
pk1 (1 p)k 1 pk p(n k 1)
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6 第6讲 离散型随机变量及其分布列
第6讲 离散型随机变量及其分布列1．随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果的变化而变化的变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及其性质(1)概念：一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则下表X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n的概率分布列，简称为的分布列，有时为了表达简单，也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1，2，…，n 表示X 的分布列．(2)离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0(i ＝1，2，…，n )； ②∑ni ＝1p i ＝1． 3．两点分布若随机变量X 服从两点分布，则其分布列为X 0 1 P1－pp＝P (X ＝1)称为成功概率[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数．( ) (2)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( ) (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( )(4)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．( )(5)由下表给出的随机变量X 的分布列服从两点分布．( )X 2 5 P0.30.7[教材衍化]1．(选修2-3P77A 组T1改编)设随机变量X 的分布列如下：解析：由分布列的性质知，112＋16＋13＋16＋p ＝1， 所以p ＝1－34＝14.答案：142．(选修2-3P49A 组T1改编)有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X 的所有可能取值是________．解析：因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取到次品数为0，1，2，3. 答案：0，1，2，33．(选修2-3P49A 组T5改编)设随机变量X 的分布列为解析：由13＋m ＋14＋16＝1，解得m ＝14，P (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4) ＝14＋16＝512. 答案：512[易错纠偏]随机变量的概念不清.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是( ) A ．至少取到1个白球 B ．至多取到1个白球 C ．取到白球的个数D ．取到的球的个数解析：选C.A ，B 两项表述的都是随机事件，D 项是确定的值2，并不随机；C 项是随机变量，可能取值为0，1，2.故选C.离散型随机变量的分布列的性质设离散型随机变量X的分布列为X 01234P 0.20.10.10.3m(2)|X－1|的分布列．【解】由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，解得m＝0.3.(1)2X＋1的分布列为2X＋113579P 0.20.10.10.30.3(2)|X－1|的分布列为|X－1|012 3P 0.10.30.30.3(变问法)在本例条件下，求P(1<X≤4)．解：由本例知，m＝0.3，P(1<X≤4)＝P(X＝2)＋(X＝3)＋P(X＝4)＝0．1＋0.3＋0.3＝0.7.离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负值；(2)若X为随机变量，则2X＋1仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．1．设随机变量X等可能地取1，2，3，…，n，若P(X＜4)＝0.3，则n的值为() A．3B．4C ．10D ．不确定解析：选C.“X ＜4”的含义为X ＝1，2，3，所以P (X ＜4)＝3n ＝0.3，所以n ＝10.2．随机变量X 的分布列如下：X －1 0 1 Pabc解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13，所以P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，所以－13≤d≤13. 答案：23 ⎣⎡⎦⎤－13，13离散型随机变量的分布列(高频考点)离散型随机变量的分布列是高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度不大，多为容易题或中档题．主要命题角度有：(1)用频率代替概率的离散型随机变量的分布列； (2)古典概型的离散型随机变量的分布列；(3)与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法．(下一讲内容) 角度一 用频率代替概率的离散型随机变量的分布列某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0 1 2 3 频数1595当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列． 【解】 (1)P (当天商店不进货)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X 的可能取值为2，3.P (X ＝2)＝P (当天商品销售量为1件)＝520＝14；P (X ＝3)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为2件)＋P (当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.所以X 的分布列为X 2 3 P1434角度二 古典概型的离散型随机变量的分布列(2020·浙江省名校协作体高三联考)一个盒子里装有大小均匀的6个小球，其中有红色球4个，编号分别为1，2，3，4；白色球2个，编号分别为4，5，从盒子中任取3个小球(假设取到任何一个小球的可能性相同)．(1)求取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率；(2)在取出的3个小球中，小球编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列． 【解】 (1)“设取出的3个小球中，含有编号为4的小球”为事件A ，P (A )＝C 12C 24＋C 22C 14C 36＝45，所以取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率为45.(2)X 的可能取值为3，4，5.P (X ＝3)＝1C 36＝120；P (X ＝4)＝C 12C 23＋C 22C 13C 36＝920；P (X ＝5)＝C 25C 36＝12，所以随机变量X 的分布列为X 3 4 5 P12092012离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义． (2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率． (3)画表格：按规范要求形式写出分布列．(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．[提醒] 求随机变量某一范围内取值的概率，要注意它在这个范围内的概率等于这个范围内各概率值的和．某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n 位校友(n >8且n ∈N *)，其中女校友6位，组委会对这n 位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于12，求n 的最大值；(2)当n ＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为X ，求X 的分布列．解：(1)由题意可知，所选2人为“最佳组合”的概率为C 1n －6C 16C 2n ＝12（n －6）n （n －1），则12（n －6）n （n －1）≥12， 化简得n 2－25n ＋144≤0，解得9≤n ≤16， 故n 的最大值为16.(2)由题意得，X 的可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝C 26C 212＝522，P (X ＝1)＝C 16C 16C 212＝611，P (X ＝2)＝C 26C 212＝522，X 的分布列为X 0 1 2 P522611522[基础题组练]1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( )A ．0 B.12 C.13D.23解析：选C.设X 的分布列为X1即“X ＝0”表示试验失败，“X ＝1”表示试验成功．由p ＋2p ＝1，得p ＝13，故应选C.2．设随机变量Y 的分布列为则“32≤Y ≤72”的概率为( )A.14B.12C.34D.23解析：选C.依题意知，14＋m ＋14＝1，则m ＝12.故P ⎝⎛⎭⎫32≤Y ≤72＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝3)＝12＋14＝34. 3．设随机变量X 的概率分布列如下表所示：若F (x )＝P A.13 B.16 C.12D.56解析：选D.由分布列的性质，得a ＋13＋16＝1，所以a ＝12.而x ∈[1，2)，所以F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝56. 4．已知离散型随机变量X 的分布列为则P (X ∈Z )＝( ) A ．0.9 B ．0.8 C ．0.7D ．0.6解析：选A.由分布列性质得0.5＋1－2q ＋13q ＝1，解得q ＝0.3，所以P (X ∈Z )＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝0.5＋1－2×0.3＝0.9，故选A. 5．抛掷2颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)＝________． 解析：抛掷2颗骰子有36个基本事件，其中X ＝2对应(1，1)；X ＝3对应(1，2)，(2，1)；X ＝4对应(1，3)，(2，2)，(3，1)．所以P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝136＋236＋336＝16.答案：166．已知随机变量ξ只能取三个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．解析：设ξ取x 1，x 2，x 3时的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，所以a ＝13，由⎩⎨⎧13－d ≥0，13＋d ≥0，得－13≤d ≤13.答案：⎣⎡⎦⎤－13，13 7．若离散型随机变量X 的分布列为则常数c ＝________，P (X 解析：由分布列的性质知，⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－c ≥0，3－8c ≥0，9c 2－c ＋3－8c ＝1，解得c ＝13，故P (X ＝1)＝3－8×13＝13.答案：13 138．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数X 的分布列为________．解析：X 的所有可能值为0，1，2.P (X ＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (X ＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12，P (X ＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.所以X 的分布列为答案：9.(1)写出正面向上次数X 的分布列； (2)求至少出现两次正面向上的概率． 解：(1)X 的可能取值为0，1，2，3. P (X ＝0)＝C 0323＝18；P (X ＝1)＝C 1323＝38；P (X ＝2)＝C 2323＝38；P (X ＝3)＝C 3323＝18.所以X 的分布列为(2)至少出现两次正面向上的概率为 P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝38＋18＝12.10．(2020·台州高三质检)在一次购物活动中，假设每10张券中有一等奖券1张，可获得价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获得价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张券中任取2张．(1)求该顾客中奖的概率；(2)求该顾客获得的奖品总价值X (元)的分布列．解：(1)该顾客中奖的概率P ＝1－C 04C 26C 210＝1－1545＝23.(2)X 的所有可能取值为0，10，20，50，60，且P (X ＝0)＝C 04C 26C 210＝13，P (X ＝10)＝C 13C 16C 210＝25，P (X ＝20)＝C 23C 210＝115，P (X ＝50)＝C 11C 16C 210＝215，P (X ＝60)＝C 11C 13C 210＝115.故X 的分布列为X 0 10 20 50 60 P1325115215 1151．(2020·浙江高中学科基础测试)一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1，2，3，4，5；4个白球编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球．(1)求取出的3个球编号都不相同的概率；(2)记X 为取出的3个球中编号的最小值，求X 的分布列．解：(1)设“取出的3个球编号都不相同”为事件A ，“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B ，则P (B )＝C 14C 17C 39＝2884＝13，所以P (A )＝1－P (B )＝23.(2)X 的取值为1，2，3，4，P (X ＝1)＝C 12C 27＋C 22C 17C 39＝4984，P (X ＝2)＝C 12C 25＋C 22C 15C 39＝2584，P (X ＝3)＝C 12C 23＋C 22C 13C 39＝984，P (X ＝4)＝1C 39＝184.所以X 的分布列为X 1 2 3 4 P71225843281842.O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)，这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率；(2)求X 的分布列．解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28＝28(种)，当X ＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27. (2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1，0，1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为3.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17.现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球为止，每个球在每一次被取出的机会是相等的，用X 表示终止时所需要的取球次数．(1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量X 的分布列；(3)求甲取到白球的概率．解：(1)设袋中原有n 个白球，由题意知17＝C 2n C 27＝n （n －1）27×62＝n （n －1）7×6， 所以n (n －1)＝6，解得n ＝3或n ＝－2(舍去)．即袋中原有3个白球．(2)由题意知X 的可能取值为1，2，3，4，5.P (X ＝1)＝37； P (X ＝2)＝4×37×6＝27； P (X ＝3)＝4×3×37×6×5＝635； P (X ＝4)＝4×3×2×37×6×5×4＝335；P (X ＝5)＝4×3×2×1×37×6×5×4×3＝135. 所以取球次数X 的分布列为(3)因为甲先取，所以甲只可能在第1次、第3次和第5次取球． 设“甲取到白球”的事件为A ，则P (A )＝P (X ＝1或X ＝3或X ＝5)．因为事件“X ＝1”“X ＝3”“X ＝5”两两互斥，所以P (A )＝P (X ＝1)＋P (X ＝3)＋P (X ＝5)＝37＋635＋135＝2235.。
概率论-离散型随机变量及其分布律、分布函数
4. 泊松分布
设随机变量X的分布律为 P{X k} ke , k 0,1,2,,
k!
其中 0是常数.则称 X 服从参数为的泊松分
布,记为 X ~ π().
通常在n很大，p很小时，用泊松分布近似代替二项分布， 简称泊松近似。
Cnk
pk (1 p)nk
k e
k！
，
其中 np ，可查表 p247 得到泊松分布的概率。
(2) n 重伯努利试验
伯努利资料
设试验 E 只有两个可能结果: A 及 A,则称 E 为伯努利试验. 设 P( A) p (0 p 1),此时P( A) 1 p.
将 E 独立地重复地进行n 次,则称这一串重 复的独立试验为n 重伯努利试验.
实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面的情况. 若将硬币抛 n 次,就是n重伯努利试验.
3
4
0.0625 0.0625
例2 随机变量 X 的概率分布律如下，求常数 c
X01 2
1
1
3
pk
c 2
c 4
c 8
3
解：∵ pk 1,
k 1
即 1c 1c 3c 1
248
∴
c8 9
例3 设随机变量 X 的概率分布律如下，
X 0 1 23 4 5 6 pk 0.1 0.15 0.2 0.3 0.12 0.1 0.03
分析：这是不放回抽样.但由于这批元件 的总数很大, 且抽查元件的数量相对于元 件的总数来说又很小,因而此抽样可近似 当作放回抽样来处理. 把检查一只元件是否为一级品看成是一次试 验, 检查20只元件相当于做20 重伯努利试验.
解： 以 X 记 20 只元件中一级品的只数,
则 X ~ b(20, 0.2), 因此所求概率为
高中数学 第2章 概率 2.1 随机变量及其概率分布讲义 苏教版选修2-3-苏教版高二选修2-3数学
2.1 随机变量及其概率分布学习目标核心素养1.了解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列刻画随机现象的重要性，会求某些简单离散型随机变量的分布列．(重点、难点)2．掌握离散型随机变量分布列的性质，掌握两点分布的特征．(重点)1.通过对离散型随机变量的学习，提升数学抽象素养．2．借助随机变量的分布列，提升逻辑推理素养.1．随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．通常用大写拉丁字母X，Y，Z(或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示．思考1：随机变量是自变量吗？[提示] 不是，它是随试验结果变化而变化的，不是主动变化的．思考2：离散型随机变量的取值必须是有限个吗？[提示] 不一定．离散型随机变量的取值可以一一列举出来，所取值可以是有限个，也可以是无限个．2．概率分布列假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，x n，且P(X＝x i)＝p i，i＝1,2，…，n，①则称①为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．称表X x1x2…x nP p1p2…p np i(i ＝1,2，…，n)满足条件：①p i≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋p n＝1.思考3：在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数吗？[提示] 错误．每一个可能值对应的概率为[0,1]中的实数．思考4：离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1吗？[提示] 不可以．由离散型随机变量的含义与分布列的性质可知不可以．思考5：离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的吗？[提示] 是．离散型随机变量的各个可能值表示的事件不会同时发生，是彼此互斥的．3．两点分布如果随机变量X的分布表为X 10P p q其中0<p<1，q＝1－p，这一类分布称为01分布或两点分布，并记为X～01分布或X～两点分布．1．掷均匀硬币一次，随机变量为( )A．掷硬币的次数B．出现正面向上的次数C．出现正面向上的次数或反面向上的次数D．出现正面向上的次数与反面向上的次数之和B[掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1.A项中，掷硬币的次数就是1，不是随机变量；C项中的标准模糊不清；D项中，出现正面向上的次数和反面向上的次数的概率的和必是1，对应的是必然事件，所以不是随机变量．] 2．设离散型随机变量ξ的分布列如下：ξ－1012 3P 0.100.200.100.200.40 Pξ0．40 [P(ξ<1.5)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝0.10＋0.20＋0.10＝0.40.] 3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述一次试验成功与否(记X＝0为试验失败，记X＝1为试验成功)，则P(X＝0)等于________．1 3[设试验失败的概率为p，则2p＋p＝1，∴p＝13.]随机变量的概念【例1】(1)国际机场候机厅中2019年5月1日的旅客数量；(2)2019年1月1日至5月1日期间所查酒驾的人数；(3)2019年6月1日某某到的某次列车到站的时间；(4)体积为1 000 cm3的球的半径长．[思路探究] 利用随机变量的定义判断．[解] (1)旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(3)列车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．(4)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．随机变量的辨析方法(1)随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．(2)随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．1．(1)下列变量中，是随机变量的是________．(填上所有正确的序号)①某人掷硬币1次，正面向上的次数；②某音乐歌曲《小苹果》每天被点播的次数；③标准大气压下冰水混合物的温度；④你每天早晨起床的时间．(2)一个口袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X，则X的可能取值构成集合________．事件{X＝k}表示取出________个红球，________个白球，k＝0,1,2,3,4.(1)①②④(2){0,1,2,3,4} k4－k[(1)①②④中每个事件的发生是随机的，具有可变性，故①②④是随机变量；标准大气压下冰水混合物的温度为0 ℃，是必然的，不具有随机性．(2)由题意可知，X的可能取值为0,1,2,3,4.{X＝k}表示取出的4个球中含k个红球，4－k个白球．]随机变量的分布列及应用【例2】ξ表示取出的3只球中的最大，写出随机变量ξ的概率分布．[思路探究] 由本例中的取球方式可知，随机变量ξ与球的顺序无关，其中球上的最大只有可能是3,4,5，可以利用组合的方法计算其概率．[解] 随机变量ξ的可能取值为3,4,5.当ξ＝3时，即取出的三只球中最大为3，则其他两只球的编号只能是1,2，故有P(ξ＝3)＝C22C35＝110；当ξ＝4时，即取出的三只球中最大为4，则其他两只球只能在编号为1,2,3的3只球中取2只，故有P(ξ＝4)＝C23C35＝310；当ξ＝5时，即取出的三只球中最大为5，则其他两只球只能在编号为1,2,3,4的4只球中取2只，故有P(ξ＝5)＝C24C35＝610＝35.因此，ξ的分布列为ξ34 5P11031035利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题：(1)X的各个取值表示的事件是互斥的．(2)不仅要注意∑i＝1np i＝1，而且要注意p i≥0，i＝1,2，…，n.2．设随机变量ξ的概率分布为P⎝⎛⎭⎪⎫ξ＝k5＝ak(k＝1,2,3,4,5)．求：(1)常数a的值；(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ≥35； (3)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＜ξ<710.[解] 题目所给的ξ的概率分布表为ξ 15 25 35 45 55 Pa2a3a4a5a(1)由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，得a ＝15.(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ≥35＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝45＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝55＝315＋415＋515＝45或P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ≥35＝1－P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ≤25＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫115＋215＝45.(3)因为110<ξ<710，所以ξ＝15，25，35.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<ξ<710＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝35＝a ＋2a ＋3a ＝6a ＝6×115＝25.随机变量的可能取值及试验结果[1．抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．这种试验结果能用数字表示吗？[提示] 可以．用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．2．在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗数为X ，则X 可取哪些数字？ [提示] X ＝0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.3．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为ξ，则“ξ≥4”表示的随机事件是什么？[提示] “ξ≥4”表示出现的点数为4点，5点，6点．【例3】 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果．(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；(2)从标有1,2,3,4,5,6的6X卡片中任取2X，所取卡片上的数字之和．[思路探究] 分析题意→写出X可能取的值→分别写出取值所表示的结果[解] (1)设所需的取球次数为X，则X＝1,2,3,4，…，10,11，X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1,2， (11)(2)设所取卡片上的数字和为X，则X＝3,4,5， (11)X＝3，表示“取出标有1,2的两X卡片”；X＝4，表示“取出标有1,3的两X卡片”；X＝5，表示“取出标有2,3或标有1,4的两X卡片”；X＝6，表示“取出标有2,4或1,5的两X卡片”；X＝7，表示“取出标有3,4或2,5或1,6的两X卡片”；X＝8，表示“取出标有2,6或3,5的两X卡片”；X＝9，表示“取出标有3,6或4,5的两X卡片”；X＝10，表示“取出标有4,6的两X卡片”；X＝11，表示“取出标有5,6的两X卡片”．用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果．(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．3．写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)在2018年大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；(2)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示．[解] (1)X可能取值0,1,2,3,4,5，X＝i表示面试通过的有i人，其中i＝0,1,2,3,4,5.(2)ξ可能取值为0,1，当ξ＝0时，表明该射手在本次射击中没有击中目标；当ξ＝1时，表明该射手在本次射击中击中目标．1．本节课重点是随机变量的概念及随机变量的分布列及其性质，以及两点分布，难点是随机变量的取值及概率．2．判断一个试验是否为随机试验，依据是这个试验是否满足以下三个条件：(1)试验在相同条件下是否可以重复；(2)试验的所有可能结果是否是明确的，并且试验的结果不止一个；(3)每次试验的结果恰好是一个，而且在一次试验前无法预知出现哪个结果．3．本节课的易错点：在利用分布列的性质解题时要注意：①X＝xi的各个取值所表示的事件是互斥的；②不仅要注意i＝1np i＝1，而且要注意0≤p i≤1，i＝1,2，…，n.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( )(2)在概率分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( )(3)概率分布列中每个随机变量的取值对应的概率都相等．( )(4)在概率分布列中，所有概率之和为1.( )[解析] (1)√因为随机变量的每一个取值，均代表一个试验结果，试验结果有限个，随机变量的取值就有有限个，试验结果有无限个，随机变量的取值就有无限个．(2)×因为在概率分布列中每一个可能值对应随机事件的概率均在[0,1]X围内．(3)×因为分布列中的每个随机变量能代表的随机事件，并非都是等可能发生的事件．(4)√由分布列的性质可知，该说法正确．[答案] (1)√(2)×(3)×(4)√2．下列叙述中，是随机变量的为( )A．某人早晨在车站等出租车的时间B．把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度C．射击十次，命中目标的次数D ．袋中有2个黑球，6个红球，任取2个，取得1个红球的可能性 C [根据随机变量的含义可知，选C.] 3．随机变量η的分布列如下：则x 0 0.55 [由分布列的性质得 0．2＋x ＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x ＝0.故P (η≤3)＝P (η＝1)＋P (η＝2)＋P (η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55.] 4．袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量X 为此时已摸球的次数，求随机变量X 的概率分布列．[解] 随机变量X 可取的值为2,3,4， P (X ＝2)＝C 12C 13C 12C 15C 14＝35；P (X ＝3)＝A 22C 13＋A 23C 12C 15C 14C 13＝310；P (X ＝4)＝A 33C 12C 15C 14C 13C 12＝110；所以随机变量X 的概率分布列为：。
一轮复习配套讲义：第11篇 第4讲 离散型随机变量及其分布列.pdf
X0 1 2 3
P
1 12
5 12
5 12
1 12
1．求分布列的关键是正确求出随机变量的所有可能值及对应的概率，要注意避
学海无涯
免分类不全面或计算错误． 2．注意运用分布列的两个性质检验求得分布列的正误． 3．求概率分布的常见类型 (1)根据统计数表求离散型随机变量的分布列； (2)由古典概型求离散型随机变量的分布列； (3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及 n 次独立重复试验有 k 次发生的概率求离散型随机变量的分布列．
当两条棱相交时，X＝0；当两条棱平行时，X 的值为两条棱之间的距离；当两条 棱异面时，X＝1.求随机变量 X 的分布列． 解 若两条棱相交，则交点必为正方体 8 个顶点中的 1 个，过任意 1 个顶点恰有 3 条棱，所以共有 8C23对相交棱， 因此 P(X＝0)＝8CC12232＝141， 若两条棱平行，则它们的距离为 1 或 2，其中距离为 2的共有 6 对， 故 P(X＝ 2)＝C6212＝111， 于是 P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝ 2)＝1－141－111＝161， 所以随机变量 X 的分布列是
－2012，PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级；在 35 微克/立方
米～75 微克/立方米之间空气质量为二级；在 75 微克/立方米以上空气质量为超
学海无涯
标．
从某自然保护区 2013 年全年每天的 PM2.5 监测数据中随机地抽取 10 天的数据 作为样本，监测值频数如下表所示：
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，…，xi，…，xn，X 取每一个值 xi(i＝1,2，…，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，则表
ch07概率分布――离散型随机变量PPT课件
X 的取值 取值概率
0 (0n ) p0 1 p n0
1 (1n ) p1 1 p n1
…
k
… (nk ) pk 1 p nk
…
n
ห้องสมุดไป่ตู้
… (nn ) pn 1 p nn
• n为样本容量、 x为样本中的成功数。
• p为成功事件概率，1-p为失败事件概率
– 若X 服从二项分布，则记X～B(n, p)。
练习
• 你打算买一个礼物给朋友：漫画书或玫瑰花。其中不确定的是朋友对你的 礼物的接纳程度，预期可能是低、中或高，其对应的概率（f（x））由下 表所示，而且假定你已得出漫画书和玫瑰花给朋友带来的快乐水平（x）的 预测：
漫画书
玫瑰花
a. 哪一个礼物对实现期望快乐水平最大化的目标更优？ b. 哪一个选择对实现风险或不确定性最小的目标更优？
心理统计
黄华
Ch07：概率分布——离散型随机变量
date 200909
07概率分布——离散型随机变量
什么是概率分布 连续型和离散型随机变量的概率分布 离散型随机变量的数学期望与方差 二项分布
随机变量
• 从随机现象说起 – 确定现象与随机现象 – 随机现象，我们常用概率论和统计作为数学工具来进行研究。
• 各个组段的面积（概率）之和为１
• 要注意的是，密度函数 f (x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率. 但 是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度 曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度。
离散型随机变量
• 案例：还记得在入学军训时的实弹射击训练不？你或许是个神枪手，或许是 个连准星都不会看的小毛孩，于是，你的实际结果就有了以下的可能：命中0 环，命中1环，…，命中10环等结果.即可能出现的结果可由0，1，……10这 11个数表示。这里，随机变量是你的射击的环数，对于这个随机变量的取值， 可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。
离散型随机变量的概率及分布列复习课课件
P(A|B)。
02
条件概率的性质
条件概率满足概率的基本性质，即P(A|B)的取值范围是[0,1]，且
P(A|B)=P(B|A)。
03
事件的独立性
如果两个事件相互独立，那么一个事件的发生不会影响到另一个事件的
发生。
贝叶斯公式
贝叶斯公式的定义
如果事件B在事件A发生 的条件下发生的概率为 P(B|A)，那么在给定A 发生的条件下B发生的 条件概率为P(B|A) / P(A)。
概率。
风险决策
03
离散型随机变量用于描述风险决策中的不确定性，例如期望效
用和风险规避等。
THANKS 感谢观看
贝叶斯公式的应用
贝叶斯公式可以用于更 新对某个事件发生的概 率的估计，即在获得新 的信息后，重新计算该 事件的概率。
贝叶斯公式的性质
贝叶斯公式具有一些基 本的性质，如当P(A)=0 时，P(B|A)=0；当 P(A)=1时， P(B|A)=P(B)。
05 离散型随机变量的应用
在统计学中的应用
数据分析
成功的概率为p。
二项分布
在n次伯努利试验中成功的次数 所服从的分布，记为B(n,p)。
泊松分布
在单位时间内（或单位面积上） 随机事件的次数所服从的分布，
常用于描述稀有事件。
离散型随机变量的概率分布列
概率分布列
常见的概率分布列
描述离散型随机变量取各个可能值的 概率的表格或公式。
二项分布、泊松分布、超几何分布等 。
司理赔次数。
超几何分布
定义
从有限总体中不放回地抽取n个样本 ，其中某一特定事件A发生的概率分 布。
参数
总体容量、样本容量和成功事件的数 量。
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2.概率分布的性质
P (X= xk ) = pk , k = 1, 2, …
(1) pk≥0， k = 1,2,… ； (2) pk 1 k 1
注 某意一：个任随机一变具量有上X述的两分个布性列质。的数列｛pk}，都有资格作为
这是判别某个数列是否成为分布列的充要条件！
用于验证概率函数 的正确与否。
X
01
P 1-p p
若X服从x1=1 , x2=0 处参数为p的两点分布，则称X服从0-1分布。 注 0-1分布中X的实质：
设P(A)=p，X“一次试验中A发生的次数”，则X服从0-1分 布.
练习：甲投篮的投中率为0.4，一次投篮中投中的次数X的分布？
X0 1
P 0.6 0.4
11
例：抛掷硬币的试验中，设事件A ={正面向上} ， P(A)= p 随机变量 X=一次抛掷中A发生的次数，则 X～0-1分布(p))
或X P
1 23456 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
P(X≤3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1/2 练习：书P35，例1 求分布律
5
例2 袋中有5个黑球、3个白球，每次从中取一个，不放回，
直到取到黑球为止. 求取到白球数目X的概率分布，并求P(-1<X<0)，
P(1<X<3)， P(X≤3).
=0
=P(X=2)=5/56 =P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) = 1
解：X=0，1，2，3
Байду номын сангаас
P(X=0)=
5 8
P(X=1)= 3 5 15 8 7 56
P(X=2)= 3 2 5 5 8 7 6 56
概率分布为：
P(X=3)= 3 2 1 5 1 8 7 6 5 56
X0
1
2
3
P 5/8 15/56 5/56 1/56
6
若离散型随机变量X的概率分布为：P (X= xk ) = pk ,
则 P(X I) P(X xk ) pk
x k I
x k I
k = 1, 2, …
若离散型随机变量X的概率分布为： X
x1 x2 … xi …
则：
X P( = x i ) p 1 p 2 … p i …
求 (1)P(X =1 或X =2)；(2) P ( 1 <X 5 )；15
(3)
P(
1
X
2)，P(1<X
2
2)
2
解 由题知X 的概率函数为
X
1
2
3
4
5
pk 1/15 2/15 3/15 4/15 5/15 则 (1)P(X =1 或X =2)= P(X=1 )+P(X=2)= 1/15 + 2/15=1/5
2
1
且
k 1
P(X k)
k 1
(1)k 2
1
2
1
1
2
因此这是概率函数
练习2设随机变量X的概率函数为 P( X k) c( 2)k , k 1, 2, 3
求 c 的值
3
解 由性质知
1 P( X 1) P( X 2) P( X 3) c( 2) c( 2)2 c( 2)3
另如 1o 进行一次射击，设事件A ={击中} ， P(A)= p 随机变量X=一次射击中A发生的次数，则 X～0-1分布(p)
2o 进行一次投篮，设事件A={投中}， P(A)= p 随机变量X=一次投篮中A发生的次数，则X～0-1分布(p)
3o 从一批产品中任意抽取一个进行检验，
设事件A={废品}，P(A)= p ，
2
练习1 下面给出的是不是概率函数？
(1)P( X k) 1 ( 1 )k , k 0,1, 2, 23
解
(1)由于
(2)P( X k) ( 1 )k , k 1, 2, 2
k0
P(X k)
k0
1 (1)k 23
1 2
k0
(1)k 3
1 2
•
1
1
1
3 4
所以这不是概率函数
3
(2)由于P( X k) ( 1)k 0, k 1, 2,
P(a X b ) P( X x i ) p i
a xib
a xib
证明： ( a X b ) ( X x i ) 由概率的可加性知：
a xib
P(a X b ) P( X x i ) p i
a xib
a xib
7
练习设随机变量X的概率函数为 P( X k) k , k 1, 2, 3,4,5
对应的概率为 p 1 , p 2 , …， 称 P (X= xk ) = pk , k = 1, 2, … (1) 为随机变量 X 的概率分布或概率函数或 分布律.
注 （1）为了直观，概率分布表示为：
X x1 x2 … xn…
P p1
p2 … pn …
(2) (X=x1 ), (X=x2 ), … , (X=xn) ，…构成完备事件组. 1
二、 常用离散分布
1. 退化分布 若 X 的概率分布为：P ( X = a ) = 1 , a 为某一常数, 则称 X 服 从 a 处的退化分布. 此时随机变量退化成了一个常数.
10
2.两点分布
若X的概率分布为：P( X=x1 ) =p, P( X=x2 ) = 1-p . (0<p<1)
则称X服从参数为p的两点分布.
3
3
3
解得 c 27
38
3.会求概率分布及相关概率
例1 掷一枚骰子，求出现的点数的概率分布及P(X≤3) . 解：设X表示出现的点数，则 X=1，2，3，4，5，6.
P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=1/6.
所以，X的概率分布为： P(X=k) =1/6 , k =1,2,3,4,5,6.
1
(2) P ( 2
<X
5 2
)= P(X=1 )+P(X=2)= 1/15 + 2/15=1/5
(3) P( 1X 2)= P(X=1 )+P(X=2)= 1/15 + 2/15=1/5
P(1<X 2)= P(X=2)= 2/15
要求： 会求离散型随机变量的概率分布（确定常数）；
已知离散型随机变量的概率分布，会求随机变量的取值落在一 个范围的概率；
§2.2 离散型随机变量D.r.v. 及其概率分布
一、离散型随机变量及其概率分布
对于离散型随机变量X，它的取值有限个或无限可列个.我们 关心的问题是：X的所有可能的取值是什么？取每一个值的概 率是多少？将这两个问题综合起来就是概率分布.
1.概率分布的定义 定义：若离散型随机变量X 所有可能的取值为 x 1 , x 2 , … ,