湖南省岳阳县湘教版数学(2020秋)九年级第一学期期中模拟测试卷
湘教版2020九年级数学上册期中模拟能力测试卷(附答案详解)
4．C
【解析】
∵正方形OABC，点A的坐标为（1，0），
∴B点坐标为：（1，1），
∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1： ，
∴E点的坐标为：（- ，- ），
故选C．
5．D
【解析】
【分析】
设月平均增长率为x，分别表示出四、五月份的销售量，根据五月份的销售量列式即可.
A．（- ，0）B．（-1.5，-1.5）C．（- ，- ）D．（-2，-2）
5．人文书店三月份销售某畅销书100册，五月份销售量达196册，设月平均增长率为x，则可列方程( )
A．100(1+x)=196 B．100(1+2x)=196
C．100(1+x2)=196D．100(1+x)2=196
6．将一副直角三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于（）．
2．A
【解析】
【分析】
根据角的正切值与三角形边的关系求解．
【详解】
：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，
∴tanA= = ，
∴BC=2．
故选A．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的知识，解题的关键是能够选择合适的边角关系求解，难度不大．
3．B．
【解析】
试题分析：由题意得： ， ，解得 且 ，所以 ，故选：B．
20．过反比例函数 （ ）图像上一动点M作MN⊥x轴交x轴于点N，Q是直线MN上一点，且MQ＝2MN，过点Q作QR∥ 轴交该反比例函数图像于点R，已知S△QRM=8，那么k的值为_____.
三、解答题
21．如图，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=20cm，两只小虫P和Q同时分别从A、B出发沿AB、BC向终点B、C方向前进，小虫P每秒走1cm，小虫Q每秒走2cm。请问：它们同时出发多少秒时，以P、B、Q为顶点的三角形与以A、B、C为顶点的三角形相似？
湘教版九年级上册数学期中考试试卷含答案详解
湘教版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（）A ．xy 3=B ．5y x=C ．21y x =D ．1y 2x=+2．下列各点中，在反比例函数8y x=图象上的是A ．（－1，8）B ．（－2，4）C ．（1，7）D ．（2，4）3．若2a =3b ，则下列等式正确的是（）A ．23a b =B ．32a b =C ．32b a =D ．32b a =4．一元二次方程2210x x -+=的根的情况是（）A ．有两个不等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定5．已知△ABC ∽△DEF ，若∠A ＝30°，∠B ＝80°，则∠F 的度数为()A ．30°B ．80°C ．70°D ．60°6．在同一直角坐标系中，反比例函数y ＝abx与一次函数y ＝ax+b 的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．7．如图，在△ABC 中，EF//BC ，13AE AB =，则AFAC =（）A ．12B ．23C ．13D ．328．如图，正比例函数y =ax 的图象与反比例函数ky x=的图象相交于A ，B 两点，其中点A 的横坐标为2，则不等式ax<kx的解集为（）A ．x <-2或x >2B ．x <-2或0<x <2C ．-2<x <0或0<x <2D ．-2<x <0或x >-29．如图，点P 是△ABC 边AB 上一点（AB>AC ），下列条件不一定能使△ACP ∽△ABC 的是（）A ．AC APAB AC=B ．PC ACBC AB=C ．∠ACP=∠B D ．∠APC=∠ACB10．如图， ABO 中，∠ABO ＝45°，顶点A 在反比例函数y ＝3x（x ＞0）的图象上，则OB 2﹣OA 2的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．611．已知等腰三角形的三边长分别为4a b 、、，且a 、b 是关于x 的一元二次方程21220x x m -++=的两根，则m 的值是（）A ．34B ．30C ．30或34D ．30或3612．如图，两个反比例函数1y=x 和2y=x-的图象分别是l 1和l 2．设点P 在l 1上，PC ⊥x 轴，垂足为C ，交l 2于点A ，PD ⊥y 轴，垂足为D ，交l 2于点B ，则三角形PAB 的面积为（）A ．3B ．4C ．92D ．5二、填空题13．两个相似三角形的相似比为1：3，则它们周长的比为_____．14．若方程2340x x --=的两个根分别为1x 和2x ，则1211x x +=_________．15．如图，B(2，﹣2)，C(3，0)，以OC ，CB 为边作平行四边形OABC ，则经过点A 的反比例函数的解析式为_____．16．如图，在方格纸中（小正方形的边长为1)，反比例函数ky x=的图象与直线AB 的交点A 、B 在图中的格点上，点C 是反比例函数图象上的一点，且与点A 、B 组成以AB 为底的等腰△，则点C 的坐标为________．17．有一人患流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感，如果不及时控制（三轮传染速度相同），第三轮被传染的人数为________．18．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝90°，BC ＝6，直线MN ∥BC ，且分别交边AB ，AC 于点M ，N ，已知直线MN 将△ABC 分为面积相等的两部分．如果将线段AM 绕着点A 旋转，使点M 落在边BC 上的点D 处，那么BD ＝________．三、解答题19．解方程：（1）x 2-4x-1=0(配方法)（2）3x(x-1)=2-2x20．已知反比例函数k 1y x-=（k 为常数，k≠1）．（1）若点A （1，2）在这个函数的图象上，求k 的值；（2）若在这个函数图象的每一分支上，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围．21．已知关于x 的一元二次方程x 2+2x +a =0，（1）若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一根；（2）若方程有两个不相等的实数根，求a 的取值范围．22．如图，已知AB AD ⊥，BD DC ⊥，且2BD AB BC =⋅，求证：ABD DBC ∠=∠．23．一次函数y=x+b和反比例函数2yx（k≠0）交于点A（a，1）和点B．（1）求一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；24．“疫情”期间，李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，设该商品的售价为x元/件（20≤x≤40）．（1）请用含售价x（元/件）的代数式表示每天能售出该工艺品的件数；（2）已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为900元．①求该商品的售价；②为了支持“抗疫”行动，李晨决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向某救助基金会捐款0.5元，求李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额．25．已知：如图，△ABC∽△ADE，∠A=45°，∠C=40°．求：∠ADE的度数．26．已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，D是AC边上的一个动点，将△ABD 沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处．（1）如图1，若点D是AC中点，连接PC．①写出BP，BD的长；②求证：四边形BCPD是平行四边形．（2）如图2，若BD=AD，过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H，求PH的长．参考答案1．B【分析】根据反比例函数的定义判断即可．【详解】A、不符合反比例函数的定义，选项不符合题意；B、符合反比例函数的定义，选项符合题意；C、不符合反比例函数的定义，选项不符合题意；D、不符合反比例函数的定义，选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，重点是掌握反比例函数解析式的一般式kyx=(0k≠)．2．D 【分析】由于反比例函数y=kx中，k=xy，即将各选项横、纵坐标分别相乘，其积为8者即为正确答案．【详解】解：A、∵-1×8=-8≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误；B、∵-2×4=-8≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误；C、∵1×7=7≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误；D、2×4=8，∴该点在函数图象上，故本选项正确．故选D．【点睛】考核知识点：反比例函数定义.3．B【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．【详解】A、由23ab=得：3 2a b=，故本选项错误；B、由32ab=得：2 3a b=，故本选项正确；C、由32ba=得：3 2a b=，故本选项错误；D、由32b a=得：3 2a b=，故本选项错误；故选：B．【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积．4．B【分析】求出其根的判别式，然后根据根的判别式的正负情况即可作出判断．【详解】∵1a =，2b =-，1c =，∴()2242411440b ac =-=--⨯⨯=-=△，∴方程有两个相等的实数根．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的根的判别式24b ac =-△：当 ＞0，方程有两个不相等的实数根；当 =0，方程有两个相等的实数根；当 ＜0，方程没有实数根．5．C 【分析】根据△ABC ∽△DEF ，从而推出对应角相等求解．【详解】∵△ABC ∽△DEF ，∴3080A D B E C F ∠=∠=∠=∠=∠=∠ ，，，∵180D E F ∠+∠+∠= ，∴70.F ∠=故选:C.【点睛】考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键.6．D 【分析】先根据一次函数图象经过的象限得出a 、b 的正负，由此即可得出反比例函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．【详解】∵一次函数图象应该过第一、二、四象限，∴a ＜0，b ＞0，∴ab ＜0，∴反比例函数的图象经过二、四象限，故A选项错误，∵一次函数图象应该过第一、三、四象限，∴a＞0，b＜0，∴ab＜0，∴反比例函数的图象经过二、四象限，故B选项错误；∵一次函数图象应该过第一、二、三象限，∴a＞0，b＞0，∴ab＞0，∴反比例函数的图象经过一、三象限，故C选项错误；∵一次函数图象经过第二、三、四象限，∴a＜0，b＜0，∴ab＞0，∴反比例函数的图象经经过一、三象限，故D选项正确；故选：D．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．7．C【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可求解．【详解】∵EF//BC，13 AEAB=，∴13 AF AEAC AB==，故选：C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确的识别图形是解题的关键．8．B【分析】先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点横坐标，再由函数图象即可得出结论．【详解】∵正比例函数y ax =的图象与反比例函数ky x=的图象相交于A ，B 两点，∴A ，B 两点坐标关于原点对称，∵点A 的横坐标为2，∴B 点的横坐标为-2，∵k ax x<，∴在第一和第三象限，正比例函数y ax =的图象在反比例函数ky x=的图象的下方，∴2x <-或02x <<，故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是掌握正比例函数与反比例函数图象交点关于原点对称．9．B 【分析】A ．利用对应边成比例,且夹角相等来判断即可;B ．对应边成比例,但夹角不相等,不能证 ACP 与 ABC 全等;C ．利用两角对应相等,两三角形全等,进行判定即可;D ．利用两角对应相等,两三角形全等,进行判定即可．【详解】解：A ．∵AC APAB AC =,∠A=∠A ．∴ ACP ∽ ABC ．B ．PC ACBC AB=对应边成比例,但夹角不相等,不能证 ACP 与 ABC 全等．C ．∵∠ACP=∠B,∠A=∠A ．∴ ACP ∽ ABC ．D ．∵∠APC=∠ACB,∠A=∠A ．∴ ACP ∽ ABC ．故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定:两组对应边成比例且夹角对应相等的两个三角形相似;有两组角对应相等的两个三角形相似．注意:两边对应成比例必须夹角相等．10．D【分析】直接利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理以及反比例函数图象上点的坐标特点得出答案．【详解】解：如图所示：过点A作AD⊥OB于点D，∵∠ABO＝45°，∠ADB＝90°，∴∠DAB＝45°，∴设AD＝x，则BD＝x，∵顶点A在反比例函数y＝3x（x＞0）的图象上，∴DO•AD＝3，则DO＝3 x，故BO＝x+3 x，OB2﹣OA2＝（OD+BO）2﹣（OD2+AD2）＝（x+3x）2﹣x2﹣29x＝6.故答案为：D.【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及勾股定理，正确应用勾股定理是解题的关键．11．A【分析】分三种情况讨论，①当a=4时，②当b=4时，③当a=b时；结合韦达定理即可求解；【详解】解：当4a =时，8b <，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x m -++=的两根，412b ∴+=，8b ∴=不符合；当4b =时，8a <，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x m -++=的两根，412a ∴+=，8a ∴=不符合；当a b =时，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x m -++=的两根，1222a b ∴==，6a b ∴==，236m ∴+=，34m ∴=；故选A ．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合韦达定理和三角形三边关系进行解题是关键．12．C【解析】设P 的坐标是1p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，推出A 的坐标和B 的坐标，求出PA 、PB 的值，根据三角形的面积公式求出即可：∵点P 在1y=x 上，∴设P 的坐标是1p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．∵PA ⊥x 轴，∴A 的横坐标是p ．∵A 在2y=x -上，∴A 的坐标是2p p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．∵PB ⊥y 轴，∴B 的纵坐标是1p ．∵B 在2y=x-上，∴12=p x -，解得：x=﹣2p ．∴B 的坐标是（﹣2p ，1p）．∴()123PA = PB p 2p =3p p p p⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，．∵PA ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，x 轴⊥y 轴，∴PA ⊥PB ．∴△PAB 的面积是：1139PA PB 3p=22p 2⨯⨯=⨯⨯．故选C ．13．1：3．【分析】由两个相似三角形的相似比为1：3，根据相似三角形周长的比等于相似比，即可求得答案．【详解】∵两个相似三角形的相似比为1：3，∴它们的周长比为：1：3．故答案为1：3．【点睛】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形周长的比等于相似比定理的应用是解此题的关键．14．34-【分析】利用分式加减法，计算原式，应用一元二次方程根与系数关系，求出12x x +和12x x ，代入求值即可．【详解】解：12121211x x x x x x ++=⋅由已知12x x +=3，12x x =-4代入，得1212121134x x x x x x =+⋅+=-故答案为：3 4-【点睛】本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系和分数加减法，解答关键是根据相关法则进行计算即可．15．y＝2 x【分析】设A坐标为（x，y），根据四边形OABC为平行四边形，利用平移性质确定出A的坐标，利用待定系数法确定出解析式即可．【详解】解：设A坐标为（x，y），∵B（2，﹣2），C（3，0），以OC，CB为边作平行四边形OABC，∴x+3＝0+2，y+0＝0﹣2，解得：x＝﹣1，y＝﹣2，即A（﹣1，﹣2），设过点A的反比例解析式为y＝k x，把A（﹣1，﹣2）代入得：k＝2，则过点A的反比例函数解析式为y＝2 x，故答案为：y＝2 x．【点睛】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．16．（2，2）或（-2，-2）【分析】先求得反比例函数的解析式为4yx=，设C点的坐标为(x，4x)，根据AC=BC得出方程，求出x即可．【详解】由图象可知：点A的坐标为（-1，-4），代入kyx=得：4k xy==，所以这个反比例函数的解析式是4y x =，设C 点的坐标为(x ，4x)，∵A （-1，-4），B （-4，-1），AC=BC ，即()()2222441441x x x x ⎛⎫⎛⎫--+--=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：2x =±，当2x =时，422y ==，当2x =-时，422y ==--，所以点C 的坐标为（2，2）或（-2，-2）．故答案为：（2，2）或（-2，-2）．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、用待定系数法求反比例函数的解析式、反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，能求出反比例函数的解析式是解此题的关键．17．294．【分析】设每轮传染中平均每人传染了x 人，根据经过两轮传染后共有49人患了流感，可求出x ，进而求出第三轮过后，又被感染的人数．【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x 人，1＋x ＋x （x ＋1）＝49x ＝6或x ＝−8（舍去）．∴每轮传染中平均一个人传染了6个人，第三轮被传染的人数为：49×6＝294（人）．故答案为：294．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键．18．3【分析】依据直线MN ∥BC ，可得△AMN ∽△ABC ，再根据直线MN 将△ABC 分为面积相等的两部分，即可得到S △AMN ：S △ABC =1：2，进而得出12 ,22AM AB ==解得AM=3，过A 作AD ⊥BC 于D ，则132AD BC ==，故将线段AM 绕着点A 逆时针旋转45°，可以使点M 落在边BC 上的点D 处，此时132BD BC ==．【详解】∵△ABC 中,,906AB AC A BC ，，=∠==∴cos4532AB BC =⨯= ，∵直线MN ∥BC ，∴△AMN ∽△ABC ，∵直线MN 将△ABC 分为面积相等的两部分，∴S △AMN :S △ABC =1:2，∴12 ,22AM AB ==即2 ,232=解得AM =3，如图,过A 作AD ⊥BC 于D ,则132AD BC ==，∴将线段AM 绕着点A 逆时针旋转45 ，可以使点M 落在边BC 上的点D 处，此时,132BD BC ==．故答案为3.【点睛】考查解直角三角形，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.19．（1）x 15x 25；（2）x 1=1，x 2=-23（1）根据配方法的运算步骤依次计算可得；（2）先移项，再提取公因式（x-1），得到两个一元一次方程，解出即可.【详解】（1）∵x 2-4x-1=0∴x 2-4x=1∴x 2-4x+4=1+4，即（x-2）2=5则x-2=∴x 1x 2（2）3x(x-1)=2-2x3x(x-1)+2(x-1)=0(x-1)(3x+2)=0∴x 1=1，x 2=-23【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.20．（1）3k =；（2）1k >．【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k-1=1×2，然后解方程即可；（2）根据反比例函数的性质得k-1＞0，然后解不等式即可．【详解】（1）根据题意得112k -=⨯，解得：3k =；（2）因为反比例函数k 1y x-=，在这个函数图象的每一分支上，y 随x 的增大而减小，所以10k ->，解得：1k >．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数k y x=（k 为常数，0k ≠）的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy k =．也考查了反比例函数的性质．21．（1）a =−3，x 1=−3,；（2）a ＜1．【解析】试题分析：()1将1x =代入方程220x x a ++=得到a 的值，再根据根与系数的关系求出另一根；()2根的判别式0.∆>求出a 的取值范围即可.试题解析：()1将1x =代入方程220.x x a ++=得，1210a +⨯+=，解得: 3.a =-方程为2230.x x +-=设另一根为1,x 则113,x ⋅=-1 3.x =-()244a ∆＝－，∵方程有两个不等的实根，0,∴∆>即440a >－，1.a ∴<22．见解析.【分析】由2BD AB BC =⋅可得AB BD =BD BC，可判定Rt △ABD ∽Rt △DBC ，然后由相似三角形对应角相等可得∠ABD=∠DBC.【详解】证明：∵2BD AB BC=⋅∴AB BD =BD BC∴Rt △ABD ∽Rt △DBC∴∠ABD=∠DBC【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握直角三角形的斜边直角边对应成比例即可判定相似是解决本题的关键.23．（1）1y x =-；（2）32．【分析】（1）分别把A 的坐标代入反比例函数解析式求出a 的值，把A 的坐标代入一次函数解析式得出b 的值，即可求解；（2）先求得点B 的坐标，再求出一次函数与y 轴的交点D 的坐标，根据三角形的面积公式求出△AOD 和△BOD 的面积即可．【详解】（1）∵点A （a ，1）是反比例函数2y x=图象上的点，∴2y 1a ==，∴2a =，∴A （2，1），又∵点A 是一次函数y x b =+的图象上的点，∴12b =+，解得，b 1=-，故一次函数解析式为：1y x =-；（2）联立方程组：y x 12y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：1212x 2x 1y 1y 2==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩，，则()B 12--，，因为直线1y x =-与y 轴交点D 01)-(，，则1OD =，∴1131211222AOB AOD DOB S S S ∆∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，函数的图象等知识点，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．24．（1）（180﹣3x ）件；（2）①该商品的售价为30元/件；②李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额为45元．【分析】（1）售价设为x 元，那么降低的价格就是40x -元，那么增加的销量是()340x -件，再加上原来的60件就得到表达式；（2）①根据利润=销量⨯（售价-成本）列方程求出售价；②根据①中算出的售价求出销量，从而算出捐款的数额．【详解】解：（1）∵该商品的售价为x 元/件（20≤x ≤40），且当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，∴每天能售出该工艺品的件数为60+3(40﹣x )＝(180﹣3x )件；（2）①依题意，得：(x ﹣20)(180﹣3x )＝900，整理，得：x 2﹣80x +1500＝0，解得：x 1＝30，x 2＝50（不合题意，舍去），答：该商品的售价为30元/件；②0.5×(180﹣3×30)＝45（元），答：李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额为45元．【点睛】本题考查一元二次方程的应用题，解题的关键是根据题意找到等量关系，根据利润=销量⨯（售价-成本）列方程求解．25．∠ADE=95°【分析】由△ABC ∽△ADE ，∠C=40°，根据相似三角形的对应角相等，即可求得∠AED 的度数，又由三角形的内角和等于180°，即可求得∠ADE 的度数．【详解】∵△ABC ∽△ADE ，∠C=40°，∴∠AED=∠C=40°．在△ADE中，∵∠AED+∠ADE+∠A=180°，∠A=45°即40°+∠ADE+45°=180°，∴∠ADE=95°．【点睛】此题考查了相似三角形的性质与三角形内角定理．题目比较简单，注意相似三角形的对应角相等．26．（1）①BD=，BP=（2）4 5．【分析】（1）①分别在Rt△ABC，Rt△BDC中，求出AB、BD即可解决问题；②证明DP∥BC，DP=BC即可；（2）如图2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延长BD交PA于M．设BD=AD=x，则CD=4﹣x．在Rt△BDC中，可得x2=（4﹣x）2+22，推出x的值，从而得出DN的长．由△BDN∽△BAM，可得DN BDAM AB=，由此求出AM．由△ADM∽△APE，可得AM ADAE AP=，由此求出AE的长，可得EC的长，由此即可解决问题．【详解】解：（1）①在Rt△ABC中，∵BC=2，AC=4，∴AB=∵AD=CD=2，∴BD=由翻折可知：BP=BA=②如图1中，∵△BCD是等腰直角三角形，∴∠BDC=45°，∴∠ADB=∠BDP=135°，∴∠PDC=135°﹣45°=90°，∴∠BCD=∠PDC=90°，∴DP∥BC，∵PD =AD =BC =2，∴四边形BCPD 是平行四边形．（2）如图2中，作DN ⊥AB 于N ，PE ⊥AC 于E ，延长BD 交PA 于M ．设BD =AD =x ，则CD =4﹣x ．在Rt △BDC 中，∵BD 2=CD 2+BC 2，∴x 2=（4﹣x ）2+22，∴x =52．∵DB =DA ，DN ⊥AB ，∴BN =AN 在Rt △BDN 中，DN =2．由△BDN ∽△BAM ，可得DN BDAM AB =，∴522AM =，∴AM =2，∴AP =2AM =4．由△ADM∽△APE，可得AM AD AE AP=，∴5 224 AE=，∴AE=16 5，∴EC=AC﹣AE=4﹣165=45．易证四边形PECH是矩形，∴PH=EC=4 5．。
湘教版2020九年级数学上册期中模拟能力达标测试卷A卷(附答案详解)
○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 湘教版2020九年级数学上册期中模拟能力达标测试卷A 卷（附答案详解） 一、单选题 1．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1、l 2、l 3于点A 、B 、C ，直线DF 分别交l 1、l 2、l 3于点D 、E 、F ，若AB ＝3，BC ＝5，则DE EF 的值为（ ）A ．13B ．35C ．12D ．25 2．如图，矩形ABCD 的边长AD ＝6，AB ＝4，E 为AB 的中点，F 在边BC 上，且BF ＝2FC ，AF 分别与DE 、DB 相交于点M ，N ，则MN 的长为（ ） A ．9210 B ．225 C ．324 D ．425 3．如图，小明站在自家阳台上A 处观测到对面大楼底部C 的俯角为α，A 处到地面B 处的距离AB ＝35m ，则两栋楼之间的距离BC （单位：m ）为（ ） A ．35tanα B ．35sinα C ．35sin α D ．35tan α 4．如图，在,//ABC DE BC ∆中，,D E 分别在边,AB AC 边上，已知13AD DB =，则DE BC 的值为（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．25 5．在Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB ＝3，BC ＝4，则cosC 的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．4 D ．36．下面四组图形中，必是相似三角形的为（ ） A ．两个直角三角形 B ．两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形 C ．有一个角为40°的两个等腰三角形 D ．有一个角为100°的两个等腰三角形 7．若等腰三角形的三边长均满足方程x 2﹣7x +10＝0，则此三角形的周长为（ ） A ．9 B ．12 C ．9或12 D ．不能确定 8．方程x （x-1）=2的两根为（ ）．A ．x 1=0，x 2=1B ．x 1=0，x 2=-1C ．x 1=1，x 2=2D ．x 1=-1，x 2=2 9．在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高线，∠ACD 的正弦值是23，则ACAB 的值是（ ）A B ．23 C D10．某市以“重点整治环境卫生”为抓手，加强对各乡镇环保建设的投入，计划2017年投入1500万元，2019年投入4250万元，设投入经费的年平均增长率为x ，下列方程正确的是（ ）A ．1500（ 1+ 2x ) = 4250B ．1500（ 1+ x )2 = 4250C ．1500 +1500 x +1500 x 2 = 4250D ．1500 +1500（1+ x ) = 4250二、填空题11．把方程3x （x −2）=4（x +1）化为二次项系数为正数的一元二次方程的一般形式是______．12．已知点P （x ，y ）是直线y ＝﹣x +4上的一点，且满足|xy |＝4，则点P 的坐标可以是_____．13．方程22340x x --=的根的判别式的值为________，根的情况是___________。
湘教版2020九年级数学上册期中模拟基础测试卷A卷(附答案详解)
○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………湘教版2020九年级数学上册期中模拟基础测试卷A 卷（附答案详解）一、单选题1．方程()33x x x +=+的解为（ ）A ．10x =，23x =-B ．11x =，23x =-C ．10x =，23x =D ．11x =，23x = 2．小明是我校手工社团的一员，他在做折纸手工，如图所示在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E 是BC 的中点，点F 是边CD 上的任意一点，△AEF 的周长最小时，则DF 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，∠QON=30°.公路PQ 上A 处距O 点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以72千米/时的速度行驶时，A 处受噪音影响的时间为（ ）A ．409秒 B ．16秒 C ．403秒 D ．24秒4．“奔跑吧，兄弟！”节目组，预设计一个新的游戏：“奔跑”路线需经A 、B 、C 、D 四地．如图，其中A 、B 、C 三地在同一直线上，D 地在A 地北偏东30°方向、在C 地北偏西45°方向．C 地在A 地北偏东75°方向．且BD=BC=30m ．从A 地到D 地的距离是（ ）A ．3B ．5C ．2mD ．6m5．已知ABC ，在AB 边上找一点E ，作//ED BC ，使ABC AED ∽，这样的点E 有（ ）○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………6．某种商品一周内卖出的件数从周一到周日统计如下：26，36，22，22，24，31，21，关于这组数据，下列说法错误的是（ ） A ．方差是21B ．平均数是26C ．众数是22D ．中位数是247．根据图中的程序，当输入方程x 2=2x 的解x 时，输出结果y=（ ）A ．-4B ．2C ．-4或2D ．2或-28．在矩形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，如果矩形AB CD ∽矩形EFCB ，那么它们的相似比为（ ） A ．2B ．2C ．12D ．229．如果长方形面积一定，那么长方形的长y 与宽x 的函数关系图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图是甲、乙两组数据的折线统计图，下列结论中正确的是（ ）A ．甲组数据比乙组数据稳定B ．乙组数据比甲组数据稳定C ．甲、乙两组数据一样稳定D ．不能比较两组数据的稳定性二、填空题11．在比例尺为1:1000 000的地图上，量得两地间的距离为3厘米，那么两地间的实际距离是________千米．12．如图，线段AB ，CD 分别表示甲，乙两幢楼的高，AB⊥BD，CD⊥BD．从甲楼顶部A 测得乙楼顶C 的仰角α=30°，乙楼底部D 的俯角β=60°，已知甲楼的高AB=24米，则乙楼高CD 为_______米．○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………13．如图所示，一次函数y kx b =+与反比例函数my x=的图象相交于点()A 2,6，()B n,3-两点．请根据图象写出一次函数值大于反比例函数值时x 的取值范围________．14．如图，在△ABC 中，点D 是BC 边上的动点（不与点B 、C 重合），点E 是AB 边上的动点（不与点A 、B 重合），则当满足条件_____时，△ABC 与△DEB 相似（写出一个即可）．15．如果关于x 的一元二次方程()20ax b ab =>的两个根分别是11x m =+与224x m =-，那么ba的值为__________. 16．把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin ∠1＝22，则∠2的度数为_____．17．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC 且tanA=43，P 为BC 上一点，且BP ：PC=3：5，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且∠EPF=2∠B ，若△EPF 的面积为6，则EF=________．18．如图，△ABC 中，∠B ＝90°．∠BAC 的平分线交BC 于点E ，CD ⊥AE 于点D ，若AC ＝13，AD ＝12，则AB ＝_____．○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………元二次方程2mx mx 20140--=的两个实数根为a 、b ，则2a b +的值为________． 20．反比例函数y=﹣15x的图象位于第_____象限． 三、解答题21．如图所示，在正方形ABCD 的边CB 的延长线上取点F ，连接AF ，在AF 上取点G ，使得AG=AD ，连接DG ，过点A 作AE ⊥AF ，交DG 于点E ． （1）若正方形ABCD 的边长为4，且tan ∠FAB=12，求FG 的长； （2）求证：AE+BF=AF ．22．如图，如果//AC BD ，//CE DF ，那么ACE 与BDF 是否相似？ACE 与BDF 是否位似？试说明理由．23．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（2m ，m ），翻折矩形OABC ，使点A 与点C 重合，得到折痕DE ．设点B 的对应点为F ，折痕DE 所在直线与y 轴相交于点G ，经过点C 、F 、D 的抛物线为．○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（1）求点D 的坐标（用含m 的式子表示）（2）若点G 的坐标为（0，-3），求该抛物线的解析式．（3）在（2）的条件下，设线段CD 的中点为M ，在线段CD 上方的抛物线上是否存在点P ，使PM=EA?若存在，直接写出P 的坐标，若不存在，说明理由．24．如图，在▱ABCD 中，EF ∥AB ，FG ∥ED ，DE ：DA=2：5，EF=4，求线段CG 的长．25．如图，在楼房AB 和塔CD 之间有一棵树EF ，从楼顶A 处经过树顶E 点恰好看到塔的底部D 点，且俯角α为45.从距离楼底B 点1米的P 点处经过树顶E 点恰好看到塔的顶部C 点，且仰角β为30.已知树高EF 6 米，求塔CD 的高度.(结果保留根号)26．如图，BC 为⊙O 的直径，A 为⊙O 上的点，以BC 、AB 为边作▱ABCD ，⊙O 交AD 于点E ，连结BE ，点P 为过点B 的⊙O 的切线上一点，连结PE ，且满足∠PEA=∠ABE ． （1）求证：PB=PE ； （2）若sin ∠P=35， 求DEDC的值．○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………27．（1）先化简，再求值:（a-2）2+a （a+4），其中3（2）在△ABC 中，D ，E 分别是AB,AC 上的一点，且DE ∥BC ，14AD AB ，BC=12，求DE 的长.281248186）+2sin45°．参考答案1．B【解析】【分析】方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【详解】方程x（x+3）=x+3，变形得：x（x+3）-（x+3）=0，即（x-1）（x+3）=0，解得：x1=1，x2=-3．故选B．【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2．A【解析】如图作点E关于直线CD的对称点E′,连接AE′与直线CD交于点F. 此时△AEF的周长最小．∵BE=EC=CE′=4,AB=CD=6,CF∥AB，∴CF:AB=CE′:BE′=1:3，∴CF=2，∴DF=CD−CF=4.故选D.3．B【解析】【分析】分析题意，首先通过作图，找出A处受噪声影响火车经过的路段;根据题意可以点A为圆心，取AB＝AD＝200米为半径，过点A作AC⊥MN,求AC的长;然后根据勾股定理求出BC的长，由垂径定理即可得到BD的长，再根据火车行驶的速度，进而求出对A处产生噪音的时间. 【详解】如图，以点A为圆心，取AB＝AD＝200米为半径，过点A作AC⊥MN,∵∠QON＝30°，OA＝240米，∴AC＝120米，当火车到B点时对A处产生噪音影响，到点D时结束影响，此时AB＝200米，∵AB＝200米，AC＝120米，∴由勾股定理得: BC＝160米∴BD＝2BC＝320米,∵72千米/小时＝20米/秒,∴影响时间应是320÷20＝16 (秒)，故答案选B.【点睛】本题主要考查了勾股定理，解本题要点在于找出受影响的路段，从而求出BD的长.4．D【解析】分析：过点D作DH垂直于AC，垂足为H，求出∠DAC的度数，判断出△BCD是等边三角形，再利用三角函数求出AB的长，从而得到AB+BC+CD的长．详解：过点D作DH垂直于AC，垂足为H，由题意可知∠DAC=75°﹣30°=45°．∵△BCD是等边三角形，∴∠DBC=60°，BD=BC=CD=30m，∴DH=32×30=3∴AD2DH=6m．故从A地到D地的距离是6m．故选D．点睛：本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．5．D【解析】【分析】平行于三角形的一边，其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.除线段上A、B两点外，有无数个这样的点.【详解】无数个，∵平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，AB边是由无数个点构成的，∴这样的点有无数个，故选D.【点睛】此题考查平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似的运用.6．A【解析】【分析】根据所给数据分别求出平均数、方差、众数、中位数，再根据选项即可作出判断.【详解】A、这组数据的平均数是：17×（26+36+22+22+24+31+21）=26，则方差是：17×[（26﹣26）2+（36﹣26）2+2×（22﹣26）2+（24﹣26）2+（31﹣26）2+（21﹣26）2]= 1867，故本选项错误；B、根据A选项的计算得，平均数是26，故本选项正确；C、22出现了2次，出现的次数最多，则众数是22，故本选项正确；D、把这些数字从小到大排列，最中间的数是24，则中位数是24，故本选项正确，故选A．【点睛】本题考查了平均数、方差、众数、中位数，掌握各知识点的计算公式和概念是解题的关键.7．C【解析】解：x2=2x，x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，∴x=0或x=2．当x=0时，y=x﹣4=0﹣4=﹣4；当x=2时，y=﹣x+4=﹣2+4=2．故选C．8．A【解析】解：如图，设AD=b，AB=a．∵矩形ABCD∽矩形EFCB，E、F分别为AB、CD的中点，∴AB BCEF FC=，即12a bb a=，∴a=2b，∴2ab=，即2ABEF=．故选A．9．D【解析】【分析】根据题意有：xy=k（k是常数，且k≠0）；故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x、y 实际意义x、y应＞0，其图象在第一象限，即可得出答案．【详解】根据题意知，xy=k(k是常数,且k≠0)，则kyx=，即长方形的长y与宽x的函数关系图象是双曲线；∵x>0，y>0，∴该反比例函数的图象位于第一象限；故选：D.【点睛】考查反比例函数的应用，解答该类题目的关键是确定两个变量之间的函数关系，利用实际意义确定所在的象限.10．B【解析】从图中可以看出：甲组数据的折线统计图起伏较大，所以甲组的数据不如乙组的数据稳定，故选B．11．30【解析】【分析】设两地间的实际距离是xcm，由在比例尺为1：1000 000的地图上，量得两地间的距离为3厘米，即可得方程131000000x=，解方程即可求得x的值，然后换算单位即可求得答案．【详解】设两地间的实际距离是xcm，∵比例尺为1：1000 000，量得两地间的距离为3厘米，∴13 1000000x=，解得：x=3000000，∵3000000cm=30km，∴两地间的实际距离是30千米，故答案为：30．【点睛】本题考查了比例的性质——比例尺的性质．解题的关键是根据题意列方程，要注意统一单位．12．32【解析】【分析】首先过A作AE⊥CD于E，由AB⊥BD，CD⊥BD，可得四边形ABDE是矩形，则可求得DE的长，然后由三角函数的性质，求得CE的长，即可求得答案．【详解】如图，过A 作AE ⊥CD 于E ，∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴四边形ABDE 是矩形，∴DE=AB=24m ，∵在Rt △AED 中,AE=ED tan β33， ∴在Rt △ACE 中,CE=AE×tanα=8(m)，∴CD=DE+CE=24+8=32(m).答：乙楼CD 的高为32m.【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是过A 作AE ⊥CD 于E ，利用四边形ABDE 是矩形求DE 的长，然后由三角函数的性质求CE 的长最后得到CD.13．4x 0-<<或x 2>【解析】【分析】利用点A 的坐标可求出反比例函数解析式，再把B （n ，-3）代入反比例函数解析式，即可求得n 的值，根据图象和A ，B 两点的坐标即可写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．【详解】∵A (2,6)在反比例函数m y x =的图象上， ∴62m =，解得m =12. ∴反比例函数解析式为12y x =， ∵B (n ,−3)在反比例函数图象上，∴n =−4，∴B 的坐标(−4,−3)，由图象知：当−4<x<0或x>2时，一次函数的值大于反比例函数．故答案为:−4<x<0或x>2.【点睛】考查待定系数法求反比例函数的解析式以及反比例函数与一次函数的交点问题，注意数形结合思想在解题中的应用.14．∠A=∠BDE（答案不唯一）【解析】试题分析：两个对应角相等即为相似三角形，∠A为公共角，只需一角对应相等即可．例如：∠A＝∠BDE；理由如下：∵∠A＝∠BDE，∠A＝∠A，∴△ABC∽△DBE；故答案为：∠A＝∠BDE（答案不唯一）．点睛：本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键．15．4【解析】分析：先把一元二次方程化为一般式，然后根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-ba，x1·x2=ca，构造方程组，然后可求出m的值，然后代入求解即可.详解：方程化为一般式为：ax2-b=0 x1+x2=m+1+2m-4=0 ①x1·x2=（m+1）（2m-4）=-ba②解方程①，得m=1把m=1代入②，得ba=-2×（-2）=4.故答案为：4.点睛：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，关键是根据一元二次方程根与系数的关系，x1+x2=-ba，x1·x2=ca，求出m的值，是中档题.16．135°；【解析】【分析】首先根据特殊角的三角函数值即可求得∠1的度数，然后根据直角三角形的两个锐角互余，以及平行线的性质即可求解．【详解】解：∵sin∠1=22，∴∠1=45°，∵直角△EFG中，∠3=90°-∠1=90°-45°=45°，∴∠4=180°-∠3=135°，又∵AB∥CD，∴∠2=∠4=135°．故答案为：135°．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，以及直角三角形的性质、平行线的性质，正确理解平行线的性质是关键．17．2 13【解析】【分析】由∠B=∠C、∠A+∠B+∠C=180°,知∠A+2∠B=180°，由∠β=2∠B得∠A+∠β=180°，根据四边形内角和得∠3+∠4=180°，继而由∠4+∠1=180°知∠3=∠1，再分两种可能：①∠3=∠4=90°，结合∠B=∠C可得△PBE∽△PFC，从而得知3;5PB PEPC PF==②∠3≠∠4，以P 为圆心，PF 为半径画弧交CF 于点G ，证△PBE ∽△PCG 得3;5PB PE PE PC PG PF ===作FD ⊥EP ，由∠β+∠A=∠β+∠α=180°知∠A=∠α，从而得tanA=tanα=4 3FD PD =， 故可设FD=4x ，则PD=3x ，求出PF=PG=5x ，PE=3x ，根据162PEF S PE DF =⋅=,可得x 的值，从而得出DE 、DF 的长，即可得答案．【详解】∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，∵180A B C ∠+∠+∠=，∴2180A B ∠+∠=，如图所示，∵∠β=∠EPF =2∠B ，∴180A β∠+∠=，∵34360A β∠+∠+∠+∠=，∴34180∠+∠=，∵41180∠+∠=，∴∠3=∠1，若3490∠=∠=，∵∠B =∠C ，∴△PBE ∽△PFC ，∴3;5PB PE PC PF == 若∠3≠∠4，不放设∠4>∠3，则可以P 为圆心，PF 为半径画弧交CF 于点G ，∴∠1=∠2，∵∠3=∠1，∴∠3=∠2，∴∠5=∠6，∴△PBE ∽△PCG ， ∴3;5PB PE PE PC PG PF === 作FD ⊥EP 于点D ，∵180A ββα∠+∠=∠+∠=，∴∠A =∠α，∵tan A =tan α=4 3FD PD =， 设FD =4x ,则PD =3x ,(x >0)，由勾股定理得PF =5x ，即PG =5x ， ∵35PE PG =， ∴PE =3x ， ∴21134622PEF SPE DF x x x =⋅=⨯⨯=， ∵6PEF S =，∴266x ，= 解得：x =1或x =−1(舍)，∴DE =6x =6，DF =4x =4，由勾股定理可得EF =故答案为【点睛】考查解直角三角形, 三角形的面积, 等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等，注意分类讨论思想在解题中的应用.18．11913【分析】先证明∠DCE=∠EAC，可得△DCE∽△DAC，从而由相似三角形对应边成比例可得DE=25 12,CE=6512,然后计算出AE=11912,再由△ABE∽△ADC得到AB AEAD AC=，最后计算出AB=11913.【详解】解：∵∠B=∠D=90°，∠BEA=∠DEC, ∴∠BAE=∠DCE;∵AD平分∠BAC，∴∠BAE=∠EAC，∴∠DCE=∠EAC，∴△DCE∽△DAC，∴DC DE CE AD DC AC==,∴512513DE CE== ,∴DE=2512, CE=6512,∴AE=AD-DE=12-2512=11912,∵∠B=∠D=90°,∠BAE=∠EAC，∴△ABE∽△ADC，∴AB AE AD AC=∴11912 1213AB= ,∴AB=119 13.【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相关定理是解题关键. 19．2015【分析】根据方程有两个相等的实数根，可得出m的值，再代入关于x的一元二次方程mx2﹣mx﹣2014=0，求得a+b的值，再代入即可．【详解】∵关于x的一元二次方程mx2+2mx+1=0有两个相等的实数根，∴4m2﹣4m=0，∴m=0或1．∵m≠0，∴m=1．把m=1代入关于x的一元二次方程mx2﹣mx﹣2014=0，得：x2﹣x﹣2014=0．∵关于x的一元二次方程mx2﹣mx﹣2014=0的两个实数根为a、b，∴a+b=1，a2﹣a﹣2014=0，∴a2+b=a+2014+b=1+2014=2015．故答案为2015．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的解，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．20．二、四【解析】【分析】根据反比例函数图象的性质，k=-15，反比例函数图象位于第二、四象限进行解答．【详解】∵k=−15<0，∴反比例函数图象位于第二、四象限.故答案为二、四.【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练的掌握反比例函数的性质.21．(1) 4 (2)见解析【解析】【分析】（1）由正方形ABCD的边长为4，在Rt△ABF中，由tan∠FAB=12，即可求得BF的长，然后由勾股定理求得AF的长，又由AG=AD，即可求得FG的长；（2）首先在BC上去截取BM=AE，然后证得△AGE≌△BAM，由全等三角形的对应角相等、同角的余角相等，即可求得∠FAM=∠AMB，继而证得AE+BF=AF.【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，∴∠ABF=90°，AB=AD=4，∵在Rt△ABF中，tan∠FAB=12，即FBAB=12，∴FB=12×4=2，∵AG=AD=4，∴FG=AF﹣﹣4；（2）在BC上截取BM=AE，∵AG=AD，AB=AD，∴AG=AB，∵AE⊥AF，∴∠EAG=∠ABM=90°，在△AGE和△BAM中，∵AG BAGAE ABM AE BM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AGE≌△BAM，∴∠AMB=∠AEG，∠BAM=∠AGD，∵AG=AD，∴∠AGD=∠ADG，∴∠BAM=∠ADG，∵∠BAD=90°，∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAD=90°，∴∠FAB=∠EAD，∴∠AEG=∠EAD+∠ADG=∠FAB+∠BAM=∠FAM，∴∠FAM=∠AMB，∴AF=FM=BF+BM=BF+AE．【点睛】本题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，综合性较强，难度较大，正确添加辅助线，结合数形结合思想进行解题是关键.22．ACE与BDF相似，ACE与BDF位似，理由详见解析.【解析】【分析】由AC∥BD，CE∥DF，可证△OAC∽△OBD，△OCE∽△ODF，继而证得AC CE BD DF，∠ACE=∠BDF，即可证得△ACE∽△BDF；又由△ACE与△BDF的各对应边的连线过点O，可得△ACE与△BDF位似．【详解】 ACE 与BDF 相似，ACE 与BDF 位似． 理由：∵//AC BD ，//CE DF ，∴OAC OBD ∽，OCE ODF ∽，∴AC OC BD OD =，OC CE OD DF=，OCA ODB ∠=∠，OCE ODF ∠=∠， ∴AC CE BD DF =，ACE BDF ∠=∠， ∴ACE BDF ∽；∵ACE 与BDF 的各对应顶点的连线过点O ，∴ACE 与BDF 位似．【点睛】此题考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质．注意相似三角形的各对应顶点连线过同一个点，即可得位似．23．（1）（m ，m ）；（2）y=-x 2+x+2；（3）存在，点P 坐标为（1．6，3．2）和（0．9，3．2）．【解析】试题分析：（1）设D 的坐标为：（d ，m ），则有CD=d ，OC=m ，由CD ∥EA ，可得∠CDE=∠AED ，又∠AED=∠CED ，从而可得∠CDE=∠CED ，继而可得CD=CE=EA=d ，OE=2m-d ，在Rt △COE中，由勾股定理可得d=m ．从而可得点D 的坐标； 作DH 垂直于x 轴，由题意得：OG=3，OE=m ，EH=m ，DH=m ，△GOE ∽△DHE ，从而可得，继而可得m=2，从而可确定D 点坐标为（，2），CD=，CF=2，FD=BD=1．5，由面积法可得FI=1．2，从而由勾股定理可得CI=1．6，从而可得F 的坐标为（1．6，3．2），由待定系数法即可得抛物线解析式为y=-x 2+x+2；存在，由PM=EA，可得PM=CD．以M为圆心，MC为半径化圆，交抛物线于点F和点P．从而可得点P坐标为（1．6，3．2）和（0．9，3．2）．试题解析：（1）设D的坐标为：（d，m），根据题意得：CD=d，OC=m因为CD∥EA，所以∠CDE=∠AED，又因为∠AED=∠CED，所以∠CDE=∠CED，所以CD=CE=EA=d，OE=2m-d，在Rt△COE中，OC2+OE2=CE2，m2+（2m-d）2=d2，解得：d=m．所以D的坐标为：（m，m）作DH垂直于X轴，由题意得：OG=3，OE=OA-EA=2m-m=m，EH=OH-OE=m-m=m，DH=m，△GOE∽△DHE，，．所以m=2．所以此时D点坐标为（，2），CD=，CF=2，FD=BD=4-=1．5，因为CD×FI=CF×FD，FI=2×1．5÷2．5=1．2，CI=，所以F的坐标为（1．6，3．2），抛物线为经过点C、F、D，所以代入得：，解得：，所以抛物线解析式为y=-x2+x+2；存在，因为PM=EA，所以PM=CD．以M为圆心，MC为半径化圆，交抛物线于点F 和点P．如下图：点P坐标为（1．6，3．2）和（0．9，3．2）．考点：二次函数综合题．24．6【解析】试题分析：根据平行线分线段成比例定理求出25EF DEAB DA==，得到AB的长，根据平行四边形的性质求出CD，根据平行线分线段成比例定理得到比例式，计算即可．试题解析：∵EF∥AB，∴25EF DF DE AB DB DA ===，又EF=4， ∴AB=10，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD=AB=10，∵FG ∥ED ， ∴25DG DF DC DB ==， ∴DG=4，∴CG=6．25．6+【解析】【分析】根据题意求出BAD ADB 45∠∠==，进而根据等腰直角三角形的性质求得FD ，在Rt PEH 中，利用特殊角的三角函数值分别求出BF ，即可求得PG ，在Rt PCG 中，继而可求出CG 的长度．【详解】由题意可知BAD ADB 45∠∠==，FD EF 6∴==米，在Rt PEH 中，EH 5tan βPH BF==，BF∴== PG BD BF FD 6∴==+=，在RT PCG 中，CG tan βPG=，()CG 653∴=⋅=+， (CD 6∴=+米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——俯角仰角问题，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．26．（1）证明见解析；（2）105；【解析】【分析】（1）根据切线的性质求得∠ABP=∠AEB，根据已知条件即可求得∠PBE=∠PEB，根据等角对等边即可证明结论；（2）连接EC，延长DA交PB于F，根据平行弦的性质得出=AB CE，进而求得AB=CE=CD，得出三角形CED是等腰三角形，在等腰三角形PBE中根据勾股定理求得BE的长，进而求得10BEPE=AEB=∠EBC，∠ABP=∠AEB，得出∠ABP=∠EBC，从而得出∠PBE=∠ABC=∠D，求得△CDE∽△PBE，得出105 DE BEDC PE==.【详解】（1）证明：∵PB是⊙O的切线，∴∠ABP=∠AEB，∵∠PEA=∠ABE．∴∠PBE=∠PEB，∴PB=PE；（2）连接EC，延长DA交PB于F，∵PB是⊙O的切线，∴BC⊥PB，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴EF ⊥PB ，∵sin ∠P=35， 设PE=5a ，EF=3a ，则PF=4a ，∵PB=PE=5a ，∴BF=a ，∴，∴5BE PE =， ∵AD ∥BC ，∴=AB CE ，∴AB=CE ，∵AB=CD ，∴CE=CD ，∴∠D=∠CED ，∵AD ∥BC ，∴∠AEB=∠EBC ，∵∠ABP=∠AEB ，∴∠ABP=∠EBC ，∴∠PBE=∠ABC ，∴∠PBE=∠D ，∵∠PBE=∠PEB ，∴△CDE ∽△PBE ，∴5DE BE DC PE ==.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，圆的切线的性质，平行弦的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用等，本题的关键是求得三角形相似.27．（1）原式=2a2+4=10；（2）DE =3.【解析】试题分析：（1）本题应对方程去括号，合并同类项，将整式化为最简式，然后把a的值代入即可；（2）由平行得到三角形相似，再由相似三角形对应边成比例即可求得DE的长.试题解析：（1）原式= a2-4a+4+a2+4 a=2 a2+4当3=232+4=10；（2）∵DE∥BC，∴△ADE～△ABC.∴14 DE ADBC AB==.∵BC=12，∴DE=14BC=3.286+342．【解析】【分析】先计算乘法、去括号，化简后合并同类二次根式即可．【详解】解：原式+34 ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算顺序，先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．。
湘教版2020九年级数学上册期中模拟能力达标测试卷B卷(附答案详解)
（2）求tan∠ABE的值；
（3）若OA=2，求线段AP的长．
25．解下列一元二次方程：
（1）2（x+3）2＝x（x+3）．
（2）x2﹣2x﹣3＝0．
（3）2x2﹣9x+8＝0．
26．数学活动课上，某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD（∠BAD＝120°）进行探究：将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB，AD于点E，F（不包括线段的端点）．
19．现定义运算“★”如下，当 时，都有 ；当 时， 。已知（2x+3）★（x-1）=0，则x的值为__________
20．关于x的方程： 是二项方程，k=_____________
三、解答题
21．用适当的方法解方程
（1）
（2）
22．周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露台遮阳蓬的宽度，如图，由于无法直接测量，小凯便在楼前面的地面上选择了一条直线EF，通过在直线EF上选点观测，发现当他位于N点时，他的视线从M点通过露台D点正好落在遮阳蓬A点处：当他位于Q点时，视线从P点通过露台D点正好落在遮阳蓬B点处，这样观测到两个点A，B间的距离即为遮阳蓬的宽.已知AB∥CD∥EF，点C在AG上，AG、DE、PQ、MN均为垂直于EF，MN=PQ，露台的宽CD=GE，测得GE=5米，EN=13.2米，QN=6.2，请你根据以上信息，求出遮阳蓬的宽AB是多少米？（结果精确到0.01米）
x
－1
0
1
2
3
4
x2＋3x－5
－7
－5
－1
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2020年秋期湘教版数学初三(九年级)上册第一学期期中测试卷
第一学期期中测试卷一、选择题(每题3分，共24分)1．如图，反比例函数y ＝kx 的图象经过点A (2，1), 该反比例函数的表达式为( ) A ．y ＝12x B ．y ＝－12x C ．y ＝2x D ．y ＝－2x2．把一元二次方程(1－x )(2－x )＝3－x 2化成一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，其中a ，b ，c 分别为( )A ．2，3，－1B ．2，－3，－1C ．2，－3，1D ．2，3，1 3．若反比例函数y ＝m －2x 的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是( )A ．m ＞－2B ．m ＜－2C ．m ＞2D ．m ＜2 4．若a b ＝53，则a －b a 的值为( ) A.23B.25C.35 D ．－235．点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在双曲线y ＝－1x 上，若x 1＜0＜x 2，则下列结论正确的是( )A ．y 1＜y 2＜0B ．y 1＜0＜y 2C ．y 1＞y 2＞0D ．y 1＞0＞y 2 6．某型号手机原来销售单价是4 000元，经过两次降价促销，现在的销售单价是2 560元，若两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为( ) A ．10% B ．15% C ．20% D ．25%7．如图，点D 在△ABC 的边AC 上，添加下列条件后不能判定△ADB 与△ABC 相似的是( )A ．∠ABD ＝∠CB ．∠ADB ＝∠ABC C.AB BD ＝CB CDD.AD AB ＝AB AC8．若y＝k－1x＋1是关于x的一次函数，则一元二次方程kx2＋2x＋1＝0的根的情况为()A．没有实数根B．有一个实数根C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根二、填空题(每题4分，共32分)9．已知m是关于x的方程x2＋4x－5＝0的一个根，则2(m2＋4m)＝________．10．已知关于x的方程x2＋4x＋n＝0可以配方成(x＋m)2＝3，则(m－n)2 020＝________．11．关于x的一元二次方程x2＋kx－2＝0的一个根为x＝－2，则方程的另一个根为________．12．如图，已知反比例函数y＝ax和一次函数y＝kx＋b的图象相交于A(－1，y1)、B(4，y2)两点，则不等式ax≤kx＋b的解集为______________．13．若两个相似三角形的面积的比为1∶4，则这两个三角形的对应边的中线之比为________．14．如图所示的小孔成像问题中，光线穿过小孔，在竖直的屏幕上形成倒立的实像．若像的长度CD＝2 cm，点O到AB的距离是12 cm，到CD的距离是3 cm，则蜡烛的高度AB为________cm.15.在对物体做功一定的情况下，力F(N)与此物体在力的方向上移动的距离s(m)成反比例函数关系，其图象如图所示，则当力达到20 N时，此物体在力的方向上移动的距离是________m.16．如图，点P1，P2，P3，P4均在坐标轴上，且P1P2⊥P2P3，P2P3⊥P3P4，若点P1，P2的坐标分别为(0，－1)，(－2，0)，则点P4的坐标为________．三、解答题(17，18题每题6分，19，20题每题8分，21～24题每题9分，共64分)17．解方程：(1)x2＝3(x＋1)；(2)x2－24＝2x.18．九(1)班课外学习小组对不等式8x＞－4进行了研究，摸索到一种解法．解：画出反比例函数y＝8x的图象(如图)，令y＝－4，则x＝－2.由图象知，当x＜－2或x＞0时，y＞－4，即8x＞－4.∴不等式8x＞－4的解集为x＜－2或x＞0.请你根据他们探究得到的解法解下列不等式：(1)2x＞3；(2)－2x＞4.19．如图，直线y＝kx＋b(k≠0)和双曲线y＝mx(m≠0)的交点分别为A(－1，6)，B(a，－2)．(1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)求△AOB的面积．20．一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现销售量y(千克)与售价x(元/千克)满足一次函数关系，对应关系如下表：售价x(元/千克) …50 60 70 80 …销售量y(千克) …100 90 80 70 …(1)求y与x的函数表达式；(2)该批发商若想获得4 000元的利润，应将售价定为多少？21．如图，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC 与△A 1B 1C 1是以点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． (1)画出位似中心点O ；(2)求出△ABC 与△A 1B 1C 1的位似比；(3)将△ABC 向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度，得到△A 2B 2C 2，请在图中作出△A 2B 2C 2.22．已知关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫k －12＝0.(1)求证：无论k 取何值，这个方程总有实数根；(2)若等腰三角形ABC 的一边长a ＝4，另两边的长b ，c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长．23．如图，已知EC∥AB，∠EDA＝∠ABF.(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)求证：OA2＝OE·OF.24．从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫作这个三角形的完美分割线．(1)如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线；(2)在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数；(3)如图②，在△ABC中，AC＝2，BC＝2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD 是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．答案一、1.C 2.B 3.D4．B：∵ab＝53，∴设a＝5x(x≠0)，b＝3x，把a＝5x，b＝3x代入a－ba，得5x－3x5x＝2 5.5．D6．C：设每次降价的百分率为x，由题意得4 000(1－x)2＝2 560，∴1－x＝±0.8，∴x1＝1.8(舍去)，x2＝0.2＝20%.7．C8．A：∵y＝k－1x＋1是关于x的一次函数，∴k－1＞0，∴k－1＞0，解得k＞1.又∵一元二次方程kx2＋2x＋1＝0的判别式Δ＝4－4k，∴Δ＜0，∴一元二次方程kx2＋2x＋1＝0无实数根．二、9.1010．1：由(x＋m)2＝3得x2＋2mx＋m2－3＝0，∴2m＝4，m2－3＝n，∴m＝2，n＝1，∴(m－n)2 020＝1.11．x＝1：设方程的另一个根为x1，根据根与系数的关系得(－2)·x1＝－2，∴x1＝1.12．x≤－1或0＜x≤413.1∶214．8：根据题意得ABCD＝123，∵CD＝2 cm，∴AB＝8 cm.15．116．(8，0)：由题意，易得Rt△P1OP2∽Rt△P2OP3∽Rt△P3OP4，∵点P1，P2的坐标分别为(0，－1)，(－2，0)，∴OP1＝1，OP2＝2.∵Rt△P1OP2∽Rt△P2OP3，∴OP1OP2＝OP2OP3，即12＝2OP3，解得OP3＝4.∵Rt△P2OP3∽Rt△P3OP4，∴OP2OP3＝OP3OP4，即24＝4OP4，解得OP 4＝8，则点P 4的坐标为(8，0)． 三、17.解：(1)整理，得x 2－3x －3＝0， ∵b 2－4ac ＝(－3)2－4×1×(－3)＝21， ∴ x ＝3±212，∴x 1＝3＋212，x 2＝3－212.(2)整理，得x 2－2x ＝24， ∴x 2－2x ＋1＝24＋1， 即(x －1)2＝25， 开方，得x －1＝±5， ∴x 1＝6，x 2＝－4.18．解：(1)作出反比例函数y ＝2x 的图象如图①，令y ＝3，则x ＝23，根据图象可得当0＜x ＜23时，y ＞3， ∴不等式2x ＞3的解集为0＜x ＜23.(2)作出反比例函数y ＝－2x 的图象如图②，令y ＝4，则x ＝－12，根据图象可得当－12＜x ＜0时，y ＞4，∴不等式－2x ＞4的解集为－12＜x ＜0.19．解：(1)把点A 的坐标(－1，6)代入y ＝mx (m ≠0)，得m ＝－1×6＝－6，∴反比例函数的表达式为y ＝－6x .将点B 的坐标(a ，－2)代入y ＝－6x ，得－2＝－6a ，∴a ＝3，∴B (3，－2)，将(－1，6)，(3，－2)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧－k ＋b ＝6，3k ＋b ＝－2，∴⎩⎨⎧k ＝－2，b ＝4，∴一次函数的表达式为y ＝－2x ＋4.(2)设直线y ＝－2x ＋4与x 轴交于点C ，则点C 坐标为(2，0)，即OC ＝2， ∴△AOB 的面积＝△AOC 的面积＋△COB 的面积＝12×2×6＋12×2×2＝8. 20．解：(1)设y 与x 的函数表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，根据题意得 ⎩⎨⎧50k ＋b ＝100，60k ＋b ＝90，解得⎩⎨⎧k ＝－1.b ＝150.故y 与x 的函数表达式为y ＝－x ＋150(20≤x ≤90)．(2)根据题意得(－x ＋150)(x －20)＝4 000，解得x 1＝70，x 2＝100(不合题意，舍去)． 答：该批发商若想获得4 000元的利润，应将售价定为70元/千克． 21．解：(1)如图，点O 即为所求．(2)△ABC 与△A 1B 1C 1的位似比＝OA ∶OA 1＝6∶12＝1∶2. (3)如图，△A 2B 2C 2即为所求．22．(1)证明：Δ＝(2k ＋1)2－4×4⎝ ⎛⎭⎪⎫k －12＝4k 2＋4k ＋1－16k ＋8＝4k 2－12k ＋9＝(2k－3)2，∵(2k －3)2≥0，即Δ≥0，∴无论k 取何值，这个方程总有实数根． (2)解：当b ＝c 时，Δ＝(2k －3)2＝0，解得k ＝32，方程化为x 2－4x ＋4＝0，解得b ＝c ＝2，而2＋2＝4，故舍去；当a ＝b ＝4或a ＝c ＝4时，把x ＝4代入方程得16－4(2k ＋1)＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫k －12＝0，解得k ＝52，方程化为x 2－6x ＋8＝0，解得x 1＝4，x 2＝2，即a ＝b ＝4，c ＝2或a ＝c ＝4，b ＝2，∴△ABC 的周长＝4＋4＋2＝10.23．证明：(1) ∵EC∥AB，∴∠EDA＝∠DAB.∵∠EDA＝∠ABF，∴∠DAB＝∠ABF，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．(2)∵EC∥AB，∴△OAB∽△OED，∴OAOE＝OBOD.∵AD∥BC，∴△OBF∽△ODA，∴OBOD＝OFOA，∴OAOE＝OFOA，∴OA2＝OE·OF.24．(1)证明：∵∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠ACB＝80°，∴△ABC不是等腰三角形．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝12∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A＝40°，∴△ACD为等腰三角形．∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线．(2)解：①如图①，当AD＝CD时，∠ACD＝∠A＝48°.∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝96°；②如图②，当AD＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝180°－48°2＝66°.∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝114°；精品文档 用心整理资料来源于网络 仅供免费交流使 ③如图③，当AC ＝CD 时，∠ADC ＝∠A ＝48°.∵△BDC ∽△BCA ，∴∠BCD ＝∠A ＝48°，∴∠ADC ＝∠BCD .这与∠ADC ＞∠BCD 矛盾，故舍弃．综上，∠ACB ＝96°或114°.(3)解：由题意得AC ＝AD ＝2，△BCD ∽△BAC ，∴BC BA ＝BD BC .设BD ＝x ，∴(2)2＝x (x ＋2)．∵x ＞0，∴x ＝3－1.∵△BCD ∽△BAC ，∴CD AC ＝BD BC ＝3－12， ∴CD ＝3－12×2＝6－ 2.。
2023-2024学年湖南省岳阳市九年级上学期期中数学试卷及参考答案
2023-2024学年湖南省岳阳市九年级上学期期中数学试卷时量：120分钟总分：120分一、单选题（每小题3分，共30分）1.若关于x 的方程()2210m x mx −+−=是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）A.2m ≠B.2m =C.2m ≥D.0m ≠2.若关于x 的方程230x x a ++=有一个根为1−，则另一个根为（ ） A.2−B.2C.4D.3−3.已知反比例函数ky x=的图象经过点()1,2−，则k 的值是（ ） A.3−B.2−C.3D.32−4.下列说法中不正确的是（ ） A.函数3y x =的图象经过原点B.函数1y x =的图象位于第一、三象限 C.函数21y x =−的图象不经过第二象限D.函数3y x=的值随x 的值的增大而减少5.关于x 的一元二次方程23210x x −+=的根的情况，下列判断正确的是（ ） A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根D.无法判断6.已知34x y =，则x y y −的值为（ ） A.13−B.13C.14−D.147.已知线段a 、b 、c ，求作线段x ，使::a b c x =，正确的作法是（ ）A. B. C. D.8.如图，一次函数与反比例函数的图象交于点()1,4A ，()4,1B 两点，当一次函数大于反比例函数的值时，x 的取值范围是（ ）A.1x <B.14x <<C.3x >D.4x >9.如图，一块矩形ABCD 绸布的长AB a =，宽1AD =，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD 绸布相似，则a 的值等于（ ）D.110.如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 为线段BC 上一点，以AD 为一边构造Rt ADE △，90DAE ∠=︒，AD AE =，下列说法正确的是（ ）①BAD EDC ∠=∠；②~ADO ACD △△；③BD ADOE AO=； ④2222AD BD CD =+. A.仅有①②B.仅有①②③C.仅有②③④D.①②③④二、填空题（每小题3分，共18分）11.将一元二次方程2253x x =−化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为______. 12.若m 是方程22310x x −−=的一个根，则26913m m −+−的值为______. 13.已知反比例函数2y x=，当410x ≤≤时，y 的最大值为______. 14.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，如图，则井深BD 长为______.15.“黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见.主持人站在舞台的黄金分割点的位置会更自然得体，如图，舞台长8AB =米，C ，D 是线段AB 的黄金分割点（即AC BC BC AB =，BD ADAD AB=），若主持人从舞台黄金分割点C 走到另一个黄金分割点D ，则CD 的长为______米.（结果保留根号）16.如图，在正方形ABCD 中，点G 是BC 上一点，且12GC BG =，连接DG 交对角线AC 于F 点，过D 点作DE DG ⊥交CA 的延长线于点E ，若5AE =，则DF 的长为______.三、解答题（共72分：17—19题每题6分，20.21题每题8分，22.23题每题9分，24.25题每题10分）17.解方程（1）()()2454x x +=+（2）22410x x −−=18.已知1x ，2x 是方程2310x x −+=的两个实数根，求下列各式的值：（1）2212x x +（2）1211x x + 19.根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强()Pa P 是它的受力面积()2m S 的反比例函数，其函数图象如图所示.（1）求P 关于S 的函数关系式.（2）当20.25m S =时，物体所受的压强是多少Pa.20.如图，在ABC △和DEC △中，BCE ACD ∠=∠，B CED ∠=∠.（1）求证：ABC DEC △△；（2）若:4:9ABC DEC S S =△△，12BC =，求EC 的长.21.中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？22.已知矩形ABCD 的一条边8AD =，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处.如图，已知折痕与边BC 交于点O ，连接AP 、OP 、OA .（1）求证：OC OPPD AP=； （2）若OCP △与PDA △的相似比为1:2，求边AB 的长.23.如图，一次函数5y mx =+的图象与反比例函数()0ky k x=≠在第一象限的图象交于()1,A n 和()4,1B 两点，过点A 作y 轴的垂线，垂足为M .（1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求ABM △的面积；（3）在y 轴上求一点P ，使PA PB +最小.24.操作与研究：如图，ABC △被平行于CD 的光线照射，CD AB ⊥于D ，AB 在投影面上.图1图2（1）指出图中线段AC 的投影是______，线段BC 的投影是______.（2）问题情景：如图1，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，我们可以利用ABC △与ACD △相似证明2AC AD AB =⨯，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理.（3）拓展运用如图2，正方形ABCD 的边长为15，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 在 CD 上，过点C 作CF BE ⊥，垂足为F ，连接OF ；试利用射影定理证明BOF BED ∽△△； 25.如图，在矩形ABCD 中，5AB =，4BC =，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线BC 方向运动，动点Q 从点C 出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线段CD 方向运动.点P 和点Q 同时出发，当点Q 到达点D 时，两点同时停止运动，设运动时间为t 秒()0t >.（备用图）（备用图）（1）用含t 的代数式表示线段CP 的长； （2）当PQ 与矩形的对角线平行时，求t 的值；（3）若点M 为DQ 的中点，求以M 、P 、C 为顶点的三角形与ABC △相似时t 的值； （4）直接写出点B 关于直线AP 的对称点B 落在ACD △边上时t 的值.2023-2024学年湖南省岳阳市九年级上学期期中数学试卷参考答案1.A2.A3.B4.D∵点()31,2P −在反比例函数ky x=的图象上， ∴21k−=，解得2k =−， ∴反比例函数解析式为2y x−=，∵点()111,P x y ，()222,P x y 都在反比例函数2y x−=的图象上，120x x <<， ∴120y y >>， 故选：D. 5.C【分析】根据根的判别式即可求出答案.解：()224134128∆=−−⨯⨯=−=−，故原方程无实数根， 故选：C. 6.C 解：∵34x y =， 设3x k =，4y k =，∴34144x y k k y k −−==−， 故选：C. 7.B解：A 、由平行线分线段成比例可得a xb c =，故A 选项错误； B 、由平行线分线段成比例可得a cb x =，故B 选项正确；C 、由平行线分线段成比例可得a xb c =，故C 选项错误；D 、由平行线分线段成比例可得a xb c=，放D 选项错误；故选：B.8.B解：∵裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，∴1131a a =，解得：a =a =，∴a = 故选：B. 9.B解：由图象可知：当1x <时，反比例函数大于一次函数的函数值， 当1x =时，反比例函数等于一次函数的函数值， 当14x <<时，一次函数大于反比例函数的函数值， 当4x =时，反比例函数等于一次函数的函数值， 当4x >时，反比例函数大于一次函数的函数值，即当一次函数大于反比例函数的值时，x 的取值范围是：14x <<， 故选：B. 10.D解：①180135BAD B BDA BDA ∠=︒−∠−∠=︒−∠，180135EDC ADE BDA BDA ∠=︒−∠−∠=︒−∠.故①正确；②∵ADE ACB ∠=∠，CAD OAD ∠=∠， ∴ADO ACD △△.故②正确；③∵ABD AEO ∠=∠，BAD EAO ∠=∠， ∴BAD EAO △△，∴OD OE B ADA =.故③正确； ④如图，过点D 作DM AB ⊥，DN AC ⊥，垂足分别为M ，N ，∵在Rt AED △中，222DE AD AE =+，AD AE =， ∴222DE AD =，同理，在Rt BMD △中，222BD MD =；在Rt DCN △中，222CD DN =.∵90DMA MAN DNA ∠=∠=∠=︒， ∴四边形AMDN 是矩形， ∴DN AM =，在Rt AMD △中，222AD AM MD =+， ∴222222AD AM MD =+， ∴2222AD BD CD =+. 故④正确. 故选D.二、填空题11.5−12.16−解：把x m =代入22310x x −−=，得22310m m −−=， ∴2231m m −=， ∴26913m m −+−()232313m m =−−−313=−−16=−.故答案为：16−. 13.12/0.5 解：当410x ≤≤时，反比例函数2y x=的图象随x 的增大而减小， 则y 在4x =时取得最大值，12y =· 故答案为：12. 14.57.5尺解：依题意可得：ABF ADE ∽△△，∴AB BF AD DE =，即50.45AD =， 解得：62.5AD =，62.5557.5BD AD AB =−=−=尺.15.16解：设AC m =，BD n =，∵C ，D 是线段AB 的黄金分割点，8AB =， ∴888m m m −=−，888n nn =−−，解得：12m =−12m =+，12n =−，12n =+意舍去），∴((8121216CD =−−−−=，故答案为：16；16.2【分析】过点E 作EH AD ⊥，交DA 延长线于H ，先证出DEH DGC ∽△△，根据相以三角形的性质可得EH DH GC DC =，再根据12GC BG =可得3DH EH =，利用勾股定理可得2EH HM ==，从而可得2DH =，BC CD AD ===，然后利用勾股定理可得DG =，最后证出ADF CGF ∽△△，根据相似三角形的性质可得3DF GF =，由此即可得.解：如图，过点E 作EH AD ⊥，交DA 延长线于H ，∴90H ∠=︒，在正方形ABCD 中，AB BC CD AD ===，90BAD B BCD ADC ∠=∠=∠=∠=︒， ∴2390∠+∠=︒，H BCD ∠=∠，∵DE DG ⊥，∴90EDG ∠=︒， ∴2190∠+∠=︒， ∴13∠=∠，∴DEH DGC ∽△△， ∴EH DH GC DC=， ∵12GC BG =， ∴设()0GC x x =>，则2BG x =，3DC BC x ==， ∴3EH x x DH =， ∴3DH EH =，∵AC 是正方形ABCD 对角线，∴45DAC ∠=︒，∴45EAH DAC ∠=∠=︒， ∴45HEA ∠=︒， ∴EH HA =， ∵5AE =， ∴22225EH HA AE +==，∴2EH HA ==， ∴2DH =， ∴BC CD AD DH HA ===−=，由12GC BG =，得133GC BC ==，∴3DG ==， 在正方形ABCD 中，AD BC ， ∴ADF CGF ∽△△， ∴3AD BC GF CG DF CG===， ∴3DF GF =，∴34DF DG ==，故答案为：2.17.（1）14x =−，21x =（2）122x +=，222x = 解：（1）()()24540x x +−+=，()()4450x x ++−=，∴14x =−，21x =；（2）22410x x −−=，∵2a =，4b =−，1c =−，∴()()2442124∆=−−⨯⨯−=， ∴44x ±=，∴1x =2x =. 18.（1）7 （2）319.（1）()1000P S S=> （2）400 （1）解：设k P S=， 由图象可知：点()0.1,1000在函数图象上， ∴10000.1k =， ∴100k = ∴()1000P S S =>故答案为：()1000P S S=>. （2）当20.25m S =，100400Pa 0.25P ==； 故答案为：400；20.（1）略， （2）1821.宽24步，长36步。
湘教版九年级上册数学期中考试试卷及答案详解
湘教版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案） 1．反比例函数7y x=的图象分布在（ ） A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、四象限 D ．第三、四象限2．若()2223a a x --=是关于x 的一元二次方程，则a 的值是（ ）A ．0B ．2C ．-2D ．±23．若0ab <，则正比例函数y ax =与反比例函数by x=在同一坐标系中的大致图象可能是 A ． B ． C ． D ．4．如右图：直线3y x =-+与y 轴交于点A ，与反比例函数ky x=的图象交于点C ，过点C 作CB ⊥x 轴于点B ，AO =3BO ，则反比例函数的表达式为( )A ．4y x =B ．4y x=-C ．2y =D ．1y x=-5．若关于x 的一元二次方程22(1)5320m x x m m -++-+=有一个根为0，则m 的值（ ） A ．0B ．1或2C ．1D ．26．一元二次方程x 2+kx ﹣3＝0的一个根是x ＝1，则k 的值为（ ） A ．2B ．﹣2C ．3D ．﹣37．如图，在宽度为20m ，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m 2，求道路的宽．如果设小路宽为xm ，根据题意，所列方程正确的是（ ）A．（20+x）（32﹣x）＝540 B．（20﹣x）（32﹣x）＝100C．（20﹣x）（32﹣x）＝540 D．（20+x）（32﹣x）＝5408．若相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：3 B．1：9C．3：1 D．19．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（）A．B．C．D．10．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（）A．60m B．40m C．30m D．20m二、填空题11．如图，已知点A在反比例函数图象上，AM⊥x轴于点M，且△AOM的面积为1，则反比例函数的解析式为_______.12．若点A(-2，-2)在反比例函数kyx=的图象上，则当函数值y≥-2时，自变量x的取值范围是_________________13．一元二次方程x2+5x+6=0的根是_______________14．若关于x的一元二次方程x2+2x+a=0有两个不同的实数根，则a应满足的条件_________________15．如图，两个反比例函数4yx=和2yx=在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为_____．16．如图，点E在线段AB上，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，AC=1，AB=5，EB=2，点P是射线BD上的一个动点，则当BP=_____时，△CEA与△EPB相似．三、解答题17．解下列方程：(1) 2x2-x=0 (2) x2-4x=4(3) 6x+9=2x2 (4) 4y2-4y-2=018．已知等腰三角形的一边长为3，它的其它两边长恰好是关于x 的一元二次方程x 2-8x+m=0的两个实数根，求m 的值.19．新华商场为迎接家电下乡活动销售某种冰箱，每台进价为2500元，市场调研表明；当销售价定为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？20．如图，在△ABC 中，AB ＝8cm ，BC ＝16cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以2cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以4cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从点A 、B 同时出发，经几秒钟△PBQ 与△ABC 相似？试说明理由．21．如图，BD 、AC 相交于点P ，连接BC 、AD ，且∠1＝∠2，求证：△ADP ∽△BCP ．22．如图，D 为△ABC 内一点，E 为△ABC 外一点，且满足AB BC ACAD DE AE==，求证：△ABD ∽△ACE ．23．（1）如图，过反比例函数(0)ky x x=>图象上任意一点P （x ，y ），分别向x 轴与y 轴作垂线，垂线段分别为PA 、PB ，证明： OAPB S k =矩形， 12OAP S k ∆=， 12OPB S k ∆=． （2） 如图，反比例函数(0)k y x x=>的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB 、BC 交于点D 、E ，若四边形ODBE 的面积为9，求k 的值．24．反比例函数ky x=在第一象限上有两点A ，B ． (1)如图1，AM ⊥y 轴于M ，BN ⊥x 轴于N ，求证：△AMO 的面积与△BNO 面积相等; (2)如图2，若点A(2,m),B(n,2)且△AOB 的面积为16，求k 值.参考答案1．B 【分析】直接根据反比例函数的性质即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数7y x=中，70k =>， ∴此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限． 故选B ． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 2．C 【详解】由题意得：222,20a a -=-≠ ，解得：a=-2.故选C. 3．B 【分析】根据ab ＜0及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从a ＞0，b ＜0和a ＜0，b ＞0两方面分类讨论得出答案． 【详解】解：∵ab ＜0，∴分两种情况：（1）当a ＞0，b ＜0时，正比例函数y ax =的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项；（2）当a ＜0，b ＞0时，正比例函数y ax =的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B 符合． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 4．B 【分析】先求出点A的坐标，然后表示出AO、BO的长度，根据AO＝3BO，求出点C的横坐标，代入直线解析式求出纵坐标，用待定系数法求出反比例函数解析式．【详解】解：∵直线y＝−x＋3与y轴交于点A，∴A（0，3），即OA＝3，∵AO＝3BO，∴OB＝1，∴点C的横坐标为−1，∵点C在直线y＝−x＋3上，∴点C（−1，4），∴反比例函数的解析式为：4yx=-．故选：B.【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意确定点C的横坐标并求出纵坐标是解题的关键．5．D【分析】把x=0代入已知方程得到关于m的一元二次方程，通过解方程求得m的值；注意二次项系数不为零，即m-1≠0．【详解】解：根据题意，将x=0代入方程，得：m2-3m+2=0，解得：m=1或m=2，又m-1≠0，即m≠1，∴m=2，故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解定义和一元二次方程的定义．注意：本题中所求得的m的值必须满足：m-1≠0这一条件．6．A【详解】将1x =代入方程230x kx +-=有130k +-=，解得2k =，故选A 7．C 【分析】设小路宽为x 米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了（32﹣x ）（20﹣x ）米2，进而即可列出方程，求出答案． 【详解】解：利用平移，原图可转化为右图，设小路宽为x 米， 根据题意得：（20﹣x ）（32﹣x ）＝540． 故选：C ．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．另外还要注意解的合理性，从而确定取舍． 8．B 【分析】由相似△ABC 与△DEF 的相似比为1：3，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△ABC 与△DEF 的面积比． 【详解】相似△ABC 与△DEF 的相似比为1：3 ∴△ABC 与△DEF 的面积比为1：9故答案为B 9．B 【详解】根据勾股定理，AB==2，BC==，AC==，所以△ABC的三边之比为：2：=1：2：，A、三角形的三边分别为2，=，=3，三边之比为2：：3=：：3，故本选项错误；B、三角形的三边分别为2，4，=2，三边之比为2：4：2=1：2：，故本选项正确；C、三角形的三边分别为2，3，=，三边之比为2：3：，故本选项错误；D、三角形的三边分别为=，=，4，三边之比为：：4，故本选项错误．故选B．10．B【详解】∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴AB∥DC．∴△EAB∽△EDC．∴CE CD BE AB=．又∵BE=20m，EC=10m，CD=20m，∴102020AB=，解得：AB＝40（m）．故选B．11．2yx=-．【解析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=12|k|，又反比例函数的图象在二、四象限，∴k＜0．则由1=12|k|得k=－2．所以这个反比例函数的解析式是2yx=-．12．x≤-2或x>0【分析】先将点A的坐标代入反比例函数的解析式即可求出k的值，然后画出函数图象，利用反比例函数的性质及数形结合的思想即可求出x的取值范围．．【详解】解：∵点A（−2，−2）在反比例函数kyx=的图象上，∴k＝（−2）×（−2）＝4，∴反比例函数的解析式为4y x=， 其图象如图所示：由函数图象可知，在第一象限，函数值y 都是正数，所以x ＞0时，y≥−2；在第三象限，函数值y 随x 的增大而减小，所以x≤−2时，y≥−2，综上所述，函数值y≥−2时，自变量x 的取值范围是x≤−2或x ＞0． 故答案为：x≤−2或x ＞0． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，以及由反比例函数值求自变量，本题关键在于要分两个象限求解x 的取值范围． 13．122,3x x =-=-. 【分析】把一元二次方程x 2+5x +6=0分解因式得到()()230x x ++=，进而推出20,30x x +=+=，求出方程的解即可. 【详解】 解：x 2+5x +6=0，分解因式得：()()230x x ++=， 即：20,30x x +=+=， 解方程得：122,3x x =-=-， 故答案为：122,3x x =-=-. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法. 14．a <1 【分析】若一元二次方程x 2+2x +a =0有两个不同的实数根，则根的判别式240b ac =->，建立关于a 的不等式，求出a 的取值范围． 【详解】解：∵方程有两个不同的实数根，a ＝1，b ＝2，c ＝a ， ∴2242410b ac a =-=-⨯⨯>， 解得：1a <， 故答案为：1a <． 【点睛】本题考查了一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的根的判别式24b ac =-△：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 15．1． 【解析】∵PA ⊥x 轴于点A ，交C 2于点B ，∴S △POA =12×4=2，S △BOA =12×2=1， ∴S △POB =S △POA ﹣S △BOA =2﹣1=1． 16．23或6．【分析】先根据已知条件得出AE=3，再分△CAE ∽△PBE 和△CAE ∽△EBP 两种情况，利用相似三角形的对应边成比例分别求解可得． 【详解】解：∵CA ⊥AB ，DB ⊥AB ， ∴∠A=∠B=90°， 又∵AB=5，EB=2， ∴AE=AB ﹣EB=3， ①当△CAE ∽△PBE 时，CA AE PB BE =，即132PB =， 解得：PB=23；②当△CAE ∽△EBP 时，CA AEBE BP =，即13=2BP， 解得：BP=6；综上，当BP=23或6时，△CEA 与△EPB 相似．故答案为：23或6．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用．17．(1) x 1=0,x 2=12;(2) x 1,x 212x x =12y y ==【分析】（1）把方程左边提公因式分解因式可得()210x x -=，进而可得两个一元一次方程x =0或2x -1=0，再解即可；（2）方程两边同时加上4，可得（x -2）2=8，再开方即可；（3）首先移项6x +9=2x 2，然后将二次项系数化为1，配方可得(x －32)2＝274，再开方即可求；（4）先计算出b 2－4ac ，再利用求根公式即可解得. 【详解】（1）解：2x 2-x =0，x (2x -1)=0，x =0或2x -1=0， 则x 1=0,x 2=12.（2）解：方程两边同时+4，得x 2-4x +4=4+4，（x -2）2=8，根据平方根的意义，得x -2=±2∴x 1，x 2 （3）移项，得2x 2－6x －9＝0.将二次项系数化为1，得x 2－3x －92＝0.配方，得x 2－3x ＋(32)2－(32)2－92＝0，(x －32)2＝274.根据平方根的意义，得x －32＝∴x 1，x 2（4）4y 2－4y －2＝0.∵a＝4，b＝－4，c＝－2，∴b2－4ac＝(－4)2－4×4×(－2)＝48，∴y∴y1y2【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．18．m=15或16.【分析】由于等腰三角形的一边长3为底或腰不能确定，故应分两种情况进行讨论：①当3为腰时，其他两条边中必有一个为3，把x=3代入原方程可求出m的值，进而求出方程的另一根，再根据三角形的三边关系判断出的值是否符合题意即可；②当3为底时，则其他两条边相等，即方程有两个相等的实数根，由△=0可求出m的值，再求出方程的两个根进行判断即可．【详解】因为三角形是等腰三角形，所以3可能是腰，或者两腰都是方程的根.分两种情况：①3是腰时，3是方程的一个根，代入得出m=15，此时另一根为5，三角形存在；②两腰都是方程的根时，即方程有两个相等根，即左边是完全平方公式，则m=16，此时两根都为4，三角形也存在，所以m=15或16.【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，一元二次方程根的判别式及三角形的三边关系，在解答时要注意分类讨论，不要漏解．19．2750元．【详解】试题分析：设每台冰箱降价x元，根据题目中的等量关系“每台冰箱的利润×销售的数量=总利润”可列方程（2900-x-2500）（8+4×）=5000，解得x即可．试题解析：解：设每台冰箱降价x元，根据题意，得（2900-x-2500）（8+4×）=5000 解这个方程，得x1= x2 = 150定价=2900-150=2750（元）因此，每台冰箱的定价应为2750元．考点：一元二次方程的应用．20．经2或0.8秒钟△PBQ与△ABC相似．【解析】【分析】首先设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，由题意可得AP＝2xcm，BQ＝4xcm，BP＝AB﹣AP＝（8﹣2x）cm，又由∠B是公共角，分别从BP BQBA BC=与BP BQBC BA=分析，即可求得答案．【详解】解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，则AP＝2xcm，BQ＝4xcm，∵AB＝8cm，BC＝16cm，∴BP＝AB﹣AP＝（8﹣2x）cm，∵∠B是公共角，∵①当BP BQBA BC=，即824816x x-=时，△PBQ∽△ABC，解得：x＝2；②当BP BQBC BA=，即824168x x-=时，△QBP∽△ABC，解得：x＝0.8，∴经2或0.8秒钟△PBQ与△ABC相似．【点睛】此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．21．见解析【分析】根据两角对应相等，两三角形相似的判定定理得解．【详解】证明：∵∠1＝∠2，∠DPA ＝∠CPB ，∴△ADP ∽△BCP ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的各种判定方法是解题关键． 22．见解析． 【分析】根据已知条件证明△ADE ∽△ABC ，得到∠DAB=∠EAC ，即可得到结果； 【详解】 ∵AB BC ACAD DE AE==， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴∠DAE=∠BAC ， ∴∠DAB=∠EAC ， ∵AB ADAC AE=， ∴△ABD ∽△ACE ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，准确判断是解题的关键． 23．（1）证明见解析；（2）3． 【分析】（1）由矩形面积和三角形面积公式计算即可提证；（2）本题可从反比例函数图象上的点E 、M 、D 入手，分别找出△OCE 、△OAD 、矩形OABC 的面积与|k|的关系，列出等式求出k 值． 【详解】（1）∵P （x ，y ）（x ＞0，y ＞0） ∴PB=x ，PA=y ∵四边形PBOA 是矩形 ∴OB=PA=x ，OA=PB=y ∴OAPB S PA PB x y k 矩形=⨯=⨯= 111222OAP S OA PA x y k ∆=⨯=⨯=111222OPB S OB PB x y k ∆=⨯=⨯=． （2）由题意得：E 、M 、D 位于反比例函数图象上，则，S △OCE =2k ，S △OAD =2k ，过点M 作MG ⊥y 轴于点G ，作MN ⊥x 轴于点N ，则SONMG =|k|，又∵M 为矩形ABCO 对角线的交点， ∴S 矩形ABCO =4SONMG =4|k|，由于函数图象在第一象限，k ＞0，则9=422k kk ++解得：k=3． 24．(1)见解析；(2)12. 【分析】(1)根据反比例函数的k 值的含义即可证明，（2）过点A 作AC ⊥x 轴，则AM=2，AC=m ，BN=2，CN=n-2,根据S △AOB =S 四边形ACOM +S 梯形ACBN-S △AOM -S △BON ，列出其面积的表示式子又m=n,即可化简得21182m =，得m=6，故求出k 值 【详解】（1）设某点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) ∵A ，B 都在反比例函数ky x=上， ∴x 1y 1=x 2y 2,∴S △AMO=12x 1y 1=S △BNO=12x 2y 2 即△AMO 的面积与△BNO 面积相等; （2）过点A 作AC ⊥x 轴， 则AM=2，AC=m ，BN=2，CN=n-2, S △AOB =S 四边形ACOM +S 梯形ACBN -S △AOM -S △BON ，即16=2m+12(2+m)(n-2)-12×2×2m ∵m=n∴可化简为21182m ，∴m=6，（-6舍去） ∴k=2m=12.【点睛】此题主要考查反比例函数的图像与性质解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.。