中考压轴题赏析-初一几何从倒角开始
三角形中的倒角模型-高分线模型、双(三)垂直模型(解析版)
三角形中的倒角模型-高分线模型、双(三)垂直模型近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算(内角和定理、外角定理等)。
熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
本专题高分线模型、双垂直模型、子母型双垂直模型(射影定理模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1：高分线模型条件：AD 是高，AE 是角平分线结论：∠DAE =∠B -∠C21(2023秋·浙江·八年级专题练习)如图，在△ABC 中，∠A =30°，∠B =50°，CD 为∠ACB 的平分线，CE ⊥AB 于点E ，则∠ECD 度数为()A.5°B.8°C.10°D.12°【答案】C 【分析】依据直角三角形，即可得到∠BCE =40°，再根据∠A =30°,CD 平分∠ACB ,即可得到∠BCD 的度数,再根据∠DCE =∠BCD -∠BCE 进行计算即可．【详解】解：∵∠B =50°,CE ⊥AB ,∴∠BCE =40°,又∵∠A =30°,CD 平分∠ACB ,∴∠BCD =12∠BCA =12×(180°-50°-30°)=50°，∴∠DCE =∠BCD -∠BCE =50°-40°=10°,故选：C ．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．2(2023春·河南南阳·七年级统考期末)如图，在△ABC 中，∠1=∠2，G 为AD 的中点，BG 的延长线交AC 于点E ，F 为AB 上的一点，CF 与AD 垂直，交AD 于点H ，则下面判断正确的有()①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH是△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【详解】解：①根据三角形的角平分线的概念，知AG是△ABE的角平分线，故此说法错误；②根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法错误；③根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法正确；④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．3(2023·安徽合肥·七年级统考期末)如图，已知AD、AE分别是Rt△ABC的高和中线，AB=9cm，AC= 12cm，BC=15cm，试求：(1)AD的长度；(2)△ACE和△ABE的周长的差．【答案】(1)AD的长度为365cm；(2)△ACE和△ABE的周长的差是3cm．【分析】(1)利用直角三角形的面积法来求线段AD的长度；(2)由于AE是中线，那么BE=CE，再表示△ACE的周长和△ABE的周长，化简可得△ACE的周长-△ABE的周长=AC-AB即可．【详解】解：(1)∵∠BAC=90°，AD是边BC上的高，∴S△ACB=12AB•AC=12BC•AD，∵AB=9cm，AC=12cm，BC=15cm，∴AD=AB⋅ACCB =9×1215=365(cm)，即AD的长度为365cm；(2)∵AE为BC边上的中线，∴BE=CE，∴△ACE的周长-△ABE的周长=AC+AE+CE-(AB+BE+AE)=AC-AB=12-9=3(cm)，即△ACE和△ABE的周长的差是3cm．【点睛】此题主要考查了三角形的面积，关键是掌握直角三角形的面积求法．例4．(2023·广东东莞·八年级校考阶段练习)如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B=30°，∠C=50°．(1)求∠DAE的度数．(2)试写出∠DAE与∠C-∠B关系式，并证明．(3)如图，F为AE的延长线上的一点，FD⊥BC于D，这时∠AFD与∠C-∠B的关系式是否变化，说明理由．【答案】(1)10°(2)∠DAE =12∠C -∠B (3)不变，理由见解析【分析】(1)根据三角形内角和求出∠BAC ，根据角平分线的定义得到∠BAE =50°，根据高线的性质得到∠ADE =90°，从而求出∠BAD =60°，继而根据角的和差得到结果；(2)根据角平分线的定义得到∠BAE =12∠BAC ，根据三角形内角和求出∠EAC =90°-12∠B -12∠C ，根据角的和差得到结果；(3)过A 作AG ⊥BC 于G ，结合(2)知∠EAG =12(∠C -∠B )，证明FD ∥AG ，得到∠AFD =∠EAG ，即可证明．【详解】(1)解：∵∠B =30°，∠C =50°，∴∠BAC =180°-50°-30°=100°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE =∠CAE =12∠BAC =50°，∵AD 是高，∴∠ADE =90°，∵∠B =30°，∴∠BAD =60°，∴∠DAE =∠BAD -∠BAE =10°；(2)∠DAE =12∠C -∠B ，证明如下：∵AE 平分∠BAC ，∴∠EAC =12∠BAC ，∵∠BAC =180°-∠B -∠C ，∴∠EAC =12180°-∠B -∠C =90°-12∠B -12∠C ，∴∠EAD =∠EAC -∠DAC =90°-12∠B -12∠C -90°-∠C =12∠C -∠B ；(3)不变，理由是：如图，过A 作AG ⊥BC 于G ，由(2)可知：∠EAG =12(∠C -∠B )，∵AG ⊥BC ，∠AGB =90°，∵FD ⊥BC ，∴∠FDC =90°，∴∠AGD =∠FDC ，∴FD ∥AG ，∴∠AFD =∠EAG ，∴∠AFD =12(∠C -∠B )．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的性质、直角三角形的性质和平行线的判定与性质，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的性质是解题的关键．模型2：双垂直模型结论：①∠A=∠C；②∠B=∠AFD=∠CFE；③AB⋅CD=AE⋅BC。
几何压轴(四大类型)(解析版)-2024-2025学年七年级数学上册(北师大版2024)
几何压轴重难点题型（四大类型）【题型1：线段中点有关计算-分类讨论】【题型2：双角平分线模型-分类讨论】【题型3：角的折叠综合问题】【题型1：线段中点有关计算-分类讨论】【典例1】如图，点C是线段AB上一点，D为BC的中点，且AB=12，BD=5．若点E在直线AB上，且AE=3，则DE的长为（ ）A．4 B．15 C．3或15 D．4或10【答案】D【分析】本题考查了两点间的距离，根据线段中点的定义得到BC=10，CD=BD=5，求得AC=2，分两种情况：当点E在点A右侧，当点E在点A左侧，根据线段的和差分别讨论，是解决问题关键．【详解】解：∵D为BC的中点，BD=5，∴BC=10，CD=BD=5，∵AB=12，∴AC=2，如图1，当点E在点A右侧，∵AE=3，∴CE=1，∴DE=CD―CE=4；如图2，当点E在点A左侧，∵AE=3，∴DE=AE+AC+CD=3+2+5=10，故DE的长为4或10，故选：D．CB，则线【变式1-1】已知线段AB=6cm，点C是AB的中点，点D在线段AB上且CD=13段AD的长为（）A．2cm B．4cm C．2cm或3cm D．2cm或4cm∴AD=AC+CD=3+1=4(cm)，∴AD=AC―CD=3―1=2(cm)，【变式1-2】已知线段AB=5，点C为直线AB上一点，且AC:BC=3:2，点D为线段AC的中点，则线段BD的长为（）A．3.5B．3.5或7.5C．3.5或2.5D．2.5或7.5【答案】C【分析】本题考查的知识点是线段的和与差、含中点线段之间的数量关系，解题关键是利用线段比例得出AC、BC的长．∵AB=5，AC:BC=3:2，∵AB=5，AC:BC=3:2，【变式1-3】已知线段AB=12cm，C为直线AB上的一点，且BC=2cm，M，N分别是AB，BC的中点，则MN的长度是（）A．6cm B．7cm C．5cm或6cm D．5cm或7cm∵点M是AB的中点，∴BM=6cm又∵点N是BC的中点，∴CN=BN=BC，又∵BC=2cm∴BN=1cm，又∵MN=BM―BN，∴MN=6―1=5(cm)②点C在线段AB延长线上时，如图所示，同理可求出BM=6cm，BN=1cm，又∵MN=BM+BN，∴MN=6+1=7(cm)，综上所述：MN的长度为5cm或7cm，故选：D．【变式1-4】在直线m上顺次取A，B，C三点，使AB=4cm，BC=3cm，如果O是线段AC 的中点，则线段OB的长度为（）A．0.5cm B．3.5cmC．2cm D．0.5cm或3.5cm【变式1-5】如图：数轴上点A、B、D表示的数分别是―9，―1，1，且点C为线段AB的中点，点O为原点，点E在数轴上，点F为线段DE的中点．若DE=3，则CF=（）A．4.5或5.5B．5.5或6.5C．5.5或7.5D．4.5或7.5【题型2：双角平分线模型-分类讨论】【典例2】点O为直线AB上一点，在直线AB同侧任作射线OC，OD，使得∠COD＝90°．(1)如图1，过点O作射线OE，使OE为∠AOC的角平分线，当∠COE＝25°时，∠BOD的度数为 ；(2)如图2，过点O作射线OE，当OE恰好为∠AOC的角平分线时，另作射线OF，使得OF 平分∠BOD，求∠EOF的度数；(3)过点O作射线OE，当OC恰好为∠AOE的角平分线时，另作射线OF，使得OF平分∠COD，当∠EOF＝10°时，求∠BOD的度数．【答案】(1)40°(2)135°∵OF是∠COD的角平分线∴∠COF=1∠COD=45°同理可得∴∠AOC=∠COE=55°，∴∠BOD=180°―∠AOC―∠COD=180°―55°―90°=35°综上，∠BOD的度数为55°或35°【点睛】本题考查了角的计算以及角平分线定义（把一个分成两个相等的角的射线）；弄清各个角之间的关系是解题的关键．【变式2-1】已知∠AOB=60°，其角平分线为OM，∠BOC=20°，其角平分线为ON，则∠MON 的大小为（）A．20°B．40°C．20°或40°D．30°或10°∵∠AOB=60°，OM平分∠AOB=∴∠BOM=12又∵∠BOC=20°，ON平分∠BOC=∴∠BON=12∵∠AOB=60°，OM平分∠AOB，∠AOB=30°，∴∠BOM=12又∵∠BOC=20°，ON平分∠BOC，∠BOC=10°，∴∠BON=12∴∠MON=∠BOM―∠BON=20°，【变式2-2】已知∠AOB=70°，∠BOC=50°，OD是∠AOB的角平分线，OE是∠BOC的角平分线，则∠DOE=．∴∠DOE=∠BOD-∠EOB=35°-25°=10°；②当OC在∠AOB外部时，如图，∠DOE=∠BOD +∠EOB=35°+25°=60°．综上所述，∠DOE的度数为60°或10°．故答案是：60°或10°．【点睛】本题考查了角的计算以及角平分线的定义的运用．解题时注意结合图形求得角与角间的和差关系：∠DOE=∠BOD-∠EOB或∠DOE=∠BOD+∠EOB．【变式2-3】点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=120°, 一直角三角板的直角顶点放在点O处．(1)如图1，将三角板DOE的一边OD与射线OB重合时，则∠COD= ∠COE；(2)如图2，将图1中的三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度，当OC恰好是∠BOE的角平分线时，求∠COD的度数；(3)将图1中的三角尺DOE绕点O逆时针旋转旋转一周，设旋转的角度为α度，在旋转的过程中，能否使∠AOE=3∠COD？若能，求出α的度数；若不能，说明理由.【答案】(1)2(2)30°(3)45°或67.5°【分析】（1）由邻补角和余角的定义求出两个角，即可得出结论；（2）由角平分线的定义可得∠COE=∠BOC=60°，再根据∠DOE=90°，从而可求解；（3）分两种情况讨论：①OC是∠BOC内；②OC在∠BOC外，分析清楚角关系求解即可．【详解】（1）解：∵∠AOC=120°，OD与射线OB重合，∴∠COD=180°―∠AOC=60°，∵∠DOE=90°，∴∠COE=90°―60°=30°，∴∠COD=2∠COE，故答案为：2；（2）解：由（1）得，∠BOC=60°，∵OC是∠BOE的角平分线，∴∠COE=∠BOC=60°，∵∠DOE=90°，∴∠COD=90°―60°=30°；（3）解：能，①当OD是∠BOC内时，有：∠COD=60°―α，∠AOE=180°―∠DOE―α=90°―α，则90°―α=3(60°―α)，解得：α=45°；②当OD在∠BOC外时，有：∠COD=α―60°，∠AOE=90°―α，则90°―α=3(α―60°)，解得：α=67.5°．综上所述，α的度数为45°或67.5°．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，余角和补角，解题的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．【变式2-4】类比角平分线的概念，如果一条射线把一个角分成1：2两部分，则称这条射线为这个角的一条三等分线，(1)如图，已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的一条三等分线，．且∠AOC>∠BOC，求∠AOC的度数；(2)如图，∠AOB=150°，OC是∠AOB的一条三等分线（∠AOC<∠BOC），OE是∠AOC的角平分线，OF是∠AOB的角平分线．若∠EOF以每秒5的速度绕点O逆时针旋转一周，旋转时间为t秒，当t为何值时，射线OB恰好是∠EOF的一条三等分线．【变式2-5】已知∠AOB=α(0°<α<45°)，∠AOB与∠AOC互余，∠AOB与∠AOD互补．(1)如图，当点B在∠AOC的内，且点B、D在OA的同侧时．①若∠BOC=50°，则α=________．②若OM是∠AOD的角平分线，则∠COM=_______．（用含α的式子表示）(2)直接写出∠COD所有可能的度数是_________．∠AOB∠COD=180°―(90°―α―α)∠COD=360°―∠AOD―∠AOC=360°―(180°―α)―(90°―α)=90°+2α∴∠COD=90°或=90°+2α．【点睛】本题考查了余角和补角，角平分线的定义；解题的关键是利用了互余的定义，角平分线的定义以及角的和差进行计算．【题型3：角的折叠综合问题】【典例3】利用折纸可以作出角平分线．如图1，通过折叠、展开，则OC为∠AOB的平分线．折叠长方形纸片，OC，OD均是折痕，折叠后，点A落在点A′，点B落在点B′，连接OA′．(1)如图2，当点B′在OA′上时，判断∠AOC与∠BOD的关系，并说明理由；(2)如图3，当点B′在∠COA′的内部时，连接OB′，若∠AOC=44°，∠BOD=61°，求∠A′OB′的度数．【答案】(1)∠AOC+∠BOD=90°，理由见详解(2)30°【变式3-1】如图①，在长方形ABCD中，点E在AD上，且∠AEB＝60°，分别以BE、CE 为折痕进行折叠并压平，如图②，若∠AED＝10°，则∠DEC的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．40°【答案】C【分析】由折叠可得BE平分∠A′EA，CE平分∠DED′，再利用角的和差得到∠DED′=180°-120°+10°=70°，进而可得答案．【变式3-2】将长方形纸条如图进行折叠，EF是折痕，∠EFB=32°，则∠DFB=（）A．148°B．138°C．126°D．116°【答案】D【分析】由题意可知，∠EFD´=∠DFE，根据∠EFB+∠∠EFD´=180°即可求解.【详解】解：有题意得：∠EFD´=∠DFE，∵∠EFB+∠EFD´=180°，∠EFB=32°，∴∠EFD´=180°-∠EFB=148°，∴∠DFE=148°，∴∠DFB=∠DFE-∠EFB=116°，故选D.【点睛】本题主要考查了补角的定义，解题的关键在于能够熟练掌握补角的定义.【变式3-3】利用折纸可以作出角平分线，如图1则OC为∠AOB的平分线，如图2、图3，折叠长方形纸片，OC，OD均是折痕，折叠后，点A落在点A′，点B落在点B′，连接OA′．①如图2，若点B′恰好落在OA′上，且∠AOC=32°，则∠BOD=；②如图3，当点B′在∠COA′的内部时，连接OB′，若∠AOC=44°，∠BOD=61°，求∠A′OB′的度数为．【答案】58°30°【分析】①由题意知∠AOC=∠A′OC，∠BOD=∠B′OD，根据∠AOC+∠A′OC+∠BOD+∠B′OD=180°，计算求解即可；②由题意知∠AOC=∠A′OC，∠BOD=∠B′OD，根据∠AOC+∠A′OC+∠A′OD+∠BOD=180°，求出∠A′OD的值，进而根据∠A′OB′=∠B′OD―∠A′OD计算求解即可．【详解】解：①由题意知∠AOC=∠A′OC，∠BOD=∠B′OD∵∠AOC+∠A′OC+∠BOD+∠B′OD=180°，∠AOC=32°∴∠BOD=58°故答案为：58°．②由题意知∠AOC=∠A′OC，∠BOD=∠B′OD∵∠AOC+∠A′OC+∠A′OD+∠BOD=180°，∠AOC=44°，∠BOD=61°∴∠A′OD=180°―2×44°―61°=31°∴∠A′OB′=∠B′OD―∠A′OD=30°故答案为：30°．【点睛】本题考查了角平分线．解题的关键在于找出角度的数量关系．【变式3-4】【概念】如果两个角的度数之差为30°，我们称这两个角互为“好友角”，其中一个角叫做另一个角的“好友角”，例如∠1=70°，∠2=40°，∠1―∠2=30°，则∠1和∠2互为“好友角”，即∠1是∠2的“好友角”，∠2也是∠1的“好友角”．【理解】（1）若∠A=45°，则∠A的“好友角”的度数为；（2）已知∠1和∠2互为“好友角”，∠1>∠2，且∠1和∠2互补，∠1的度数为；（3）如图1，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内部A′处，已知∠B=58°，∠C=82°，若∠A′EB和∠A′DC互为“好友角”，则∠A′EB的度数为；【拓展】如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，过点C作AB的垂线，垂足为D，AE、CD相交于点F．若∠FCE与∠CEF互为“好友角”，求∠ABC的度数．【答案】【理解】（1）75°或15°；（2）105°；（3）∠A′EB=55°或∠A′EB=25°；【拓展】∠ABC=50°或∠ABC=10°．【分析】【理解】（1）根据“好友角”定义，分情况讨论即可；（2）根据“好友角”定义和互补的性质求解即可；（3）连接AA′，由三角形内角和得出∠BAC=40°，由折叠性质可知∠EA′D=∠BAC=40°，然后根据外角性质得出∠A′EB+∠A′DC=80°，由题意分情况讨论即可；【拓展】由AE平分∠CAB，CD⊥AB，得∠CAE=∠BAE，∠CDB=90°，从而可得2∠CEF+∠FCE=180°，再根据∠FCE与∠CEF互为“好友角”进行分类讨论即可；本题考查了新定义，角分线的定义，三角形的内角和，垂直的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】【理解】（1）根据“好友角”定义可得：∠A的“好友角”的度数为45°+30°=75°或45°―30°=15°，故答案为：75°或15°；（2）∵∠1和∠2互为“好友角”，∠1>∠2，∴∠1―∠2=30°，∵∠1和∠2互补，∴∠1+∠2=180°，联立∠1―∠2=30°∠1+∠2=180°，解得∠1=105°，故答案为：105°；（3）如图，连接AA′，∵∠B=58°，∠C=82°，∴∠BAC=40°，∴由折叠性质可知∠EA′D=∠BAC=40°，∵∠A′EB=∠EA′A+∠EAA′，∠A′DC=∠DA′A+∠DAA′，∴∠A′EB+∠A′DC=∠EA′A+∠EAA′+∠DA′A+∠DAA′=∠EA′D+∠BAC=80°，即∠A′EB+∠A′DC=80°，∵∠A′EB和∠A′DC互为“好友角”，∴∠A′EB―∠A′DC=30°或∠A′DC―∠A′EB=30°，∴∠A′EB=55°或∠A′EB=25°；【拓展】∵AE平分∠CAB，CD⊥AB，∴∠CAE=∠BAE，∠CDB=90°，∵∠CEF=∠B+∠BAE，∠FCE=90°―∠B，∴2∠CEF+∠FCE=∠B+∠BAC+90°=180°，∵∠FCE与∠CEF互为“好友角”，∴∠CEF―∠FCE=30°或∠FCE―∠CEF=30°，则∠FCE=40°或∠FCE=80°，∵∠FCE+∠ABC=90°，∴∠ABC=50°或∠ABC=10°．【变式3-5】综合与探究阅读材料：如图是七年级上册课本135页的探究，将纸片折叠使QP与QR重合，QM是折痕，此时∠PQM与∠RQM重合，所以∠PQM=∠RQM，射线QM是∠PQR的平分线．知识初探：(1)如图1，已知OC是锐角∠AOE内部的一条射线，将∠COE折叠，使射线OC和射线OE重合，OD为折痕，将∠AOC折叠，使射线OC和射线OA重合，OB为折痕，若∠AOB=40°，∠DOE=30°，求∠BOD的度数．类比探究：(2)如图2，在长方形纸片ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，连接EF，将∠AEF折叠，使点A落在点G处，EH平分∠FEB，若∠GEH=α，求∠FEG的度数（用含α的式子表示）．【变式3-6】如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在A′处，EF为折痕，点F在线段AD上，且点F不与点D重合，点E在线段AB上，此时∠AFE和∠AEF互为余角，若EA′恰好平分∠FEB，回答下列问题．（1）求∠AEF的度数；（2）∠A′FD＝ 度．【答案】（1）60°；（2）120【分析】（1）根据折叠的性质以及角平分线的定义可知∠AEF＝∠A'EF＝∠A'EB，再根据平角的定义求解即可；（2）根据折叠的性质、互余的定义以及（1）的结论可得∠AFA'的度数，进而得出∠A'FD的度数．【详解】解：（1）根据折叠的性质可得∠AEF＝∠A'EF，∵EA'恰好平分∠FEB，∴∠AEF＝∠A'EF＝∠A'EB，∵∠AEF+A'EF+∠A'EB＝180°，所以∠AEF＝60°；（2）∵∠AFE和∠AEF互为余角，∴∠AFE＝90°﹣∠AEF＝30°，根据折叠的性质可得∠AFA'＝2∠AFE＝60°，∴∠A'FD＝180°﹣∠AFA'＝120°．故答案为：120．【点睛】本题主要考查了角的计算问题，掌握折叠的性质并理清相关角的关系是解答本题的关键．【变式3-7】折纸中的数学我们在第四章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．如图是教材第135页的探究，将纸片折叠使QP与QR重合，QM是折痕，此时∠PQM与∠RQM重合，所以∠PQM=∠RQM，射线QM是∠PQR的平分线．【知识初探】如图（1），四边形ABCD是一张正方形纸片，将正方形纸片ABCD沿BD对折，把正方形展平，再将∠A和∠C分别沿BE和BF折叠，使点A落在BD上的点A′处，使点C落在BD上的点C′处，A′与C′重合，则∠ABE=__________度；∠EBF=__________度．【类比再探】如图（2），将正方形纸片ABCD的∠A沿BE折叠，使点A落在点A′处，将∠C沿BF折叠，使点C落在点C′处，点C′与点A′重合．猜想∠EBF的度数，并说明理由．小官同学：猜想∠EBF=45°．∠A′BA，理由如下：∵∠A沿BE折叠，∴∠ABE=∠A′BE=12∵∠C沿BF折叠，∴，∵∠A′BA+∠C′BC=__________，∴∠EBF=∠A′BE+∠C′BE=1(∠A′BA+∠C′BC)=__________．2【拓展探究】如图（3），在图（2）的基础．上将正方形纸片ABCD展平，然后将∠A和∠C分别沿BG和BH 再折叠，使点A落在BE上的点A″处，点C落在BF上的点处．猜想∠ABG和∠CBH的数量关系，并说明理由．。
初中数学倒角知识点总结doc
初中数学倒角知识点总结.doc一、倒角的基本概念倒角是指将一个直角或锐角改变其角度大小和方向的过程。
在数学中，倒角通常被用于平移、旋转、对称等操作，以简化图形的形状和计算。
二、倒角的方法1.平移法：通过平移图形，将一个角从一个位置移到另一个位置，使角度发生变化。
2.旋转法：通过旋转图形，将一个角围绕一个固定点旋转一定的角度，使角度发生变化。
3.对称法：通过对称变换，将一个角翻转到另一个位置，使角度发生变化。
三、倒角的应用1.在几何图形中的应用：倒角在几何图形中有着广泛的应用，如三角形、四边形、多边形等。
通过倒角操作，可以简化图形的形状和计算，提高解题效率。
2.在实际生活中的应用：倒角在实际生活中也有着广泛的应用，如建筑物的设计、机械零件的制造等。
通过倒角操作，可以使建筑物或机械零件的形状更加美观、实用和方便。
四、倒角的性质1.倒角的度数和方向：倒角的度数和方向可以根据需要进行调整。
通过平移、旋转、对称等操作，可以改变倒角的度数和方向。
2.倒角的角度变化：倒角的角度变化会影响图形的形状和大小。
通过改变倒角的度数和方向，可以改变图形的形状和大小。
3.倒角的对称性：倒角具有对称性，即对于一个倒角，存在一个对称的倒角与之对应。
这种对称性在解决几何问题时非常有用。
五、如何掌握倒角的知识点1.理解概念：要掌握倒角的知识点，首先需要理解倒角的概念和基本操作方法。
可以通过实例和练习题来加深对倒角概念的理解。
2.掌握方法：要掌握倒角的方法，需要了解平移、旋转、对称等操作的特点和应用场景。
可以通过练习题和实践操作来加深对各种倒角方法的理解和掌握。
3.实践应用：要掌握倒角的应用，需要将倒角方法应用到具体的几何问题和实际生活中。
可以通过解决一些具有代表性的几何问题和实际生活问题来提高对倒角应用的理解和掌握。
4.总结规律：要掌握倒角的规律，需要在实践中不断总结和归纳。
可以通过对一些经典例题的分析和归纳，总结出一些常见的规律和技巧，提高解题效率。
初中数学倒角模型
初中数学中的倒角模型通常指的是涉及两个或多个直线或者线段在相交处形成90度角的情况，这种特殊的角度组合在解决与直角三角形、相似性、勾股定理以及面积计算等相关几何问题时非常常见。
以下是几个常见的倒角模型及其相关性质和应用：
1. 直角三角形模型：
直角三角形的基本性质：直角三角形斜边上的高线将斜边分为两个等腰直角三角形，因此，高等于两直角边的乘积除以斜边。
勾股定理：直角三角形的两条直角边满足a² + b² = c²，其中c为斜边的长度。
2. 两直线垂直模型：
当两条直线在同一平面上且互相垂直时，它们的斜率之积为1，即m₁
m₂ = 1，这里m₁和m₂分别为两条直线的斜率。
或者说，在坐标系中，如果一条直线经过点A(x₁, y₁)，斜率为k，则与其垂直的直线过点B(x₂, y₂)且斜率为k，即y y₂ = k(x x₂) 和 y y₁ = k(x x₁)。
3. 倒角直角梯形模型：
若一个直角梯形的两个底角均为90度，则它的高线同时也是中位线，与上底和下底分别垂直，此时可以用分割法求得面积，即面积=上底长×高/2 + 下底长×高/2。
4. 猪蹄模型：
这是一种描述两个图形相切且其中一个图形内部有一个90度角的模型，例如圆与正方形或矩形相切，圆心到相切直线的距离等于半径。
在这种情况下，可以通过构建直角三角形来解决问题，如半径、内切圆的半径和外切圆半径之间的关系等。
初中数学倒角知识点总结
不可不知得倒角一、基础知识等角:角平分线,等腰三角形底角,对顶角,平行线同位角、内错角,同角、等角得余角或补角,同弧、等弧圆周角,余角(补角):垂直,直角三角形,共线,平行线同旁内角,三角形内角与,外角等于内对角转换:全等三角形,相似三角形,圆周角与圆心角倒角(1)题目已知条件(如角度,角分线,垂直,平行)(2)最基本得等角(角分线,对顶角,同角余角,)(2)特殊三角形内角(等腰三角形,直角三角形,含已知角得三角形)(3)位置关系(平行、垂直)(4)等量转化(相似、全等对应角,圆周角圆心角)2方法:(a)路径法(b)计算法二、∠A=∠B得方法解析1、路径法——倒角最基本得方法路径法得基本步骤就是首先识别∠A与∠B各就是上述六类角度中得哪一类角,然后利用等角或者余、补角关系,把∠A、∠B分别转化为相应得∠A1、∠B1,然后继续转化∠A1、∠B1,,如果角度无法转换,从上一步重新出发,寻找新得转换路径。
最后将转换得角度还原到题目条件中,即可完成角度相等得证明。
路径法中最重要得就是(1)识别角度身份 (2)寻找倒角路径路径法就是倒角得基础,但具体得问题也会有倒角得具体注意事项【例一】如图,在△ABC中,∠A=40°,∠B=72°,CE平分∠ABC,CD⊥AB于D,DF⊥CE于F,求∠CDF度数【例二】如图,AB就是圆O得直径,D就是弧AC得中点,已知∠A=40°,求∠CBD得度数【分析】从所需要得∠CDF出发,需要求∠CDF得度数,只要知道∠FCD,而∠FCD可以由∠CED(74°)求出,∠CED由可以由∠A(40°)与∠ACE(34°)求出。
【分析】从∠CBD出发,∠CBD就是圆周角,利用等弧,发现∠DBA=∠CBD。
从题目条件出发,AB就是直径,∠C=90°,∠A=40°,所以∠CBA=50°,所以∠CBD=25°2、方程法遇到如果题目中给出得角度关系与归纳得六类角度没有关系得时候,往往可以设其中一个角得度数为α,然后用α表示剩余得角度,最后通过方程求解α或角度关系【例三】△ABC中,AC=BC,D就是BC上得一点,且满足2∠BAD=∠C,求证:AD⊥BC错误！未找到引用源。
初中数学几何模型——倒角模型大全
初中数啰几何模型一例角模型
高线+角平分线
“8〃字+角平分线
条件；AP. CP是角平分线 1
些论：ZP=-(Z4CD
初中数啰几何模型一例角模型
3
“内内角平分线〃型
条件：时、8是角平分线
1 茗论：ZBDO90°+r. ZX
“内外角平分线”型
条件：BD. CD是角平分线 1
结论：Z1D=-XA
“外外角平分线〃型
条件：BD. CD是角平分线
1 结论：ZD=90c-7z^
“燕尾〃+角平分线
条件：BP. CP是角平分线 1
初中数啰几何模型一例角模型
1
“8 ”字型
结论：/4+ZB=ZC+ZD
结论：匕B十匕C=ZD+NE
“A"字型2
结论：ZDBC+匕BCE=180…ZA
“燕尾”型
A O
B
结论：ZBOC=^A+ZB+ZC
初中数啰几何模型一例角模型
2
“筝”型
结论：匕妇匕D=£EBD+匕DCF
垂直模型1
垂直模型3
结论； ① 匕D=』BCE
专题06 几何图形初步—角度问题压轴真题(解析版)-初中数学七年级上学期重难点题型必刷题(人教版)
专题06 高分必刷题-几何图形初步—角度问题压轴题真题（解析版）专题简介：本份资料专攻《几何图形初步》这一章中求角度的压轴题，所选题目源自各名校月考、期末试题中的压轴题真题，大都涉及到角度的旋转问题，难度较大，适合于想挑战满分的学生考前刷题使用，也适合于培训机构的老师培训尖子生时使用。
1.（明德）已知120AOB ∠=，60COD ∠=，OE 平分∠BOC .(1)如图①，当∠COD 在∠AOB 的内部时.①若∠AOC =40°，则∠COE =_________；∠DOE =_________.②若∠AOC =α，则∠DOE =_________（用含α的代数式表示）；（2）如图②，当∠COD 在∠AOB 的外部时①请写出∠AOC 与∠DOE 的度数之间的关系，并说明理由.②在∠AOC 内部有一条射线OF ，满足∠AOC +2∠BOE =4∠AOF ，写出∠AOF 与∠DOE 的度数之间的关系，并说明理由.【解答】解：（1）①∵∠AOB ＝120°，∠AOC ＝40°，∴∠BOC ＝80°，∵OE 平分∠BOC ， ∴∠COE ＝∠BOC ＝40°，∵∠COD ＝60°，∴∠DOE ＝∠COD ﹣∠COE ＝60°﹣40°＝20°．故答案为：40°，20°．②∵∠AOB ＝120°，∠AOC ＝α，∴∠BOC ＝120°﹣α，∵OE 平分∠BOC ，∴∠COE ＝∠BOC ＝60°﹣α，∵∠COD ＝60°，∴∠DOE ＝∠COD ﹣∠COE ＝60°﹣（60°﹣α）＝α．故答案为：α．（2）①∵OE 平分∠BOC ，∴∠BOC ＝2∠COE ，∵∠AOC ﹣∠AOB ＝∠BOC ，∠DOE ﹣∠COD ＝∠EOC ，∴∠AOC ﹣∠AOB ＝2（∠DOE ﹣∠COD ），∵∠AOB ＝120°，∠COD ＝60°，∴∠AOC ﹣120°＝2（∠DOE ﹣60°），化简得：2∠DOE ＝∠AOC ．②∠DOE ﹣∠AOF ＝30°，理由如下：∵∠AOC ＝∠AOB +∠BOC ，∠BOC ＝2∠BOE ，∠AOC +2∠BOE ＝4∠AOF ，∴4∠AOF ＝∠AOB +4∠BOE ，∵∠DOE ＝∠COD +∠COE ，∠COE ＝∠BOE ，∴4∠DOE ＝4∠COD +4∠BOE ，∴4∠AOF ﹣4∠DOE ＝∠AOB ﹣4∠COD ，∵∠AOB ＝120°，∠COD ＝60°，∴4∠AOF ﹣4∠DOE ＝﹣120°，∴∠DOE ﹣∠AOF ＝30°．2.（长梅）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1：2的两个角的射线，叫作这个角的三分钱，显然，一个角的三分线有两条.(1)如图①，已知OC 是∠AOB 的一条三分钱，且BOC AOC ∠>∠，若75AOB AOC ∠=︒∠=， ；(2)如图②，已知90AOB ∠=︒，若OC ，OD 是∠AOB 的两条三分线.①求∠COD 的度数；②在①的基础上，现以O 为中心，将∠COD 顺时针旋转n °得到C OD ''∠.当OA 恰好是C OD ''∠的三分线时，求n 的值.图① 图②【解答】解：（1）已知OC 是∠AOB 的一条三分钱，且∠BOC ＞∠AOC ，若∠AOB ＝75°， ∴∠AOC ＝∠AOB ＝25°，故答案为：25°．（2）①如图2，∵∠AOB ＝90°，OC ，OD 是∠AOB 的两条三分线，∴∠COD ＝∠AOB ＝30°；②分两种情况：当OA 是∠C 'OD '的三分线，且∠AOD '＞∠AOC '时，∠AOC ′＝10°， ∴∠DOC '＝30°﹣10°＝20°，∴∠DOD '＝20°+30°＝50°；当OA 是∠C ′OD '的三分线，且∠AOD '＜∠AOC 时，∠AOC '＝20°，∴∠DOC ′＝30°﹣20°＝10°，∴∠DOD '＝10°+30°＝40°；综上所述，n ＝40°或50°．3．（师大）若A 、O 、B 三点共线，∠BOC ＝50°，将一个三角板的直角顶点放在点O 处（注：∠DOE ＝90°，∠DEO ＝30°）．（1）如图1，使三角板的短直角边OD 在射线OB 上，则∠COE ＝ ；（2）如图2，将三角板DOE 绕点O 逆时针方向旋转，若OE 恰好平分∠AOC ，则OD 所在射线是∠BOC 的 ；（3）如图3，将三角板DOE 绕点O 逆时针转动到使∠COD ＝∠AOE 时，求∠BOD 的度数；（4）将图1中的三角板绕点O 以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，OE 恰好与直线OC 重合，求t 的值．【解答】解：（1）∵∠DOE ＝90°，∠BOC ＝50°，∴∠COE ＝40°，故答案为40°；（2）∵OE 平分∠AOC ，∴∠AOE ＝∠COE ，∵∠COE +DOC ＝∠DOE ＝90°，∴∠AOE +∠DOB ＝90°，∴∠DOC ＝∠DOB ，∴DO 平分∠BOC ，∴DO 是∠BOC 的角平分线，故答案为：角平分线；（3）∵∠COD ＝∠AOE ，∠COD +∠DOE +∠AOE ＝130°，∴5∠COD ＝40°，∴∠COD ＝8°，∴∠BOD ＝58°；（4）当OE 与射线OC 的反向延长线重合时，5t +40＝180，∴t ＝28，当OE 与射线OC 重合时，5t ＝360﹣40，∴t ＝64，综上所述：t 的值为28或64．4.（雅礼）如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使130BOC ∠=︒。
七年级下第七讲几何倒角技巧和方法 (1)
第七讲几何倒角技巧与方法一、常见几何倒角模型A 1．“小旗”模型（外角性质）如图（a ）：∠BCD = ∠A + ∠B证明思路：C B由∠A + ∠B + ∠ACB = 180︒ 和∠ACB + ∠BCD = 180︒ 得：∠BCD = ∠A + ∠B2．“飞镖”模型如图（b）：∠BDC = ∠ABD + ∠A + ∠ACD证明思路：延长BD 交AC 于点E ，在∆CDE 和∆ABE 中，由∠A + ∠ABD = ∠BEC 和∠BEC + ∠ACD = ∠BDC 得：∠BDC = ∠ABD + ∠A + ∠ACDD(a)AD EB C(b)3．“8”字模型如图（c）：∠A + ∠B = ∠C + ∠D证明思路：由∠A + ∠B + ∠AOB = 180︒ ，∠C + ∠D + ∠COD = 180︒ ，∠AOB = ∠COD 可得：∠A + ∠B = ∠C + ∠D ABODC (c)4．“内角平分线”模型点P 是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点．如图（d）：∠P = 90︒ + 1 ∠A2 A证明思路：由“飞镖”模型可得：∠P = ∠A + ∠ABP + ∠ACP ，P 再利用角平分线的性质可得：∠ABP + ∠ACP =1 (︒ - ∠A) ，进而可得出：2B C(d)∠P = 90︒ + 1∠AP5．“内外平分线”模型点 P 是 ∠ABC 和外角 ∠ACD 的角平分线的交点如图（e ）： ∠P = 1∠AA2P证明思路：由“小旗”模型可得： ∠PCD = ∠PBC + ∠P ， 2∠PCD = 2∠PBC + ∠A ， 即可得出：∠P = 1 ∠A2BC D(e)6．“外角平分线”模型点 P 是外角 ∠CBF 和外角 ∠BCE 的角平分线的交点如图（f ）： ∠P = 90︒ - 1∠A2A证明思路：∠P = 180︒ - (∠PBC + ∠PCB )= 180︒ - 1(∠FBC + ∠ECB )2 = 180︒ - 1(∠A + ∠ACB + ∠ECB )2 = 180︒ - 1∠A +180︒)2 = 90︒ - 1∠A2BCFE（f ）【例 1】如图所示，一轮船在海上往东行驶，在 A 处测得灯塔 C 位于北偏东 60°，在 B 处测得灯塔 C 位于北偏东 25°，则∠ACB = ．【例2】如图所示，已知∠EGF = ∠E + ∠F ，求∠A + ∠B + ∠C + ∠D 的度数．AE H BGF P CD【例3】（1）已知如图（1）所示，AD 是高，AE 是∠BAC 的平分线，求证：∠DAE = 1 (∠C - ∠B) ．A2B E D C（1）（2）如图（2）所示，在∆ABC 中，已知三条角平分线AD、BE、CF 相交于点I ，IH ⊥ BC ，垂足为H ，∠BID 与∠HIC 是否相等？并说明理由．AFEIB D H C（2 ）【例4】如图所示，在∆ABC 中，A1B 平分∠ABC ，A1C 平分∠ACD ，A2B 平分∠A1BD ，A 2C 平分∠A1CD ，A3B 平分∠A2BD ，A3C 平分∠A2CD ，若∠A = 64︒ ，则∠A3=；以此类推，若∠A = α ，∠A n =．AA1A2A3B D【例5】如图，已知∆ABC ，将AB 边上的点（点A、B 除外）向右拖动，依次可得图1、图2，分别探究图1、图2 中∠A、∠B、∠C、∠D 的数量关系．（直接写出结论）AB C图1 图2【例6】如图，在四边形ABCD 中，E，F 分别是两组对边延长线的交点．EG，FG 分别平分∠BEC、∠DFC，若∠ADC=60°，∠ABC=80°，则∠EGF= 度．EDAGFB C【例7】（1）如图所示，在∆ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的n 等分线分别相交于G1,G2,G3, ,Gn-1，试猜想：∠BGn-1C 与∠A 的关系．（其中n 是不小于2的整数）．首先得到：当n = 2 时，如图(a ) 所示，∠BG1C =，当n = 3 时，如图(b) 所示，∠BG2C =，…，如图(c) 所示，猜想∠BGn-1C =．（2）如图(d ) 所示，在四边形ABCD 中，BP、CP 分别是∠ABC ，∠BCD 的角平分线，则∠P 与∠A ，∠D 之间的数量关系为．A A AAG2 G1 G1G n-1D G2 PG1B B（a)（b)B C（c)B C（d)【例8】阅读材料，如图1 所示，AD 与CB 相交于点O ，在∆AOB 和∆COD 中，∠A + ∠B + ∠AOB = 180︒ ，∠C + ∠D + ∠COD = 180︒ ，∠AOB = ∠COD ，所以∠B + ∠A = ∠C + ∠D ．图形类似于数字“8”，所以我们称之为“8”字形．根据上述材料解决下列问题：如图2 所示，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，∠A = 48︒ ，∠C = 46︒ ，BE 与AD 相交于点G ，BC 与DE 相交于点H ．（1）仔细观察图2 中有个“8”字形；（2）求∠BED 的度数．（3）试探究∠A, ∠E, ∠C 之间的关系．（直接写出结论）A B A BGO E OHD DC C图1 图2【课后作业】1．如图，△ABC 中，∠A=96°，D 是BC 延长线上的一点，∠ABC 与∠ACD（△ACB 的外角）的平分线交于A1 点，则∠A1=度；如果∠A=α，按以上的方法依次作出∠BA2C，∠BA3C…∠BA n C（n 为正整数），则∠A n=度（用含α的代数式表示）．2．如图所示，在∆ADE 和∆ABC 中，∠EAD = ∠AED = ∠BAC = ∠BCA = 45︒ ，∠BAD = ∠BCF ．BE（1）求∠ECF + ∠DAC + ∠ECA的度数；（2）判断ED 与FC 的位置关系，并证明．FDA C3．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）如图a，若AB∥CD，点P 在AB、CD 外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD 是△POD 的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P 移到AB、CD 内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D 之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在图b 中，将直线AB 绕点B 逆时针方向旋转一定角度交直线CD 于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD 之间有何数量关系？（不需证明）（3）根据（2）的结论求图d 中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数．。