北师大版2021年中考数学总复习《整式的乘除》(含答案)
北师大版2021年中考数学总复习
《整式的乘除》
一、选择题
1.计算a•a2的结果是( )
A．a3 B．a2 C．3a D．2a2
2.已知x+y﹣4=0，则2y•2x的值是( )
A.16
B.﹣16
C.
D.8
3.计算(－2a2)3的结果是( )
A.－6a2
B.－8a5
C.8a5
D.－8a6
4.计算(﹣2m)2•(﹣m•m2+3m3)的结果是( )
A．8m5 B．﹣8m5 C．8m6 D．﹣4m4+12m5
5.要使多项式(x2＋px＋2)(x-q)不含x的二次项，则p与q的关系是( )
A.相等
B.互为相反数
C.互为倒数
D.乘积为-1 已知a-b=3,ab=2,则a2+b2的值为（）
A.13
B.7
C.5
D.11
6.若9a2+kab+16a2是一个完全平方式，那么k的值是( )
A.2
B.12
C.±12
D.±24
7.已知a=96，b=314，c=275，则a、b、c的大小关系是( )
A.a＞b＞c
B.a＞c＞b
C.c>b>a
D.b＞c＞a
二、填空题
8.若 a x=3，a y=2，则 a x+2y= .
9.若2×8n×16n=222,则n=_______
10.已知(x﹣y)2﹣2x+2y+1=0，则x﹣y= .
11.已知x2＋y2＋10=2x＋6y，则x21＋21y的值为__
三、解答题
12.化简：3a(2a2-9a+3)-4a(2a-1)
13.化简：(x＋1)2＋x(x－2)－(x＋1)(x－1).
14.已知a+b=7，ab=12.求：(1)a2+b2；(2)(a-b)2的值.
15.从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方
形(如图2).
(1)图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，对照两个图形的面
积可以验证公式(填公式名称)请写出这个乘法公式.
(2)应用(1)中的公式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2=15，x+2y=3，求x﹣2y的值；
②计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1.
参考答案
1.答案为：A.
2.A；
3.D.
4.答案为：A.
5.答案为：A；
6.A
7.答案为：D;
8.C
9.答案为：12；
10.答案为：3
11.答案为：1.
12.答案为：64．
13.原式=6a3-35a2+13a
14.解：原式=x2＋2x＋1＋x2－2x－x2＋1=x2＋2.
15.解：(1)a2+b2=(a+b)2-2ab=72-2×12=49-24=25；
(2)(a-b)2=(a+b)2-4ab=72-4×12=49-48=1.
16.解：(1)图1中阴影部分面积为a2﹣b2，图2中阴影部分面积为(a+b)(a﹣b)，
对照两个图形的面积可以验证平方差公式：a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).
故答案为：a2﹣b2，(a+b)(a﹣b)，平方差，a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).
(2)①∵x2﹣4y2=(x+2y)(x﹣2y)，∴15=3(x﹣2y)，∴x﹣2y=5；
②(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1
=(2﹣1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1
=(22﹣1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1
=(24﹣1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1
=(28﹣1)(28+1)……(264+1)+1
=(264﹣1)(264+1)+1
=2128﹣1+1
=2128.。
新版北师大七年级数学下册第一章《整式的乘除运算》知识点总结及习题
第一章整式的乘除知识点总结一、单项式：数字与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
一个单项式中，数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。
注意：π是数字，而不是字母，它的系数是π，次数是0. 二、多项式几个单项式的代数和叫做多项式。
其中每个单项式叫做这个多项式的项。
多项式中不含字母的项叫做常数项。
多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
三、整式：单项式和多项式统称为整式。
四、整式的加减法：整式加减法的一般步骤：（1）去括号；（2）合并同类项。
五、幂的运算性质：1、同底数幂的乘法：),(都是正整数n m aa a nm nm+=∙2、幂的乘方：),(都是正整数）（n m a a mnn m =3、积的乘方：)()(都是正整数n b a ab nnn= 4、同底数幂的除法：)0,,(≠=÷-a n m a a a nm nm都是正整数六、零指数幂和负整数指数幂： 1、零指数幂：);0(10≠=a a 2、负整数指数幂：),0(1是正整数p a aa p p≠=- 七、整式的乘除法：1、单项式乘以单项式：法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。
2、单项式乘以多项式：法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
3、多项式乘以多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
4、单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
5、多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
八、整式乘法公式：1、平方差公式： 22))((b a b a b a -=-+2、完全平方公式： 2222)(b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=-七年级数学（下）第一章《整式的运算》一、 知识点：1、都是数与字母的乘积的代数式叫做单项式（单独的一个数或一个字母也是单项式）；几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称整式。
完整word版北师大版七年级下册数学第一章整式的乘除附答案
word整理版七年级数学下册——第一章整式的乘除〔复习〕单项式整式多项式整同底数幂的乘法幂的乘方式积的乘方的幂运算同底数幂的除法零指数幂运负指数幂整式的加减算单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘整式的乘法多项式与多项式相乘整式运算平方差公式完全平方公式单项式除以单项式整式的除法多项式除以单项式第1章整式的乘除单元测试卷一、选择题〔共10小题，每题3分，共30分〕1.以下运算正确的选项是〔〕A.a4a5a9B.a3a3a33a3C.2a43a56a9D.a34a720213202 12.52〔〕135A.1B.1C.0D.19973.设5a3b25a3b2A，那么A=〔〕A.30abB.60abC.15abD.12ab4.x y5,xy3,那么x2y2〔〕A.25.B25C19D、195.x a3,x b 5,那么x3a2b〔〕A、27B、9C、3D、52251056..如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四a b a种表示该长方形面积的多项式：m学习参考资料nword 整理版①(2a+b)(m+n); ②2a(m+n)+b(m+n); ③m(2a+b)+n(2a+b); ④2am+2an+bm+bn ，你认为其中正确的有A 、①②B 、③④C 、①②③D 、①②③④〔 〕7．如(x+m)与(x+3) 的乘积中不含 x 的一次项，那么m 的值为〔〕A 、–3B 、3C 、0D 、12128．.(a+b)=9，ab=－12，那么a2+b 的值等于〔〕A 、84B、78C 、12D 、62 244〕9．计算〔a －b 〕〔a+b 〕〔a+b 〕〔a －b 〕的结果是〔A ．a 8+2a 4b 4+b 8B ．a 8－2a 4b 4+b 8C ．a 8+b 8D ．a 8－b 810. P7 m 1,Qm 28m 〔m 为任意实数〕，那么P 、Q 的大小关系为15 15〔〕A 、PQB 、P QC 、PQD、不能确定二、填空题〔共 6小题，每题4分，共 24分〕11. 设4 x 2mx 121 是一个完全平方式，那么m=_______。
专题1.2 整式的乘法-重难点题型(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题1.2 整式的乘法-重难点题型【北师大版】【题型1 整式乘法中的求值问题】【例1】（2021•开平区一模）已知等式（x+p）（x+q）＝x2+mx+36（p，q为正整数），则m的值不可能是（ ）A．37B．13C．20D．36【分析】利用多项式乘多项式的法则，把等式的左边进行运算，再根据条件进行分析即可．【解答】解：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，∵（x+p）（x+q）＝x2+mx+36，∴p+q＝m，pq＝36，∵36＝4×9，则p+q＝13，36＝1×36，则p+q＝37，36＝2×18，则p+q＝20，36＝3×12，则p+q＝15，36＝6×6，则p+q＝12，∴p+q不可能为36，即m不可能为36．故选：D．【变式1-1】（2021春•潍坊期末）若（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，则ab﹣a+b的值是（ ）A．﹣11B．﹣7C．﹣6D．﹣55【分析】先利用多项式乘多项式法则计算等式的左边，根据等式得到a、b的值，代入计算出代数式ab﹣a+b的值．【解答】解：∵（x+a）（x﹣5）＝x2+（a﹣5）x﹣5a，又∵（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，∴x2+（a﹣5）x﹣5a＝x2+bx﹣10．∴a﹣5＝b，﹣5a＝﹣10．∴a＝2，b＝﹣3．∴ab﹣a+b＝2×（﹣3）﹣2﹣3＝﹣11．故选：A．【变式1-2】（2020秋•播州区期末）若x+y＝2，xy＝﹣1，则（1﹣2x）（1﹣2y）的值是 ．【分析】根据多项式乘以多项式的法则展开，整理后整体带入求值即可．【解答】解：（1﹣2x）（1﹣2y）＝1﹣2y﹣2x+4xy＝1﹣2（x+y）+4xy，当x+y＝2，xy＝﹣1时原式＝1﹣2×2+4×（﹣1）＝﹣7．故答案为：﹣7．【变式1-3】（2021春•江都区期中）在计算（2x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果是：2x2+8x﹣24；乙错把a看成了﹣a，得到结果：2x2+14x+20．（1）求出a，b的值；（2）在（1）的条件下，计算（2x+a）（x+b）的结果．【分析】（1）根据题意得出（2x+a）（x+6）＝2x2+（12+a）x+6a＝2x2+8x﹣24，（2x﹣a）（x+b）＝2x2+（﹣a+2b）x﹣ab＝2x2+14x+20，得出12+a＝8，﹣a+2b＝14，求出a、b即可；（2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可．【解答】解：（1）甲错把b看成了6，（2x+a）（x+6）＝2x2+12x+ax+6a＝2x2+（12+a）x+6a＝2x2+8x﹣24，∴12+a＝8，解得：a＝﹣4；乙错把a看成了﹣a，（2x﹣a）（x+b）＝2x2+2bx﹣ax﹣ab＝2x2+（﹣a+2b）x﹣ab＝2x2+14x+20，∴2b﹣a＝14，把a＝﹣4代入，得b＝5；（2）当a＝﹣4，b＝5时，（2x+a）（x+b）＝（2x﹣4）（x+5）＝2x2+10x﹣4x﹣20＝2x2+6x﹣20．【题型2 整式乘法中的不含某项问题】【例2】（2021春•蜀山区校级期中）关于x的代数式（mx﹣2）（2x+1）+x2+n化简后不含有x2项和常数项．（1）分别求m，n的值．（2）求m2020n2021的值．【分析】（1）先展开整理原式，再根据题意建立关于m、n的等式，分别求解即可得出结论．（2）同底数幂乘法的逆运算，使n2021变为n2020•n，再利用积的乘方逆运算即可求出原式的值．【解答】解：（1）原式＝2mx2+mx﹣4x﹣2+x2+n，＝（2m+1）x2+mx﹣4x+n﹣2，由题意2m+1＝0，n﹣2＝0，∴m=―12，n＝2．（2）原式＝m2020•n2020•n，＝（m•n）2020•n，由（1）得m=―12，n＝2，原式＝（―12×2）2020×2，＝2．【变式2-1】（2021春•通川区校级月考）若多项式x2+mx﹣8和x2﹣3x+n的的乘积中不含x2和x3的项，求m+n的值．【分析】利用多项式的乘法法则将两个多项式的乘积展开，令x2项和x3项的系数为0，结论可得．【解答】解：由题意：（x2+mx﹣8）（x2﹣3x+n）＝x4﹣3x3+nx2+mx3﹣3mx2+mnx﹣8x2+24x﹣8n＝x4+（m﹣3）x3+（n﹣3m﹣8）x2+（mn+24）x﹣8n．∵乘积中不含x2和x3的项，∴m﹣3＝0，n﹣3m﹣8＝0．∴m＝3，n＝17．∴m+n＝20．【变式2-2】（2021春•金牛区校级月考）已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）展开式中不含x3和x2项．（1）求m、n的值；（2）当m、n取第（1）小题的值时，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，根据展开式中不含x2和x3项列出关于m与n 的方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值；（2）先利用多项式乘以多项式的法则将（m+n）（m2﹣mn+n2）展开，再合并同类项化为最简形式，然后将（1）中所求m、n的值代入计算即可．【解答】解：（1）（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）＝x5﹣3x4+（m+4）x3+（n﹣3m）x2+（4m﹣3n）x+4n，根据展开式中不含x2和x3项得：m+4=0 n―3m=0，解得：m=―4n=―12．即m＝﹣4，n＝﹣12；（2）∵（m+n）（m2﹣mn+n2）＝m3﹣m2n+mn2+m2n﹣mn2+n3＝m3+n3，当m＝﹣4，n＝﹣12时，原式＝（﹣4）3+（﹣12）3＝﹣64﹣1728＝﹣1792．【变式2-3】（2021春•太湖县期末）【知识回顾】七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．【理解应用】（1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，求m值；（2）已知A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，且3A+6B的值与x无关，求y的值；【能力提升】（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．【分析】（1）由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，故将多项式整理为（2m﹣3）x﹣3m+2m2，令x系数为0，即可求出m；（2）根据整式的混合运算顺序和法则化简3A+6B可得3x（5y﹣2）﹣9，根据其值与x无关得出5y﹣2＝0，即可得出答案；（3）设AB＝x，由图可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），即可得到S1﹣S2关于x的代数式，根据取值与x可得a＝2b．【解答】解：（1）（2x﹣3）m+2m2﹣3x＝2mx﹣3m+2m2﹣3x∵其值与x的取值无关，∴2m﹣3＝0，解得，m=3 2，答：当m=32时，多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关；（2）∵A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，∴3A+6B＝3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）＝3（2x2﹣2x+x﹣1﹣x+3xy]﹣6x2+6xy﹣6＝6x2﹣6x+3x﹣3﹣3x+9xy﹣6x2+6xy﹣6＝15xy﹣6x﹣9＝3x（5y﹣2）﹣9，∵3A+6B的值与x无关，∴5y﹣2＝0，即y=2 5；（3）设AB＝x，由图可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），∴S1﹣S2＝a（x﹣3b）﹣2b（x﹣2a）＝（a﹣2b）x+ab，∵当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变．∴S1﹣S2取值与x无关，∴a﹣2b＝0∴a＝2b．【题型3 整式乘法的计算】【例3】（2020秋•河北区期末）计算：（1）―12x2y⋅(13x3y2―34x2y+16)（2）（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）【分析】（1）根据单项式与多项式相乘的法则计算即可；（2）根据多项式与多项式相乘的法则计算即可．【解答】解：（1）―12x2y⋅(13x3y2―34x2y+16)=―12x2y⋅13x3y2+12x2y⋅34x2y―12x2y⋅16（2）（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）＝2x2+x﹣2x﹣1﹣2（x2+2x﹣5x﹣10）＝2x2﹣x﹣1﹣2x2+6x+20＝5x+19．【变式3-1】（2021春•九龙坡区校级期中）计算：（1）2x2y（x―12y+1）；（2）（x﹣2y）（y﹣x）．【分析】（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．（2）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．【解答】解：（1）原式＝2x3y﹣x2y2+2x2y；（2）原式＝xy﹣x2﹣2y2+2xy＝3xy﹣x2﹣2y2．【变式3-2】（2021春•海陵区校级月考）计算：（1）﹣3x2（2x﹣4y）+2x（x2﹣xy）．（2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y）．【分析】（1）根据多项式乘多项式，多项式乘单项式进行计算即可；（2）根据多项式乘多项式，多项式乘单项式进行计算即可．【解答】解：（1）原式＝﹣6x3+12x2y+2x3﹣2x2y＝﹣4x3+10x2y；（2）原式＝6x2﹣9xy+4xy﹣6y2﹣9x2+6xy＝﹣3x2+xy﹣6y2．【变式3-3】（2021春•未央区月考）小奇计算一道整式的混合运算的题：（x﹣a）（4x+3）﹣2x，由于小奇将第一个多项式中的“﹣a”抄成“+a”，得到的结果为4x2+13x+9．（1）求a的值．（2）请计算出这道题的正确结果．【分析】（1）根据题意列出关系式，根据多项式相等的条件即可求出a的值；（2）列出正确的算式，计算即可得到结果．【解答】解：（1）根据题意得：（x+a）（4x+3）﹣2x＝4x2+（3+4a﹣2）x+3a＝4x2+13x+9；∴1+4a＝13，解得：a＝3；（2）正确的算式为（x﹣3）（4x+3）﹣2x＝4x2﹣9x﹣9﹣2x＝4x2﹣11x﹣9．【题型4 整式乘法的应用】【例4】（2021春•铁西区期中）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去a，同时B区就会自动加上3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16（如图所示）．例如：第一次按键后，A，B两区分别显示：25﹣a，﹣16+3a．（1）那么第二次按键后，A区显示的结果为 ，B区显示的结果为 ．（2）计算（1）中A、B两区显示的代数式的乘积，并求当a＝2时，代数式乘积的值．【分析】（1）根据题意列出代数式即可；（2）利用多项式乘多项式法则进行计算，然后将a＝2代入求值．【解答】解：（1）A区显示的结果为：25﹣a﹣a＝﹣2a+25；B区显示的结果为：﹣16+3a+3a＝6a﹣16；（2）（﹣2a+25）（6a﹣16）＝﹣12a2+32a+150a﹣400＝﹣12a2+182a﹣400，当a＝2时，原式＝﹣12×22+182×2﹣400＝﹣84．【变式4-1】（2021春•碑林区校级期中）为迎接十四运，某小区修建一个长为（3a﹣b）米，宽为（a+2b）米的长方形休闲场所ABCD．长方形内筑一个正方形活动区EFGH和连接活动区到矩形四边的四条笔直小路（如图），正方形活动区的边长为（a﹣b）米，小路的宽均为2米．活动区与小路铺设鹅卵石，其它地方铺设草坪．（1）求铺设草坪的面积是多少平方米；（2）当a＝10，b＝4时，需要铺设草坪的面积是多少？【分析】（1）用大长方形的面积减去小正方形的面积和四个长方形的面积即可；（2）将a＝10，b＝4代入（1）中结果计算可得答案．【解答】解：（1）草坪的面积为：（3a﹣b）（a+2b）﹣（a﹣b）2﹣[3a﹣b﹣（a﹣b）]×2﹣[a+2b﹣（a﹣b）]×2＝3a2+5ab﹣2b2﹣a2﹣b2+2ab﹣2a×2﹣3b×2＝2a2+7ab﹣3b2﹣4a﹣6b（平方米）；（2）当a＝10，b＝4时，草坪的面积为：2×102+7×10×4﹣3×42﹣4×10﹣6×4＝368（平方米）．【变式4-2】（2021春•成都期末）（1）如图是小颖家新房的户型图，小颖的爸爸打算把两个卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格为每平方米a元，那么购买地砖至少需要多少元？（2）如果房屋的高度是h米，现在需要在客厅和两个卧室四周的墙上贴墙纸，那么至少需要多少平方米的墙纸？如果某种墙纸的价格为每平方米b元，那么购买所需的墙纸至少要多少元？（计算时不扣除门、窗所占的面积，忽略墙的厚度）【分析】（1）求出卫生间，厨房，以及客厅的面积之和即可得到需要地砖的面积；根据每平方米地砖的价格是a元钱，求出需要的钱数即可；（2）求出客厅与卧室的面积，乘以高h，即可得到需要的壁纸数；根据壁纸的价格是b元/平方米，求出需要的钱数即可．【解答】解：（1）由题意知，两个卧室以外的部分面积为：3y•y+2y•（3x﹣x﹣y）＝3y2+4xy﹣2y2＝y2+4xy（平方米）．∴购买地砖所需的费用为：（y2+4xy）a＝ay2+4axy（元）．（2）客厅贴墙纸的面积为：（2y+6y）h＝8yh，两个卧室贴墙纸的面积为：（4x+6y）h＝4xh+6yh，∴贴墙纸的总面积为：8yh+4xh+6yh＝14yh+4xh（平方米），∴购买墙纸所需的费用为：（14yh+4xh）b＝14yhb+4xhb（元）．【变式4-3】（2021春•莲湖区期末）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别为S1，S2．（1）S1与S2的大小关系为：S1 S2．（2）若一个正方形的周长与甲的周长相等．①求该正方形的边长（用含m的代数式表示）．②若该正方形的面积为S3，试探究：S3与S2的差（即S3﹣S2）是否为常数？若为常数，求出这个常数，如果不是，请说明理由．【分析】（1）根据长方形的面积公式列式，然后根据整式的混合运算法则进行计算求解；（2）①根据正方形和长方形的周长公式计算求解；②根据正方形和长方形的面积公式列式，然后利用整式的混合运算法则进行计算求解．【解答】解：（1）由题意：S1＝（m+2）（m+6）＝m2+6m+2m+12＝m2+8m+12，S2＝（m+5）（m+3）＝m2+5m+3m+15＝m2+8m+15，∵S1﹣S2＝（m2+8m+12）﹣（m2+8m+15）＝m2+8m+12﹣m2﹣8m﹣15＝﹣3＜0，∴S1＜S2，故答案为：＜，（2）①甲的周长为2（m+2+m+6）＝4m+16，∵正方形的周长与甲的周长相等，∴正方形的边长为4m164=m+4，②由①可得，正方形的面积S3＝（m+4）2，∴S3﹣S2＝（m+4）2﹣（m2+8m+15）＝m2+8m+16﹣m2﹣8m﹣15＝1，∴S3与S2的差（即S3﹣S2）是常数，这个常数是1．【题型5 整式除法的应用】【例5】（2021春•上城区期末）一个长方形的面积是15x3y5﹣10x4y4+20x3y2，一边长是5x3y2，则它的另一边长是（ ）A．2y3﹣3xy2+4B．3y3﹣2xy2+4C．3y3+2xy2+4D．2xy2﹣3y3+4【分析】利用长方形的面积公式，列出相应的式子，结合整式的除法法则进行运算即可．【解答】解：（15x3y5﹣10x4y4+20x3y2）÷（5x3y2）＝15x3y5÷（5x3y2）﹣10x4y4÷（5x3y2）+20x3y2÷（5x3y2）＝3y3﹣2xy2+4．故选：B．【变式5-1】（2020•台湾）计算2x2﹣3除以x+1后，得商式和余式分别为何？（ ）A．商式为2，余式为﹣5B．商式为2x﹣5，余式为5C．商式为2x+2，余式为﹣1D．商式为2x﹣2，余式为﹣1【分析】先将被除式2x2﹣3补0，再列竖式计算即可．【解答】解：∵被除式2x2﹣3缺项，∴补0后变为2x2+0x﹣3，长除法计算为：故选：D．【变式5-2】（2020秋•袁州区校级期中）已知一个长方形的面积是6a2﹣4ab+2a，且它的一条边长为2a，则长方形的周长为 ．【分析】直接利用整式的除法运算法则分别计算得出答案．【解答】解：∵一个长方形的面积是6a2﹣4ab+2a，且它的一条边长为2a，∴长方形的另一边长为：（6a2﹣4ab+2a）÷2a＝3a﹣2b+1，故长方形的周长为：2（3a﹣2b+1+2a）＝10a﹣4b+2．故答案为：10a﹣4b+2．【变式5-3】（2021春•潍坊期末）若多项式A除以2x2﹣3，得到的商式为3x﹣4，余式为5x+2，则A ＝ ．【分析】根据题意列出关系式，计算即可得到结果．【解答】解：∵多项式A除以2x2﹣3，得到的商为3x﹣4，余式为5x+2，∴A＝（2x2﹣3）（3x﹣4）+5x+2＝6x3﹣8x2﹣9x+12+5x+2＝6x3﹣8x2﹣4x+14．故答案为：6x3﹣8x2﹣4x+14．【题型6 整式乘法中的规律探究】【例6】（2020秋•邹城市期末）观察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1…（1）分解因式：x5﹣1＝ ；（2）根据规律可得（x﹣1）（x n﹣1+…+x+1）＝ （其中n为正整数）；（3）计算：（3﹣1）（350+349+348+…+32+3+1）．【分析】（1）观察各式，得到因式结果即可；（2）利用得出的规律计算即可；（3）利用得出的规律计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）；（2）（x﹣1）（x n﹣1+…+x+1）＝x n﹣1；（3）原式＝351﹣1．故答案为：（1）（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）；（2）x n﹣1【变式6-1】（2021春•包河区期末）探究规律，解决问题：（1）化简：（m﹣1）（m+1）＝ ，（m﹣1）（m2+m+1）＝ ．（2）化简：（m﹣1）（m3+m2+m+1），写出化简过程．（3）化简：（m﹣1）（m n+m n﹣1+m n﹣2+…+1）＝ ．（n为正整数，m n+m n﹣1+m n﹣2+…+1为n+1项多项式）（4）利用以上结果，计算1+3+32+33+…+3100的值．【分析】（1）（2）根据多项式乘多项式的运算法则进行计算即可；（3）根据（1）（2）得出的规律可直接得出答案；（4）根据（3）的出的规律可直接代数进行计算即可．【解答】解：（1）（m﹣1）（m+1）＝m2﹣1；（m﹣1）（m2+m+1）＝m3﹣1；故答案为：m2﹣1；m3﹣1；（2）（m﹣1）（m3+m2+m+1）＝m4+m3+m2+m﹣m3﹣m2﹣m﹣1＝m4﹣1；（3）（m﹣1）（m n﹣1+m n﹣2+…m2+m+1）＝m n+1﹣1；故答案为：m n+1﹣1；（4）根据（3）得出的规律可得：1+3+32+33+…+3100=31011 31，=310112．【变式6-2】（2021春•合肥期中）观察以下等式：（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216…（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（ ）＝a3+b3（2）利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立．（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）【分析】（1）根据所给等式可直接得到答案（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3；（2）利用多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加进行计算即可得到答案；（3）根据题目所给的例子，找出公式后直接运用即可．【解答】解：（1）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3；故答案为：a2﹣ab+b2；（2）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3＝a3+b3；（3）（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）＝x3+y3﹣（x3﹣y3）＝2y3．【变式6-3】（2020秋•石狮市校级月考）探究应用：（1）计算：（x﹣1）（x2+x+1）＝ ；（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝ ．（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含字母a、b的等式表示该公式为： ．（3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是 ．A．（m+2）（m2+2m+4）B．（m﹣2n）（m2+2mn+2n2）C．（3﹣n）（9+3n+n2）D．（m﹣n）（m2+2mn+n2）（4）设A＝109﹣1，利用上述规律，说明A能被37整除．【分析】（1）用多项式乘以多项式的法则计算即可；（2）观察第（1）问的计算，找出规律，用字母表示即可；（3）判断各选项是否符合公式的特点；（4）公式的逆用，求得A中有37的因数即可．【解答】解：（1）（x﹣1）（x2+x+1）＝x3+x2+x﹣x2﹣x﹣1＝x3﹣1；（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝8x3+4x2y+2xy2﹣4x2y﹣2xy2﹣y3＝8x3﹣y3；故答案为：x3﹣1；8x3﹣y3；（2）从第（1）问发现的规律是：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3，故答案为：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；（3）A．第一个多项式不是减法，不符合题意；B．最后一项应该是4n2，不符合题意；C．符合题意；D．第二个多项式的第二项应该为mn，不符合题意．故选：C．（4）A＝109﹣1＝（103）3﹣1＝（103﹣1）（106+103+12）＝999×1001001＝3×3×3×37×1001001，∴A能被37整除．。
整式的乘除综合复习(二)(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：整式混合运算处理方法：①观察结构划部分；②有序操作依法则；③每步推进一点点．其中，在合并同类项时，要________，同类项画相同的线．请利用上述方法计算：．问题2：计算．你是怎么思考的？用到的公式是什么？问题3：计算．你是怎么思考的？问题4：计算．你是怎么思考的？问题5：计算．你是怎么思考的？整式的乘除综合复习（二）（北师版）一、单选题(共10道，每道10分)1.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式2.计算的结果是( )A.2B.C.-2D.6答案：D解题思路：故选D．试题难度：三颗星知识点：幂的乘方3.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：故选B．试题难度：三颗星知识点：整式的乘除4.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：故选B．试题难度：三颗星知识点：整式的乘除5.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：故选C．试题难度：三颗星知识点：平方差公式6.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：故选C．试题难度：三颗星知识点：整式的乘除混合运算7.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：整式的乘除混合运算8.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：故选A．试题难度：三颗星知识点：整式的乘除混合运算9.当，时，代数式的值为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：化简求值10.计算结果的个位数字是( )A.1B.3C.7D.9答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：整式的乘法。
专题03 整式的乘除法-2021年七年级数学下册(北师大版)(解析版)
整式的乘除法一、单选题(共30分)1．(本题3分)23a b ⋅的计算结果是（ ）A ．6aB ．6bC ．5abD ．6ab【答案】D【分析】根据单项式相乘法则计算求解判断即可．【详解】解：23a b ⋅6ab =． 故选：D ．【点睛】此题考查了单项式乘以单项式，熟练掌握单项式相乘法则是解题的基础．2．(本题3分)下列运算结果是4a 的是（ ）A ．()6222a a -÷-B ．22a a +C ．D ．()22a -【答案】A【分析】根据整式运算法则逐项计算验证即可．【详解】A 、()62422a a a -÷-=，符合题意，故正确； B 、2222a a a +=，不符合题意，故错误；C 、，不符合题意，故错误；D 、，不符合题意，故错误；故选：A ．【点睛】本题考查整式的运算，掌握相关运算法则是解题关键．3．(本题3分)若多项式2x mx n -+可分解为(3)(5)x x -+，则m n +的值为（ ）A ．13-B ．17-C ．17D ．23【答案】B【分析】根据多项式乘以多项式和恒等式变形即可求解．【详解】解：∵（x -3）（x +5）=x 2-mx +n ，∴x 2+2x -15=x 2-mx +n ，∴m =-2，n =-15，∴m +n =-17．故选：B ．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是理解运用恒等关系．4．(本题3分)已知多项式x a +与21x x +-的乘积中不含x 项．则常数a 的值是（ ）A ．B ．1-C ．1D ．2 【答案】C【分析】将多项式乘以多项式展开，合并同类项，因为不含x 项，让这项的系数等于0即可．【详解】解：（x +a ）（x 2+x -1）=x 3+x 2-x +ax 2+ax -a=x 3+（1+a ）x 2+（a -1）x -a ，因为不含x 项，所以a -1=0，所以a =1．故选：C ．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，不含某一项就让这一项的系数等于0是解题的关键．5．(本题3分)已知()232(2)224x x mx n x x x -+-=-+-，则m ，n 的值分别为（ ）A ．0,2m n ==B ．0,2m n ==-C ．4,2m n ==D ．2,2m n ==- 【答案】B【分析】利用多项式乘多项式法则计算，再根据同类项的系数相同得到m 和n 的值．【详解】解：∵()2(2)x x mx n -+- ===∴m -2=-2，-（n +2m ）=2，∴m =0，n =-2，故选B ．【点睛】本题考查了多项式乘多项式法则，合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同．6．(本题3分)下列运算正确的是（ ）A ．236a a a ⋅=B ．()325328a b a b -=-C ．22242212362ab ab a a b a b ⎛⎫⨯-+=-+ ⎪⎝⎭ D ．325235a a a += 【答案】C【分析】逐一进行判断即可．【详解】A. 2356a a a a ⋅=≠，故该选项错误；B. ，故该选项错误；C. 22242212362ab ab a a b a b ⎛⎫⨯-+=-+ ⎪⎝⎭，故该选项正确；D. 322,3a a 不能合并，故该选项错误；故选：C ．【点睛】本题主要考查整式的运算，掌握同底数幂的乘法法则，积的乘方，单项式乘多项式的法则，合并同类项的法则是关键．7．(本题3分)计算的结果是（ ）A ．26a b -B ．24a b -C ．D ．24a b +【答案】B【分析】根据多项式除以单项式法则计算．【详解】解：=24a b -故选B ．【点睛】本题考查了多项式除以单项式，解题的关键是掌握运算法则． 8．(本题3分)将每边长是a 厘米的正方形纸片，正中间挖了一个正方形的洞，成为一个四边宽b 厘米的方框．把五个这样的方框放在桌面上，成为一个这样的图案，如图所示，则桌面上被这些方框盖住的部分面积是（ ）A ．22020ab b -B ．22028ab b -C ．21013ab b -D ．21018ab b -【答案】B【分析】首先求得一个方框的面积，再求出五个方框的重合部分的面积，然后用5个这样的方框的面积减去五个方框的重合部分的面积，即可得出答案．【详解】解：一个方框的面积是：a 2-（a -2b ）2=4ab -4b 2，五个方框的重合部分的面积=8b 2．则方框盖住的部分面积是：（4ab -4b 2）×5-8b 2=20ab -28b 2．故选：B ．【点睛】本题考查列代数式，用到的知识点是图形面积的计算，正确计算一个方框的面积和重合部分的面积是解决本题的关键．9．(本题3分)生活在海洋中的蓝鯨，又叫长须鲸或剃刀鲸，它的体重达到150吨，它体重的万亿分之一用科学记数法可表示为（ ）A ．1.5×1010-吨B ．1.5×1110-吨C ．15×1210-吨D ．1.5×910-吨【答案】A【分析】解答时，分两步走，把150写成1.5×210吨；把1万亿写成4812101010⨯=，根据题意，列式计算即可．【详解】∵150＝1.5×210吨；1万亿＝4812101010⨯=，∴它体重的万亿分之一为＝2121.510-⨯＝1.5×1010-（吨），故选A ．【点睛】本题考查了科学记数法的综合计算，同底数幂的除法，熟练掌握科学记数法和同底数幂的除法法则是解题的关键．10．(本题3分)下面是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（ ）A ．148B ．152C ．168D ．174【答案】D【分析】 根据摆成各个图形所需棋子数量的变化，可找出变化规律，然后写成第n 个图案的通式，再取n =10进行计算即可求解．【详解】解：根据图形，第1个图案有1+2+3+3+2+1=43⨯=12枚棋子，第2个图案有1+2+3+4+4+3+2+1+2=542⨯+=22枚棋子，第3个图案有1+2+3+4++5+5+4+3+2+1+4=654⨯+=34枚棋子，第4个图案有1+2++3+4+5+6+6+5+4+3+2+1+4=766⨯+=34枚棋子，…第n 个图案有(n +3)(n +2)+2(n -1)=n 2+7n +4枚棋子，故第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为102+7×10+4=100+70+4=174（枚）．故选：D ．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据摆成各个图形所需棋子数量的变化，找出变化规律是解题的关键．二、填空题(共15分)11．(本题3分)若，则常数m 的值为__________．【答案】-3【分析】根据多项式乘以多项式后利用恒等关系即可求解．【详解】解：（x +2）（x -5）=x 2-3x -10=x 2+mx -10，所以m =-3．故答案为：-3．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是理解恒等式．12．(本题3分)现规定一种运算：m n m n m n *=+-，其中m ，n 为有理数，则()m n n m n *+-*等于______.【答案】2n n -根据新运算展开，再化简，即可得出答案.【详解】原式=故答案为：2n n -【点睛】本题考查的是新定义，认真审题、理清题目意思是解决本题的关键.13．(本题3分)化简()()253624423(2)(2)a b a b a b a b a b a b +-÷--+-=________． 【答案】【分析】先利用幂的乘方和积的乘方运算，再根据多项式除以单项式和多项式乘多项式法则计算，最后合并．【详解】解：()()253624423(2)(2)a b a b a b a b a b a b +-÷--+- ==22223242ab a b a ab ab b +--+-+=故答案为：．【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．(本题3分)如图，一块直径为+a b 的圆形钢板，从中挖去直径分别为a 与b 的两个圆，则剩余阴影部分面积为______．【答案】【分析】由大圆面积减去两个小圆面积求出阴影部分面积即可．【详解】解：根据题意得：S 阴影= ．故答案为：．此题考查了圆的面积和整式的混合运算，弄清题意是解本题的关键．15．(本题3分)有若干张如图所示的正方形A 类、B 类卡片和长方形C 类卡片（已知2a b ≠），若要拼成个长为，宽为(2)a b +的大长方形，则需要C 类卡片________张．【答案】7【分析】计算出长为（3a +b ），宽为（a +2b ）的大长方形的面积，再分别得出A 、B 、C 卡片的面积，即可看出应当需要各类卡片多少张．【详解】解：长为（3a +b ），宽为（a +2b ）的大长方形的面积为：（3a +b ）（a +2b ）=3a 2+2b 2+7ab ；A 卡片的面积为：a ×a =a 2；B 卡片的面积为：b ×b =b 2；C 卡片的面积为：a ×b =ab ；因此可知，拼成一个长为（3a +b ），宽为（a +2b ）的大长方形，需要3块A 卡片，2块B 卡片和7块C 卡片．故答案为：7．【点睛】本题考查了多项式乘法，此题的立意较新颖，注意对此类问题的深入理解．三、解答题(共55分)16．(本题8分)计算：（1）()2733()x x x ⋅-÷- （2）22(3)33x x x ⎛⎫-⋅-+ ⎪⎝⎭【答案】（1）；（2）3229x x -【分析】（1）先根据幂的乘方法则计算，再利用同底数幂的乘除法则计算；（2）将括号展开，再计算．【详解】解：（1）()2733()x x x ⋅-÷-=736()x x x ⋅-÷=；（2）22(3)33x x x ⎛⎫-⋅-+ ⎪⎝⎭ =3229x x -【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则．17．(本题10分)先化简，再求值：，其中12x =-，1y =． 【答案】32324y xy -++，0【分析】利用多项式除以单项式法则计算，再将x 和y 值代入计算．【详解】解：=32324y xy -++ 将12x =-，1y =代入， 原式=321312142⎛⎫-⨯+⨯-⨯+ ⎪⎝⎭=0． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握整式的=运算法则进行计算是解决本题的关键．18．(本题13分)若()2(2)x x ax b -++的积中不含x 的二次项和一次项，求2(32)2a b ab -+的值． 【答案】20【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算，由积中不含x 的二次项和一次项，求出a 与b 的值，再把a 、b 的值代入计算可得．【详解】解：（x -2）（x 2+ax +b ）=x 3+ax 2+bx -2x 2-2ax -2b =x 3+（a -2）x 2+（b -2a ）x -2b ，∵（x -2）（x 2+ax +b ）的积中不含x 的二次项和一次项，∴a -2=0且b -2a =0，解得：a =2、b =4，将a =2、b =4代入2(32)2a b ab -+=2(3224)224⨯-⨯+⨯⨯=4+16=20．【点睛】本题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则．19．(本题12分)己知矩形纸片甲，其边长如图所示（m ＞0），面积为S 甲．（1）用含m 的代数式表示S 甲＝_____________．（2）若一个正方形纸片的周长与甲的周长相等，其面积设为S 正．①求该正方形边长．（用含m 的代数式表示）；②小方同学发现，“S 正与S 甲的差是定值”请判断小方同学的发现是否正确，并通过计算说明理由．【答案】（1）； （2）①5m +；②正确，见解析；【分析】（1）根据矩形的面积公式计算即可；（2）①根据矩形和正方形的周长公式即可得到结论；②根据矩形和正方形的面积公式即可得到结论.【详解】（1）S 甲＝，故答案为：；（2）①由题意得：甲的周长为：()246420m m m +++=+，∵该正方形纸片的周长与乙的周长相等，∴该正方形边长为：42054m m +=+； ②正确，理由如下：22(5)(1024)S S m m m -=+-++甲正22=(m 1025)(m 1024)m m ++-++＝1∴S S -甲正的差等于1，是定值．【点睛】BatchDoc-Word 文档批量处理工具BatchDoc-Word 文档批量处理工具 本题主要考查列代数式，整式的混合运算，解题的关键是掌握多项式乘多项式、矩形的性质、正方形的性质等知识．20．(本题12分)如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，左右两边修两条宽为米的道路．（0,0a b >>）．（1）试用含a ，b 的代数式表示绿化的面积是多少平方米？（2）若30,20a b ==，请求出绿化面积．【答案】（1）（3a 2+3ab ）平方米；（2）4500平方米【分析】（1）根据图形可得长方形的面积减去中间正方形的面积减去两个小长方形的面积即可得结果； （2）把a =30，b =20代入（1）所得整式，即可得结果．【详解】解：（1）由题意可得：（3a +b ）（2a +b ）-（a +b ）2-a （3a +b -a -b ）=6a 2+5ab +b 2-a 2-2ab -b 2-2a 2=（3a 2+3ab ）平方米；答：绿化的面积是（3a 2+3ab ）平方米；（2）当a =30，b =20，绿化面积是3a 2+3ab =3×900+3×30×20=4500平方米．【点睛】本题考查了多项式乘多项式，看懂题图掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键．。
(2021年整理)北师大版七年级下册数学总复习一整式的乘除
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知识要点一、概念 1、代数式：2、单项式：由数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。
单项式不含加减运算，分母中不含字母。
3、多项式：几个单项式的和叫做多项式。
多项式含加减运算。
4、整式:单项式和多项式统称为整式。
二、公式、法则：(1）同底数幂的乘法：a m﹒a n=a m+n（同底，幂乘,指加）逆用： a m+n=a m﹒a n(指加，幂乘,同底）（2）同底数幂的除法：a m÷a n=a m-n（a ≠0）.（同底，幂除，指减）逆用：am —n= a m ÷a n(a ≠0）（指减，幂除,同底)（3）幂的乘方:(a m）n=a mn(底数不变，指数相乘）逆用：a mn=(a m )n（4)积的乘方：（ab ）n=a n b n推广：逆用， a n b n=（ab ）n(当ab=1或-1时常逆用）(5）零指数幂：a 0=1（注意考底数范围a ≠0)。
北师大版2021年七年级数学下册单元复习卷第一章《整式的乘除》【含答案】
（2）设 aa 1 a2 b 2 ，求 a2 b2 ab 的值． 2
20、（6 分） 如图所示,边长为 a 的大正方形中有一个边长为 b 的小正方形.
(1)请用字母 a 和 b 表示出图甲阴影部分的面积； (2)将阴影部分还能拼成一个长方形,如图乙这个长方形的长和宽分别是多少? 表示出阴影部分的面积;
3
(3)比较(1)和(2)的结果,可以验证什么公式。请给予解答.
21、（6 分）若 (x2 px q)(x2 2x 3) 展开后不含 x2 , x3 项，求 p ，q 的值。
22、（6 分）已知一个三角形的面积是 4a3b 6a2b2 12ab2 ，一边长为 4ab，求该边上的高．
答案
1-10：CBCCB BBDBC
A、 a 1,b 2 B、 a 1,b 2
C、 a 1,b 2
D、 a 1,b 2
6、若（x－2y）2=（x+2y）2+m，则 m 等于（ ）．
A、4xy
B、－4xy C、8xy D、－8xy
7、可以运用平方差公式运算的有（ ）个
①
②
③
A、1
B、2
C、3
8、若 (x 4)(x 2) x2 px q ,则 p、q 的值是（
C、 (4x 1)2 16x2 8x 1
D、 (x 3)2 x2 9
4、 (x 4 y)(x 5y) 的结果是( )
A、 x2 9xy 20 y2
B、 x2 xy 20 y2
C、 x2 xy 20 y2
D、 x2 20 y2
5、 如果 (ax b)(x 2) x2 4 ,那么( )
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知识要点一、看法1、代数式：2、单项式 : 由数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。
单项式不含加减运算，分母中不含字母。
3、多项式 : 几个单项式的和叫做多项式。
多项式含加减运算。
4、整式 : 单项式和多项式统称为整式。
二、公式、法规：（1）同底数幂的乘法： a m﹒ a n=a m+n（同底，幂乘，指加）逆用： a m+n =a m﹒ a n（指加，幂乘，同底）（2）同底数幂的除法： a m÷ a n=a m-n（ a≠ 0）。
（同底，幂除，指减）逆用： a m-n = a m÷ a n（ a≠0）（指减，幂除，同底）（3）幂的乘方：（ a m）n =a mn（底数不变，指数相乘）逆用： a mn = （ a m）nnn n（ 4）积的乘方：（ ab） =a b实行：逆用， a n b n = （ ab）n（当 ab=1 或-1 常常逆用）（ 5）零指数幂： a =1（注意考底数范围a≠ 0）。
( 1 )p1p (a0)( 底倒，指反 )（6）负指数幂： a pa a（7）单项式与多项式相乘： m(a+b+c)=ma+mb+mc。
（8）多项式与多项式相乘： (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb 。
（ 9 ）平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2公式特点：（有一项完满相同，另一项只有符号不相同，结果= (相同）2（不相同)2实行（项数变化）：连用变化：（ 10）完满平方公式：(a b)2a22ab b2 ,( a b) 2a22ab b2 ,逆用： a 22ab b2( a b) 2 , a 22ab b2( a b)2 .完满平方公式变形（知二求一）：a2b2(a b)22ab a2b2(a b)22aba2b221 [( a b)2(a b)2 ]a2b2(a b) 22ab (a b) 22ab21 [( a b)2( a b)2 ](a b)2(a b)24ab ab41 [( a b)2(a b)2 ]完满平方和公式中间项 =完满平方差公式中间项 =完满平方公式中间项 =比方： 9x2 +mxy+4y2是一个完满平方和公式，则m=；是一个完满平方差公式，则=；是一个完满平方公式，则=；m m（ 11）多项式除以单项式的法规: ( a b c)m a m b m c m.（ 12）常用变形：( x2 n=(y-x)2n,( x2 n 1=-(y-x)2n+1 y）y）练习。
专题1.1 整式的乘除章末重难点题型(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题1.1 整式的乘除章末重难点题型【北师大版】【考点1 幂的基本运算】【方法点拨】掌握幂的基本运算是解题关键．同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．a m•a n=a m+n（m，n是正整数）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（a m）n=a mn（m，n是正整数）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n=a n b n（n是正整数）同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．a m÷a n=a m-n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）【例1】（2020春•雨花区校级期末）下列运算正确的是（）A．a2⋅a3＝a6B．（﹣a3）2＝a6C．a9÷a3＝a3D．（﹣bc）4＝﹣b4c4【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、a2⋅a3＝a5，原式计算错误，故此选项不合题意；B、（﹣a3）2＝a6，正确；C、a9÷a3＝a6，原式计算错误，故此选项不合题意；D、（﹣bc）4＝b4c4，原式计算错误，故此选项不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．【变式1-1】（2020秋•鹿城区校级月考）下列运算正确的是（）A．2a2+a＝3a3B．（2a2）3＝6a6C．（﹣a）3•a2＝﹣a6D．（﹣a）2÷a＝a【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法和除法求出每个式子的值，再判断即可．【解答】解：A.2a2和a不能合并，故本选项不符合题意；B．结果是8a6，故本选项不符合题意；C．结果是﹣a5，故本选项不符合题意；D．结果是a，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了合并同类项法则，幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法和除法等知识点，能求出每个式子的值是解此题的关键．【变式1-2】（2020春•顺德区期末）下列计算正确的是（）A．（3×103）2＝6×105B．36×32＝38C．（−13）4×34＝﹣1D．36÷32＝33【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、（3×103）2＝9×106，故此选项错误；B、36×32＝38，正确；C、（−13）4×34＝1，故此选项错误；D、36÷32＝34，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．【变式1-3】（2020春•叶集区期末）下列计算正确的是（）A．（x3）2＝x5B．x3•x5＝x15C．（﹣xy）5÷（﹣xy）2＝﹣x3y3D．x6÷x3＝x2【分析】分别根据幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．【解答】解：A．（x3）2＝x6，故本选项不合题意；B．x3•x5＝x8，故本选项不合题意；C．（﹣xy）5÷（﹣xy）2＝﹣x3y3，故本选项符合题意；D．x6÷x3＝x3，故本选项不合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．【考点2 幂的混合运算】【例2】（2019春•漳浦县期中）计算（1）（m﹣n）2•（n﹣m）3•（n﹣m）4（2）（b2n）3（b3）4n÷（b5）n+1（3）（a2）3﹣a3•a3+（2a3）2；（4）（﹣4a m+1）3÷[2（2a m）2•a]．【分析】（1）根据同底数幂的乘法计算即可；（2）根据幂的乘方和同底数幂的除法计算即可；（3）根据幂的乘方、同底数幂的乘法和合并同类项解答即可；（4）根据积的乘方和同底数幂的除法计算即可．【解答】解：（1）（m﹣n）2•（n﹣m）3•（n﹣m）4＝（n﹣m）2+3+4，＝（n﹣m）9；（2）（b2n）3（b3）4n÷（b5）n+1＝b6n•b12n÷b5n+5＝b6n+12n﹣5n﹣5＝b13n﹣5；（3）（a2）3﹣a3•a3+（2a3）2＝a6﹣a6+4a6＝4a6；（4）（﹣4a m+1）3÷[2（2a m）2•a]＝﹣64a3m+3÷8a2m+1＝﹣8a m+2【点评】此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：同底数幂的乘法（除法）运算法则，积的乘方及幂的乘方运算法则以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键．【变式2-1】（2019春•海陵区校级月考）计算（1）x3•x5﹣（2x4）2+x10÷x2．（2）（﹣2x2）3+（﹣3x3）2+（x2）2•x2【分析】（1）根据同底数幂的乘法和除法、积的乘方的法则计算即可；（2）根据同底数幂的乘法、积的乘方的法则计算即可．【解答】解：（1）原式＝x8﹣4x8+x8＝﹣2x8（2）原式＝﹣8x6+9x6+x6＝2x6【点评】本题考查了同底数幂的乘法和除法、积的乘方，熟记法则是解题的关键．【变式2-2】（2019秋•崇川区校级月考）计算（1）y4+（y2）4÷y4﹣（﹣y2）2（2）（x﹣y）2•（y﹣x）7•[﹣（x﹣y）3]【分析】（1）根据幂的乘方，底数不变指数相乘和同底数幂相除，底数不变指数相减进行解答，即可得出答案．（2）根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，即可得出答案【解答】解：（1）y4+（y2）4÷y4﹣（﹣y2）2＝y4+y8÷y4﹣y4＝y4+y4﹣y4＝y4；（2）（x﹣y）2•（y﹣x）7•[﹣（x﹣y）3]＝（y﹣x）2•（y﹣x）7•（y﹣x）3＝（y﹣x）12．【点评】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．【变式2-3】（2020春•安庆期中）计算：a n﹣5（a n+1b3m﹣2）2+（a n﹣1b m﹣2）3（﹣b3m+2）【分析】先利用积的乘方，去掉括号，再利用同底数幂的乘法计算，最后合并同类项即可．【解答】解：原式＝a n﹣5（a2n+2b6m﹣4）+a3n﹣3b3m﹣6（﹣b3m+2），＝a3n﹣3b6m﹣4+a3n﹣3（﹣b6m﹣4），＝a3n﹣3b6m﹣4﹣a3n﹣3b6m﹣4，＝0．【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．【考点3 巧用幂的运算进行简便运算】【例3】（2020春•宁远县期中）计算（−512）2019×（225）2020的结果是（）A．−512B．−125C．512D．﹣2020【分析】先根据积的乘方进行变形，再求出即可．【解答】解：原式＝﹣（512）2019×（125）2020＝﹣（512×125）2019×125＝﹣1×12 5=−125，故选：B．【点评】本题考查了积的乘方，能正确根据积的乘方进行计算是解此题的关键．【变式3-1】（2020春•市中区校级期中）计算：0.1252020×（﹣8）2021＝．【分析】根据积的乘方运算法则计算即可，积的乘方，等于每个因式乘方的积．【解答】解：0.1252020×（﹣8）2021＝0.1252020×82020×（﹣8）＝（0.125×8）2020×（﹣8）＝12020×（﹣8）＝1×（﹣8）＝﹣8．【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．【变式3-2】（2020春•沙坪坝区校级月考）计算82×42021×（﹣0.25）2019的值等于．【分析】根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可．【解答】解：原式＝82×42×42019×（﹣0.25）2019＝82×42×（4×﹣0.25）2019＝82×42×（﹣1）＝﹣1024．故答案为：﹣1024．【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，解决本题的关键是利用幂的乘方与积的乘方准确计算．【变式3-3】（2019春•城关区校级期中）计算：（23）2014×1.52012×（﹣1）2014 【分析】根据幂的乘方和积的乘方计算即可．【解答】解：（23）2014×1.52012×（﹣1）2014=(23×32)2012×49×1=49． 【点评】此题考查幂的乘方和积的乘方，关键是根据幂的乘方和积的乘方解答．【考点4 幂的逆运算】【例4】（2019秋•岳麓区校级月考）解答下列问题（1）已知2x ＝a ，2y ＝b ，求2x +y 的值；（2）已知3m ＝5，3n ＝2，求33m +2n +1的值；（3）若3x +4y ﹣3＝0，求27x •81y 的值．【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则计算即可；（2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可；（3）由3x +4y ﹣3＝0可得3x +4y ＝3，再据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可．【解答】解：（1）∵2x ＝a ，2y ＝b ，∴2x +y ＝2x •2y ＝ab ；（2）∵3m ＝5，3n ＝2，∴33m +2n +1＝（3m ）3•（3n ）2×3＝53×22×3＝125×4×3＝1500；（3）由3x +4y ﹣3＝0可得3x +4y ＝3，∴27x •81y＝33x •34y＝33x +4y＝33＝27．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．【变式4-1】（2020春•江阴市期中）（1）已知m+4n﹣3＝0，求2m•16n的值．（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．【分析】（1）先根据幂的乘方变形，再根据同底数幂的乘法进行计算，最后代入求出即可；（2）先根据幂的乘方法则将原式化为x2n的幂的形式然后代入进行计算即可．【解答】解：（1）∵m+4n﹣3＝0∴m+4n＝3原式＝2m•24n＝2m+4n＝23＝8．（2）原式＝（x2n）3﹣2（x2n）2，＝43﹣2×42，＝32，【点评】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法．运用整体代入法是解题的关键．【变式4-2】（2019春•邗江区校级月考）（1）若4a+3b＝3，求92a•27b．（2）已知3×9m×27m＝321，求m的值【分析】（1）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则解答即可；（2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则解答即可．【解答】解：（1）∵4a+3b＝3，∴92a•27b＝34a•33b＝33＝27；（2）∵3×9m×27m＝3×32m×33m＝31+2m+3m＝321，∴1+2m+3m＝21，解得m＝4．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．【变式4-3】（2020•河北模拟）若a m＝a n（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题：（1）如果2÷8x•16x＝25，求x的值；（2）如果2x+2+2x+1＝24，求x的值；（3）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y．【分析】（1）根据幂的乘方运算法则把8x与16x化为底数为2的幂，再根据同底数幂的乘除法法则解答即可；（2）根据同底数幂的乘法法则把2x+2+2x+1＝24变形为2x（22+2）＝24即可解答；（3）由x＝5m﹣3可得5m＝x+3，再根据幂的乘方运算法则解答即可．【解答】解：（1）2÷8x•16x＝2÷（23）x•（24）x＝2÷23x•24x＝21﹣3x+4x＝25，∴1﹣3x+4x＝5，解得x＝4；（2）∵2x+2+2x+1＝24，∴2x（22+2）＝24，∴2x＝4，∴x＝2；（3）∵x＝5m﹣3，∴5m＝x+3，∵y＝4﹣25m＝4﹣（52）m＝4﹣（5m）2＝4﹣（x+3）2，∴y＝﹣x2﹣6x﹣5．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形．【考点5 巧用幂的运算进行大小比较】【例5】（2020春•邗江区校级期中）若m＝272，n＝348，则m、n的大小关系正确的是（）A．m＞n B．m＜nC．m＝n D．大小关系无法确定【分析】先根据幂的乘方进行变形，再比较即可．【解答】解：m＝272＝（23）24＝824，n＝348＝（32）24＝924，∵8＜9，∴m＜n，故选：B．【点评】本题考查了幂的乘方，能正确根据幂的乘方进行变形是解此题的关键．【变式5-1】（2020春•淮阴区期中）比较255、344、433的大小（）A．255＜344＜433B．433＜344＜255C．255＜433＜344D．344＜433＜255【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘都转换成指数是11的幂，再根据底数的大小进行判断即可．【解答】解：255＝（25）11＝3211，344＝（34）11＝8111，433＝（43）11＝6411，∵32＜64＜81，∴255＜433＜344．故选：C．【点评】本题考查了幂的乘方的性质，解题的关键在于都转化成以11为指数的幂的形式．【变式5-2】（2020春•玄武区期中）233、418、810的大小关系是（用＞号连接）．【分析】直接利用幂的乘方运算法则将原式变形，进而比较得出答案．【解答】解：∵233、418＝236、810＝（23）10＝230，∴236＞233＞230，∴418＞233＞810．【点评】此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．【变式5-3】（2020春•李沧区期中）阅读下列两则材料，解决问题：材料一：比较322和411的大小．解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2∴322＞222，即322＞411小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小材料二：比较28和82的大小解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6∴28＞26，即28＞82小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小【方法运用】（1）比较344、433、522的大小（2）比较8131、2741、961的大小（3）已知a2＝2，b3＝3，比较a、b的大小（4）比较312×510与310×512的大小【分析】（1）根据题目中的例子可以解答本题；（2）根据题目中的例子可以解答本题；（3）根据题目中的例子可以解答本题；（4）根据题目中的例子可以解答本题．【解答】解；（1）∵344＝（34）11＝8111，433＝（43）11＝6411，522＝（52）11＝2511，∵81＞64＞25，∴8111＞6411＞2511，即344＞433＞522；（2）∵8131＝（34）31＝3124，2741＝（33）41＝3123，961＝（32）61＝3122，∵124＞123＞122，∴3124＞3123＞3122，即8131＞2741＞961；（3）∵a2＝2，b3＝3，∴a6＝8，b6＝9，∵8＜9，∴a6＜b6，∴a＜b；（4）∵312×510＝（3×5）10×32，310×512＝（3×5）10×52，又∵32＜52，∴312×510＜310×512．【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法．【考点6 幂的运算中新定义问题】【例6】（2020春•漳州期末）如果x n ＝y ，那么我们规定（x ，y ）＝n ．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2．（1）[理解]根据上述规定，填空：（2，8）＝ ，（2，14）＝ ； （2）[说理]记（4，12）＝a ，（4，5）＝b ，（4，60）＝c ．试说明：a +b ＝c ；（3）[应用]若（m ，16）+（m ，5）＝（m ，t ），求t 的值．【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；（2）根据积的乘方法则，结合定义计算；（3）根据定义解答即可．【解答】解：（1）23＝8，（2，8）＝3，2−2=14，（2，14）＝﹣2， 故答案为：3；﹣2；（2）证明：∵（4，12）＝a ，（4，5）＝b ，（4，60）＝c ，∴4a ＝12，4b ＝5，4c ＝60，∴4a ×4b ＝60，∴4a ×4b ＝4c ，∴a +b ＝c ；（3）设（m ，16）＝p ，（m ，5）＝q ，（m ，t ）＝r ，∴m p ＝16，m q ＝5，m r ＝t ，∵（m ，16）+（m ，5）＝（m ，t ），∴p+q＝r，∴m p+q＝m r，∴m p•m r＝m t，即16×5＝t，∴t＝80．【点评】本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键．【变式6-1】（2020春•仪征市期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据a m＝b，知道a、m可以求b的值．如果知道a、b可以求m的值吗？他们为此进行了研究，规定：若a m＝b，那么T（a，b）＝m．例如34＝81，那么T（3，81）＝4．（1）填空：T（2，64）＝；（2）计算：T(13，27)+T(−2，16)；（3）探索T（2，3）+T（2，7）与T（2，21）的大小关系，并说明理由．【分析】（1）根据定义解答即可；（2）根据定义解答即可；（3）设T（2，3）＝m，可得2m＝3，设T（2，7）＝n，可得2n＝7，设T（2，21）＝k，可得2k＝21，再根据同底数幂的乘法法则解答即可．【解答】解：（1）∵26＝64，∴T（2，64）＝6；故答案为：6．（2）∵(13)−3=27，（﹣2）4＝16，∴T(13，27)+T(−2，16)=−3+4＝1．（3）相等．理由如下：设T（2，3）＝m，可得2m＝3，设T（2，7）＝n，根据3×7＝21得：2m•2n＝2k，可得m+n＝k，即T（2，3）+T（2，7）＝T（2，21）．【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．【变式6-2】（2020春•潍坊期中）一般地，n个相同的因数a相乘a•a•…•a，记为a n，如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log n b（即log n b）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．（1）计算下列各对数的值：log24＝；log216＝；log264＝．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？（4）根据幂的运算法则：a n•a m＝a n+m以及对数的含义说明上述结论．【分析】（1）根据题中给出已知概念，可得出答案．（2）观察可得：三数4，16，64之间满足的关系式为：log24+log216＝log264．（3）通过分析，可知对数之和等于底不变，各项b值之积；（4）首先可设设M＝a m，N＝a n，再根据幂的运算法则：a n•a m＝a n+m以及对数的含义证明结论．【解答】解：（1）log24＝2；log216＝4；log264＝6，故答案为：2；4；6；（2）∵4×16＝64，∴log24+log216＝log264；（3）log a M+log a N＝log a MN；（4）设M＝a m，N＝a n，∵loga a m =m，loga a n=n，loga a m+n=m+n，∴loga a m +loga a n=loga a m+n，∴log a M+log a N=log a MN．【点评】本题是开放性的题目，难度较大．借考查对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．【变式6-3】（2019秋•崇川区校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果a c＝b．那么【a，b】＝c例如因为23＝8．所以【2，8】＝3（1）根据上述规定，填空：【4，16】＝，【7，1】＝【，81】＝4（2）小明在研究这种运算时发现一个现象【3n，4n】＝【3，4】小明给出了如下的证明：设【3n，4n】＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4即【3，4】＝x所以【3n，4n】＝【3，4】请你尝试运用这种方法解决下列问题：①证明：【6，45】﹣【6，9】＝【6，5】②猜想：【（x+1）n，（y﹣1）n】+【（x+1）n，（y﹣2）n】＝【，】（结果化成最简形式）【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；（2）①根据同底数幂的乘法法则，结合定义证明；②根据例题和①中证明的式子作为公式进行变形即可．【解答】解：（1）因为42＝16，所以【4，16】＝2．因为70＝1，所以【7，1】＝0．因为（±3）4＝81，∴【±3，18】＝4，故答案为：2；0；±3；（2）①证明：设【6，9】＝x，【6，5】＝y，则6x＝9，6y＝5，∴5×9＝45＝6x•6y＝6x+y，∴【6，45】＝x+y，则：【6，45】＝【6，9】+【6，5】，∴【6，45】﹣【6，9】＝【6，5】；②∵【3n，4n】＝【3，4】，∴【（x+1）m，（y﹣1）m】＝【（x+1），（y﹣1）】，【（x+1）n，（y﹣2）n】＝【（x+1），（y﹣2）】，∴【（x+1）m，（y﹣1）m】+【（x+1）n，（y﹣2）n】，＝【（x+1），（y﹣1）】+【（x+1），（y﹣2）】，＝【（x+1），（y﹣1）（y﹣2）】，＝【（x+1），（y2﹣3y+2）】．故答案为：x+1，y2﹣3y+2．【点评】本题考查的是新定义的理解和掌握，还考查了同底数幂的乘法以及有理数的混合运算，弄清题中的新运算是解本题的关键．【考点7 整式的乘法】【例7】（2020春•新邵县期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3﹣9x2+□，“□”的地方被墨水弄污了，你认为“□”内应填写（）A．1B．﹣1C．3x D．﹣3x【分析】单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．【解答】解：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3﹣9x2+3x．故选：C．【点评】考查了单项式乘多项式，单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．【变式7-1】（2019春•灌阳县期中）已知（﹣x）（2x2﹣ax﹣1）﹣2x3+3x2中不含x的二次项，则a的值是（）A．3B．2C．﹣3D．﹣2【分析】先进行单项式乘多项式，再合并得到原式＝﹣4x3+（a+3）x2+x，然后令二次项的系数为0即可得到a的值．【解答】解：（﹣x）（2x2﹣ax﹣1）﹣2x3+3x2＝﹣2x3+ax2+x﹣2x3+3x2＝﹣4x3+（a+3）x2+x，因为﹣4x3+（a+3）x2+x不含x的二次项，所以a+3＝0，所以a＝﹣3．故选：C．【点评】本题考查了单项式乘多项式：单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；注意确定积的符号．【变式7-2】（2019春•蜀山区期中）若2x3﹣ax2﹣5x+5＝（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3，其中a，b为整数，则ab的值为（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4【分析】将（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3进行多项式乘以多项式展开得到2x3+（a﹣2b）x2﹣（ab+1）x+（b+3）＝2x3﹣ax2﹣5x+5，对比系数即可求解；【解答】解：（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3＝2x3+（a﹣2b）x2﹣（ab+1）x+（b+3）＝2x3﹣ax2﹣5x+5，∴a﹣2b＝﹣a，ab+1＝5，b+3＝5，∴b＝2，a＝2，∴ab＝4；故选：C．【点评】本题考查多项式乘以多项式；熟练掌握多项式乘以多项式的乘法法则，利用系数相等解题．【变式7-3】（2019春•浑南区校级期中）若不管a取何值，多项式a3+2a2﹣a﹣2与（a2﹣ma+2n）（a+1）都相等，则m、n的值分别为（）A．﹣1，﹣1B．﹣1，1C．1，﹣1D．1，1【分析】根据多项式乘以多项式进行恒等计算即可．【解答】解：多项式a3+2a2﹣a﹣2与（a2﹣ma+2n）（a+1）都相等，（a2﹣ma+2n）（a+1）＝a3﹣ma2+2an+a2﹣ma+2n＝a3+（1﹣m）a2+（2n﹣m）a+2n所以1﹣m＝2，得m＝﹣1，2n﹣m＝﹣1，得n＝﹣1．或者2n＝﹣2，得n＝﹣1．故选：A．【点评】本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是理解恒等变换．【考点8 整式乘法的应用】【例8】（2020春•建邺区期末）根据需要将一块边长为x的正方形铁皮按如图的方法截去一部分后．制成的长方形铁皮（阴影部分）的面积是多少？几名同学经过讨论给出了不同的答案，其中正确的是（）①（x﹣5）（x﹣6）；②x2﹣5x﹣6（x﹣5）；③x2﹣6x﹣5x；④x2﹣6x﹣5（x﹣6）A．①②④B．①②③④C．①D．②④【分析】因为正方形的边长为x，一边截去宽5的一条，另一边截去宽6的一条，所以阴影部分长方形的长和宽分别为x﹣5与x﹣6．然后根据长方形面积计算公式进行计算．【解答】解：①由题意得：阴影部分长方形的长和宽分别为x﹣5、x﹣6，则阴影的面积＝（x﹣5）（x﹣6）＝x2﹣11x+30．故该项正确；②如图所示：阴影部分的面积＝x2﹣5x﹣6（x﹣5），故该项正确；④如图所示：阴影部分的面积＝x2﹣6x﹣5（x﹣6），故该项正确；③由④知本项错误．故选：A．【点评】本题主要考查了整式的乘除运算﹣多项式乘多项式．实际上也是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．【变式8-1】（2019秋•平山县期末）根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是（）A．（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2B．（a+3b）（a+b）＝a2+3b2C．（b+3a）（b+a）＝b2+4ab+3a2D．（a+3b）（a﹣b）＝a2+2ab﹣3b2【分析】根据图形确定出多项式乘法算式即可．【解答】解：根据图2的面积得：（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2，故选：A．【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式8-2】（2020春•盐都区期中）如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+3b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要C类卡片（）A．3张B．4张C．5张D．6张【分析】根据多项式与多项式相乘的法则求出长方形的面积，根据题意得到答案．【解答】解：∵（a+3b）（a+2b）＝a2+2ab+3ab+6b2＝a2+5ab+6b2，∴需要A类卡片1张、B类卡片6张、C类卡片5张，故选：C．【点评】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．【变式8-3】（2020春•漳州期末）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示最大长方形面积的方法：①（2a+b）（m+n）；②2a（m+n）+b（m+n）；③m（2a+b）+n（2a+b）；④2am+2an+bm+bn．你认为其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用矩形的面积公式得到最大长方形面积为（2a+b）（m+n），然后利用多项式乘多项式对四种表示方法表示方法进行判断．【解答】解：最大长方形面积为（2a+b）（m+n）＝2a（m+n）+b（m+n）＝m（2a+b）+n（2a+b）＝2am+2an+bm+bn．故选：D．【点评】本题考查了多项式乘多项式：多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．【考点9 利用乘法公式求值】【例9】（2020春•邗江区校级期中）若x，y满足x2+y2＝8，xy＝2，求下列各式的值．（1）（x+y）2；（2）x4+y4；（3）x﹣y．【分析】（1）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；（2）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；（3）先求出（x﹣y）2的值，再根据完全平方公式求出即可．【解答】解：（1）∵x2+y2＝8，xy＝2，∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝8+2×2＝12；（2）∵x2+y2＝8，xy＝2，∴x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2＝82﹣2×22＝64﹣8＝56；（3）∵x2+y2＝8，xy＝2，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝8﹣2×2＝4，∴x﹣y＝±2．【点评】本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式的内容是解此题的关键，注意：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．【变式9-1】（2020春•广陵区期中）已知a+b＝2，ab＝﹣24，（1）求a2+b2的值；（2）求（a+1）（b+1）的值；（3）求（a﹣b）2的值．【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【解答】解：（1）因为a+b＝2，ab＝﹣24，所以a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝4+2×24＝52；（2）因为a+b＝2，ab＝﹣24，所以（a+1）（b+1）＝ab+a+b+1＝﹣24+2+1＝﹣21；（3）因为a+b＝2，ab＝﹣24，所以（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝（a+b）2﹣4ab＝4+4×24＝100．【点评】本题考查完全平方公式和多项式乘多项式，解题的关键是熟练运用完全平方公式和多项式乘多项式的运算法则，本题属于基础题型．【变式9-2】（2020春•灌云县期中）已知a﹣b＝1，a2+b2＝13，求下列代数式的值：（1）ab；（2）a2﹣b2﹣8．【分析】（1）由（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab及已知条件可求得答案；（2）（a+b）2＝a2+b2+2ab及已知条件可求得a+b的值，进而得出a2﹣b2﹣8的值即可．【解答】解：（1）∵a﹣b＝1，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝1，∵a2+b2＝13，∴13﹣2ab＝1，∴ab＝6；（2）∵a2+b2＝13，ab＝6，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝13+12＝25，∴a+b＝5或﹣5，∵a2﹣b2﹣8＝（a+b）（a﹣b）﹣8，∴当a+b＝5时，（a+b）﹣8＝﹣3；当a+b＝﹣5时，（a+b）﹣8＝﹣5﹣8＝﹣13．【点评】本题考查了完全平方公式在代数式求值中的应用，熟练掌握完全平方公式并正确变形是解题的关键．【变式9-3】（2020春•新泰市期中）（1）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，求xy和x2+y2的值．（2）若a2+b2＝15，（a﹣b）2＝3，求ab和（a+b）2的值．【分析】（1）首先去括号，进而得出x2+y2的值，即可求出xy的值；（2）直接利用完全平方公式配方进而得出a，b的值，即可得出答案．【解答】解：（1）∵（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，∴x2+2xy+y2＝25①，x2﹣2xy+y2＝9②，∴①+②得：2（x2+y2）＝34，∴x2+y2＝17，∴17+2xy＝25，∴xy＝4；（2）∵（a﹣b）2＝3，∴a2﹣2ab+b2＝3，∵a2+b2＝15，∴15﹣2ab＝3，∴﹣2ab＝﹣12，∴ab＝6，∵a2+b2＝15，∴a2+2ab+b2＝15+12，∴（a+b）2＝27．【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的形式是解题关键．【考点10 乘法公式几何背景】【例10】（2020春•新昌县期末）某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作：（1）从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开，最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是．（2）先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片，如图3，最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形．这一过程你能发现什么代数公式？（3）先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出三张边长分，别为a和b 的长方形纸片，如图5，你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形？如果可以，请画出草图，并写出相应的等式，如果不能，请说明理由．【分析】（1）图1的面积为a 2﹣b 2，图2的面积为12（2a +2b ）（a ﹣b ）＝（a +b ）（a ﹣b ），可得等式； （2）拼图前的面积为a 2+2ab +b 2，拼图后的面积为（a +b ）2，可得等式；（3）拼图前的面积为2a 2+3ab +b 2，因此可以拼成长（2a +b ），宽为（a +b ）的长方形．【解答】解：（1）图1的面积为a 2﹣b 2，图2的面积为12（2a +2b ）（a ﹣b ）＝（a +b ）（a ﹣b ），因此有a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ），故答案为：a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）；（2）拼图前的面积为a 2+2ab +b 2，拼图后的面积为（a +b ）2，因此可得a 2+2ab +b 2＝（a +b ）2，即完全平方公式；（3）拼图前的面积为2a 2+3ab +b 2，因此可以拼成长（2a +b ），宽为（a +b ）的长方形，拼图如图所示：【点评】考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，用代数式表示图形的面积是得出公式的关键．【变式10-1】（2020春•肃州区期末）如图1，边长为a 的大正方形有一个边长为b 的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成平方差的形式）．（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 ．（写成多项式乘法形式）（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式 ．（4）请应用这个公式完成下列各题：①已知4m 2﹣n 2＝12，2m +n ＝4，则2m ﹣n ＝ ．②计算：20202﹣2018×2022．③计算：(1−122)(1−132)(1−142)⋯(1−120192)(1−120202)．【分析】（1）由面积公式可得到答案；（2）根据图形可知长方形的长是a+b，宽是a﹣b，由长方形面积公式可得到答案；（3）根据图1和图2阴影部分面积相等可得到答案；（4）①根据平方差公式，4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n），已知2m+n＝4代入即可求出答案；②可先把2018×2022化为（2020﹣2）（2020+2），再利用平方差公式计算即可得出答案；③先利用平方差公式变形，再约分即可得到答案．【解答】解：（1）大正方形面积＝a2，小正方形面积＝b2，阴影部分面积＝大正方形面积﹣小正方形面积＝a2﹣b2，故答案为：a2﹣b2；（2）由图可知，长方形的宽＝a﹣b，长方形的长＝a+b，∴长方形的面积＝（a+b）（a﹣b），故答案为，a﹣b；a+b；（a+b）（a﹣b）；（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2或a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（4）①∵4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n）＝12，2m+n＝4，∴2m﹣n＝3，故答案为：3；②＝20202﹣（20202﹣4）＝20202﹣20202+4＝4；③．【点评】本题主要考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，计算具有一定的难度，属于中档题．【变式10-2】（2020春•三明期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式．图1，图2，图3．（2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，写出这三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系．（3）根据（2）中你探索发现的结论，计算：当x+y＝3，xy＝﹣10时，求x﹣y的值．【分析】根据正方形得面积计算公式，解决问题．；【解答】解：（1）图1、S阴=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2=(a−b)(a−b)=a2−2ab+b2；图2、S阴=(a+b)(a−b)=a2−b2．图3、S阴（2）由题意可知，阴影部分的面积＝大正方形面积﹣4×小长方形面积，大正方边长为（a+b），面积为（a+b）2，小长方形长为a，宽为b，面积为ab，=(a+b)2−4ab则S阴＝a2+2ab+b2﹣4ab＝a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．（3）由（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，∴（x﹣y）2＝32﹣4×（﹣10）＝49，∴x﹣y＝±7．【点评】本题主要考查乘法公式的应用，（1）根据题目中正方形和长方形的边长，由面积计算公公式可得出乘法．（2）根据拼图法阴影部分的面积等于大正方形面积减去4个长方形的面积，可得出结论．（3）根据（2）中结论可直接计算得出答案．【变式10-3】（2020春•东城区校级期末）如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、长为a宽为b 的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）取图①中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为（2a+b）（a+2b），在虛框中画出图形，并根据图形回答（2a+b）（a+2b）＝；（2）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为a2+5ab+6b2．根据你画的长方形，可得到恒等式；（3）如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x，y表示四个相同形状的长方形的两条邻边长（x＞y），观察图案，指出以下正确的关系式（填写选项）．A．xy=m2−n24B．x+y＝m C．x2﹣y2＝mn D．x2+y2=m2+n22【分析】（1）计算（2a+b）（a+2b）的结果，可知需要A、B、C型的纸片的张数，进而画出拼图；（2）a2+5ab+6b2即用A型的1张，B型的5张，C型的6张，可以拼图，得出等式；（3）根据m、n与x、y之间的关系，利用恒等变形，可得结论．【解答】解：（1）（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，故答案为：2a2+5ab+2b2；拼图如图所示：（2）a2+5ab+6b2即用A型的1张，B型的5张，C型的6张，可以拼成如图所示的图形，因此可得等式：a2+5ab+6b2＝（a+3b）（a+2b），故答案为：a2+5ab+6b2＝（a+3b）（a+2b）；（3）由图③可知，m＝x+y，n＝x﹣y，因此有m+n＝2x，m﹣n＝2y，mn＝（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2；m2−n24=(m+n)(m−n)4=2x⋅2y4=xy；m2+n22=(m+n)2−2mn2=4x2−2(x2−y2)2=x2+y2；故答案为：A、B、C、D．【点评】考查完全平方公式、平方差公式的几何背景，理解拼图原理是得出关系式的前提．【考点11 整式乘除的计算与化简】【例11】（2019春•淄川区期中）（1）计算：①a5•（﹣a）3+（﹣2a2）4．②−4xy3⋅(12xy)÷(xy2)2．③（﹣4x﹣3y）2．④（2a+b）（2a﹣b）+（a+2b）2（2）先化简，再求值：①(x+y)2−(x+y)(y−x)−12x(2x−y)，其中x＝﹣1，y=15．②[b （a ﹣3b ）﹣a （3a +2b ）+（3a ﹣b ）（2a ﹣3b ）]÷（﹣3a ），其中a ，b 满足2a ﹣8b ﹣6＝0．【分析】（1）①原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，合并即可得到结果；②原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘除单项式法则计算即可求出值； ③原式利用完全平方公式计算即可求出值；④原式利用平方差公式及完全平方公式计算即可求出值；（2）①原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算得到最简结果，把x 与y 的值代入计算即可求出值；②原式中括号中利用单项式乘多项式，多项式乘多项式法则计算，再利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：（1）①原式＝﹣a 8+16a 8＝15a 8；②原式＝﹣4xy 3•（12xy ）÷x 2y 4 ＝﹣2x 2y 4÷x 2y 4＝﹣2；③原式＝16x 2+24xy +9y 2；④原式＝4a 2﹣b 2+a 2+4ab +4b 2＝5a 2+4ab +3b 2；（2）①原式＝x 2+2xy +y 2﹣y 2+x 2﹣x 2+12xy＝x 2+52xy ，当x ＝﹣1，y =15时，原式＝1−12=12；②原式＝（ab ﹣3b 2﹣3a 2﹣2ab +6a 2﹣9ab ﹣2ab +3b 2）÷（﹣3a ）＝（3a 2﹣12ab ）÷（﹣3a ）＝﹣a +4b＝﹣（a ﹣4b ），由2a ﹣8b ﹣6＝0，得到a ﹣4b ＝3，则原式＝﹣3．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．【变式11-1】（2020春•郓城县期末）计算：（1）（﹣2ab）2•3b÷（−13ab2）（2）用整式乘法公式计算：912﹣88×92（3）先化简，再求值：x（x﹣4y）+（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x＝﹣2，y=−1 2．【分析】（1）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可得到结果；（2）原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果；（3）原式利用单项式乘以多项式，平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）原式＝4a2b2•3b÷（−13ab2）＝﹣36ab；（2）原式＝912﹣（90﹣2）×（90+2）＝912﹣902+4＝181+4＝185；（3）原式＝x2﹣4xy+4x2﹣y2﹣4x2+4xy﹣y2＝x2﹣2y2，当x＝﹣2，y=−12时，原式＝4−12=312．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式11-2】（2020春•竞秀区期末）计算题：（1）82019×（﹣0.125）2020（2）20202﹣2019×2021（用乘法公式进行计算）；（3）（3x﹣y）（9x2+y2）（3x+y）；（4）（a+b）（b﹣a）﹣（a﹣2b）2；（5）先化简，再求值：[（x+3y）2﹣（x+2y）（3x﹣y）﹣11y2]÷（2x），其中x＝﹣2，y＝1．【分析】（1）将原式变形为（﹣0.125）2019×82019×（﹣0.125），再逆用积的乘方变形、计算可得；（2）原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值；（3）原式结合后，利用平方差公式计算即可得到结果；（4）原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果；（5）原式中括号中利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）82019×（﹣0.125）2020＝（﹣0.125）2019×82019×（﹣0.125）＝（﹣0.125×8）2019×（﹣0.125）＝0.125；。
精品解析2021-2022学年北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除重点解析试卷(含答案详解)
北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除重点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）A ．（a +b ）（﹣a ﹣b ）B ．（a +b ）（a ﹣b ）C ．（a +b ）（a ﹣d ）D ．（a +b ）（2a ﹣b ）2、已知一个正方形的边长为1a +，则该正方形的面积为（ ）A ．221a a ++B ．221a a -+C ．21a +D ．21a +3、下列计算正确的是（ ）A ．22235⋅=a b abB ．42222a a a a ÷+=C ．()224236a b a b -=D ．3412a a a ⋅=4、下列运算正确的是（ ）A ．235b b b +=B ．33a a a ⋅=C ．824y y y ÷=D ．()3328x x = 5、下列运算正确的是（ ）A ．5552x x x +=B ．15052x x x =⋅C ．623x x x ÷=D ．()3327x x =6、下列各式，能用平方差公式计算的是（ ）A ．（2a ＋b ）（2b ﹣a ）B ．（﹣a ﹣2b ）（﹣a ＋2b ）C ．（2a ﹣3b ）（﹣2a ＋3b ）D ．（113a +）（﹣113a -） 7、2n n a a +⋅的值是( )．A ．3n a +B ．()2n n a +C ．22n a +D ．8a 8、已知26m =，23n =，则2m n +=（ ）A ．2B ．3C ．9D ．189、下列计算中，正确的是( )A ．32422x y x y x ÷=B ．432221226x y x y x y -÷=C ．2211644x yz x y z -÷=- D ．2222()2x y x y x y -÷=10、下列计算中，正确的是（ ）A ．()2224a b a b +=+B ．44a a a ⋅=C ．623a a a ÷=D ．()2362a b a b = 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、（9a 2﹣6ab ）÷3a ＝_____．2、已知10a b ab +==，则22a b +的值为________．3、面对新冠疫情，全国人民团结一心全力抗击，无数白衣天使不惧危险奋战在挽救生命的第一线，无数科技工作者不辞辛苦拼搏在攻克COVID-19的征程上．在这些科技工作者中也不乏数学工作者的身影，他们根据医学原理和公开数据进行数学建模，通过动力学分析和统计学分析，结合优化算法等定量手段，试图揭示COVID-19的传播规律及其重要特征，评估治疗或防控措施的实效性，为流行病学和传染病学研究提供定量支撑，为政府和公共卫生部门的预测和控制决策提供理论依据．目前发现的新冠病毒其直径约为0.00012毫米，将0.00012用科学记数法表示为________．4、用科学记数法表示0.00000012为________．5、利用乘法公式解决下列问题：（1）若8x y -=，40xy =，则22x y += ；（2）已知，若x 满足()()251015x x --=-，求()()222510x x -+-值． 三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、计算：()10861223π-⎛⎫-+-÷ ⎪⎝⎭． 2、化简：()()()2339x y x y x y ⎡⎤+--÷⎣⎦．3、数学活动课上，老师用图①中的1张边长为a 的正方形A 、1张边长为b 的正方形B 和2张宽和长分别为a 与b 的长方形C 纸片，排成了如图②中的大正方形．观察图形并解答下列问题．（1）由图①和图②可以得到的等式为 （用含a ，b 的代数式表示）；（2）小芳想用图①的三种纸片拼出一个面积为（a +b ）（a +2b ）的大长方形，则需要A 纸片 张，B 纸片 张，C 纸片 张（空格处填写数字），并尝试在框线中参考图②画出相关的设计图；（3）如图③，已知点C 为线段AB 上的动点，分别以AC 、BC 为边在AB 的两侧作正方形ACED 和正方形BCFG ，面积分别记作S 1、S 2，若AB ＝6，图中阴影部分△ACF 的面积为4，利用（1）中得到的结论求S 1+S 2的值．4、已知230x x --=，求代数式()()()21121x x x -+-+的值．5、先化简，再求值：()()()()2222222x y x y x y x x y x ⎡⎤-+-+--÷⎣⎦，其中1x =，12y =．-参考答案-一、单选题1、B【分析】根据平方差公式（a +b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2对各选项分别进行判断．【详解】解：A 、（a +b ）（﹣a ﹣b ）＝﹣（a +b ）（a +b ）两项都相同，不能用平方差公式计算．故本选项不符合题意； B 、（a +b ）（a ﹣b ）存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项符合题意； C 、（a +b ）（a ﹣d ）中存在相同项，没有相反项，不能用平方差公式计算．故本选项不符合题意； D 、（a +b ）（2a ﹣b ）中存在相反项，没有相同项，不能用平方差公式计算．故本选项不符合题意； 故选：B ．【点睛】本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．2、A【分析】先根据正方形的面积公式列式，然后再根据完全平方公式计算即可．【详解】解：该正方形的面积为（a+1）2=a2+2a+1．故选：A．【点睛】本题主要考查列代数式、完全平方公式等知识点，灵活运用完全平方公式成为解答本题的关键．3、B【分析】根据单项式乘单项式运算法则、同底数幂的除法运算法则、合并同类项、积的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则逐项计算判断即可．【详解】解：A、22⋅=，该选项结果错误，不符合题意；236a b abB、422222÷+=+=，该选项结果正确，符合题意；a a a a a a2C、()2242-=，该选项结果错误，不符合题意；a b a b39D、347⋅=，该选项结果错误，不符合题意，a a a故选：B．【点睛】本题考查单项式乘单项式、同底数幂的除法、合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解答的关键．4、D【分析】根据整式的运算法则逐项检验即可．【详解】解：A 、b 2与b 3不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；B 、34a a a ⋅=，原计算错误，故该选项不符合题意；C 、826y y y ÷=，原计算错误，故该选项不符合题意；D 、()3328x x =，正确，故该选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法除法，积的乘方等整式的相关运算法则，能够熟记基本的运算法则并灵活运用，正确计算是解决本题的关键．5、A【分析】根据整式的加减运算、同底数幂的乘除运算，幂的乘方运算，求解即可．【详解】解：A 、5552x x x +=，选项正确，符合题意；B 、5510x x x ⋅=，选项错误，不符合题意；C 、624x x x ÷=，选项错误，不符合题意；D 、()339x x =，选项错误，不符合题意； 故选：A【点睛】此题考查了整式的加减运算、同底数幂的乘除运算，幂的乘方运算，解题的关键是掌握整式的有关运算法则．6、B【分析】根据平方差公式为22()()a b a b a b +-=-逐项判断即可．【详解】A ．既没有相同项，也没有相反项，不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；B ．原式[][]()2()2a b a b =---+，符合平方差公式，故本选项符合题意；C ．原式(23)(23)a b a b =---，只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；D ．原式11(1)(1)33a a -++只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意； 故选：B ．【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式为22()()a b a b a b +-=-是解答本题的关键．7、C【分析】同底数幂的乘法：底数不变，指数相加，根据法则直接计算即可.【详解】解：2222n n n n n a a a a ++++⋅==故选：C【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，掌握“同底数幂的乘法法则”是解本题的关键.8、D【分析】根据同底数幂的乘法逆运算进行整理，再代入求值即可．【详解】解：∵26m =，23n =，∴2226318m n m n +=⋅=⨯=．故选：D ．【点睛】本题主要考查求代数式的值，同底数幂乘法的逆用，解题的关键是把式子整理成整体代入的形式．9、A【分析】根据单项式除以单项式法则解答．【详解】解：A 、32422x y x y x ÷=，正确；B 、432221226x y x y x y -÷=-，故此选项错误；C 、22116644x yz x y z -÷=-，故此选项错误；D 、22221()22x y x y x y -÷=，故此选项错误； 故选：A ．【点睛】此题考查了单项式除以单项式法则：系数与系数相除，相同字母与相同字母相除，正确掌握法则是解题的关键．10、D【分析】根据完全平方公式可判断A ，根据同底数幂的乘法同底数幂相乘底数不变指数相加可判断B ，根据同底数幂除法运算法则同底数幂相乘底数不变指数相减可判断C ，根据积的乘方每个因式分别乘方与幂的乘方法则底数不变指数相乘可判断D ．【详解】A. ()22222444a b a ab b a b +=++≠+，故选项A 不正确；B. 454a a a a ⋅=≠，故选项B 不正确；C. 664322a a a a a -=≠÷=，故选项C 不正确；D. ()()2236232a b a b a b ==，故选项D 正确． 故选：D ．【点睛】本题考查整式中幂指数运算与乘法公式，掌握整式中幂指数运算与乘法公式是解题关键．二、填空题1、3a -2b -2b +3a【分析】根据多项式除以单项式的除法法则计算即可．【详解】解：（9a 2-6ab ）÷3a=9a 2÷3a -6ab ÷3a=3a -2b ．故答案为：3a-2b【点睛】本题考查了整式的除法，熟记多项式除以单项式的除法法则是解题的关键．2、25【分析】把已知条件a b+=【详解】解：∵a b+=∴22++=，245a ab b∵10ab=，∴224521025+=-⨯=．．a b故答案是：25．【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟记公式结构，灵活运用．3、1.2×10-4【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【详解】解：0.00012=1.2×10-4．故答案为：1.2×10-4．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a 的值以及n 的值．4、71.210-⨯【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.00000012=1.2×10-7．故答案为：1.2×10-7．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a ×10-n ，其中1≤|a |＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．5、（1）144；（2）255【分析】（1）根据完全平方公式的变形即可求解；（2）设25x a -=，10x b -=，由完全平方公式的变形()2222a b a b ab +=+-即可求解．【详解】解：（1）由()2222a b a ab b -=-+进行变形得，()2222a b a b ab +=-+， ∴22x y +=()22x y xy -+=64+80=144；故答案为：144；（2）设25x a -=，10x b -=，由()2222a b a ab b +=++进行变形得，()2222a b a b ab +=+-， ∴()()222510x x -+-()()()()2251022510x x x x =-+----⎡⎤⎣⎦ ()225215=-⨯-22530=+255=．【点睛】此题主要考查乘法公式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的变形运用．三、解答题1、0【分析】分别计算零次幂，负整数指数幂，同底数幂的除法运算，再合并即可.【详解】解：()10861223π-⎛⎫-+-÷ ⎪⎝⎭ 2132440=-=【点睛】本题考查的零次幂的运算，负整数指数幂的含义，同底数幂的除法，掌握以上基础运算是解本题的关键.2、y -【分析】先计算括号内的整式的乘法运算，再合并括号内的同类项，最后计算单项式除以单项式即可得到答案.【详解】解：()()()2339x y x y x y ⎡⎤+--÷⎣⎦222=99x y x y299y y y【点睛】本题考查的是整式的四则混合运算，平方差公式的应用，掌握“利用平方差公式进行简便运算与单项式除以单项式”是解本题的关键.3、（1）（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2；（2）1，2，3；（3）20【分析】（1）根据大正方形的面积等于各部分图形的面积和即可解决；（2）根据多项式乘以多项式的乘法法则，把（a +b ）（a +2b ）的结果计算出来即可判断；（3）根据题意可知AC +BC ＝6，AC •BC ＝8，然后利用（1）的结论即可解决．【详解】解：（1）由题意得：（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2，故答案为：（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2；（2）（a +b ）（a +2b ）＝a 2+3ab +2b 2，故答案为：1，2，3；（3）设AC ＝m ，BC ＝n ，由题意得：m +n ＝6，12mn ＝4，∴S 1+S 2＝m 2+n 2＝（m +n ）2﹣2mn＝62﹣2×8＝20．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，灵活运用完全平方公式是解题的关键．4、代数式的值为9．【分析】先把230x x --=变形为23-=x x ，然后利用完全平方公式以及多项式乘多项式，将式子去括号展开，并合并同类项，然后将2x x -整体代入化简的式子中求值即可．【详解】解：由230x x --=可得：23-=x x ， ()()()21121x x x -+-+2221221x x x x x =-+++--233x x =-23()x x =- ∴原式23()339x x =-=⨯=，故该代数式的值为9．【点睛】本题主要是考查了完全平方公式以及多项式乘多项式、整体代入法求解代数式的值，熟练利用完全平方公式以及多项式乘多项式，把整式进行化简，这是解决该题的关键．5、3,2x y ---【分析】先利用乘法公式以及单项式乘多项式去括号，然后合并同类项，最后利用整式除法，求出化简结果，字母的值代入化简结果，求出整式的值．【详解】解：()()()()2222222x y x y x y x x y x ⎡⎤-+-+--÷⎣⎦22222444422x xy y x y x xy x ⎡⎤=-++--+÷⎣⎦ ()2222x xy x =--÷x y =--当1x =，12y =时， 原式32x y =--=-．【点睛】本题主要是考查了整式的化简求值，熟练掌握乘法公式、单项式乘多项式去括号以及整式除法法则，是求解该题的关键．。