第2章 矩阵的初等变换与线性方程组
矩阵的初等变换与线性方程组习题
另解:
x
x1 x2 x3 x4
1 6
11 01
k
5 7 5 6
.
1 3
2 2
3 1
1 1
11
B 2 3 1 1 1
r1+r3 r2+r3
3 5
5 5
4 2
0 0
22
2 3 1 1 1
2 5
2 5
2 2
1 0
21
r4+r3 r5–r2
4 0
5 0
3 0
0 0
02
2 0 2 0 0
(1) AX=B
初等行变换
( A B) ~ (E A1B) X A1B.
(2) XA=B 初等行变换
~ ( AT BT )
(E ( AT )1 BT )
X T ( AT )1 BT X BA1 .
例5:
设
A
3 1 0
0 1 1
1 0 4
, 且AX=A+2X,
求矩阵X.
解: 因为 AX=A+2X, 所以(A–2E)=A, 而
个等价类, 标准形F是这个等价类中最简单的矩阵.
八、矩阵的秩
若在矩阵A中有一个r 阶子式D非零, 且所有的r+1 阶子式(如果存在的话)都为零, 则称D为矩阵A的一个 最高阶非零子式, 称数 r 为矩阵A的秩, 记作R(A).
矩阵秩的性质及定理
如果A中有一个r 阶子式非零, 则 R(A) r . 如果A的所有的r+1阶子式都为零, 则 R(A) r . R(AT) = R(A). 定理: 若A B, 则 R(A) = R(B). 行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数. 若A为n阶可逆矩阵, 则 (1) A的最高阶非零子式为|A|; (2) R(A)=n; (3) A的标准形为单位矩阵E; (4) AE.
线性代数-第2章
第2章对阶梯形矩阵进行考察，发现阶梯形矩阵的行秩等于列秩，并且都等于阶梯形的非零行的数目，并且主元所在的列构成列向量组的一个极大线性无关组。
矩阵的初等行变换不会改变矩阵的行秩，也不会改变矩阵的列秩。
任取一个矩阵A，通过初等行变换将其化成阶梯形J，则有：A的行秩=J的行秩=J的列秩=A的列秩，即对任意一个矩阵来说，其行秩和列秩相等，我们统称为矩阵的秩。
通过初等行变换化矩阵为阶梯形，即是一种求矩阵列向量组的极大线性无关组的方法。
考虑到A的行秩和A的转置的列秩的等同性，则初等列变换也不会改变矩阵的秩。
总而言之，初等变换不会改变矩阵的秩。
因此如果只需要求矩阵A的秩，而不需要求A的列向量组的极大无关组时，可以对A既作初等行变换，又作初等列变换，这会给计算带来方便。
矩阵的秩，同时又可定义为不为零的子式的最高阶数。
满秩矩阵的行列式不等于零。
非满秩矩阵的行列式必为零。
既然矩阵的秩和矩阵的列秩相同，则可以把线性方程组有解的充分必要条件更加简单的表达如下：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。
另外，有唯一解和有无穷多解的条件也可从秩的角度给出回答：系数矩阵的秩r等于未知量数目n，有唯一解，r<n，有无穷多解。
齐次线性方程组的解的结构问题，可以用基础解系来表示。
当齐次线性方程组有非零解时，基础解系所含向量个数等于n-r，用基础解系表示的方程组的解的集合称为通解。
通过对具体实例进行分析，可以看到求基础解系的方法还是在于用初等行变换化阶梯形。
非齐次线性方程组的解的结构，是由对应的齐次通解加上一个特解。
在之前研究线性方程组的解的过程当中，注意到矩阵及其秩有着重要的地位和应用，故还有必要对矩阵及其运算进行专门探讨。
矩阵的加法和数乘，与向量的运算类同。
矩阵的另外一个重要应用：线性变换（最典型例子是旋转变换）。
即可以把一个矩阵看作是一种线性变换在数学上的表述。
矩阵的乘法，反映的是线性变换的叠加。
如矩阵A对应的是旋转一个角度a，矩阵B对应的是旋转一个角度b，则矩阵AB对应的是旋转一个角度a+b。
矩阵的初等变换与线性方程组
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组本章的重点是研究矩阵更深层的性质——秩，它是矩阵理论的核心概念，是由德国数学家佛洛本纽斯在1879年首先提出的。
为了研究矩阵秩的概念，首先要介绍一个重要的工具———矩阵的初等变换概念，它不仅解决了求矩阵秩的问题，还是帮助求解线性方程组、求逆阵、判定向量组相关性等的有力工具，然后我们将应用秩理论解决方程组的求解问题，最后还要将初等变换概念在理论层次上加以提炼，即介绍初等方阵的概念。
§1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换是矩阵之间的一种十分重要的变换，是从实际问题的解决中抽象得到的。
一、引例求解线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=-+-=+-+=+--979634226442224321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x(1)(1) )(1B )(2B)(3B ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+-=+-+00304244324321x x x x x x x x )(4B 问题10共采取了几种变换将(1)变为)(4B 的？（三种：(ⅰ) 交换方程的次序；(ⅱ) 用数)0(≠k 乘某方程； (ⅲ) 将某方程的k 倍加到另一方程上。
且这三种变换都可以看成是只对方程组的系数和常数项进行的）20在这三种变换下，(1)与)(4B 是否同解？即这三种变换是否都可逆？ （都可逆，即同解变换） 30采取这三种变换的目的是为了将(1)变为什么形状以便得到解？ （阶梯形。
其寓意：方程④表明方程组有一个多余的方程； 将③代入②得32x x =，表明3x (或2x )可任意取值，称之为自由未知量，其余的未知量称为非自由未知量，当某层的阶宽多于一个未知量时，就必有自由未知量，一般我们取每层阶梯的第一个未知量为非自由未知量，由于一旦确定下自由未知量，任给自由未知量一组数值，就可得到方程组的一个解，所以我们特别重视自由未知量）40 由于(1)与其增广矩阵)(b A B =构成一一对应，那这三种变换在矩阵中对应的效果是什么？⎝⎛=B ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------97963211322111241211 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------34330635500222041211⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----310620000111041211 5000310000111041211B =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---. 对于矩阵的行只作了三种变换，也就是说，为解线性方程组对方程组作变换，就相当于对其增广矩阵的行作同类变换，下面给出这三种对矩阵的行作的变换在矩阵中的正式定义：②-③ ③-2① ④-3① ①②③④①↔ ② ③ ÷③↔④ ④-2③ ③↔④ ④-2③ ①②③④②-③ ③-2①④-3① ②÷ 2③+5② ④-3②二、初等变换1、定义1 以下三种变换称为矩阵的初等行变换：(ⅰ) 对调两行（对调i 、j 两行记作：j i r r ↔）；(ⅱ) 以数k ≠0乘某行中的所有元素（第i 行乘k 记作：k r i ⨯）；(ⅲ) 将某行所有元素的倍加到另一行对应元素上去（将第j 行的k 倍加到第i 行记作：j i r k r +）。
第2章 线性方程组与矩阵初等变换-郑成勇主编教材配套课件
11
−2
r3
−3r2
0
−10
11
−2
11 3
0
11
r2 r3
−3r1 −11r1
0
−30
33
0
0
0 0 6
最后一个矩阵所对应的线性方程组为
0
x1 + 3x2 x1 −10x2
− 3x3 = 1 +11x3 = −2
.
0x1 + 0x2 + 0x3 = 6
方程组最后一个方程显然矛盾，故方程组无解.
矩阵总可以经过若干次初等变换化为它标准形 F
=
Er O
O
O
mn
，
04 其中 r 为行阶梯形矩阵中非零行的行数.
OPTION
Linear Algebra
2.3 矩阵初等行变换解线性方程组
第2章 线性方程组与矩阵初等变换 14
定义2.1 矩阵的秩 将一个矩阵 A化成行阶梯阵后, 其非零行的行数称为矩阵的
a21
a22
阵
am1 am2
a1n
a2n
amn
x1
未 知
x
=
x2
变
量
xn
b1
常 数 列
b
=
b2
bm
Ax = b
a11 a12
增广矩阵
B =[A
b]
=
a21
a22
am1 am2
a1n b1
a2n
b2
amn bm
A = [a1, a2 , , an ] 其中 ai ( i = 1, 2, , n ) 为矩阵 A 的第i 列，则按分块矩阵乘法运算，
线性代数 矩阵的初等变换与线性方程组 习题课
二、矩阵的秩及其求法
1、定义： A的秩就是A中最高阶非零子式的阶数.记作R(A)=r.
2.矩阵秩的性质 设A: m n 型矩阵,则:
(1)0 R( A) min(m, n);
0, k 0
(2) R( AT ) R( A);
(3) R(kA) R( A),k 0
(4)行阶梯形矩阵的秩等于该矩阵非零行的行数．
7.当A等于(
)时,
CH3 初等变换与方程组
a11 a12 a13 a11 3a31 a12 3a32 a13 3a33
Aa21
a22
a23
a21
a22
a23
a31 a32 a33 a31
a32
a33
1 0 0
1 0
A 0 1 0 (B) 0 1
A11 A21 A31 A41
A*
A12
A13 A14
A22 A23 A24
A32 A33 A34
0 A42
A43 A44
R( A* ) 0
例5 设A是n阶矩阵,且A2=E, 证明R(A+E)+R(A-E)=n
证明：由A2=E得： A2 E ( A E)( A E) 0
t
0
0 4 5 2
1 2 －1 1 0 －4 t 2 2 0 0 3 t 0
1 2 1 1 0 4 t 2 2 0 4 5 2
r(A)=2 3 t =0, 即 t =3
例3 设线性方程组
为A的伴随矩阵，且
线性代数-矩阵的初等变换
求解未知量
根据行最简形式的矩阵，直接求解出未知量 的值。
案例分析：具体求解过程展示
案例一
01
简单线性方程组求解过程展示，包括构造增广矩阵、进行初等
变换和求解未知量等步骤。
案例二
02
复杂线性方程组求解过程展示，涉及更多未知量和更复杂的增
广矩阵，展示如何利用初等变换求解该类问题。
案例三
03
含参数线性方程组求解过程展示，通过引入参数，展示如何对
含参数的线性方程组进行求解和分析。
04 初等变换在矩阵秩计算中 应用
矩阵秩定义及性质
矩阵秩定义：矩阵A中不等 于0的子式的最大阶数称为
矩阵A的秩，记作r(A)。
矩阵秩的性质
矩阵的秩是非负的，且等于 其行秩或列秩。
若矩阵A可逆，则r(A)=n， 其中n为A的阶数。
若矩阵A为0矩阵，则 r(A)=0。
初等变换与矩阵的等价关系
通过初等变换，我们可以得到与原矩阵等价的矩阵。这种等价关系在线性代数中具有重要意义，它揭示了矩 阵之间的一种本质联系。
初等变换在求解线性方程组中的应用
通过对方程组的增广矩阵进行初等变换，我们可以将方程组化为简化阶梯形式，从而方便地求出方程组的解。
对未来研究方向和趋势展望
深入研究初等变换的 性质和应用
条件
01
非零行的首非零元为1；
02
首非零元所在列的其他元素全 为零。
03
性质
最简形矩阵是唯一的；
对于任意行阶梯形矩阵，总可
04
05
以通过初等行变换化为最简形
矩阵。
06
行阶梯形与最简形矩阵，二者都可以通过初等行变换得到。
区别
行阶梯形矩阵只要求非零行的首非零元所在列的上三角元素全为零，而最简形矩阵还要求非零行的首非零元为1， 且所在列的其他元素全为零。因此，最简形矩阵比行阶梯形矩阵具有更简洁的形式。
第2章_矩阵的初等变换与线性方程组
解
3 − 7 r2 + r1 1 4 r3 − 3r1 r1 ↔ r3 A → − 1 − 3 − 17 4 → 3 2 6 9
3 − 7 3 − 7 1 4 1 4 r3 +10r2 0 1 − 14 − 3 → 0 1 − 14 − 3 0 0 − 143 0 0 − 10 − 3 30
= = = =
B
3 − 7 1 4 即为行阶梯形矩阵。 B = 0 1 − 14 − 3 即为行阶梯形矩阵。 0 0 − 143 0
特点： 特点： (1) 可划出一条阶梯线，线的下方全为零； 可划出一条阶梯线，线的下方全为零； (2) 每个台阶只有一行，阶梯数即是非零行 每个台阶只有一行， 的行数， 的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元 素为非零元，即非零行的非零首元。 素为非零元，即非零行的非零首元。
1 0 0 5 称为行最简形矩阵 行最简形矩阵。 → 0 1 0 − 3 = C 称为行最简形矩阵。 0 0 1 0
r2 + 14 r3 r1 − 59 r3
在具备行阶梯形矩阵特点的同时， 在具备行阶梯形矩阵特点的同时，非零行的 特点： 特点： 非零首元为1，且其所在列的其他元素全为 。 非零首元为 ，且其所在列的其他元素全为0。
将方程组的消元过程与增广矩阵的变换过程 消元过程与增广矩阵的 解 将方程组的消元过程与增广矩阵的变换过程 进行对比。 进行对比。
x1 + 2 x 2 + 3 x 3 2 x1 − x2 + 2 x3 x + 3x 2 1 = −7 = −8 =7
1 2 3 − 7 2 − 1 2 − 8 1 3 0 7
线代学习指导 第二章 矩阵
（1）若矩阵 A 中有某个 s 阶子式不为 0，则 r A s ；
（2）若矩阵 A 中所有 t 阶子式全为 0，则 r A t ；
（3）若 A 为 m n 矩阵，则 0 r A minm, n ；
（4） r A r AT ；
（5） r A 1 A 可以写成一个列矩阵与一个行矩阵的乘积；
3.伴随矩阵法求逆： A1 1 A* . A
4.可逆矩阵的性质:
设 A, B 均为 n 阶可逆矩阵, k 为非零常数,则
A1 1 A ；
AB 1 B1A1 ；
AT
1
A1 T ； kA 1 1 A1 ； A1 A 1
k
A*
1
A.
A
五、矩阵的初等变换
1.初等变换 矩阵的以下三种变换，称为矩阵的初等变换： （1） 交换矩阵的两行（列）； （2） 用数 k 0 乘矩阵的某一行（列）； （3） 某一行（列）的 l 倍加到另一行（列）.
A非奇异(或非退化),即 A 0 A 的等价标准形为 E A可以表示为有限个初等矩阵的乘积
r A n
注:在后面几章中还有一些关于 n 阶矩阵 A 可逆的充要条件,列举如下: n 阶矩阵 A 可逆 A 的列(行)向量组线性无关(第三章)
齐次线性方程组 AX 0 仅有零解(第四章)
A的特征值均不为零(第五章) AT A 为正定矩阵(第六章)
块矩阵 A 与 B 作乘法 AB 时，要求 A 的列的分块方式与 B 的行的分块方式相同，并且乘积矩 阵的行的分块方式与 A 相同，列的分块方式与 B 相同.另外，分块矩阵 A 的转置，不仅要将 A 的各行的子块依次转为各列的子块，而且其中的每一个子块也要转置.
3.几种特殊分块矩阵的逆：设 A, B 分别为 s 阶和 r 阶可逆矩阵，则
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a24 a14 a34
(2)
A
c3 c4
a11 a21 a 31
a12 a22 a32
a14 a24 a34
a13 a23 a33
a11 A E(3, 4) a21 a 31
a11 a21 a 31
1 r2 ( ) 2
r3 (1)
1 r2 ( ) 2
r3 (1)
1 3 2 1 0 0 0 1 0 3 / 2 3 5 / 2 0 0 1 1 1 1
3 2 1 1 故 A 3 / 2 3 5 / 2 1 1 1
4 3 1 6 5 3 6 3 4 3 4 6 4 9 4 0 B. 4 0 1
2
进一步，可再施行列变换把B化为标准型：
1 1 1 2 1 0 3 0 B 0 0 0 4/3 0 0 0 0 1 0 C 2 C1 0 3 C3 2 C1 C 4 C1 0 0 C5 4 C1 0 0 0 4 0 4 0 0
1 s
1 2
1 1
1 m
1 s 1
P1 P2 Pm
即得证
定理2.6 A、B都为m×n矩阵，则A~B的充要条件是
存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使 得PAQ=B.
利用初等行变换求逆矩阵
A = P1 P2 … Pm
Pm 1 P21 P11A E
P P P E A－1
定理2.4
设A是一个 m × n 矩阵
对A施行一次初等行变换，相当于在A的左侧乘以 一个相应的初等矩阵； 对A施行一次初等列变换，相当于在A的右侧乘以 一个相应的初等矩阵；
a11 例如： A a21 a 31
a12 a22Байду номын сангаасa32
a13 a23 a33
a14 a24 a34
2. 矩阵的秩
定义2.4
矩阵A的不为0的子式的最高阶数称为矩阵A的 秩，记为r (A)。 ( 显然 r (A) min (m, n) )
1 0 例如： A 0 2 0 0
0 2 0
1 0 3 4 0 5
一个2阶子式
1 0 0 5
1 0
5
0 4 10 5
一个3阶子式
0 0
2 0
注：
(1) A 的每个元素 aij 都是 A 的一个一阶子式
(2) 当 A 为 n 阶方阵时，n 阶子式即为 | A |
k k (3) 当 A 为 m×n 阶方阵时，A共有Cm Cm 个k 阶子 式。
2.1初等变换与矩阵等价
定义 2.1 对矩阵施行下列三种变换称为矩阵的 初等行变换
(1) 互换两行 ( 记作 ri rj );
(2) 以数 0 乘以某一行 ( 记作 × ri ); (3) 将第 j 行各元素乘以数后加到第 i 行的对应元 素上去 (记作 ri + rj )
相应地，矩阵的三种初等列变换的记号只需将 r 换成 c。
0 0 1 0 0 4 / 3 4 0 0 0
1 C 2 C1 0 C3 2 C1 C 4 C1 0 C5 4 C1 0 1 1 C4 C2 0 3 C5 3C 4 0 0 1 0 1 C2 0 1 3 3 0 0 C4 4 0 0
(1 k min (m, n))，由这 k 行，k 列的交叉
处的 k2 个元素(按原来的前后顺序)所构成的
k 阶行列式，称为矩阵A的一个 k 阶子式。
例如：
1 0 A 0 2 0 0
1 0 3 4 0 5
一个2阶子式
1 0 0 5
5
1 例如： A 0 0
3 1 0 0 1 2 0 2 5 2 1 0 0 2 6 3 0 1 0
r1 － 2r3
r2 － 5r3
0 1 3 2 1 0 0 2 0 3 6 5 0 0 1 1 1 1
1 3 2 1 0 0 0 1 0 3 / 2 3 5 / 2 0 0 1 1 1 1
r2－2r1
r3－3r1
3 1 0 0 1 2 0 2 5 2 1 0 0 2 6 3 0 1
r1 + r2 r3 － r 2
1 0 2 1 1 0 2 5 2 1 0 0 0 1 1 1 1
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
定理2.3 n阶方阵A为可逆矩阵的充要条件是A 的标准形为单位矩阵。
2.3 初等矩阵
定义1.4.6 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到
的矩阵称为初等矩阵。
(1) ri rj
1 1 0 1 第i行 1 j) 1 0 第 j行 1 1
0 3 0 1 0 0 0 4 / 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 4 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 C3 C 4 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
定义 2.2
如果矩阵A经过有限次初等变换后变
成B，则称矩阵A与B等价，记为A～B。
等价关系具有下列性质：
（1）反身性，即A～A；
（2）对称性，即若A～B，则B～A ；
（3）传递性，即若A～B，B～C，则A～C 。
2.2 矩阵的标准型
一、阶梯形矩阵 满足以下条件的矩阵A被称为阶梯形矩阵： （1）A中若有零行（元素全为零的行），则零行 以下的行全为零行； （2）非零行中左起第一个不为令的元素（称为 首非零元）的位置按从上到下往右移动，即上一 例如： 行的首非零元在下一行首非零元的左上方。
Er r O ( m r )r
Or( n r ) O( m r )( n r )
三、定理 定理2.1 任何非零矩阵都可以仅用初等行变换 化为阶梯形矩阵。 定理2.2 任何非零矩阵都可以用初等变换 化为标准形。
例 设
2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 A . 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9 试用初等行变换把A化成阶梯型矩阵。 解 1 1 2 1 4 r1 r2 2 1 1 1 2 A 2 3 1 1 2 r3 (1 / 2) 3 6 9 7 9
a12 a22 a32
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 a24 a34
1 0 a14 0 1 a24 0 0 a34 0 0 a13 a23 a33
0 0 0 0 1 1 0 0
定理2.5
若方阵A可逆，则存在有限个初等矩阵 P1, P2,…Pm, 使 A = P1 P2 … Pm
而矩阵
0 1 2 0 3 0 2 1 0 0 1 1 1 0 2 1 0 1 0 5 2 3 1 2
1 0 0 0 3 4 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
都不是阶梯形矩阵。
二.矩阵的标准形 左上角为单位矩阵，其余元素全为零的矩阵称为 标准形矩阵，即标准形矩阵具有如下的形式：
(1)
A
r1 r2
a21 a11 a 31
a22 a12 a32
a23 a13 a33
a24 a14 a34 a13 a23 a33 a14 a24 a34
0 1 0 a11 a12 E(1, 2) A 1 0 0 a21 a22 0 0 1 a 31 a32 a21 a11 a 31 a22 a12 a32 a23 a13 a33
E (i,
ci cj 也得到 E (i, j)
(2) × ri
1 1 E ( i ( )) 第i行 1 1
0
0
× ci 也得到 E( i ())
(3) ri + rj
1 1 E (i , j ( )) 1 1
表示为： (A E)
初等行变换
1 m
1 1 2 1
( E A－1 )
例
1 2 3 设 A 2 2 1 , 求 A－1. 3 4 3
1 2 3 1 0 0 解：( A E ) 2 2 1 0 1 0 3 4 3 0 0 1
1 1 2 1 2 1 1 1 2 3 1 1 3 6 9 7
4 r2 2r1 1 1 2 r3 2r1 0 3 r 3r 0 5 2 4 1 0 3 9 1 1 1 2 5 r3 ( )r2 1 3 0 3 3 0 0 0 4/3 r4 r2 0 0 0 3 1 1 1 2 9 r4 r3 1 4 0 3 0 0 0 0 4/3 0 0 0 0
cj + ci 也得到 E ( i, j ( ) )
第i行
第j行
初等矩阵的性质
1. 初等矩阵都是可逆矩阵， 2. 初等矩阵的逆矩阵仍然是初等矩阵
[ E (i, j )]1 E (i, j )
[ E (i ( ))]
1
E (i ( ))
1
[ E (i, j ( ))]1 E (i, j ( ))